2.10. Az elegyek termodinamikája

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "2.10. Az elegyek termodinamikája"

Átírás

1 Kéma termodamka.1. z elegyek termodamkája fzka kéma több féle elegyekkel foglakozk, kezdve az deáls elegyektől a reáls elegyekg. Ha az deáls elegyek esetébe az alkotók közt kölcsöhatásokat elhayagoljuk, a reáls elegyek eseté a kölcsöhatások sokfélék lehetek, egész a kéma reakcókg. gáz elegyek esetébe már láttuk, hogy va külöbség az deáls vselkedés és a reáls vselkedés között. zt s láttuk, hogy a gázelegy yomása az alkotók parcáls yomásáak az összege, vagys mdegyk gáz kompoes hozzájárulása a teljes yomáshoz aráyos a gáz elegybe lévő kocetrácójával, móltörtjével. Ezt az elvet s tovább haszálva, vezessük be a parcáls molárs meységeket, vagys a parcáls molárs térfogat és a parcáls molárs szabadetalpa fogalmát parcáls molárs térfogat parcáls molárs térfogat em más, mt az a térfogat hozzájárulás, amellyel az elegy valamely kompoese hozzájárul a teljes elegytérfogathoz. Eek megsmerésére, duljuk k két kísérlet eredméyből. z első esetbe vegyük agy meységű tszta vzet, melyhez adjuk hozzá 1 mol vzet. Meyvel fog ő az elegy térfogata? Tudjuk, hogy egy mól víz tömege 18 g. Ha kszámítjuk térfogatát, akkor felírható: V=m/ρ=18/1=18 ml Ha megmérék a térfogatváltozást, akkor 18 ml kapák. Ha azoba ugyaay vzet adagoluk agy meységű alkoholhoz,.6. ábra. víz és az alkohol parcáls akkor a keverék térfogata csak molárs térfogata 98 K hőmérséklete 14 ml értékkel ő. Ez azt és 1 atm yomáso[8]. jelet, hogy míg az első esetbe a víz térfogat hozzájárulása 18 ml, a másodkba csak 14 ml (lásd a.6. 66

2 Fejezetek a fzka kémából ábrát). külöböző térfogat-hozzájárulás attól függ, hogy mey helyet foglalak el vízmolekulák az elegybe. z első esetbe a szerkezetük em változk, hsz vzet keverük vízzel, a másodkba ellebe, az alkohol megváltozatja a vízmolekulák egymáshoz való vszoyát, hsz az alkoholba most mdegyk vízmolekula körül va véve alkohol molekulákkal, s így a karaktersztkus vízszerkezet megbomlk. Modhatjuk tehát, hogy az ayag parcáls molárs térfogata az a térfogatváltozás, amt a agymeységű elegyhez hozzáadott 1 mol ayag okoz. Egy bzoyos ayag parcáls molárs térfogatát az alábbak szert defálhatjuk: V j V (.195) j p, T, ' ahol azt jelképez, hogy a több ayag meysége álladó. parcáls molárs térfogat em más, mt a térfogat ayagmeység függvéy meredeksége (lásd a.7. ábrát). defícó szert, ha és ayagot tartalmazó elegy összetételét d ayag és d ayag hozzáadásával megváltoztatjuk, akkor az elegy térfogata a következők szert változk: V V dv d d (.196) p, T, p, T, vagys: dv V d V d (.197) Itegrálva: V V V (.198).7. ábra. parcáls molárs térfogat em más, mt a teljes térfogat és összetétel függvéy meredeksége. ár a térfogat mdg poztív marad, a parcáls molárs térfogat értéke lehet egatív s. Például, ha vízhez adagoluk 1 mol MgSO 4 -ot, akkor a teljes térfogat 67

3 Kéma termodamka 1,4 cm 3 értékkel csökke, mert a só megváltoztatva a víz szerkezetét, az összehúzódk az ook hdratácója sorá..1.. parcáls molárs szabadetalpa Épp úgy, ahogy a térfogatra meghatároztuk a parcáls molárs hozzájárulást, ez mde extezív meységre s felírható. szabadetalpa esetébe s, úgy mt, ahogy a belső eergára defáltuk, aak az ayagmeység szert parcáls derváltja em más, mt a kéma potecál, tehát: p, T, ' 68 (.199) Ie látható, hogy a kéma potecál a szabadetalpa ayagmeység függvéyébe ábrázolt görbe meredeksége, ameybe a yomás, a hőmérséklet és több alkotó ayagok meysége álladó. Ha az elegyük két kompoest tartalmaz, akkor arra a szabadetalpa változást úgy írhatjuk fel, mt parcáls dervált változó dfferecál szorzatok összege: d d d (.) p, T, p, T, vagys d d d (.1) ahoa, tegrálva, a következő összefüggést kapjuk: (.) amelybe a, - a kéma potecál értéke (Jmol -1 ) az adott összetételbe. z összefüggésből jól látható, hogy az elegy szabadetalpáját az elegybe lévő ayagok és azok kéma potecálja határozza meg. Egy meghatározott yílt redszerbe a szabadetalpa változk a yomás, a hőmérséklet és az ayagmeység függvéyébe. Ez azt jelet, hogy a zárt redszerre felírt d Vdp SdT összefüggés yílt redszerek esetébe a kővetkező alakot ölt: d Vdp SdT d d (.3) Ez képez a kéma termodamka alapvető egyeletét. Álladó yomáso és zoterm körülméyeke az egyelet a következő alakot ölt: d d d... (.4)

4 Fejezetek a fzka kémából Ez azt jelet, hogy a szabadetalpa változás, mt a em térfogat muka mértéke, felírható: d dl d d (.5) tfm em térfogat muka a redszer összetételéek megváltozásból származk. Meg kell jegyez, hogy a kéma potecál több mt a szabadetalpa összetétel függvéye. Ismerve a szabadetalpa és belső eerga összefüggést, be lehet köye bzoyíta, hogy a kéma potecál úgy a belső eerga, mt az etalpa, mt a szabadeerga összetétel függvéyére s alkalmas. Tudjuk, hogy a szabad etalpa defícójából, hogy =H-TS=U+pV-TS, ahoa U=-pV+TS. Írjuk fel a belsőeerga dfferecálját: du d pdv Vdp SdT TdS (.6) Helyettesítsük be de a d: du pdv Vdp SdT TdS ( Vdp SdT d d...) (.7) Ie felírható: du pdv TdS d d.. (.8) Tehát most egy olya összefüggést kaptuk, amely leírja, hogy hogya változk a belső eerga a térfogat, az etrópa és az összetétel függvéyébe. bba az esetbe, amkor a térfogat és az etrópa kostas, fel lehet ír: du d d.. (.9) amből következk a már smert összefüggés: S, V, ' U (.1) Ugyaúgy be lehet bzoyíta, hogy a kéma potecál az etalpa összetétel vagy a belső eerga összetétel függvéy meredeksége, amkor a yomás, a hőmérséklet, lletve a hőmérséklet, térfogat és a több összetevő álladó. H (.11) vagy: p, T, ' 69 F (.1) T, V, ' Ismertek a szabadetalpa defícós egyelete: d d d (.13) és (.14) Írjuk fel a (.13) egyelet dfferecálját: d d d d d (.15)

5 Kéma termodamka hhoz, hogy mdkét dfferecáls összefüggés leírhassa a jeleséget szükséges, hogy d d (.16) Ez em más, mt az smert bbs-duham összefüggés, amelyből azt lehet kolvas, hogy az egyk kompoes kéma potecálja em változhat a másk kompoes kéma potecáljától függetleül [5,7,9,1], vagys: d d (.17) Ha az egyk övekedk, akkor a máskak csökkee kell. Ez a kjeletés érvéyes em csak a kéma potecálra, haem mdegyk parcáls molárs meységre s, köztük a térfogatra. 15. y. Ismert, hogy a K SO 4 aq, parcáls molárs térfogatát 98 K hőmérséklete a következő összefüggés írja le: V 3,8+18,1C,5 ml/mol, ahol a C, a KSO4 ( aq) szulfát oldat molaltása. lkalmazva a bbs-duham összefüggést, határozzuk meg a víz molárs térfogatát megadó összefüggést. dott a tszta víz móltérfogata ( V H 18, 79 O ml/mol) [9]. Megoldás: Legye a szulfát és a víz. Felírva bbs Duham aalógát: dv dv (.18) Ie: dv V dv (.19), Itegrálva: V V dv ö V,5 V 3,8 18,1C összefüggésből, következk (.) dv,5, 5 9,15C dv 9,15C dc (.1) dc ehelyettesítve az tegrálba, felírható: C,5 V V C dc 9,15 (.) Ismerve, hogy az molaltása: C, ahol M =18,.1-3 kg/mol, fel lehet ír: m M szolves 7

6 V V C Fejezetek a fzka kémából,5 9,15 C M C dc (.3) Megoldva a kővetkező őszfüggést kapjuk: 3/ V 18,79,194C ml/mol. (.4).1.3. z elegyedés szabadetalpa változás Vegyük egy és egy kompoest tartalmazó tartályt, amelyekbe a yomás p és a hőmérséklet T. z egyk tartályba meységű, a máskba meységű gáz va. Kössük össze a két tartályt, azért hogy alakuljo k az (+) keverék. Mvel a két tartályba a gázok tszták, lyekor a két gáz kéma potecálja a tszta ayagra voatkoztatható. keverék kezdet szabadetalpája kfejezhető a (.) összefüggés fgyelembe vételével, tudva, hogy a molárs szabadetalpa em más, mt a kéma potecál, vagys: p p RT l RT l (.5) p p Ha p-t úgy tektjük, mt a RT l p RT l p p -ra voatkoztatott yomást, akkor felírható: (.6) keverés utá, amkor az parcáls yomás p, a -é pedg p lesz, fel tudjuk ír: f RT l p RT l p (.7) keverés szabadetalpa változás pedg: p p f RT l RT l (.8) p p j Fgyelembe véve a móltörtet, vagys x j fel tudjuk ír egyfelől: p p x, x (.9 a,b) másfelől x; x (.3 a,b) p p ehelyettesítve az összefüggésébe, fel lehet ír RT x l x x l x (.31) f 71

7 Kéma termodamka keveredés szabadetalpa egyeese aráyos a hőmérséklettel, és függetle a yomástól. Mvel a móltört mdg ksebb, mt egy, aak logartmusa egatív, am azt jelet, hogy, vagys az deáls gázok mdég spotául keveredek. 16. y. Legye egy csappal elválasztott két egyelő részes tartályuk, amelyek egyk felébe 3 mol H, a máskba 1 mol N va 98 K hőmérséklete. Határozzuk meg a szabadetalpa-változást, ha az elválasztást megszűtetjük [9]. Megoldás: Legye a trogé yomása p és a tartály két részére érvéyes, hogy V 1 =V. Izocor és zoterm körülméyeke, ha a trogé yomása p, a háromszor több mól gázt tartalmazó tartályba a yomás 3 p lesz. kezdet szabadetalpa tehát: RT l3 p 1 RT l p 3 H N 1 z elegyedés következtébe a trogé parcáls yomása p N= p/ míg a hdrogéé, p H =3p/ lesz. keverék szabadetalpája, tehát: 3 1 f 3 H RT l p 1 N RT l p z elegyedés szabadetalpa, tehát: 1,5 1 3RT l 1RT l 3RT l RT l 4RT l 6869 J 3 Mvel az elegyedés álladó hőmérséklete törték, meghatározható az elegyedés etalpa s. Először számítsuk k a keveredés etrópát: S T RT x l x x l x, ehelyettesítve a keveredés szabadetalpát: következk: RT ( x S l x T x l x 7 R( x l x x l x Látható, hogy a keveredés etrópa mdg poztív. Ha most az előbb gyakorlatra vsszatérük, akkor fel tudjuk ír, hogy: S 4Rl 3,5 J/K Ha fgyelembe vesszük a szabadetalpa defícóját és kfejezzük az etalpaváltozást, következk: )

8 H TS H Fejezetek a fzka kémából T S ,598 Látható, hogy a keveredés etalpaváltozás majdem ulla, am azt jelet, hogy a keveredés szabadetalpa változása egatív, míg az etrópája poztív, vagys a folyamat spotául valósul meg, etalpaváltozás élkül Folyadékelegyek folyadékelegyekbe a kompoesek mozgástere valamelyest korlátozott, hsz a részecskék elég közel állak egymáshoz. Ez azért em zárja k a külöböző fázsegyesúlyok kalakulását, vagys azt, hogy a kompoes átmeje az egyk fázsból a máskba Ideáls folyadékelegyek. folyadékelegyeket épp úgy, mt a gázelegyeket, a tszta alkotók összekeverésével állíthatjuk elő. Mt láttuk, a vegytszta ayag kéma potecálja gázfázsba felírható: p RT p l (.3) ha a yomást relatív yomáskét fejezzük k, akkor: RT l p (.33) bba az esetbe, amkor keverékkel álluk szembe, akkor az kompoes gázfázsba mért kéma potecálját a parcáls yomás függvéyébe fejezhetjük k, éspedg: RT l p (.34) Kfejezve a tszta kompoes stadard kéma potecálját, és behelyettesítve az utóbbba, következk: p l l l RT p RT p RT (.35) p Hasoló ayagok keverékét elemezve Raoult azt tapasztalta, hogy a logartmus alatt aráy sok esetbe megfelel a kompoes folyadék fázsba mért móltörtjéek. Így Raoult törvéye az deáls elegyekre a következő alakot ölt: p x p (.36) am azt jelet, hogy az deáls elegyek esetébe az kompoes oldat felett gőzyomása egyelő a tszta ayag gőzyomásáak és az kompoes folyadékbel móltörtjéek szorzatával. Tehát egy változó összetételű 73

9 Kéma termodamka kétkompoesű elegy esetébe az.8. ábráak megfelelő összefüggések írják le a kompoesek parcáls yomásáak és teljes yomásak a változását [6,9,1]. valóságba agyo sok elegyre em modható, hogy betartaá Raoult törvéyét. Egy bárs deáls elegybe úgy az oldott ayag, mt az oldószer követ Raoult törvéyét. reáls elegyekél azoba, bár a kompoes parcáls yomása egyees aráyba változk a móltörttel, de az álladó értéke em a tszta ayag gőzyomásával egyelő. Ezekre az elegyekre határozta meg Hery a evét vselő törvéyt, vagys: p x H (.37) amelybe H - a Hery álladó, kompoesre jellemző és yomás mértékegységű. Megfgyelve a.9. ábrát látjuk, hogy a Hery álladó, em más, mt a kísérlet görbe kduló potjába húzott egyees meredeksége. p Teljes yomás p Hery törvéy p =H. x p Valós görbe Raoult törvéy x.8. ábra. Raoult törvéye az + elegyre. X mol/mol.9 ábra. Hery törvéyéek ábrázolása. 17. y. Határozzuk meg az oxgé oldékoyságát (mol/l) vízbe p=16 torr yomáso 7 és 98 K hőmérséklete, smerve a Hery álladó értékét ( H O 3,3 1 torr ) [9]. Megoldás: Hery törvéyből fel lehet ír: po 16 x O,481 7 H 3,3 1 O Ismerve a móltörtet, k lehet számíta a mólkocetrácót: 5 74

10 Fejezetek a fzka kémából O x x O T O HO HO C x O O V V V V Ha 1 lterbe lévő vízmeységet számoljuk, akkor felírható: mh O H O M H O H O CO xo xo xo,481,661 moll V V M H O 18 Két folyadék halmazállapotú ayag keverésekor fellépő szabadetalpa változását épp úgy határozzuk meg, mt a gázok esetébe. Ha a kduló ayagok egymástól el vaak választva, akkor a teljes szabadetalpa a két ayag szabadetalpájáak az összege: (.38) z elegy keletkezésekor a szabadetalpa pedg: f RT l x RT l x (.39) így a szabadetalpa-változás egyelő: RT x l x x l x (.4) T két folyadék elegyedés etrópa-változása pedg: T S T R x l x x l x (.41) z deáls folyadékelegyekbe, az deáls gázoktól eltérőe, ahol a cseek kölcsöhatások, tt ezek em zárhatók k, és az dealítás abból áll, hogy az elegybe fellépő kölcsöhatások em külöbözek az vagy kölcsöhatásoktól. z deáls folyadékelegyek esetébe scs etalpaváltozás, a spotaetást tt s a szabadetalpa-változás ksebb mt ulla, vagy az etrópa változás agyobb mt ulla értéke modják meg Valós folyadékelegyek. valóságba azoba az kölcsöhatások mások lehetek, mt az vagy kölcsöhatások. Tehát felléphet az etalpa-változás, hsz az új kölcsöhatás eredméyekét az etalpaváltozás és az etrópa-változás hőmérséklet szorzat külöbség most em ulla. Lehet ksebb vagy agyobb, mt ulla, és így a folyamat lehet exoterm vagy edoterm. reáls elegyek keletkezését többletfüggvéyekkel s kfejezhetjük, am azt jelet, hogy a valós és az deáls etrópa vagy térfogat változás külöbségéek felel meg: S E Svalós Sdeáls (.4) 75

11 Kéma termodamka z oldatok esetébe vaak olya tulajdoságok, amelyek az oldott ayag meységétől függek. Ilye tulajdoság a forráspotemelkedés, a fagyáspotcsökkeés, az oldékoyság változás és az ozmózs Forráspot emelkedés a folyadékelegyekbe. Legye egy keverékük, amelybe az oldószer és az oldott ayag. Írjuk fel az oldószer gőzfázsú kéma potecálja és az oldatba lévő oldószer kéma potecálja közt egyesúly összefüggést: ( g) ( l) RT l x (.43) Ie: ( g) ( l) vap l1 x (.44) RT RT Most helyettesítsük be a szabadetalpa-változást: vaph T vaps vaph vaps l 1 x (.45) RT RT R Ha x, akkor kapjuk a tszta folyadék forráspotját, vagys: vaph vaps l 1 (.46) RT R két egyelet megfelel a forráspotváltozásak, az egyk az oldat, a másk a tszta folyadék forráspotját határozza meg: H S H S l (.47) vap vap vap vap 1 x l1 RT R RT R Ie, felírható: vaph 1 1 l1 x (.48) R T T l 1 x x,vagys: Mvel a móltörtje agyo kcs, fel lehet ír: x vaph 1 R T T 1 T 1 1 R x T H vap (.49) Ie: 1 1 T T T Rx x T (.5) T T TT T H vaph vap RT 76

12 Fejezetek a fzka kémából Ez az összefüggés em tesz említést az oldott ayag mőségéről, így érvéyes mde oldat esetébe. Látható, hogy a forrpotemelkedést zoterm körülméyeke egy álladó és a móltört szorzata. evezetve az ebuloszkópos kísérlet álladót K, és a (.51) összefüggésbe az x móltörtet a E kompoes moláls kocetrácójával helyettesítve ( ), fel tudjuk ír: x M C m M T C K E (.51) Fagyáspot csökkeés. Legye oldószert és oldott ayagot tartalmazó elegyük. z oldószer fázs-átalakulására fel tudjuk ír kéma potecálváltozást, éspedg: ( s) ( l) RT l x ( l) RT l(1 x ) : (.5) Ie, pedg: H S ( s) ( l) fagy fagy fagy l(1 x) (.53) RT RT RT R Tszta oldószer esetébe: fagyh fagys l 1 (.54) RT R Kvova a két logartmust egymásból, következk: fagyh 1 1 l(1 x) l1 ( ) (.55) R T T Ie, pedg: 1 1 T T T T R x H fagy RT T x H fagy K' x (.56) Nagy fagyáspot csökkeést azokba az oldószerekbe észlelük, amelyek ks olvadás etalpával és agy olvadáspottal redelkezek. Ha az oldat agyo híg, akkor a molaltást s alkalmazhatjuk, s így a kroszkópos álladót (K f ) bevezetve, fel tudjuk ír a fagyáspotcsökkeés mérésekre alapozott összefüggést: T K f C (.57) 77

13 Kéma termodamka Oldhatóság. mkor egy oldószerbe adagoluk egy szlárd ayagot, a szlárd ayag addg oldódk, amíg kalakul az egyesúly állapot, vagys a szlárdfázsból a folyadékba átmet ayag meysége megegyezk az oldatból a krstályrácsba beépült kompoes meységgel. Ilye helyzetre modjuk azt, hogy az ayag elérte az oldhatóság értékét, hsz az oldat telítődött, többet em képes felolda. Legye a kompoes az oldott ayag. Írjuk fel az oldódás folyamatba a kompoes kéma potecálváltozását: ( s) ( l) RT l x (.58) Ie, átredezve következk: ( s) ( l) olv olvh T olvs olvh olvs l x RT RT RT RT R (.59) Mvel az olvadáspoto a szabadetalpa változás értéke ulla (egyesúly helyzetbe vagyuk), akkor a ullát hozzáadhatjuk az egyelet jobb oldalához: olvh olvs olvh olvs olvh 1 1 l x ( ) RT R RT R R T T (.6) Ie látható, hogy az oldhatóság expoecálsa ő vagy csökke a hőmérséklettel. változás ráyát és mértékét az olvadás etalpa jele és értéke határozza meg. z s látható, hogy magas olvadáspotú és agy olvadás etalpájú ayagok esetébe ormáls körülméyek között kcs az oldhatóság z ozmózs. z ozmózs az a folyamat, amkor az oldószer a félgáteresztő membráal elválasztott oldatba spotául átkerül. tszta oldószer oldalo a yomás p és az oldószer kéma potecálja ( p), az oldat oldalá az oldószer kéma potecálja egyrészt ksebb, mert a kompoes lecsökketette a részesedését ( x <1), másrészt megő, hsz az oldat agyobb yomást képes kfejte. z.3. ábra. z ozmózs ábrázolása.(z egyesúly akkor áll be, amkor kellő oldószer jutott át az oldatba). 78

14 Fejezetek a fzka kémából egyesúly állapotba a membrá mdkét oldalá a kéma potecál azoos, tehát fel rható: ( p) ( x, p ) (.61) ahol: az oldószer átáramlásáak megakadályozására szükséges, az oldatra gyakorolt yomás értéke. hhoz, hogy e yomást llusztráljuk, képzeljük el a.3. ábrá feltütetett beredezést. z egyesúly kalakulásakor az oldatak megfelelő folyadékoszlop yomása éppe megegyezk az ozmózsyomással. Fgyelembe véve az oldat összetételét, fel tudjuk ír: x, p ( p ) RT l x (.6) lkalmazva a kéma potecálra kfejtett yomás hatását: p ( p ) ( p) V dp (.63) három egyeletből következk: p p m p m ( p) ( p) V dp RT l x RT l x RT l1 x V dp 79 p p m (.64) Vagys, ha az oldószer móltérfogatát álladóak vesszük, akkor felírható: 1 p l 1 x x Vm p (.65) RT p Ie, pedg: RTx p p Vm xrt (.66) V m Híg oldatokra fel tudjuk ír: x (.67) ehelyettesítve, következk: Vm RT Vm RT (.68) Mvel V m V és az V aráy kocetrácóak felel meg ( 1 3 V C, moll, molm ) megkapjuk va t Hoff egyeletét [9-13]: C RT (.69) z ozmózsyomás köye mérhető és elég agy értékkel redelkezk, ezért az ozmómetrával meghatározhatjuk a agy molekulák móltömegét, az olyaokét, mt a makromolekulák. Mvel ezek az oldatok em deálsak, a va t Hoff egyelet egy vrál egyelet első tagjakét tekthető, vagys:

15 h/c, cml/g Kéma termodamka C RT 1 a C b C... (.7) ahol az a-t, b-t ozmotkus vrál együtthatók evezzük. 18. y. Határozzuk meg a polmer móltömegét, ha smerjük a következő 98 K hőmérséklete és 98 kg/m 3 sűrűségű oldószerrel mért adatokat [9]: c, g/l h, cm,8,71,1 5,1 8, h/c,8,355,53,79,889 Megoldás: lkalmazva a vráls egyelet első két tagját felírhatjuk: C RT 1 a Ie, pedg ha fgyelembe vesszük, hogy kocetrácója g/l kfejezve), felírható: C gh és c C, (ahol c a polmer M c h RT c RT RTa gh RT M c gm M gm gm ac 1 a c y =.758x c, g/l.31. ábra. mérés adatok feldolgozása. értékét. z egyees metszéspotja a,3-ba található. Ez egyelő az RT RT 8,314 98,3 M gm g,3 98 9,81,31 Tehát, ha az eredméyeket h/c c grafkoo ábrázoljuk, a metszésből kszámítható a móltömeg. Ezért először kszámítjuk a h/c aráyt (a táblázat utolsó sora), majd ábrázoljuk a h/c----c dagramot (lásd a.31. dagramot), majd a metszésből kszámítjuk az M RT / gm -el, tehát: 17,38 kg/mol 8

2.6. Az ideális gáz fundamentális egyenlete

2.6. Az ideális gáz fundamentális egyenlete Fejezetek a fzka kéából.6. Az deáls gáz fudaetáls egyelete A legegyszerűbb terodaka redszer az u. deáls gáz. Erre jellező, hogy a részecskék között az egyetle kölcsöhatás a rugalas ütközés, és a részecskék

Részletesebben

EGY FÁZISÚ TÖBBKOMPONENS RENDSZEREK: AZ ELEGYEK KÉPZDÉSE

EGY FÁZISÚ TÖBBKOMPONENS RENDSZEREK: AZ ELEGYEK KÉPZDÉSE EG FÁZISÚ ÖBBOMPONENS RENDSZERE: AZ ELEGE ÉPZDÉSE AZ ELEGÉPZDÉS ERMODINAMIÁJA: GÁZO Általáos megfotolások ülöböz kéma mség komoesek keveredésekor változás törték a molekulárs kölcsöhatásokba és a molekulák

Részletesebben

SZÁMOLÁSI FELADATOK. 2. Mekkora egy klíma teljesítménytényező maximális értéke, ha a szobában 20 C-ot akarunk elérni és kint 35 C van?

SZÁMOLÁSI FELADATOK. 2. Mekkora egy klíma teljesítménytényező maximális értéke, ha a szobában 20 C-ot akarunk elérni és kint 35 C van? SZÁMOLÁSI FELADATOK 1. Egy fehérje kcsapásához tartozó standard reakcóentalpa 512 kj/mol és standard reakcóentrópa 1,60 kj/k/mol. Határozza meg, hogy mlyen hőmérséklettartományban játszódk le önként a

Részletesebben

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba

Részletesebben

VÁLASZOK A FIZKÉM I ALAPKÉRDÉSEKRE, KERESZTÉVFOLYAM 2006

VÁLASZOK A FIZKÉM I ALAPKÉRDÉSEKRE, KERESZTÉVFOLYAM 2006 ÁLASZOK A FIZKÉM I ALAPKÉRDÉSEKRE, KERESZÉFOLYAM 6. Az elszgetelt rendszer határfelületén át nem áramlk sem energa, sem anyag. A zárt rendszer határfelületén energa léhet át, anyag nem. A nytott rendszer

Részletesebben

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az

Részletesebben

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve

Részletesebben

Elegyek. Fizikai kémia előadások 5. Turányi Tamás ELTE Kémiai Intézet. Elegyedés

Elegyek. Fizikai kémia előadások 5. Turányi Tamás ELTE Kémiai Intézet. Elegyedés Elegyek Fzka kéma előadások 5. Turány Tamás ELTE Kéma Intézet Elegyedés DEF elegyek: makroszkokusan homogén, többkomonensű rendszerek. Nemreaktív elegyben kéma reakcó nncs, de szerkezet változás lehet!

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben

2012/2013 tavaszi félév 8. óra

2012/2013 tavaszi félév 8. óra 2012/2013 tavasz félév 8. óra Híg oldatok törvénye Fagyáspontcsökkenés és forráspont-emelkedés, Ozmózsnyomás Molárs tömeg meghatározása kollgatív tulajdonságok segítségével Erős elektroltok kollgatív tulajdonsága

Részletesebben

Laboratóriumi mérések

Laboratóriumi mérések Laboratórum mérések. Bevezetı Bármlye mérés ayt jelet, mt meghatároz, háyszor va meg a méredı meységbe egy másk, a méredıvel egyemő, ökéyese egységek választott meység. Egy mérés eredméyét tehát két adat

Részletesebben

Kényszereknek alávetett rendszerek

Kényszereknek alávetett rendszerek Kéyszerekek alávetett redszerek A koordátákak és sebességekek előírt egyeleteket kell kelégítee a mozgás olyamá. (Ezeket a eltételeket, egyeleteket s ayag kölcsöhatások bztosítják, de ezek a kölcsöhatások

Részletesebben

A Sturm-módszer és alkalmazása

A Sturm-módszer és alkalmazása A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle

Részletesebben

Statisztika. Eloszlásjellemzők

Statisztika. Eloszlásjellemzők Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o)

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o) Ismérvek között kapcsolatok szorosságáak vzsgálata 1. Egy ks smétlés: mérés skálák (Huyad-Vta: Statsztka I. 5-6. o) A külöböző smérveket, eltérő mérés sztekkel (skálákkal) ellemezhetük. a. évleges (omáls)

Részletesebben

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges.

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges. ERMODINMIK I. FÉELE els eergia: megmaraó meyiség egy izolált reszerbe (eergiamegmaraás törvéye) mikroszkóikus kifejezését láttuk Izolált reszer falai: sem mukavégzés sem a reszer állaotáak mukavégzés élküli

Részletesebben

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László Valószíűségszámítás Ketskeméty László Budapest, 996 Tartalomjegyzék I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 3. Kombatorka alapfogalmak 4 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 6. A valószíűségszámítás alapfogalma

Részletesebben

A nátrium-klorid oldat összetétele. Néhány megjegyzés az összetételi arány méréséről és számításáról

A nátrium-klorid oldat összetétele. Néhány megjegyzés az összetételi arány méréséről és számításáról A nátrium-klorid oldat összetétele Néhány megjegyzés az összetételi arány méréséről és számításáról Mérés areométerrel kiértékelés lineáris regresszióval αραιός = híg Sodium-chloride solution at 20 Celsius

Részletesebben

(1) Milyen esetben beszélünk tartós nyugalomról? Abban az esetben, ha a (vizsgált) test a helyzetét hosszabb időn át nem változtatja meg.

(1) Milyen esetben beszélünk tartós nyugalomról? Abban az esetben, ha a (vizsgált) test a helyzetét hosszabb időn át nem változtatja meg. SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MECHNIK - STTIK LKLMZTT MECHNIK TNSZÉK Elmélet kérdések és válaszok egetem alapképzésbe (Sc képzésbe) résztvevő mérökhallgatók számára () Mle esetbe beszélük tartós ugalomról?

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése 3 4 Tartalomegyzék. BEVEZETÉS 5. A MÉRÉS 8. A mérés mt folyamat, fogalmak 8. Fotosabb mérés- és műszertechka fogalmak 4.3 Mérés hbák 8.3. Mérés hbák csoportosítása eredetük szert 8.3. A hbák megeleítés

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

1. előadás. Gáztörvények. Fizika Biofizika I. 2015/2016. Kapcsolódó irodalom:

1. előadás. Gáztörvények. Fizika Biofizika I. 2015/2016. Kapcsolódó irodalom: 1. előadás Gáztörvények Kapcsolódó irodalom: Fizikai-kémia I: Kémiai Termodinamika(24-26 old) Chemical principles: The quest for insight (Atkins-Jones) 6. fejezet Kapcsolódó multimédiás anyag: Youtube:

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

Regresszió és korreláció

Regresszió és korreláció Regresszó és korrelácó regresso: vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás correlato: vszo, összefüggés, kölcsöösség KAD 01.11.1 1 (vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás) Regresszó és korrelácó Gakorlat megközelítés

Részletesebben

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011 MÉRÉSTECHNIKA DR. HUBA ANTAL c. egy. taár BME Mechatroka, Optka és Gépészet Iformatka Taszék 0 Rövde a tárgyprogramról Előadások tematkája: Metrológa és műszertechka alapok Mérés adatok kértékelése Időbe

Részletesebben

KÉMIA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI- FELVÉTELI FELADATOK 1995 JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

KÉMIA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI- FELVÉTELI FELADATOK 1995 JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 1 oldal KÉMIA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI- FELVÉTELI FELADATOK 1995 JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ I A VÍZ - A víz molekulája V-alakú, kötésszöge 109,5 fok, poláris kovalens kötések; - a jég molekularácsos, tetraéderes elrendeződés,

Részletesebben

Természetes vizek, keverékek mindig tartalmaznak oldott anyagokat! Írd le milyen természetes vizeket ismersz!

Természetes vizek, keverékek mindig tartalmaznak oldott anyagokat! Írd le milyen természetes vizeket ismersz! Összefoglalás Víz Természetes víz. Melyik anyagcsoportba tartozik? Sorolj fel természetes vizeket. Mitől kemény, mitől lágy a víz? Milyen okokból kell a vizet tisztítani? Kémiailag tiszta víz a... Sorold

Részletesebben

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 202.03.0. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Általános Kémia, BMEVESAA101

Általános Kémia, BMEVESAA101 Általános Kémia, BMEVESAA101 Dr Csonka Gábor, egyetemi tanár Az anyag Készítette: Dr. Csonka Gábor egyetemi tanár, csonkagi@gmail.com 1 Jegyzet Dr. Csonka Gábor http://web.inc.bme.hu/csonka/ Óravázlatok:

Részletesebben

SZERVETLEN ALAPANYAGOK ISMERETE, OLDATKÉSZÍTÉS

SZERVETLEN ALAPANYAGOK ISMERETE, OLDATKÉSZÍTÉS SZERVETLEN ALAPANYAGOK ISMERETE, OLDATKÉSZÍTÉS ESETFELVETÉS MUNKAHELYZET Az eredményes munka szempontjából szükség van arra, hogy a kozmetikus, a gyakorlatban használt alapanyagokat ismerje, felismerje

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL

AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL 36 MIXCONTROL AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL Subert Istvá deformáció-elleálló keverékvázat lehet létrehozi. Kiidulási feltétel az alkalmazás helyéek

Részletesebben

? közgazdasági statisztika

? közgazdasági statisztika Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem

Részletesebben

G Á Z J E L L E M Z Ő K összefoglalás

G Á Z J E L L E M Z Ő K összefoglalás Mskolc Egyetem Kőolaj és Földgáz Itézet Gázmérök Taszék G Á Z J E L L E M Z Ő K összefoglalás Horászky Beáta egy. taársegéd - - A gázállapot egy külöleges halmazállapot: a gázmolekulák ktöltk a redelkezésre

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Oldatok - elegyek. Elegyek: komponensek mennyisége azonos nagyságrendű

Oldatok - elegyek. Elegyek: komponensek mennyisége azonos nagyságrendű Oldatok - elegyek Többkomponensű homogén (egyfázisú) rendszerek Elegyek: komponensek mennyisége azonos nagyságrendű Oldatok: egyik komponens mennyisége nagy (oldószer) a másik, vagy a többihez (oldott

Részletesebben

1. feladat Összesen: 15 pont. 2. feladat Összesen: 10 pont

1. feladat Összesen: 15 pont. 2. feladat Összesen: 10 pont 1. feladat Összesen: 15 pont Vizsgálja meg a hidrogén-klorid (vagy vizes oldata) reakciót különböző szervetlen és szerves anyagokkal! Ha nem játszódik le reakció, akkor ezt írja be! protonátmenettel járó

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE

VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE BUDAPET MŰZAK É GAZDAÁGTUDOMÁY EGYETEM Építőmérök Kar Hdak és zerkezetek Taszéke VABETO ÉPÜLETEK MEREVÍTÉE Oktatás segédlet v. Összeállította: Dr. Bód stvá - Dr. Farkas György Dr. Kors Kálmá Budapest,.

Részletesebben

Általános és szervetlen kémia Laborelıkészítı elıadás I.

Általános és szervetlen kémia Laborelıkészítı elıadás I. Általános és szervetlen kémia Laborelıkészítı elıadás I. Halmazállapotok, fázisok Fizikai állapotváltozások (fázisátmenetek), a Gibbs-féle fázisszabály Fizikai módszerek anyagok tisztítására - Szublimáció

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Általános Kémia, BMEVESAA101 Dr Csonka Gábor, egyetemi tanár. Az anyag Készítette: Dr. Csonka Gábor egyetemi tanár,

Általános Kémia, BMEVESAA101 Dr Csonka Gábor, egyetemi tanár. Az anyag Készítette: Dr. Csonka Gábor egyetemi tanár, Általános Kémia, BMEVESAA101 Dr Csonka Gábor, egyetemi tanár Az anyag Készítette: Dr. Csonka Gábor egyetemi tanár, csonkagi@gmail.com 1 Jegyzet Dr. Csonka Gábor http://web.inc.bme.hu/csonka/ Facebook,

Részletesebben

Telítetlen oldat: még képes anyagot feloldani (befogadni), adott hőmérsékleten.

Telítetlen oldat: még képes anyagot feloldani (befogadni), adott hőmérsékleten. 2. Oldatkészítés 2.1. Alapfogalmak Az oldat oldott anyagból és oldószerből áll. Az oldott anyag és az oldószer közül az a komponens az oldószer, amelyik nagyobb mennyiségben van jelen az oldatban. Az oldószer

Részletesebben

Termodinamika (Hőtan)

Termodinamika (Hőtan) Termodinamika (Hőtan) Termodinamika A hőtan nagyszámú részecskéből (pl. gázmolekulából) álló makroszkópikus rendszerekkel foglalkozik. A nagy számok miatt érdemes a mólt bevezetni, ami egy Avogadro-számnyi

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése 3.1.1. Rugalmas elektroszórás 45 3.1.1. Rugalmas elektroszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése Aray, ikkel, szilícium és grafit mitákról rugalmasa visszaszórt elektrook eergiaeloszlását mértem

Részletesebben

Oktatási Hivatal KÉMIA I. A 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló. Javítási-értékelési útmutató I.

Oktatási Hivatal KÉMIA I. A 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló. Javítási-értékelési útmutató I. ktatási Hivatal I. FELADATSR A 015/016. taévi rszágos Középiskolai Taulmáyi Versey második forduló KÉMIA I. Javítási-értékelési útmutató 1., Mg pot. Fr 1 pot 1 eltérés: 1 pot; mi. 0 pot 3. a) pl. 1 1 H

Részletesebben

X = 9,477 10 3 mol. ph = 4,07 [H + ] = 8,51138 10 5 mol/dm 3 Gyenge sav ph-jának a számolása (általánosan alkalmazható képlet):

X = 9,477 10 3 mol. ph = 4,07 [H + ] = 8,51138 10 5 mol/dm 3 Gyenge sav ph-jának a számolása (általánosan alkalmazható képlet): . Egy átrium-hidroxidot és átrium-acetátot tartalmazó mita 50,00 cm 3 -es részletée megmérjük a ph-t, ami,65-ek adódott. 8,65 cm 3 0, mol/dm 3 kocetrációjú sósavat adva a mitához, a mért ph 5,065. Meyi

Részletesebben

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai 05..04. szórások vizsgálata z F-próba Hogya foguk hozzá? Nullhipotézis: a két szórás azoos, az eltérés véletle (mitavétel). ullhipotézishez tartozik egy ú. F-eloszlás. Szabadsági fokok: számláló: - evező:

Részletesebben

2011/2012 tavaszi félév 2. óra. Tananyag:

2011/2012 tavaszi félév 2. óra. Tananyag: 2011/2012 tavaszi félév 2. óra Tananyag: 2. Gázelegyek, gőztenzió Gázelegyek összetétele, térfogattört és móltört egyezősége Gázelegyek sűrűsége Relatív sűrűség Parciális nyomás és térfogat, Dalton-törvény,

Részletesebben

A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI

A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI Az Eötvös Lórád Tudomáyegyetem Természettudomáy Kará a Fzka Kéma Taszék évek óta kéma-szakos taárhallgatókak matematka bevezetõ elõadásokat tart. Az elõadások célja az,

Részletesebben

Adatfeldolgozás, adatértékelés. Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Miskolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanszék

Adatfeldolgozás, adatértékelés. Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Miskolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanszék Adatfeldolgozás, adatértékelés Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Mskolc Egyetem, Hdrogeológa Mérökgeológa Taszék A vzsgált köryezet elemek, lletve a felszí alatt közeg megsmerése céljából számtala külöböző

Részletesebben

AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN

AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN Molár László Ph.D. hallgató Mskolc Egyetem, Gazdaságelmélet Itézet 1. A MINTANAGYSÁG MEGHATÁROZÁSA EGYSZERŐ VÉLETLEN (EV) MINTA

Részletesebben

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat:

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat: JÁRATTERVEZÉS Kapcsolatok szert: Sugaras, gaárat: Járattípusok Voalárat: Körárat: Targocás árattervezés egyszerű modelle Feltételek: az ayagáram determsztkus, a beszállítás és kszállítás dőpot em kötött

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

1. Gázok oldhatósága vízben: 101 325 Pa nyomáson g/100 g vízben

1. Gázok oldhatósága vízben: 101 325 Pa nyomáson g/100 g vízben 1. Gázok oldhatósága vízben: 101 325 Pa nyomáson g/100 g vízben t/ 0 C 0 20 30 60 O 2 0,006945 0,004339 0,003588 0,002274 H 2S 0,7066 0,3846 0,2983 0,148 HCl 82,3 72 67,3 56,1 CO 2 0,3346 0,1688 0,1257

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

TARTALOM. 8. Elegyek és oldatok 2

TARTALOM. 8. Elegyek és oldatok 2 TARTALOM 8. Elegyek és oldatok 8.. A kéma otencál 3 8.. A fázsegyensúlyok feltétele 8 8.3. A Gbbs-féle fázsszabály 0 8.4. Az elegykéződésre jellemző mennységek 3 8.5. Parcáls molárs mennységek 7 8.6. A

Részletesebben

+ - kondenzátor. Elektromos áram

+ - kondenzátor. Elektromos áram Tóth : Eektromos áram/1 1 Eektromos áram tapasztaat szernt az eektromos tötések az anyagokban ksebb vagy nagyobb mértékben hosszú távú mozgásra képesek tötések egyrányú, hosszútávú mozgását eektromos áramnak

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

Halmazállapot-változások vizsgálata ( )

Halmazállapot-változások vizsgálata ( ) Halmazállapot-változások vizsgálata Eddigi tanulmányaik során a szilárd, folyékony és légnemő, valamint a plazma állapottal találkoztak. Ezen halmazállapotok mindegyikében más és más összefüggés áll fenn

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Az oldatok összetétele

Az oldatok összetétele Az oldatok összetétele Az oldatok összetételét (töménységét) többféleképpen fejezhetjük ki. Ezek közül itt a tömegszázalék, vegyes százalék és a mólos oldat fogalmát tárgyaljuk. a.) Tömegszázalék (jele:

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

A matematikai statisztika elemei

A matematikai statisztika elemei A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................

Részletesebben

GEODÉZIA I. NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM ERDŐMÉRNÖKI KAR Erdőmérnöki Szak. Dr. Bácsatyai László. Kézirat. Sopron, 2002.

GEODÉZIA I. NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM ERDŐMÉRNÖKI KAR Erdőmérnöki Szak. Dr. Bácsatyai László. Kézirat. Sopron, 2002. A geodéza tárgya, felosztása, alapfogalmak NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM ERDŐMÉRNÖKI KAR Erdőmérök Szak Dr. Bácsatya László GEODÉZIA I. Kézrat Sopro, 00. . A geodéza tárgya, felosztása, alapfogalmak A gyűjtögető,

Részletesebben

,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1,

,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1, Louvlle tétele Egy tetszőleges klasszkus mechanka rendszer állapotát mnden t dőpllanatban megadja a kanónkus koordnáták összessége. Legyen a rendszerünk N anyag pontot tartalmazó. Ilyen esetben a rendszer

Részletesebben

Művelettan 3 fejezete

Művelettan 3 fejezete Művelettan 3 fejezete Impulzusátadás Hőátszármaztatás mechanikai műveletek áramlástani műveletek termikus műveletek aprítás, osztályozás ülepítés, szűrés hűtés, sterilizálás, hőcsere Komponensátadás anyagátadási

Részletesebben

5. Laboratóriumi gyakorlat

5. Laboratóriumi gyakorlat 5. Laboratóriumi gyakorlat HETEROGÉN KÉMIAI REAKCIÓ SEBESSÉGÉNEK VIZSGÁLATA A CO 2 -nak vízben történő oldódása és az azt követő egyensúlyra vezető kémiai reakció az alábbi reakcióegyenlettel írható le:

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló KÉMIA. I. KATEGÓRIA Javítási-értékelési útmutató

2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló KÉMIA. I. KATEGÓRIA Javítási-értékelési útmutató Oktatási Hivatal I. FELADATSOR 014/015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló KÉMIA I. KATEGÓRIA Javítási-értékelési útmutató 1. B. 70Yb 3. C 4. A fenti reakióban a HDS képződése

Részletesebben

HIBAJEGYZÉK az Alapvető fizikai kémiai mérések, és a kísérleti adatok feldolgozása

HIBAJEGYZÉK az Alapvető fizikai kémiai mérések, és a kísérleti adatok feldolgozása HIBAJEGYZÉK az Alapvető fzka kéma mérések, és a kísérlet adatk feldlgzása címü jegyzethez 2008-070 Általáns hba, hgy a ktevőben lévő negatív (-) előjelek mndenhnnan eltűntek a nymtatás srán!!! 2. Fejezet

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée DR BENKŐJÁNO gátudoáy Egyete Gödöllő Mg Gépt Itézet gyoozgáú gépzeezete tevezéée foto lépée z egyelete, ezgéete üzeet bztoító

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

KÉMIA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI- FELVÉTELI FELADATOK 2002

KÉMIA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI- FELVÉTELI FELADATOK 2002 1. oldal KÉMIA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI FELVÉTELI FELADATOK 2002 JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Az írásbeli felvételi vizsgadolgozatra összesen 100 (dolgozat) pont adható, a javítási útmutató részletezése szerint. Minden

Részletesebben

A heteroszkedaszticitásról egyszerûbben

A heteroszkedaszticitásról egyszerûbben Mûhely Huyad László kaddátus, egyetem taár, a Statsztka Szemle főszerkesztője A heteroszkedasztctásról egyszerûbbe E-mal: laszlo.huyad@ksh.hu A heteroszkedasztctás az ökoometra modellezés egyk kulcsfogalma,

Részletesebben

Halmazállapot változások. Folyadékok párolgása. Folyadékok párolgása

Halmazállapot változások. Folyadékok párolgása. Folyadékok párolgása Halmazállapot változások 6. hét Egy anyag különböző halmazállapotai közötti átmenet - elsőfajú fázisátalakulások A kémiai összetétel nem változik meg Adott nyomáson meghatározott hőmérsékleten megy végbe

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Miért pont úgy kombinálja kétfokozatú legkisebb négyzetek módszere (2SLS) az instrumentumokat, ahogy?

Miért pont úgy kombinálja kétfokozatú legkisebb négyzetek módszere (2SLS) az instrumentumokat, ahogy? Mért pot úgy kombálja kétfokozatú legksebb égyzetek módszere (2SLS az strumetumokat, ahogy? Kézrat A Huyad László 60. születésapjára készülő köyvbe Kézd Gábor 2004. júlus A Budapest Corvus Egyetem rövd

Részletesebben

Általános Kémia Gyakorlat II. zárthelyi október 10. A1

Általános Kémia Gyakorlat II. zárthelyi október 10. A1 2008. október 10. A1 Rendezze az alábbi egyenleteket! (5 2p) 3 H 3 PO 3 + 2 HNO 3 = 3 H 3 PO 4 + 2 NO + 1 H 2 O 2 MnO 4 + 5 H 2 O 2 + 6 H + = 2 Mn 2+ + 5 O 2 + 8 H 2 O 1 Hg + 4 HNO 3 = 1 Hg(NO 3 ) 2 +

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

specific (assignable) cause: azonosítható, tettenérhető (veszélyes) hiba megváltozott a folyamat

specific (assignable) cause: azonosítható, tettenérhető (veszélyes) hiba megváltozott a folyamat ELLENŐRZŐ KÁRTYÁK méréses mősítéses commo cause: véletle gadozás secfc (assgable) cause: azoosítható, tetteérhető (veszélyes) hba megváltozott a folyamat Mősítéses elleőrző kártyák 41 Mősítéses elleőrző

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

ξ i = i-ik mérés valószínségi változója

ξ i = i-ik mérés valószínségi változója EGYENESILLESZTÉS: A LEGKISEBB NÉGYZETEK MÓDSZERE Kíérleteket elvégeztük. Dolgozzuk fel az adatokat! Cél: mért változók (T, p, I, U ) között kapcolat felderítée. 1. zóródá dagram {x, y } ábra. kvattatív

Részletesebben

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

MINTAVÉTEL A MARKETINGKUTATÁSBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A DIVIZÍV ÉS AZ AGGLOMERATÍV RÉTEGZÉSRE

MINTAVÉTEL A MARKETINGKUTATÁSBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A DIVIZÍV ÉS AZ AGGLOMERATÍV RÉTEGZÉSRE MINTAVÉTEL A MARKETINGKUTATÁSBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A DIVIZÍV ÉS AZ AGGLOMERATÍV RÉTEGZÉSRE Molár László egyetem taársegéd 1. BEVEZETÉS A statsztkusok a mtaagyság meghatározására számos módszert dolgoztak

Részletesebben

Az α értékének változtatásakor tanulmányozzuk az y-x görbe alakját. 2 ahol K=10

Az α értékének változtatásakor tanulmányozzuk az y-x görbe alakját. 2 ahol K=10 9.4. Táblázatkezelés.. Folyadék gőz egyensúly kétkomponensű rendszerben Az illékonyabb komponens koncentrációja (móltörtje) nagyobb a gőzfázisban, mint a folyadékfázisban. Móltört a folyadékfázisban x;

Részletesebben