V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL"

Átírás

1 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B ) potosa aor egyelő P(A B) -vel, ha A B vagy B A; c) P( A) P( B) = P( A B) A racoáls számo halmazá értelmezzü az r = (,, G) relácót, ahol G = {( x, y) x, y, x y } Bzoyítsd be, hogy az r relácó egy evvaleca relácó és az r szert evvaleca osztályo /r halmaza bjetíve leépezhető a [,) 0 tervallumra Az E = {,, 05,,,,,, } halmazo értelmezzü a ρ relácót a övetező összefüggéssel: xρy x + y x 5y + 8 = 0 Határozd meg a relácó grafoját, az x = elem szert metszetét és taulmáyozd a reflexvtást a szmmetrát és a traztvtást Határozd meg az a paraméter értéét úgy, hogy a valós számo halmazá értelmezett xρ y x x = y ay, xy, relácó evvaleca relácó legye Határozd meg ebbe az esetbe az evvaleca osztályoat s 5 Háy evvaleca relácó értelmezhető egy elemű halmazo? 6 Háy teljes redezés értelmezhető egy elemű halmazo? 7 Bzoyítsd be, hogy ha f : egy függvéy, aor a ρ = ( G,, ), G = {( x, y) f( x) = f( y )} relácó egy evvaleca relácó 8 Az E = {,,, abcd} halmaz részhalmaza értelmezzü a övetező relácót: XρY X A= Y A, XY, P ( E), ahol A= {,} a b Evvaleca relácó-e ez a relácó és ha az, aor határozd meg az evvaleca osztályoat Mt állíthatsz tetszőleges E és A E eseté? 9 Az X = (,) 0 halmazo értelmezzü a ρ = ( XXG,, ) relácót a övetező x x összefüggéssel: G =, X X x + y = x + y, x y y x Bzoyítsd be, hogy a ρ relácó egy redezés az X halmazo! 0 Számítsd az X = {,, } halmazo értelmezett ρ = ( XXG,, ) és τ = ( XXH,, ) relácó összetevését, ahol G = {(, ),(, )} és H = {(, ),(, )} Igazold, hogy a ét relácó szmmetrus de az összetett relácó em szmmetrus Számítsd az X = {,, } halmazo értelmezett ρ = ( XXG,, ) és τ = ( XXH,, ) relácó összetevését, ahol G = {(, ),(, ),(, )} és H = {(, ),(, ),(, )} Bzoyítsd be, hogy a ét relácó traztív de az összetett relácó em traztív

2 Összefoglaló gyaorlato és feladato 87 Az E = {,, } és F = {,, } halmazoo értelmezzü a ρ = ( EFG,, ) relácót, ahol G = {(, ),(, ),(, ),(, ),(, )} Írd fel a relácót majd számítsd a ρ ρ és ρ ρ relácóat Igaz-e a övetező mplácó, ha ρτ, és φ relácó az E halmazo: [ ρ φ τ φ] [ ρ τ] Az természetes számo halmazá értelmezzü a övetező relácót: m xρy m : x = y, xy, Bzoyítsd be, hogy a ρ relácó egy evvaleca relácó és határozd meg az evvaleca osztályoat! 5 Bzoyítsd be, hogy ha M és N ét halmaz és f : M N egy függvéy, aor a övetező állításo egyeértéűe: a) ab, M eseté a b f() a f() b ; b) L halmaz és gh, : L M ülöböző függvéye eseté f g f h ; c) Ha A M és A, aor fm ( \ A) N\ fa ( ) 6 Bzoyítsd be, hogy ha M és N ét halmaz és f : N M egy függvéy, aor a övetező állításo egyeértéűe: a) b M eseté a N úgy, hogy fa () = b; b) L halmaz és gh, : M Lülöböző függvéye eseté g f h f ; c) Ha A N és A, aor M \ f ( A) f( N \ A) 7 Bzoyítsd be, hogy tetszőleges A és B halmazo és f : A B függvéy eseté létez olya g : B A függvéy, amelyre f = f g f 8 Bzoyítsd be, hogy ha A egy tetszőleges halmaz és P( A) az A részhalmazaa halmaza, aor em létez f : A P( A) ρ szürjetív függvéy 9 Ha ( X, ) egy redezett halmaz és Y X, aor az s X elemet az Y halmaz szuprémumáa evezzü, ha y s, y Y és s X eseté, ha y s, y Y, aor s s Vzsgáld meg, hogy az (, ) redezett halmaz mlye részhalmazaa létez szuprémuma (x y z : y= z x) 0 Bzoyítsd be, hogy ha ( X, ) egy olya redezett halmaz, hogy mde részhalmazáa létez szuprémuma és f : X X egy övevő függvéy (ha x y, aor fx ( ) fy ( )), aor létez x X úgy, hogy f ( x ) 5 Művelete, csoporto 0 = x Bzoyítsd be, hogy ha a ( G, ) csoport xy, G elemere x = y =e, aor xy = yx és xy = y x Háy ülöböző módo tölthetjü az alább művelettáblát, ha az E halmazo egy asszocatív műveletet aaru értelmez? = {,, 0}

3 88 Összefoglaló gyaorlato és feladato * xy Bzoyítsd be, hogy a (, ) halmazo az x y : =, xy, (,) x y összefüggéssel értelmezett művelet jól értelmezett és asszocatív Taulmáyozd a semleges elem létezését és határozd meg az vertálható elemeet Taulmáyozd az asszocatvtását és a semleges elem létezését a G =, xy + halmazo értelmezett x y : =, xy, G ( x + y + ) műveletre xy+ xy x, x 0 5 A valós számo halmazá értelmezzü az x y : = y, x = 0 műveletet Va-e semleges eleme? 6 A G = {( a, b) a 0} halmazo értelmezzü a : G G G műveletet az ( a, b) (, c d): = ( ac, ad + b ), (,),(, ab cd) G egyelőséggel a) Bzoyítsd be, hogy ( G, ) em ommutatív csoport; b) Bzoyítsd be, hogy a H = {( a, b) G b = 0} halmaz részcsoportja a ( G, ) csoporta; c) Bzoyítsd be, hogy a ( H, ) csoport zomorf az ( *, ) csoporttal xy x y Bzoyítsd be, hogy a G = (, ) halmazo az x y : =, xy x y + 5 xy, G művelet egy csoportstrutúrát határoz meg Bzoyítsd be, hogy a ( G, ) csoport zomorf az ( *, ) és az (,+ ) csoporttal! + 8 Bzoyítsd be, hogy mde égyelemű csoport zomorf a Kle csoporttal vagy a (,+ csoporttal! ) 9 Adj példát a lehető legevesebb elemet tartalmazó em ommutatív csoportra 0 Bzoyítsd be, hogy a sí azo forgatása és (pot lletve egyees szert) szmmetrá, amelye egy rögzített égyzetet ömagába vsze át egy 8 elemű csoportot alota Egy ocáa szmmetrategelye va: a égy testátló, három olya egyees, amely szembefevő lapo özéppotjat öt össze és hat olya egyees, amely a szembefevő éle felezőpotjat öt össze Bzoyítsd be, hogy a szmmetrategelye szert szmmetrá és azo forgatáso, amelye a ocát ömagába vsz át, egy elemű csoportot alota Háy ülöböző módo szíezhetjü egy oca csúcsat szí segítségével (mde csúcs szíét tetszőlegese megválaszthatju) ha a forgatással egymásba vhető szíezése em számítaa ülöbözőe?

4 Összefoglaló gyaorlato és feladato 89 A metá (CH ) moleula szé atomja egy oca özéppotjába és a hdrogé atomo a oca égy csúcsába helyezede el úgy, hogy ét szembefevő lapo egymásra merőleges átlóat határozzaa meg Bzoyítsd be, hogy a oca szmmetrá és forgása, amelye a metámoleulát ömagába vsz át, egy elemű csoportot alota Számítsd a σ összeget, ahol σ a σ S permutácó verzóa száma σ S (az (, j) pár verzót alot, ha < j és σ () > σ( j) ) ( ) 5 Bzoyítsd be, hogy bármely m természetes szám eseté létez S -be olya permutácó, amelybe potosa m darab verzó va 6 Mlye hatváyra ell felemel a σ = permutácót ahhoz, hogy detus permutácót apju? 7 Oldd meg az S -ba a övetező egyeleteet: a) σ 5 6 = 6 5 ; b) σ = Igaz-e, hogy ha E egy elemű halmaz, aor ( ( E), ) (, + ) P? 9 Bzoyítsd be, hogy ha egy véges csoportba x = e, x G, aor a csoport elemee száma -e természetes tevőjű hatváya 0 Az x + y = a egyeletű ör potjaa C halmazá értelmezzü a műveletet a rögzített A C pot segítségével: M A = A M = M, M C ; Ha M, M C \{ A} ét ülöböző pot, aor M M az a pot, ahol az A - át az MM szaaszhoz húzott párhuzamos másodszor metsz a ört; Ha M C \{ A}, aor M M az a pot, ahol az A - át az M -be húzott értővel párhuzamos egyees másodszor metsz a ört Bzoyítsd be, hogy az így értelmezett művelettel a ör potja csoportot alota és ez a csoport zomorf az egységmodulusú omplex számo multplatív csoportjával (Felvétel feladat, Temesvár) 5 Gyűrű és teste Bzoyítsd be, hogy az R = (, 0 ) halmaz az x y : = xy és xy, > 0 műveleteel egy testet alot, amely zomorf az (, +, ) testtel {,,, }, +, Bzoyítsd be, hogy ha a ( 0ab ) test, aor a) ab = ba = ; b) a = b, a =, a + a + = 0 : = x l y x y,

5 90 Összefoglaló gyaorlato és feladato Mde a eseté tetjü az ax, x fa :, fa ( x) = 0, x \ függvéyt Bzoyítsd be, hogy az F = { f a a } halmaz a függvéye összeadásával és összetevésével test Bzoyítsd be, hogy a gyűrű értelmezésébe az első művelet ommutatvtása gazolható a több axóma segítségével 5 Bzoyítsd be, hogy ha az ( I, +,) gyűrűbe xy, és xy vertálható eleme, aor az x y és ( x y ) x eleme s vertálható és (( ) ) x x y = xyx x 6 Oldd meg 6 -ba a övetező egyeleteet és egyeletredszert: a) x + y = ; b) x x 0 ; c) + + x + x + y = = x + y = 0 7 Oldd meg -ba az x + y = 8 egyeletredszert x + y = 8 Háy megoldása va 5 -be az x = 0 egyelete? Hát -be, ahol p p prímszám? 9 Bzoyítsd be, hogy egy ommutatív ( K, +, ) testbe egy másodfoú egyelete legtöbb ét megoldása va 0 Igazold, hogy az halmaz a övetező műveleteel em ommutatív testet alot: (,,, abcd) + ( a, b, c, d ): = ( a+ a, b+ b, c+ c, d+ d ); a b c d b a d c ( abcd,,, ) ( a, b, c, d ): = ( abcd,,, ) c d a b, d c b a (,,, a b c d),( a, b, c, d ) Ezt a testet evezzü a vateró testée a b c d b a d c Bzoyítsd be, hogy a H = c d a b a,,, b c d halmaz a mátrxo d c b a összeadásával és szorzásával em ommutatív testet alot és a test zomorf a vateró testével Határozd meg ]-be az f = X + X + X + X + és 5 [X 5 5 g = X + X + polomo legsebb özös többszörösét, legagyobb özös osztóját és oldd meg az fx ( ) = gx ( ) egyeletet

6 Összefoglaló gyaorlato és feladato 9 Bzoyítsd be, hogy a vateró testébe az x + = 0 egyelete végtele so megoldása va * Az ( R, +, ) gyűrű egy x elemét lpotese evezü ha létez úgy, hogy x = 0 Bzoyítsd be, hogy -be potosa aor léteze ullától ülöböző lpotes eleme, ha osztható valamlye -től ülöböző teljes égyzettel 5 Bzoyítsd be, hogy -be a H = {, 0 5} halmaz egy -vel zomorf gyűrű az 0 duált műveleteel, de em részgyűrűje -e 0 6 Határozd meg a gyűrű összes részgyűrűjét! x + y y 7 Bzoyítsd be, hogy a C = y x y, x y halmaz a mátrxo összeadásával és szorzásával testet alot és ez a test zomorf a { a b a b } [ 0] = + 0, testtel 8 Határozd meg a (, +, ) gyűrű részgyűrűt! 9 Bzoyítsd be, hogy ha ( K, +, ) egy test és K K, =, valód részteste ( K, +, )-a ( K K, =, ), aor K K K K 0 Bzoyítsd be, hogy ha ( Q, +, ), =, részteste a (, +, ) teste és * Q =, aor létez olya {,,, }, amelyre Q = ( rögzített) = 5 Vetortere Vzsgáld meg a övetező vetorredszer leárs függetleségét -be: v = ( 0,,, ), v = (, 00,, ), v = (,,, 7) és v = (,, 5, ) Az m paraméter mlye értéere alota bázst -be a övetező vetoro: v = (,, m ), v = ( 0,, m) és v = (, m, ), v, v A övetező v v vetorredszere eseté gaz-e a a) v = (, ), (,) ; b) (, v = v = ), v = (, ) = egyelőség? x x Vzsgáld meg az f :, f(( x, x, x, x )) = 5 x leárs 0 5 x függvéy jetvtását, szürjetvtását, határozd meg a éptér dmezóját és egy bázsát 5 Bzoyítsd be, hogy a B = {(,, ), (,, ), (,, 0)} redszer egy bázsa -e és írd fel az áttérés mátrxot a aous bázsból a B bázsba! 6 Írd fel a B és B bázso özött áttérés mátrxot, ha B = {(,, ), (,, ), (,, 0)} és B = {(, 0, ), (,, 0 ), (,, 0)} 7 Fejezd a v = (,, ) vetor oordátát az előbb B és B bázsoba!

7 9 Összefoglaló gyaorlato és feladato 8 Bzoyítsd be, hogy az f ( a + ax + a x ) = ( a a, a a, a + a ) függvéy egy leárs térzomorfzmus ( [ x] = { f [ x] grf } ) Írd fel ee a leépezése a mátrxát a aous bázsora voatozóa 9 A ( V, +,, ) vetortérbe adotta a v, v, v,, v vetoro és w = a v, ha j {,,,, m} Cseréljü a v vetort a w vetorral (az előbb egyelősége jobb oldalá e szerepelje többet a v és a bal oldalo a w ) és adju valamlye módszert az új egyelősége együtthatóa geerálására! 0 Igazold, hogy ha az (, +, vetortérbe B = { v, v,, v } bázs, aor szereszthető olya B = { u, u,, u} bázs, amelyre teljesüle az alább tulajdoságo: a) v, v,, v = u, u,, u, =, ; ) 0, j b) u u =,, ahol x x és y y eseté j = j = (, x,, x ) = (, y,, y ) x y = = Teszt x y (salárszorzat -be) 55 Teszte Egy szabályos tízszög csúcsaba elhelyezzü az,, 7, 0,, 6, 9,, 5 és 8 számoat, valamlye sorredbe Tételezzü fel, hogy lerajzoltu az összes lehetséges sorrede megfelelő tízszöget (a számoal együtt) Mde lye tízszög belsejébe beírju a legagyobb olya összeg értéét, amelyet három szomszédos csúcsába írt szám összeadásával yerhetü Határozd meg a tízszöge belsejébe található számo özül a legsebbet! Egy sabajoságra hat résztvevő jeletezett (A, B, C, a, b és c ) A bajoságo mde résztvevő ell játsszo mde más résztvevővel, és mde résztvevő egy ap csa egy játszmát játszhat Szervezd meg a játszmáat úgy, hogy a bajoság öt ap alatt véget érje Segítségéppe az első ap játszmát bejelöltü az alább táblázatba: A B C a b c A I B I C I a b c (az első ap A játsz a -val, B játsz b -vel és C játsz c -vel) Egy asztalo darab pohár áll Egy lépésbe megfordítu poharat Elérhetjü-e, hogy az eredet helyzetéhez vszoyítva mde pohár fordítva álljo, ha és 6? l l j = j

8 Összefoglaló gyaorlato és feladato 9 Egy ere asztal örül lovag ül ( ) Mde percbe egy tetszőlegese választott lovag ét szomszédja helyet cserélhet egymással Lehetséges-e, hogy egy dő utá mde lovag jobboldal szomszédja éppe az, a eredetleg a bal oldal szomszédja volt? 5 Rég smerősöm, Müchause báró, a övetező törtéetet mesélte: Egy -es satábla bal alsó sarába levő -es égyzet mde mezőjére egy-egy bábut állítottam Ezutá a bábuat azo szabály szert mozgattam, hogy bármely A bábu átugorhat egy más B bábut, és eor az A bábu új helyét a B szert szmmetrával apju meg (az ábrá egy 8 8 -as táblá mutattu egy lye lépést) Persze csa aor léphet de az A bábu, ha ez a mező még em foglalt A báró büszé újságolta: Ilye módo az összes bábut a jobb felső saro - es égyzetébe vezettem Ovetleedő érdésemre: S m va aor, ha a tábla -es és a bal alsó sarába levő -as égyzet mde mezőjére állítu egy-egy bábut? azt válaszolta, hogy természetese aor s felvezethetjü a bábuat a jobb felső -as saroba Igazat modott-e a báró? C A B 6 A { 0, } halmazból ette felváltva választaa egy-egy elemet úgy, hogy mde lépés utá az addg választása sorozatából e lehesse vág ét azoos, hosszúságú szevecát (az összes választáso sorozatát értve) Ke va yerő stratégája, ha az veszít a em tud lép? ( + ) 7 Elhelyeztü sorba darab pézérmét, háromszög alaba, írást tartalmazó oldalával felfele, az ábra szert: = = Egyszerre megfordíthatu három ölcsööse szomszédos érmét (pl a fet ábrá a vlágos érméet) Ha = 000, elérhető-e, hogy mde érme az írást tartalmazó oldalával lefele legye? 8 Határozd meg azoat az * \ {, } számoat, amelyere egy tetszőleges oldalú ovex soszöget fel lehet bota, egymást em metsző átló segítségével háromszögere úgy, hogy mde csúcsból páros számú átló duljo!

9 9 Összefoglaló gyaorlato és feladato 9 Egy háromszög mde oldalát osszu fel p egyelő részre, és az osztópotoat össü össze a szembe fevő csúccsal Ha p prímszám, határozd meg a háromszög belsejébe eletező dszjut sírésze maxmáls számát! 0 Az ABC háromszög mde oldalá vegyü fel potot Az AB és AC oldalo felvett potoat össü össze a BC oldalo felvett potoal Ha az így apott szaaszo özt cs három összefutó szaasz, aor határozzu meg a háromszög belsejébe eletező metszéspoto számát Egy ( ) ( ) -es tábla özépső mezejé egy batérum áll Mde másodpercbe a létező batérumo mdegye vagy átöltöz egy szomszédos mezőre, vagy helybe marad és ettéosztód Bzoyítsd be, hogy eseté + másodperc alatt elérhető az, hogy a tábla mde mezejé legye egy batérum (Két mezőt aor evezü szomszédosa, ha va egy özös oldalu) a) Bzoyítsd be, hogy a P [ X ] polomhoz redelt polomfüggvéy potosa aor páros, ha P -be a páratla tevőjű tago együtthatója 0 b) Képezzü az összes {,,, } ε + alaú számot, ahol { } = ε mde eseté Bzoyítsd be, hogy az így apott szám szorzata term észetes szám! Teszt Bzoyítsd be, hogy Határozd meg az a b + c fejezés mmumát és maxmumát, ha a + b + c = Háy megoldása va az x x + x = egyelete ( x )? x Lehete-e a, 7, számo egy számta vagy mérta haladváy (em feltétleül egymás utá) tagja? ( ) 5 Bzoyítsd be, hogy p!! + = = C p p! ( + p)! p+ 6 Számítsd a C + = 0 C ülöbséget! = 0 7 Oldd meg a log a ( a + ) = logx ( x + ) egyeletet ( a > 0, a ) 8 Bzoyítsd be, hogy ha x + y + z = a és + + = ( a 0), aor az x, x y z a y és z özül legalább az egy egyelő a -val 8 9 Határozd meg az ( x + x x fejezésbe x együtthatóját! )

10 Összefoglaló gyaorlato és feladato 95 0 Az x ax ax + = egyelet gyöet jelöljü x, x, x, x -gyel 0 Bzoyítsd be, hogy x, =,, ha a és a < Számítsd a gyöö moduluszát, ha a és a < Teszt Bzoyítsd be, hogy ha x > 0, aor x + x Bzoyítsd be, hogy ( + )( + )( + 5) A poztív valós számo halmazá oldd meg az x + y + z = xyz + + = x + y + z + egyeletredszert! Jelöljü a, b, c -vel a P( X ) = X + X + polom gyöet a b c a) Számítsd a = c a b determást! b c a b) Bzoyítsd be, hogy a + b + c, Oldd meg az X = egyeletet! ax + y + z = 6 Oldd meg és tárgyald az x + ay + z = b ( a + ) x + y + az = 0 (a, b )! 7 Határozd meg az A = q p 0 0 mátrx ragját p és q függvéyébe! 8 Adott az A = mátrx 0 0 a) Bzoyítsd be, hogy A vertálható és A+ A = I egyeletredszert

11 96 Összefoglaló gyaorlato és feladato * b) Bzoyítsd be, hogy A + A = I, c) Bzoyítsd be, hogy az = { A+ li l } ( ( ), +, M ) gyűrűe L, halmaz zárt része az d) Vaa-e ( L, +, ) -ba zérusosztó? (Érettség javaslat, 00) 9 Bzoyítsd be, hogy ha N egy pot az F fóuszú parabola vezéregyeesé, aor azfn szaasz felezőmerőlegese ért a parabolát x y 0 Az + = egyeletű ellpszs P( x,y) potjáa az Ox és Oy tegelyre a b eső vetületét jelöljü P -gyel és P -vel Bzoyítsd be, hogy ha a P -be húzott értő az Ox és Oy tegelyt T -be és T -be metsz, aor Teszt OP OT = a és OP OT = b * Rögzített t eseté és bármely a -ra értelmezzü az fa :, ax + t at, x < t f ( ) x t a x = + t, x t a a függvéyeet Bzoyítsd be, hogy az F = f a ( 0, ) halmaz a függvéye összetételével csoportot alot! Az halmazo értelmezzü az { } a x y : = x + y + y + x, műveletet a) Bzoyítsd be, hogy (, ) csoport és (, ) (, + ) b) Számítsd x = x x x -et Bzoyítsd be, hogy a G = { f :(, ) (, ) ( ) ( ) f x = + x, } x, y halmaz a függvéye összetevésével (, +) -szal zomorf csoportot alot (Érettség, 995) Adotta az x y : = ax + by és x y : = xy x y + c művelete -e Határozd meg a, b, c értéét úgy, hogy az (,, ) strutúra test legye, majd gazold, hogy ez a test zomorf az (, +, ) testtel 5 Bzoyítsd be, hogy egy véges test em zérus elemee szorzata 6 Bzoyítsd be, hogy egy legalább ételemű csoport em írható fel ét valód részcsoportja egyesítéseét!

12 Összefoglaló gyaorlato és feladato 97 7 Rögzített * \ { } eseté tetjü az A = { x (, x) } halmazt (( ab, ) az a és b egész számo legagyobb özös osztója) M a szüséges és elégséges feltétele aa, hogy az A halmaz a zárt része legye az összeadásra ézve? 8 A ( G, ) csoportba létez * \ { } úgy, hogy xy = yx x y = y x x y = y x , x, y G Bzoyítsd be, hogy ( G, ) Ábel-féle csoport 9 Igaz-e, hogy mde 5 elemű gyűrű ommutatív? 0 Igaz-e, hogy mde dmezós vetortér zomorf -el? 5 Teszt A K = halmazo értelmezzü az ( ab, ) + ( cd, ): = ( a+ cb, + d), ( ab, ),( cd, ) K ( a, b) ( c, d) : = ( ac bd, ad + bc + bd), ( ab, ),( cd, ) K műveleteet Bzoyítsd be, hogy ( K, +, ) ommutatív test Bzoyítsd be, hogy az x * y : = xy, x, y > 0 l : y =, x, y > 0 x y x műveleteel az A = (0, ) halmaz test és ( A,*, ) (, +, ) Adott az M = Ax = x 0 x halmaz a) Bzoyítsd be, hogy ( M, ) Ábel-féle csoport b) Számítsd az [ Ax ( )] mátrxot! x 0 x ( ) x \ { } Az -e értelmezzü az x * y : = xy x y α, x, y műveletet a) Határozd meg α értéét úgy, hogy a G = [, ) zárt része legye -e * -ra ézve b) Mlye α eseté csoport a ([, ),*) strutúra? 5 Háy elem va az f, f ( x) = x + x függvéy éptartomáyába, ha p prímszám? : p p

13 98 Összefoglaló gyaorlato és feladato 6 Haszálhatju-e a Horer sémát [ X ]-be az X a elsőfoú polommal való osztás háyados és maradé meghatározására? 7 Az M halmazo értelmeztü a * műveletet Bzoyítsd be, hogy ha létez e M úgy, hogy x * e = x, x M és ( x * y) * z = ( z * y) * x, x, y, z M, aor ( M,* ) ommutatív mood 8 A ( G, ) csoportba ( xy) = y x, ( ) + + xy y x + = és { ( ) ( ) ( ) ( ) G = f :,, f x = + x, }, x, y G eseté Bzoyítsd be, hogy ( G, ) ommutatív (Radó Ferec Emléversey, 00) 9 Igaz-e, hogy egy gyűrűbe mde 0 -tól ülöböző elem zérusosztó vagy egység? 0 Izomorf-e az (, + ) *, csoporttal? 6 Teszt csoport az ( ) + Bzoyítsd be, hogy a x + y y H = 7y x y x 0, x, y, x = y halmaz a mátrxo szorzására ézve csoportot alot Adj példát olya P [ X ] polomra, amelye több gyöe va, mt amey a foszáma Az A = [ 0, ) halmazo értelmezzü az x + y x * y : = y +, x, y A műveletet 6 (Érettség javaslat, 00) a) Bzoyítsd be, hogy a művelet asszocatív b) Határozd meg a * művelet semleges elemét c) Bzoyítsd be, hogy a [ 0, ) tervallum zárt a * műveletre ézve Értelmezzü -e az x y : = xy + ax + by + c, x, y (abc,, ) műveletet a) Határozd meg a, b és c értéét úgy, hogy az M = (, ) halmaz a művelettel csoportot alosso b) Bzoyítsd be, hogy az előbb a, b, c értée eseté ( M, ) (, + ) 5 Határozd meg a d = { a + b d a, b } automorfzmusát! (d rögzített) gyűrű összes

14 Összefoglaló gyaorlato és feladato Határozd meg az f = x + x + x + polom osztás háyadosát és maradéát a g = x + x + polommal [ ] -be a b ( a ) 7 Bzoyítsd be, hogy ha a, b aor ( ), b, =, ahol ( xy, ) az x, y számo legagyobb özös osztója 8 Az ( A, +, ) gyűrűbe x = x, bármely x A eseté Bzoyítsd be, hogy 5 X x = x, bármely x A eseté 9 Létez-e olya elemű csoport, amely em zomorf -tel? Izomorfa-e az ( [ X ], +, ) és ( [ X ], +, ) polomgyűrű? 7 Teszt x + y + z = -be oldd meg a x y z 0 egyeletredszert 5 + = x + y + z = Bzoyítsd be, hogy ha a ( H, + ) részcsoportja (, + ) -a és ( H, + ) (, + ), aor f (Érettség, 00) : p p Asszocatív-e -e az x y : = xy + x, x, y művelet? A halmazo értelmezzü az x y : = xy + a( x + y) + b, x, y műveletet ( ab, ) a) M a szüséges és elégséges feltétele aa, hogy (, ) ommutatív mood legye? b) Ha (, ) mood határozzu meg az vertálható elemeet! a b 5 Mlye d eseté test a H, d = db a a b halmaz, a mátrxo összeadására és szorzására ézve? 6 Határozd meg a (, +, ) test automorfzmusat 7 Az M halmazo értelmeztü egy műveletet, amely a övetező tulajdoságoal redelez x = x, x M ( x y) z = ( y z) x, x, y, z M Bzoyítsd be, hogy a művelet asszocatív és ommutatív 8 Bzoyítsd be, hogy ha az A gyűrűbe 0 és a, b A, aor a övetező jeletése egyeértéűe: ab a = a és ba b = ; ab = ba = ; ab a = a és b az egyetle lye eleme A -a

15 00 Összefoglaló gyaorlato és feladato 9 Létez-e olya egyedfoú polom felett, amely felírható elsőfoú polom szorzataét úgy, hogy az elsőfoú polomo özül egye se legye gyöe, de a egyedfoúa legye? 0 Izomorf-e az (, + ) csoport a (, + ) csoporttal? 8 Teszt Oldd meg a x x + = 0 egyeletet, és -be 5 6 Az halmazo értelmezzü az x y : = xy x y + műveletet bármely x, y eseté a) Bzoyítsd be, hogy a művelet asszocatív b) Zárt része-e \ -e a műveletre ézve? ) A G =, halmazo értelmezzü az 6 (Érettség javaslat, 00) x y ( )( műveletet bármely x, y G eseté a) Bzoyítsd be, hogy ( G, ) csoport b) Számítsd x x x -et : = xy x y A halmazo értelmezzü az x y : = axy + b( x + y) + c műveletet ( abc,, ) a) Bzoyítsd be, hogy a művelet potosa aor asszocatív, ha b = b +ac; b) Bzoyítsd be, hogy a műveletre ézve potosa aor létez semleges elem, ha b = b + ac és b c (Felvétel, 99) 5 Botsd rreducbls téyező szorzatára [ X ] -be az ( ) p f X = X +a polomot, ha p prímszám 6 Határozd meg az (, +, ) test automorfzmusat! 7 A ( G, ) csoportba létez a G úgy, hogy axa = x bármely x G eseté Bzoyítsd be, hogy ( G, ) ommutatív 8 Az ( A, +, ) em ommutatív gyűrűbe az ab elem vertálható Bzoyítsd be, hogy az ba s vertálható! 9 Igaz-e, hogy -be az egysége a Kle csoporttal zomorf csoportot alota? 0 Izomorf-e a (, + ) csoport a (, + ) csoporttal? 9 Teszt Vzsgáld meg -be a v = ( 0,,, ), v = (,,, ), v = (,,, ), v = (,,, ) vetoro leárs függetleségét, majd válassz egy maxmáls elemszámú leársa függetle részredszert p p )

16 Összefoglaló gyaorlato és feladato 0 Bázst alot-e -be a v = ( 0,, ), v = (,, ) és v = (,, ) vetoroból álló vetorredszer? Ha ge, határozd meg a v = ( 75,, ) vetor oordátát ebbe a bázsba Taulmáyozd az f :, x f (( x, x, x ) ) = 0 x x leárs leépezés jetvtását és szürjetvtását Ha f bjetív, aor számítsd az verzét! Határozd meg az f :, 0 x x f (( x, x, x, x ) ) = x x függvéy épterée dmezóját -be 5 Írd fel az f :, függvéyt alaba, ahol A M ( ) ((,, )) f x x x = x + x x + x x + x x x x x = f ( x) x x x A x x 6 Bzoyítsd be, hogy C ( )-be az f, g :, =, f ( x) = s x, g ( x) = cos x, x, =, függvéye leársa függetlee 7 Bzoyítsd be, hogy ha a( K, +, ) teste végtele so eleme va, aor mde K felett vetortére s végtele so eleme va 8 Bzoyítsd be, hogy ha (,,,K) egy dmezós vetortér a V (,, ) test felett, aor V elemee száma K 9 Bzoyítsd be, hogy ha ( K, +, ) egy véges test, aor létez olya K + véges p prímszám, * hogy K = p valamlye eseté 0 a) Bzoyítsd be, hogy az (, +,, ) vetortér em véges dmezós b) Bzoyítsd be, hogy létez f : addtív függvéy ( f ( x + y) = f ( x) + f ( y), x, y ), amely em leárs

17 0 Összefoglaló gyaorlato és feladato 0 Teszt Izomorfa-e a és csoporto? (Hely olmpa, 995) A G halmazo a asszocatív művelet redelez a övetező tulajdosággal x G x G : xx x = x Bzoyítsd be, hogy ( G, ) csoport! (Megye olmpa, 99) 5 A ( G, ) csoportba ab a = b a b, a = e és b + = e (a, b rögzített eleme G -be és rögzített természetes szám) Bzoyítsd be, hogy b 0 = e * Bzoyítsd be, hogy ha ( m, ) = ( m, ) és a ( G, ) csoportba aor xy = yx, x, y G x y = y x m m m m xy, x, y G = yx, x, y G, 5 Bzoyítsd be, hogy ha a ( G, ) csoport és az f : G G jetív morfzmus, aor ( G, ) ommutatív csoport 6 Bzoyítsd be, hogy ha az ( A, +, ) gyűrűbe ( x x ) y y( x x ) + + = + +, x, y A, f x ( ) = függvéy aor A ommutatív gyűrű (Hely olmpa, 985) 7 Bzoyítsd be, hogy ha az ( A, +, ) gyűrűbe értelmezés szert [ xy, ] : = xy yx, x, y A, aor [ x, [ y, z] ] + [ y, [ z, x] ] + [ z, [ x, y] ] = 0 (Jacob azoosság) m * 8 A ( G, ) Ábel-féle csoportba x = y =e, ahol x, y G és m, p Bzoyítsd be, hogy ( xy) = e, ahol p = [ m, ] (az m és legsebb özös többszöröse) 9 Bzoyítsd be, hogy mde csoport zomorf egy bjetív függvéyeből alotott csoporttal (Cayley tétele) 0 Bzoyítsd be, hogy mde véges, zérusosztó metes gyűrű test x

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

A Sturm-módszer és alkalmazása

A Sturm-módszer és alkalmazása A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...!

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS

Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS Jegyzet ELE, Iformata Kar Hegedős: Numerus Aalízs ARALOM Gép szám, hbá 3 Normá, egyelıtlesége 9 3 A umerus leárs algebra egyszerő traszformácó 6 4 Mátro LU-felbotása, Gauss-Jorda

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA 9. LINÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKA Az 5. fejezetbe már megmeredtü a leár trazformácóal mt a leár leépezée egy ülölege típuával a 6. fejezetbe pedg megvzgáltu a leár trazformácó mátr-reprezetácóját.

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

A teveszabály és alkalmazásai

A teveszabály és alkalmazásai A teveszabály és alalmazásai Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Godolá-e valai, hogy a matematiáa lehete-e valami öze a tevéhez? Ha em aor a továbbiaba meggyzzü errl, mégpedig arról, hogy a matematiába ige is

Részletesebben

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az

Részletesebben

Tanmenetjavaslat. az NT-11580 raktári számú Matematika 5. tankönyvhöz. Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet, Budapest

Tanmenetjavaslat. az NT-11580 raktári számú Matematika 5. tankönyvhöz. Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet, Budapest Tameetjavaslat az NT-11580 ratári sú Matematia 5. taöyvhöz Otatásutató és Fejlesztő Itézet, Budapest A tameetjavaslat 144 órára lebotva dolgozza fel a taayagot. Ameyibe eél több idő áll a redelezésüre,

Részletesebben

Ftéstechnika I. Példatár

Ftéstechnika I. Példatár éecha I. Példaár 8 BME Épülegépéze azé éecha I. példaár aralojegyzé. Ha özeoglaló... 3.. Hvezeé...3.. Háadá....3. Hugárzá...6.. Háoáá....5. Szgeel axál hleadáához arozó ül áér....6. Bordázo vezeé.... Sugárzá...5.

Részletesebben

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László Valószíűségszámítás Ketskeméty László Budapest, 996 Tartalomjegyzék I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 3. Kombatorka alapfogalmak 4 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 6. A valószíűségszámítás alapfogalma

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

I. BEVEZETİ. i= 1 i= Z : Ai F és Ai Ai+ i Z : Bi F és Bi Bi+

I. BEVEZETİ. i= 1 i= Z : Ai F és Ai Ai+ i Z : Bi F és Bi Bi+ I ALAPFOGALMAK I BEVEZETİ Jelölése: K: véletle ísérlet, ω : elem eseméy, { : } Ω= ω : eseméytér, F Ω : eseméyalgebra, A F : eseméy, Ω F : bztos eseméy Mővelete eseméyeel: összegzés: A+B (halmazuó), szorzás:

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Egyetemi matematika az iskolában

Egyetemi matematika az iskolában Matematikatanítási és Módszertani Központ Egyetemi matematika az iskolában Hegyvári Norbert 013 Tartalomjegyzék 1. Irracionális számok; 4. További irracionális számok 7 3. Végtelen tizedestörtek 7 4. Végtelen

Részletesebben

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat:

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat: JÁRATTERVEZÉS Kapcsolatok szert: Sugaras, gaárat: Járattípusok Voalárat: Körárat: Targocás árattervezés egyszerű modelle Feltételek: az ayagáram determsztkus, a beszállítás és kszállítás dőpot em kötött

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

Nevezetes függvények

Nevezetes függvények Nevezetes függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt

Részletesebben

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I. Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.

Részletesebben

2. Hatványozás, gyökvonás

2. Hatványozás, gyökvonás 2. Hatványozás, gyökvonás I. Elméleti összefoglaló Egész kitevőjű hatvány értelmezése: a 1, ha a R; a 0; a a, ha a R. Ha a R és n N; n > 1, akkor a olyan n tényezős szorzatot jelöl, aminek minden tényezője

Részletesebben

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL

VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL Surányi János Farey törte mate.fazeas.u Surányi János VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL FAREY-TÖRTEK. Egy a alós számot racionális számoal, azaz törteel aarun megözelíteni. A törteet az alábbiaban mindig

Részletesebben

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t. Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is

Részletesebben

Elsőfokú egyenletek...

Elsőfokú egyenletek... 1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Absztrakt algebra I. Csoportelmélet

Absztrakt algebra I. Csoportelmélet Absztrakt algebra I. Csoportelmélet Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem 2006 Bevezetés Ez az anyag tartalmazza az Algebra és számelmélet című tárgy 4. féléves részének kötelező elméleti

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y Koordiátageometria összefoglalás Vektorok A helyvektor hossza Két pot távolsága r x y d x x y y AB A két potot összekötő vektort megkapjuk, ha a végpot koordiátáiból kivojuk a kezdőpot koordiátáit. Vektor

Részletesebben

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Szerkesztette: I. N. Szergejeva 2015. február 2. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Dr. Balogh Albert: A statisztikai adatfeldolgozás néhány érdekessége

Dr. Balogh Albert: A statisztikai adatfeldolgozás néhány érdekessége Dr. Balogh Albert: A statszta adatfeldolgozás éháy érdeessége Kérdése:. Hogya becsüljü a tapasztalat eloszlásfüggvéyt? 2. M az a redezett mta? 3. M az a medá rag és mlye becslése vaa?. Hogya becsüljü a

Részletesebben

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam -- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...

Részletesebben

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok Feladatok 1. Színezzük meg a koordinátarendszer rácspontjait két színnel, kékkel és pirossal úgy, hogy minden vízszintes egyenesen csak véges sok kék rácspont legyen és minden függőleges egyenesen csak

Részletesebben

1.52 CS / CSK. Kulisszás hangcsillapítók. Légcsatorna rendszerek

1.52 CS / CSK. Kulisszás hangcsillapítók. Légcsatorna rendszerek 1.52 CS / Légcsatra redszerek Alkalmazás: A légcsatraredszere építve, a légcsatráka terjedõ zaj csillapítására alkalmasak. Kialakításuk a eépített csillapító testek szerit alapvetõe hárm féle lehet: A,

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

UJJLENYOMATOK FELISMERÉSE

UJJLENYOMATOK FELISMERÉSE Babeş Bolyai Tudomáyegyetem Matematia Iformatia ar Iformatia sza UJJLENYOMATOK FELISMERÉSE Uleyomatépe feldolgozása, osztályozás euroális hálóal, azoosítási célú összehasolítás Vezetőtaár: Dr. Soós Aa

Részletesebben

Beadható feladatok. 2006. december 4. 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját!

Beadható feladatok. 2006. december 4. 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját! Beadható feladatok 2006. december 4. 1. Feladatok 2006. szeptember 13-án kitűzött feladat: 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját! Adott I 1,..., I n [0, 1] intervallumokból szeretnénk

Részletesebben

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve!

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve! (9/1) Vektorok, Koordináta Geometria 1) Szerkessze meg az a + b és az a b vektort, ha a és b egy szabályos háromszögnek a mellékelt ábra szerinti oldalvektorai! 2) Az ABC háromszög két oldalának vektora

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben

Kisfeszültség villamosenergia-elosztó rendszer vezetékeinek méretezése (szükséges keresztmetszet meghatározása)

Kisfeszültség villamosenergia-elosztó rendszer vezetékeinek méretezése (szükséges keresztmetszet meghatározása) Kisfszütség viamosrgia-osztó rdszr vztéi mértzés (szüségs rsztmtszt mghatározása) vzté mértzés iiduásaor ismrt ftétzzü: a btápáás fszütségét (), az áti ívát fogyasztó áramfvétét (), a fogyasztóra jmz fázistéyzt

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

Laboratóriumi mérések

Laboratóriumi mérések Laboratórum mérések. Bevezetı Bármlye mérés ayt jelet, mt meghatároz, háyszor va meg a méredı meységbe egy másk, a méredıvel egyemő, ökéyese egységek választott meység. Egy mérés eredméyét tehát két adat

Részletesebben

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.

Részletesebben

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.

Részletesebben

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan Mezei Ildikó-Ilona Analitikus mértan feladatgyűjtemény Kolozsvár 05 Tartalomjegyzék. Vektoralgebra 3.. Műveletek vektorokkal.................................. 3.. Egyenes vektoriális egyenlete..............................

Részletesebben

A fény diszperziója. Spektroszkóp, spektrum

A fény diszperziója. Spektroszkóp, spektrum A éy diszpeziója. Speoszóp, speum Iodalom [3]: 5, 69 Newo, 666 Tiszább, élesebb szíépe ad a öveező eledezés A speum szíe ovább má em boaó. A speum szíee úja egyesíve eé éy apu. Sziváváy Newo Woolsope-i

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése 3 4 Tartalomegyzék. BEVEZETÉS 5. A MÉRÉS 8. A mérés mt folyamat, fogalmak 8. Fotosabb mérés- és műszertechka fogalmak 4.3 Mérés hbák 8.3. Mérés hbák csoportosítása eredetük szert 8.3. A hbák megeleítés

Részletesebben

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea Tartalom 1 Matematikai alapismeretek Algebrai struktúrák Oszthatóság Kongruenciák Algebrai struktúrák Az S = {x, y, z,... } halmazban definiálva van egy művelet, ha az S-nek minden x, y elempárjához hozzá

Részletesebben

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség)

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Mivel az f : 0; ; x sin x folytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni, hogy szigorúan gyengén konkáv ezen az intervallumon Legyen 0

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

(arcsin x) (arccos x) ( x

(arcsin x) (arccos x) ( x ALAPDERIVÁLTAK ( c ) (si ) cos ( ) (cos ) si ( ) ( ) ( tg) cos ( e ) e ( ctg ) si ( a ) a l a ( sh) ch (l ) ( ch) sh (log a ) ( th) l a ch (arcsi ) (arccos ) ( arctg ) DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK. ( c ) c. c

Részletesebben

Miskolci Egyetem, Gyártástudományi Intézet, Prof. Dr. Dudás Illés

Miskolci Egyetem, Gyártástudományi Intézet, Prof. Dr. Dudás Illés 6. MENETMEGMUNKÁLÁSOK A csavarfelületek egyrészt gépelemek összekapcsolására (kötő menetek), másrészt mechanizmusokban mozgás átadásra (kinematikai menetek) szolgálnak. 6.1. Gyártási eljárások a) Öntés

Részletesebben

6. modul Egyenesen előre!

6. modul Egyenesen előre! MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

V. Gyakorlat: Vasbeton gerendák nyírásvizsgálata Készítették: Friedman Noémi és Dr. Huszár Zsolt

V. Gyakorlat: Vasbeton gerendák nyírásvizsgálata Készítették: Friedman Noémi és Dr. Huszár Zsolt . Gyakorlat: asbeton gerenák nyírásvizsgálata Készítették: Frieman Noémi és Dr. Huszár Zsolt -- A nyírási teherbírás vizsgálata A nyírási teherbírás megfelelő, ha a következő követelmények minegyike egyiejűleg

Részletesebben

I. rész. x 100. Melyik a legkisebb egész szám,

I. rész. x 100. Melyik a legkisebb egész szám, Dobos Sándor, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Dobos Sándor; dátum: 005. november 1. feladat A 70-nek 80%-a mely számnak a 70%-a? I. rész. feladat Egy szabályos

Részletesebben

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 202.03.0. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl,

Részletesebben

1. Lineáris leképezések

1. Lineáris leképezések Lineáris leképezések A lineáris leképezés fogalma Definíció (F5 Definíció) Legenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött Az A : V W lineáris leképezés, ha összegtartó, azaz v,v 2 V esetén A(v +v 2

Részletesebben

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, Halmazok definíciója, megadása HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,. A következő definíciók közül melyek határoznak meg egyértelműen egy-egy halmazt? a) A:= { a csoport tanulói b) B:= { Magyarország városai ma c) C:=

Részletesebben

/CSAK ISKOLAI HASZNÁLATRA!/ GÉPELEM FELADATOK. II. rész KÉSZÍTETTE: SZEKERES GYÖRGY

/CSAK ISKOLAI HASZNÁLATRA!/ GÉPELEM FELADATOK. II. rész KÉSZÍTETTE: SZEKERES GYÖRGY /CSAK ISKOLAI HASZNÁLATRA!/ GÉPELEM ELAATOK II. ré KÉSZÍTETTE: SZEKERES GYÖRGY . elaa: árcá egelykapcoló Tegelykapcolók A ábrá lévı árcá egelykapcolóval yoaéko áraauk á. A egao aaokkal, haárouk eg a cavarok

Részletesebben

Relációs algebra áttekintés és egy táblára vonatkozó lekérdezések

Relációs algebra áttekintés és egy táblára vonatkozó lekérdezések Relációs algebra áttekintés és egy táblára vonatkozó lekérdezések Tankönyv: Ullman-Widom: Adatbázisrendszerek Alapvetés Második, átdolgozott kiadás, Panem, 2009 2.4. Relációs algebra (áttekintés) 5.1.

Részletesebben

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény

Részletesebben

Földművek gyakorlat. Vasalt talajtámfal tervezése Eurocode szerint

Földművek gyakorlat. Vasalt talajtámfal tervezése Eurocode szerint Földműve gyaorlat Vasalt talajtámfal tervezése Eurocode szerint Vasalt talajtámfal 2. Vasalt talajtámfal alalmazási területei Úttöltése vasúti töltése hídtöltése gáta védműve ipari épülete öztere repülőtere

Részletesebben

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):

Részletesebben

1. Az absztrakt adattípus

1. Az absztrakt adattípus . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR védőeryő az ismeretleek záporába VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR www.matektaitas.hu www.matektaitas.hu ifo@matektaitas.hu 1 védőeryő az ismeretleek záporába Kombiatorika Permutáció Ismétlés élküli permutáció

Részletesebben

A matematika alapjai 1 A MATEMATIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2006

A matematika alapjai 1 A MATEMATIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2006 A matematika alapjai 1 A MATEMATIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2006 Köszönöm Koós Gabriella végzős hallgatónak, hogy felhívta a figyelmemet az anyag előző változatában szereplő néhány

Részletesebben

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy 1. forduló feladatai 1. Üres cédulákra neveket írtunk, minden cédulára egyet. Egy cédulára Annát, két cédulára Pétert, három cédulára Bencét és négy cédulára Petrát. Ezután az összes cédulát egy üres kalapba

Részletesebben

Távközlő hálózatok és szolgáltatások Kapcsolástechnika

Távközlő hálózatok és szolgáltatások Kapcsolástechnika Távözlő hálózato és szolgáltatáso Kapcsolástechia émeth Krisztiá BME TMIT 015. ot. 1-8. A tárgy felépítése 1. Bevezetés. IP hálózato elérése távözlő és ábel-tv hálózatoo 3. VoIP, beszédódoló 4. Kapcsolástechia

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. Kiegészítés az előadássorozathoz. Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. A valószínűségszámítás (és a matematika) bizonyos kérdéseiben fontos szerepet játszik a lineáris algebra néhány

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V. Geometria V. DEFINÍCIÓ: (Középponti szög) Ha egy szög csúcsa egy adott kör középpontja, akkor a kör középponti szögének nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Kerületi szög) Ha egy szög csúcsa egy adott körvonal pontja,

Részletesebben

Matematika POKLICNA MATURA

Matematika POKLICNA MATURA Szakmai érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Matematika POKLICNA MATURA A tantárgyi vizsgakatalógus a 0-es tavaszi vizsgaidőszaktól kezdve alkalmazható mindaddig, amíg új nem készül. A katalógus érvényességét

Részletesebben

ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI ALAPISMERETEK

ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI ALAPISMERETEK Építészeti és építési alapismeretek középszint 1411 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. május 18. ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

Gondolkodjunk a fizika segı tse ge vel!

Gondolkodjunk a fizika segı tse ge vel! SZAKDOLGOZAT Gondolkodjunk a fizika segı tse ge vel! Simon Ju lia Matematika BSc., tana ri szakira ny Te mavezeto : Besenyei A da m adjunktus Alkalmazott Analı zis e s Sza mı ta smatematikai Tansze k Eo

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben