5. Pontrendszerek mechanikája. A kontinuumok Euler-féle leírása. Tömegmérleg. Bernoulli-egyenlet. Hidrosztatika. Felhajtóerő és Arhimédesz törvénye.

Átírás

1 5 Pontrenszerek echankája kontnuuok Euler-féle leírása Töegérleg Bernoull-egyenlet Hrosztatka Felhajtóerő és rhéesz törvénye Töegpontrenszerek Töegpontok eghatározott halaza, ng ugyanazok a pontok tartoznak hozzá pontok száa legyen n, az -ek pont töege peg pontrenszer tagja egyással s eg a külvlággal s kölcsönhatásban állhatnak z egyással való kölcsönhatáshoz renelt erőket belső erőknek, a külvlággal való kölcsönhatást leíró erőket peg külső erőknek nevezzük test - test kölcsönhatás: F k az erő, aelyet a k-ak fejt k az -ek pontra Belső erők * test - ező kölcsönhatás: F k az erő, aely a k-ak pont ezőjében az - ekre hat Bk Fk F k a teljes belső erő z akcó reakcó tétele att Fk Fk Általában Fk és Fk ne egyásnak az ellentettje echankában azonban a legtöbb esetben fennáll az akcó reakcó elve a *-os erők között s, ezért a továbbakban feltesszük, hogy Fk Fk z -ek pontra ható teljes külső erő legyen F renszer -ek eleének ozgásegyenlete: p F Bk, = 1,2 n, B Ezt az n száú egyenletet ajuk össze: p F B k k Legyen p a renszer összpulzusa p p ekkor p p jelölje F F a pontrenszerre ható összes külső erőt Mvel a kettős összeg párokba renezhető pl: Bk Bk, így bárely pár összege és így az egész összeg eltűnk Így az pulzustétel pontrenszerre: p F pontrenszer pulzusának változás gyorsasága egyenlő a pontrenszerre ható külső erők összegével Töegközéppont az a geoetra pont, aelyre a töegpontrenszer sztatka nyoatéka eltűnk, azaz r k z r r C x O y r c

2 c, r r r r r c r rc r r c töegközéppont helye egyértelűen eghatározható töegközéppont helyvektorát úgy kapjuk, hogy az orgóra száolt teljes sztatka nyoatékot elosztjuk a pontrenszer teljes töegével Legyen töegközéppont sebessége: vc rc r v p p vc pontrenszer pulzusa egyenlő össztöegének és a töegközéppontja sebességének szorzatával Derváljuk a fent egyenletet az ő szernt: p F ac, így ac F Ez a töegközéppont tétel (az pulzustétel ás alakja) töegközéppont gyorsulását úgy száíthatjuk k, hogy a pontrenszerre ható külső erők összegét elosztjuk a pontrenszer össztöegével Zárt a echanka renszer, ha külső erők ne hatnak rá Inercarenszerben a zárt töegpontrenszer töegközéppontja ne gyorsulhat, vagy áll, vagy egyenes vonalú egyenletes ozgást végez Kontnuuok echankája: szlár, cseppfolyós és légneű anyag olekulákból lletve atookból épül fel akroszkopkus jelenségek leírásában azonban először a fenoenologkus (leíró) ószert használjuk Ilyenkor eltekntünk az anyag atoos szerkezetétől, és azzal a feltevéssel élünk, hogy az anyagot jellező fzka ennységek a helynek, és az őnek folytonos, sőt fferencálható függvénye z lyen anyagot nevezzük kontnuunak kontnuu echanka tehát a folyaékok, és gázok áralásának és egyensúlyának a leírása folytonos eloszlású anyag egyk fontos jellezője a sűrűsége z átlagsűrűség efnícója:, ahol a térfogatban foglalt töeg Illetve a pontbel sűrűség: l

3 E szernt egy aott tartoányban foglalt töeg: őtől r, t x,y,z, t Mértékegysége 1 kg 3 sűrűség függhet a helytől és az Ha, akkor a test hoogén, lyenkor Tovább fontos ennység a nyoás folyaék egy pontjában a nyoás a felületre F erőleges erő és a pont körül kcsny felület hányaosa: p ezt nevezzük átlag F F nyoásnak, lletve a pontbel nyoás: p l Ha egy felület entén p=állanó F akkor terészetesen a p egyenletnek egfelelően F p nyoás skalár ennység, F N és értékegysége p 1 1Pa 2 kontnuuok ozgásának egyk lehetséges leírása a Lagrange-ószer, lyenkor az egyes kszeelt folyaékrészekre a Newton féle ozgásegyenletet írjuk fel, és kezet feltételekkel egoljuk Gyakorbb az úgynevezett Euler-féle leírás Ilyenkor azt vzsgáljuk, hogyan változnak a folyaék által elfoglalt térben az áralást leíró fzka ennységek, pélául a sebesség a v v r, t p p r, t r, t sűrűség vagy a nyoás,, kontnuuáralás áravonalakkal szeléltethető, ezek olyan görbék, elynek bárely pontbel érntője tartó egyenese az ottan sebességvektornak v r áravonal z áravonalak fferencálegyenlete: v r Töegérleg (kontnutás egyenlet): töeg egaraó ennység, ne keletkezk, és ne tűnk el Mateatka alakban fogalazzuk eg ezt Tekntsünk egy nyugvó térfogatot ő alatt a felületen káraló töeg: v v h h v cos v Iőegység alatt felületen káraló töeg:

4 zárt felületen káraló töeg v v térfogatban foglalt töeg változás gyorsasága peg: Így a kontnutás egyenlet ntegráls alakja, aely a töegegaraást fejez k: v z ő szernt fferencálás és a helykoornáták szernt ntegrálás sorrenje felcserélhető z egyenlet ásk olalán peg alkalazzuk a Gauss ntegrál átalakítás tételt így: v t, azaz v t, v t Ez utóbb egyenlet a töegegaraás törvényének fferencáls vagy lokáls alakja nabla vektort ár korábban láthattuk: nabla j k x y z Staconárus vagy őben állanósult áralás esetén,így v palást 2 palástra vonatkozó ntegrál eltűnk: 1 v v v v 1 palást 2 v palást 1v 1 1 2v Így a kontnutás egyenlet vékony áracsőre staconárus áralás esetén: v v, ha a közeg összenyohatatlan, áll v v 1 1 Bernoull egyenlet: Összenyohatatlan folyaék staconárus áralása vékony áracsőben, hoogén gravtácós ezőben Munkatétel segítségével száraztatható:

5 1 1 p v gh p v gh Hrosztatka: z összes fzka ennység őben állanó, alkalas vonatkoztatás renszerből v v p,, t t t folyaékrészek súlyából szárazk a hrosztatka nyoás z egyás fölött elhelyezkeő folyaékrétegek egyásra nyoóerőt fejtenek k Szabaon eső folyaékban nncs hrosztatka nyoás, lyenkor az érntkező felületek között egszűnk az erő Tekntsünk nyugvó folyaékot hoogén gravtácós ezőben szaba felszínen a nyoás legyen p p p y G p p y Szeeljük k a folyaék belsejében egy hasábot elynek vastagsága y keresztetszete súlya G Legyen az alaplapján a nyoás p a feőlapján p p folyaékhasáb egyensúlyának feltétele, hogy a rá ható erők ereője nulla p G p p, G p, yg p, p g y fent egyenletből az látszk, hogy a nyoás lneárs függvénye a y élységnek p p gy hrosztatka nyoás folyaék szaba felszíne alatt y élységben gy az eény alakjától független, p peg a szabafelszín nyoás Felhajtóerő, rchees törvénye: p p F fel F fel G folyaék folyaékba vagy gázba erülő test hatásfelületén ébreő nyoóerőrenszer ereője függőlegesen felfelé utat és nagysága egegyezk a kszorított folyaék vagy gáz súlyával Ezt az erőt nevezzük felhajtóerőnek Táaáspontja a kszorított folyaék töegközéppontjában van G test