I. BEVEZETİ. i= 1 i= Z : Ai F és Ai Ai+ i Z : Bi F és Bi Bi+

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "I. BEVEZETİ. i= 1 i= Z : Ai F és Ai Ai+ i Z : Bi F és Bi Bi+"

Átírás

1 I ALAPFOGALMAK I BEVEZETİ Jelölése: K: véletle ísérlet, ω : elem eseméy, { : } Ω= ω : eseméytér, F Ω : eseméyalgebra, A F : eseméy, Ω F : bztos eseméy Mővelete eseméyeel: összegzés: A+B (halmazuó), szorzás: AB (halmazmetszet), egálás: A =Ω \ A, voás (dffereca): A \ B= AB, szmmetrus dffereca: A4B=(A\B)+(B\A) Két eseméy acsolata: A maga utá voja B-t ( A B ), A és B zárjá egymást (dszjuta) ( AB= ) (D) Teljes eseméyredszer: Az A eseméye ~t alota, ha ároét dszjuta ( j: AA j= ) és összegü a bztos eseméy ( A =Ω ) (A) F ú σ-algebrát alot: azaz eleme a bztos eseméy ( Ω F ), és zárt az összegzés és a egálás mőveletere (vagys bármely elemée a egáltja és bármely elemee az összege s eleme) (D) P valószíőség: P: F [,] úgy, hogy a bztos eseméy valószíősége (P(Ω)=), és ároét dszjut eseméye eseté P az összeadásra homomorf (mővelettartó), azaz eze összegée valószíősége a valószíőségü összegével egyelı, tehát: A F, j: AA j = = P A P( A ) (T) P tulajdosága: P( A) P( A) =, A B P( A) P( B), P( A \ B) P( A) P( AB) = + (T) Pocare-tétel: P A = ( ) P A j = = j< j < < j = (szeml: szta -módszer) (T) Boole-egyelıtleség(e): P A P( A), ll P A P( A) = = = = (T) Folytoosság tétel(e): + Z : A F és A A+ P A = lm P( A), = + Z : B F és B B+ P B = lm P( B) = Ω,F,P hármast a (D) Kolmogorov-féle valószíőség mezı: A fet tulajdoságoa megfelelı K véletle ísérlethez tartozó ~e evezzü Ω,F,P hármas mdg Kolmogorov-féle valószíőség mezıt jelöl (hogy Megjegyzés: Ietıl a e ellje mdg ír) I KLASSZIKUS VALÓSZÍNŐSÉG #A Ω {,,, } és # véges, : P, F= A F eseté P( A) Ω= ω ω ω Ω= ω = = = # Ω Szemléletese: véges so elem eseméy va, eze valószíősége megegyez, és mde eseméy megfgyelhetı Leggyaorbb esete: ocadobás, ézfeldobás, ártyahúzás, lottóhúzás, FELADATOK MEGOLDÁSA: A feladatoba szövegese defált eseméye valószíőségét ell számol Ehhez meg ell határozu az elem eseméye számát (Ω számosságát), majd az A eseméyhalmaz számosságát Ez utóbbt ombatora módszere haszálatával öyíthetjü meg (smételjü át ezzel acsolatos smereteet) Fgyeljü arra, hogy esetszétválasztásál semmt e hagyju, és semmt e számolju étszer Néha l a omlemeter eseméy számosságáa meghatározása léyegese egyszerőbb; ezt, és az ehhez hasoló trüöet célszerő észreve - -

2 I3 GEOMETRIAI VALÓSZÍNŐSÉG Ω egy véges területő síbel alazat (Vezessü be az m() területfüggvéyt, amely egy alazathoz egy véges értéet redel, ameybe az mérhetı területő!) F eleme az Ω mérhetı területő része m( A) A F eseté P( A) =, vagys A és Ω területée aráya m Ω Leggyaorbb esete: Két folytoos értéő araméterrel leírható véletle ísérlete Pl: ét tetszılegese választott és özé esı valós szám, FELADATOK MEGOLDÁSA: A szöveges secfácó alajá észítsü rajzot Ω-ról és a eresett A eseméye megfelelı alazatról Egy boyolult alazat területée a számításához (egyszerő alazat területét ráézésre megállaítju) vegyü fel egy oordátaredszert, amelybe határozzu meg az alazato határvoalat leíró függvéyeet és eze segítségével tegrálással aju meg a eresett területet (tegrál tud ell) Összetett alazatoat darabolju szét egyszerőbbere, és ezere egyeét alalmazzu a fet módszert Ha meghatároztu A és Ω területét, aor már csa a életet ell haszál A omlemeteres trü éha tt s bejöhet I4 FELTÉTELES VALÓSZÍNŐSÉG (D) Feltételes valószíőség: A,B F és P( B) P( AB) PB( A) = P( A B) = Szemléletese: ha tudju hogy B beövetezett, aor az A eseméy P( B) beövetezésée a valószíősége PB( A ) (T) A feltételes valószíőség tulajdosága: Csa szemléletese: a P B feltételes valószíőség otosa úgy vseled, mt a P valószíőség azzal az eyhítéssel, hogy mde Ω helyébe B írható (de em ötelezı) Vagys mde P-re voatozó formula átírható P B -re > esté az A eseméye a B-re voatoztatott ~e: (D) Függetleség: A, B F eseté az A és B eseméye függetlee ha P( AB) = P( A) P( B) (T) A függetleség tulajdosága: ) Ha A és B eseméye függetlee A,Bs függetlee (reurzíve: A,B és A,B s) ) Ha P( A) {,} B F eseté A és B függetlee (D) Az A {,,} F eseméye ároét függetlee, ha j eseté A és A j függetlee { },, (D) Az A {,,} F eseméye teljese függetlee, ha I eseté P( A ) = P A, vagys özülü tetszılegese választott eseméye függetlee I I {,,} (T) Ha A {,,} F eseméye teljese függetlee I eseté a B {,,} eseméye s teljese függetlee, ahol: B A ha I = A, ha I Szemléletese: özülü tetszılegese választott eseméyeet az elletettjüre cserélve (megegálva) az eseméye továbbra s teljese függetlee marada A FELTÉTELES VALÓSZÍNŐSÉGGEL KAPCSOLATOS FONTOS TÉTELEK: (T) Teljes valószíőség tétel: Ha A = eseméy P( B) P( B A ) P( A ) F teljes eseméyredszer, P( A ) > és B F tetszıleges Szemléletese a teljes valószíőség tétele azt állítja, hogy egy B eseméy valószíőségét úgy s megállaíthatju, hogy a bztos eseméyt feldarabolju (legfeljebb megszámlálhatóa végtele darabra), és a B eseméye eze darabora számított feltételes valószíőséget összeadju - -

3 (T) Bayes-tétel: Ha P A B A P( A) P( A ) P B A = P B A F teljes eseméyredszer, P( A ) > és B F P B >, A Bayes-tétel tulajdoée a teljes valószíőség tétele egy cst átalaított alaja A feladattól függ, hogy a ettı özül melyet csélszerő haszál, vagys hogy mely életbe szerelı valószíősége értéét egyszerőbb számol az adott feladatba > = (T) Szorzás szabály: Ha A {,,} F eseméyere teljesül, hogy P A P A = P( A) P A A j = = j= Csa aor célszerő haszál, ha a feladat szövegezése matt a fet feltételes valószíőségeet agyo öyő számol A FELTÉTELES VALÓSZÍNŐSÉGGEL KAPCSOLATOS FELADATOK MEGOLDÁSA: A feladato általába olyao, hogy meg va adva éháy eseméy, éháy valószíőség, esetleg az eseméye egymáshoz való vszoya (függetlee, egymást zárjá, A maga utá voja B-t), és ezebıl ell mdeféle egyéb valószíőségeet számol Kezdjü azzal, hogy az eseméye egymáshoz való vszoyaból (feltéve ha volt lye megadva) egyeleteet íru fel: P AB = P A P B A és B függetlee A és B zárjá egymást P( AB) = A maga utá voja B-t P( A) P( B) és P( AB) = P( A) Ezutá ézzü meg, hogy a eresett valószíőséget mlye élettel tudju felír Pl: P( AB) P( A+ B) = P( A) + P( B) P( AB) vagy P( A B) = Ehhez agy segítség lehet, ha az P B eseméye vszoyát s halmazos ábrával szemléltetjü magua Így ezeet a életeet sem agyo ell megjegyez (em mtha olya eheze leée), mert a rajzról tsztá leolvasható De azért agy öyebbség, ha észrevesszü, hogy hol lehet a fet tétele valamelyét haszál Végül a már smert valószíősége értéét írju be, a még em smerteet edg a fet módszerrel róbálju továbbota (-3 léésél többre általába cs szüség) Nézzü egy éldát: Legyee A, B, C teljese függetle eseméye, P( A) = P( B) =, Keressü a övetezıet: P( A B+ C ) =?, P( B A4B ) =?, Megoldás: P A A C? + = és A, B, C teljese függetlee P( AB) = P( A) P( B) = 4, P( AC) P( A) P( C) 3 P( BC) = P( B) P( C) = 3 és P( ABC) = P( A) P( B) P( C) = 6 P( AB+ AC) P( AB) + P( AC) P 5 ( ABC) P( A B+ C) = = = = = 5 P( B+ C) P( B) + P( C) P( BC) ( ) P( B A4B) ( + AB) + + P( A( A+ C) ) P( A ) 3 P( A A+ C) = = = = P( A+ C) P( A) + P( C) P( AC) + 5 = =, 4 4 P ABC =? P B A4B P B \ A P B P AB = = = = = = P A4B P AB P A P B P AB 3 3 P C = 5 = = 6 P( ABC) P( ABC) 3-3 -

4 II VALÓSZÍNŐSÉGI VÁLTOZÓK II VALÓSZÍNŐSÉGI VÁLTOZÓ ELOSZLÁSFÜGGVÉNE (D) Valószíőség változó: Az :Ω R fv-t valószíőség változóa evezzü, ha t R : A= ω: ω < t F, azaz mde lye A megfgyelhetı eseméy (Az A eseméyt a t- { } hez tartozó ívóeseméye evezzü) Megjegyzés: A valószíőség változóat azért vezetjü be, hogy a ezdetbe bevezetett módszert egy olyaal váltsu fel, amely boyolultabb feladatoál soal éyelmesebbe ezelhetı (mt azt ésıbb lát fogju) Ietıl a valószíőség változó helyett a vv rövdítést haszálom F : R,, ahol (D) Eloszlásfüggvéy: Az vv eloszlásfüggvéye [ ] F ( t) P A { : t} = = ω ω <, azaz F értée t-be a t-hez tartozó ívóeseméy valószíősége (T) F tulajdosága: u< v : F u F v ) ) F mooto ı ( ) F mde otjába balról folytoos ( u : lm F ( t) = F ( u) R ) t u lm F t = és lm F t = ) 3) Határértée a - be, a + be ( t t + (T) Kolmogorov: Mde a fet tulajdoságoat teljesítı F függvéyhez létez értelmes véletle ísérlet, és eze egyértelmőe meghatározzá egymást (T) Tetszıleges x<y esté: ) P( x < y) = F ( y) F ( x) ) P( x< < y) = F ( y) F ( x+ ) 3) P( x y) = F ( y+ ) F ( x) 4) P( x y) F ( y ) F ( x ) < = + + (D) Dszrét vv: Az vv dszrét, ha értéészlete legfeljebb megszámlálhatóa végtele számosságú ( E R, ahol #E ℵ ) Ietıl a dszrét vv helyett a dvv rövdítést haszálom ( { } ) (D) Az dvv eloszlása: { } P x P A : x = =,, = = ω ω =, ahol az A eseméy az x értéhez tartozó elem eseméye halmaza Természetese: és = (T) Az dvv eloszlásfüggvéye: F t = (D) Folytoos vv: Az vv folytoos, ha értéészlete otuum számosságú, és F eloszlásfüggvéye abszolút folytoos, azaz folytoos és legfeljebb véges so ot vételével dfferecálható Ietıl a folytoos vv helyett az fvv rövdítést haszálom (D) Az fvv sőrőségfüggvéye: Az fvv F eloszlásfv-e az abszolút folytoosság x tulajdosága matt felírható x < t (T) A sőrőségfv tulajdosága: f( t) és II VALÓSZÍNŐSÉGI VÁLTOZÓK TRANSZFORMÁCIÓI F x = f t dt alaba, ahol f az fvv sőrőségfv-e + f t dt= Dszrét-dszrét traszformácó: Legye, dvv, g : E E P( = y) = P( = x) x : g x = y és g = Eor: Szemléletese: az -hez tartozó véletle ísérlet eseméyterét egyértelmőe (em feltétleül egyegyértelmőe) leéezem egy új, az -hoz tartozó véletle ísérlet eseméyterére - 4 -

5 Folytoos-dszrét traszformácó (dszretzácó): Legye fvv és = [ ) = =+ Eor = y : [ u,u ) dvv és u és u + R u, u +, ahol u u = P = y = f t dt Szemléletese: A valós számo halmazát legfeljebb megszámlálhatóa végtele számosságú tervallumra artícoálom (vagys a artícó dszjuta és lefed a teljes halmazt) és az egyes tervallumohoz egy véletle ísérlet elem eseméyet redelem, ahol eze elem eseméye valószíősége a hozzáju tartozó tervallumba esés valószíőségével egyelı T: Nem agyo ell! Folytoos-folytoos traszformácó: Legye fvv és T : R R dffható és vertálható és T f t f T t d = T t = Eor: fvv és dt T: Ezt agyo ell tud! Az ezzel acsolatos feladato általába olyao, hogy: adott egy F eloszlásfv-ő fvv (ha em az eloszlásfv va megadva, haem modju a sőrőségfv, aor abból számíthatju az eloszlásfvt) és = g, tehát l: = Keressü az F eloszlásfv-t A megoldás meete: eressü az F ( t) = P( < t) eloszlásfv-t helyére beírju F ( t) P( g t) értéét az F ( t) = P( < t) eloszlásfv felhaszálásával Modju a fet éldába: g -et: = < és a zárójele belül fejezést átredezzü -re, majd leolvassu a fejezés F t = P < t = P < t+ = P t+ < < t+ = F t+ F t+ Az alább ét tétel a fete secáls esete: U, F y egy szgorúa mooto övevı eloszlásfv azo az (T) Ha fvv és tervallumo, ahol < F( y) <, aor az = F vv eloszlásfv-e ée F y lesz Vagys a tétel az állítja, hogy ha a [,] tervallumo egyeletes eloszlású vv-t behelyettesítü egy egyértelmőe vertálható eloszlásfv verzée életébe, aor ée egy lye eloszlású valószíőség változót au eredméyül F t eloszlásfv-e szgorúa mooto övevı azo az tervallumo, ahol (T) Ha az vv < F ( t) <, aor az = F vv-ra teljesül, hogy: U(,) Vagys ha egy a feltételee megfelelı eloszlásfv-el redelezı valószíőség változót behelyettesítü a saját eloszlásfüggvéyébe, aor ée a [,] tervallumo egyeletes eloszlást aju eredméyül A fet tétele elmélet jeletısége az, hogy segítségüel bármely smert eloszlásfüggvéyő vv szmulálható (l számítógé segítségével) A feladatoba dıt yerhetü vele, ha em ell véggvezetü a számítást, mert ésszrevesszü, hogy a fet tétele valamelye alalmazható II3 VÁRHATÓ ÉRTÉK (D) Várható érté (-örül elsı mometum): Az vv várható értéét E{ } -el jelöljü Az dvv-a létez a várható értée, ha x P( = x) < Eor E{ } = xp( = x) x + Az fvv-a létez a várható értée, ha x f ( x) dx< Eor { } x + E xf x dx = Szemléletese: az egyes x értéehez tartozó valószíőséget a -tól való elıjeles távolság elsı hatváyával (azaz x-el) súlyozzu Ezért evezzü a várható értéet a -örül elsı mometuma A várható érté fogalma erıs árhuzamba állítható a tömegözéot fza fogalmával - 5 -

6 (T) Legye vv, g : R R és = g Eor ha vv és: g x P = x < E = g x P = x ) dszrét esetbe: ha { } x + ) folytoos esetbe: ha g ( x ) f ( x) dx< { } x + E = g x f x dx< (K) Ha az vv-a létez a várható értée, aor az =a+b vv-a s létez a várható értée, és E{ } = ae{ } + b Szemléletese: az E {} várhatóérté-ézés leárs oerátor (T) Az E {} oerátor dvv- eseté az összeadásra homomorf (mővelettartó), azaz: ha, dvv és létez a várható értéü, aor: E{ + } = E{ } + E{ } C (D) Cetralzált: Az vv cetralzáltja az E{ } = vv, szemléletese: özéotját a -ba tolju Trváls övetezméy, hogy a cetralzált vv várható értée mdg ( E{ C } = ) (T) Marov-egyelıtleség: Ha II4 SZÓRÁSNÉGZET (D) -ed mometum: Az vv ~á az vv és E{ } δ> : P( ) (D) Szóráségyzet (a várható érté örül másod mometum): δ E{ } = vv várható értéét értjü { } { E } { } Az vv-a létez a szóráségyzete (varacája), ha az E{ } értée szóráségyzetét σ { } -el jelöljü Tehát: { } E E{ } δ µ = vv-a létez a várható σ = Vagys az vv szóráségyzete az cetralzáltjáa a másod mometuma Szemléletese: az egyes x értéehez tartozó valószíőséget a várható értétıl való elıjeles távolság másod hatváyával (azaz x E{ } -el) súlyozzu Ezért evezzü a szóráségyzetet a várható érté örül másod mometuma A szóráségyzet fogalma erıs árhuzamba állítható a tehetetleség yomaté fza fogalmával, am é a tömegözéot örül másod mometum (T) A szóráségyzet tulajdosága: a, b R : σ a+ b = a σ ) Ha vv és σ { } { } { } ) { } P E{ } σ = = =, vagys csa a ostas vv szóráségyzete (D) Szórás: Az vv szórása a szóráségyzetée oztív égyzetgyöe: { } { } σ =+ σ (T) Steer-tétel: a R : µ { a} =σ { } + E{ } a v { } Secálsa a = eseté: { } { } { } { } { } σ = E a E a σ = E E (általába ezzel számolju a szóráségyzetet) Megjegyzés: ez a tétel egy az egybe megfelel a fzából tault Steer-tétele a R : σ µ a, vagys mde vv-ra gaz, hogy egy (K) Ha vv és σ { }, aor { } { } tetszıleges érté örül másod mometuma aor mmáls, ha ez az érté é a várható ertée C S E{ } (D) Stadardzált: Az vv stadardzáltja az = = vv, szemléletese: σ σ özéotját a -ba tolju és egységy szórásúra zsugorítju Trváls övetezméy, hogy a S σ = ) stadardzált vv várható értée mdg ( E{ S } { } { } = ) és a szóráségyzete mdg ( { } σ ε> ( ε) ε (T) Csebsev-egyelıtleség: Ha vv és σ { } < : P E{ } { } - 6 -

7 II5 NEVEZETES VALÓSZÍNŐSÉGI VÁLTOZÓK ) Kostas dvv ω Ω : ( ω ) = c P( = c, t c ) = ; F ( t ) = { ; E{ } = c; σ { } =, t> c ) Idátor dvv ( IA ) Legye A F és = P( A) > Eor az IA az A-hoz tartozó dátor vv, ha: ( ω ) = {, ω A, ω A P( ) ; P( ) ; E{ } ; { } ( ) = = = = = σ = 3) Egyeletes eloszlású dvv Az Ω= { ω {,,} } és P( A= { ω } ) = véletle ísérlethez tartozó ( ω ) = dvv araméterő egyeletes eloszlású dvv, amelyre:, t + P( = ) = ; F =, < t + ; E{ } = ; σ { } =, t> = 4) Egyeletes eloszlású fvv ( U( [ a,b] ) ) Az fvv az [a,b] tervallumo egyeletes eloszlású, ha eloszlásfüggvéye:, x a x a F ( x ) = b a, a< x b Eor: a b b a b a, x a,b + f x = ; E, x> b { } = ; σ { } =, x a, b 5) Bomáls eloszlású dvv ( B(,), ahol és (,) ) { },, : { } = P = = ; E = ; σ { } = ( ) * { = } = = ( + ) (T) max P, vagys értée legagyobb valószíőséggel * Tus esete(): Legye egy véletle ísérletbe A F egy oztív valószíőségő eseméy = P A ) Hajtsu végre a ísérletet -szer egymástól függetleül, és jelölje az A eseméy ( beövetezésée számát a ísérletsorozatba! 6) Posso-eloszlású dvv ( Po λ, ahol λ> ) λ λ N : = P( = ) = e ; E{ } =λ; σ { } =λ! B, lm = Po λ, vagys a Posso-eloszlás az, (T) Legye Eor,, λ, araméterő bomáls eloszlás határesete, ha tart végtelebe, tart -hoz, de úgy, hogy özbe a szorzatu λ Tus esete(): Az elızı tétel alajá olya szeres ísérletsorozato, ahol az agyo agy, ellebe a megfgyelt eseméy valószíősége agyo cs Pl: ögylosságo száma 7) Geometra eloszlású dvv ( G( ), ahol (,) ) + Z : = P( = ) = ( ) ; E{ } = ; σ { } = Z (T) A geometra eloszlás öröfjú tulajdosága: m, + : P( = m+ > m) = P( = ) Szemléletese azt jelet, hogy az dı múlásával az eseméy beövetezésée esélye em változa, tehát ha már egy órája dobálom a ocát, attól aa az esélye, hogy mostaatól ée harmadra dobo fejet, em változ - 7 -

8 Tus esete(): Egy ísérletet addg hajtsu végre, amíg a valószíőségő A eseméy be em övetez jelölje, hogy az A eseméy háyad ísérlet sorá övetezett be elıször Pl: addg dobju a ocával, amíg 6-ost em dobu 8) Exoecáls eloszlású fvv ( E λ, ahol λ> ) λx λx F ( x ) = e, x> { ; f( x ) = λ e, x> { ; E{ } = ; σ { } =, x, x λ λ (T) Az exoecáls eloszlás öröfjú tulajdosága: Az fvv-ra teljesül, hogy x, t : P x t x P t λ> : E λ > ( < + ) = ( < ) Vagys a tétel azt állítja, hogy az exoecáls eloszlású az egyetle fvv, amely öröfjú tulajdoságú, azaz aa a valószíősége -ba, hogy legfeljebb t-g él ugyaay, mt aa a valószíősége x-be, hogy legfeljebb x+t-g él Szemléletese: a túlélés odícó az dı múlásával em változa Tus esete(): Beredezése élettartalmáa vzsgálata, ahol λ a beredezés meghbásodás valószíősége 9) Hergeometra eloszlású dvv ( Hg( N,F, ), ahol F N és m{ F, N F} F N F ( ) < ) F F F N N : = P = = ; E{ } = ; σ { } = N N N N N F (T) Ha N, F, aor Hg( N, F,) B, N Tus esete(): Egy dobozba va N db golyó: ebbıl F db fehér és N-F db ros Vsszatevés élül húzu db golyót Mey eze özött a fehér? Ilye egyébét a lottóhúzás s: egy - Hg 9,5,5 P = értée adja találatos szelvéy töltésée a valószíőségét egy vv ) Normáls eloszlású fvv ( N (, ) ( x ) µ σ, ahol µ, σ R és σ> ) ( t ) µ x µ σ σ µ, σ µ, σ σ π σ π { } { } f x =ϕ x = e ; F x =Φ x = e dt; E =µ ; σ =σ Ha N(,), aor stadard ormáls eloszlású vv-ról beszélü, és: x f( x) =ϕ ( x) = e ; F ( x) =Φ ( x) = e dt; E{ } = ; σ { } = x π π (T) A φ(x) Gauss-függvéy tulajdosága: áros ( ( x) ( x) t ϕ =ϕ ), flexós helye a + és a -, maxmuma ϕ ( ) =, határértée a végtelebe lmϕ ( x) = lm ϕ ( x) = és ϕ ( x) = xϕ ( x) π x x x µ x µ Φ µ, σ x =Φ ; Φ x =Φµ, σ σ x +µ ; ϕ µ, σ x = ϕ ; ϕ x =σϕµ, σ σ x+µ σ σ σ Tus esete(): Aor haszálju, ha a feladatba megadjá, hogy ormáls eloszlásról va szó (T) - 8 -

9 DISZKRÉT VALÓSZÍNŐSÉGI VÁLTOZÓK: Név Jelölés Eloszlás Várható érté E{ } Szóráségyzet σ Kostas P( = c) = c Idátor I A P = = P = = Egyeletes P( = ) =, {,,} Bomáls B, és, P( = ) = ( ), {,,,} { } ( ) + ( ) Posso Po( λ) Geometra Hergemetra λ> G( ), Hg N,F, F< N és m F, N F { } λ λ P( = ) = e,! N = = P, + Z F N F ( = = ) N P, N λ λ F F F N N N FOLTONOS VALÓSZÍNŐSÉGI VÁLTOZÓK: Név Jelölés Eloszlásfv F Sőrőségfv f E{ } { } σ Egyeletes Exoecáls Normáls U a, b a< b E( λ) λ> N µ, σ σ>, x a x a, a < x < b b a, x b λx e, x>, x Φ x, x a,b b a, x a, b λ > λx e, x, x ( x) = ϕ ( t) dt µ, σ( x) µ, σ µ, σ ( x µ ) a b + λ b a λ σ ϕ = e µ σ σ π Std ormáls N(,) Φ ( x) = ϕ( t) dt ( x) x ϕ = e π x - 9 -

10 III VALÓSZÍNŐSÉGI VEKTORVÁLTOZÓK III VALÓSZÍNŐGSÉGI VÁLTOZÓK EGÜTTES ELOSZLÁSA (D) Valószíőség vetorváltozó: Az : ha ( ) R { } Ω R fv egy -dmezós valószívőség vetorváltozó, t= t,, t : A= ω: ω < t, F, azaz mde lye A megfgyelhetı eseméy (Az A eseméyt a t vetorhoz tartozó ívóeseméye evezzü) Megjegyzés: A valószíőség vetorváltozóat azért vezetjü be, hogy a vv- özött összefüggéseet éyelmese tudju ezel Ietıl a valószíőség vetorváltozó helyett a vvv rövdítést haszálom (T) vvv ha omoese vv (D) Együttes eloszlás és eloszlásfv: Az,,, vv- együttes eloszlásfüggvéye, vagy más = vvv eloszlásfüggvéye F : [,] éve az (,,, ) F ( t) P( A { : t, } ) R salár-vetor fv, ahol = = ω ω <, azaz F értée t-be a t-hez tartozó ívóeseméy valószíősége Megjegyzés: Az eloszlás és az eloszlásfv elméletleg egy cst mást jelet, de gyaorlatlag ugyaaz, hsze ölcsööse egyértelmőe meghatározzá egymást (T) F tulajdosága: ) F változójába mooto ı ( u v : F ( u) F ( v), ahol u v jeletése: : u v ) R ) ) F változójába balról folytoos ( u : lm F ( t) = F ( u) t u 3) Ha -e legalább egy omoesével a --be tartu, aor F értée lesz 4) Ha -e mde omoesével a +-be tartu, aor F értée lesz 5) Legye T : [ a,b) = [ a, b) [ a,b ) a, b) -dmezós tégla és {,} ε dmezós bárs vetor Eor: = ε - P x T = F aε+ b ε, vagys a téglala ε csúcsahoz tartozó eloszlásértée megfelelıe elıjelezett összege soha em egatív (Ez azért va így, mert ez az elıjeles összeg ée aa a valószíősége, hogy a vvv értée a téglateste belülre es, am em lehet egatív, hsze egy eseméy valószíősége) =,, egy -dmezós vvv és egy - (D) Vetület- vagy eremeloszlásfv: Ha ( ) e tetszıleges < omoesébıl álló vvv ( (,, ) = ), aor omoesee együttes eloszlásfüggvéyét az egy -dmezós vetület eloszlásfüggvéyée evezzü F t meghatározza az összes vetület eloszlásfüggvéyét (Fordítva általába em gaz!): (T) F ( : t ) lm F ( t) =, vagys az összes olya omoessel tartu a végtelebe, : t amely cs bee az -ba (D) Az vvv omoese ároét függetlee, ha j: F, ( t, t j) F ( t) F ( t j) =, j j vagys a bármely ét omoes met -dmezós eremeloszlásfüggvéye szorzata megegyez a ét omoes met -dmezós eremeloszlásfüggvéyel : F : t = F t, (D) Az vvv omoese teljese függetlee, ha : vagys a bármely < omoes met -dmezós eremeloszlásfüggvéye szorzata megegyez a omoes met -dmezós eremeloszlásfüggvéyel - -

11 (D) Dszrét vvv: dszrét vvv (rövde: dvvv), ha omoese dvv E = x, aor (D) Ha -dmezós dvvv omoesee értéészlete: { } r = P ( = x ) jelöl az dvvv =,, gaz, hogy: r és r = (D) Folytoos vvv: folytoos vvv (rövde: fvvv), ha f( t) (D) Az fvvv sőrőségfv-e: az a Rema-tegrálható f x = Trválsa gaz, hogy F x f t dt x értévetorához tartozó valószíőséget Trválsa sőrőségfüggvéye t fv, amelyre: t : f t és f( t) dt= (D) Az fvvv eremsőrőségfv-e: az eremeloszlásához tartozó sőrőségfv-t úgy aju f t sőrőségfv-t a eremeloszlás által em tartalmazott omoese szert meg, hogy az tıl + g tegrálju Az általáos élet csúya és áttethetetle, em írom le csa a étváltozós esetet: f u, v Eor az omoeshez tartozó Legye egy -dmezós fvvv sőrőségfv-e: f u f u, v dv eremsőrőségfv-e: = (T) Az fvvv omoese ároét függetlee ha j: f t, t = f t f t,, j j j j (T) Az fvvv omoese teljese függetlee ha : f : t = f t :, III NEVEZETES EGÜTTES ELOSZLÁSOK ) Polomáls eloszlású dvvv ( Pol(,,,, ) r +, ahol, r Z, > és r = ) = Alosso r = P A > legye Hajtsu végre egymástól függetleül -szer a K ísérletet, és jelölje az A eseméy beövetezésée számát ebbe a ísérletsorozatba Eor az vvv olomáls eloszlású: az,,, ) A,, A teljes eseméyredszert egy K véletle ísérletbe úgy, hogy omoese értéészlete az -tıl em agyobb természetes számo halmaza ( { } és az értée özött szoros összefüggés va: összegü ( = ) r r P : = =!, ahol = =! = Megjegyzés: A bomáls eloszlás a olomáls eloszlás secáls esete, ahol r=, a ét eseméy B,, vagys a olomáls eloszlású vvv omoese Továbbá: ( ) edg A és elletettje Továbbá: egyeét bomáls eloszlásúa Tus esete(): Hétszer dobtu a ocával, mey a valószíősége, hogy a dobott számo özött va legalább 3 hatos ) Polhergeometra eloszlású dvvv ( PHg(, F, F,, F) r = r, ahol, F + Z ; m{ F } ) Egy dobozba va F db c szíő golyó Ebbıl (vsszatevés élül) húzu db-ot Jelölje a íhúzott c szíő golyó számát Eor az vvv olhergeometra eloszlású, az,,, ) és omoese értéészlete az -tıl em agyobb természetes számo halmaza ( { } - -

12 az értée özött szoros összefüggés va: összegü ( = ) Továbbá: P( : ) = = r F = N ( ), ahol r = = Megjegyzés: A olomáls és a olhergeometra eloszláso bár agyo hasolítaa, léyeges ülöbség, hogy az elsıél az ísérletet egymástól függetleül hajtottu végre, mg tt mde ísérlet befolyásolja az utáa övetezıet, hsze vsszatevés élül húzu Tus esete(): Mey a valószíősége, hogy a 3 laos ártyaalból húzott la özött l otosa ét -es és ét ász va 3) D tartomáyo egyeletes eloszlású fvvv ( U( D) Legye -dmezós fvvv és D R, ahol térfogata véges Ha m ( D) f x, ha x D =, ha x D r = ) 4) -dmezós ormáls eloszlású fvvv ( N (, ) Általáosa: m D <, vagys a tartomáy -dmezós µ Σ, ahol T µ R ; Σ R oz szemdef) x t Σ x t x τ Σ x τ T f t = e ; F t = e dτ π det Σ π det Σ Secálsa -dmezós esetre: Eloszlásfv-e: µ ; µ= µ σ Σ= ρσσ ρσσ σ, ahol σ, σ > u µ u µ v µ v µ x y ρ + ρ σσ F, x, y e σ σ dvdu tehát a sőrőségfv-e: = πσσ ρ, u µ u µ v µ v µ ρ + ρ σ σσ σ f, u, v = e, πσσ ρ továbbá megmutatható, hogy: N ( µ, σ ) és N (, ) Tus feladat: Ha a sőrőségfv µ σ µ és Σ számítása adott sőrőségfv alajá ( ) B u m + C u m v m + D v m f, u, v = e alaba adott (vagy lye alara π A A C hozható), aor: µ = m ; µ = m ; ρ= ; σ = ; σ = 4+ A C ρ B ρ D Másrészt az s gaz, hogy az A, B, C, D aramétere özül bármely három meghatározza a egyedet Tehát lehet olya feladat (és szoott s le), hogy modju A értée em smert, B, C és D meg vaa adva, és ezebıl ell számol aármt Ilyeor az együttható egyeztetésével ρ a övetezı egyelete írható fel: ( ρ ) σ =, ( ρ ) σ =, ( ρ ) σσ = B D C Az elsı ét egyelet szorzatáa égyzetgyöét összeegyeztethetjü a 3 egyelettel aju, hogy: ρ C C = ρ= ( ρ ) = Ezt vsszaírva az eredet egyeletebe BD C BD 4BD megaju ρ, σ ésσ értéét, ezebıl edg A =σσ ρ - -

13 III3 VALÓSZÍNŐSÉGI VEKTORVÁLTOZÓK TRANSZFORMÁCIÓI (T) Legye olya -dmezós fvvv, hogy f ívül Legye továbbá u : D H x sőrőségfv-e eltő a D R tartomáyo R bjetív és dfferecálható traszformácó Eor az = u fvvv sőrőségfv-ét az alább módo számíthatju: y H ; ülöbe, ahol J y az u leéezés Jacob-mátrxa: J( y) ( ) f y = f u y det J y, ha = j, ahol j a,b a,b ua = y (T) Két fvv összegée (ülöbségée) eloszlása: Legye és fvv és jelölje f ( x, y ) eze együttes sőrőségfüggvéyét Eor a Z Ha és függetlee s, aor: Z, f x f t, x t dt = ± fvv sőrőségfv-e: f x f t f x t dt Z = =, am a ét sőrőségfv ovolúcója Pl: Normáls eloszláso ovolúcója: Ha N ( µ, σ ) és N (, ) µ σ, aor: + N µ +µ, σ +σ, vagys a várható értée és a szóráségyzete összeadóda (T) Két dvv összegée eloszlása: Ha és emegatív egészértéő dvv, aor a Z = + szté emegatív egészértéő dvv eloszlása: P( Z= ) = P( =α, = α) α=,, N eseté Ha és függetlee s, aor: P( Z= ) = P( =α ) P( = α) Pl: Posso-eloszláso ovolúcója: Ha és egymástól függetlee és Posso-eloszlásúa, Po, Po + Po λ+µ azaz ( λ) ( µ ), aor: (T) Legye -dmezós dvvv és g : α= = g dvv, eor: ha E{ } E{ } = g( x) P( = x) (T) Legye -dmezós fvvv és g : R R tetszıleges -változós valós fv Legye továbbá = g fvv, eor: ha { } { } x R R tetszıleges -változós valós fv Legye továbbá E E = g x f x dx (K) Tetszıleges vvv omoesere teljesül: E E{ } = (K) Ha, függetle vv- és létez a várható értéü, aor E{ } = E{ } E{ } (T) Ha, orrelálatla vv- és létez a szóráségyzetü, aor { } { } { } σ ± =σ +σ Megjegyzés: A fet éldá és ez utóbb tétele haszálata gyara megöyít az életüet a feladatmegoldáso sorá, tehát érdemes észbe tarta ıet! A VVV-K TRANSZFORMÁCIÓIVAL KAPCSOLATOS FELADATOK MEGOLDÁSA: Alafeladat, sma egyváltozós: U( 5,8), eressü az eloszlásfv-ét és sőrőségfv-ét Abból dulu, hogy t 5 = U( 5,8), tehát F ( t) = 3, ha t ( 5,8) (Elıtte, utáa természetese) Tehát: t F t = 5 = P( < t) = P( < t) = P( > ) = P( < ), ahol t ( 5,8) azaz: ( t 5 8 t t, ) Ie: = = P( < ) = F, vagys F ( t ), t (, ) t t t 8 8t 3 3 t t 8 5 = = 3 3t b - 3 -

14 Ezt derválva aju a sőrőségfv-t: f ( t ) 8, t (, ) = + 3 t 8 5 Kovolúcós: Legyee, U(,) egymástól függetlee és Z= + Kérdés: f t Valószíőgés változó összegét ovolúcóval számolu, ehhez általáos esetbe ell az együttes f u, v = f u f v, vagys: sőrőségfüggvéy, de mvel a ét változó függetle, ezért f t = f τ, t τ dτ= f τ f t τ dτ Z,, Nylvá f( t) f( t), t (,) Ezért az tegrálást tartomáyoét ell elvégez: ( ) =, t, : f t Z t, : f t = dτ= t Z t, Z Az tegrálás határoat az döt el, hogy az f (, t ) Várható értées: f u, v u v, u, v,, t, : f t = dτ= t = =, ülöbe, Z t Z t, : f t = τ τ szorzat mor, vagys: <τ, τ< ), = + Kérdés: E{ + } Tudju, hogy mdeor: E{ + } = E{ } + E{ } Ezért számolju a eremsőrőségfv-eet (ugyebár a más változó szert tegrálással): [ ] = = + = + = +, hasolóa f v v f u f u, v dv u vdv u v v u, Ie: { } E = tf t dt= t + tdt= t + t =, hasoolóa { } E + = E + E = + = 6 Tehát: { } { } { } ) f ( u, v) 6u v, u, v (,), = Kérdés: { } E = + 7 E = β Csa a traszformácós életre ell emléez Legye: g ( α, β ) =, eor Z g(,) Ezért: { } v, u E Z = g u, v f u, v dudv= 6u vdudv= 6v dv= α = = III4 KOVARIANCIA (D) Kovaraca: Az, vv- ovaracája cov(, ) E{ ( E{ } )( E{ } )} C C Vagys a ovaraca a cetralzált vv- szorzatáa a várható értée: cov(,) E{ } =, ha létez = (T) cov(, ) = E{ } E{ } E{ } Megjegyzés: általába ezzel számolu ovaracát (T) Ha, függetlee, aor cov(, ) = Vsszafelé általába em gaz! (T) A ovaraca tulajdosága: cov, = cov,, vagys a ovaraca ommutatív ) ) cov(, ) { } =σ, hsze: 3) cov( α +β, Z) =α cov(, Z) +β cov(, Z) { } C { C } { } cov, = E =µ =σ Megjegyzés: Eze a tulajdoságo (fıleg és 3) gyara felhaszálható a feladatoba σ ± =σ +σ ± cov, (T) { } { } { } (T) Schwarz-egyelıtleség: { } { } cov, σ σ Megjegyzés: Aalóga fgyelhetı meg a ovaraca és a síbel vetoro salárs szorzása özött: - 4 -

15 cov, { } σ{ } σ{ } x, y σ x, x = x cov, x, y x y De ez csuá egy érdeesség, em ell tud! III5 KORRELÁCIÓS EGÜTTHATÓ (D) Korrelácós együttható: Az, vv- orrelácós együtthatójá a stadardzáltju S S cov(, ) ovaracáját értjü: R(,) = cov(, ) = σ σ { } { } A Schwarz-egyelıtleség trváls övetezméye, hogy R(,) (D) Ha, vv-ra R(,) =, aor azt modju, hogy és orrelálatlao (T) R(,) = P( a b) Továbbá eor teljesül, hogy: R(, ) sg( a) = + =, vagys a ét vv özött leárs acsolat áll fe = T (D) Várhatóérté-vetor: Az -dmezós vvv ~a az E{ } E{ },,E{ } (D) Kovaracamátrx: Az -dmezós vvv ~a a cov(, j) (T) Σ szmmetrus és oztív szemdeft, azaz a R : a Σa Pl: -dmezós ormáls eloszlás: Ha N (, ) σ σ >, aor, = vetor Σ= -s mátrx µ σ ρσσ µ Σ, ahol µ=, Σ= és µ ρσσ σ R, =ρ Továbbá teljesül, hogy, függetlee ρ= FELADATOK KOVARIANCIÁRA ÉS KORRELÁCIÓS EGÜTTHATÓRA: Eze a feladato általába a ovaraca tulajdoságara voatozó életere alaoza! Pl: +, U, cov, = ), U =, Feladat: Legyee függetlee (vagys Vα =α + ( α ) Mvel egyelı cov( U,V α ), ha α (,)? Megoldás: A ovaraca tulajdosága alajá: cov U, V = cov, α + α =α cov, + α cov, = ( α) cov(, ) cov(, ) cov(, ) cov(, ) { } { } = = σ + σ α α α α α α III6 REGRESSZIÓ (D) Dvv- feltételes eloszlása: Legyee és dvv- Eor az P( = x,= y) = P( = x = y) = eloszlást az -e az = y eseméyre vett P = y feltételes eloszlásáa evezzü Eze eloszláso halmazát az -e az -ra vett feltételes eloszlásáa evezzü Vagys az feltételes eloszlás tulajdoée em s eloszlás, haem eloszláso halmaza Azt mutatja meg, hogy az egyes = y eseméye beövetezése eseté (amelye mellesleg teljes eseméyredszert alota) mlye eloszlást mutat Tehát az vv smeretébe határozzu meg az eloszlását T - 5 -

16 (D) Dvv- feltételes várható értée (regresszója): Legyee és dvv- Eor az -e az -ra vett feltételes várható értéé (regresszójá) az E( ) valószíőség változót értjü, amelye eloszlása: P( E( ) = ) = P( = y ) { } := E Tehát míg a feltételes eloszlás eloszláso halmaza, addg a regresszó egy eloszlás, vagys vv, amely szemléletese azt mér, hogy egy vv eloszlásáa smeretébe hogya öveteztethetü az vv várható értéére, vagys alajá hogya tudju megbecsül -et Természetese mél szorosabb az összefüggés és özött, aál jobb ez a becslés Gyaorlat alalmazása l amor egy eheze, vagy egyáltalá em mérhetı vv-t szereté mér (ez az ), és ezt úgy érjü el, hogy egy más, vele szoros acsolatba lévı, és öye mérhetı vv alajá (ez az ) róbálu öveteztet Ezt haszáljá l az dıjárás elırejelzésbe s, ahol a elövetezı ao dıjárását szereté megbecsül (ez az, am ugyebár em mérhetı), és ehhez az elmúlt ao dıjárását vesz fgyelembe (ez, amt vszot álladóa mére), hsze eze özött azért vaa összefüggése Mél szorosabba eze az összefüggése, aál otosabba az elırejelzése E egy jelölés, am egy valószíőség változót jelöl Megjegyzés: Fotos, hogy az (D) Fvv- feltételes eloszlásfv-e: Legye az és fvv- együttes eloszlásfv-e F, ( u, v ) Eor az -e az -ra voatozó feltételes eloszlásfv-e: v F, ( u, v) F ( u v) = P( < u = v) =, vagys az együttes eloszlásfv v szert arcáls f v derváltjáa és a met eremsőrőségfv-e a háyadosa F u, v, (D) Fvv- feltételes sőrőségfv-e: Legye az és fvv- együttes eloszlásfv-e, együttes sőrőségfv-e f,( u, v ) Eor az -e az -ra vett feltételes sőrőségfüggvéye: f,( u, v) f ( u v) = F ( u v) =, vagys az együttes sőrőségfv-e és az met u f ( v) eremsőrőségfv-e a háyadosa (K) A defícó trváls övetezméye, hogy: ( v) f = f v u f u v f u (D) Fvv- regresszója: Legye az és fvv- Eor -e az -ra vett feltételes várható E = r vv-t értjü, ahol: értéé (regresszójá) az uf u, v du, az ú regresszós görbe f( v ) r y = uf u v du= A dszrét esetre írt magyarázat természetese a folytoos esetre s voatoz Itt elsısorba az oozhat roblémát, hogy elég hasoló jelölése tömelegét haszálju, amelye azoba merıe mást jeletee, de gyaorlatlag (vagys feladato sztjé) csa az együttes és a eremsőrőségfveel való számolgatás az egész, ezért azoat ehhez jól ell tud! (T) A regresszó tulajdosága: { } E{ } ) E E( ) = Szemléletese ez azt jelet, hogy egy vv () várható értée em változ, ha azt (-et) egy más vv-ra vett regresszójával ( E( ) -al) özelítjü ) Ha, függetlee, aor E( ) E{ } aor -et úgy tudju özelíte, hogy -tól függetleül mdg E{ } -e vesszü az értéét Azaz ha semmlye lussz formácó em áll redelezésüre, aor a várható érté a legjobb özelítés = ostas vv Vagys ha -a cs öze -hez, 3) A regresszó leárs mővelet: E( ) E( ) E( ) α +α =α +α - 6 -

17 = g( ) E( ) 4) E g { } { } 5) E E( ) E f, vagys az E regresszó a lehetı legjobb özelítése -e (a égyzetes eltérése mmáls) (D) Leárs regresszó: A lehetı legjobb (legsebb égyzetes eltéréső) leárs özelítés, * * vagys: ha és vv-, aor az a + b vv az -e az -ra vett leárs regresszója, ha: * { } { } E a b* E a b, a,b R eseté Megjegyzés: Bár a leárs regresszó em feltétleül a lehetı legjobb özelítést adja, de a regresszóval elletétbe a leárs regresszó statsztalag mérhetı * * (T) Az -e az -ra vett leárs regresszója az a + b vv, ahol: * cov(, ) σ{ } * * a = = R (, ) és b = E{ } a E{ } σ σ { } { } A leárs regresszó számításához tulajdoée csa ezera a életere va szüség! Pl: dmezós ormáls eloszlás regresszója: A jól smert µ, µ, ρ, σ, σ araméterő σ σ dmezós ormáls eloszlás regresszója: E( ) =ρ +µ ρ µ, am leárs, hsze: σ σ * σ * σ a =ρ és b =µ ρ µ Ez feladatoba elıfordulhat, ezért esetleg célszerő lehet σ σ megjegyez! FELADATOK REGRESSZIÓRA: A regresszóval acsolatos feladatoat alavetıe ét csoortra lehet oszta: az egybe a feltételes eloszlást és/vagy a regresszót ell számol más adato alajá, míg a másba a feltételes eloszlás alajá ell számol más adatoat Ez utóbba ülöös smertetıjele, hogy a feladat szövegébıl lehet hámoz, vagys fel lehet ír a feltételes eloszlást Nézzü elıször erre egy éldát: Feladat: A és özött az egyeletes eloszlás törvéye szert választu egy számot Ezutá a és özött szté az egyeletes eloszlás törvéye szert választu egy számot Mey a P > valószíőség? f ( v u ) feltételes sőrőségfv? Mey a Megoldás: Tudju, hogy: f ( u ), t (, ) = Másrészt érezhetjü, hogy az -a az -re voatoztatott feltételes eloszlása a szövegbıl hámozható : v F ( v u) = P( < v = u) = < v< u< Ie a feltételes sőrőségfv: u f ( v u) = F ( v u ) =, v< u<, ambıl az együttes sőrőségfv számolható: v u f,( u, v) = f ( v u) f( u ) =, < v< u< Nylvávaló, hogy: u u P( > ) = dvdu = du ( l( u) ) ( l ) 53 u = = u Ném magyarázat az tegrálás határora: ugye u mehet -tıl -g, hsze ha -tıl sebb, aor -tıl sebb, aor em lehete -tıl agyobb, ugyaaor v -tıl mehet u-g, hsze -a - U, él agyobba ell lee, vszot em lehet agyobb -él, hsze Nézzü most egy éldát a más tíusú feladatra: - 7 -

18 Feladat: Legye, együttes sőrőségfv-e f ( u, v) = u+ v, u, v (,) Mey az Megoldás: Elıször felírju az -a az -re vett feltételes sőrőségfv-ét: f,( u, v) u+ v u+ v f ( v u) = = = Tudju, hogy f( u) u + 5 u+ vdv + v E = vf v dv= v dv= v+ v dv=, Feladat: Legye, együttes sőrőségfv-e, E( )? + E? f u, v =, u, és < v< u Mey az Megoldás: Most s elıször felírju az -a az -re vett feltételes sőrőségfv-ét: f,( u, v) f ( v u ) = = =, u u (,) és < v< u Ie: f( u) u dv v ( ) ( ) E = vf v dv= v dv= = = IV VALÓSZÍNŐSÉGI TÖRVÉNEK Ezt a témaört a jegyzet tömöre, mégs érthetıe elmagyarázza és szemléltet, ée ezért tt a teljesség géye élül csa egy rövd összefoglalót észíte a defícóról és tételerıl, amolya vzsga elıtt gyors smétlés jelleggel, a részletes magyarázat és a szemléltetés, valamt a éldafeladato megoldással együtt a jegyzetbe megtalálhatóa Másrészt ebbıl a témaörbıl a aratersztus fv-t véve em agyo szoott feladat elıfordul (esetleg a agy számo törvéyéhez, de az s csa rtá) Ugyaaor állítólag a szóbel elıszeretettel érdeze elméletet agyrészt ebbıla témaörbıl, így aztá a szóbelz szerete, az feltétleül észüljö fel ezebıl (Állítólag megér szóbelz, ha az ember agyjából tsztába va az ayaggal) IV VALÓSZÍNŐGSÉGI VÁLTOZÓK SOROZATAINAK KONVERGENCIÁJA Az alább defícóba :,,,, és vv- (D) valószíőséggel overgál -hez, ha P ({ ω: lm ( ω ) = ( ω )}) = Jele: (D) L r ormába overgál -hez, ha { r L r lm E } = Jele: (D) sztochasztusa overgál -hez, ha ({ }) st v ε> : lm P ω: ω ω >ε = Jele: (D) eloszlásba overgál -hez, ha = mde olya t R, ahol F ( t ) lm F t F t folytoos, vagys F ( t ) otoét overgál F (T) L st e v t -hez Jele: e - 8 -

19 IV NAG SZÁMOK TÖRVÉNEI (T) Beroull-féle gyege ala: Egy K véletle ísérletbe legye A F egy P( A) = oztív valószíőségő eseméy Hajtsu végre K-t egy véletle ísérletsorozatba, és legye az A-a az -ed ísérletbe való beövetezésée dátor valószíősége: IA Eor az r A = relatív gyaorságra teljesül, hogy: r ( A) P( A) = st Megjegyzés: A Borel-féle erıs ala azt állítja, hogy a fet feltételeel r ( A) P( A) v s teljesül (T) Csebsev-féle gyege ala: Legyee az,,,, vv- ároét függetlee és azoos eloszlásúa úgy, hogy létezzé µ= E{ } özös várható értéü és d =σ { } özös és véges szóráségyzetü Eor a Z st = vv-sorozatra teljesül, hogy: Z µ = (T) Kolmogorov-féle erıs ala: Legyee az,,,, vv- teljese függetlee, létezzé µ= E{ } özös várható értéü és szóráségyzetüre teljesüljö a a Z v = vv-sorozatra gaz, hogy: Z µ = IV3 KARAKTERISZTIKUS FÜGGVÉN σ { } (D) A Z= + omlex értéő vv várható értée az E{ Z} E{ } E{ } (D) Karatersztus fv: Az vv ( t) < feltétel Eor = = + omlex szám tx t E e E cos t E s t f x e dx ϕ aratersztus fv-e az sőrőségfv-ée Fourer- t traszformáltja, vagys: { } { } { } (T) A aratersztus fv tulajdosága: ϕ és ϕ = ) ( t ) ) ( t) ϕ egyeletese folytoos R -e 3) ( t) ϕ = = + = ϕ oztív szemdeft függvéy, vagys, t,, t ϕ( t tl) z zl = l= 4) ϕ ( t) =ϕ ( t),, teljese függetlee, aor: ϕ ( t) = ϕ ( t) 5) Ha 6) Ha elsı mometuma létez, aor ( t) ( t) R és z,,z C eseté ϕ -szer dfferecálható és () µ ϕ ϕ ( t) = + o( t ) ahol µ = E{ } = =! 7) Mde eloszlást egyértelmőe meghatároz a aratersztus fv-e Ha fvv, aor tx f( x) = ϕ ( t) e dx π - 9 -

20 NÉHÁN ELOSZLÁS KARAKTERISZTIKUS FÜGGVÉNE: ) Geometra eloszlás: Ha G( ) ( t) ) Egyeletes eloszlás: Ha U( a, b) ( t) 3) Exoecáls eloszlás: Ha E( λ ) t e ϕ = t e tb e e ϕ = t b ta ( a) t λ ϕ = λ t 4) Stadard ormáls eloszlás: Ha N(,) 5) Normáls eloszlás: Ha N ( µ, σ ) a b t ϕ = t e σ t t e µ t ϕ = = eseté ( t) s bt ϕ = bt IV4 CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁS TÉTELEK e (T) Helly-tétel: lm ( t) ( t) ϕ =ϕ (T) Cetráls határeloszlás tétel: Legyee,,,, vv- teljese függetlee, azoos eloszlásúa és létezzé a szórásu Haszálju továbbá az alább jelöléseet: µ= E{ }, d=σ { } és Z S teljesül, hogy: Z N(,) S Z µ = Eor Z stadardzáltja Z = = ( ) = µ és d d = e S, tehát < =Φ lm P Z t t (T) Movre-Lalace-tétel: A cetráls határeloszlás tétel secáls esete, amor IA, S P( A) = Eor Z = B(,) és lm Z = lm ( µ ) = N(,), vagys = = ha egy végtele ísérletsorozat sorá megfgyeljü az A eseméyt, aor a fet Z vv stadardzáltja a stadard ormáls eloszláshoz fog tarta B,, ahol agyo agy, aor az vv stadardzáltja jó özelítéssel a stadard (K) Ha S ormáls eloszlás lesz, vagys: N(,) JELMAGARÁZAT (A) axóma (D) defícó (T) tétel (K) övetezméy MEGJEGZÉSEK Készítette: Gáthy Lajos II évf mőf hallgató Készült: a Ketseméty-féle elıadásoo elhagzotta és a jegyzet alajá (egy-ét helye a saját észrevételemet s tartalmazza) A éldafeladato legagyobb gyeezetem szert ZH- és vzsgacetrusa Az esetleges hbáért elézést ére! Az észrevételeet, javaslatoat és hbajelzéseet szívese várom az címre Verzó: 7 ovember 3 A legfrssebb verzót eresd a webe: htt://wwwhszbmehu/~gl55/ - -

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...!

Részletesebben

A Sturm-módszer és alkalmazása

A Sturm-módszer és alkalmazása A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle

Részletesebben

Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS

Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS Jegyzet ELE, Iformata Kar Hegedős: Numerus Aalízs ARALOM Gép szám, hbá 3 Normá, egyelıtlesége 9 3 A umerus leárs algebra egyszerő traszformácó 6 4 Mátro LU-felbotása, Gauss-Jorda

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László Valószíűségszámítás Ketskeméty László Budapest, 996 Tartalomjegyzék I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 3. Kombatorka alapfogalmak 4 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 6. A valószíűségszámítás alapfogalma

Részletesebben

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR védőeryő az ismeretleek záporába VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR www.matektaitas.hu www.matektaitas.hu ifo@matektaitas.hu 1 védőeryő az ismeretleek záporába Kombiatorika Permutáció Ismétlés élküli permutáció

Részletesebben

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA 9. LINÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKA Az 5. fejezetbe már megmeredtü a leár trazformácóal mt a leár leépezée egy ülölege típuával a 6. fejezetbe pedg megvzgáltu a leár trazformácó mátr-reprezetácóját.

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

Kevei Péter. 2013. november 22.

Kevei Péter. 2013. november 22. Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Ftéstechnika I. Példatár

Ftéstechnika I. Példatár éecha I. Példaár 8 BME Épülegépéze azé éecha I. példaár aralojegyzé. Ha özeoglaló... 3.. Hvezeé...3.. Háadá....3. Hugárzá...6.. Háoáá....5. Szgeel axál hleadáához arozó ül áér....6. Bordázo vezeé.... Sugárzá...5.

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

matematikai statisztika 2006. október 24.

matematikai statisztika 2006. október 24. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................

Részletesebben

specific (assignable) cause: azonosítható, tettenérhető (veszélyes) hiba megváltozott a folyamat

specific (assignable) cause: azonosítható, tettenérhető (veszélyes) hiba megváltozott a folyamat ELLENŐRZŐ KÁRTYÁK méréses mősítéses commo cause: véletle gadozás secfc (assgable) cause: azoosítható, tetteérhető (veszélyes) hba megváltozott a folyamat Mősítéses elleőrző kártyák 41 Mősítéses elleőrző

Részletesebben

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 202.03.0. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

Laboratóriumi mérések

Laboratóriumi mérések Laboratórum mérések. Bevezetı Bármlye mérés ayt jelet, mt meghatároz, háyszor va meg a méredı meységbe egy másk, a méredıvel egyemő, ökéyese egységek választott meység. Egy mérés eredméyét tehát két adat

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011 MÉRÉSTECHNIKA DR. HUBA ANTAL c. egy. taár BME Mechatroka, Optka és Gépészet Iformatka Taszék 0 Rövde a tárgyprogramról Előadások tematkája: Metrológa és műszertechka alapok Mérés adatok kértékelése Időbe

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

=... =...e exponenciális alakú a felírása. komplex számok nagyságai és x tengellyel bezárt szögei. Feladat: z1z 2

=... =...e exponenciális alakú a felírása. komplex számok nagyságai és x tengellyel bezárt szögei. Feladat: z1z 2 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MECHANIKA - REZGÉSTAN ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK Eméet édése és váaso eyetem aapépésben (BS épésben) éstvevı ménöhaató sámáa (0) Matemata aapo A eméet édése öött seepehetne

Részletesebben

A fény diszperziója. Spektroszkóp, spektrum

A fény diszperziója. Spektroszkóp, spektrum A éy diszpeziója. Speoszóp, speum Iodalom [3]: 5, 69 Newo, 666 Tiszább, élesebb szíépe ad a öveező eledezés A speum szíe ovább má em boaó. A speum szíee úja egyesíve eé éy apu. Sziváváy Newo Woolsope-i

Részletesebben

(4) Adja meg a kontinuum definícióját! Olyan szilárd test, amelynek tömegeloszlása és mechanikai viselkedése folytonos függvényekkel leírható.

(4) Adja meg a kontinuum definícióját! Olyan szilárd test, amelynek tömegeloszlása és mechanikai viselkedése folytonos függvényekkel leírható. SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MECHANIKA - REZGÉSTAN ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK Eméet édése és váaszo eyetem aapépzésben (BS épzésben) észtvevő ménöhaató számáa () Adja me az anya pont defníóját! defníó:

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése 3 4 Tartalomegyzék. BEVEZETÉS 5. A MÉRÉS 8. A mérés mt folyamat, fogalmak 8. Fotosabb mérés- és műszertechka fogalmak 4.3 Mérés hbák 8.3. Mérés hbák csoportosítása eredetük szert 8.3. A hbák megeleítés

Részletesebben

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi kar Vicze Gergely Trazies káosz yitott biliárdasztaloko Msc szakdolgozat Témavezető: Tél Tamás, egyetemi taár Elméleti Fizikai Taszék Budapest, 2012 1 Tartalom

Részletesebben

3.3 Fogaskerékhajtások

3.3 Fogaskerékhajtások PTE, PMMK Stampfer M.: Gépelemek II / Mechaikus hajtások II / 7 / 3.3 Fogaskerékhajtások Jó tulajoságaikak köszöhetőe a fogaskerékhajtóművek a legelterjetebbek az összes mechaikus hajtóművek közül. A hajtás

Részletesebben

INTERFERENCIA - ÓRAI JEGYZET

INTERFERENCIA - ÓRAI JEGYZET FZKA BSc,. évfolya /. félév, Optika tárgy TERFERECA - ÓRA JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 8. AJÁLOTT SZAKRODALOM: ALAPFOGALMAK Klei-Furtak, Optics Richter, Bevezetés a oder optikába Bor-Wolf, Priciples of

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

/CSAK ISKOLAI HASZNÁLATRA!/ GÉPELEM FELADATOK. II. rész KÉSZÍTETTE: SZEKERES GYÖRGY

/CSAK ISKOLAI HASZNÁLATRA!/ GÉPELEM FELADATOK. II. rész KÉSZÍTETTE: SZEKERES GYÖRGY /CSAK ISKOLAI HASZNÁLATRA!/ GÉPELEM ELAATOK II. ré KÉSZÍTETTE: SZEKERES GYÖRGY . elaa: árcá egelykapcoló Tegelykapcolók A ábrá lévı árcá egelykapcolóval yoaéko áraauk á. A egao aaokkal, haárouk eg a cavarok

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

A mágneses tér energiája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek

A mágneses tér energiája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek A mágneses tér energája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek A mágneses tér energája Egy koncentrált paraméterű, ellenállással és nduktvtással jellemzett tekercs Uáll feszültségre kapcsolásakor az

Részletesebben

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek TÁMOP-4../A/-/-0-005 Egészségügy Ügyvtelszervező Szakrány: Tartalomfejlesztés és Elektronkus Tananyagfejlesztés a BSc képzés keretében Bostatsztka e-book Dr. Dnya Elek Tartalomjegyzék. Bevezetés a mátrok

Részletesebben

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Kockázati folyamatok Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Szeged, 2012. szi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Kockázati folyamatok 2012. szi félév 1 / 48 Bevezetés A kurzus céljai

Részletesebben

Tómács Tibor. Matematikai statisztika

Tómács Tibor. Matematikai statisztika Tómács Tibor Matematikai statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Matematikai statisztika Eger, 01 Szerző: Dr. Tómács Tibor főiskolai docens Eszterházy Károly

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):

Részletesebben

2. Igazolja, hogy a dugattyús kompresszorok mennyiségi foka a. összefüggéssel határozható meg? . Az egyenletből fejezzük ki a hasznos térfogatot:

2. Igazolja, hogy a dugattyús kompresszorok mennyiségi foka a. összefüggéssel határozható meg? . Az egyenletből fejezzük ki a hasznos térfogatot: Fúó & Kmresszr /. Egy Rts-fúó muadugattyújáa átmérője 40 m, hssza m, eresztmetszete 88 m. Határzzu meg a fúó száítótejesítméyét a éeges ymás, ha a éeges frduatszám 00 frd/mi! Mera a fúó tejesítméyszüségete,

Részletesebben

Villamos kapcsolókészülékek BMEVIVEA336

Villamos kapcsolókészülékek BMEVIVEA336 Villamos kapcsolókészülékek BMEVIVEA336 Szigetelések feladatai, igénybevételei A villamos szigetelés feladata: Az üzemszerűen vagy időszakosan különböző potenciálon lévő vezető részek (fém alkatrészek

Részletesebben

Feladatok megoldással

Feladatok megoldással Fladatok mgoldással. sztmbr 6.. Halmazrdszrk. Igazoljuk! A \ B A r (A r B) (A [ B) r ((A r B) [ (B r A)) Mgoldás. A r (A r B) A \ A \ B A \ A [ B A \ A [ (A \ B) A \ B (A [ B) r ((A r B) [ (B r A)) (A

Részletesebben

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,

Részletesebben

ANALÓG-DIGITÁLIS ÉS DIGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓK

ANALÓG-DIGITÁLIS ÉS DIGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓK F3 Bev. az elektroikába E, Kísérleti Fizika Taszék ANALÓG-IGITÁLIS ÉS IGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓK Az A és A átalakítók feladata az aalóg és digitális áramkörök közötti kapcsolat megvalósítása. A folytoos

Részletesebben

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat:

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat: JÁRATTERVEZÉS Kapcsolatok szert: Sugaras, gaárat: Járattípusok Voalárat: Körárat: Targocás árattervezés egyszerű modelle Feltételek: az ayagáram determsztkus, a beszállítás és kszállítás dőpot em kötött

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

Dr. Balogh Albert: A statisztikai adatfeldolgozás néhány érdekessége

Dr. Balogh Albert: A statisztikai adatfeldolgozás néhány érdekessége Dr. Balogh Albert: A statszta adatfeldolgozás éháy érdeessége Kérdése:. Hogya becsüljü a tapasztalat eloszlásfüggvéyt? 2. M az a redezett mta? 3. M az a medá rag és mlye becslése vaa?. Hogya becsüljü a

Részletesebben

Miskolci Egyetem, Gyártástudományi Intézet, Prof. Dr. Dudás Illés

Miskolci Egyetem, Gyártástudományi Intézet, Prof. Dr. Dudás Illés 6. MENETMEGMUNKÁLÁSOK A csavarfelületek egyrészt gépelemek összekapcsolására (kötő menetek), másrészt mechanizmusokban mozgás átadásra (kinematikai menetek) szolgálnak. 6.1. Gyártási eljárások a) Öntés

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................

Részletesebben

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása

Részletesebben

2. előadás: További gömbi fogalmak

2. előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

UJJLENYOMATOK FELISMERÉSE

UJJLENYOMATOK FELISMERÉSE Babeş Bolyai Tudomáyegyetem Matematia Iformatia ar Iformatia sza UJJLENYOMATOK FELISMERÉSE Uleyomatépe feldolgozása, osztályozás euroális hálóal, azoosítási célú összehasolítás Vezetőtaár: Dr. Soós Aa

Részletesebben

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009 86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek

Részletesebben

(2) A R. 3. (2) bekezdése helyébe a következő rendelkezés lép: (2) A képviselő-testület az önkormányzat összes kiadását 1.1369.

(2) A R. 3. (2) bekezdése helyébe a következő rendelkezés lép: (2) A képviselő-testület az önkormányzat összes kiadását 1.1369. Enying Város Önkormányzata Képviselő-testületének 20/2010. (X. 05.) önkormányzati rendelete az Enying Város Önkormányzatának 2100. évi költségvetéséről szóló 7/2010. (II. 26.) önkormányzati rendelete módosításáról

Részletesebben

MAGYAR RÉZPIACI KÖZPONT. 1241 Budapest, Pf. 62 Telefon 317-2421, Fax 266-6794 e-mail: hcpc.bp@euroweb.hu

MAGYAR RÉZPIACI KÖZPONT. 1241 Budapest, Pf. 62 Telefon 317-2421, Fax 266-6794 e-mail: hcpc.bp@euroweb.hu MAGYAR RÉZPIACI KÖZPONT 1241 Budapest, Pf. 62 Telefon 317-2421, Fax 266-6794 e-mail: hcpc.bp@euroweb.hu Tartalom 1. A villamos csatlakozások és érintkezôk fajtái............................5 2. Az érintkezések

Részletesebben

Komputer statisztika gyakorlatok

Komputer statisztika gyakorlatok Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes

Részletesebben

Kecskeméti Fıiskola GAMF Kar Informatika Tanszék. Johanyák Zsolt Csaba

Kecskeméti Fıiskola GAMF Kar Informatika Tanszék. Johanyák Zsolt Csaba Kecskeméti Fıiskola GAMF Kar Informatika Tanszék Johanyák Zsolt Csaba 003 Tartalomjegyzék. Bevezetés.... A megbízhatóság fogalmai..... A termék idıtıl függı képességei...... Használhatóság /Üzemkészség/

Részletesebben

Statisztikai programcsomagok

Statisztikai programcsomagok Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés

Részletesebben

Energetikai minőségtanúsítvány összesítő

Energetikai minőségtanúsítvány összesítő Földvár Terv Kft Energetikai minőségtanúsítvány 1 Energetikai minőségtanúsítvány összesítő Épület: Megrendelő: Tanúsító: 5 lakásos társasház Paks, Kossuth Lajos utca 4. Hrsz.: 864. Viczai János GT/17-0469

Részletesebben

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése 3.1.1. Rugalmas elektroszórás 45 3.1.1. Rugalmas elektroszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése Aray, ikkel, szilícium és grafit mitákról rugalmasa visszaszórt elektrook eergiaeloszlását mértem

Részletesebben

P É N Z Ü G Y I B E F E K T E T É S É S F I N A N S Z Í R O Z Á S hallgatói óravázlat (Nappali B. Sc. képzés)

P É N Z Ü G Y I B E F E K T E T É S É S F I N A N S Z Í R O Z Á S hallgatói óravázlat (Nappali B. Sc. képzés) . HIL. KTITS TLK egyeem doces T É Z Ü G Y I F K T T É S É S F I S Z Í O Z Á S hallgaó óravázla (appal. Sc. épzés) - lérheıség: 5. aszé roda vagy ase@pmm.pe.hu - Kozulácós leheısége: Héfı 5:-6: özö a -5.

Részletesebben

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée DR BENKŐJÁNO gátudoáy Egyete Gödöllő Mg Gépt Itézet gyoozgáú gépzeezete tevezéée foto lépée z egyelete, ezgéete üzeet bztoító

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA FEGYVERNEKI SÁNDOR Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Készült a HEFOP-3.2.2-P.-2004-10-0011-/1.0

Részletesebben

2007/2008. tanév. Szakács Jenő Megyei Fizika Verseny I. forduló. 2007. november 9. MEGOLDÁSOK

2007/2008. tanév. Szakács Jenő Megyei Fizika Verseny I. forduló. 2007. november 9. MEGOLDÁSOK 007/008. tané Szakác Jenő Megyei Fizika Vereny I. forduló 007. noeber 9. MEGOLDÁSOK 007-008. tané - Szakác Jenő Megyei Fizika Vereny I. forduló Megoldáok. d = 50 = 4,4 k/h = 4 / a) t =? b) r =? c) =?,

Részletesebben

Hajtástechnika \ Hajtásautomatizálás \ Rendszerintegráció \ Szolgáltatások MOVITRAC B. Üzemeltetési utasítás. Kiadás: 2009. 05.

Hajtástechnika \ Hajtásautomatizálás \ Rendszerintegráció \ Szolgáltatások MOVITRAC B. Üzemeltetési utasítás. Kiadás: 2009. 05. Hajtástechka \ Hajtásautomatzálás \ Redszertegrácó \ Szolgáltatások MOVITRAC B Kadás: 2009. 05. 16810961 / HU Üzemeltetés utasítás SEW-EURODRIVE Drvg the world Tartalomjegyzék 1 Fotos tudvalók... 5 1.1

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz

Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz Építőkari Matematika A3 1. Ha E(X = 1 és D 2 (X = 5, határozzuk meg (a E[(2 + X 2 ], (b D 2 (4 + 3X értékét. 2. Legyenek X 1, X 2,... független azonos eloszlású

Részletesebben

Távközlő hálózatok és szolgáltatások Kapcsolástechnika

Távközlő hálózatok és szolgáltatások Kapcsolástechnika Távözlő hálózato és szolgáltatáso Kapcsolástechia émeth Krisztiá BME TMIT 015. ot. 1-8. A tárgy felépítése 1. Bevezetés. IP hálózato elérése távözlő és ábel-tv hálózatoo 3. VoIP, beszédódoló 4. Kapcsolástechia

Részletesebben

Hitelderivatívák árazása sztochasztikus volatilitás modellekkel

Hitelderivatívák árazása sztochasztikus volatilitás modellekkel Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudomány Kar Budapest Corvnus Egyetem Közgazdaságtudomány Kar Hteldervatívák árazása sztochasztkus volatltás modellekkel Bztosítás és pénzügy matematka MSc Kvanttatív

Részletesebben

Valószínőségszámítás és statisztika elıadások Mérnök informatikus BSc szak MANB030, MALB030

Valószínőségszámítás és statisztika elıadások Mérnök informatikus BSc szak MANB030, MALB030 Valószínőségszámítás és statisztika elıadások Mérnök informatikus BSc szak MANB030, MALB030 2. téma Feltételes valószínőség, függetlenség Példák feltételes valószínőségekre. Feltételes valószínőség definíciója.

Részletesebben

P a r c iá lis v í z g ő z n y o m á s [ P a ]

P a r c iá lis v í z g ő z n y o m á s [ P a ] Energetikai minőségtanúsítvány 1 Energetikai minőségtanúsítvány összesítő Épület: Védőnői szolgálat épülete, Kál Főút alsó 6. Hrsz 1228 Megrendelő: Kál Nagyközség Önkormányzata Tanúsító: Vereb János 3368.

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke:

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke: A PÉNZ IDİÉRTÉKE A péz értéke többek között az idı függvéye. Ha idıbe késıbb jutuk hozzá egy jövedelemhez, akkor elveszítjük aak lehetıségét, hogy az eltelt idıbe azt befektessük, azaz elesük aak hozamától,

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

Méretlánc átrendezés a gyakorlatban (Készítette: Andó Mátyás, a számonkérés az elıadás és a gyakorlat anyagára is kiterjed.)

Méretlánc átrendezés a gyakorlatban (Készítette: Andó Mátyás, a számonkérés az elıadás és a gyakorlat anyagára is kiterjed.) Andó Mátyás: Méretlánc átrendezés a gyakorlatban, 21 Gépész Tuning Kft. Méretlánc átrendezés a gyakorlatban (Készítette: Andó Mátyás, a számonkérés az elıadás és a gyakorlat anyagára is kiterjed.) 1. CNC

Részletesebben

/ CSAK ISKOLAI HASZNÁLATRA / GÉPJÁRMŐ SZERKEZETEK MÉRETEZÉSI FELADATOK ÖSSZEÁLLÍTOTTA: SZEKERES GYÖRGY

/ CSAK ISKOLAI HASZNÁLATRA / GÉPJÁRMŐ SZERKEZETEK MÉRETEZÉSI FELADATOK ÖSSZEÁLLÍTOTTA: SZEKERES GYÖRGY / CSAK ISKOLAI HASZNÁLATRA / GÉJÁRMŐ SZERKEZETEK MÉRETEZÉSI FELAATOK ÖSSZEÁLLÍTOTTA: SZEKERES GYÖRGY α. Feadat: Az iert é záított adatokka atározzuk eg: a, Az eekedéi eenááa zebeni vonóerıt b, Az eez zükége

Részletesebben

Energetikai minőségtanúsítvány összesítő

Energetikai minőségtanúsítvány összesítő Energetikai minőségtanúsítvány 1 Energetikai minőségtanúsítvány összesítő Épület: Épületrész (lakás): Megrendelő: Tanúsító: 6. emelet 25. lakás Vértesy Mónika TÉ-01-63747 Az épület(rész) fajlagos primer

Részletesebben

Acélcsövek szilárdsági számítása (írta: Bokros István)

Acélcsövek szilárdsági számítása (írta: Bokros István) célcsöe sziládsági száíása (ía: oos Isán). eezeés. Véonyfalú egyenes cs éeezése els úlnyoása. Csíe éeezése els úlnyoása 4. Hfeszülsége éonyfalú csöeen 5. Vasagfalú cs iszán ugalas állaoa 6. Vasagfalú cs

Részletesebben

Statisztikai alapismeretek (folytatás)

Statisztikai alapismeretek (folytatás) Statisztikai alapismeretek (folytatás) 3. elıadás (5-6. lecke) Az alapsokaság fıbb jellemzıi () 5. lecke Folytonos változó megoszlásának jellemzése A sokasági átlag és szórás Átlag és szórás tulajdonságai

Részletesebben

Elektromágneses terek gyakorlat - 6. alkalom

Elektromágneses terek gyakorlat - 6. alkalom Elektromágneses terek gyakorlat - 6. alkalom Távvezetékek és síkhullám Reichardt András 2015. április 23. ra (evt/hvt/bme) Emt2015 6. alkalom 2015.04.23 1 / 60 1 Távvezeték

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat

Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat 1. Egy borfajta alkoholtartalmának meghatározására méréseket végzünk. Az egyes mérések eredményei egymástól független valószínûségi változók, melyek normális eloszlásúak,

Részletesebben

Energetikai minőségtanúsítvány összesítő

Energetikai minőségtanúsítvány összesítő Energetikai minőségtanúsítvány 1 Energetikai minőségtanúsítvány összesítő Épület Épületrész (lakás) Megrendelő Polgármesteri Hivatal 3350. Kál szent István tér 2 Teljes épület Kál Nagyközség Önkormányzata

Részletesebben

Segédlet Egyfokozatú fogaskerék-áthajtómű méretezéséhez

Segédlet Egyfokozatú fogaskerék-áthajtómű méretezéséhez Pécsi Tudományegyetem Pollack Mihály Műszaki Kar Gépszerkezettan tanszék Segédlet Egyfokozatú fogaskerék-áthajtómű méretezéséhez Összeállította: Dr. Stampfer Mihály Pécs, 0. . A fogaskerekek előtervezése.

Részletesebben

Statisztikai módszerek

Statisztikai módszerek Statisztikai módszerek A hibaelemzı módszereknél azt néztük, vannak-e kiugró, kritikus hibák, amelyek a szabályozás kivételei. Ezekkel foglalkozni kell; minıségavító szabályozásra van szükség. A statisztikai

Részletesebben

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t. Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is

Részletesebben

ľ ľ ő ü ő ő ő ü ü ő ľ ń ő ő ü ľ ö ü É Íľ ľ É É ą Á É Ü É Ü ą Á É Í Ü É ľ É Ü É É ľ ľé ľ ü ź ź Í ő ő ľ ő ő ů ľ Ü ö ľ ö ź ö ö ő ľ ź ű ľ ö ö ö ő ő ľ ź ľ ő ť ľ ü ę ü ľ ľ ľ ľ ú ő ź ő ć úő ő ú ľ ú ť Ł Ż Á ľ

Részletesebben

6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK

6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK 6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK A techikai fejlettég mai zívoalá az azikro motor a legelterjedtebb villamo gép, amely a villamo eergiából mechaikai eergiát (forgó mozgát) állít elő. Térhódítáát a háromfáziú váltakozó

Részletesebben

, &!!! )! ),!% ), &! )..! ). 7!# &!!,!! 6 ) &! & 6! ) &!! #! 7! ( % ) ) 0!! ) & 6 # &! #! 7.!#! 9 : %!!0!

, &!!! )! ),!% ), &! )..! ). 7!# &!!,!! 6 ) &! & 6! ) &!! #! 7! ( % ) ) 0!! ) & 6 # &! #! 7.!#! 9 : %!!0! !!#!! % & (! )!!! ) +, &!!! )! ),!% ), &! )..! ). /% 0) / # ) ( ), 1!# 2 3 4 5 (!! ( 6 # 7!# &!!,!! 6 ) &! & 6! ) &!! #! 7! 8!!,!% #(( 1 6! 6 # &! #! # %& % ( % ) ) 0!! ) & 6 # &! #! 7.!#! 9 : %!!0!!!,

Részletesebben

Oktatási segédlet REZGÉSCSILLAPÍTÁS. Dr. Jármai Károly, Dr. Farkas József. Miskolci Egyetem

Oktatási segédlet REZGÉSCSILLAPÍTÁS. Dr. Jármai Károly, Dr. Farkas József. Miskolci Egyetem Oktatási segélet REZGÉSCSILLAPÍTÁS a Nemzetközi Hegesztett Szerkezettervező mérnök képzés hallgatóinak Dr. Jármai Károly, Dr. Farkas József Miskolci Egyetem 4 - - A szerkezeteket különböző inamikus hatások

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben