A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS"

Átírás

1 A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása potosa leírható volt. Az elektromos és mágeses jeleségek egyesítése a Maxwell egyeletekbe egybe azt is igazolta, hogy a féy elektromágeses hullám. Kísérleti úto Hertz mutatta meg az elektromágeses hullám létezését és a féyhez hasoló tulajdoságait. A termodiamika hatalmasat fejlődött, igazolást yert a mechaikai eergia és a hőeergia ekvivaleciája, végleges kimodásra került az eergia megmaradásáak törvéye. A fizika és kémia hatalmas fejlődése mide korábbiál agyobb műszaki fejlődést idított el be Nicolaus August Otto a Párizsi Világkiállításo mutatta be a világítógáz hajtású motorját, ezzel megidul a robbaó motorok bámulatos fejlődése. Tesla váltóáramú hálózata átütő sikert arat a villamos eergia átvitelbe, a háromfázisú áram bevezetésével a traszformátorok és váltóáramú villaymotorok rohamosa terjedek. Marcoi a Hertz hullámok segítségével 191-be rádiókapcsolatot teremtett az Atlati óceáo át. A tudomáy és techika látváyos sikerei elleére még bőve maradtak olya kérdések, többek között a fizikába is, melyek megoldása váratott magára. Az egyik ilye probléma volt az éter létezéséek, mit a féy feltételezett hordozójáak kimutatása. A Michelso- Morley-féle optikai kísérletek próbálták meghatározi a Föld abszolút sebességét az éterbe, de a kimutatás em sikerült. A gordiuszi csomót Albert Eistei speciális relativitáselmélete oldotta meg 195-be (ma sem mideki számára elfogadhatóa). A fizika másik agy kérdése a hőmérsékleti sugárzás értelmezése volt a már akkoriba általáosa ismert és elfogadott elektromágeses elmélet alapjá. A kor fizikusaiak többsége azoba meg volt győződve arról, hogy ezek a kérdések idővel egyszerűe és köye meg fogak oldódi. A huszadik század elejé azoba rádöbbet a fizikus társadalom, hogy az apró hiáyosságokak számító problémák megoldása em kapcsolható össze a korábbi ismeretekkel. A klasszikus fizika ezzel lezárult a századforduló, és a huszadik század beköszöte mide korábbiál gyorsabb és főleg meglepőbb felfedezéseket, felismeréseket hozott. A moder fizika kezdetét éppe az a hőmérsékleti sugárzás értelmezése jeletette, mely korábba sok godot okozott a fizikusokak. A moder fizika épülete két alapvető pillérre épül, a relativitáselméletre és a kvatummechaikára. Midkét elmélet a huszadik század elejé született és gyökerese felforgatta a klasszikus fizikai világképet, mely a tizekilecedik század végére kialakult és véglegesek tűt. Eistei relativitáselmélete a klasszikus fizika csúcspotjáak és egybe a lezárásáak tekithető, míg Max Plack ( , Nobel-díj: 1918-ba) kvatumhipotézise (19), mely a hőmérsékleti sugárzás megértéséből fakadt, egy teljese új fizikai szemlélet kialakulásáak kezdetét jeletette. Eistei és Plack elmélete a fizikába az évek sorá hatalmas sikerekre vezetett és ez a sikertörtéet a mai apig tart. A köyv jele fejezetébe Plack kulcsfotosságú eredméyét, a hőmérsékleti sugárzás elméletét vizsgáljuk meg egy teljese új megvilágításba. Ha egy test melegebb a köryezetéél, akkor hőt, azaz elektromágeses sugárzást bocsát ki a köryezetébe. Magasabb hőmérséklete a testek emcsak hőt, féyt is bocsátaak ki. Ezt a sugárzást evezzük hőmérsékleti sugárzásak, melyről egyértelműe bebizoyosodott, hogy elektromágeses sugárzás. Kirchoff 186-ba megmutatta, hogy a hőmérsékleti sugárzás vizsgálatáál fotos szerepe va aak a testek, amelyik mide ráeső sugárzást elyel. Ezt a testet evezik abszolút fekete testek. Az abszolút fekete test természetese em feltétleül fekete szíű, ha például sokkal melegebb a köryezetéél, akkor lehet akár izzó fehér, mit A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS Sarkadi Dezső 29. február 1

2 például a Nap. Kirchoff megfigyelte, (külöböző ayagokkal kísérletileg bizoyította), hogy bár az ayagokak más és más a féyemisszió (e) és féyabszorpció (a) képessége, de a kettő háyadosa ayagtól függetle kizárólag csak a hőmérséklet és a kibocsátott vagy elyelt sugárzás hullámhossz függvéye: e1 e2 e3 E = =... = = E ( λ, T ); ( A = 1). (1.1) a a a A Itt A az abszolút fekete test abszorpció képességét jelöli, melyet célszerűségből egységyiek választhatjuk. Az abszolút fekete test emisszió képességét itt kivételese E -vel jelöljük (E másutt az eergia jele). A fekete test kísérletileg meghatározott emissziós görbéit a hullámhossz függvéyébe az 1. ábra mutatja. 1. ábra: Az abszolút fekete test emissziós görbéi a hullámhossz függvéyébe, külöböző T abszolút hőmérséklete. Az 1. ábra egyszerű értelmezése céljából idézzük emlékükbe például egy vascső hegesztését. Ha a csövet (közelítőleg fekete test) hegesztő pisztollyal melegítjük, a vascső sötét pirosa kezd világítai, ez a agyobb féyhullámhosszhoz, és relatíve alacsoy hőmérséklethez tartozik. A további melegítés hatására a vascső élékpiros lesz, majd lassa sárgássá válik, ez a hőmérséklet övekedés következméye. Túlmelegítés eseté a vascső felülete kékes-fehére izzik, és ilyekor már gyorsa megolvadhat a cső ayaga. Az 1. ábra azt is mutatja, hogy az abszolút fekete test mide hőmérséklete sugároz, a látható és em-látható hullámhosszako egyarát, és a sugárzási spektrum folytoos. A sugárzási görbék alatti terület, mely aráyos a kisugárzott eergiával, a hőmérséklettel rohamosa övekszik. Már az 188-as évekbe a kísérleti és elméleti vizsgálatok megmutatták, hogy a fekete test egységyi felülete által kisugárzott összteljesítméy (mide hullámhosszra összegezve, azaz a folytoos hullámhosszra itegrálva) az abszolút hőmérséklet egyedik hatváyával aráyos: P sug σt A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS Sarkadi Dezső 29. február 4 =. (1.2) 2

3 Ez a híres Stefa-Boltzma törvéy, ahol a σ álladó értéke: 5.67 x 1-8 W/m 2 K 4. Wie eltolódási törvéye azt modja ki, hogy a maximális erősségű sugárzás hullámhossza a fekete test spektrumába a hőmérséklet övekedésével fordította aráyba csökke, ezt mutatja az 1. ábra is. Wie, aki Helmholtz taítváya volt, itezíve foglalkozott a fekete test sugárzás kísérleti eredméyeivel, tisztá elméleti úto vezette le a következő összefüggést 1894-be: max 3 ( ) λ T = b = álladó = x méter K. (1.3) Ez a törvéy mid a mai apig igazak bizoyult és egybe az utolsó olya törvéy a hőmérsékleti sugárzásra, mely a klasszikus termodiamika és a klasszikus statisztikus fizika alapjá le lehetett vezeti. A hőmérsékleti sugárzás fizikai jeletősége miatt az 18-as évek végé soka próbálták fizikailag értelmezi az E(λ,T) kísérletileg meghatározott függvéyt, a sikertele próbálkozások közül kettőt szokás kiemeli. Egyrészt maga Wie is adott egy értelmezést, mely csak a kis hullámhosszakra adott magyarázatot. Rayleigh és Jeas közelítései csak agy hullámhosszako adtak helyes eredméyt. A klasszikus fizikai magyarázatok azoba midkét esetbe végtele agy sugárzási eergiákra vezettek, amik fizikailag elfogadhatatlaok. A probléma megoldását Plack olya iráyba kereste, hogy hogya lehete elkerüli a végtele agy sugárzási teljesítméyt. Hogya lehete illesztei az elméleti görbéket a kísérletileg mért korlátos eergiájú görbékre? Plack godolatmeetébe közpoti szerepet játszottak a fekete test oszcillátorai (atomok, molekulák, stb.), melyek a hőmérsékleti sugárzás, (elektromágeses sugárzás) forrásai. A számításai akkor vezettek helyes eredméyre, ha feltételezte, hogy a fekete test oszcillátor eergiák csak diszkrét értékeket vehetek fel, azaz kvatáltak: = hf h ω; ( = 1, 2, 3,...). (1.4) E A képletbe h a Plack álladó és a h = h / 2π egy külö jelölése a Plack álladóak, csak egy kostas szorzóval külöbözik az eredeti h-tól. A képletbe f a féy frekveciája, és ω = 2πf, az ú. körfrekvecia. A Plack álladó 2π-vel osztott alakjáak kiejtése: h-voás. Fotos megjegyezi, hogy a Plack álladóak, illetve aak 2π-vel osztott változatáak dimeziója egyarát eergia x idő, és ez egybe az impulzusmometum (perdület, spi) dimeziója is. Plack a (1.4) feltevéssel az ismert termodiamikai és statisztikus fizikai eredméyeket kiegészítve, a hőmérsékleti sugárzás eergiasűrűség eloszlására a következő eredméyt kapta: 8πhc 1 ε( λ, T ) = 5 hc/ λkt, (1.5) λ e 1 amely jól illeszkedett a mérési görbékre. Az (1.4) posztulátum szerit az oszcillátor eergiák egyeese aráyosak az oszcillátor frekveciájával, és az eergia értékek csak lépcsőzetese, ugrásszerűe változhatak. A klasszikus mechaikába az oszcillátorok eergiája a frekvecia égyzetével aráyos, tehát a frekveciába lieáris oszcillátor eergia is már kétkedésre adott okot. Ráadásul a lépcsőzetes változású (kvatált) eergia teljes képteleségek tűt, hisze az egész klasszikus fizika végig a folytoos matematikára épült. Plack élete végéigkételkedett eredméyéek valós fizikai tartalmába, az eergia kvatálását pusztá 3 A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS Sarkadi Dezső 29. február

4 matematikai segédeszközek, és a h Plack álladót pusztá görbeillesztési paraméterek tekitette. A továbbiakra tekitettel az eergiasűrűség függvéyt megadjuk a sugárzási frekvecia (és a körfrekvecia) függvéyébe is: f hf ( f, T) π ; 3 / (, T hf kt ) ω h ε = ε ω = ω 2 3 h / kt c e 1 π c e ω 1. (1.6) Mivel a féysebesség vákuumbeli értéke gyakorlatilag azoos a levegőbe, a hullámhosszat és a frekveciát a c=fλ képlet kapcsolja össze. Összehasolítva a (1.5) és (1.6) képleteket, a c=fλ képlet em teljesül. Az eltérések az itegráltraszformáció következméyei, ugyais a megadott eergiasűrűség képletek hullámhossz, illetve frekvecia szeriti itegráljai ugyaazt az eredméyt, a Stefa-Boltzma törvéyt kell, hogy kiadják. A statisztikus fizika szempotjából fotos a hőmérsékleti sugárzás oszcillátoraiak átlagos eergiája, ez a (1.6) képletből a következő téyező: (, T ) h / ε ω = e ω hω kt 1. (1.7) 2. A sugárzási törvéy alteratív levezetései Plack sugárzási törvéyéhez alteratív fizikai modelleke keresztül is eljuthatuk, amely bizoyítja a sugárzási törvéy külöleges szerepét és uiverzalitását. Maga Plack a sikeres levezetésébe klasszikus termodiamikai fogalmakra, kiemelte az etrópiára támaszkodott. Debye 191-be az átlagos oszcillátor eergia képletét Plack kvatált oszcillátor-eergia posztulátumából közvetleül vezette le. Debye a Maxwell-Boltzma eloszlásak megfelelő súlyozott átlagolással számolta ki az átlagos oszcillátor eergiát, ugyais apró matematikai trükkel köye igazolható, hogy: ε ( ω,t ) = hωe e hω/kt hω/kt e hω 1 hω/kt. (2.1) A legtöbb taköyv Debye levezetését tartalmazza, mivel ezzel elkerülhetők a hosszadalmas termodiamikai godolatmeetek ba Eistei még egy további alteratív fizikai kép alapjá jutott el a sugárzási törvéyhez. Eistei statisztikus módszert alkalmazott az atomok emissziós és abszorpciós folyamataira, kiegészítve ezeket az spotá emisszió fogalmával. Az alteratív fizikai modell kialakítása viszoylag köye met, mivel a végeredméy már ismert volt. Fotos viszot, hogy ez az új fizikai kép igecsak termékeyítőe hatott a későbbi kvatummechaika fejlődésére. Eistei példája mutatja, hogy egy-egy fizikai jeleség alteratív fizikai értelmezése további eredméyekre vezethet. A Plack sugárzási törvéyét megismerve, magam is találtam egy egyszerű fizikai magyarázatot a fekete test sugárzási spektrumára, potosabba az átlagos oszcillátor eergia fizikai hátterére. A műszaki gyakorlatból jól ismert a zajspektrum fogalma. A mechaikus A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS Sarkadi Dezső 29. február 4

5 forgógépek, de az elektroikus készülékek működése közbe is fellépek zajok, ezeket ma már potos műszerekkel kiválóa lehet méri. (A zajok az ifrahag tartomáytól, a hallható tartomáyo keresztül, az ultrahag tartomáyba is jeletkezhetek.) Az elektroikus készülékekbe fellépő zajok természetese em hallható zajok, haem a villamos áram gyors rezgései. Az elektroikus zajok, megfelelő elektroikus eszközzel felerősítve, hagszóróval tehetők hallhatóvá. A mérhető zajspektrum midig áll egy alapfrekveciából és a felharmoikusokból. A felharmoikus frekveciák az alapfrekvecia egész-számú többszörösei. Fehérzaj eseté a zajspektrumba elméletileg mide frekvecia folytoosa, egyelő itezitással előfordul, ez főleg az elektroikus készülékekre jellemző. Már rége igazolást yert, hogy az elektroikus készülékekbe fellépő zajok túlyomó részbe termikus zajok, azaz a készülékalkatrészek hőmérsékletéek övekedésével ezek aráya övekszik. Az elektroikába gyakra előforduló, egyszerű ohmikus elleállásak például köye kimérhető a termikus zaja, amely spektrumát tekitve fehérzaj. Az elleállás hőmérsékletéek csökketésével a mérhető fehérzaj is csökke. A rádiócsillagászatba alkalmazott rádióvevők érzékey detektorait emiatt szokás hűtei, egésze az abszolút zéruspot közelébe. A műszaki gyakorlatba tehát fotos feladat a zajok csökketése, mivel egyrészt a zajok rotják a mechaikus gépek hatásfokát, másrészt az alkatrészek fölösleges kopását, sérülését okozhatják. A em-megegedett mértékű villamos eredetű zajok az elektroikus készülékekbe külöböző zavarokat, hibás működéseket okozhatak. A zajok mérésére szerkesztett mai műszerek képesek zajteljesítméyt is méri. A mechaikai gépekél, illetve elektroikus eszközökél a zajok fölösleges eergiát yelek el, mely eergia em haszosul, általába termikus disszipációra (melegedésre) vezet. A fizikai képből természetese az is következik, hogy a zajteljesítméy által okozott termikus disszipáció mértéke csak véges lehet, ezért a magasabb frekveciájú zajok teljesítméye a frekvecia övekedésével szükségszerűe csökke. A zajspektrum teljes frekveciatartomáyra vett itegrálja tehát csak véges érték lehet, és éppe ez a legfotosabb követelméy a fekete test sugárzás teljesítméyspektrumára is. A zajteljesítméy spektrum a gyakorlatba diszkrét frekveciákból áll, ezért az itegrált teljesítméy összeg alakba írható fel: = P p( ω ) <. (2.2) A legegyszerűbb, azaz a legkevesebb, egyetle paramétert tartalmazó végtele sorozat, amelyek összege véges, a mértai sorozat, ezért (2.2) lehet a következő: p( ω ) βω ( e ) = p q P( ω) p =. (2.3) Itt p, β, ω kostasok, a q = exp ( βω) paraméter egyél kisebb szám, ezért a végtele mértai sorozat összegképletét alkalmazva: A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS Sarkadi Dezső 29. február ( ). (2.4) P( ω ) = p q = p / 1-q A teljes P zajteljesítméy a zajforrások által időegység alatt disszipált eergiák összege. Ebből következik, hogy a (2.4) eredméy összevethető a fekete test sugárzás átlagos oszcillátor 5

6 eergiájával. A fekete test sugárzása úgy is értelmezhető, hogy a fekete test zajspektrummal sugároz. A fekete test oszcillátor sugárzási teljesítméye tehát megegyezik (2.4)-el, amely aráyos a fekete test átlagos oszcillátor eergiájával: Az aráyosság teljesül, ha: p / q P( ω ) = p /(1- q) hω ~ / kt 1/ q-1 e hω -1 1 q e = e p q ω βω hω/ kt / ; / ~ A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS Sarkadi Dezső 29. február. (2.5) h. (2.6) Eredméyüket összefoglalva, a hőmérsékleti sugárzó fekete test az elektromágeses tér T hőmérsékletű zajgeerátoráak tekithető. 3. A foto fogalma Plack sugárzási elmélete hamar megtermékeyítette a század eleji fizikát. Eistei eek alapjá magyarázi tudta a féyelektromos hatást, bevezetve a foto fogalmát. Niels Bohr ( ) Plack elméletét követve zseiálisa megalkotta a hidrogé atom kvatumos modelljét 1913-ba, ezzel megtette az első lépést a kvatummechaika felfedezéséhez. Eistei szerit egy féykvatum (a foto) eergiája: E = hf hω. (3.1) Eistei léyegébe eek az elemi képletek köszöhetőe kapta a Nobel díjat 1921-be, mivel ezzel az egyszerű képlettel meg tudta magyarázi a megvilágított fémből kirepülő elektrook mozgási eergiáját (féyelektromos effektus). Az elektrook mozgási eergiáját ugyais em a megvilágítás erőssége, haem a féy szíe, azaz frekveciája határozza meg. A féy fotookból áll, melyek eergiáját a feti képlet adja, Plack felismerése szerit. A fotoak például ics amplitúdója, elletétbe a féyhullámokkal. Ezek szerit a féy kettős természetű, az adott kölcsöhatás módjától függ, hogy hogya viselkedik. Optikai kísérletekbe köye kimutatható a féy hullámtulajdosága (iterferecia, féyelhajlás), viszot más kísérletekél, mit a fet ismertetett féyelektromosság eseté kvatumosa viselkedik. Ezzel eljutottuk a fizika súlyos, megoldhatatlaak látszó problémájához: a mikrovilág, úgymit az elektrook, atomok, molekulák és természetese a foto em képzelhető el szemléletes makroszkopikus modellbe. Soka próbálkoztak már az atom, mit térbeli objektum lerajzolásával, térbeli modellezésével. A vegyészek a kémia szempotjából többékevésbé sikerese modellezik az atomot, talá mideki emlékszik arra az iskolai demostrációs eszközre, mely a külöböző atomokat külöböző szíű golyókkal modellezi, és az atomok kötéseit összekötő pálcikákkal (vegyértékekkel) teszi szemléletessé. Sajos a mikrovilág valósága em ilye egyszerű. Ha viccesek akaruk lei, az atomot a biológusok valamilye egysejtű léyek, a méhek hatszögletűek, a yulak káposzta formájúak képzelik. Az atomot egy speciális eszközzel úgymod, le lehet féyképezi, ez az ú. téremissziós mikroszkóp. Eek részleteit itt em ismertetjük, mivel számos taköyvbe, szakköyvekbe megtaláljuk. Fotos tudi azoba, hogy az ilye atommikroszkóp az atomokból álló fémkristály rácsak csak egy iterfereciaképét adja, mely kaleidoszkópképhez hasolatos, de egésze biztosa em az atomok valós féyképe. Miért em lehet leféyképezi az atomot? Az ok végteleül egyszerű, egy atom megvilágítás hatására féyfelvillaást, egy specifikus szíű (meghatározott eergiájú) fotot bo- 6

7 csát ki egy időpillaatba, egyetle potból. A féyképek síkba elredezett képpotokból kell állia, ezt egyedül egyetle atom em tudja produkáli, csak azo atomok sokasága, melyekből egy makroszkopikus tárgy áll. Eek a rövid kitérőkek értelme csupá abba állt, hogy be kell látuk, a mikrovilágot szemléletese em tudjuk elképzeli, egyetle megismerési eszközük csak a matematika marad. A matematikai modellekek tükröziük kell a kísérleti adatokat, a mérhető foto eergiákat, az atom, vagy molekula szíképét (spektrumát), stb. Ma már a mikrovilág számtala kísérleti adata redelkezésükre áll, a fizika alapvető feladata, hogy ezeket miél potosabba értelmezi tudja. A Plack álladó a legtöbb esetbe az emittált, vagy abszorbeált foto eergiájáak kifejezésébe fordul elő. A foto az elektromágeses hullám kvatuma, zérus yugalmi tömegű, ezért a részecske kifejezés talá túl erős. A foto mégis részecskéek számít abba az értelembe, hogy va saját impulzusmometuma (ezt spiek evezzük, mely a részecskék meghatározó tulajdosága, a foto spije egységyi). Kísérletileg lehet a fotook akár egyekéti detektálása is, de eek részleteibe itt em megyük bele. A moder fizika érdeklődéséek súlypotja az ayag és a fotook kölcsöhatása. Ebbe kulcsszerepet játszik a foto, mit az elektromágeses tér eergia és impulzus hordozója. A fotot jellemző fizikai adatok összefoglalva a következők: A foto eergiája: A foto impulzusa: A foto spije: A foto hullámhossza: E = hω p = E / c = hω / c S = h λ = c / f c / 2πω Va még egy fotos tulajdosága a fotoak, éspedig a polarizációs állapota. Már rége ismert volt a klasszikus elektrodiamikából, hogy az elektromágeses hullám traszverzális hullám. Az elektromágeses hullámokba, így a féyhullámokba is az elektromos és mágeses erőterek váltakozva, egymásra merőlegese, és a terjedés iráyára is merőlegese oszcillálak. Egy közöséges féyforrás (egy közöséges izzólámpa féye, de maga a apféy is) olya elektromágeses hullámokból áll, amelybe a térerősségek iráya tetszőleges a terjedés iráyára merőleges síkba. Ezt evezzük polarizálatla féyek. Polarizátor segítségével kiszűrhetők azok a féyhullámok (fotook), melyekbe a térerősségek azoos iráyokba oszcillálak. Eek az elvek alapjá működek a polarizációs apszemüvegek, melyek két, egymásra merőleges polarizátort tartalmazak egymással fedésbe. A külső polarizátor által átegedett polarizált féyt a belső polarizátor csak abba az esetbe egedi át, ha a két polarizátor szűrési iráya megegyezik. Ameyibe az egyik polarizátort lassa elfordítjuk a másikhoz képest, a apszemüveg egyre kevesebb féyt eged át. Ezzel érhető el a apszemüveg féyerő szabályozása. Mesterséges elektromágeses hullámokat állítaak elő a külöböző rádió-, és televíziós adók, rövidebb hullámhosszako ezekél is megvalósítható polarizált hullámkibocsátás. Hogy a közeli adók e zavarják egymást, szokásos vízszites, illetve függőleges polarizációjú adással sugározi, és a vevőateát ezért kell vízszites, illetve függőleges síkba állítai. Hasoló megoldásokat alkalmazak a sok csatorá, egy időbe párhuzamosa sugárzó műholdas TV-adók is, az egyes csatorák megbízható szétválasztására. Az eergiakvatálás területé az os évek jeletették a agy áttörést, Heiseberg, Schrödiger, Pauli, Dirac és mások mukásságáak köszöhetőe, akik megalkották a mechaika mikrovilágra érvéyes változatát, a kvatummechaikát. A kvatummechaika kissé módosította Plack által megadott (1.4) oszcillátor-eergia képletet: A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS Sarkadi Dezső 29. február 7

8 E = ( + 1/2) hω ; E = h ω/2; ( =, 1, 2,...). (3.2) A képletbe E az oszcillátor ú. zéruspoti eergiáját jelöli, melyet az oszcillátor em tud kisugározi. Ez azt fejezi ki, hogy az atomi oszcillátorokak még a legalacsoyabb hőmérséklete, az abszolút zéruspoto is marad kietikus eergiájuk, tehát az ayag mozgása abszolút ulla hőmérséklete sem szűik meg. A kvatummechaika azt is megmutatta, hogy a kvatált harmoikus oszcillátor (KHO) által emittált, vagy abszorbeált eergia mide esetbe kizárólag csak h ω értékű lehet: E = E E = ± hω; ( = 1, 2, 3...;m = m 1). (3.3) m A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS Sarkadi Dezső 29. február 8

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése 3.1.1. Rugalmas elektroszórás 45 3.1.1. Rugalmas elektroszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése Aray, ikkel, szilícium és grafit mitákról rugalmasa visszaszórt elektrook eergiaeloszlását mértem

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés kapcsolatába törtéelmileg három fejlődési típus vázolható fel: megelőző, lácszerűe együtt haladó, utólagosa

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

Csapágyak üzem közbeni vizsgálata a csavarhúzótól a REBAM 1 -ig 2

Csapágyak üzem közbeni vizsgálata a csavarhúzótól a REBAM 1 -ig 2 ÜZEMFENNTARTÁSI TEVÉKENYSÉGEK 3.9 Csapágyak üzem közbei vizsgálata a csavarhúzótól a REBAM 1 -ig 2 Gergely Mihály okl. gépészmérök, Acceleratio Bt. Budapest Tóbis Zsolt doktoradusz, Miskolci Egyetem Gépelemek

Részletesebben

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója

Részletesebben

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása Az új építőipari termelőiár-idex részletes módszertai leírása. Előzméyek Az elmúlt évekbe az építőipari árstatisztikába egy új, a korábba haszálatos költségalapú áridextől eltérő termelői ár alapú idexmutató

Részletesebben

Jelen tanulmány tartalma nem feltétlenül tükrözi az Európai Unió hivatalos álláspontját.

Jelen tanulmány tartalma nem feltétlenül tükrözi az Európai Unió hivatalos álláspontját. Jele taulmáy tartalma em feltétleül tükrözi az Európai Uió hivatalos álláspotját. TARTALOMJEGYZÉK 1 GEOTERMIKUS HŐHASZ OSÍTÁS LEHETŐSÉGEI... 4 1.1 Direkt hévíz haszosítási javaslat... 4 1.2 Hőszivattyús

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

3.3 Fogaskerékhajtások

3.3 Fogaskerékhajtások PTE, PMMK Stampfer M.: Gépelemek II / Mechaikus hajtások II / 7 / 3.3 Fogaskerékhajtások Jó tulajoságaikak köszöhetőe a fogaskerékhajtóművek a legelterjetebbek az összes mechaikus hajtóművek közül. A hajtás

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

Hosszmérés finomtapintóval 2.

Hosszmérés finomtapintóval 2. Mechatroika, Optika és Gépészeti Iformatika Taszék kiadva: 0.0.. Hosszmérés fiomtapitóval. A mérések helyszíe: D. épület 53-as terem. Az aktuális mérési segédletek a MOGI Taszék holapjá érhetők el, a www.mogi.bme.hu

Részletesebben

AZ ÉPÜLETGÉPÉSZETI RENDSZEREK ENERGIA-HATÉKONYSÁGÁNAK KÉRDÉSEI

AZ ÉPÜLETGÉPÉSZETI RENDSZEREK ENERGIA-HATÉKONYSÁGÁNAK KÉRDÉSEI AZ ÉÜLETGÉÉSZETI RENDSZEREK ENERGIA-HATÉKONYSÁGÁNAK KÉRDÉSEI Szivattyúzás - rövide örös Szilárd Cetrifugál szivattyú Nyomó oldal Járókerék Járókerék lapát Járókerék él Járókerék csavar a szállított közeg

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET ε ε hullámegelet: Mérökizikus szak, Optika modul, III. évolam /. élév, Optika I. tárg GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 6. AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egeletek E(

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az

Részletesebben

6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK

6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK 6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK A techikai fejlettég mai zívoalá az azikro motor a legelterjedtebb villamo gép, amely a villamo eergiából mechaikai eergiát (forgó mozgát) állít elő. Térhódítáát a háromfáziú váltakozó

Részletesebben

ANALÓG-DIGITÁLIS ÉS DIGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓK

ANALÓG-DIGITÁLIS ÉS DIGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓK F3 Bev. az elektroikába E, Kísérleti Fizika Taszék ANALÓG-IGITÁLIS ÉS IGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓK Az A és A átalakítók feladata az aalóg és digitális áramkörök közötti kapcsolat megvalósítása. A folytoos

Részletesebben

INTERFERENCIA - ÓRAI JEGYZET

INTERFERENCIA - ÓRAI JEGYZET FZKA BSc,. évfolya /. félév, Optika tárgy TERFERECA - ÓRA JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 8. AJÁLOTT SZAKRODALOM: ALAPFOGALMAK Klei-Furtak, Optics Richter, Bevezetés a oder optikába Bor-Wolf, Priciples of

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

1. Az absztrakt adattípus

1. Az absztrakt adattípus . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,

Részletesebben

2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI

2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI 2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI 2.1. Az iformációs társadalom és gazdaság fogalmáak külöbözô értelmezései 2.1.1. Az iformációs társadalom Bármely iformációs

Részletesebben

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi kar Vicze Gergely Trazies káosz yitott biliárdasztaloko Msc szakdolgozat Témavezető: Tél Tamás, egyetemi taár Elméleti Fizikai Taszék Budapest, 2012 1 Tartalom

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

A települési hősziget-intenzitás Kárpátalja alföldi részén 1

A települési hősziget-intenzitás Kárpátalja alföldi részén 1 A települési hősziget-itezitás Kárpátalja alföldi részé Molár József, Kakas Móika, Marguca Viola A települési hőszigetek kifejlődéséek vizsgálata az urbaizáció folyamatáak előrehaladásával párhuzamosa

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

CIVILEK A NYOMTATOTT SAJTÓBAN ÉRDEKÉRVÉNYESÍTÉS A MÉDIÁBAN 1

CIVILEK A NYOMTATOTT SAJTÓBAN ÉRDEKÉRVÉNYESÍTÉS A MÉDIÁBAN 1 csz12 elm filosz.qxd 2007. 06. 13. 14:53 Page 111 CIVILEK A NYOMTATOTT SAJTÓBAN ÉRDEKÉRVÉNYESÍTÉS A MÉDIÁBAN 1 Beszedics Otília Bevezetõ A 2003. augusztus 1. és 2007. február 28. közötti idõszakba a GPS

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Walltherm rendszer. Magyar termék. 5 év rendszergaranciával. Felületfûtés-hûtés Épületszerkezet-temperálás padlófûtés

Walltherm rendszer. Magyar termék. 5 év rendszergaranciával. Felületfûtés-hûtés Épületszerkezet-temperálás padlófûtés Walltherm redszer 5 év redszergaraciával Felületfûtés-hûtés Épületszerkezet-temperálás padlófûtés Magyar termék WALLTHERM felületfûtés-hûtési redszer Egy fûtési- (hûtési) redszer kialakítása elôtt számtala

Részletesebben

Rajzolja fel a helyettesítő vázlatot és határozza meg az elemek értékét, ha minden mennyiséget az N2 menetszámú, szekunder oldalra redukálunk.

Rajzolja fel a helyettesítő vázlatot és határozza meg az elemek értékét, ha minden mennyiséget az N2 menetszámú, szekunder oldalra redukálunk. Villams Gépek Gyakrlat 1. 1.S = 100 kva évleges teljesítméyű egyfázisú, köpey típusú traszfrmátr (1. ábra) feszültsége U 1 /U = 5000 / 400 V. A meetfeszültség effektív értéke U M =4,6 V, a frekvecia f=50hz.

Részletesebben

Váltakozóáramú hajtások Dr. TARNIK István 2006

Váltakozóáramú hajtások Dr. TARNIK István 2006 AUTOMATIZÁLT VILLAMOS HAJTÁSOK Válakozóáramú hajások Pollack Mihály Műszaki Kar Villamos Hálózaok Taszék Dr. TARNIK Isvá doces Válakozó áramú hajások 1. Aszikro gépek elvi felépíése. 1.1. Az aszikro gépek

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

5 Szupertakarékos. 10A legszélesebb választék. A hűtés specialistája. Kiemelt ajánlatok Hűtés és fagyasztás 2012

5 Szupertakarékos. 10A legszélesebb választék. A hűtés specialistája. Kiemelt ajánlatok Hűtés és fagyasztás 2012 0 jó ok, hogy iért Liebherr készüléket válasszo. A tapasztalat, ai száít A Liebherr, it a hűtő-fagyasztó készülékek szakértője ár több it 50 éve következetese tervez és gyárt olya terékeket, aelyek új

Részletesebben

ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT

ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT KÍVÁNCSISÁGVEZÉRELT MATEMATIKA TANÍTÁS STÁTUS KIADÓ CSÍKSZEREDA, 010 c PRIMAS projekt c Adrás Szilárd Descrierea CIP a Bibliotecii

Részletesebben

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA Adva va külöböző elem Kiválasztuk k darabot Vesszük az összes elemet és sorba rakjuk A kiválasztás sorredje számít A kiválasztás sorredje em számít PERMUTÁCIÓ P matekig.hu Ha

Részletesebben

Az Európai Unió Tanácsa Brüsszel, 2016. március 30. (OR. en)

Az Európai Unió Tanácsa Brüsszel, 2016. március 30. (OR. en) Az Európai Uió Taácsa Brüsszel, 2016. március 30. (OR. e) 7383/16 ADD 1 ENER 97 FEDŐLAP Küldi: az Európai Bizottság Az átvétel dátuma: 2016. március 22. Címzett: Biz. dok. sz.: Tárgy: a Taács Főtitkársága

Részletesebben

Rutherford-féle atommodell

Rutherford-féle atommodell Rutherfordféle atommodell Manchesteri Egyetem 1909 1911 Hans Geiger, Ernest Marsden Ernest Rutherford vezetésével Az arany szerkezetének felderítésére irányuló szóráskísérletek Alfarészecskékkel bombáztak

Részletesebben

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke:

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke: A PÉNZ IDİÉRTÉKE A péz értéke többek között az idı függvéye. Ha idıbe késıbb jutuk hozzá egy jövedelemhez, akkor elveszítjük aak lehetıségét, hogy az eltelt idıbe azt befektessük, azaz elesük aak hozamától,

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése 3 4 Tartalomegyzék. BEVEZETÉS 5. A MÉRÉS 8. A mérés mt folyamat, fogalmak 8. Fotosabb mérés- és műszertechka fogalmak 4.3 Mérés hbák 8.3. Mérés hbák csoportosítása eredetük szert 8.3. A hbák megeleítés

Részletesebben

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise Nagyméretű emlieáris közúti közlekedési hálózatok speciális aalízise Dr. Péter Tamás* *Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Közlekedéautomatikai Taszék (tel.: +36--46303; e-mail: peter.tamas@mail.bme.hu

Részletesebben

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t. Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is

Részletesebben

SIMA FELÜLETŰ MOTO- ROKKAL 0,37 1,1 kw

SIMA FELÜLETŰ MOTO- ROKKAL 0,37 1,1 kw Itelliget Drivesystems, Worldwide Services Services KÖNNYŰFÉM HAJTÓMŰVES MOTOROK HAJTÓMO- ÉS TOR FREKVENCIAVÁLTÓK SIMA FELÜLETŰ MOTO- ROKKAL 0,37 1,1 kw HU KOMPLETT HAJTÁSRENDSZEREK EGY KÉZBŐL KOMPLETT

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

FOLYADÉKKRISTÁLY-TELEVÍZIÓK Éber Nándor

FOLYADÉKKRISTÁLY-TELEVÍZIÓK Éber Nándor FLYADÉKKRISTÁLY-TLVÍZIÓK Éber Nádor A 21. SZÁZAD KÉPRNYÔI MTA SZFKI, Budapest A szerezetü és tulajdoságai alapjá a folyadéo és a szilárd ayago özött sajátos átmeetet épezô folyadéristályo felfedezésü (1888)

Részletesebben

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Témavezető: Lebaov Dóa Mezei Istvá Adjuktus Matematika Bs Alkalmazott Aalízis és Matematikai

Részletesebben

DIGITÁLIS DOMBORZATMODELLEK ELŐÁLLÍTÁSI TECHNOLÓGIÁI ÉS MINŐSÉGI PARAMÉTEREI

DIGITÁLIS DOMBORZATMODELLEK ELŐÁLLÍTÁSI TECHNOLÓGIÁI ÉS MINŐSÉGI PARAMÉTEREI Koós Tamás Zríyi Miklós Nemzetvédelmi Egyetem koos.tamas@zme.hu DIGITÁLIS DOMBORZATMODELLEK ELŐÁLLÍTÁSI TECHNOLÓGIÁI ÉS MINŐSÉGI PARAMÉTEREI Absztrakt A tériformatikai szoftverek egyre szélesebb köre képes

Részletesebben

csz10 eleje.qxd 2007. 02. 25. 17:51 Page 1 CIVIL SZEMLE

csz10 eleje.qxd 2007. 02. 25. 17:51 Page 1 CIVIL SZEMLE csz10 eleje.qxd 2007. 02. 25. 17:51 Page 1 CIVIL SZEMLE WWW. CIVILSZEMLE.HU IV. ÉVFOLYAM 1. SZÁM csz10 eleje.qxd 2007. 02. 25. 17:51 Page 2 Szerkesztõbizottság/Editorial Board Bíró Edre, Belia Aa, Harsáyi

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

FAIPARI ALAPISMERETEK

FAIPARI ALAPISMERETEK Faipari alapismeretek középszit 0821 ÉRETTSÉGI VIZSGA FAIPARI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMTATÓ OKTATÁSI ÉS KLTRÁLIS MINISZTÉRIM Fotos tudivalók Az írásbeli

Részletesebben

töltéssel rendelkező vagy semleges részecskék kinetikus energiája és (vagy) impulzusa a kondenzált közegek atomjaival ütközve megváltozhat.

töltéssel rendelkező vagy semleges részecskék kinetikus energiája és (vagy) impulzusa a kondenzált közegek atomjaival ütközve megváltozhat. Néhány szó a neutronról Különböző részecskék, úgymint fotonok, neutronok, elektronok és más, töltéssel rendelkező vagy semleges részecskék kinetikus energiája és (vagy) impulzusa a kondenzált közegek atomjaival

Részletesebben

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető 11. méré Méréek, hibák 1. evezető laboratóriumi muka orá gyakra mérük külöböző fizikai meyiégeket. Ezeket a méréeket bármeyire ügyeek vagyuk i, bármeyire moder digitáli mérőezköz gombjait yomogatjuk i

Részletesebben

Az időtől független Schrödinger-egyenlet (energia sajátértékegyenlet), A Laplace operátor derékszögű koordinátarendszerben

Az időtől független Schrödinger-egyenlet (energia sajátértékegyenlet), A Laplace operátor derékszögű koordinátarendszerben Atomfizika ψ ψ ψ ψ ψ E z y x U z y x m = + + + ),, ( h ) ( ) ( ) ( ) ( r r r r ψ ψ ψ E U m = + Δ h z y x + + = Δ ),, ( ) ( z y x ψ =ψ r Az időtől független Schrödinger-egyenlet (energia sajátértékegyenlet),

Részletesebben

Minőségirányítási rendszerek 8. előadás 2013.05.03.

Minőségirányítási rendszerek 8. előadás 2013.05.03. Miőségiráyítási redszerek 8. előadás 2013.05.03. Miőségtartó szabályozás Elleőrző kártyák miősítéses jellemzőkre Két esete: A termékre voatkozó adat: - valamely jellemző alapjá megfelelő em megfelelő:

Részletesebben

1.52 CS / CSK. Kulisszás hangcsillapítók. Légcsatorna rendszerek

1.52 CS / CSK. Kulisszás hangcsillapítók. Légcsatorna rendszerek 1.52 CS / Légcsatra redszerek Alkalmazás: A légcsatraredszere építve, a légcsatráka terjedõ zaj csillapítására alkalmasak. Kialakításuk a eépített csillapító testek szerit alapvetõe hárm féle lehet: A,

Részletesebben

Fizika belépő kérdések /Földtudományi alapszak I. Évfolyam II. félév/

Fizika belépő kérdések /Földtudományi alapszak I. Évfolyam II. félév/ Fizika belépő kérdések /Földtudományi alapszak I. Évfolyam II. félév/. Coulomb törvény: a pontszerű töltések között ható erő (F) egyenesen arányos a töltések (Q,Q ) szorzatával és fordítottan arányos a

Részletesebben

Hűtés és fagyasztás 2014 108-001_Ost_HU.indd 1 108-001_Ost_HU.indd 1 16.12.13 12:41 16.12.13 12:41

Hűtés és fagyasztás 2014 108-001_Ost_HU.indd 1 108-001_Ost_HU.indd 1 16.12.13 12:41 16.12.13 12:41 Hűtés és fagyasztás 0 0 alapos ok arra, hogy Liebherr teréket vásároljo 6 A tapasztalat, ai száít BioFresh bizoyíthatóa egészségesebb A Liebherr, it a hűtő- és fagyasztó készülékek szakértője, ár több

Részletesebben

SZENT ISTVÁN EGYETEM BELSŐÉGÉSŰ MOTOROK MŰKÖDÉSI MIKROFOLYAMATAINAK ANALÍZISE A GÉPÜZEMELTETÉS CÉLJÁBÓL. Doktori értekezés tézisei.

SZENT ISTVÁN EGYETEM BELSŐÉGÉSŰ MOTOROK MŰKÖDÉSI MIKROFOLYAMATAINAK ANALÍZISE A GÉPÜZEMELTETÉS CÉLJÁBÓL. Doktori értekezés tézisei. SZENT ISTVÁN EGYETEM BELSŐÉGÉSŰ MOTOROK MŰKÖDÉSI MIKROFOLYAMATAINAK ANALÍZISE A GÉPÜZEMELTETÉS CÉLJÁBÓL Doktoi étekezés tézisei Bátfai Zoltá Gödöllő 001. A doktoi pogam Címe: Agáeegetika és Köyezetgazdálkodás

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

Modern Fizika Laboratórium Fizika BSc 22. Kvantumradír

Modern Fizika Laboratórium Fizika BSc 22. Kvantumradír Modern Fizika Laboratórium Fizika BSc 22. Kvantumradír Mérést végezték: Márkus Bence Gábor Kálmán Dávid Kedd délelőtti csoport Mérés ideje: 05/15/2012 Beadás ideje: 05/26/2012 Érdemjegy: 1 1. A mérés rövid

Részletesebben

Akuszto-optikai fénydiffrakció

Akuszto-optikai fénydiffrakció Bevezetés Akuszto-optikai fénydiffrakció A Brillouin által megjósolt akuszto-optikai kölcsönhatást 1932-ben mutatta ki Debye és Sears. Az effektus felhasználását, vagyis akuszto-optikai elven működő eszközök

Részletesebben

Mikrohullámok vizsgálata. x o

Mikrohullámok vizsgálata. x o Mikrohullámok vizsgálata Elméleti alapok: Hullámjelenségen valamilyen rezgésállapot (zavar) térbeli tovaterjedését értjük. A hullám c terjedési sebességét a hullámhossz és a T rezgésido, illetve az f frekvencia

Részletesebben

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika 2. OPTIKA 2.1. Elmélet Az optika tudománya a látás élményéből fejlődött ki. A tárgyakat azért látjuk, mert fényt bocsátanak ki, vagy a rájuk eső fényt visszaverik, és ezt a fényt a szemünk érzékeli. A

Részletesebben

Ingatlanok értékelése hozamszámítással 1-2. 1

Ingatlanok értékelése hozamszámítással 1-2. 1 Piaci érték: Igatlaok értékelése hozamszámítással 1-2. 1 Elıadás Igatlavagyo-értékelı és közvetítı Szakképzés, Igatlakezelı Szakképzés A-. modul Az az ár, amelyért az igatla méltá- yosa,, magájogi szerzıdés

Részletesebben

Készítette: Bujnóczki Tibor Lezárva: 2005. 01. 01.

Készítette: Bujnóczki Tibor Lezárva: 2005. 01. 01. VILÁGÍTÁSTECHNIKA Készítette: Bujnóczki Tibor Lezárva: 2005. 01. 01. ANYAGOK FELÉPÍTÉSE Az atomok felépítése: elektronhéjak: K L M N O P Q elektronok atommag W(wolfram) (Atommag = proton+neutron protonok

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR védőeryő az ismeretleek záporába VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR www.matektaitas.hu www.matektaitas.hu ifo@matektaitas.hu 1 védőeryő az ismeretleek záporába Kombiatorika Permutáció Ismétlés élküli permutáció

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

1. Ha két közeg határfelületén nem folyik vezetési áram, a mágneses térerősség vektorának a(z). komponense folytonos.

1. Ha két közeg határfelületén nem folyik vezetési áram, a mágneses térerősség vektorának a(z). komponense folytonos. Az alábbi kiskérdéseket a korábbi Pacher-féle vizsgasorokból és zh-kból gyűjtöttük ki. A többségnek a lefényképezett hivatalos megoldás volt a forrása (néha még ezt is óvatosan kellett kezelni, mert egy

Részletesebben

Területi koncentráció és bolyongás Lengyel Imre publikációs tevékenységében

Területi koncentráció és bolyongás Lengyel Imre publikációs tevékenységében Lukovics Miklós (szerk.) 204: Taulmáyok Legyel Imre professzor 60. születésapja tiszteletére. SZTE Gazdaságtudomáyi Kar, Szeged, 5-24. o. Területi kocetráció és bolyogás Legyel Imre publikációs tevékeységébe

Részletesebben

Optoelektronikai Kommunikáció. Az elektromágneses spektrum

Optoelektronikai Kommunikáció. Az elektromágneses spektrum Optoelektronikai Kommunikáció (OK-2) Budapesti Mûszaki Fõiskola Kandó Kálmán Villamosmérnöki Fõiskolai Kar Számítógéptechnikai Intézete Székesfehérvár 2002. 1 Budapesti Mûszaki Fõiskola Kandó Kálmán Villamosmérnöki

Részletesebben

Kevei Péter. 2013. november 22.

Kevei Péter. 2013. november 22. Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus

Részletesebben

a legjobb kezekben K&H Csoport

a legjobb kezekben K&H Csoport a legjobb kezekbe A K&H Biztosító 1992 óta működik Magyarországo, és közel félmillió ügyfelet szolgál ki. A K&H Biztosító a magyar piac sajátosságait figyelembe véve alakította ki szolgáltatási palettáját,

Részletesebben

A kurzus teljesítésének feltételei. Az I404 kódú kurzus teljesítéséhez meg kell oldani egy otthoni feladatot, határidő április 30.

A kurzus teljesítésének feltételei. Az I404 kódú kurzus teljesítéséhez meg kell oldani egy otthoni feladatot, határidő április 30. Évközi teljesítés A kurzus teljesítéséek feltételei Két gyakorlato egírt ZH, az elérhető 00 potból 50 potot kell eléri. Aki e teljesíti a feltételt a vizsgaidőszak első hetébe a vizsgára egedésért írhat

Részletesebben

NEUTRON-DETEKTOROK VIZSGÁLATA. Mérési útmutató BME NTI 1997

NEUTRON-DETEKTOROK VIZSGÁLATA. Mérési útmutató BME NTI 1997 NEUTRON-DETEKTOROK VIZSGÁLATA Mérési útmutató Gyurkócza Csaba, Balázs László BME NTI 1997 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3. 2. Elméleti összefoglalás 3. 2.1. A neutrondetektoroknál alkalmazható legfontosabb

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1413 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

XXV. ELEKTROMOS VEZETÉS SZILÁRD TESTEKBEN

XXV. ELEKTROMOS VEZETÉS SZILÁRD TESTEKBEN 2007. február 6. 1 Pálinkás József: Fizika 2. XXV. ELEKTROMOS VEZETÉS SZILÁRD TESTEKBEN Bevezetés: Az előző fejezetekben megismertük, hogy a kvantumelmélet milyen jól leírja az atomok és a molekulák felépítését.

Részletesebben

A teveszabály és alkalmazásai

A teveszabály és alkalmazásai A teveszabály és alalmazásai Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Godolá-e valai, hogy a matematiáa lehete-e valami öze a tevéhez? Ha em aor a továbbiaba meggyzzü errl, mégpedig arról, hogy a matematiába ige is

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

Sorbanállási modellek

Sorbanállási modellek VIII. előadás Sorbaállási modellek Sorbaállás: A sorbaállás, a várakozás általáos probléma közlekedés, vásárlás, takolás, étterem, javításra várás, stb. Eze feladatok elmélete és gyakorlata a matematikai

Részletesebben

2002. március A Magyar Máltai Szeretetszolgálat Játszótereinek lapja II.évf. 3. szám

2002. március A Magyar Máltai Szeretetszolgálat Játszótereinek lapja II.évf. 3. szám 2002. március A Magyar Máltai Szeretetszolgálat Játszótereiek lapja II.évf. 3. szám Kaledárium árcius - Tavaszelő, Böjtmás hava Ébredj, új tavasz jégtörő, sugaras, gallyat gombosító, rügyet rojtosító,

Részletesebben

HŐTAN Oktatási segédanyag

HŐTAN Oktatási segédanyag Eergeikai Géek és Redszerek aszék HŐAN Okaási segédayag Kézira Szerkeszee: dr. Zsebik Albi Faluskai Norber Budaes, 003. jauár Hoa_.do.do Eergeikai Géek és Redszerek aszék aralojegyzék. Alafogalak.....

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

x + 3 sorozat első hat tagját, ha

x + 3 sorozat első hat tagját, ha Soroztok, soroztok megdás rekurzív módo.. Az ( ) soroztot rekurzív módo dtuk meg 7 -, sorozt első két tgj ( < ) egybe gyökei következő egyeletek: sorozt első öt tgját. y.adott ( ). Írd fel ( ) x 0 x. Htározd

Részletesebben

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011 MÉRÉSTECHNIKA DR. HUBA ANTAL c. egy. taár BME Mechatroka, Optka és Gépészet Iformatka Taszék 0 Rövde a tárgyprogramról Előadások tematkája: Metrológa és műszertechka alapok Mérés adatok kértékelése Időbe

Részletesebben

7. ELŐADÁS VÍZI SZÁLLÍTÁS A GLOBÁLIS LOGISZTIKÁBAN

7. ELŐADÁS VÍZI SZÁLLÍTÁS A GLOBÁLIS LOGISZTIKÁBAN 7. ELŐADÁS VÍZI SZÁLLÍTÁS A GLOBÁLIS LOGISZTIÁBAN A terészetes folyai, illetve tegeri utakat igéybe vevő, csak a kikötővel redelkező helyeket felkeresi tudó szállítási ód. A vízi áruszállítást elsősorba

Részletesebben

Elektrodinamika. Nagy, Károly

Elektrodinamika. Nagy, Károly Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika Nagy, Károly Publication date 2002 Szerzői jog 2002 Nagy Károly, Nemzeti Tankönyvkiadó Rt. Szerző: Nagy Károly Bírálók: DR. GÁSPÁR REZSŐ - egyetemi tanár, a

Részletesebben

Ftéstechnika I. Példatár

Ftéstechnika I. Példatár éecha I. Példaár 8 BME Épülegépéze azé éecha I. példaár aralojegyzé. Ha özeoglaló... 3.. Hvezeé...3.. Háadá....3. Hugárzá...6.. Háoáá....5. Szgeel axál hleadáához arozó ül áér....6. Bordázo vezeé.... Sugárzá...5.

Részletesebben

Ha vasalják a szinusz-görbét

Ha vasalják a szinusz-görbét A dolgozat szerzőjének neve: Szabó Szilárd, Lorenzovici Zsombor Intézmény megnevezése: Bolyai Farkas Elméleti Líceum Témavezető tanár neve: Szász Ágota Beosztása: Fizika Ha vasalják a szinusz-görbét Tartalomjegyzék

Részletesebben

Az optikai jelátvitel alapjai. A fény két természete, terjedése

Az optikai jelátvitel alapjai. A fény két természete, terjedése Az optikai jelátvitel alapjai A fény két természete, terjedése A fény kettős természete 1. A fény: - Elektromágneses hullám (EMH) - Optikai jelenség Egyes dolgokat a hullám természettel könnyű magyarázni,

Részletesebben

Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak

Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 10. Elektrooptika, nemlineáris optika, kvantumoptika, lézerek Cserti József, jegyzet, ELTE, 2007. Az elektrooptika, a nemlineáris optikai és az

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben