A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata

Átírás

1 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az alábbakba a pályázat keretébe elért kutatás eredméyeket foglaljuk össze. Valamey témába számos példát s megoldottuk és azok eredméye alapjá parametrkus vzsgálatokat folytattuk. Ezek smertetésére eze a helye cs lehetőség, de ezek, és a kutatások részletes smertetése, a fejezetek címeél feltütetett, a mellékelt közleméyek lstájára hvatkozó folyórat-ckkekbe lletve kadváyokba megtalálhatók. Az összefoglalásál azt az elvet követtük, hogy a agyobb terjedelmű mukákból részletesebb, míg a ksebbekből rövd összefoglalást aduk. 1 Damkusa terhelt tartószerkezetek optmáls tervezése a maradó alakváltozások és elmozdulások korlátozásával [1,,3,5, 7, 9,11,1,] A mérök gyakorlatba ge gyakra fordul elő redkívül terhelés (robbaás, ütés, ütközés, földregés, stb ). Ezekbe az esetekbe a képlékey alakváltozások redszert megegedettek, de a tartószerkezeteket olya merevség és szlárdság tulajdoságokkal kell megtervez, hogy a redkívül hatások következtébe e legyeek túlzott mértékű képlékey alakváltozások, a szerkezet elemek e szevedjeek törést, lletve a szerkezet összeomlása e következzék be. Ebbe a részbe olya közelítő optmáls tervezés eljárást mutatuk be damkusa (lökés, robbaás, ütközés) terhelt képlékey tartószerkezetek (rácsos tartók, geredák, lemezek) optmáls tervezésére, ahol a mdekor terhelésből az mpulzusmegmaradás tételéek felhaszálásával egy egyeértékű sebességmezőt számoluk. Ezt a sebességmezőt haszáljuk mpulzív teherkét a már terheletle tartó. Mvel lye esetekbe az elmozdulások redszert agyok, mérsékelte agy elmozdulásokat veszük számításba. A tartószerkezet képlékey vselkedéséek szabályozására Werzbck által kdolgozott elméletet alkalmazzuk. Eek felhaszálásával a mérsékelte agy maradó alakváltozások agyságáak egy felső korlátja számítható. Mvel agy sebességekről va szó, az alakváltozás-sebesség érzékeységét (vszkoztás) fgyelembe vesszük, tudva, hogy ezzel övekszk a szerkezet teherbíró képessége.

2 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 Az optmáls tervezés umerkus megfogalmazásáál a porózus ayagelméletet haszáltuk fel. A tervezés sorá a keresztmetszet méretek egy alapértékét (pl. lemez vastagsága) smertek tételezzük fel, és a folyamatba változatlaul hagyjuk. A téyleges méretet az x tervezés változó (poroztás téyező) felhaszálásával a szert számoljuk (pl. lemez eseté h xh ). A továbbakba a jobb megérthetőség kedvéért lemez-feladato keresztül mutatjuk be a tervezés mukát. A kapott eredméyek természetese mde ehézség élkül átírhatók rácsos tartókra, geredákra vagy héjakra s. A bemutatásra kerülő eljárás az alább követelméyeket és feltételt elégít k: a szerkezet súlya legye mmáls, egy előre megadott potba a maradó eltolódások agysága em haladhat meg egy megadott értéket, a deformácós folyamat alatt a teljes ketkus eerga képlékey muka formájába dsszpálódk. 1.1 Nagy teztású, rövd deg ható lökésszerű terhelés esete Kematka egyeletek Iduljuk k abból a feltevésből, hogy a damka egyeletekbe szereplő tömeg két részből tehető össze: m( y, z) m ( y, z) m ( y, z). (1.1) s Legye 1,,..., m y, z) m a dszkretzált szerkezetbe a végeselemek száma és a (1.1) kfejezésbe: ( : jelet azt a tömeget, am em vesz részt az optmálásba, ms ( y, z) h x : jelet a tartószerkezet tömegéek az optmálásba számítadó részét, amely a tervezés változóval kfejezhető, y és z a lemez középfelületéek koordátá. A fetek szert az -edk végeselem tömege az alább módo fejezhető k: m m h x. (1.) Tételezzük fel, hogy a vzsgált merev-képlékey ayagú lemezt olya, agy teztású, rövd deg tartó damkus teher terhel, mely az alább szeparálható alakba va megadva: Illetve a dszkretzált szerkezet -edk eleméél q( y,z,t ) p( t )q ( y,z ), (1.3)

3 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 Itt (t) p a lökés dőbel változását, q p t) q ; 1,,...,. (1.4) ( q y,z pedg a teher lemeze való eloszlását írja le. A továbbakba alkalmazzuk a leggyakrabba felhaszált lökésterhet, amelybe a lökés dőbel változása a következő kfejezésekkel írható le: p( t ) p t t (1.5) p( t ), t t, ha ha Itt t a lökés dőtartamát, p pedg yomás csúcsértékét jelet. Ameybe p ge agy ( p ) és t ge kcs ( t ), akkor a lökésszerű teher az I p t (1.6) mpulzussal meghatározott mpulzív terheléssel helyettesíthető. A lemez eek hatására v( y, z ) kezdősebességű mozgásak dul, amelyek eloszlása mpulzusmegmaradás tételéből vezethető le: t q( y,z,t )dtda m( y,z )v( y,z )da. (1.7) A Felhaszálva az előző kfejezéseket I q ( y,z )da m( y,z )v( y,z )da A A A. (1.8) Itt A a lemez középfelületéek területét jelet. A továbbakba feltételezzük, hogy a lemez meté való eloszlása a q Itt v egy smeretle sebességparaméter. Eélfogva a sebességmező számítható: teher eloszlásával aráyos, így: v y,z I q ( y,z ) v sebesség v vq ( y,z ). (1.9) A q ( y,z )da A. (1.1) m( y,z )q ( y,z )da A kapott kfejezést felhaszálva, a dszkretzált szerkezet -edk (=1,,,) elemére jutó kezdősebesség az alább formába számítható: v v I q 1 1 q m q ; 1,,...,. (1.11)

4 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 Itt az elem területe, pedg az elem jele. Ezzel a agy teztású, rövd deg tartó lökésszerű teherrel terhelt szerkezet damka vzsgálata egy terheletle, a v( y, z ) kezdősebességű lemez damka vzsgálatára vezethető vssza Damka egyelet megadása lökésszerű teher eseté A damka egyelet felírásához felhaszáljuk Werzbck feltételezését, am szert a szerkezet mde potjába a mozgás egydejűleg szűk meg. Továbbá feltételezzük, hogy az mpulzus teher hatására a szerkezet mde eleme a mozgás közbe álladó gyorsulással mozog a megállásg és egy adott A potba az ua elmozdulás elér egy ua elmozdulásértéket. A szerkezet mozgása közbe a lemez és az álladó teher súlyáak, a tehetetleség erőkek és a belső erőkek damkus egyesúlyba kell leük, és a dszkretzált szerkezet mde elemébe k kell elégíteük a képlékeység feltételeket. Bzoyos egyszerűsítés feltételeket bevezetve ezek a követelméyek az alább egyeletek kelégítése eseté teljesülek: GQ P( x ) D( x ) ; (1.1) d f ( Q, x ),( 1,,..., ). (1.13) y Itt G az egyesúly mátrx, f az -edk elem folyás függvéye, d y a damkus folyáshatár (bee tudjuk fgyelembe ve az alakváltozás-sebesség (vszkoztás) hatását s. A külső erők két részből tevődek össze. A lökéssel egydejűleg fellépő ormál (haszálat) csomópot teherből és az ösúlyból, amelyet a következő egyelettel adhatuk meg: Itt P ; 1,,..., P P g m h x. (1.14) jelet a ormál (haszálat) csomópot terhet, amelyet a agy teztású, rövd deg tartó damkus teherrel egydejűleg fgyelembe veszük. A D( x ) esetbe: ercaerőket lökésteher eseté a következő kfejezéssel adhatjuk meg dszkretzált D q u A A I 1 1 q m q m q ; 1,,...,. (1.15)

5 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T Leeső teher 1..1 Kematka egyeletek Tektsük egy az előző fejezetbe smertetett elredezésű merev-képlékey ayagú lemezt, amelyre a lemez A potjába v sebességgel egy M tömegű test merőlegese becsapódk. e a L/ b L/ 1 ábra. Leeső teher két oldalo befogott szerkezet eseté Továbbá tegyük fel, hogy az ütközés utá a lemez és a test együtt mozog, és az ütközés következtébe keletkező hely szerkezet károkat fgyelme kívül hagyhatjuk. A lemezekre bemutatott megoldás módszer és a megadott kfejezések ks módosítások utá alkalmasak geredák, héjak és egyéb védőszerkezetek optmáls tervezésére s. Tételezzük fel egy kematkalag lehetséges sebességmezőt, ahol az -edk elem sebessége a v va egyelettel kfejezhető. Itt va az M tömeg kezdő sebessége az ütközés utá. Felírva az mpulzus megmaradás törvéyét: Mv Mv v m, (1.16) A A 1 a lemez mde -edk elemére a kezdet sebesség köye számítható: v M M 1 m v. (1.17) 1.. Damka egyelet megadása ütésszerű teher eseté Felhaszálva a lökésszerű teher eseté bevezetett feltevéseket, az előző fejezetbe megadott damka egyeletek természetese változatla formába érvéyesek, csak az egyes kfejezések tartalma módosul. A leeső teherek megfelelőe az ercaerő számítása a

6 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 v M D M m ua M m 1 ; 1,,..., egyelet szert törték, míg a számításba fgyelembe vett külső erőt a szert számítjuk. ; 1,,..., P P g m h x gm Itt 1 ha A, lletve ha A., (1.18). (1.19) 1.3 Maradó elmozdulások felső korlátja Az egyszer alkalommal működő lökésszerű terhelés vzsgálatakor a beállásvzsgálat szükségtele, és a képlékey alakváltozások mértékét korlátozó előzőekbe smertetett feltételt sem alkalmazzuk. A várhatóa agy alakváltozások matt a rugalmas alakváltozásokat fgyelme kívül hagyjuk, a maradó eltolódásokra azoba mérsékelt mértékű agy elmozdulások fgyelembevételével korlátot alkalmazuk. Werzbck (197) tétele szert mpulzív terhelés eseté egy mérsékelte agy elmozdulást végző merev-képlékey ayagú tartó egy adott A potjába létrejövő eltolódás legjobb adja meg: Ebbe és a 1 alapjá kszámítható álladók, h a u 1 u A A TA ua K 1 h felső korlátját az alább összefüggés. (1.) mérsékelte agy elmozdulás fgyelembevételével elvégzett statka vzsgálat 1 K mv (1.1) 1 a lemez kezdősebességéek megfelelő kematka eerga és TA a tartó A potjába, az ua eltolódás ráyába működő T A határállapot vzsgálat statka tétele alapjá határozható meg: statkus kocetrált erő képlékey határértéke. Ez a képlékey max T A (1..a) az alább feltételek eseté, ; R y GR T ; (1..b) f ( 1,,..., ) ; (1..c)

7 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 x x, ( 1,,..., ). (1..d) Itt R az smeretle csomópot erőket jelöl. A fetek felhaszálásával a továbbakba az A potbel eltolódás agyságára az alább korlát írható elő: u u A. (1.3) A Itt ua az eltolódás megegedett értékét jelöl A damkus határfeszültség meghatározása Mvel a lemez agy sebességű mozgást végez, ezért dokolt az ayag vszkózus vselkedéséek fgyelembevétele (Perroe (1965), Mart és Symods (1966)). Ezt a hatást (1.4) d y y damkus folyás határ bevezetésével vesszük számításba, amelyet a részleteket mellőzve az alább módo fejezhetük k: 1 r d v y y 1. (1.5) Ch Itt, C és r az ayag vszkózus tulajdoságat jellemző álladókat jelölek és a álladó a r r 1 kfejezés alapjá számítható. A rövd deg tartó, agy teztású teher eseté a (1.5) egyeletet az alább módo fejezhetjük k: I q 1 Ch r q. (1.6) mq Fgyelembe véve (3.15) kfejezéseket a poroztás elméletek megfelelőe, a mdekor d d határfeszültség a y x y kfejezés alapjá számítadó. Mvel y y, az ayag vszkózus tulajdoságaak (az alakváltozás-sebesség) fgyelembevétele mdg övel az ayag szlárdság, lletve merevség tulajdoságat, ezért felhaszálásával gazdaságosabb szerkezetek tervezhetők.

8 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T Az optmáls tervezés alapfeladata damkus teher eseté Kapcsolt, emleárs matematka programozás megfogalmazás Felhaszálva a fetekbe smertetett képleteket, és a lemez tömegét választva célfüggvéyek, az optmáls tervezés feladata rövd deg tartó, agy teztású terhelés eseté az alábbakba fogalmazható meg: az alább feltételek mellett m h 1 x (1.7.a) GQ P( x ) D( x ) ; (1.7.b) f ( Q, x ), ( 1,,..., ) ; (1.7.c) y x x ; (1.7.d) q T u I m x q ; (1.7.e) 1 ha u A 1 1 A A 1 h 1 m x q 1 u A ua Összekapcsolva a max T A az alább feltételek mellett y. (1.7.f) (1.8.a) GR T ; (1.8.b) f ( R, x ), ( 1,,..., ) ; (1.8.c) x x, ( 1,,..., ). (1.8.d) feltételes szélsőérték-feladattal. Megállapítható, hogy a tárcsa-feladathoz hasolóa a damkusa terhelt lemez optmáls tervezését s két, az x tervezés változók által összekapcsolt emleárs matematka programozás feladat határozza meg. A megoldásra terácós eljárást dolgoztuk k, melyek részlete a hvatkozott dolgozatokba megtalálható Többcélfüggvéyes megfogalmazás Itt s követhetjük a rácsos tartók tervezéséél smertetett eljárást a vektoroptmálás feladat felírása kapcsá. Ebbe a megfogalmazásba a leeső teher eseté megadott egyeleteket haszáljuk. A célfüggvéy a lemez tömegét és a statkalag elérhető erőt tartalmazza. A

9 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 képlékey határállapot statka tételére alapuló többcélfüggvéyes tervezés feladat megfogalmazása a következőképp adható meg: az alább feltételek mellett m h x, T A 1 (1.9.a) GQ P( x ) D ( x ) ; (1.9.b) Q, x d ; y f ( 1,,..., ) ; (1.9.c) x x ; ( 1,,..., ) ; (1.9.d) 1 ha u A 1 TA ua m x v x MvM x 1 h 1 ; (1.9.e) u u A ; (1.9.f) A d Itt a x y R, x ; y GR T ; (1.9.g) f ( 1,,..., ). (1.9.h) damkus határfeszültség mde lépésbe újra számítadó. Rövd deg tartó, agy teztású terhelés eseté a (1.9) feladatba M= a (1.9.e) kfejezésbe. Ez a téy felhaszálható (1.7) feladatba, ha leeső teherre kívájuk megolda. A (1.9) feladat umerkus megoldására több módszer létezk. Ezek megtalálhatók a jeletés közleméye között. 1.5 Szezmkus terhelés A lökésszerű, lletve a leeső terheléssel terhelt tartók optmáls tervezéséél alkalmazott elveket a földregés esetére s kterjesztettük az EUROCODE 8 ajálásaak fgyelembevételével. Az eljárás szezmkus terhelésű keretvázas épületek optmáls tervezését tesz lehetővé. A módszer az elmozdulásokat s korlátozza. Az eljárás alapja az EUROCODE 8-ra épülő pushover módszer. Bee a többszabadságfokú redszer damka vzsgálatát egy egyszabadságfokú rugalmas-képlékey tartószerkezet statka vzsgálatára redukáljuk. Az eljárás umerkus modellje és az optmáls tervezés részlete a kapcsolódó dolgozatokba megtalálhatók. Rugalmas-képlékey szerkezetek méretezése dőbe változó statkus

10 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 jellegű terhelés eseté parametrkus matematka programozással [13, 17, 18, 3, 4, 5] A tartószerkezetek számításáál az esetek ge jeletős részébe az dő függetle változókét szerepel. Ez jeletőse megehezíthet az dőtől függő ayagjellemzőket tartalmazó feladatok megoldását. Ha az dőt az állapothatározók paraméterekét vezetjük be, akkor a Hamlto-elv segítségével köyebbe megoldható feladatokra jutuk. Számítás eljárásokat dolgoztuk k dőbe változó statkus jellegű terhelés esetére, amelybe a szerkezet válaszát tartalmazó állapothatározók dőtől függő függvéyekkel írhatók le. A peremérték-feladatok megoldását az állapothatározók dőbe végtele függvéysorával közelítve matematka programozással oldottuk meg. A megoldás léyege, hogy az dőtől függő állapothatározókat a szert véges tartomáyokra botással írjuk fel. A feladatot traszformáljuk a feladat megoldható és a kapott eredméy a L L térbe hely térbe, ahol a függvéytérbe vsszatraszformálható. Egyszerűbbe kfejezve: az eredet feltétel élkül szélsőérték-feladatot felbotjuk feltételes matematka programozás feladatra, és kétszeres (oda és vssza) matematka traszformácó felhaszálásával oldjuk meg azt - a megoldás folyamatába más matematka térbe dolgozuk -. A duáls probléma fzka értelmezésével elleőrztük a matematka programozás feladat helyességét. Megmutatjuk, hogy a kapott modellek mlye feltételekkel haszálhatók a klasszkus képlékeységta optmáls méretezés feladatkét. A bemutatásra kerülő eljárás összetett mechaka folyamatok umerkus megoldását lehetővé tesz, de tt az egyszerűség kedvéért az eljárást a rugalmas-képlékey állapotra épülő optmáls tervezés módszer kdolgozásá keresztül mutatjuk be. A matematka programozás feladat megadás struktúrájáak megfelelőe a célfüggvéy az egyes típusú eergákat (alakváltozás, dsszpatív) tartalmazza, míg a feltételek az egyesúlyt, képlékeység feltételeket, stb. fejezk k. A feladat optmáls megoldása em csak az optmáls keresztmetszet méreteket, haem az dőtől függő meységek (pl. képlékey csuklókba a yomaték függvéye) függvéyet s közvetleül szolgáltatja. Az alkalmazást számpélda szemléltet..1 Időtől függő terhelésű tartószerkezetek tervezése.1.1 Alkalmazott matematka módszer rövd smertetése A mechaka számítás módszere közül az egyk leggyakrabba alkalmazott eljárás a végeselem-módszer (VEM). Ismeretes, hogy a VEM, lletve a hasoló matematka alapoko

11 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 működő (peremelem-módszer, végessávok módszere, stb ) umerkus módszerek matematka alapja a varácószámítás. A mérök feladatok eseté a varácószámításba keresük egy olya smeretle függvéyt, am egy határozott tegrál értéket szélsőértékké, leggyakrabba mmummá tesz. A varácószámítás függvéytérbe dolgozk. Az smeretle függvéyt a megegedett függvéyosztályból választhatjuk. A varácószámítás alapfeladatát a következő módo írhatjuk fel: b m f x,g x,g x dx, (.1) a ahol g(x) az smeretle függvéy, f x,g x,g x az alapfüggvéy és x a, b g M, ahol M a megegedett függvéyosztály, választása a feladattól függ.. g 1 C, Az alapfeladatból származtatható paraméteres varácószámítás feladat a következő módo adható meg: x t C ahol t paraméter, paraméteres varácószámítás feladat: t t1 m f x t,g x t,g x t,t dt, (.). A (.) szélsőérték-feladat alapjá megadható legegyszerűbb t t1 m f x t,t dt. (.3) Hestees (1975) bzoyította, hogy a (.3) feladathoz a következő matematka programozás probléma redelhető: Itt az smeretle m f xt,t ; t t, t. (.4) xt függvéyeket egy olya halmazo értelmezzük, ahol a t, t 1 1 tervallum mde potjához a valós számok halmazát redeljük. Ha eze halmaz mde potjához létezk egy végteleül kcs sma görbe, akkor a (.3) és (.4) feladatok ugyaazt az xt folytoos függvéy határozzák meg megoldáskét. Vagys a Hestees-tétel a függvéytérbe értelmezett (.3) paraméteres varácószámítás feladat és a (.4) kfejezéssel értelmezett végtele vektortérbe értelmezett matematka programozás feladat ekvvalecáját modja k. A emegyesúly mechaka (pl. képlékeységta) területé a mechaka feladatok korrekt, lletve potosabb megoldását bztosító matematka eszközök helyes választása ehéz feladat. Ebbe az esetbe olya eszközt választottuk, amely alkalmas erre a feladatra, sőt összetettebb

12 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 problémák (többfázsú redszerek vzsgálata) megoldását s lehetővé tesz. Az eljárás részletes leírása megtalálható más dolgozatba. Az állapothatározók (pl. feszültségek, alakváltozások) egyesúly állapotba vektorvektortérbe értelmezettek. Legye ez a tér a dszkretzált szerkezet esetébe -dmezós (ahol a csomópotok száma) az X,Y,Z globáls koordáta-redszerbe. Mde csomópotot meg tuduk ad a csomópotba mutató helyvektor segítségével. A,, lokáls koordátaredszerbe egy állapothatározó vektort redelük mde egyes helyvektorhoz. A szerkezet állapothatározó vektoráak szabadságfoka függ egyrészt a csomópotok szabadságfokától, lletve a csomópotok számától. Mvel dőtől függő a feladatuk, így az állapothatározók vektoraak eleme függvéyek. A mechaka feladatot az egyszerűség kedvéért a ks elmozdulások elméletéek alkalmazásával oldjuk meg, így az előzőleg smertetett helyvektor dőtől függetle. A Hestees-tétel dő szert dervált függvéyek traszformálására matematka programozás feladatba em ad lehetőséget, ezért az állapothatározókat általáosított Fourer-sorral írjuk fel. Bzoyított, hogy az általáosított Fourer-sorfejtés a szélsőérték tételeket em befolyásolja. Ha a feladat mde függvéyét egyugyaazo bázsba írák fel az általáosított Fourer-sor segítségével oly módo, hogy a Hestees-tétel feladattípusához jussuk, akkor a Hestees-traszformácó elvégezhető. Így a bázsfüggvéy függvéyértéket a feladat megoldásakor mde potba fgyelembe kellee ve. Ha a Fourer-sorbafejtett függvéyeket tartalmazó feladatot oly módo traszformáljuk, hogy a bázsfüggvéyek függvéyértéket em vsszük át a traszformált feladatba, akkor a feladatot a Baach-térbe (tt a Frtz-Joh-tétel bzoyított) adjuk meg, és a Fourer-együtthatók az smeretleek. A skalár szorzat értelmezésével áttérük az euklédesz térbe. Ez utóbbba a feladatot véges dmezóssá csokítva, az megoldhatóvá válk. Tektsük egy s dmezós állapothatározó függvéyt. Tételezzük fel, hogy a vektor mde eleme a L ( ), [,1] térek s eleme. Itt értelmeztük az állapothatározókat, mt olya vektorokat, amek eleme függvéyek. A L ( ) tér Hlbert-tér. Lehetséges egy P( t ), (=1,..., ) ortogoáls polomáls bázsredszer felvétele az [,1] Írjuk fel eek a Hlbert-térek egy elemét a következő módo: tervallumba. ( )= ( ), ( ) ( ),, 1,...,, [,1] =1 x t P t P t L t. (.5) Itt jelet a valós számok halmazát. Egy csomópothoz tartozó állapothatározó leírása a következőkbe defált F térbe törték: F = xl xl x... xl x... xl. A szerkezet összes 3 1 j s csomópotjához () redelt állapothatározókat az:

13 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 térbe írhatjuk fel. Az F F =( xl xl x... xl x... xl ) (.6) 3 1 j s tér egy elemét a lokáls koordátaredszerbe adott állapothatározók j-edk koordáta tegelyére vetítve a következő módo kapjuk: j 3 3 ( )= k r t x ( ) = j j t e k jp ( t) k k =1 k =1 1 e, (.7) ahol ; P ( t) L ([,1]); t [,1]; j 1,..., s; 1,...,. j j j k Itt e ( k 1,...,3) a lokáls redszerbe adott egységvektor-redszer, x ( t) függvéy a j-edk k szabadságfokhoz tartozó állapothatározó vektoráak a lokáls koordáta-redszer k-adk j tegelyéhez tartozó vetületéhez redelt függvéy, P ( t) polom a közelítő polom-redszer - edk tagja a lokáls redszer k-adk tegelyéhez tartozóa, j együttható a j-edk j szabadságfokhoz tartozó P ( t) polom -edk együtthatója. A teljes redszer Fourer-együtthatót a következő mátrxba csoportosíthatjuk: s... s =..., s... s (.8) j A mechaka feladatot az F =( xl xl x... xl x... xl ) 3 1 j s térbe defáljuk és a megoldást a Fourer-együtthatók terébe keressük. Bzoyították, hogy leárs, lletve emleárs matematka programozás mechaka feladatok a következőkbe smertetésre kerülő feltételredszer eseté megoldhatók, és a függvéyek stacoartása létezk. A feladat smeretleje a Fourer-együtthatók. Az optmáls megoldás stacoárus függvéy, amely kszámításához az optmaltást defáló elsőredű optmaltás feltételek (Frtz-Joh-feltétel megadása a Steltjesderváltak függvéy szert derváltak - haszálatával) felírására va szükség. A duáls feladat a Wolfe-féle duál-képzés (alapjá a Steltjes-derváltak felhaszálásával végezhető el. A módszer hátráya, hogy egyelőtleség feltétel eseté az egyelőtleség feltételeket csak dszkrét dőpotokba tudjuk fgyelembe ve. Az előy abba mutatkozk meg, hogy az dőtől függő feladat leegyszerűsödk, és egy klasszkus matematka programozás feladatot kell megolda. A L térbe törtéő vsszatraformálás utá mde változó függvéyekkel kfejezett meység, és cs szükség tovább hosszadalmas számításra.

14 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T Jelölések A fejezetbe a vzsgált tartók leársa rugalmas tökéletese képlékey ayagúak, alakjuk és elredezésük (topológájuk) adott. A vázas tartószerkezetek N (=1,,,N) számú A keresztmetszetű és hosszúságú geredát tartalmazak, a lemezek és tárcsák pedg N (=1,,,N) számú h vastagságú és fotosabb jelölések az alábbak: : a csomópotok száma, s: a csomópot elmozdulások szabadságfoka, G: a Gauss-potok száma az egyes elemeke, z: az elemek Gauss-potjaba fellépő belső erők szabadságfoka, p(t): területű véges elemre vaak felosztva. A tovább a csomópotokra ható dőtől függő külső erők vektora (mérete.s), [G]*: a szerkezet egyesúly mátrxa (mérete.s,g.z), [G]: r(t): σ(t): F : [A]: a szerkezet geometra mátrxa (mérete G.z,.s), az erő jellegű belső változó (mérete.s), a belső erők vektora (mérete G.z), az -edk szerkezet elem hajlékoyság mátrxa (mérete G.z,G.z), az ayag dsszpácós tulajdoságat tartalmazó mátrx (mérete G.z,G.z), f, : az -edk elem képlékeység, lletve dsszpácós folyás feltételet tartalmazó E, függvéyek, y : az ayag rugalmasság modulusa és folyás határfeszültsége..1.3 Mechaka modellezés Az előző alfejezetbe bemutatott matematka módszer kerül ebbe a fejezetbe felhaszálásra rugalmas-képlékey tartószerkezetek méretezésére a klasszkus képlékeységta szélsőértéktétele alapjá. Belső változók felhaszálásával az eergadsszpácót s fgyelembe vesszük..1.4 Rugalmas-képlékey optmáls tervezés feladata Ebbe a részbe az optmáls tervezés prmáls és duáls feladatát mutatjuk be az előző fejezetbe smertetett parametrkus matematka programozás felhaszálásával. A szerkezetet a végeselemes dszkretzácóak megfelelőe osszuk fel végeselemekre! Az egyes végeselemes csomópotokhoz redelt állapothatározók vektoráak eleme dőtől függő függvéyek (.1 ábra.). Az optmáls tervezés feladatába az smeretleek rácsos tartók és gereda tartók eseté a rúdelemek keresztmetszet mérete, míg tárcsák és lemezek eseté az egyes elemek vastagsága.

15 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A szerkezet ayaga rugalmas-képlékey ayagtörvéyt követ. A képlékey tulajdoságok kfejezése az erő jellegű belső változók haszálatával a dsszpácó fgyelembevételével törték. A feladat felírásához a következő adatok szükségesek: a külső erők függvéye (az egyszerűség kedvéért legye mooto övekvő), geometra adatok a peremfeltételekkel (a szerkezet alapmérete, megtámasztások adata), az ayag folyás határfeszültsége, az ayag dsszpácós határfeszültsége, az elemek hajlékoyságáak korlátja, dsszpácós mátrx, am az ayag dsszpácós tulajdoságat tartalmazza. A méretezés feladatba kfejezzük, hogy található egy olya szerkezet, amelykek mde eleme egyesúlyba va, a külső terhelés okozta belső erők (vagy valamely kombácójuk) sehol sem lépk túl a képlékeység határt. A dsszpácós folyamat az ayag dsszpácós tulajdoságáak megfelelőe törték (em lehet akármekkora). A szerkezet eleme kellőe merevek, azaz hajlékoyságak em haladak meg egy előre megadott korlátot. A szerkezetbe felhalmozódó alakváltozás, lletve dsszpácós eerga összege pedg mmáls. A feladatba a következő feltevésekkel számoluk: a ks elmozdulások elmélete érvéyes, stabltás problémákkal em foglalkozuk, az smeretle meységek meghatározásakor feltesszük, hogy legalább egy folytoos kompoes létezk. A rugalmas-képlékey optmáls tervezés szélsőérték-elvre épülő prmáls feladata a következő: az alább feltételek eseté 1 1 m ( t) ( t) ( t) ( t), t, t t1, t σ F σ r A r (.9.a) G σ t G r t p ( t ) ; (.9.b) f ( σ ( t), k = 1,...,z), = 1,...,G ; k ( r ( t), k = 1,...,z), = 1,...,G ; k k k (.9.c) (.9.d) f σ t r t =, = 1,...,G, k = 1,...,z ; (.9.e) ˆ, 1,,...,. F F N (.9.f)

16 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 Itt Fˆ az -edk elemél a hajlékoyság korlátokat tartalmazó mátrx. A (.9.a-f) matematka programozás feladat smeretleje: σ t : a belső erők függvéye, r(t) : dsszpácós erők függvéye, F : az -edk elemél a keresztmetszet adatokból kfejezett hajlékoyság. A (.9.a-f) parametrkus matematka programozás feladat egyes egyelete mechakalag a következő tartalommal bírak: (.9.a) célfüggvéy a szerkezet kegészítő potecáls eergájáak és a kegészítő dszpácós eergájáak összege és az eergammum elvét fejez k. A (.9.b) az egyesúly egyeletek kfejezése a peremfeltételek fgyelembevételével, a külső erők, belső erők, lletve dsszpácós erők függvéyeek kapcsolata. A (.9.c) egyelőtleség az elemek képlékeység feltétele, míg a (.9.d) egyelőtleség a dsszpácós képességet szabályzó folyás függvéy az elemek Gauss-potja egyeztetve. A (.9.e) a képlékey vselkedésből származó dsszpácó létét szabályzó komplemetartás egyelet. A (.9.f) egyelőtleség feltétel az smeretle keresztmetszet méreteket szabályzó hajlékoyság feltétel. Az így bemutatott feladat helyességéek gazolására a duáls megfogalmazás felhaszálásával törték. Ez és a duáls megfogalmazás közleméyekbe megtalálható.fzka tartalommal bírjo, mert ezzel mdkét megfogalmazás gazolható..1.5 Kapcsolat a klasszkus és a dsszpácós rugalmas-képlékey optmáls méretezés feladata között A bemutatott tervezés feladat elleőrzéséek egy másk fotos eleme a kapcsolat megtalálása a képlékeységta klasszkus optmáls tervezés modellje és az tt bemutatott dsszpácót tartalmazó prmál-duál feladatpár között. Vzsgáljuk meg, hogy a rugalmas-képlékey állapotba törtéő optmáls méretezés feladatok klasszkus modellje mlye feltételekkel származtathatók a dsszpácót s tartalmazó prmálduál feladatpárból. Tételezzük fel, hogy a belső változók értéke elhayagolhatók. Az eljárásba a statka módszerre épülő (.9.a-f) prmál feladatot vzsgáljuk. A feladat (.9.a) célfüggvéyét és (.9.b) egyesúly egyeletet derváljuk az dő szert t t,t 1 dőpotba, míg a feladat több feltételét hagyjuk változatla formába a belső változó elhayagolásáak fgyelembevételével. Így az alább feladatot kapjuk:

17 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 az alább feltételek eseté. m t F t ( ) ( ) (.11.a) tt * G t p t ; (.11.b) tt tt f ( σ ( t), k = 1,...,z), = 1,...,G ; k tt (.11.c) ˆ, 1,,...,. F F N (.11.d) Ezekbe az egyeletekbe az elmozdulás, lletve az erő jellegű peremfeltételeket fgyelembe vettük és em jelöljük ezt külö. Az alakváltozás eergafüggvéy dő szert derváltfüggvéyét fejtsük Taylor-sorba a t t,t 1 helye: F F F F ( t) ( t) ( t ) ( t ) ( t ) ( t )(t - t ) ( t ) ( t )( t - t )+... (.1) tt A klasszkus modellek az dőbe lépésről lépésre állítják fel és oldják meg a (.9.a-f) feladatot. Ha a t dőpotba a feszültségeket ulláak tektjük, és a ( t ) -val, mt övekméyekkel számoluk, akkor a (.1)-ből csak a t F t t - t tag marad, ahol ( ) ( ) agysága. Adott t érték eseté a célfüggvéy mmumpotját a befolyásolja. t t t t a lépés -val való szorzás em Helyettesítsük a derváltakat a dffereca-háyadossal. A feteket fgyelembe véve a (.11.a-d) optmáls tervezés feladat az alább formába adható meg: az alább feltételek eseté k k m t F t t t (.13.a) G p ; (.13.b) f ( σ ( t ) σ ( t ), k = 1,...,z), = 1,...,G ; (.13.c) ˆ, 1,,...,. F F N (.13.d) Itt a peremfeltételeket fgyelembe vettük és külö em jelöljük. Ameybe (.13.d) egyelőtleségbe a hajlékoyságot az egyes smeretle keresztmetszetek méretével vagy ercájával helyettesítjük, akkor klasszkus rugalmas-képlékey optmáls tervezés prmáls feladatát láthatjuk. A (.13.a-d) feladat az alább közelítéseket tartalmazza: a dsszpácót elhayagolja;

18 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 a feszültségek dőfüggvéyet lépésekét leársak tekt, eélfogva az elmozdulások dőfüggvéyeek dő szert derváltja (a sebességek) kostasok, azaz vagy cs mozgás vagy egyees voalú egyeletes a mozgás, a dszkretzált dőpotokba meghatározott övekméyek egymástól függetleek, a (.13.a) célfüggvéyt a (.11.a)-ból vezettük le, amely a (.9.a)-ból derválással származk. A (.9.a-f) és a (.13.a-d) szélsőértéke csak abba az esetbe egyezk meg, ha a (.13.a-d) feladatba szereplő feszültségek dőfüggvéye leársak. Vagys a "legksebb teljesítméy" elve csak ebbe a specáls esetbe esk egybe a "mmáls eerga" elvvel. Végezetül megállapíthatjuk, hogy a optmáls méretezés feladatpár magába foglalja specáls esetkét a klasszkus rugalmas-képlékey optmáls tervezés alapfeladatát, de aál szélesebb feladatkört fed le. Bee emcsak az smeretle keresztmetszet méretek, haem egyéb képlékeységta meységek (pl. a képlékey csuklóba elfordulás) dőfüggvéye közvetle megoldáskét kaphatók. A feszültségkorláttal felírt rugalmas-képlékey optmáls méretezés eljárásba az dőtől függő állapothatározókkal megadott feladatok eseté az dő paraméterkét törtéő haszálatával elkerülhető a sebességmezők haszálata. Képlékey állapotba a belső változók haszálatával a dsszpácó folyamata dőbe követhetővé válk. 3 Leársa rugalmas szerkezetek topológaoptmálása [1,6,8,11, 1, 14,16] A kutatás célja D szerkezetek topológaoptmálsa a matematka programozás elméletéek és az optmaltás feltétel módszeréek felhaszálásával ge agy számú (több ezer) tervezés változó alkalmazásával. A számítás modellhez stadard végeselemes számítógépes programot készítettük égycsomópotú tárcsa-elemek és kétcsomópotú rúdelemek felhaszálásával leársa rugalmas ayag alkalmazásával. A tervezés sorá a kduláskor adottak tektettük a terhelést (egyparaméteres, statkus), a megtámasztásokat és a tervezés tartomáyt, az ú. "alap"- szerkezetet. A tervezés változók mde esetbe a tárcsaelemek vastagsága, lletve a rúdelemek keresztmetszet területe voltak. Két alapmodellt készítettük el: mmáltuk a szerkezet térfogatát a külső potecáls eerga (complace) agyságáak korlátozásával, mmáltuk a külső potecáls eergát (complace mmzato) - adott

19 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 ayagmeység eseté. Ebbe a kutatásba az első feladattípussal foglalkozuk egy alapfeladat és egy bővített (támaszoptmálás) probléma kapcsá. A számítás modellek mdkét esetbe emleárs matematka programozás feladatra vezetek. Felhaszálva az optmaltás feltételét, egy terácós formulát vezettük le SIMP ( Sold Isotropc Materal wth Pealtzato) -, amely elletétbe a stadard matematka programozás algortmusokkal, ge agy számú tervezés változó felhaszálását tesz lehetővé. Vzsgáltuk az aaltkusa kapott, lletve a umerkusa kszámított ú. Mchell-típusú optmáls topológák egyezőségét külöböző térfogat aráyok, merevségek és terhelés esetek kapcsá. A továbbakba feltesszük, hogy a ks elmozdulások elmélete érvéyes és a számításakat az elsőredű elmélet alapjá végezzük. Az alkalmazásokat számpéldák szemléltetk. 3.1 Az alkalmazott végeselem típusa A tervezés tartomáyt dszkretzáljuk a szokásos módo. Ahogy a bevezetőbe említettük a szokásos alkalmazott elemtípus a égycsomópotú, csomópotokét kétszabadságfokú tárcsaelem, mert eek haszálata a legalkalmasabb a Prager által defált rácsos tartó típusú optmáls szerkezet kalakulásához. Továbbá a szerkezet megerősítések számításakor (külső, lletve belső) D rúdelemet s haszáltuk. A két típus csomópotokét azoos elmozdulás szabadságfokú, így a umerkus számításokba jól kombálható. A továbbakba a dszkretzált szerkezet csomópotjat tárcsa- vagy/és rúdelemekkel kötjük 1 1 össze. A tárcsa alakfüggvéye: N1(, ) (1 )(1 ) ; N(, ) (1 )(1 ) ; N3(, ) (1 )(1 ) ; N4(, ) (1 )(1 ). A szerkezet megtámasztásakét fx 4 4 támaszok, leársa rugalmas rugók, lletve rugalmas rúdelemek kerültek alkalmazásra. 3. A feladat megfogalmazása Ahogy azt az előzőekbe jeleztük, tt az optmaltás feltétel (OC) módszeréek égy fő lépését valósítjuk meg. Először a topológaoptmálás feladat matematka programozás megfogalmazását adjuk meg rúdelemek haszálata élkül. Majd alkalmazva a Lagrage-féle dualtás elvet, felírjuk a Kuh-Tucker-feltételeket, és ezeket felhaszálva tudjuk megad az optmaltás terácós képletet. A jobb megértés érdekébe, alkalmazva a végeselemes alapfogalmakat, tektsük az alább tervezés esetet: Legye a leársa rugalmas ayagú szerkezet (tárcsa) D tervezés tartomáya smert.

20 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A szerkezetet a végeselemes dszkretzálás szabály szert osszuk fel G (g=1,,,g) alaptartomáyra. Az egyes tartomáyok t g vastagsága legye kostas (egységy). Mde alaptartomáyt osszuk fel tovább E s (e=1,,, E s ) elemre. (Gyakorlatlag ez azt jelet, hogy a hálózat geeráláskor egy elsődleges hálózatot készítük, majd ezt tovább osztjuk egy másodlagos hálózattal.) A terhelés egyparaméteres, statkus. A megtámasztások adata adottak. Adottak az elmozdulás korlátokat defáló feltételek hely (d=1,,,d) és agyság -. Felhaszálva az előbb ormált vastagságú szerkezetet, a leartás matt a feladat köye áttraszformálható egy tg t max vastagságú szerkezet vzsgálatára. Belátható, hogy a terheket tg t max tetszőleges értékkel beszorozva a kapott feladatba a feszültségek, alakváltozások és elmozdulások azoosak leszek az eredet ormált feladat eredméyevel. A szerkezet W súlyát az alább módo számíthatjuk: Itt g a szerkezet ayagáak fajsúlya, Ag G W= g Agt g. (3.1) g1 a g-edk alapelem területe. Az elmozdulás korlát a szerkezet adott potjába a téyleges elmozdulás smeretébe, amt a tartók statkájába smert módo számíthatuk, felírható: ahol ûd T ûdκu d ; d 1,..., D, (3..a) a d-edk helye és ráyba ható, egységy agyságú vrtuáls erőből számított vrtuáls csomópot elmozdulások vektora, K a szerkezet merevség mátrxa, u a P teherből számított téyleges csomópot elmozdulások vektora, megadott korlát agysága. d a d-edk elmozdulásra előre Abba az esetbe, ha egyetle elmozdulás korlátot (d=1) veszük fel a szerkezet egy megadott potjába, és a terhelés s csak tt hat, belátható, hogy (3..a) feltétel helyettesíthető a következő kfejezéssel: T u Κu C ; (3..b) ahol C (complace) a külső potecáls eerga. A továbbakba ezt az (3..b) egyelőtleséget haszáljuk a topológaoptmálás matematka programozás feladatába. Továbbá adjuk meg mde alaptartomáy t g (praktkusa t m és t max 1): vastagságára egy alsó, lletve egy felső korlátot

21 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 max m t t ; g 1,..., G, g t t ; g 1,..., G. g Ezek a korlátok ( és 1) gyakorlatlag azt szolgálják, hogy a tervezés eredméyekét azt adott elem létezk-e vagy em. Ahhoz, hogy elkerüljük a közbeső vastagság értékeket a szerkezet (3.3) súlyát egy módosított képlettel számoljuk. Az új formula G g1 1 p g g W g A t, ahol p ( p 1) a bütető paraméter, és szerepe ugya az, mt a klasszkus OC módszerekél haszált bütető paraméter. Megjegyezzük, hogy szolgáltatja. t g és tg 1 eseté a módosított képlet s a téyleges súlyt A topológaoptmálás alapfeladata bütető paraméterrel kfejezett súly-célfüggvéy és complace -feltétel alkalmazásával a következőképpe adható meg: m W m G g1 g 1 p g g A t (3.4.a) az alább feltételek mellett T u Κu C ; tg tm ; g 1,..., G, tg tmax ; g 1,..., G. (3.4.b-d) Az (4) matematka programozás feladatba az u csomópot elmozdulások vektora a Ku = P leárs egyeletredszerből meghatározott a ható P terhelés hatására. 3.3 Az terácós formula számítása A umerkus számítás ehézségeek csökketése érdekébe alkalmazzuk azt a feltételt, hogy az smeretle alapelem vastagságok (t m ) alsó korlátjáál a zérus vastagságok helyett egy véges, de ge kcs értéket vegyük fel (pl. t m 1 6 ). Ezzel a lépéssel a végeselemek száma a teljes számítás sorá kostas érték lesz és a rosszul kodícoált merevség mátrxot elkerülhetjük. Ha az eergakorlát a complace-feltétel - aktív (azaz egyelőségkét teljesül) az (3.4) matematka programozás feladatba, akkor az előző feltételek felhaszálásával a következő egyeletet kapjuk: G Rg C. (3.5) t g1 g

22 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 Mvel md a passzív ( g P ), md az aktív elemek g A vastagsága smert, azaz az előző pot alapjá számítható volt, így felírhatjuk a R R R C g g g p gp tg ga tg ga p1 pr g Ag g egyeletet, amelyből a Lagrage-szorzó értéke számítható: (3.6) p p1 ga A p p 1 p 1 g g p1 Rg C gp R t g g (ahol A ). (3.7) Az (4) matematka programozás feladat optmáls megoldását tehát terácós eljárás alkalmazásával megkaphatjuk, ha az optmaltás feltétel egyeletekből, megfelelő sorredbe, a t g vastagságokat, lletve a Lagrage-szorzó értékét kszámítjuk. Köye bzoyítható, hogy ha az (3.4) matematka programozás feladatba a célfüggvéyt felcseréljük az eerga korláttal, és az ú complace lesz a célfüggvéy, a szerkezet súly pedg feltételkét szerepel, akkor az eredet megfogalmazással egyeértékű feladatot kapuk. Eek optmáls megoldása, bzoyos feltételek mellett, azoos az (3.4) feladat optmáls megoldásával, azaz ugyaazt az optmáls topológát kapjuk. Ez az elsőredű optmaltás feltételek azoosságából következk. Az algortmus a témához kapcsolt mukába található. 3.4 A topológaoptmálás bővített feladata A mérök gyakorlat sokszor kívá megolda olya tervezés feladatot, hogy a megtámasztások helyét, lletve a belső megerősítések meységét vagy/és mőségét kell meghatározuk. Ez a feladattípus alkalmas a passzív módo való támaszerő szabályzásra, a súlyelhelyezés matt a kozolhatás erősítésére, a sajátfrekveca módosításra. A klasszkus támasz-optmálás feladatok megjeleése a 7-es évek közepére tehető. A probléma a umerkus ehézségek matt szte feltáratla maradt, és csak éháy éve került smét a kutatók vzsgálata tárgyává. Rozvay, Lógó és Kalszky (3) egy költség -függvéy alkalmazásával oldotta meg a feladatot rúdtámaszok eseté. Itt a célfüggvéy a külső, lletve belső megtámasztások egy alkalmas kombácóját fejez k az alább módo: ; (3.8) m k F b j Rj j

23 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 ahol k és b adott kostasok, belső, lletve a j-edk külső támaszerő agysága. és j az -edk, lletve j-edk rúd hossza, F és R j az -edk Így a topológa optmálás feladatál a célfüggvéy egy módosított változata kerül felhaszálásra, amelyél feltételeztük, hogy a költség aráyos a keletkező erő agyságával, azaz aráyos azzal a térfogattal, amt a kérdéses rúddal megadott támasz képvsel. Eélfogva az erők helyett a leársa rugalmas ayag felhaszálása matt az ayagtörvéy szert a A y meység került bevezetésre ( y egy feszültség határ mérőszáma, és húzásra, lletve yomásra az egyszerűség kedvéért azoos poztív értéket tételezzük fel, A a keresztmetszet méret). Az abszolút érték jelek így elhagyhatók és az új típusú célfüggvéy az alább módo írható:. (3.9) m k y A b j yj Aj j A továbbakba mde támaszt, aak a helyé egy rúdcsoporttal helyettesítük, oly módo, hogy a rudak mde lehetséges ráyba elhelyezésre kerülek. Továbbá a fx támaszokat s helyettesíthetjük a fetekbe megadott módo. (Ez azt jelet, hogy egy görgős megtámasztást egységy hosszú, de merev rúddal helyettesíthetük.) Az előzőleg smertetett elveket követve a bővített topológaoptmálás feladata complace feltétel eseté formalag az (3.4) matematka programozás feladattal azoos. Megoldása az ott smertetett elvek alapjá törték. 4 Lágyuló ayagú szerkezetek képlékey határállapot vzsgálata és optmáls tervezése [19] A kutatásba olya szerkezetek képlékey határállapot vzsgálatával és optmáls tervezésével foglalkoztuk, ahol a szerkezet ayaga húzásra emleárs lágyuló és egy megadott határfeszültséget vesz fgyelembe, míg yomásra leársa rugalmas tökéletese képlékey. Ez a fajta ayag vselkedés matematkalag em-kovex feladatra vezet. A umerkus megoldás sorá a szerkezetet úgy modelleztük, hogy a tervezés tartomáyt égycsomópotú merev elemekre botottuk, ahol az elemek ormál és yíró géybevételek felvételére alkalmas rúgókkal kapcsolódak egymáshoz. Az ayag vselkedés ezekre a rúgókra korlátozódk. Az ayag vselkedés komplextása azt eredméyezte, hogy a szerkezet hajlékoyság mátrxa a határállapot vzsgálat sorá em kostas, így az egyes lépésekbe frssíte kell az elemet.

24 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A em-kovex vselkedés matt egy terácós algortmust javasoltuk, am egymásba ágyazott cklusokat tartalmaz. Eek részlete dolgozatukba megtalálható. 5 Összefoglalás Az smertetett modellek alapjá algortmusokat és számítógépes programokat készítettük és a feladatokat főleg terácós úto oldottuk meg. Felírva az optmaltás feltételt, a kapcsolt feladatok megoldását megkaptuk egy matematka programozás feladat drekt megoldásával, lletve átfogalmazva a többcélfüggvéyes matematka programozás alkalmazásával. Algortmusuk alapja a szekvecáls kvadratkus programozás volt. A tapasztalatak azt mutatják, hogy hatékoya haszálható. Valamey vzsgált feladat esetébe számos példát megoldottuk és az eredméyeket dagramokkal és táblázatokkal szemléltettük. Parametrkus vzsgálatokat s végeztük és elemeztük az egyes paraméterekek az eredméyekre gyakorolt hatását. A kdolgozott modellek előye, hogy külöleges esetkét a rugalmas lletve a teljese képlékey állapotú tartók optmáls tervezését s magukba foglalják. Előírt tervezés tartomáy esté a tárcsák optmáls ayageloszlásáak smeretébe a tárcsák optmáls alakja (határvoalak, áttörések) s meghatározható. A módszer tehát topológa optmálásra s alkalmas. Az eredméyeket emzetköz folyóratokba, emzetköz és haza koferecá smertettük, éháy dolgozatuk pedg elektrokus ckk formájába jelet meg. Részt vettük és előadást tartottuk az Iteratoal Socety of Structural ad Multdscplary Optmzato (ISSMO) emzetköz kogresszusá. Előadást tartottuk az ICTAM kogresszusá. Az ISSMO kutatóval és az IPPT (Isttute of Fudametal Techologcal Research, Polad) szoros együttműködésbe dolgoztuk. A kutatás dőszakba dolgozatakra számos hvatkozás törtét.