2.6. Az ideális gáz fundamentális egyenlete

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "2.6. Az ideális gáz fundamentális egyenlete"

Átírás

1 Fejezetek a fzka kéából.6. Az deáls gáz fudaetáls egyelete A legegyszerűbb terodaka redszer az u. deáls gáz. Erre jellező, hogy a részecskék között az egyetle kölcsöhatás a rugalas ütközés, és a részecskék térfogata elhayagolható az általuk ktöltött térhez kéest. A valós gázok csak egközelítk ezt az állaotot, de e érk el, aak elleére, sok valós gázra alkalazzák az deáls gázra felállított állaotegyeleteket. Mt sert, de redszer esetébe a fudaetáls egyeletet az állaot egyeletekből lehet felállíta. É ezért az deáls gáz esetébe az állaot egyeletekből duluk k. Az egyk lye egyelet a Boyle-Marotte egyelet, aely kodja, hogy zoter körüléyeke a yoás és a térfogat szorzata álladó (lásd az.9. ábrát), vagys: kost. (.1).9. ábra. Az zoter állaotú gáz térfogat és yoása között összefüggés..1. ábra. A Boyle-Marotte törvéy zoter gázra. 1 Ha az összefüggést úgy írjuk fel, hogy kost., akkor a Boyle-Marotte tétel grafkus ábrázolása...1/ koordáta redszerbe egy egyeest eredéyez (lásd a.1.ábrát). A ásk összefüggés a Gay-Lussac egyelet, szert álladó yoáso a gáz térfogata egyeese aráyos aak hőérsékletével. kost. (.1) 9

2 Kéa terodaka E törvéy grafkus ábrázolása jól tükröz a /=kostas összefüggést (lásd a.11. ábrát). Látható, hogy a = K hőérséklete a gáz térfogata a legksebb, vagys ulla kelve a otagyságú gázrészecskékek térfogata ulla. A hőérséklet eelkedésével a gáz ktölt a redelkezésére álló térfogatot. Erre a törvéyre alaozva szerkeszthető hőérséklet skála. Ha a érésre egy gázt haszáluk, akkor két egadott körüléye (vízjég olvadásotja, a víz forrotja) eghatározzuk a egfelelő térfogatot, ajd a két hőérsékletek ( 1 és ) egfelelő tervalluot felosztjuk..11. ábra. A Gay-Lussac törvéy grafkus ábrázolása külöböző yoáso [11]..1. ábra. A hőérséklet eghatározása a =kost. összefüggés alajá [11]. Az álladó térfogato ért yoás egyeese aráyos a hőérsékletváltozással. Ez a Gay-Lussac ásodk tétele, elyet ég Charles törvéyekét s tartaak szába [1]. Ez kodja, hogy a P/ aráy zochor körüléyeke álladó. Erre a egállaításra s lehet hőérséklet skálát felállíta, hsz egy zárt edéybe lévő gáz esetébe a hőérsékletváltozásra a yoás egyees aráyba változk (lásd a.1 ábrát). Az álladó térfogatú gázhőérő sokkal raktkusabb, t az álladó yoáso űködő, é ezért ezt haszálják etalokét, ás tíusú hőérő skálák beállítására. A gyakorlatba vaak ás tíusú hőérsékletérésre alkalas ayagok, hsz a léyeg az, hogy a ért tervalluba a közeg tulajdosága egyees aráyba legye a hőérsékletváltozással. A gáztörvéyek közé sorolható ég az Avogadro törvéye s, szert az azoos yoáso és hőérséklete a külöböző gázok óltérfogata egegyező. Egyesítve a Boyle-Marotte és Gay-Lussac törvéyt felírható: 4

3 Fejezetek a fzka kéából (.14) kost. vagy E törvéyek grafkus ábrázolása az.1. ábrá látható. Megtaláljuk rajta a hárodezós általáos összefüggést, és a háro, kétdezós összefüggéseket..1.ábra. Az általáos gáztörvéy grafkus ábrázolása. Alkalazva az általáos törvéyt 1 ol gázra, és fgyelebe véve Avogadro 5 tételét, szert orálállaotba ( 7,15 K, 11, 1 Pa ) egy ól gáz térfogata, ,11,411 7,15 Ie következk:, fel lehet ír: J 8,14 ol K 41

4 Kéa terodaka, ahol 8,14 J/(olK), (.15) aelybe az az általáos gázálladó. udva hogy, fel lehet ír az általáos gáztörvéyt: (.16) Ez az állaotegyelet az u. echakus állaotegyelet, aely a térfogat ukáak egfelelő eergát írja le (a szorzat értékegysége SI-be J). Írjuk fel az egyeletet az etróa fudaetáls egyeletek egfelelőe, vagys: 1 (.17) Iseretes a fzkából az egyatoos gázokra jellező terkus egyelet s: (.18) Felírva az etróa fudaetáls egyelet szert, következk: 1 (.19) Ha a olárs belső eergát és térfogatot vesszük fgyelebe, fel lehet ír: 1 (.1) 1 1 (.11) Ahhoz, hogy eghatározzuk az deáls gáz fudaetáls egyeletét, az előbb fejezetbe eghatározott Euler egyeletből következtetve, szükségük va ég a kéa otecált tartalazó tagra. Ezért alkalazzuk a Gbbs-Duhe egyeletet: d 1 d d 1 Bevezetve a következő jelöléseket: d 1 d d d (.1) d és d d d és az 1/-t, lletve a /-t behelyettesítve az sert alakba, következk: 4

5 Fejezetek a fzka kéából 4 d d d (.1) agys: d d d (.14) Itegráljuk a függvéyt, és egkajuk a keresett tagot: d d d (.15) vagys: l l (.16) Most helyettesítsük be az deáls gázra felrt Euler egyeletbe S 1, az sert eységeket: 1 1, 1, l l és vegyük fgyelebe, hogy:, : l l S (.17) Ez ég felírható: 5 / l 5 S (.18) Bevezetve az etróa referecaállaotú értékét: 5 S (.19) fel lehet ír az deáls gáz fudaetáls egyeletét etróa alakba:

6 Kéa terodaka 5 S S l (.14).7. Ideálsa vselkedő gázkeverékek Legye egy =1,,,...,k kooest tartalazó deálshoz közelálló gázelegy, aelyek ayageysége t, yoáso és hőérséklete térfogatot tölt k. A külöböző kooesek olekuláak száa változó lévé, degyk kooes a saját eységéek egfelelőe járul hozzá a teljes yoáshoz. ehát ha bevezetjük a kooesek arcáls yoását, akkor Dalto törvéyéek egfelelőe felírható: (.141) Alkalazva a gáztörvéyt az összes gázeységre, és az ugyaolya tíusú kooesre, felírható: t (.14) (.14) Ie kfejezve a arcáls yoást: (.144) Behelyettesítve a Dalto összefüggésébe, következk: (.145) t Elosztva a arcáls yoást és az összes yoást, következk: t udva, hogy az x e ás, t a óltört, tehát felírható: t 44 (.146) x x (.147) Ezt az összefüggést, aely Dalto tételéből következk, ég Ladolt féle egyeletek s evezzük [9]. Ez szert a kooes arcáls yoása egyelő

7 Fejezetek a fzka kéából a teljes yoás és a óltört szorzatával. Ha a kooesek degykére kszáítjuk a és araétereke az -ek egfelelő arcáls térfogatot, fel lehet ír: vagys (.148) Összeadva a térfogatokat, egkajuk az összes eységre felrt gáztörvéyt: (.149) t Osszuk el a arcáls térfogatot és az összes térfogatot, eghatározva a térfogattörtet: (.15) y x t Látható, hogy az deálsa vselkedő gázelegy eseté a térfogattört és a óltört azoos. Iserve, hogy a óleység e ás, t a töeg és óltöeg aráya, határozzuk eg a gázelegy sűrűségét: M M M (.151) Iserve, hogy a e ás, t a óltérfogat fordítottja, fel lehet ír: M (.15) De t s értük a gázelegy óltöegé (M): Fgyelebe véve az összetevőket írjuk fel a sűrűséget: M M M (.15) Behelyettesítve a sűrűséget az előbb összefüggésből: M M M M xm (.154) ehát, a gázelegy óltöege e ás, t a kooesek óltöegéek és óltörtje szorzatáak az összege. 45

8 Kéa terodaka 11.Gy. Száítsuk k a 4 torr yoású és 1 o C hőérsékletű, 6 g/ol óltöegű ayag óltérfogatát, az 5 térfogatba lévő ayag eységét és olekulaszáát [9]. Megoldás: Alkalazva az deáls gáztörvéyt k lehet száol a óltérfogatot: 8,14(1 7),618 / ol 4 5 1,11 76 Iserve a térfogatot k lehet száol az, ayageységet és az töeget: 4 1, ,157 8,149 M 61 ol 8,157,557 A ól-száot serve, k lehet száíta a olekulák száát: N N A 8,1576,1 kg 4,9191 olekula 1.Gy. Száítsuk k a,9 tf% oxgét és 79,1 tf% trogét tartalazó, =1 at yoású, t=5 C hőérsékletű és =8% relatív edvességű levegő sűrűségét és töegszázalékos összetételét, ha a keveréket deáls vselkedésűek tektjük. Adottak: M g/ol, M 8 g/ol, H O 18 g/ol és a 5 C hőérsékletű víz O N M e gőzyoása HO,7 torr. Megoldás: Nedves levegőről lévé szó, először k kell száíta aak összetételét, serve a száraz levegő térfogatszázalékos összetételét és a relatív edvességet. A víz eységét a relatív edvesség függvéyébe száítsuk k. e xho H 1 1 x e HO 1 Most száoljuk k 1 ol deáls gáz térfogatát a egadott hőérséklete és yoáso: 46 8, HO O e HO HO,49 ehát a edves levegőbe lévő vízgőz óltörtje,49. A többt az sert összetételű száraz levegő tesz k, tehát: O,9 x 1 % O x 1,49, 796 HO 1 1 N 79,1 x 1 % N x 1,49, 771 HO 1 1 Iserve a óltörteket k lehet száol a óltöeget: M M x M O x O M H O HO,796 8,77118,49 8,566 N x N M x g/ol

9 A edves levegő sűrűsége tehát: M 1ol Fejezetek a fzka kéából,1498 1, ,561 1,1677 kg/,4457,4457 /ol Iserve a levegő ólszázalékos összetételét, k lehet száíta a töegszázalékos összetételt. Először kszáítjuk a óleységeket, ajd a töegeységet, és végül a töegszázalékot. A száítás eetét a.1. táblázatba rögzítjük. Kooes.1.táblázat. Száított értékek. Móltört Móleység öegeysség x össz x M óegtört Oxgé,79,796 65,147,89 Ntrogé,771 77,1 159,641,7561 ízgőz,49,494 44,87,1569 Összese, , 856,6144,99999 Gyakorló feladatok. 1. Mey yoást gyakorol 5 L űrtartalú alack falára 1 g trogé, ha a gáz hőérséklete 9 K?. Mey gázt tartalaz egy 5 L-es alack, ha a yoás 1 at és a hőérséklet K?. Iserve, hogy g, K hőérsékletű gáz 5 L térfogatot tölt k, határozzuk eg az álladó yoáso felelegített gáz hőérsékletét, ha sűrűsége, akkor,5 kg/. 4. Mlye agaságba lesz a légyoás a tegersztek fele, ha a hőérséklet 7 K? x 47

10 Potecáls eerga Kéa terodaka.8. alós gázok A valós gázok vselkedése eltér az deáls gázokétól. Így az deáls gázállaot egyelete e dg írja le a valós gáz változását. Az eltérés aál agyobb, él agyobb a gáz yoása és alacsoyabb aak hőérséklete. Akor a gáz közel áll a csefolyósítás körüléyekhez, lyekor az eltérés agy. Ez a külöböző vselkedés a gázokat alkotó részecskék kölcsöhatásáak az eredéye. Míg az deáls gázokál cs se kölcsöhatás az alkotók között, a valós gázokál ez jeletős lehet. A taszítóerők a ktágulást, a vozóerők edg az összeyoást segítk. Isert, aszítóerő ozóerő ávolság.14. ábra. A otecáls eerga változása a távolság függvéyébe: Ks távolságoko a taszítóerő, közeese a vozóerő határozza eg a otecáls eerga értékét. A távolság övekedésével a otecáls eerga értéke ullához közelt. 48 hogy a taszítóerők csak egy bzoyos távolságra terjedek k (lásd a.14. ábrát). Mél távolabb va egyástól a két részecske, aál ksebb a kölcsöhatás értéke. Nagy yoáso, akor a térfogategységbe agyo sok részecske va jele, a taszítóerők ár érvadóak. A vozóerők agyobb távolságra s kterjedek, t a taszító erők. Ha a részecskék agyo közel vaak egyáshoz, de ég e értkezek, hatásuk agy. A részecskék közt erők értéke aál agyobb, él ksebb a gáz hőérséklete. Ilyekor a lassú ozgású részecskéket befogják ás részecskék. Ks yoáso a részecskék agyo agy teret járhatak be, aélkül hogy ás részecskékkel ütközéek, így lyekor vselkedésük egközelít az deáls gáz vselkedését. Közees yoáso, ahol a részecskék közt távolság éháy átérő agyságredű, a vozóerők játszaak szereet, így a gáz ár eltér az deáls vselkedéstől. Ilyekor a reáls gázt sokkal köyebb összeyo, t az deálst, hsz utóbbba cs vozóerő. Nagy yoáso a részecskék közt távolság agyo kcs, így tehát a taszítóerő a érvadó. Ilyekor a reáls gázt sokkal ehezebb összeyo, t az deálst.

11 Fejezetek a fzka kéából Z 1 ökéletes gáz P, at A valós gázok az deálstól való eltérő vselkedésére az u. koresszbltás téyezőt alkalazzuk: Z (.155) Látható, hogy az deáls gáz eseté a koresszbltás téyező értéke 1 ( 1 ), íg a valós gázokál (lásd a.15. ábrát) külöbözk egytől, értéke lehet agyobb, vagy ksebb egyél..15. ábra. A koresszbltás téyező változása a yoás függvéyébe ráls egyeletek A valós gázok állaotáak vzsgálatakor kaott érés eredéyek feldolgozására vezették be az u. vráls (erőhatás) együtthatókat. Az együttható bevezetése, aak a egállaításak a következéye, hogy a valós gázok esetébe a szorzat eltér az -től. Az eltérés értékét az alább ódo lehet leír: (1 b c...) (.156) ( 1 B C...) (.157) Mt látható, dkét esetbe az összefüggések tartalazzák az deáls gázra jellező esteket s. A (.156) összefüggésbe éldául, ha a yoás tart a ullához, akkor a deáls gázra való állaotegyeletet kajuk. gyaaz az összefüggést kajuk a (.157) egyeletből s, ha a ásodk és a haradk vráls-együtthatók értéke agyo kcs. Ha a yoás tart a ullához a reáls gáz egyelete egközelít az deáls gáz egyeletét, de e szükségszerű, hogy a reáls gáz valaey tulajdosága egybe esse az deáls gázéval. A koresszbltás téyező esetébe éldául az deáls gázokál a (.158) összefüggés, a reáls gázokál edg az (.159) összefüggés írja le a változást:

12 Kéa terodaka dz (.158) dz b c... d deáls d valós Ha e szükségszerűe ulla a dervált, hsz a b e ulla. (.159) A vráls együtthatók függek a hőérséklettől, ezért létezhet olya hőérséklet, akor ks yoás vagy agy esetébe, a koresszbltás együttható ulla eredekséggel közelt az egyhez. Eze a hőérséklete, aelyet Boyle hőérsékletek s evezük, a reáls gáz tulajdosága egybeesek az deáls gáz tulajdoságaval, ha. ehát Boyle hőérséklete ( B ), ha, a dz eredekségű, a azt jelet, hogy a ásodk vráls-együttható, a b d egyelő -val. Ie következk, hogy a Boyle hőérséklete a következő állaotegyeletet írható fel: (.16) B Ez azt jelet, hogy a vráls-egyeletbe a c, d és agasabb redű tagok elhayagolhatók (.16. ábra). Z Magas hőérséklet Boyle hőérséklet 6 C Izotera 1 Ideáls gáz Alacsoy hőérséklet ábra. A koresszbltás téyező változása a yoás függvéyébe külöböző hőérséklete..17. ábra. A reáls gáz külöböző hőérsékletű zoterá és a kodezálás folyaat ábrázolása: C a krtkus ot a krtkus hőérsékletek egfelelő zoterá [9]. Nézzük eg, hogya vselkedk egy reáls gáz, ha álladó hőérséklete csökketjük térfogatát. együk a.17. ábrá egy zoterát, elyek a kduló 5

13 Fejezetek a fzka kéából állaotát jelöljük 1-el. Ha az 1-es otba lévő reáls gázak csökketjük a térfogatát, akkor, t ahogy az zotera s utatja, ő a yoása. Ha a. oto túl s tovább csökketjük a térfogatot, sűrítve a gázt, a -as otak egfelelő állaotba a tökéletes jelleg teljese eltűk aélkül, hogy a yoás övekede, egjelek a csefolyós fázs. A yoás daddg álladó arad, íg az egész gáz át e alakul csefolyós halazállaotúvá (5. ot). ehát eze a vízsztes szakaszo yoáshatásra egvalósul a fázsváltozás. Itt a csefolyós és gáz halazállaotú ayag egyesúlyba vaak. Ezt a yoást evezzük a folyadék gőzyoásáak. Ha ost az 5. otak egfelelő folyadékak tovább akarjuk csökkete a térfogatát, akkor hatalas yoásváltozást kell elődézük. A krtkus állaotak egfelelő hőérséklete (a közéső az ábrá) egy jellegzetes zoterát kauk. Eze az zoterá a két fázsra jellező vízsztes szakasz egy otra zsugorodk, at krtkus otak evezük. Mde alatta lévő zoterá a gáz úgy vselkedk, t ahogy láttuk az előbb. A krtkus otba ért araéterek - a krtkus hőérséklet ( C ), a krtkus yoás ( ) és a krtkus térfogat ( C )- együttese alkotják a krtkus ot állaotjelzőt. A krtkus hőérsékletél agyobb hőérséklete e lehet a gázt csefolyósíta, báreyre s övelék a yoást. A csefolyósításhoz, szükséges a yoás egkezdése előtt a gázt a c alá kell hűte. Azt a gázt, aelyek araétere a c felett zóába helyezk azt, szuerkrtkus gázak evezzük..8.. A reáls gáz va der Waals egyelete Megfgyelve a valós gázok állaotváltozását, va der Waals a következő fzka odellt kézelte el: - de gázrészecske göb alakú, és térfogata e eleyésző az általa bejárható tér térfogatával szebe. É ezért az deáls gázra kfejezett állaotegyelet ( ) a következő alakot ölt:, vagys a b bejárható térfogat az összes térfogat és a olekulák térfogatáak a külöbsége. - a gáz yoása függ a tér falához való ütközés gyakorságától. A falhoz való ütközés gyakorságát csökket a olekulák közt felléő vozóerő, a a C 51

14 Kéa terodaka kocetrácóval ( ) aráyos. A vozóerő hatására felléő yoáscsökkeést kfejezhetjük a a összefüggéssel. Így felírhatjuk a valós gázra jellező teljes yoásváltozást, vagys a va der Waals egyeletet: a (.161) b A va der Waals egyeletet a óltérfogatra s felírhatjuk: a (.16) b Az a-t és b-t va der Waals-álladókak evezzük, elyeket gyakorlatlag határozuk eg. Értékek e függek a hőérséklettől, csak a gáz őségétől (lásd a.. táblázatot)... táblázat. A va der Waals álladók értéke éháy sert gáz esetébe [9] Gáz egevezése atl 1 a, ol, 1 b Lol Hélu,57,7 Argo 1,6,19 Ntrogé 1,48,91 Szé-doxd,64 4,67 1. Gy. Határozzuk eg a szédoxd olárs térfogatát 5 K hőérséklete és 1 at yoáso [9]. Megoldás: Először úgy tektjük a szédoxdot, t egy deáls gáz. Így felírható: 8,145-1,416 Lol 5 11,11 Most alkalazzuk, va der Waals egyeletét: a b a ( b ) ab a b a a b ab 5 b

15 Fejezetek a fzka kéából Behelyettesítve, következk:,85785,64 (,467 ) 1 1,45959,64,155,467,64 1 Alkalazva a többször terácó elvét, értéket aduk a ól-térfogatak, és keressük azt az értéket, elyre a baloldal egközelít a jobboldalt, egkajuk -1,6489 Lol -t. Ha a két eredéyt összehasolítjuk, egkajuk az eltérést, szert ha az deáls gáztörvéyt alkalazzuk, akkor az eltérés a két ódszer között,416, ,46%.,6489 Feltevődk a kérdés, eyre egbízható a va der Waals egyelet, hsz ez s a valóság egyszerűsítésből adódk? Ha egfgyeljük a valós gázok vselkedését, és a va der Waals egyeletből kaott zoterákat, akkor odhatjuk, hogy eltérés va a közöttük. Ez azt jelet, hogy akor otosabb értékekkel akaruk él, akkor jó, ha a vráls egyeleteket alkalazzuk, áskor bárelyk, a.. táblázatba feltütetett egyeletet haszálhatjuk... táblázat. Külöböző állaotegyeletek [,4,5,8,9,1,16]. Megevezése Alakja Ideáls gáz a de Waals Berthelot Beatte-Brdgea b a a' b c 1 b * a * b (1 ) a 1 Kaerlg-Oes B( ) C( )

16 Kéa terodaka A va der Waals egyeletre jellező, hogy a száított zoterá elég jól egközelítk a érések segítségével szerkesztetteket, főleg a krtkus állaottól távol eső tervalluba. gyaakkor, az zoterákra jellező az u. vsszafordulás (lásd a.18. ábrát), a azt sugallja, hogy bzoyos körüléyek között a yoás övelése a térfogat övelését okozza. Mvel ez rreáls, Maxwel javaslatára a szerkesztéskor egy olya vízsztes egyeessel helyettesítk a hurkot, aely esetbe a görbe és az egyees által kalakított két felület (egyees alatt, egyees felett) területe azoos. Z ábra. A va der Waals hurok ábrázolása (AKINS utá [9]).19.ábra. Háro gáz redukált állaotjelzőkkel kfejezett koresszbltás téyezőjéek változása a redukált yoás függvéyébe. gyacsak jellezőek az egyeletre: a) agy hőérséklete és agy óltérfogato az egyelet köye átalakítható az deáls gáz egyeletévé. Nagy hőérséklete a va der Waals egyelet első tagja olyayra túlszáryalja a ásodk tagot, hogy az elhayagolható lesz, továbbá, ha a óltérfogat s agy, akkor a b - el, így a va der Waals egyelet az deáls gázegyeletre redukálódk: a. (.16) b b) A va der Waals hurok akkor jelek eg, akor a olekulák taszító és vozóereje egegyezk, vagys az egyelet két tagja egyelővé válk. c) A va der Waals krtkus zoterájáak a krtkus otba egy vízsztes flexója va. Ez azt jelet, hogy úgy az első, t a ásodk dervált s ulla. r 54

17 d d ( b) d d ( b) a 6a 4 Fejezetek a fzka kéából (.164a,b) Ie: c b, a 8a c, c 7b 7b (.165 a,b,c) Ie kajuk, hogy a koresszbltás téyező értéke: a b cc 7 Z b,75 8a C 8 7b (.166) A külöböző gázok állaotjelzőek összehasolítására a fzka kéa az u. redukált változókat alkalazza. Legye a redukált yoás ( r ), a redukált térfogat ( r ) és a redukált hőérséklet ( r ) a következő összefüggésekkel aghatározva: r, r, r (.167a,b,c) c C c Ha sert a redukált állaotjelző, akkor az aktuálsat úgy határozzuk eg, hogy a krtkus állaotjelzőt egszorozzuk a redukálttal. a der Waals alkalazva ezt a ódszert azt taasztalta, hogy azok a gázok, aelyekek azoos a redukált hőérsékletük és azoos redukált térfogatba vaak, azoos yoást fejteek k. Ezt a egfgyelést evezzük egfelelő állaot tételek. E tétel gazolására helyettesítsük be a va der Waals egyeletbe a redukált állaotjelzőket: cr 1 r c a (.168) b c r r c Behelyettesítve a (.175) összefüggéseket, következk: ar 8ar a 7b 7b(br b) 9b r (.169) Ie: 55

18 Kéa terodaka r 8r (.17) 1 r r Az összefüggés alakja ugyaaz, t a va der Waals egyeleté, de abba külöbözk attól, hogy e tartalazza a gázra jellező a és b együtthatókat. Ez e jelet ást, t azt, hogy az összefüggés általáos érvéyű. Erre jó élda a.19. ábrá beutatott, háro külöböző gázra jellező otok egy görbe utá elhelyezkedése [9]. Gyakorló feladatok Határozzuk eg a szé-doxd gáz krtkus sűrűségét, serve k =4 K, k =4 at. Ha 8,8 kg szé-doxd gáz 7 K hőérsékletű, határozzuk eg: a) a térfogatát, ha a yoása egfelel a va der Waals egyeletből száítottak, b) a va der Waals egyeletből száított yoás és az deáls gázyoás aráyát, ha térfogata,84. 56

2.10. Az elegyek termodinamikája

2.10. Az elegyek termodinamikája Kéma termodamka.1. z elegyek termodamkája fzka kéma több féle elegyekkel foglakozk, kezdve az deáls elegyektől a reáls elegyekg. Ha az deáls elegyek esetébe az alkotók közt kölcsöhatásokat elhayagoljuk,

Részletesebben

Egyszerő kémiai számítások

Egyszerő kémiai számítások Egyszerő kéiai száítások z egyes fizikai, illetve kéiai eyiségek közötti összefüggéseket éréssel állapítjuk eg. hhoz, hogy egy eyiséget éri tudjuk, a eyiségek valaely rögzített értékét (értékegység) kell

Részletesebben

Általános Kémia. Dr. Csonka Gábor 1. Gázok. Gázok. 2-1 Gáznyomás. Barométer. 6-2 Egyszerű gáztörvények. Manométer

Általános Kémia. Dr. Csonka Gábor 1. Gázok. Gázok. 2-1 Gáznyomás. Barométer. 6-2 Egyszerű gáztörvények. Manométer Gázok -1 Gáznyoás - Egyszerű gáztörvények -3 Gáztörvények egyesítése: Tökéletes gáz egyenlet és általánosított gáz egyenlet -4 tökéletes gáz egyenlet alkalazása -5 Gáz halazállapotú reakciók -6 Gázkeverékek

Részletesebben

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba

Részletesebben

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az

Részletesebben

EGY FÁZISÚ TÖBBKOMPONENS RENDSZEREK: AZ ELEGYEK KÉPZDÉSE

EGY FÁZISÚ TÖBBKOMPONENS RENDSZEREK: AZ ELEGYEK KÉPZDÉSE EG FÁZISÚ ÖBBOMPONENS RENDSZERE: AZ ELEGE ÉPZDÉSE AZ ELEGÉPZDÉS ERMODINAMIÁJA: GÁZO Általáos megfotolások ülöböz kéma mség komoesek keveredésekor változás törték a molekulárs kölcsöhatásokba és a molekulák

Részletesebben

Fluidizált halmaz jellemzőinek mérése

Fluidizált halmaz jellemzőinek mérése 1. Gyakorlat célja Fluidizált halaz jellezőinek érése A szecsés halaz tulajdonságainak eghatározása, a légsebesség-nyoásesés görbe és a luidizációs határsebesseg eghatározása. A érésekböl eghatározott

Részletesebben

Mágneses momentum, mágneses szuszceptibilitás

Mágneses momentum, mágneses szuszceptibilitás Mágneses oentu, ágneses szuszceptibilitás A olekuláknak (atooknak, ionoknak) elektronszerkezetüktől függően lehet állandóan eglévő, azaz peranens ágneses oentua (ha van bennük párosítatlan elektron, azaz

Részletesebben

Volumetrikus elven működő gépek, hidraulikus hajtások (17. és 18. fejezet)

Volumetrikus elven működő gépek, hidraulikus hajtások (17. és 18. fejezet) oluetriku elve űködő gépek hidrauliku hajtáok (17 é 18 fejezet) 1 Függőlege tegelyű ukaheger dugattyúja 700 kg töegű terhet tart aelyet legfeljebb 6 / ebeéggel zabad üllyeztei A heger belő átérője 50 a

Részletesebben

Kényszereknek alávetett rendszerek

Kényszereknek alávetett rendszerek Kéyszerekek alávetett redszerek A koordátákak és sebességekek előírt egyeleteket kell kelégítee a mozgás olyamá. (Ezeket a eltételeket, egyeleteket s ayag kölcsöhatások bztosítják, de ezek a kölcsöhatások

Részletesebben

VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE

VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE BUDAPET MŰZAK É GAZDAÁGTUDOMÁY EGYETEM Építőmérök Kar Hdak és zerkezetek Taszéke VABETO ÉPÜLETEK MEREVÍTÉE Oktatás segédlet v. Összeállította: Dr. Bód stvá - Dr. Farkas György Dr. Kors Kálmá Budapest,.

Részletesebben

FAIPARI ALAPISMERETEK

FAIPARI ALAPISMERETEK Faipari alapiseretek középszit 1211 ÉRETTSÉGI VIZSGA 213. ájus 23. FAIPARI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIMA Fotos tudivalók

Részletesebben

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges.

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges. ERMODINMIK I. FÉELE els eergia: megmaraó meyiség egy izolált reszerbe (eergiamegmaraás törvéye) mikroszkóikus kifejezését láttuk Izolált reszer falai: sem mukavégzés sem a reszer állaotáak mukavégzés élküli

Részletesebben

Statisztika. Eloszlásjellemzők

Statisztika. Eloszlásjellemzők Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az

Részletesebben

Gáztörvények. (vázlat)

Gáztörvények. (vázlat) . Gázhalazállaot jellezése. Ideális gázok odellje. Állaotjelzők Nyoás érfogat Hőérséklet Anyagennyiség öeg 4. Hőérséklet kinetikai értelezése 5. Nyoás kinetikai értelezése 6. Állaotegyenlet Gáztörények

Részletesebben

2.9. Az egyszerű, tiszta anyagok fázisátalakulásai

2.9. Az egyszerű, tiszta anyagok fázisátalakulásai Kéiai potenciál Fejezetek a fizikai kéiából 2.9. Az egyszerű, tiszta anyagok fázisátalakulásai A indennapi életben találkozunk olyan kifejezésekkel, int fagyás, forrás, párolgás, stb. Mint a kifejezésekből

Részletesebben

VEGYIPARI ALAPISMERETEK

VEGYIPARI ALAPISMERETEK Vegyipari alapiseretek eelt szint 08 ÉRETTSÉGI VIZSGA 008. ájus 6. VEGYIPARI ALAPISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos

Részletesebben

Mivel foglalkozik a hőtan?

Mivel foglalkozik a hőtan? Hőtan Gáztörvények Mivel foglalkozik a hőtan? A hőtan a rendszerek hőmérsékletével, munkavégzésével, és energiájával foglalkozik. A rendszerek stabilitása áll a fókuszpontjában. Képes megválaszolni a kérdést:

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben

A Sturm-módszer és alkalmazása

A Sturm-módszer és alkalmazása A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle

Részletesebben

Tiszta anyagok fázisátmenetei

Tiszta anyagok fázisátmenetei Tiszta anyagok fázisátenetei Fizikai kéia előadások 4. Turányi Taás ELTE Kéiai Intézet Fázisok DEF egy rendszer hoogén, ha () nincsenek benne akroszkoikus határfelülettel elválasztott részek és () az intenzív

Részletesebben

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011 MÉRÉSTECHNIKA DR. HUBA ANTAL c. egy. taár BME Mechatroka, Optka és Gépészet Iformatka Taszék 0 Rövde a tárgyprogramról Előadások tematkája: Metrológa és műszertechka alapok Mérés adatok kértékelése Időbe

Részletesebben

Használati-melegvíz készítő napkollektoros rendszer méretezése

Használati-melegvíz készítő napkollektoros rendszer méretezése Használati-elegvíz készítő nakollektoros rendszer éretezése Kiindulási adatok: A éretezendő létesítény jellege: Családi ház Melegvíz felhasználók száa: n 6 fő Szeélyenkénti elegvíz fogyasztás: 1 50 liter/fő.na

Részletesebben

HŐTAN Oktatási segédanyag

HŐTAN Oktatási segédanyag Eergeikai Géek és Redszerek aszék HŐAN Okaási segédayag Kézira Szerkeszee: dr. Zsebik Albi Faluskai Norber Budaes, 003. jauár Hoa_.do.do Eergeikai Géek és Redszerek aszék aralojegyzék. Alafogalak.....

Részletesebben

Szemcsés szilárd anyag porozitásának mérése. A sűrűség ismert definíciója szerint meghatározásához az anyag tömegét és térfogatát kell ismernünk:

Szemcsés szilárd anyag porozitásának mérése. A sűrűség ismert definíciója szerint meghatározásához az anyag tömegét és térfogatát kell ismernünk: Szecsés szilárd anyag porozitásának érése. Eléleti háttér A vegyipar alapanyagainak és terékeinek több int fele szilárd szecsés, ún. ölesztett anyag. Alapanyag pl. a szén, szilikonok, szees terények stb.,

Részletesebben

A SOKASÁGI ARÁNY MEGHATÁROZÁSÁRA IRÁNYULÓ STATISZTIKAI ELJÁRÁSOK VÉGES SOKASÁG ÉS KIS MINTÁK ESETÉN LOLBERT TAMÁS 1

A SOKASÁGI ARÁNY MEGHATÁROZÁSÁRA IRÁNYULÓ STATISZTIKAI ELJÁRÁSOK VÉGES SOKASÁG ÉS KIS MINTÁK ESETÉN LOLBERT TAMÁS 1 ÓDSZERTAI TAULÁYOK A SOKASÁGI ARÁY EGHATÁROZÁSÁRA IRÁYULÓ STATISZTIKAI ELJÁRÁSOK VÉGES SOKASÁG ÉS KIS ITÁK ESETÉ LOLBERT TAÁS 1 A ckk ő célja aak vzsgálata, hogy az elleőrzés gyakorlatba széles körbe haszált

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése 3 4 Tartalomegyzék. BEVEZETÉS 5. A MÉRÉS 8. A mérés mt folyamat, fogalmak 8. Fotosabb mérés- és műszertechka fogalmak 4.3 Mérés hbák 8.3. Mérés hbák csoportosítása eredetük szert 8.3. A hbák megeleítés

Részletesebben

Megint egy keverési feladat

Megint egy keverési feladat Megnt egy keveré feladat Az alább feladatot [ 1 ] - ben találtuk nylván egoldá nélkül Itt azért vezetjük elő ert a egoldáa orán előálló özefüggéek egybecengenek egy korább dolgozatunkéval elynek cíe: Ragaztóanyag

Részletesebben

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o)

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o) Ismérvek között kapcsolatok szorosságáak vzsgálata 1. Egy ks smétlés: mérés skálák (Huyad-Vta: Statsztka I. 5-6. o) A külöböző smérveket, eltérő mérés sztekkel (skálákkal) ellemezhetük. a. évleges (omáls)

Részletesebben

1. előadás. Gáztörvények. Fizika Biofizika I. 2015/2016. Kapcsolódó irodalom:

1. előadás. Gáztörvények. Fizika Biofizika I. 2015/2016. Kapcsolódó irodalom: 1. előadás Gáztörvények Kapcsolódó irodalom: Fizikai-kémia I: Kémiai Termodinamika(24-26 old) Chemical principles: The quest for insight (Atkins-Jones) 6. fejezet Kapcsolódó multimédiás anyag: Youtube:

Részletesebben

Ideális gáz és reális gázok

Ideális gáz és reális gázok Ideális gáz és reális gázok Fizikai kémia előadások 1. Turányi Tamás ELTE Kémiai Intézet Állaotjelzők állaotjelző: egy fizikai rendszer makroszkoikus állaotát meghatározó mennyiség egykomonensű gázok állaotjelzői:

Részletesebben

Egyenáramú motor kaszkád szabályozása

Egyenáramú motor kaszkád szabályozása Egyeáramú motor kazkád zabályozáa. gyakorlat élja z egyeáramú motor modellje alajá kazkád zabályozó terezée. zabályozá kör feléítée Smulk köryezetbe. zmuláó eredméyek feldolgozáa.. Elmélet beezet a az

Részletesebben

? közgazdasági statisztika

? közgazdasági statisztika Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t. Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László Valószíűségszámítás Ketskeméty László Budapest, 996 Tartalomjegyzék I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 3. Kombatorka alapfogalmak 4 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 6. A valószíűségszámítás alapfogalma

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Adatfeldolgozás, adatértékelés. Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Miskolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanszék

Adatfeldolgozás, adatértékelés. Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Miskolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanszék Adatfeldolgozás, adatértékelés Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Mskolc Egyetem, Hdrogeológa Mérökgeológa Taszék A vzsgált köryezet elemek, lletve a felszí alatt közeg megsmerése céljából számtala külöböző

Részletesebben

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk,

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk, A deceber -i gyakorlat téája A hipotézisvizsgálat fotos probléája a következő két kérdés vizsgálata. a) Egy véletle eyiség várható értékéek agyságáról va bízoyos feltevésük. Elleőrizi akarjuk e feltevés

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

VÁLASZOK A FIZKÉM I ALAPKÉRDÉSEKRE, KERESZTÉVFOLYAM 2006

VÁLASZOK A FIZKÉM I ALAPKÉRDÉSEKRE, KERESZTÉVFOLYAM 2006 ÁLASZOK A FIZKÉM I ALAPKÉRDÉSEKRE, KERESZÉFOLYAM 6. Az elszgetelt rendszer határfelületén át nem áramlk sem energa, sem anyag. A zárt rendszer határfelületén energa léhet át, anyag nem. A nytott rendszer

Részletesebben

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

Hűtés és fagyasztás 2014 108-001_Ost_HU.indd 1 108-001_Ost_HU.indd 1 16.12.13 12:41 16.12.13 12:41

Hűtés és fagyasztás 2014 108-001_Ost_HU.indd 1 108-001_Ost_HU.indd 1 16.12.13 12:41 16.12.13 12:41 Hűtés és fagyasztás 0 0 alapos ok arra, hogy Liebherr teréket vásároljo 6 A tapasztalat, ai száít BioFresh bizoyíthatóa egészségesebb A Liebherr, it a hűtő- és fagyasztó készülékek szakértője, ár több

Részletesebben

RUGÓTERHELÉSŰ BIZTONSÁGI SZELEP MŰKÖDÉSÉNEK ELMÉLETI ÉS KÍSÉRLETI VIZSGÁLATA

RUGÓTERHELÉSŰ BIZTONSÁGI SZELEP MŰKÖDÉSÉNEK ELMÉLETI ÉS KÍSÉRLETI VIZSGÁLATA MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR RUGÓTERHELÉSŰ BIZTONSÁGI SZELEP MŰKÖDÉSÉNEK ELMÉLETI ÉS KÍSÉRLETI VIZSGÁLATA PhD ÉRTEKEZÉS KÉSZÍTETTE: SIMÉNFALVI ZOLTÁN OKLEVELES GÉPÉSZMÉRNÖK GÉPÉSZMÉRNÖKI TUDOMÁNYOK

Részletesebben

Laboratóriumi mérések

Laboratóriumi mérések Laboratórum mérések. Bevezetı Bármlye mérés ayt jelet, mt meghatároz, háyszor va meg a méredı meységbe egy másk, a méredıvel egyemő, ökéyese egységek választott meység. Egy mérés eredméyét tehát két adat

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN

AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN Molár László Ph.D. hallgató Mskolc Egyetem, Gazdaságelmélet Itézet 1. A MINTANAGYSÁG MEGHATÁROZÁSA EGYSZERŐ VÉLETLEN (EV) MINTA

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

A gáz halmazállapot. A bemutatót összeállította: Fogarasi József, Petrik Lajos SZKI, 2011

A gáz halmazállapot. A bemutatót összeállította: Fogarasi József, Petrik Lajos SZKI, 2011 A gáz halmazállapot A bemutatót összeállította: Fogarasi József, Petrik Lajos SZKI, 0 Halmazállapotok, állapotjelzők Az anyagi rendszerek a részecskék közötti kölcsönhatásoktól és az állapotjelzőktől függően

Részletesebben

Ftéstechnika I. Példatár

Ftéstechnika I. Példatár éecha I. Példaár 8 BME Épülegépéze azé éecha I. példaár aralojegyzé. Ha özeoglaló... 3.. Hvezeé...3.. Háadá....3. Hugárzá...6.. Háoáá....5. Szgeel axál hleadáához arozó ül áér....6. Bordázo vezeé.... Sugárzá...5.

Részletesebben

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai 05..04. szórások vizsgálata z F-próba Hogya foguk hozzá? Nullhipotézis: a két szórás azoos, az eltérés véletle (mitavétel). ullhipotézishez tartozik egy ú. F-eloszlás. Szabadsági fokok: számláló: - evező:

Részletesebben

LOGO. Kvantum-tömörítés. Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar

LOGO. Kvantum-tömörítés. Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar LOGO Kvatum-tömörítés Gyögyösi László BME Villamosméröki és Iformatikai Kar Iformációelméleti alaok összefoglalása A kódolási eljárás Az iformáció átadás hűsége és gazdaságossága a kódolástól függ Az iformáció

Részletesebben

1.0. BEVEZETÉS, ALAPFOGALMAK

1.0. BEVEZETÉS, ALAPFOGALMAK .0. BEVEZEÉS, ALAPFOGALAK A agyéreű (aroszous) ese helyzeálozásáa, azaz echaa ozgásáa öréye ár a 7. századba felseré. A Newo-axóába összegze öréye a ozgásjeleségee agyo oosa írjá le. Segíségüel a esre

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Épület: Megrendelő: Tervező: Dátum: Megjegyzés: CHM-BAU kéményméretező program 2.66 ( ) Copyright Bausoft Pécsvárad Kft.

Épület: Megrendelő: Tervező: Dátum: Megjegyzés: CHM-BAU kéményméretező program 2.66 ( ) Copyright Bausoft Pécsvárad Kft. 1 Épület: Megredelő: Tervező: Dá: Megjegyzés: Szigeosr Község Ökoráyzata Szigeosr Község Ökoráyzata 2015 Szigeosr, Fő utca 26. Kardos Mihály Mksz:01-8723 2016.09.hó A érezés a egredelő adatszolgáltatása

Részletesebben

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée DR BENKŐJÁNO gátudoáy Egyete Gödöllő Mg Gépt Itézet gyoozgáú gépzeezete tevezéée foto lépée z egyelete, ezgéete üzeet bztoító

Részletesebben

R E K T I F I K Á C I Ó

R E K T I F I K Á C I Ó R E K T I F I K Á C I Ó Bevezetés A foladékelegek szétválasztásáak egik leggakrabba alkalazott ódszere a gőzfoladék egesúlo alapuló desztilláció ill. az isételt desztilláció: a rektifikálás. Midkét űvelet

Részletesebben

Bruttó kereslet Nettó kereslet (1) 5. elıadás: Vétel és eladás indulókészlettel; Intertemporális választások. Indulókészlet

Bruttó kereslet Nettó kereslet (1) 5. elıadás: Vétel és eladás indulókészlettel; Intertemporális választások. Indulókészlet (C http://kgt.be.hu/ 5. elıadás: Vétel és eladás idulókészlettel; Itetepoális választások uttó keeslet ettó keeslet ( uttó keeslet: ait a fogyasztó téylegese elfogyaszt (hazavisz a piacól ( ( Jele:, vagy,

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

III. Áramkör számítási módszerek, egyenáramú körök

III. Áramkör számítási módszerek, egyenáramú körök . Árakör száítás ódszerek, egyenáraú körök A vllaos ára a vllaos töltések rendezett áralása (ozgása) a fellépő erők hatására. Az áralás ránya a poztív töltéshordozók áralásának ránya, aelyek a nagyobb

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

specific (assignable) cause: azonosítható, tettenérhető (veszélyes) hiba megváltozott a folyamat

specific (assignable) cause: azonosítható, tettenérhető (veszélyes) hiba megváltozott a folyamat ELLENŐRZŐ KÁRTYÁK méréses mősítéses commo cause: véletle gadozás secfc (assgable) cause: azoosítható, tetteérhető (veszélyes) hba megváltozott a folyamat Mősítéses elleőrző kártyák 41 Mősítéses elleőrző

Részletesebben

AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL

AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL 36 MIXCONTROL AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL Subert Istvá deformáció-elleálló keverékvázat lehet létrehozi. Kiidulási feltétel az alkalmazás helyéek

Részletesebben

Gázellátás. 1. Bevezetés. 2. A gázellátás fejlődése

Gázellátás. 1. Bevezetés. 2. A gázellátás fejlődése Gázellátás. Bevezetés A gázellátás az éghető és gazdaságosa felhaszálható gázo termelésével, szállításával, tárolásával és elosztásával foglalozó szolgáltatás jellegű műsza tevéeység. Az éghető és gazdaságosa

Részletesebben

5 Szupertakarékos. 10A legszélesebb választék. A hűtés specialistája. Kiemelt ajánlatok Hűtés és fagyasztás 2012

5 Szupertakarékos. 10A legszélesebb választék. A hűtés specialistája. Kiemelt ajánlatok Hűtés és fagyasztás 2012 0 jó ok, hogy iért Liebherr készüléket válasszo. A tapasztalat, ai száít A Liebherr, it a hűtő-fagyasztó készülékek szakértője ár több it 50 éve következetese tervez és gyárt olya terékeket, aelyek új

Részletesebben

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése 3.1.1. Rugalmas elektroszórás 45 3.1.1. Rugalmas elektroszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése Aray, ikkel, szilícium és grafit mitákról rugalmasa visszaszórt elektrook eergiaeloszlását mértem

Részletesebben

Tulajdonságok. Teljes eseményrendszer. Valószínőségi változók függetlensége. Példák, szimulációk

Tulajdonságok. Teljes eseményrendszer. Valószínőségi változók függetlensége. Példák, szimulációk Valószíőségszámítás és statsztka elıadás fo. BSC/B-C szakosokak 3. elıadás Szeptember 26 p 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 A bomáls és a hpergeom. elo. összehasolítása 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k Hp.geom

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

KÖRNYEZETVÉDELMI- VÍZGAZDÁLKODÁSI ALAPISMERETEK

KÖRNYEZETVÉDELMI- VÍZGAZDÁLKODÁSI ALAPISMERETEK Környezetvédeli-vízgazdálkodási alaiseretek közéint ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. október 5. KÖRNYEZETVÉDELMI- VÍZGAZDÁLKODÁSI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

2011/2012 tavaszi félév 2. óra. Tananyag:

2011/2012 tavaszi félév 2. óra. Tananyag: 2011/2012 tavaszi félév 2. óra Tananyag: 2. Gázelegyek, gőztenzió Gázelegyek összetétele, térfogattört és móltört egyezősége Gázelegyek sűrűsége Relatív sűrűség Parciális nyomás és térfogat, Dalton-törvény,

Részletesebben

N - edik gyökvonás. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

N - edik gyökvonás. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Brósch Zoltá (Debrecei Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimáziuma) N - edik gyökvoás DEFINÍCIÓ: (Négyzetgyökvoás) Egy em egatív x valós szám égyzetgyöké azt a em egatív valós számot értjük, amelyek égyzete

Részletesebben

ÖSSZEFÜGGÉSVIZSGÁLAT, PARAMÉTERBECSLÉS

ÖSSZEFÜGGÉSVIZSGÁLAT, PARAMÉTERBECSLÉS ÖSSZEFÜGGÉSVIZSGÁLAT, PARAMÉTERBECSLÉS Összefüggésvizsgálat, paraméterbecslés A kísérletek sorá a redszer állapotát ellemző paraméterek kapcsolatát vizsgáluk. A yert adatok alapá felállítuk a redszer matematikai

Részletesebben

Gázok. Készítette: Porkoláb Tamás

Gázok. Készítette: Porkoláb Tamás Gázok Készítette: Porkoláb Taás. Alapfogalak. Az ideális gáz nyoása, a Boyle-Mariotte törvény 3. A hıérséklet 4. Gay-Lussac I. törvénye 5. Gay-Lussac II. törvénye 6. Az állapotegyenlet 7. Az ideális gáz

Részletesebben

2012 február 7. (EZ CSAK A VERSENY UTÁN LEGYEN LETÖLTHETŐ!!!)

2012 február 7. (EZ CSAK A VERSENY UTÁN LEGYEN LETÖLTHETŐ!!!) 1 A XXII. Öveges József fizika tanulányi verseny első fordulójának feladatai és azok egoldásának pontozása 2012 február 7. (EZ CSAK A VERSENY UTÁN LEGYEN LETÖLTHETŐ!!!) 1. Egy odellvasút ozdonya egyenletesen

Részletesebben

Mivel az erőkar mindkét oldalon ugyanakkora (t.i. a csiga sugara), az erőknek is meg kell egyezniük.

Mivel az erőkar mindkét oldalon ugyanakkora (t.i. a csiga sugara), az erőknek is meg kell egyezniük. 1. Könnyű: [1] Az alább ozgások közül elyknél használható a v=s/t képlet? A) A) szabadesés B) egyenletes körozgás C) gyorsuló körozgás B) D) ndegyknél E) egyknél se [2] Ha felfelé hajítunk egy követ és

Részletesebben

2. Rugalmas állandók mérése

2. Rugalmas állandók mérése . Rugalas állandók érése PÁPICS PÉTER ISTVÁN csillagász, 3. évfolya 00.10.7. Beadva: 00.1.1. 1. A -ES, AZAZ AZ ABLAK FELLI MÉRHELYEN MÉRTEM. Ezen a laboron a férudak Young-oduluszát értük, pontosabban

Részletesebben

Piacmeghatározás. Hipotetikus monopolista teszt. Hipotetikus monopolista teszt alkalmazása. Hipotetikus monopolista teszt alkalmazása

Piacmeghatározás. Hipotetikus monopolista teszt. Hipotetikus monopolista teszt alkalmazása. Hipotetikus monopolista teszt alkalmazása Moder iacelmélet Moder iacelmélet A iaci erő mérése ELTE TáTK Közgazdaságtudomáyi Taszék Selei Adrie ELTE TáTK Közgazdaságtudomáyi Taszék Készítette: Hidi Jáos A taayag a Gazdasági Verseyhivatal Verseykultúra

Részletesebben

1. Gyors folyamatok szabályozása

1. Gyors folyamatok szabályozása . Gyor olyamatok zabályozáa Gyor zabályozá redzerekrl akkor bezélük, ha az ráyított olyamat dálladó máoder, agy az alatt agyágredek. gyor olyamatok eetébe a holtd általába az ráyítá algortmu megalóítááál

Részletesebben

MINTAVÉTEL A MARKETINGKUTATÁSBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A DIVIZÍV ÉS AZ AGGLOMERATÍV RÉTEGZÉSRE

MINTAVÉTEL A MARKETINGKUTATÁSBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A DIVIZÍV ÉS AZ AGGLOMERATÍV RÉTEGZÉSRE MINTAVÉTEL A MARKETINGKUTATÁSBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A DIVIZÍV ÉS AZ AGGLOMERATÍV RÉTEGZÉSRE Molár László egyetem taársegéd 1. BEVEZETÉS A statsztkusok a mtaagyság meghatározására számos módszert dolgoztak

Részletesebben

Vályogos homoktalaj terepprofil mérése

Vályogos homoktalaj terepprofil mérése Vályogos hooktalaj terepprofl érése Pllnger György Szent István Egyete, Gépészérnök Kar Folyaatérnök Intézet, Járűtechnka Tanszék PhD hallgató, pllnger.gyorgy@gek.sze.hu Összefoglalás A terepen haladó

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

IFFK 2013 Budapest, 2013. augusztus 28-30. Stróbl András*, Péter Tamás**

IFFK 2013 Budapest, 2013. augusztus 28-30. Stróbl András*, Péter Tamás** IFFK 03 Budapest 03. augusztus 8-30. Tartoáyi szitű stabilitásizsgálat alkalazásáak lehetőségei Győr árosába Stróbl Adrás* Péter Taás** Budapest Uiersity of Techology ad Ecooics Hugary (e-ail*:strobl.ad@gail.co

Részletesebben

6. Számitási gyakorlatok

6. Számitási gyakorlatok űvelettani érési és száítási útutató 6. Száitási gyakorlatok 6.. közegek fizikai tulajdonságainak eghatározása int iseretes, a űvelettanban, úgy egyfázisú, int többfázisú közegekkel dolgozunk. Ezek a közegek

Részletesebben

SZÁMOLÁSI FELADATOK. 2. Mekkora egy klíma teljesítménytényező maximális értéke, ha a szobában 20 C-ot akarunk elérni és kint 35 C van?

SZÁMOLÁSI FELADATOK. 2. Mekkora egy klíma teljesítménytényező maximális értéke, ha a szobában 20 C-ot akarunk elérni és kint 35 C van? SZÁMOLÁSI FELADATOK 1. Egy fehérje kcsapásához tartozó standard reakcóentalpa 512 kj/mol és standard reakcóentrópa 1,60 kj/k/mol. Határozza meg, hogy mlyen hőmérséklettartományban játszódk le önként a

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Szemmegoszlási jellemzők

Szemmegoszlási jellemzők Szemmegoszlási jellemzők Németül: Agolul: Charakteristike er Korgrößeverteilug Characteristics of particle size istributio Fraciául: Caractéristique e compositio graulométrique Kutatási, fejlesztési és

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

G Á Z J E L L E M Z Ő K összefoglalás

G Á Z J E L L E M Z Ő K összefoglalás Mskolc Egyetem Kőolaj és Földgáz Itézet Gázmérök Taszék G Á Z J E L L E M Z Ő K összefoglalás Horászky Beáta egy. taársegéd - - A gázállapot egy külöleges halmazállapot: a gázmolekulák ktöltk a redelkezésre

Részletesebben

Termékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás és piaci erő. Termékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás. Modern piacelmélet

Termékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás és piaci erő. Termékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás. Modern piacelmélet Moder acelmélet Moder acelmélet Termékdfferecálá ELTE TáTK Közgazdaágtudomáy Tazék Sele Adre ELTE TáTK Közgazdaágtudomáy Tazék Kézítette: Hd Jáo A taayag a Gazdaág Vereyhvatal Vereykultúra Közota é a Tudá-Ökoóma

Részletesebben

Széki Hírek A Magyarszékért Egyesület kiadványa

Széki Hírek A Magyarszékért Egyesület kiadványa Szék Hírek A Magyarszékért Egyesület kadáya X. éfolyam, 1. szám Karácsoy a árakozással tel szeretet üepe December 17-é fatalok adtak hagerseyt a templomba. K kegyetleül süöltött a hdeg szél, míg be melegséggel

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

1. A hőszigetelés elmélete

1. A hőszigetelés elmélete . A hőszigetelés elélete.. A hővezetés... A hővezetés alapjai A hővezetési száítások előtt bizonyos előfeltételeket el kell fogadnunk. Feltételezzük, hogy a hőt vezető test két oldalán fellépő hőfokkülönbség

Részletesebben

7. ELŐADÁS VÍZI SZÁLLÍTÁS A GLOBÁLIS LOGISZTIKÁBAN

7. ELŐADÁS VÍZI SZÁLLÍTÁS A GLOBÁLIS LOGISZTIKÁBAN 7. ELŐADÁS VÍZI SZÁLLÍTÁS A GLOBÁLIS LOGISZTIÁBAN A terészetes folyai, illetve tegeri utakat igéybe vevő, csak a kikötővel redelkező helyeket felkeresi tudó szállítási ód. A vízi áruszállítást elsősorba

Részletesebben