A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata"

Átírás

1 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az alábbakba a pályázat keretébe elért kutatás eredméyeket foglaljuk össze. Valamey témába számos példát s megoldottuk és azok eredméye alapjá parametrkus vzsgálatokat folytattuk. Ezek smertetésére eze a helye cs lehetőség, de ezek, és a kutatások részletes smertetése, a fejezetek címeél feltütetett, a mellékelt közleméyek lstájára hvatkozó folyórat-ckkekbe lletve kadváyokba megtalálhatók. Az összefoglalásál azt az elvet követtük, hogy a agyobb terjedelmű mukákból részletesebb, míg a ksebbekből rövd összefoglalást aduk. 1 Damkusa terhelt tartószerkezetek optmáls tervezése a maradó alakváltozások és elmozdulások korlátozásával [1,,3,5, 7, 9,11,1,] A mérök gyakorlatba ge gyakra fordul elő redkívül terhelés (robbaás, ütés, ütközés, földregés, stb ). Ezekbe az esetekbe a képlékey alakváltozások redszert megegedettek, de a tartószerkezeteket olya merevség és szlárdság tulajdoságokkal kell megtervez, hogy a redkívül hatások következtébe e legyeek túlzott mértékű képlékey alakváltozások, a szerkezet elemek e szevedjeek törést, lletve a szerkezet összeomlása e következzék be. Ebbe a részbe olya közelítő optmáls tervezés eljárást mutatuk be damkusa (lökés, robbaás, ütközés) terhelt képlékey tartószerkezetek (rácsos tartók, geredák, lemezek) optmáls tervezésére, ahol a mdekor terhelésből az mpulzusmegmaradás tételéek felhaszálásával egy egyeértékű sebességmezőt számoluk. Ezt a sebességmezőt haszáljuk mpulzív teherkét a már terheletle tartó. Mvel lye esetekbe az elmozdulások redszert agyok, mérsékelte agy elmozdulásokat veszük számításba. A tartószerkezet képlékey vselkedéséek szabályozására Werzbck által kdolgozott elméletet alkalmazzuk. Eek felhaszálásával a mérsékelte agy maradó alakváltozások agyságáak egy felső korlátja számítható. Mvel agy sebességekről va szó, az alakváltozás-sebesség érzékeységét (vszkoztás) fgyelembe vesszük, tudva, hogy ezzel övekszk a szerkezet teherbíró képessége.

2 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 Az optmáls tervezés umerkus megfogalmazásáál a porózus ayagelméletet haszáltuk fel. A tervezés sorá a keresztmetszet méretek egy alapértékét (pl. lemez vastagsága) smertek tételezzük fel, és a folyamatba változatlaul hagyjuk. A téyleges méretet az x tervezés változó (poroztás téyező) felhaszálásával a szert számoljuk (pl. lemez eseté h xh ). A továbbakba a jobb megérthetőség kedvéért lemez-feladato keresztül mutatjuk be a tervezés mukát. A kapott eredméyek természetese mde ehézség élkül átírhatók rácsos tartókra, geredákra vagy héjakra s. A bemutatásra kerülő eljárás az alább követelméyeket és feltételt elégít k: a szerkezet súlya legye mmáls, egy előre megadott potba a maradó eltolódások agysága em haladhat meg egy megadott értéket, a deformácós folyamat alatt a teljes ketkus eerga képlékey muka formájába dsszpálódk. 1.1 Nagy teztású, rövd deg ható lökésszerű terhelés esete Kematka egyeletek Iduljuk k abból a feltevésből, hogy a damka egyeletekbe szereplő tömeg két részből tehető össze: m( y, z) m ( y, z) m ( y, z). (1.1) s Legye 1,,..., m y, z) m a dszkretzált szerkezetbe a végeselemek száma és a (1.1) kfejezésbe: ( : jelet azt a tömeget, am em vesz részt az optmálásba, ms ( y, z) h x : jelet a tartószerkezet tömegéek az optmálásba számítadó részét, amely a tervezés változóval kfejezhető, y és z a lemez középfelületéek koordátá. A fetek szert az -edk végeselem tömege az alább módo fejezhető k: m m h x. (1.) Tételezzük fel, hogy a vzsgált merev-képlékey ayagú lemezt olya, agy teztású, rövd deg tartó damkus teher terhel, mely az alább szeparálható alakba va megadva: Illetve a dszkretzált szerkezet -edk eleméél q( y,z,t ) p( t )q ( y,z ), (1.3)

3 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 Itt (t) p a lökés dőbel változását, q p t) q ; 1,,...,. (1.4) ( q y,z pedg a teher lemeze való eloszlását írja le. A továbbakba alkalmazzuk a leggyakrabba felhaszált lökésterhet, amelybe a lökés dőbel változása a következő kfejezésekkel írható le: p( t ) p t t (1.5) p( t ), t t, ha ha Itt t a lökés dőtartamát, p pedg yomás csúcsértékét jelet. Ameybe p ge agy ( p ) és t ge kcs ( t ), akkor a lökésszerű teher az I p t (1.6) mpulzussal meghatározott mpulzív terheléssel helyettesíthető. A lemez eek hatására v( y, z ) kezdősebességű mozgásak dul, amelyek eloszlása mpulzusmegmaradás tételéből vezethető le: t q( y,z,t )dtda m( y,z )v( y,z )da. (1.7) A Felhaszálva az előző kfejezéseket I q ( y,z )da m( y,z )v( y,z )da A A A. (1.8) Itt A a lemez középfelületéek területét jelet. A továbbakba feltételezzük, hogy a lemez meté való eloszlása a q Itt v egy smeretle sebességparaméter. Eélfogva a sebességmező számítható: teher eloszlásával aráyos, így: v y,z I q ( y,z ) v sebesség v vq ( y,z ). (1.9) A q ( y,z )da A. (1.1) m( y,z )q ( y,z )da A kapott kfejezést felhaszálva, a dszkretzált szerkezet -edk (=1,,,) elemére jutó kezdősebesség az alább formába számítható: v v I q 1 1 q m q ; 1,,...,. (1.11)

4 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 Itt az elem területe, pedg az elem jele. Ezzel a agy teztású, rövd deg tartó lökésszerű teherrel terhelt szerkezet damka vzsgálata egy terheletle, a v( y, z ) kezdősebességű lemez damka vzsgálatára vezethető vssza Damka egyelet megadása lökésszerű teher eseté A damka egyelet felírásához felhaszáljuk Werzbck feltételezését, am szert a szerkezet mde potjába a mozgás egydejűleg szűk meg. Továbbá feltételezzük, hogy az mpulzus teher hatására a szerkezet mde eleme a mozgás közbe álladó gyorsulással mozog a megállásg és egy adott A potba az ua elmozdulás elér egy ua elmozdulásértéket. A szerkezet mozgása közbe a lemez és az álladó teher súlyáak, a tehetetleség erőkek és a belső erőkek damkus egyesúlyba kell leük, és a dszkretzált szerkezet mde elemébe k kell elégíteük a képlékeység feltételeket. Bzoyos egyszerűsítés feltételeket bevezetve ezek a követelméyek az alább egyeletek kelégítése eseté teljesülek: GQ P( x ) D( x ) ; (1.1) d f ( Q, x ),( 1,,..., ). (1.13) y Itt G az egyesúly mátrx, f az -edk elem folyás függvéye, d y a damkus folyáshatár (bee tudjuk fgyelembe ve az alakváltozás-sebesség (vszkoztás) hatását s. A külső erők két részből tevődek össze. A lökéssel egydejűleg fellépő ormál (haszálat) csomópot teherből és az ösúlyból, amelyet a következő egyelettel adhatuk meg: Itt P ; 1,,..., P P g m h x. (1.14) jelet a ormál (haszálat) csomópot terhet, amelyet a agy teztású, rövd deg tartó damkus teherrel egydejűleg fgyelembe veszük. A D( x ) esetbe: ercaerőket lökésteher eseté a következő kfejezéssel adhatjuk meg dszkretzált D q u A A I 1 1 q m q m q ; 1,,...,. (1.15)

5 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T Leeső teher 1..1 Kematka egyeletek Tektsük egy az előző fejezetbe smertetett elredezésű merev-képlékey ayagú lemezt, amelyre a lemez A potjába v sebességgel egy M tömegű test merőlegese becsapódk. e a L/ b L/ 1 ábra. Leeső teher két oldalo befogott szerkezet eseté Továbbá tegyük fel, hogy az ütközés utá a lemez és a test együtt mozog, és az ütközés következtébe keletkező hely szerkezet károkat fgyelme kívül hagyhatjuk. A lemezekre bemutatott megoldás módszer és a megadott kfejezések ks módosítások utá alkalmasak geredák, héjak és egyéb védőszerkezetek optmáls tervezésére s. Tételezzük fel egy kematkalag lehetséges sebességmezőt, ahol az -edk elem sebessége a v va egyelettel kfejezhető. Itt va az M tömeg kezdő sebessége az ütközés utá. Felírva az mpulzus megmaradás törvéyét: Mv Mv v m, (1.16) A A 1 a lemez mde -edk elemére a kezdet sebesség köye számítható: v M M 1 m v. (1.17) 1.. Damka egyelet megadása ütésszerű teher eseté Felhaszálva a lökésszerű teher eseté bevezetett feltevéseket, az előző fejezetbe megadott damka egyeletek természetese változatla formába érvéyesek, csak az egyes kfejezések tartalma módosul. A leeső teherek megfelelőe az ercaerő számítása a

6 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 v M D M m ua M m 1 ; 1,,..., egyelet szert törték, míg a számításba fgyelembe vett külső erőt a szert számítjuk. ; 1,,..., P P g m h x gm Itt 1 ha A, lletve ha A., (1.18). (1.19) 1.3 Maradó elmozdulások felső korlátja Az egyszer alkalommal működő lökésszerű terhelés vzsgálatakor a beállásvzsgálat szükségtele, és a képlékey alakváltozások mértékét korlátozó előzőekbe smertetett feltételt sem alkalmazzuk. A várhatóa agy alakváltozások matt a rugalmas alakváltozásokat fgyelme kívül hagyjuk, a maradó eltolódásokra azoba mérsékelt mértékű agy elmozdulások fgyelembevételével korlátot alkalmazuk. Werzbck (197) tétele szert mpulzív terhelés eseté egy mérsékelte agy elmozdulást végző merev-képlékey ayagú tartó egy adott A potjába létrejövő eltolódás legjobb adja meg: Ebbe és a 1 alapjá kszámítható álladók, h a u 1 u A A TA ua K 1 h felső korlátját az alább összefüggés. (1.) mérsékelte agy elmozdulás fgyelembevételével elvégzett statka vzsgálat 1 K mv (1.1) 1 a lemez kezdősebességéek megfelelő kematka eerga és TA a tartó A potjába, az ua eltolódás ráyába működő T A határállapot vzsgálat statka tétele alapjá határozható meg: statkus kocetrált erő képlékey határértéke. Ez a képlékey max T A (1..a) az alább feltételek eseté, ; R y GR T ; (1..b) f ( 1,,..., ) ; (1..c)

7 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 x x, ( 1,,..., ). (1..d) Itt R az smeretle csomópot erőket jelöl. A fetek felhaszálásával a továbbakba az A potbel eltolódás agyságára az alább korlát írható elő: u u A. (1.3) A Itt ua az eltolódás megegedett értékét jelöl A damkus határfeszültség meghatározása Mvel a lemez agy sebességű mozgást végez, ezért dokolt az ayag vszkózus vselkedéséek fgyelembevétele (Perroe (1965), Mart és Symods (1966)). Ezt a hatást (1.4) d y y damkus folyás határ bevezetésével vesszük számításba, amelyet a részleteket mellőzve az alább módo fejezhetük k: 1 r d v y y 1. (1.5) Ch Itt, C és r az ayag vszkózus tulajdoságat jellemző álladókat jelölek és a álladó a r r 1 kfejezés alapjá számítható. A rövd deg tartó, agy teztású teher eseté a (1.5) egyeletet az alább módo fejezhetjük k: I q 1 Ch r q. (1.6) mq Fgyelembe véve (3.15) kfejezéseket a poroztás elméletek megfelelőe, a mdekor d d határfeszültség a y x y kfejezés alapjá számítadó. Mvel y y, az ayag vszkózus tulajdoságaak (az alakváltozás-sebesség) fgyelembevétele mdg övel az ayag szlárdság, lletve merevség tulajdoságat, ezért felhaszálásával gazdaságosabb szerkezetek tervezhetők.

8 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T Az optmáls tervezés alapfeladata damkus teher eseté Kapcsolt, emleárs matematka programozás megfogalmazás Felhaszálva a fetekbe smertetett képleteket, és a lemez tömegét választva célfüggvéyek, az optmáls tervezés feladata rövd deg tartó, agy teztású terhelés eseté az alábbakba fogalmazható meg: az alább feltételek mellett m h 1 x (1.7.a) GQ P( x ) D( x ) ; (1.7.b) f ( Q, x ), ( 1,,..., ) ; (1.7.c) y x x ; (1.7.d) q T u I m x q ; (1.7.e) 1 ha u A 1 1 A A 1 h 1 m x q 1 u A ua Összekapcsolva a max T A az alább feltételek mellett y. (1.7.f) (1.8.a) GR T ; (1.8.b) f ( R, x ), ( 1,,..., ) ; (1.8.c) x x, ( 1,,..., ). (1.8.d) feltételes szélsőérték-feladattal. Megállapítható, hogy a tárcsa-feladathoz hasolóa a damkusa terhelt lemez optmáls tervezését s két, az x tervezés változók által összekapcsolt emleárs matematka programozás feladat határozza meg. A megoldásra terácós eljárást dolgoztuk k, melyek részlete a hvatkozott dolgozatokba megtalálható Többcélfüggvéyes megfogalmazás Itt s követhetjük a rácsos tartók tervezéséél smertetett eljárást a vektoroptmálás feladat felírása kapcsá. Ebbe a megfogalmazásba a leeső teher eseté megadott egyeleteket haszáljuk. A célfüggvéy a lemez tömegét és a statkalag elérhető erőt tartalmazza. A

9 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 képlékey határállapot statka tételére alapuló többcélfüggvéyes tervezés feladat megfogalmazása a következőképp adható meg: az alább feltételek mellett m h x, T A 1 (1.9.a) GQ P( x ) D ( x ) ; (1.9.b) Q, x d ; y f ( 1,,..., ) ; (1.9.c) x x ; ( 1,,..., ) ; (1.9.d) 1 ha u A 1 TA ua m x v x MvM x 1 h 1 ; (1.9.e) u u A ; (1.9.f) A d Itt a x y R, x ; y GR T ; (1.9.g) f ( 1,,..., ). (1.9.h) damkus határfeszültség mde lépésbe újra számítadó. Rövd deg tartó, agy teztású terhelés eseté a (1.9) feladatba M= a (1.9.e) kfejezésbe. Ez a téy felhaszálható (1.7) feladatba, ha leeső teherre kívájuk megolda. A (1.9) feladat umerkus megoldására több módszer létezk. Ezek megtalálhatók a jeletés közleméye között. 1.5 Szezmkus terhelés A lökésszerű, lletve a leeső terheléssel terhelt tartók optmáls tervezéséél alkalmazott elveket a földregés esetére s kterjesztettük az EUROCODE 8 ajálásaak fgyelembevételével. Az eljárás szezmkus terhelésű keretvázas épületek optmáls tervezését tesz lehetővé. A módszer az elmozdulásokat s korlátozza. Az eljárás alapja az EUROCODE 8-ra épülő pushover módszer. Bee a többszabadságfokú redszer damka vzsgálatát egy egyszabadságfokú rugalmas-képlékey tartószerkezet statka vzsgálatára redukáljuk. Az eljárás umerkus modellje és az optmáls tervezés részlete a kapcsolódó dolgozatokba megtalálhatók. Rugalmas-képlékey szerkezetek méretezése dőbe változó statkus

10 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 jellegű terhelés eseté parametrkus matematka programozással [13, 17, 18, 3, 4, 5] A tartószerkezetek számításáál az esetek ge jeletős részébe az dő függetle változókét szerepel. Ez jeletőse megehezíthet az dőtől függő ayagjellemzőket tartalmazó feladatok megoldását. Ha az dőt az állapothatározók paraméterekét vezetjük be, akkor a Hamlto-elv segítségével köyebbe megoldható feladatokra jutuk. Számítás eljárásokat dolgoztuk k dőbe változó statkus jellegű terhelés esetére, amelybe a szerkezet válaszát tartalmazó állapothatározók dőtől függő függvéyekkel írhatók le. A peremérték-feladatok megoldását az állapothatározók dőbe végtele függvéysorával közelítve matematka programozással oldottuk meg. A megoldás léyege, hogy az dőtől függő állapothatározókat a szert véges tartomáyokra botással írjuk fel. A feladatot traszformáljuk a feladat megoldható és a kapott eredméy a L L térbe hely térbe, ahol a függvéytérbe vsszatraszformálható. Egyszerűbbe kfejezve: az eredet feltétel élkül szélsőérték-feladatot felbotjuk feltételes matematka programozás feladatra, és kétszeres (oda és vssza) matematka traszformácó felhaszálásával oldjuk meg azt - a megoldás folyamatába más matematka térbe dolgozuk -. A duáls probléma fzka értelmezésével elleőrztük a matematka programozás feladat helyességét. Megmutatjuk, hogy a kapott modellek mlye feltételekkel haszálhatók a klasszkus képlékeységta optmáls méretezés feladatkét. A bemutatásra kerülő eljárás összetett mechaka folyamatok umerkus megoldását lehetővé tesz, de tt az egyszerűség kedvéért az eljárást a rugalmas-képlékey állapotra épülő optmáls tervezés módszer kdolgozásá keresztül mutatjuk be. A matematka programozás feladat megadás struktúrájáak megfelelőe a célfüggvéy az egyes típusú eergákat (alakváltozás, dsszpatív) tartalmazza, míg a feltételek az egyesúlyt, képlékeység feltételeket, stb. fejezk k. A feladat optmáls megoldása em csak az optmáls keresztmetszet méreteket, haem az dőtől függő meységek (pl. képlékey csuklókba a yomaték függvéye) függvéyet s közvetleül szolgáltatja. Az alkalmazást számpélda szemléltet..1 Időtől függő terhelésű tartószerkezetek tervezése.1.1 Alkalmazott matematka módszer rövd smertetése A mechaka számítás módszere közül az egyk leggyakrabba alkalmazott eljárás a végeselem-módszer (VEM). Ismeretes, hogy a VEM, lletve a hasoló matematka alapoko

11 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 működő (peremelem-módszer, végessávok módszere, stb ) umerkus módszerek matematka alapja a varácószámítás. A mérök feladatok eseté a varácószámításba keresük egy olya smeretle függvéyt, am egy határozott tegrál értéket szélsőértékké, leggyakrabba mmummá tesz. A varácószámítás függvéytérbe dolgozk. Az smeretle függvéyt a megegedett függvéyosztályból választhatjuk. A varácószámítás alapfeladatát a következő módo írhatjuk fel: b m f x,g x,g x dx, (.1) a ahol g(x) az smeretle függvéy, f x,g x,g x az alapfüggvéy és x a, b g M, ahol M a megegedett függvéyosztály, választása a feladattól függ.. g 1 C, Az alapfeladatból származtatható paraméteres varácószámítás feladat a következő módo adható meg: x t C ahol t paraméter, paraméteres varácószámítás feladat: t t1 m f x t,g x t,g x t,t dt, (.). A (.) szélsőérték-feladat alapjá megadható legegyszerűbb t t1 m f x t,t dt. (.3) Hestees (1975) bzoyította, hogy a (.3) feladathoz a következő matematka programozás probléma redelhető: Itt az smeretle m f xt,t ; t t, t. (.4) xt függvéyeket egy olya halmazo értelmezzük, ahol a t, t 1 1 tervallum mde potjához a valós számok halmazát redeljük. Ha eze halmaz mde potjához létezk egy végteleül kcs sma görbe, akkor a (.3) és (.4) feladatok ugyaazt az xt folytoos függvéy határozzák meg megoldáskét. Vagys a Hestees-tétel a függvéytérbe értelmezett (.3) paraméteres varácószámítás feladat és a (.4) kfejezéssel értelmezett végtele vektortérbe értelmezett matematka programozás feladat ekvvalecáját modja k. A emegyesúly mechaka (pl. képlékeységta) területé a mechaka feladatok korrekt, lletve potosabb megoldását bztosító matematka eszközök helyes választása ehéz feladat. Ebbe az esetbe olya eszközt választottuk, amely alkalmas erre a feladatra, sőt összetettebb

12 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 problémák (többfázsú redszerek vzsgálata) megoldását s lehetővé tesz. Az eljárás részletes leírása megtalálható más dolgozatba. Az állapothatározók (pl. feszültségek, alakváltozások) egyesúly állapotba vektorvektortérbe értelmezettek. Legye ez a tér a dszkretzált szerkezet esetébe -dmezós (ahol a csomópotok száma) az X,Y,Z globáls koordáta-redszerbe. Mde csomópotot meg tuduk ad a csomópotba mutató helyvektor segítségével. A,, lokáls koordátaredszerbe egy állapothatározó vektort redelük mde egyes helyvektorhoz. A szerkezet állapothatározó vektoráak szabadságfoka függ egyrészt a csomópotok szabadságfokától, lletve a csomópotok számától. Mvel dőtől függő a feladatuk, így az állapothatározók vektoraak eleme függvéyek. A mechaka feladatot az egyszerűség kedvéért a ks elmozdulások elméletéek alkalmazásával oldjuk meg, így az előzőleg smertetett helyvektor dőtől függetle. A Hestees-tétel dő szert dervált függvéyek traszformálására matematka programozás feladatba em ad lehetőséget, ezért az állapothatározókat általáosított Fourer-sorral írjuk fel. Bzoyított, hogy az általáosított Fourer-sorfejtés a szélsőérték tételeket em befolyásolja. Ha a feladat mde függvéyét egyugyaazo bázsba írák fel az általáosított Fourer-sor segítségével oly módo, hogy a Hestees-tétel feladattípusához jussuk, akkor a Hestees-traszformácó elvégezhető. Így a bázsfüggvéy függvéyértéket a feladat megoldásakor mde potba fgyelembe kellee ve. Ha a Fourer-sorbafejtett függvéyeket tartalmazó feladatot oly módo traszformáljuk, hogy a bázsfüggvéyek függvéyértéket em vsszük át a traszformált feladatba, akkor a feladatot a Baach-térbe (tt a Frtz-Joh-tétel bzoyított) adjuk meg, és a Fourer-együtthatók az smeretleek. A skalár szorzat értelmezésével áttérük az euklédesz térbe. Ez utóbbba a feladatot véges dmezóssá csokítva, az megoldhatóvá válk. Tektsük egy s dmezós állapothatározó függvéyt. Tételezzük fel, hogy a vektor mde eleme a L ( ), [,1] térek s eleme. Itt értelmeztük az állapothatározókat, mt olya vektorokat, amek eleme függvéyek. A L ( ) tér Hlbert-tér. Lehetséges egy P( t ), (=1,..., ) ortogoáls polomáls bázsredszer felvétele az [,1] Írjuk fel eek a Hlbert-térek egy elemét a következő módo: tervallumba. ( )= ( ), ( ) ( ),, 1,...,, [,1] =1 x t P t P t L t. (.5) Itt jelet a valós számok halmazát. Egy csomópothoz tartozó állapothatározó leírása a következőkbe defált F térbe törték: F = xl xl x... xl x... xl. A szerkezet összes 3 1 j s csomópotjához () redelt állapothatározókat az:

13 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 térbe írhatjuk fel. Az F F =( xl xl x... xl x... xl ) (.6) 3 1 j s tér egy elemét a lokáls koordátaredszerbe adott állapothatározók j-edk koordáta tegelyére vetítve a következő módo kapjuk: j 3 3 ( )= k r t x ( ) = j j t e k jp ( t) k k =1 k =1 1 e, (.7) ahol ; P ( t) L ([,1]); t [,1]; j 1,..., s; 1,...,. j j j k Itt e ( k 1,...,3) a lokáls redszerbe adott egységvektor-redszer, x ( t) függvéy a j-edk k szabadságfokhoz tartozó állapothatározó vektoráak a lokáls koordáta-redszer k-adk j tegelyéhez tartozó vetületéhez redelt függvéy, P ( t) polom a közelítő polom-redszer - edk tagja a lokáls redszer k-adk tegelyéhez tartozóa, j együttható a j-edk j szabadságfokhoz tartozó P ( t) polom -edk együtthatója. A teljes redszer Fourer-együtthatót a következő mátrxba csoportosíthatjuk: s... s =..., s... s (.8) j A mechaka feladatot az F =( xl xl x... xl x... xl ) 3 1 j s térbe defáljuk és a megoldást a Fourer-együtthatók terébe keressük. Bzoyították, hogy leárs, lletve emleárs matematka programozás mechaka feladatok a következőkbe smertetésre kerülő feltételredszer eseté megoldhatók, és a függvéyek stacoartása létezk. A feladat smeretleje a Fourer-együtthatók. Az optmáls megoldás stacoárus függvéy, amely kszámításához az optmaltást defáló elsőredű optmaltás feltételek (Frtz-Joh-feltétel megadása a Steltjesderváltak függvéy szert derváltak - haszálatával) felírására va szükség. A duáls feladat a Wolfe-féle duál-képzés (alapjá a Steltjes-derváltak felhaszálásával végezhető el. A módszer hátráya, hogy egyelőtleség feltétel eseté az egyelőtleség feltételeket csak dszkrét dőpotokba tudjuk fgyelembe ve. Az előy abba mutatkozk meg, hogy az dőtől függő feladat leegyszerűsödk, és egy klasszkus matematka programozás feladatot kell megolda. A L térbe törtéő vsszatraformálás utá mde változó függvéyekkel kfejezett meység, és cs szükség tovább hosszadalmas számításra.

14 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T Jelölések A fejezetbe a vzsgált tartók leársa rugalmas tökéletese képlékey ayagúak, alakjuk és elredezésük (topológájuk) adott. A vázas tartószerkezetek N (=1,,,N) számú A keresztmetszetű és hosszúságú geredát tartalmazak, a lemezek és tárcsák pedg N (=1,,,N) számú h vastagságú és fotosabb jelölések az alábbak: : a csomópotok száma, s: a csomópot elmozdulások szabadságfoka, G: a Gauss-potok száma az egyes elemeke, z: az elemek Gauss-potjaba fellépő belső erők szabadságfoka, p(t): területű véges elemre vaak felosztva. A tovább a csomópotokra ható dőtől függő külső erők vektora (mérete.s), [G]*: a szerkezet egyesúly mátrxa (mérete.s,g.z), [G]: r(t): σ(t): F : [A]: a szerkezet geometra mátrxa (mérete G.z,.s), az erő jellegű belső változó (mérete.s), a belső erők vektora (mérete G.z), az -edk szerkezet elem hajlékoyság mátrxa (mérete G.z,G.z), az ayag dsszpácós tulajdoságat tartalmazó mátrx (mérete G.z,G.z), f, : az -edk elem képlékeység, lletve dsszpácós folyás feltételet tartalmazó E, függvéyek, y : az ayag rugalmasság modulusa és folyás határfeszültsége..1.3 Mechaka modellezés Az előző alfejezetbe bemutatott matematka módszer kerül ebbe a fejezetbe felhaszálásra rugalmas-képlékey tartószerkezetek méretezésére a klasszkus képlékeységta szélsőértéktétele alapjá. Belső változók felhaszálásával az eergadsszpácót s fgyelembe vesszük..1.4 Rugalmas-képlékey optmáls tervezés feladata Ebbe a részbe az optmáls tervezés prmáls és duáls feladatát mutatjuk be az előző fejezetbe smertetett parametrkus matematka programozás felhaszálásával. A szerkezetet a végeselemes dszkretzácóak megfelelőe osszuk fel végeselemekre! Az egyes végeselemes csomópotokhoz redelt állapothatározók vektoráak eleme dőtől függő függvéyek (.1 ábra.). Az optmáls tervezés feladatába az smeretleek rácsos tartók és gereda tartók eseté a rúdelemek keresztmetszet mérete, míg tárcsák és lemezek eseté az egyes elemek vastagsága.

15 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A szerkezet ayaga rugalmas-képlékey ayagtörvéyt követ. A képlékey tulajdoságok kfejezése az erő jellegű belső változók haszálatával a dsszpácó fgyelembevételével törték. A feladat felírásához a következő adatok szükségesek: a külső erők függvéye (az egyszerűség kedvéért legye mooto övekvő), geometra adatok a peremfeltételekkel (a szerkezet alapmérete, megtámasztások adata), az ayag folyás határfeszültsége, az ayag dsszpácós határfeszültsége, az elemek hajlékoyságáak korlátja, dsszpácós mátrx, am az ayag dsszpácós tulajdoságat tartalmazza. A méretezés feladatba kfejezzük, hogy található egy olya szerkezet, amelykek mde eleme egyesúlyba va, a külső terhelés okozta belső erők (vagy valamely kombácójuk) sehol sem lépk túl a képlékeység határt. A dsszpácós folyamat az ayag dsszpácós tulajdoságáak megfelelőe törték (em lehet akármekkora). A szerkezet eleme kellőe merevek, azaz hajlékoyságak em haladak meg egy előre megadott korlátot. A szerkezetbe felhalmozódó alakváltozás, lletve dsszpácós eerga összege pedg mmáls. A feladatba a következő feltevésekkel számoluk: a ks elmozdulások elmélete érvéyes, stabltás problémákkal em foglalkozuk, az smeretle meységek meghatározásakor feltesszük, hogy legalább egy folytoos kompoes létezk. A rugalmas-képlékey optmáls tervezés szélsőérték-elvre épülő prmáls feladata a következő: az alább feltételek eseté 1 1 m ( t) ( t) ( t) ( t), t, t t1, t σ F σ r A r (.9.a) G σ t G r t p ( t ) ; (.9.b) f ( σ ( t), k = 1,...,z), = 1,...,G ; k ( r ( t), k = 1,...,z), = 1,...,G ; k k k (.9.c) (.9.d) f σ t r t =, = 1,...,G, k = 1,...,z ; (.9.e) ˆ, 1,,...,. F F N (.9.f)

16 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 Itt Fˆ az -edk elemél a hajlékoyság korlátokat tartalmazó mátrx. A (.9.a-f) matematka programozás feladat smeretleje: σ t : a belső erők függvéye, r(t) : dsszpácós erők függvéye, F : az -edk elemél a keresztmetszet adatokból kfejezett hajlékoyság. A (.9.a-f) parametrkus matematka programozás feladat egyes egyelete mechakalag a következő tartalommal bírak: (.9.a) célfüggvéy a szerkezet kegészítő potecáls eergájáak és a kegészítő dszpácós eergájáak összege és az eergammum elvét fejez k. A (.9.b) az egyesúly egyeletek kfejezése a peremfeltételek fgyelembevételével, a külső erők, belső erők, lletve dsszpácós erők függvéyeek kapcsolata. A (.9.c) egyelőtleség az elemek képlékeység feltétele, míg a (.9.d) egyelőtleség a dsszpácós képességet szabályzó folyás függvéy az elemek Gauss-potja egyeztetve. A (.9.e) a képlékey vselkedésből származó dsszpácó létét szabályzó komplemetartás egyelet. A (.9.f) egyelőtleség feltétel az smeretle keresztmetszet méreteket szabályzó hajlékoyság feltétel. Az így bemutatott feladat helyességéek gazolására a duáls megfogalmazás felhaszálásával törték. Ez és a duáls megfogalmazás közleméyekbe megtalálható.fzka tartalommal bírjo, mert ezzel mdkét megfogalmazás gazolható..1.5 Kapcsolat a klasszkus és a dsszpácós rugalmas-képlékey optmáls méretezés feladata között A bemutatott tervezés feladat elleőrzéséek egy másk fotos eleme a kapcsolat megtalálása a képlékeységta klasszkus optmáls tervezés modellje és az tt bemutatott dsszpácót tartalmazó prmál-duál feladatpár között. Vzsgáljuk meg, hogy a rugalmas-képlékey állapotba törtéő optmáls méretezés feladatok klasszkus modellje mlye feltételekkel származtathatók a dsszpácót s tartalmazó prmálduál feladatpárból. Tételezzük fel, hogy a belső változók értéke elhayagolhatók. Az eljárásba a statka módszerre épülő (.9.a-f) prmál feladatot vzsgáljuk. A feladat (.9.a) célfüggvéyét és (.9.b) egyesúly egyeletet derváljuk az dő szert t t,t 1 dőpotba, míg a feladat több feltételét hagyjuk változatla formába a belső változó elhayagolásáak fgyelembevételével. Így az alább feladatot kapjuk:

17 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 az alább feltételek eseté. m t F t ( ) ( ) (.11.a) tt * G t p t ; (.11.b) tt tt f ( σ ( t), k = 1,...,z), = 1,...,G ; k tt (.11.c) ˆ, 1,,...,. F F N (.11.d) Ezekbe az egyeletekbe az elmozdulás, lletve az erő jellegű peremfeltételeket fgyelembe vettük és em jelöljük ezt külö. Az alakváltozás eergafüggvéy dő szert derváltfüggvéyét fejtsük Taylor-sorba a t t,t 1 helye: F F F F ( t) ( t) ( t ) ( t ) ( t ) ( t )(t - t ) ( t ) ( t )( t - t )+... (.1) tt A klasszkus modellek az dőbe lépésről lépésre állítják fel és oldják meg a (.9.a-f) feladatot. Ha a t dőpotba a feszültségeket ulláak tektjük, és a ( t ) -val, mt övekméyekkel számoluk, akkor a (.1)-ből csak a t F t t - t tag marad, ahol ( ) ( ) agysága. Adott t érték eseté a célfüggvéy mmumpotját a befolyásolja. t t t t a lépés -val való szorzás em Helyettesítsük a derváltakat a dffereca-háyadossal. A feteket fgyelembe véve a (.11.a-d) optmáls tervezés feladat az alább formába adható meg: az alább feltételek eseté k k m t F t t t (.13.a) G p ; (.13.b) f ( σ ( t ) σ ( t ), k = 1,...,z), = 1,...,G ; (.13.c) ˆ, 1,,...,. F F N (.13.d) Itt a peremfeltételeket fgyelembe vettük és külö em jelöljük. Ameybe (.13.d) egyelőtleségbe a hajlékoyságot az egyes smeretle keresztmetszetek méretével vagy ercájával helyettesítjük, akkor klasszkus rugalmas-képlékey optmáls tervezés prmáls feladatát láthatjuk. A (.13.a-d) feladat az alább közelítéseket tartalmazza: a dsszpácót elhayagolja;

18 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 a feszültségek dőfüggvéyet lépésekét leársak tekt, eélfogva az elmozdulások dőfüggvéyeek dő szert derváltja (a sebességek) kostasok, azaz vagy cs mozgás vagy egyees voalú egyeletes a mozgás, a dszkretzált dőpotokba meghatározott övekméyek egymástól függetleek, a (.13.a) célfüggvéyt a (.11.a)-ból vezettük le, amely a (.9.a)-ból derválással származk. A (.9.a-f) és a (.13.a-d) szélsőértéke csak abba az esetbe egyezk meg, ha a (.13.a-d) feladatba szereplő feszültségek dőfüggvéye leársak. Vagys a "legksebb teljesítméy" elve csak ebbe a specáls esetbe esk egybe a "mmáls eerga" elvvel. Végezetül megállapíthatjuk, hogy a optmáls méretezés feladatpár magába foglalja specáls esetkét a klasszkus rugalmas-képlékey optmáls tervezés alapfeladatát, de aál szélesebb feladatkört fed le. Bee emcsak az smeretle keresztmetszet méretek, haem egyéb képlékeységta meységek (pl. a képlékey csuklóba elfordulás) dőfüggvéye közvetle megoldáskét kaphatók. A feszültségkorláttal felírt rugalmas-képlékey optmáls méretezés eljárásba az dőtől függő állapothatározókkal megadott feladatok eseté az dő paraméterkét törtéő haszálatával elkerülhető a sebességmezők haszálata. Képlékey állapotba a belső változók haszálatával a dsszpácó folyamata dőbe követhetővé válk. 3 Leársa rugalmas szerkezetek topológaoptmálása [1,6,8,11, 1, 14,16] A kutatás célja D szerkezetek topológaoptmálsa a matematka programozás elméletéek és az optmaltás feltétel módszeréek felhaszálásával ge agy számú (több ezer) tervezés változó alkalmazásával. A számítás modellhez stadard végeselemes számítógépes programot készítettük égycsomópotú tárcsa-elemek és kétcsomópotú rúdelemek felhaszálásával leársa rugalmas ayag alkalmazásával. A tervezés sorá a kduláskor adottak tektettük a terhelést (egyparaméteres, statkus), a megtámasztásokat és a tervezés tartomáyt, az ú. "alap"- szerkezetet. A tervezés változók mde esetbe a tárcsaelemek vastagsága, lletve a rúdelemek keresztmetszet területe voltak. Két alapmodellt készítettük el: mmáltuk a szerkezet térfogatát a külső potecáls eerga (complace) agyságáak korlátozásával, mmáltuk a külső potecáls eergát (complace mmzato) - adott

19 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 ayagmeység eseté. Ebbe a kutatásba az első feladattípussal foglalkozuk egy alapfeladat és egy bővített (támaszoptmálás) probléma kapcsá. A számítás modellek mdkét esetbe emleárs matematka programozás feladatra vezetek. Felhaszálva az optmaltás feltételét, egy terácós formulát vezettük le SIMP ( Sold Isotropc Materal wth Pealtzato) -, amely elletétbe a stadard matematka programozás algortmusokkal, ge agy számú tervezés változó felhaszálását tesz lehetővé. Vzsgáltuk az aaltkusa kapott, lletve a umerkusa kszámított ú. Mchell-típusú optmáls topológák egyezőségét külöböző térfogat aráyok, merevségek és terhelés esetek kapcsá. A továbbakba feltesszük, hogy a ks elmozdulások elmélete érvéyes és a számításakat az elsőredű elmélet alapjá végezzük. Az alkalmazásokat számpéldák szemléltetk. 3.1 Az alkalmazott végeselem típusa A tervezés tartomáyt dszkretzáljuk a szokásos módo. Ahogy a bevezetőbe említettük a szokásos alkalmazott elemtípus a égycsomópotú, csomópotokét kétszabadságfokú tárcsaelem, mert eek haszálata a legalkalmasabb a Prager által defált rácsos tartó típusú optmáls szerkezet kalakulásához. Továbbá a szerkezet megerősítések számításakor (külső, lletve belső) D rúdelemet s haszáltuk. A két típus csomópotokét azoos elmozdulás szabadságfokú, így a umerkus számításokba jól kombálható. A továbbakba a dszkretzált szerkezet csomópotjat tárcsa- vagy/és rúdelemekkel kötjük 1 1 össze. A tárcsa alakfüggvéye: N1(, ) (1 )(1 ) ; N(, ) (1 )(1 ) ; N3(, ) (1 )(1 ) ; N4(, ) (1 )(1 ). A szerkezet megtámasztásakét fx 4 4 támaszok, leársa rugalmas rugók, lletve rugalmas rúdelemek kerültek alkalmazásra. 3. A feladat megfogalmazása Ahogy azt az előzőekbe jeleztük, tt az optmaltás feltétel (OC) módszeréek égy fő lépését valósítjuk meg. Először a topológaoptmálás feladat matematka programozás megfogalmazását adjuk meg rúdelemek haszálata élkül. Majd alkalmazva a Lagrage-féle dualtás elvet, felírjuk a Kuh-Tucker-feltételeket, és ezeket felhaszálva tudjuk megad az optmaltás terácós képletet. A jobb megértés érdekébe, alkalmazva a végeselemes alapfogalmakat, tektsük az alább tervezés esetet: Legye a leársa rugalmas ayagú szerkezet (tárcsa) D tervezés tartomáya smert.

20 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A szerkezetet a végeselemes dszkretzálás szabály szert osszuk fel G (g=1,,,g) alaptartomáyra. Az egyes tartomáyok t g vastagsága legye kostas (egységy). Mde alaptartomáyt osszuk fel tovább E s (e=1,,, E s ) elemre. (Gyakorlatlag ez azt jelet, hogy a hálózat geeráláskor egy elsődleges hálózatot készítük, majd ezt tovább osztjuk egy másodlagos hálózattal.) A terhelés egyparaméteres, statkus. A megtámasztások adata adottak. Adottak az elmozdulás korlátokat defáló feltételek hely (d=1,,,d) és agyság -. Felhaszálva az előbb ormált vastagságú szerkezetet, a leartás matt a feladat köye áttraszformálható egy tg t max vastagságú szerkezet vzsgálatára. Belátható, hogy a terheket tg t max tetszőleges értékkel beszorozva a kapott feladatba a feszültségek, alakváltozások és elmozdulások azoosak leszek az eredet ormált feladat eredméyevel. A szerkezet W súlyát az alább módo számíthatjuk: Itt g a szerkezet ayagáak fajsúlya, Ag G W= g Agt g. (3.1) g1 a g-edk alapelem területe. Az elmozdulás korlát a szerkezet adott potjába a téyleges elmozdulás smeretébe, amt a tartók statkájába smert módo számíthatuk, felírható: ahol ûd T ûdκu d ; d 1,..., D, (3..a) a d-edk helye és ráyba ható, egységy agyságú vrtuáls erőből számított vrtuáls csomópot elmozdulások vektora, K a szerkezet merevség mátrxa, u a P teherből számított téyleges csomópot elmozdulások vektora, megadott korlát agysága. d a d-edk elmozdulásra előre Abba az esetbe, ha egyetle elmozdulás korlátot (d=1) veszük fel a szerkezet egy megadott potjába, és a terhelés s csak tt hat, belátható, hogy (3..a) feltétel helyettesíthető a következő kfejezéssel: T u Κu C ; (3..b) ahol C (complace) a külső potecáls eerga. A továbbakba ezt az (3..b) egyelőtleséget haszáljuk a topológaoptmálás matematka programozás feladatába. Továbbá adjuk meg mde alaptartomáy t g (praktkusa t m és t max 1): vastagságára egy alsó, lletve egy felső korlátot

21 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 max m t t ; g 1,..., G, g t t ; g 1,..., G. g Ezek a korlátok ( és 1) gyakorlatlag azt szolgálják, hogy a tervezés eredméyekét azt adott elem létezk-e vagy em. Ahhoz, hogy elkerüljük a közbeső vastagság értékeket a szerkezet (3.3) súlyát egy módosított képlettel számoljuk. Az új formula G g1 1 p g g W g A t, ahol p ( p 1) a bütető paraméter, és szerepe ugya az, mt a klasszkus OC módszerekél haszált bütető paraméter. Megjegyezzük, hogy szolgáltatja. t g és tg 1 eseté a módosított képlet s a téyleges súlyt A topológaoptmálás alapfeladata bütető paraméterrel kfejezett súly-célfüggvéy és complace -feltétel alkalmazásával a következőképpe adható meg: m W m G g1 g 1 p g g A t (3.4.a) az alább feltételek mellett T u Κu C ; tg tm ; g 1,..., G, tg tmax ; g 1,..., G. (3.4.b-d) Az (4) matematka programozás feladatba az u csomópot elmozdulások vektora a Ku = P leárs egyeletredszerből meghatározott a ható P terhelés hatására. 3.3 Az terácós formula számítása A umerkus számítás ehézségeek csökketése érdekébe alkalmazzuk azt a feltételt, hogy az smeretle alapelem vastagságok (t m ) alsó korlátjáál a zérus vastagságok helyett egy véges, de ge kcs értéket vegyük fel (pl. t m 1 6 ). Ezzel a lépéssel a végeselemek száma a teljes számítás sorá kostas érték lesz és a rosszul kodícoált merevség mátrxot elkerülhetjük. Ha az eergakorlát a complace-feltétel - aktív (azaz egyelőségkét teljesül) az (3.4) matematka programozás feladatba, akkor az előző feltételek felhaszálásával a következő egyeletet kapjuk: G Rg C. (3.5) t g1 g

22 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 Mvel md a passzív ( g P ), md az aktív elemek g A vastagsága smert, azaz az előző pot alapjá számítható volt, így felírhatjuk a R R R C g g g p gp tg ga tg ga p1 pr g Ag g egyeletet, amelyből a Lagrage-szorzó értéke számítható: (3.6) p p1 ga A p p 1 p 1 g g p1 Rg C gp R t g g (ahol A ). (3.7) Az (4) matematka programozás feladat optmáls megoldását tehát terácós eljárás alkalmazásával megkaphatjuk, ha az optmaltás feltétel egyeletekből, megfelelő sorredbe, a t g vastagságokat, lletve a Lagrage-szorzó értékét kszámítjuk. Köye bzoyítható, hogy ha az (3.4) matematka programozás feladatba a célfüggvéyt felcseréljük az eerga korláttal, és az ú complace lesz a célfüggvéy, a szerkezet súly pedg feltételkét szerepel, akkor az eredet megfogalmazással egyeértékű feladatot kapuk. Eek optmáls megoldása, bzoyos feltételek mellett, azoos az (3.4) feladat optmáls megoldásával, azaz ugyaazt az optmáls topológát kapjuk. Ez az elsőredű optmaltás feltételek azoosságából következk. Az algortmus a témához kapcsolt mukába található. 3.4 A topológaoptmálás bővített feladata A mérök gyakorlat sokszor kívá megolda olya tervezés feladatot, hogy a megtámasztások helyét, lletve a belső megerősítések meységét vagy/és mőségét kell meghatározuk. Ez a feladattípus alkalmas a passzív módo való támaszerő szabályzásra, a súlyelhelyezés matt a kozolhatás erősítésére, a sajátfrekveca módosításra. A klasszkus támasz-optmálás feladatok megjeleése a 7-es évek közepére tehető. A probléma a umerkus ehézségek matt szte feltáratla maradt, és csak éháy éve került smét a kutatók vzsgálata tárgyává. Rozvay, Lógó és Kalszky (3) egy költség -függvéy alkalmazásával oldotta meg a feladatot rúdtámaszok eseté. Itt a célfüggvéy a külső, lletve belső megtámasztások egy alkalmas kombácóját fejez k az alább módo: ; (3.8) m k F b j Rj j

23 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 ahol k és b adott kostasok, belső, lletve a j-edk külső támaszerő agysága. és j az -edk, lletve j-edk rúd hossza, F és R j az -edk Így a topológa optmálás feladatál a célfüggvéy egy módosított változata kerül felhaszálásra, amelyél feltételeztük, hogy a költség aráyos a keletkező erő agyságával, azaz aráyos azzal a térfogattal, amt a kérdéses rúddal megadott támasz képvsel. Eélfogva az erők helyett a leársa rugalmas ayag felhaszálása matt az ayagtörvéy szert a A y meység került bevezetésre ( y egy feszültség határ mérőszáma, és húzásra, lletve yomásra az egyszerűség kedvéért azoos poztív értéket tételezzük fel, A a keresztmetszet méret). Az abszolút érték jelek így elhagyhatók és az új típusú célfüggvéy az alább módo írható:. (3.9) m k y A b j yj Aj j A továbbakba mde támaszt, aak a helyé egy rúdcsoporttal helyettesítük, oly módo, hogy a rudak mde lehetséges ráyba elhelyezésre kerülek. Továbbá a fx támaszokat s helyettesíthetjük a fetekbe megadott módo. (Ez azt jelet, hogy egy görgős megtámasztást egységy hosszú, de merev rúddal helyettesíthetük.) Az előzőleg smertetett elveket követve a bővített topológaoptmálás feladata complace feltétel eseté formalag az (3.4) matematka programozás feladattal azoos. Megoldása az ott smertetett elvek alapjá törték. 4 Lágyuló ayagú szerkezetek képlékey határállapot vzsgálata és optmáls tervezése [19] A kutatásba olya szerkezetek képlékey határállapot vzsgálatával és optmáls tervezésével foglalkoztuk, ahol a szerkezet ayaga húzásra emleárs lágyuló és egy megadott határfeszültséget vesz fgyelembe, míg yomásra leársa rugalmas tökéletese képlékey. Ez a fajta ayag vselkedés matematkalag em-kovex feladatra vezet. A umerkus megoldás sorá a szerkezetet úgy modelleztük, hogy a tervezés tartomáyt égycsomópotú merev elemekre botottuk, ahol az elemek ormál és yíró géybevételek felvételére alkalmas rúgókkal kapcsolódak egymáshoz. Az ayag vselkedés ezekre a rúgókra korlátozódk. Az ayag vselkedés komplextása azt eredméyezte, hogy a szerkezet hajlékoyság mátrxa a határállapot vzsgálat sorá em kostas, így az egyes lépésekbe frssíte kell az elemet.

24 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A em-kovex vselkedés matt egy terácós algortmust javasoltuk, am egymásba ágyazott cklusokat tartalmaz. Eek részlete dolgozatukba megtalálható. 5 Összefoglalás Az smertetett modellek alapjá algortmusokat és számítógépes programokat készítettük és a feladatokat főleg terácós úto oldottuk meg. Felírva az optmaltás feltételt, a kapcsolt feladatok megoldását megkaptuk egy matematka programozás feladat drekt megoldásával, lletve átfogalmazva a többcélfüggvéyes matematka programozás alkalmazásával. Algortmusuk alapja a szekvecáls kvadratkus programozás volt. A tapasztalatak azt mutatják, hogy hatékoya haszálható. Valamey vzsgált feladat esetébe számos példát megoldottuk és az eredméyeket dagramokkal és táblázatokkal szemléltettük. Parametrkus vzsgálatokat s végeztük és elemeztük az egyes paraméterekek az eredméyekre gyakorolt hatását. A kdolgozott modellek előye, hogy külöleges esetkét a rugalmas lletve a teljese képlékey állapotú tartók optmáls tervezését s magukba foglalják. Előírt tervezés tartomáy esté a tárcsák optmáls ayageloszlásáak smeretébe a tárcsák optmáls alakja (határvoalak, áttörések) s meghatározható. A módszer tehát topológa optmálásra s alkalmas. Az eredméyeket emzetköz folyóratokba, emzetköz és haza koferecá smertettük, éháy dolgozatuk pedg elektrokus ckk formájába jelet meg. Részt vettük és előadást tartottuk az Iteratoal Socety of Structural ad Multdscplary Optmzato (ISSMO) emzetköz kogresszusá. Előadást tartottuk az ICTAM kogresszusá. Az ISSMO kutatóval és az IPPT (Isttute of Fudametal Techologcal Research, Polad) szoros együttműködésbe dolgoztuk. A kutatás dőszakba dolgozatakra számos hvatkozás törtét.

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése 3 4 Tartalomegyzék. BEVEZETÉS 5. A MÉRÉS 8. A mérés mt folyamat, fogalmak 8. Fotosabb mérés- és műszertechka fogalmak 4.3 Mérés hbák 8.3. Mérés hbák csoportosítása eredetük szert 8.3. A hbák megeleítés

Részletesebben

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba

Részletesebben

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

Kényszereknek alávetett rendszerek

Kényszereknek alávetett rendszerek Kéyszerekek alávetett redszerek A koordátákak és sebességekek előírt egyeleteket kell kelégítee a mozgás olyamá. (Ezeket a eltételeket, egyeleteket s ayag kölcsöhatások bztosítják, de ezek a kölcsöhatások

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011 MÉRÉSTECHNIKA DR. HUBA ANTAL c. egy. taár BME Mechatroka, Optka és Gépészet Iformatka Taszék 0 Rövde a tárgyprogramról Előadások tematkája: Metrológa és műszertechka alapok Mérés adatok kértékelése Időbe

Részletesebben

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat:

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat: JÁRATTERVEZÉS Kapcsolatok szert: Sugaras, gaárat: Járattípusok Voalárat: Körárat: Targocás árattervezés egyszerű modelle Feltételek: az ayagáram determsztkus, a beszállítás és kszállítás dőpot em kötött

Részletesebben

A pályázat címe: Új elméleti és numerikus módszerek tartószerkezetek topológiaoptimálására

A pályázat címe: Új elméleti és numerikus módszerek tartószerkezetek topológiaoptimálására 00. év OKA zárójelentés: Vezetı kutató:lóó János A pályázat címe: Új elmélet és numerkus módszerek tartószerkezetek topolóaoptmálására determnsztkus és sztochasztkus feladatok esetén. (Részletes jelentés)

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Laboratóriumi mérések

Laboratóriumi mérések Laboratórum mérések. Bevezetı Bármlye mérés ayt jelet, mt meghatároz, háyszor va meg a méredı meységbe egy másk, a méredıvel egyemő, ökéyese egységek választott meység. Egy mérés eredméyét tehát két adat

Részletesebben

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László Valószíűségszámítás Ketskeméty László Budapest, 996 Tartalomjegyzék I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 3. Kombatorka alapfogalmak 4 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 6. A valószíűségszámítás alapfogalma

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

A Sturm-módszer és alkalmazása

A Sturm-módszer és alkalmazása A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle

Részletesebben

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 202.03.0. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

+ - kondenzátor. Elektromos áram

+ - kondenzátor. Elektromos áram Tóth : Eektromos áram/1 1 Eektromos áram tapasztaat szernt az eektromos tötések az anyagokban ksebb vagy nagyobb mértékben hosszú távú mozgásra képesek tötések egyrányú, hosszútávú mozgását eektromos áramnak

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...!

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Csapágyak üzem közbeni vizsgálata a csavarhúzótól a REBAM 1 -ig 2

Csapágyak üzem közbeni vizsgálata a csavarhúzótól a REBAM 1 -ig 2 ÜZEMFENNTARTÁSI TEVÉKENYSÉGEK 3.9 Csapágyak üzem közbei vizsgálata a csavarhúzótól a REBAM 1 -ig 2 Gergely Mihály okl. gépészmérök, Acceleratio Bt. Budapest Tóbis Zsolt doktoradusz, Miskolci Egyetem Gépelemek

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Darupályák ellenőrző mérése

Darupályák ellenőrző mérése Darupályák ellenőrző mérése A darupályák építésére, szerelésére érvényes 15030-58 MSz szabvány tartalmazza azokat az előírásokat, melyeket a tervezés, építés, műszak átadás során be kell tartan. A geodéza

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Hajtástechnika \ Hajtásautomatizálás \ Rendszerintegráció \ Szolgáltatások MOVITRAC B. Üzemeltetési utasítás. Kiadás: 2009. 05.

Hajtástechnika \ Hajtásautomatizálás \ Rendszerintegráció \ Szolgáltatások MOVITRAC B. Üzemeltetési utasítás. Kiadás: 2009. 05. Hajtástechka \ Hajtásautomatzálás \ Redszertegrácó \ Szolgáltatások MOVITRAC B Kadás: 2009. 05. 16810961 / HU Üzemeltetés utasítás SEW-EURODRIVE Drvg the world Tartalomjegyzék 1 Fotos tudvalók... 5 1.1

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

3.3 Fogaskerékhajtások

3.3 Fogaskerékhajtások PTE, PMMK Stampfer M.: Gépelemek II / Mechaikus hajtások II / 7 / 3.3 Fogaskerékhajtások Jó tulajoságaikak köszöhetőe a fogaskerékhajtóművek a legelterjetebbek az összes mechaikus hajtóművek közül. A hajtás

Részletesebben

1.52 CS / CSK. Kulisszás hangcsillapítók. Légcsatorna rendszerek

1.52 CS / CSK. Kulisszás hangcsillapítók. Légcsatorna rendszerek 1.52 CS / Légcsatra redszerek Alkalmazás: A légcsatraredszere építve, a légcsatráka terjedõ zaj csillapítására alkalmasak. Kialakításuk a eépített csillapító testek szerit alapvetõe hárm féle lehet: A,

Részletesebben

Széki Hírek A Magyarszékért Egyesület kiadványa

Széki Hírek A Magyarszékért Egyesület kiadványa Szék Hírek A Magyarszékért Egyesület kadáya X. éfolyam, 1. szám Karácsoy a árakozással tel szeretet üepe December 17-é fatalok adtak hagerseyt a templomba. K kegyetleül süöltött a hdeg szél, míg be melegséggel

Részletesebben

I. BEVEZETİ. i= 1 i= Z : Ai F és Ai Ai+ i Z : Bi F és Bi Bi+

I. BEVEZETİ. i= 1 i= Z : Ai F és Ai Ai+ i Z : Bi F és Bi Bi+ I ALAPFOGALMAK I BEVEZETİ Jelölése: K: véletle ísérlet, ω : elem eseméy, { : } Ω= ω : eseméytér, F Ω : eseméyalgebra, A F : eseméy, Ω F : bztos eseméy Mővelete eseméyeel: összegzés: A+B (halmazuó), szorzás:

Részletesebben

III. Áramkör számítási módszerek, egyenáramú körök

III. Áramkör számítási módszerek, egyenáramú körök . Árakör száítás ódszerek, egyenáraú körök A vllaos ára a vllaos töltések rendezett áralása (ozgása) a fellépő erők hatására. Az áralás ránya a poztív töltéshordozók áralásának ránya, aelyek a nagyobb

Részletesebben

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés kapcsolatába törtéelmileg három fejlődési típus vázolható fel: megelőző, lácszerűe együtt haladó, utólagosa

Részletesebben

Hálózati transzformátorok méretezése

Hálózati transzformátorok méretezése KÁLMÁN Telefogyár ISTVÁN Hálózati traszformátorok méretezése ETO 62.34.2.00.2 dolgozat célja olya számítási eljárás megadása, amelyek segítségével gyorsa és a gyakorlat igéyeit kielégítő potossággal lehet

Részletesebben

KERETSZERKEZETEK. Definíciók, Keretek igénybevételei, méretezése. 10. előadás

KERETSZERKEZETEK. Definíciók, Keretek igénybevételei, méretezése. 10. előadás KERETSZERKEZETEK Definíciók, Keretek igénybevételei, méretezése 10. előadás Definíciók: Oszlop definíciója: Az oszlop vonalas tartószerkezet, két keresztmetszeti mérete (h, b) lényegesen kisebb, mint a

Részletesebben

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET ε ε hullámegelet: Mérökizikus szak, Optika modul, III. évolam /. élév, Optika I. tárg GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 6. AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egeletek E(

Részletesebben

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA 9. LINÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKA Az 5. fejezetbe már megmeredtü a leár trazformácóal mt a leár leépezée egy ülölege típuával a 6. fejezetbe pedg megvzgáltu a leár trazformácó mátr-reprezetácóját.

Részletesebben

A mágneses tér energiája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek

A mágneses tér energiája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek A mágneses tér energája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek A mágneses tér energája Egy koncentrált paraméterű, ellenállással és nduktvtással jellemzett tekercs Uáll feszültségre kapcsolásakor az

Részletesebben

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése 3.1.1. Rugalmas elektroszórás 45 3.1.1. Rugalmas elektroszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése Aray, ikkel, szilícium és grafit mitákról rugalmasa visszaszórt elektrook eergiaeloszlását mértem

Részletesebben

Sorbanállási modellek

Sorbanállási modellek VIII. előadás Sorbaállási modellek Sorbaállás: A sorbaállás, a várakozás általáos probléma közlekedés, vásárlás, takolás, étterem, javításra várás, stb. Eze feladatok elmélete és gyakorlata a matematikai

Részletesebben

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása Az új építőipari termelőiár-idex részletes módszertai leírása. Előzméyek Az elmúlt évekbe az építőipari árstatisztikába egy új, a korábba haszálatos költségalapú áridextől eltérő termelői ár alapú idexmutató

Részletesebben

AutoN cr. Automatikus Kihajlási Hossz számítás AxisVM-ben. elméleti háttér és szemléltető példák. 2016. február

AutoN cr. Automatikus Kihajlási Hossz számítás AxisVM-ben. elméleti háttér és szemléltető példák. 2016. február AutoN cr Automatikus Kihajlási Hossz számítás AxisVM-ben elméleti háttér és szemléltető példák 2016. február Tartalomjegyzék 1 Bevezető... 3 2 Célkitűzések és alkalmazási korlátok... 4 3 Módszertan...

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

MUNKAANYAG. Szabó László. Szilárdságtan. A követelménymodul megnevezése:

MUNKAANYAG. Szabó László. Szilárdságtan. A követelménymodul megnevezése: Szabó László Szilárdságtan A követelménymodul megnevezése: Kőolaj- és vegyipari géprendszer üzemeltetője és vegyipari technikus feladatok A követelménymodul száma: 047-06 A tartalomelem azonosító száma

Részletesebben

Folyamatos működésű anyagmozgató gépek, géprendszerek teljesítőképességének meghatározása

Folyamatos működésű anyagmozgató gépek, géprendszerek teljesítőképességének meghatározása Folymtos műödésű ygmozgtó gépe, gépredszere telesítőépességée meghtározás A folymtos műödésű ygmozgtó gépe ellemzése telesítőépesség meghtározás szempotából: helyhez ötött, telepített gépe, mozgtás útvolt,

Részletesebben

specific (assignable) cause: azonosítható, tettenérhető (veszélyes) hiba megváltozott a folyamat

specific (assignable) cause: azonosítható, tettenérhető (veszélyes) hiba megváltozott a folyamat ELLENŐRZŐ KÁRTYÁK méréses mősítéses commo cause: véletle gadozás secfc (assgable) cause: azoosítható, tetteérhető (veszélyes) hba megváltozott a folyamat Mősítéses elleőrző kártyák 41 Mősítéses elleőrző

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise Nagyméretű emlieáris közúti közlekedési hálózatok speciális aalízise Dr. Péter Tamás* *Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Közlekedéautomatikai Taszék (tel.: +36--46303; e-mail: peter.tamas@mail.bme.hu

Részletesebben

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke:

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke: A PÉNZ IDİÉRTÉKE A péz értéke többek között az idı függvéye. Ha idıbe késıbb jutuk hozzá egy jövedelemhez, akkor elveszítjük aak lehetıségét, hogy az eltelt idıbe azt befektessük, azaz elesük aak hozamától,

Részletesebben

FAIPARI ALAPISMERETEK

FAIPARI ALAPISMERETEK Faipari alapismeretek középszit 0812 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. október 17. FAIPARI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fotos tudivalók

Részletesebben

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée DR BENKŐJÁNO gátudoáy Egyete Gödöllő Mg Gépt Itézet gyoozgáú gépzeezete tevezéée foto lépée z egyelete, ezgéete üzeet bztoító

Részletesebben

Statisztikai programcsomagok

Statisztikai programcsomagok Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés

Részletesebben

A HÉJSZERKEZETEK TERVEZÉSÉNEK GYAKORLATI KÉRDÉSEI 1. A NYOMÁSTARTÓ EDÉNYEK TERVEZÉSÉNEK ÁLTALÁNOS ELVEI

A HÉJSZERKEZETEK TERVEZÉSÉNEK GYAKORLATI KÉRDÉSEI 1. A NYOMÁSTARTÓ EDÉNYEK TERVEZÉSÉNEK ÁLTALÁNOS ELVEI Gépészeti szerkezetek tervezése (GEGEMGGT) Gyakorlati útmutató 1/55 A HÉJSZERKEZETEK TERVEZÉSÉNEK GYAKORLATI KÉRDÉSEI Kollár György tudományos munkatárs, BME Gép- és Terméktervezés Tanszék A lemez- és

Részletesebben

A.15. Oldalirányban nem megtámasztott gerendák

A.15. Oldalirányban nem megtámasztott gerendák A.15. Oldalirányban nem megtámasztott gerendák A.15.1. Bevezetés Amikor egy karcsú szerkezeti elemet a nagyobb merevségű síkjában terhelünk, mindig fennáll annak lehetősége, hogy egy hajlékonyabb síkban

Részletesebben

Az elektromos kölcsönhatás

Az elektromos kölcsönhatás TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) z elektromos kölcsönhatás Rég tapasztalat, hogy megdörzsölt testek különös erőket tudnak kfejten. Így pl. megdörzsölt műanyagok (fésű), megdörzsölt üveg- vagy

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

Rajzolja fel a helyettesítő vázlatot és határozza meg az elemek értékét, ha minden mennyiséget az N2 menetszámú, szekunder oldalra redukálunk.

Rajzolja fel a helyettesítő vázlatot és határozza meg az elemek értékét, ha minden mennyiséget az N2 menetszámú, szekunder oldalra redukálunk. Villams Gépek Gyakrlat 1. 1.S = 100 kva évleges teljesítméyű egyfázisú, köpey típusú traszfrmátr (1. ábra) feszültsége U 1 /U = 5000 / 400 V. A meetfeszültség effektív értéke U M =4,6 V, a frekvecia f=50hz.

Részletesebben

TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorganizmusok számának meghatározása telepszámlálásos módszerrel

TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorganizmusok számának meghatározása telepszámlálásos módszerrel TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorgaizmusok számáak meghatározása telepszámlálásos módszerrel A telepszámlálásos módszerek esetébe a teyésztést szilárd táptalajo végezzük, így - szembe

Részletesebben

Ftéstechnika I. Példatár

Ftéstechnika I. Példatár éecha I. Példaár 8 BME Épülegépéze azé éecha I. példaár aralojegyzé. Ha özeoglaló... 3.. Hvezeé...3.. Háadá....3. Hugárzá...6.. Háoáá....5. Szgeel axál hleadáához arozó ül áér....6. Bordázo vezeé.... Sugárzá...5.

Részletesebben

járta, aprít ó é s tuskófuró a NEFA G fejlesztésében

járta, aprít ó é s tuskófuró a NEFA G fejlesztésében ható, max. 140 cm munkaszélességre és 15 25 cm-es munkamélységre készült. A gép üzem próbájára ez évben kerül sor. A műveletcentrkus egyed gépkalakítások mellett nem mondtunk le egy bázsgép rendszerű csemetekert

Részletesebben

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011 MÉRÉSTECHNIKA DR. HUBA ANTAL c. eg. taár BME Mechatroka, Optka és Gépészet Iformatka Taszék 0 Rövde a tárgprogramról Előadások tematkája: Metrológa és műszertechka alapok Mérés adatok kértékelése Időbe

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

? közgazdasági statisztika

? közgazdasági statisztika Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem

Részletesebben

Segédlet és méretezési táblázatok Segédlet az Eurocode használatához, méretezési táblázatok profillemezekhez és falkazettákhoz

Segédlet és méretezési táblázatok Segédlet az Eurocode használatához, méretezési táblázatok profillemezekhez és falkazettákhoz Segédlet az Eurocode használatához, méretezési táblázatok profillemezekhez és falkazettákhoz A trapézprofilokat magas minőség, tartósság és formai változatosság jellemzi. Mind a legmagasabb minőséget képviselő

Részletesebben

Hosszmérés finomtapintóval 2.

Hosszmérés finomtapintóval 2. Mechatroika, Optika és Gépészeti Iformatika Taszék kiadva: 0.0.. Hosszmérés fiomtapitóval. A mérések helyszíe: D. épület 53-as terem. Az aktuális mérési segédletek a MOGI Taszék holapjá érhetők el, a www.mogi.bme.hu

Részletesebben

Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS

Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS Jegyzet ELE, Iformata Kar Hegedős: Numerus Aalízs ARALOM Gép szám, hbá 3 Normá, egyelıtlesége 9 3 A umerus leárs algebra egyszerő traszformácó 6 4 Mátro LU-felbotása, Gauss-Jorda

Részletesebben

1. Az absztrakt adattípus

1. Az absztrakt adattípus . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,

Részletesebben

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi kar Vicze Gergely Trazies káosz yitott biliárdasztaloko Msc szakdolgozat Témavezető: Tél Tamás, egyetemi taár Elméleti Fizikai Taszék Budapest, 2012 1 Tartalom

Részletesebben

A TERMELÉSI FOLYAMATOK HATÉKONY ÉS OPTIMÁLIS IRÁNYÍTÁSA A KOMPLEX MÓDSZER ALKALMAZÁSÁVAL

A TERMELÉSI FOLYAMATOK HATÉKONY ÉS OPTIMÁLIS IRÁNYÍTÁSA A KOMPLEX MÓDSZER ALKALMAZÁSÁVAL Wolfgang Lassmann - Günter Peissker A TERMELÉSI FOLYAMATOK HATÉKONY ÉS OPTIMÁLIS IRÁNYÍTÁSA A KOMPLE MÓDSZER ALKALMAZÁSÁVAL A termelési folyamat hatékonyabb irányítása közepes és nagy gazdasági vállalatokban,

Részletesebben

Merev test mozgása. A merev test kinematikájának alapjai

Merev test mozgása. A merev test kinematikájának alapjai TÓTH : Merev test (kbővített óraválat) Merev test mogása Eddg olyan dealált "testek" mogását vsgáltuk, amelyek a tömegpont modelljén alapultak E aal a előnnyel járt, hogy nem kellett foglalkon a test kterjedésével

Részletesebben

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika Fuzzy rendszerek A fuzzy halmaz és a fuzzy logka A hagyományos kétértékű logka, melyet évezredek óta alkalmazunk a tudományban, és amelyet George Boole (1815-1864) fogalmazott meg matematkalag, azon a

Részletesebben

Bevezetés a kémiai termodinamikába

Bevezetés a kémiai termodinamikába A Sprnger kadónál megjelenő könyv nem végleges magyar változata (Csak oktatás célú magánhasználatra!) Bevezetés a kéma termodnamkába írta: Kesze Ernő Eötvös Loránd udományegyetem Budapest, 007 Ez az oldal

Részletesebben

AZ ÉPÜLETGÉPÉSZETI RENDSZEREK ENERGIA-HATÉKONYSÁGÁNAK KÉRDÉSEI

AZ ÉPÜLETGÉPÉSZETI RENDSZEREK ENERGIA-HATÉKONYSÁGÁNAK KÉRDÉSEI AZ ÉÜLETGÉÉSZETI RENDSZEREK ENERGIA-HATÉKONYSÁGÁNAK KÉRDÉSEI Szivattyúzás - rövide örös Szilárd Cetrifugál szivattyú Nyomó oldal Járókerék Járókerék lapát Járókerék él Járókerék csavar a szállított közeg

Részletesebben

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója

Részletesebben

Kevei Péter. 2013. november 22.

Kevei Péter. 2013. november 22. Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

(1) Milyen esetben beszélünk tartós nyugalomról? Abban az esetben, ha a (vizsgált) test a helyzetét hosszabb időn át nem változtatja meg.

(1) Milyen esetben beszélünk tartós nyugalomról? Abban az esetben, ha a (vizsgált) test a helyzetét hosszabb időn át nem változtatja meg. SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MECHNIK - STTIK LKLMZTT MECHNIK TNSZÉK Elmélet kérdések és válaszok egetem alapképzésbe (Sc képzésbe) résztvevő mérökhallgatók számára () Mle esetbe beszélük tartós ugalomról?

Részletesebben

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található Phlosophae Doctores A sorozatban megjelent kötetek lstája a kötet végén található Benedek Gábor Evolúcós gazdaságok szmulácója AKADÉMIAI KIADÓ, BUDAPEST 3 Kadja az Akadéma Kadó, az 795-ben alapított Magyar

Részletesebben

TARTÓSZERKEZETEK II. VASBETONSZERKEZETEK 2013.02.11.

TARTÓSZERKEZETEK II. VASBETONSZERKEZETEK 2013.02.11. TARTÓSZERKEZETEK II. VASBETONSZERKEZETEK 2013.02.11. A felületszerkezetek csoportosítása Felületszerkezetek Sík középfelület Görbült középfelület (héjszerkezet) Tárcsa Lemez Egyszeresen görbült Kétszeresen

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR védőeryő az ismeretleek záporába VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR www.matektaitas.hu www.matektaitas.hu ifo@matektaitas.hu 1 védőeryő az ismeretleek záporába Kombiatorika Permutáció Ismétlés élküli permutáció

Részletesebben

Tartószerkezet-rekonstrukciós Szakmérnöki Képzés

Tartószerkezet-rekonstrukciós Szakmérnöki Képzés 6.2. fejezet 483 FEJEZET BEVEZETŐ 6.2. fejezet: Síkalapozás (vb. lemezalapozás) Az irodaház szerkezete, geometriája, a helyszín és a geotechnikai adottságok is megegyeznek az előző (6.1-es) fejezetben

Részletesebben

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u Approxmácó Bevezetés A felhaszált térfogalmak: leárs tér (vektortér) ormált tér Baach tér eukldesz-tér Hlbert tér V ormált tér T V T kompakt halmaz Ekkor v V u ~ T legjobba közelítõ elem azaz v u ~ f {

Részletesebben

8. Programozási tételek felsoroló típusokra

8. Programozási tételek felsoroló típusokra 8. Programozás tételek felsoroló típusokra Ha egy adatot elem értékek csoportja reprezentál, akkor az adat feldolgozása ezen értékek feldolgozásából áll. Az lyen adat típusának lényeges jellemzője, hogy

Részletesebben

VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE

VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE BUDAPET MŰZAK É GAZDAÁGTUDOMÁY EGYETEM Építőmérök Kar Hdak és zerkezetek Taszéke VABETO ÉPÜLETEK MEREVÍTÉE Oktatás segédlet v. Összeállította: Dr. Bód stvá - Dr. Farkas György Dr. Kors Kálmá Budapest,.

Részletesebben

MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS SZERVEZETI EGYSÉGEKEN BELÜLI DÖNTÉSI FOLYAMATOK SZABÁLYOZÁSA

MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS SZERVEZETI EGYSÉGEKEN BELÜLI DÖNTÉSI FOLYAMATOK SZABÁLYOZÁSA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS SZERVEZETI EGYSÉGEKEN BELÜLI DÖNTÉSI FOLYAMATOK SZABÁLYOZÁSA ÁR-01 OLDAL: 1. 1. AZ ELJÁRÁS CÉLJA Szabályoz, hogy a szervezete belül kk, hol és mlye dötéseket hozak meg. Beazoosíta,

Részletesebben

1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék

1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék 1 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék...1.Beezetés... 3.A matematka modell kálasztása...5 4.A ékony lap modell...7 5.Egy más módszer a matematka modell kálasztására...10 6.A felületet

Részletesebben

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető 11. méré Méréek, hibák 1. evezető laboratóriumi muka orá gyakra mérük külöböző fizikai meyiégeket. Ezeket a méréeket bármeyire ügyeek vagyuk i, bármeyire moder digitáli mérőezköz gombjait yomogatjuk i

Részletesebben

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció Közlekedés létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vzsgálat módszerenek fejlesztése PhD Dsszertácó Budapest, 2006 Alulírott kjelentem, hogy ezt a doktor értekezést magam készítettem, és abban

Részletesebben

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk.

Részletesebben

Energetikai gazdaságtan 3. gyakorlat Gazdasági mutatók

Energetikai gazdaságtan 3. gyakorlat Gazdasági mutatók Eergetk gzdságt 3. gykorlt Gzdság muttók GAZDASÁGTAN, PÉNZÜGY JELLEMZŐK A gykorlt célj, hogy hllgtók A. elsjátítsák gzdálkodásb szokásos pézügytechk meységek között összefüggéseket; B. egyszerű gzdságosság

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

Walltherm rendszer. Magyar termék. 5 év rendszergaranciával. Felületfûtés-hûtés Épületszerkezet-temperálás padlófûtés

Walltherm rendszer. Magyar termék. 5 év rendszergaranciával. Felületfûtés-hûtés Épületszerkezet-temperálás padlófûtés Walltherm redszer 5 év redszergaraciával Felületfûtés-hûtés Épületszerkezet-temperálás padlófûtés Magyar termék WALLTHERM felületfûtés-hûtési redszer Egy fûtési- (hûtési) redszer kialakítása elôtt számtala

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben