Laboratóriumi mérések

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Laboratóriumi mérések"

Átírás

1 Laboratórum mérések. Bevezetı Bármlye mérés ayt jelet, mt meghatároz, háyszor va meg a méredı meységbe egy másk, a méredıvel egyemő, ökéyese egységek választott meység. Egy mérés eredméyét tehát két adat fejez k: a mértékszám és a mértékegység. Bár a mértékegység elvleg teljese ökéyese, praktkus szempotok fgyelembevételével választható meg (pl. láb, arasz, hüvelyk stb.), célszerő azt általáos megállapodás útjá rögzíte, hogy a külöbözı személyek által külöbözı helyeke és dıbe végzett mérések eredméye potosa összehasolíthatóak legyeek. A külöbözı mérések összehasolíthatóságáak géye a törtéelem elıtt dıkbe yúlk vssza. A kereskedelem és a techológa fejlıdése fokozatosa szükségessé tette a mérések vlágmérető egységesítését. A tudomáyok fejlıdése pedg együtt járt a mérések potossága és megbízhatósága rát géy rohamos övekedésével. A mérések egységesítésével, potosságával, megbízhatóságával a mérés tudomáya, a metrológa foglalkozk. A metrológa törvéyes ága a mérésügy, amely a külöbözı mérımőszerek kalbrálásával, ll. htelesítésével foglalkozk. Ma már sok esetbe csak olya mérések eredméyet fogadják el, amelyeket hteles mőszerrel végeztek, ll. a mérést szakemberek potosa, az elıírt módo folytatták le. A természetbe megfgyelt törvéyeket fzka összefüggésekkel, tudjuk leír. Ezek az összefüggések fzka meységek között matematka egyeletek, kfejezések. Az összes fzka meység hat, ll. hét alapmeység segítségével kfejezhetı. Ezek az alap meységek: a hosszúság, tömeg, dı, elektromos áram, termodamka hımérséklet, ayagmeység, féyerısség. Eze alapmeységek mértékegysége, - amelyek ökéyesek és praktkusak- a Nemzetköz Mértékegység-redszer (Le Systeme teratoal d utés, The Iteratoal System of Uts, SI) szert: SI alapegység Meység eve jele hosszúság méter m tömeg klogramm kg dı másodperc s elektromos áram amper A termodamka hımérséklet kelv K ayagmeység mól mol féyerısség kadela cd

2 Az összes több fzka meység a fet alapmeységekbıl származtatható. A mértékegységüket a defáló matematka összefüggés szert a fet alapegységekbıl kapjuk meg. A mérés lehet közvetle, amkor a méredı meységet közvetleül az egységgel hasolítjuk össze, ll. közvetett, amkor a meghatározadó fzka meységet több, közvetleül mérhetı meységbıl matematka összefüggéssel számítjuk k. Mdkét esetbe a mérések va hbája, azaz a meghatározott meység em a valód érték, haem egy attól eltérı érték lesz. Laboratórum gyakorlatoko külöbözı fzka meységeket határozuk meg vagy közvetle, vagy közvetett méréssel. Mdg meg kell határoz a mérés hbáját s. A mérésekrıl jegyzıköyvet kell készíte. A mérés eredméyeket szöveggel s értékel kell.. Mérés adatok és feldolgozásuk. Fzka meységek, jelölések Az alábbakba közölük éháy kfejezést, amelyeket mérésekkel kapcsolatba haszáluk. Fzka meység. A hozzá kapcsolódó fogalmak: eve, jele, mértékegysége, a mértékegység jele, dmezója. Mdezekbıl egyelet s írható, például a yomás eseté: eve yomás példa a jelölésére példa egyeletére jele p p 05 Pa F p A mértékegysége a mértékegység jele Pa paszkál [p] Pa N Pa m mérıszáma 05 {p} Pa 05 { p} Pa { F} { A} N m dmezója L - MT - dm p dm F LMT dm p dm A L L MT A jegyzıköyv számításokál felírjuk a kszámítadó meységre voatkozó kfejezést a fzka meységek betőjelével, majd behelyettesítjük a számértékeket a megfelelı mértékegységekkel együtt. A számításokat elvégezzük a számadatokkal és a mértékegységekkel, a végeredméyt számadattal és mértékegységgel adjuk meg. Statsztka (bometra) számításokál a mértékegység kírása áttekthetetleé tesz a számítást, ezért tt elegedı csak az eredméy mértékegységét feltütet. A táblázatok fejlécébe készítsük külö felratmezıt a mértékegység számára s. A dagramok tegelyfelratáak tartalmaza kell a fzka meység evét, jelét és mértékegységét vesszıvel elválasztva egymástól. Zárójelezést csak abba az esetbe haszáluk, ha a felratozás artmetka mőveletet tartalmaz. Például l (p Pa ) azt jelet, hogy em a yomás mérıszámát tütettük fel a tegelye, haem a Paszkálba mért mérıszám logartmusát. A mértékegység tört formájába s beírható, pl. l p Pa

3 Egység dmezójú meységek (például háyados) eseté fel kell tütet, hogy az, mbıl l származk. Például a relatív megyúlást ( ε ) a test hosszváltozásáak ( l ) és eredet l m hosszáak (l) háyadosából számítjuk, mértékegységét így jelölhetjük:. Például m kompoes részaráya elegybe, ha a meységét a tömegével határoztuk meg: m, m kg mértékegysége. kg A prefumot (tízes hatváyszorzót) mdg úgy haszáljuk, hogy a mérıszám és 000 közé essék. Például 0, V, feszültség helyett írjuk 450 µv-t. A 0,0 m magas folyadék oszlop helyett mm magas folyadék oszlop. A mérıszámot úgy tagoljuk sok mérıszám feltütetésekor, hogy a számjegyek hármas csoportokat alkossaak. Például az dı mértékegysége - szekudum ( s) - az zzó cézum atom által kbocsátott féyhullám peródusáak dıtartama. Néháy esetbe megadjuk a kfejezés agol evét s, mert a zsebszámológépek, vagy a számítógépes szoftverek gyakorta ezt haszálják.. Hbaszámítás Hbaszámítás. Összefoglaló eve azokak a megfgyelés és számítás eljárásokak, amelyek segítségével a mérés hbájáak agyságát képesek vagyuk megbecsül. A gyakorlatoko a szórást, az átlagot és az átlag szórását számítjuk k, haszáljuk még a relatív hbát, a hbaterjedés törvéyet és számítuk leárs regresszót. Átlag, szórás, átlag szórása Általába egy fzka meységet em elég egyszer megmér, mert ugyaaak a meységek többször egymásutá törtéı mérésekor egymástól kssé külöbözı értékeket kapuk. A mérés potossága függ egyrészt a mérı eszköz érzékeységétıl, másrészt a mérést végzı személy potosságától. Tegyük fel, hogy egy méredı meység valód értéke 0, ezt az értéket em smerjük. Ha több mérést végzük, akkor kapjuk az,,,, értékeket; a mérések száma. A mért értékek az 0 körül helyezkedek el; leszek aál ksebb és aál agyobb értékek. Ezek számta közepe Ez a mérés sorozat átlaga, amely az 0 valód értéket közelít. Az átlag eltérését az 0 valód értéktıl torzításak evezzük. A számegyeese ábrázolva.

4 4 Hogy az egyes értékek mlye "közel" helyezkedek el az köryéké, arról a tapasztalat szórás ad felvlágosítást. Értékét mdg poztívak tektjük: σ ( ) ( ) Eek a számak a égyzete a szóráségyzet, gyakorta hvatkozak rá. Ha több mérés sorozatot végzük, akkor az egyes mérések sorá kapott átlagok redre az,,,. értékek. Ezek egyke sem adja meg potosa az 0 értékét. Hogy meyre szórak a valód érték körül az egyes átlagok, azt az átlag szórása adja meg. Ez a szám egybe kfejez azt s, hogy mél több mérést végzük, aál megbízhatóbb eredméyhez jutuk, a eve: az átlag tapasztalat szórása: ( ) σ. ( ) Általába egy mérés sorozat eredméyét ± σ formába adjuk meg, azaz, az átlag plusz-míusz az átlag szórása. A középérték és a szórás mértékegysége azoos. Zsebszámológépeke a statsztka üzemmódba az értékek bevtele utá egy gombyomásra megkaphatjuk az átlagot, a szórást és az átlag tapasztalat szórását. Ha feltételezzük, hogy a mért értékek eloszlása ormál eloszlást követ, akkor a mért értékek 68,7 %-a a ( σ, + σ ) tartomáyba esk. A tapasztalat szórás értékét arra haszáljuk fel, hogy ez legye a mérés bzoytalaság lehetı legjobb becslése. Hbaterjedés Sokszor elıfordul, hogy több meységet mérük, és ezekbıl számítuk egy másk meységet. Például, sőrőséget ( ρ ) em tuduk mér, de tuduk mér tömeget ( m ) és m térfogatot ( V ), majd ezekbıl számítjuk a sőrőséget: ρ. Kérdés lyekor, hogya V határozható meg a sőrőség hbája ( ρ) a tömegmérés és a térfogatmérés hbájából, m és V -bıl. ( ) ( )

5 5 Ábrázoljuk a ρ -t az m és a V függvéyébe (. és. ábra). Elıször a tömeg függvéyébe ábrázoljuk a sőrőséget, lyekor a térfogatot álladóak tektjük. A ρ ( m) függvéy képe egy, az orgóból kduló egyees, amelyek külöbözı lehet a meredeksége az /V értékétıl függıe. Ha például az m mért értéke az ábrá feltütetett m -él va, akkor az ( m σ ; m + σ ) tervallum mutatja a tömeg értékébe a bzoytalaságot. Ezt átvetítve a függıleges tegelyre megkapjuk a sőrőség hbáját. Látható az. ábrá, hogy a sőrőségbe aál agyobb a hba, mél agyobb az egyees meredeksége. Ezért ésszerőek tők, hogy a tömegmérés hbáját megszorozzuk az egyees meredekségével, és így megkapjuk a sőrőség hbájáak azt a részét, amelyet a tömegmérés hbája okoz. Egy görbe meredeksége mdg a görbe dfferecálháyadosával adható meg. Egyees esetébe a meredekség álladó, a példákba /V. Tehát a sőrőségek a tömegmérés hbájából származó hbáját a következıképpe kapjuk meg: ρ m m, V ahol a m a tömegmérés hbája, amely az ábra alapjá σ. 6 A sőrőség a tömeg függvéyébe 4 sőrőség, g/cm sőrőség hbája a tömeg és hhája m-σ m m+σ tömeg, g. ábra A számított sőrőség hbája hogya függ a tömegmérés hbájától 6 A sőrőség a térfogat függvéyébe 5 sőrőség hbája Sőrőség, g/cm 4 a térfogat és hbája 0 V-σ V V+σ V-σ V V+σ térfogat, cm. ábra A számított sőrőség hbája hogya függ a térfogatmérés hbájától

6 6 Most vzsgáljuk meg, mlye hbát ad a sőrőségbe a térfogatméréssel elkövetett hba. Ehhez készítsük el a térfogat sőrőség grafkot (. ábra), mközbe a tömeget álladóak tektjük. Az ábrá két külöbözı V értéket és a hozzátartozó ( V σ ; V + σ ) tervallumot tütettük fel. A térfogatmérés okozta bzoytalaságot átvetítve a függıleges tegelyre, kapjuk a sőrőség hbáját. Itt s megfgyelhetı, hogy a sőrőségbe a hba agysága a görbe meredekségétıl függ, agyobb meredekséghez agyobb hba tartozk. A ρ ( V ) függvéy meredeksége változk, maga s függvéy. Ezt a függvéyt evezk a dfferecálháyados függvéyek (dervált függvéy). A ρ m függvéy dfferecálháyadosa a V-szert: V m. (Eek a meghatározását hamarosa megtaulják matematkába). Tehát a V térfogatmérésbıl származó sőrőség hba: ρ V m V, V ahol a V a térfogat mérés hbája, amely az ábra alapjá σ. A sőrőség teljes hbája: ρ m + m V V V Ez a képlet mutatja, ha a tömegmérés hbája ı, akkor a sőrőség hbája s ı, ha a térfogatmérés hbája ı, akkor a egatív elıjel matt a sőrőség hbája csökke. Elıfordulhat, hogy a egatív elıjelő tag abszolút értéke agyobb, mt a poztív elıjelő tag abszolút értéke, és ekkor a sőrőség hbája egatív lesz. Ez eheze értelmezhetı, ezért bevezettek egy másk hba fogalmat s: a felülrıl becsült mamáls hbát, amelyet a fet két hba összetevı égyzetösszegébıl vot égyzetgyökkel kaphatuk meg: ρ m + m V. V V Általáosa, ha f(,y) olya fzka meység, amelyet az és y mért meységekbıl határozuk meg, akkor az f hbája: f f y álladó f + y álladó f f Itt a, ll. a az f(,y) függvéy ú. parcáls dfferecálháyadosa az y álladó y álladó, ll. az y változók szert. A parcáls dfferecálás azt jelet, hogy ha valamely függvéy több változótól függ, akkor csak az egyk változója szert görbe meredekséget határozzuk meg, a több változót álladó értéke tartjuk. y. Regresszó számítás Ha két fzka meység, és y között függvéykapcsolatot vzsgáljuk, akkor haszáljuk a regresszó számítást. Ismerjük (vagy mérjük) az,,, értékeket és az egyes értékekhez tartozó y, y, y, y értékeket. Ábrázoljuk az függvéyébe az y-t, és keressük a

7 7 közöttük levı függvéyt. A mérés gyakorlatoko csak elsı fokú függvéykapcsolatokat vzsgáluk. Késıbb taulmáyakba más függvéyekkel s megsmerkedek.. ábra. Leárs regresszó Tételezzük fel, hogy az és y meységek között leárs az összefüggés, és a potokat legjobba közelítı egyees az yy 0 +a. Keressük az egyees a és y 0 paraméteréek az értékét. Szélsıérték számítással megadható, hogy az egyees meredeksége, az a értéke: y y a Az egyees tegelymetszete pedg a következı összefüggéssel számítható: y y0 a, ahol a a fet kfejezés. A zsebszámológépek többsége tud kétváltozós statsztka számításokat, lletve regresszó számítást s. Ilye gépekél elég csak az (,y ) potpárokat bev a gépbe és egy-egy gombyomással megkapjuk y 0, ll. a értékét. A fzkába ügyelük kell arra, hogy a számokhoz mértékegység s tartozk. Például a tegelymetszet mértékegysége azoos a függı változó mértékegységével, az a meredekség, pedg a függı és függetle változó mértékegységéek háyadosát vsel. Hogy a mért potok meyre jól lleszkedek a számított egyeesre, azaz meyre valóba leárs összefüggés áll fe a két meység között, arra az ú. regresszós együttható értéke ad választ. Ha a regresszós együttható (r) értéke majdem, akkor jó az lleszkedés valóba leárs a két meység között a kapcsolat, ha r értéke sokkal ksebb, mt, akkor rossz az lleszkedés lyekor azt modjuk, hogy a két meység között cs matematka összefüggés. r értékét úgy kapjuk meg, hogy az a értéket megszorozzuk aak a regresszós egyeesek a meredekségével, amelyet úgy kapuk, hogy az meység függvéyébe ábrázoljuk az y meységeket, és így llesztük regresszós egyeest a mért, potokra. Ez a meredekség a :

8 8 A korrelácós együttható: r, aa a, y y y y (szokás ρ, ró betővel s jelöl). Mérés jegyzıköyv elkészítés módja és értékelése A mérésekrıl a jegyzıköyvet kell készíte. Az egyes jegyzıköyveket egy A4 mérető főzött kockás füzetbe kell ír. A füzet címkéjé szerepelje a mérést végzı hallgató eve, Neptu-kódja, csoportszáma és a laborgyakorlat apja és deje (pl. hétfı 4-6 óra). A mérés gyakorlatokra ottho fel kell készül. A felkészüléshez elsısorba a Laborgyakorlatok 0 oktatás segédlet haszálható, eze kívül még öállóa győjtött elmélet ayag s szerepelhet a jegyzıköyvbe. Egy-egy laboratórum gyakorlato egy-egy fzka meység mérésére kerül sor. Az ottho felkészülés sorá a jegyzıköyvbe egy kb. egyoldalas elmélet összefoglalót kell készíte, amelybe szerepele kell a méredı meység defícójáak, mértékegységéek, a mérés alapját jeletı fzka összefüggésekek, törvéyszerőségekek, képletekek és a mérés összeállítás vázlatos ábrájáak. A szövegeket és a képleteket tollal kell ír, az ábrákat ceruzával kell megrajzol. A gyakorlato kell a jegyzıköyvbe feltütet a mérés eszközöket, lletve rövde leír a mérés meetét. A mérés adatokat táblázatba kell feltütet. A táblázatba a táblázat fejlécébe kerüljö a fzka meység megevezése, jele és mértékegysége. A táblázat soraba a mért értékeket írjuk mértékegység élkül. Általába egy meységet többször megmérük és az egyes értékek átlagát, ll. szórását számoljuk. Az átlag értékkel számoluk tovább, ha szükséges. A mérés adatokat követk az adatokkal törtéı számítások. A jegyzıköyvbe a számításokhoz haszált képleteket fel kell tütet. A képletbe be kell ír a mért adatokat: md a mérıszámot, md a mértékegységet. A számítások elvégzéséél ügyel kell a mértékegységek helyes haszálatára, átszámítására. A végeredméy megadásakor a számérték mellett a mértékegységet s fel kell tütet. Sokszor szükség va grafkook készítésére s. A grafkookat ceruzával, voalzóval mmpapíro kell elkészíte. A tegelyeke fel kell tütet a fzka meység evét, vesszıvel elválasztva a mértékegységét. A tegelyek végé yíllal jelöljük a meység övekedéséek ráyát. A vízsztes tegelyre kerül a függetle változó, a függıleges tegelyre a függı változó. Függetle változó az a fzka meység, amelyek a függvéyébe vzsgáljuk egy másk fzka meység változását. A függetle változó lehet például a kocetrácó, vagy a hımérséklet, a függı változó pedg a sőrőség, vagy az elleállás. A függetle és függı változó között elmélet összefüggés általába smert. A mért potokra ezért függvéyt tuduk lleszte az elmélet összefüggések megfelelıe. A gyakorlatoko általába csak olya összefüggéseket vzsgáluk a két változó között, amelyek leársak. A mért potokra ezért általába egyeest kell lleszte. A legjobba lleszkedı egyees egyeletét potosa meg kell határoz a regresszó számítással. A számításokkal, ll. a grafkus kértékeléssel kapott adatok alapjá, a jegyzıköyv végé szövegese s értékel kell a kapott eredméyeket. A jegyzıköyvek értékelése A jegyzıköyvre összese 6 pot szerezhetı:

9 9 Ottho felkészülés: elmélet összefüggések, defícók, mértékegységek pot vázlatos ábrák a mérés összeállításról pot Mérés meetéek leírása 0,5 pot Mérés eszközök felsorolása 0,5 pot Mérés adatok táblázatba foglalása pot Számítások 4 pot Grafkook 4 pot Eredméyek értékelése pot A gyakorlat sorá elleırzzük a jegyzıköyv ottho felkészülés részét. Ha kevés összefüggés szerepel, vagy háyzk az ábra, akkor pot levoás, ha kevés összefüggés szerepel és cs mérés összeállításról ábra, akkor pot levoás, ha cs ottho felkészülés pot levoás..4 Haszos megjegyzések Hbaszámításba haszált fogalmak elevezése Néháy esetbe megadjuk a kfejezés agol evét s, mert zsebszámológépek, vagy számítógépes szoftverek gyakorta ezt haszálják. Mérhetı meység. Lehet egy tárgy valamely fzka jellemzıje, de lehet elvot fzka meység s (például vszkoztás). Valód érték. A valód érték semmlye méréssel em határozható meg potosa. Azoba godos mérés eljárással megközelíthetı, vagy megbecsülhetı. Kovecoáls valód érték. Ez sem határozható meg potosa, de emzetköz egyezméyek szert értékével számoluk. Például egységy (egy móly) ayagmeységő vegyületbe 6, darab molekula va (Avogadro-szám). Helyes érték. A mérés eredméyek halmazából képezzük; általába azok átlaga, amelyet a feltárt redszeres hba értékével helyesbítettük. Redszeres hba. A redszeres hba következetese mde mérés eredméyt azoos mértékbe torzít. A redszeres hbát általába meg tudjuk határoz, és az eredméyt képesek vagyuk korrgál. Erre példákat s mutatuk. Véletle hba. A véletle hbáak sem agysága, sem elıjele em határozható meg. Ha a mérést többször s elvégezzük (megsmételjük), bztoságosabb becslést kapuk az eredméyre. Potosság (accuracy). Megadja, hogy a mérés eredméy meyre va közel a valód értékhez. Mt említettük, a valód érték em smerhetı meg. Precztás (precso). Megadja, hogy a mérés eredméyt mekkora mérés bzoytalasággal smertük meg. Nagyságát általába az eredméyek szórása alapjá becsüljük. Hba (error of measuremet). A mérés hba egyelı a mérés eredméy míusz a valód érték. A valód értéket természetese em smerjük. Ezért a hba becslését javasoljuk úgy számíta, hogy a mérés eredméybıl a helyes értéket (például az átlagot) vojuk k. Eek értelmébe poztív a hba, ha a mérés eredméy agyobb, mt a helyes érték. Relatív hba (relatve error). A relatív hba értékét megkapjuk, ha a mérés hba értékét elosztjuk a valód értékkel (eek háyába a helyes értékkel).

10 0 Mérés bzoytalaság (ucertaty of measuremet). Kfejez azt, hogy a mérés eredméy körül mlye értékkészlető tartomáyba feltételezhetjük aak elıfordulását. Az elsıéves mérésekél megelégszük azzal, hogy a mérés bzoytalaságot a szórás alapjá becsüljük meg. Nagyo egyszerőe fogalmazva: az átlag körül szórást tektjük mérés bzoytalaságak. Mutatós mőszerekél a mérés bzoytalaság becslésére ha erre más eszköz em áll redelkezésükre felhaszálhatjuk a mőszer skálaosztásáak értékét (amelyél ksebb változás kjelzésére a mőszer em képes). Átlag (számta középérték, average). Kszámításához összegezzük valamey mérés eredméyt, és ezt az összeget elosztjuk a mérések számával (). Szórás (tapasztalat szórás, epermetal stadard devato). Kfejez azt, hogy mlye tartomáyba szóródak a mérés eredméyek. Kszámításához em kell feltételezük, hogy mlye típusú az adatok szóródása. Számításához fel kell haszáluk az átlagot. Ez a magyarázata aak, hogy a evezıbe a kísérletek számáál eggyel ksebb szám áll. Ez a szabadság fok (-). s ( ) Az átlag tapasztalat szórása (epermetal stadard devato of the mea). Az átlag eloszlását jellemzı szórás becslése. Aak kfejezésére haszáljuk, hogy meél több mérést végeztük, aál megbízhatóbb az átlag becslése: ( ) s σ ( ) Ez a statsztka mérıszám két eltérı értelembe s haszálatos. Ha több mérés sorozatot végzük, akkor az egyes sorozatokba kapott átlagok a valód érték körül szórak. Korábba több átlagra hvatkoztuk; ezt a bometrába haszálják. De haszáljuk abba az értelembe s, hogy mél több mérést végzük, aál megbízhatóbb az átlag becslése. Az átlag tapasztalat szórásáak egyetle adathalmazra kell voatkoza. Ez azt jelet, hogy azoos adathalmazból külöféle módszerekkel ragadhatuk k részhalmazokat. Ezek átlagáak elvleg azoosak kellee lee, de külöféle okokból azok mégs gadozak az egész halmaz átlaga körül. Szokásos, de em szabályos rá hvatkoz az átlag középhbája (stadard error, SE) éve. Redszeres hba becslésére példák A redszeres hba becslésére külöféle eljárások haszálhatóak. Bemutatuk éháy példát arra az esetre, ha smerjük az okokat, amelyek matt torzított mérés eredméyeket kapuk; és ezt méréssel, vagy számítással meg s tudjuk határoz. Az elsı példákba bemutatjuk, mekkora hbát okozhat egy mérıszalag meghajlása (belógása), amelyet véges merevsége matt a saját súlya hoz létre. 4. ábra. Mérıszalag behajlása

11 A feladat: mérıszalaggal megmér két pot távolságát, amely várhatóa három méter. Az acél mérıszalag belógását m bető jelz (4. ábra). Geometra szempotból feltételezzük, hogy a mérıszalag körvoalba hajlk meg. A húr hossza ekkor a méredı távolságot képvsel, a mérıszalagot pedg a körív hossza. Ha a kör sugara 0 méter a méredı távolság (a húr) húr m r r 0 0 méter, akkor az m belógás Ptagorasz tételébıl: húr α,5 0,0569 m. A hozzá tartozó szög feléek szusza s 0, rad, (4,0 r 0 fok). A teljes szög eek kétszerese; 0,504 rad, ebbıl az ívhossz ív α r 0,504 0,008méter. Az ívhossz és a húr külöbsége,008 m - m 0,008 m. A mérıszalag tehát ezeket a távolságokat következetese,8 mm-rel hosszabbak mér. 5. ábra. Ajtóyílás mérése A következı ábrával (5.ábra) szemléltetjük a redszeres hbát és a korrekcó egy lehetıségét. Egy ajtóyílás függıleges méretét kellee megmérük. Az ajtóyílásba egy kemelkedı darab gátolja a mérés szabad elvégzését. Ezért kjelöltük a küszöbö egy jól rögzíthetı részt, és aak magasságát mérjük meg a szemöldökfához képest. Mekkora hbát követük el? Az ábrá a az ajtóyílás mérete, k a küszöb széle, m az akadálytalaul mérhetı távolság a szemöldökfa és a küszöb között. Legye a, m, k 0, m. Az a és m által bezárt szög ayra kcs, hogy em s ábrázolható. Értéke: k 0, α arc tg arc tg arc tg0,0975 5,fok 0,0947rad. Az m mérhetı a, magasság számítását végezzük ezért kább Püthagorasz tétele alapjá: m a + k, + 0,,4. Ha tehát ferdé mérjük az ajtóyílás méretét, akkor mde mérésükél 4 mm-t tévedük. Ezért valamey eredméybıl le kell vouk 4 mm-t. Regresszós együtthatók kszámítása másképpe A regresszós együtthatók: A fetekbe a regresszós egyees meredekségét, a-t és a tegelymetszet tagját, következı összefüggésekkel számítottuk k: yo -t a

12 y y a a y y 0 Ugyaezeket a számításokat más módo, lépésrıl-lépésre s elvégezhetjük. Így ksebb a tévedés esélye. Legye a két változó átlaga és szóráségyzete redre y y ( ) s ( ) s y y y kovaracája ( )( ) y y m és ( )( ) y y m (máshol elıforduló jelölése: cov) korrelácós együtthatója y s s m ρ ez eddg azért jó, mert szmmetrkus; em téveszthetjük össze a két változót. Már csak a regresszós együtthatóra kell vgyázuk melykek a szórása kerül a számlálóba, lletve a evezıbe: y s s ρ a. Itt a függetle változó és y a függvéy érték. Tudomáyos és techka kfejezések és ábrázolások törvéye A hallgató gyakorlatok eredméyéek közlése, számítása és kértékelése tektetébe alkalmaz kell az erre voatkozó haza elıírásokat; szabváyokat és törvéyeket: MSz 4900 Fzka meységek eve és jele 99. év XLV. Törvéy. A mérésügyrıl [A végrehajtásáról szóló 7/99. (X. 9.) Korm. redelettel egységes szerkezetbe.] Mőszak grafkus ábrázolás: MSz ISO 009 Mőszak dokumetácó, MSz EN ISO 5456 Mőszak rajzok, MSZ 70/-8 Szakgrafka. Dagramok Az tt említett javaslatokra és elıírásokra mtákat közlük a laboratórum mérések leírásáál Dagram: Meység összefüggéseket, aráyokat szemléltetı ábrázolás Grafko: Egymással valamlye kapcsolatba levı téyezı változó értékeek összefüggéset koordátaredszerbe ábrázoló görbe Nomogram: grafkus számítás eszköz valamely függvéy, vagy egyelet megoldására (Maurce d'ocage. Sur quelques prcpes élémetares de omographe. Bull. Sc. Math., lletve M. J. Massau, 889.) Sakey-dagram eerga- vagy ayagáram ábrázolására (Matthew Hery Pheas Rall Sakey eve utá) Haszos teret címek mérésügy problémákhoz, mérések kértékeléséhez: Magyarországo mérésügy:

13 MKEH - Magyar Kereskedelm Egedélyezés Hvatal (az Országos Mérésügy Hvatal jogutódja, Budapest), Hugara Trade Lcesg Offce Külföldö mérésügy: BIPM - Bureau teratoale des pods et mesures, Fracaország, Sèvres (Nemzetköz Súly- és Mértékügy Hvatal) NIST - Natoal Isttute of Stadards ad Techology, Amerka Egyesült Államok, Gathersburg, Marylad (Országos Mőszak és Szabváyügy Itézet) NPL - Natoal Physcal Laboratory, Egyesült Krályság, Teddgto, Mddlese (Országos Fzka Laboratórum) Iteratoal Orgazato of Legal Metrology Olya emzetköz szervezetek, amelyek célul tőzték k a mérések és azok kértékeléséek egységesítését: JCGM - Jot Commttee for Gudes Metrology (Mérésügy terdszcplárs társult bzottság) GUM - "Gude to the epresso of ucertaty measuremet" címő kadváy magyar változata. 995, Budapest, oldal, a kadásért felelıs: dr. Pákay Péter, az OMH elöke. VIM Vocabulare teratoale de métrologe - Nemzetköz mérésügy szótár IUPAC - Iteratoal Uo of Pure ad Appled Chemstry: Maual of Symbols ad Termology for Physcochemcal Quattes ad Uts (Gree Book) IUPAP - Iteratoal Uo of Pure ad Appled Physcs. Sőrőségmérés.. Szlárd test sőrőségéek mérése A sőrőség, ρ, defícója homogé test eseté: a test m tömege osztva a test V térfogatával: m ρ V A sőrőség SI mértékegysége kg/m, haszálatos még a kg/dm, kg/l és a g/cm Az átszámítás az egyes mértékegységek között: kg dm kg l 0 g 0 cm g cm g ml kg kg 000, ll. 0 m m Nem homogé testél az m/v háyados a test átlagsőrőségét adja meg. kg kg 0 m dm

14 4 A sőrőség értéke függ a hımérséklettıl és a yomástól. Godos mérésekél mdg meg kell ad a hımérséklet és a yomás értékét. Ugyaakkor, ha smert ezek hatása, alkalmazhatuk hımérséklet, lletve yomás szert korrekcót s. Példák a sőrőség értékekre ormál yomáso (05 Pa) év sőrőség, kg/m levegı,98 ( 0 C) víz 999,868 ( 0 C) etl-alkohol 789 (8 C) feyıfa (8 C) üveg (8 C) réz 890 (8 C) alma (8 C) burgoya 50 (8 C) Sőrőség meghatározása tömeg és térfogat mérésével Bármlye ayagál alkalmazható módszer. Gázok és folyadékok eseté egy adott térfogatú edéy tömegét megmérjük ürese és megmérjük a méredı ayaggal teletöltve, ebbıl a két tömegbıl és az edéy térfogatából a keresett sőrőség meghatározható. A szabályos alakú szlárd testekél a térfogat számítható. A szabálytala alakú szlárd testekél a térfogat egyszerőe meghatározható vízkszorítás módszerével, ha a test ayaga em oldódk vízbe. Zöldségek és gyümölcsök sőrőségéek meghatározásához megmérjük a tömeget egy mérleggel. A térfogatot úgy mérjük meg, hogy egy beosztással ellátott mérıhegerbe adott jelg desztllált vzet ötük. A méredı sőrőségő ayagot belehelyezzük a mérıhegerbe és leolvassuk a vízszt emelkedését (6.ábra). 6. ábra Szlárd ayag térfogatmérése vízkszorítás módszerével A mérés meete Egy burgoya, vagy répaszelet m tömegét megmérjük táramérleggel, vagy dgtáls mérleggel. Ezutá vzet ötük egy 00 ml-s, vagy 50 ml-s mérıhegerbe. Leolvassuk a vízszt értékét. Beletesszük a vízbe a szeletet, és újra leolvassuk a vízszt értékét. A két vízszt között térfogat a méredı szelet V térfogata. A tömeg és térfogat háyadosa adja a sőrőséget. Többször (legalább háromszor) mérjük meg egyetle szelet térfogatát, ll. tömegét. A térfogat háromszor méréséhez mdg újra töltjük a mérıhegert vízzel, leolvassuk a vízsztet, és a szelet behelyezésével megállapítjuk az új vízszt értéket. A három () mérésbıl elıször kszámítjuk a térfogat és a tömeg átlagértékét, szórását és az átlagok szórását: V + V + V m + m + m V m

15 5 σ σ V V ( V V ) ( V V ) ( ) σ σ m m ( m m) ( m m) ( ) m Majd megadjuk a szelet sőrőségét a ρ háyadossal. V Ezutá meghatározzuk a szelet sőrőségéek hbáját - a hbaterjedés törvéye alapjá: ρ m + m V, V V ll. ρ V σ m + m V a m σ m és V σv felhaszálásával. A három térfogat és a három tömeg értékbıl számíthatuk három sőrőség értéket. Ezek átlag értékét érdemes összehasolíta az átlag tömeg és az átlag térfogat háyadosával. σ V m ρ, V ρ m V m ρ és V ρ ρ + ρ + ρ ρ? ρ Vajo mlye jel áll az átlag sőrőség és az átlagokból számított sőrőség között? A három sőrőségbıl kszámítjuk az átlagot, a szórását és összehasolítjuk a sőrőség szórását a hbaterjedés alapjá számolt sőrőség hbával! σ ρ ( ρ ρ) ρ?σ ρ A kérdıjel helyére írjuk be a megfelelı jelet. Feladatok A kadott zöldség vagy gyümölcs sőrőségéek meghatározása tömeg és térfogat mérésével. Háromszor mérjük meg a szelet tömegét és térfogatát. Határozzuk meg az átlagokat, a szórásokat és az átlagok szórásat! Számítsuk k a sőrőséget a tömeg és térfogat átlagából, adjuk meg a sőrőség hbáját a hbaterjedés törvéye alapjá!

16 6 Számítsuk három sőrőséget a három térfogat és három tömeg értékkel, majd számítsuk k az átlag sőrőséget és a sőrőség szórását! Hasolítsuk össze a kétféle módo számított sőrőséget! Hasolítsuk össze a sőrőség hbáját a sőrőség szórásával! Javasolt táblázatok a mérés adatok feltütetéséhez: Tömeg m, g m, g σ m, g σ, g m Térfogat V, ml V, ml σ V, ml σ V, ml m ρ, g/ml ρ, g/ml V Sőrőség m ρ, g/ml ρ, g/ml σ ρ, g/ml σ ρ, g/ml V Sőrőség meghatározása Archmédesz törvéye alapjá Egy szabálytala alakú test V térfogatáak és ρ sőrőségéek meghatározásakor eljárhatuk a következıképpe: a testet egy ρ ρ sőrőségő folyadékba merítve a test megtartásához szükséges erı Ft, egy ρ ρ sőrőségő folyadékba, pedg Ft (7. ábra). 7. ábra. Úszó test egyesúlya

17 7 Md a két folyadékba a súlyerı egyesúlyt tart a felhajtó erı (F fel ) és a tartó erı (F t ) összegével: G F fel + Ft és G F fel + Ft. Felhaszálva, hogy a felhajtó erı mdkét esetbe a kszorított folyadék súlyával egyelı: F fel Vg és Vg. ρ F fel ρ Beírva a felhajtó erık kfejezését a fet összefüggésekbe, kapjuk, hogy: G ρ Vg + Ft és G ρ Vg + Ft. Mvel a baloldalak megegyezek, ezért a jobb oldalak s egyelık egymással: ρ Vg + Ft ρ Vg + Ft. Ebbıl az egyeletbıl V-t kfejezve: Ft Ft V. ( ρ ρ )g Tehát smerve a két sőrőséget és mérve a két tartó erıt, a szlárd test térfogata meghatározható. Ha a test súlyát, G-t a térfogatával (V), sőrőségével ( ρ) és a ehézség gyorsulással (g) írjuk fel: ρ Vg ρvg + Ft és ρ Vg ρ Vg + Ft. Md a két összefüggésbıl kfejezzük a V-t, egyelıvé tesszük a két kfejezést és megkapjuk a test sőrőségét: Ftρ Ft ρ ρ. F F t t.. Folyadék sőrőségéek mérése Archmédesz törvéye alapjá (Areométer) Az areométer (úszó sőrőségmérı) ehezékkel, esetleg még hımérıvel s ellátott, üvegbıl készült test (8. ábra), amelyek az alsó része szélesebb, a felsı része egy keskey, skálával ellátott csı. 8. ábra Areométer és folyadék sőrőségéek mérése areométerrel Ha folyadékba merülve az areométer úszk, akkor az areométerre ható felhajtó erı (F fel ) éppe megegyezk a test G súlyával. Ha az areométer térfogata V a, átlagos sőrősége ρ a, valamt az areométer folyadékba merülı térfogatrésze V a, akkor a felhajtó erı a kszorított folyadék súlya

18 8 F fel ρ folyadék ahol ρ folyadék a folyadék sőrősége, és az areométer súlya pedg G ρ a Va g, Ezek yugalm állapotba egyelık egymással ' F fel G, ll. ρ V g ρ V g folyadék Ha a felsı üvegcsı keresztmetszete A, és l hosszúságú darab áll k a folyadékból, akkor ' Va Va Al kfejezést beírva a fet összefüggésbe és ρ folyadék -t kfejezve Va ρ folyadék ρ a ρ a Va la l A Va Ebbe a kfejezésbe a folyadék sőrősége és a kálló hossz között egyértelmő matematka összefüggés va Ez a matematka függvéy egyszerősíthetı, ha az l A meység elég V a kcs. Htelesítéssel meghatározható, hogy a külöbözı sőrőségő folyadékokhoz mlye l, azaz mlye osztás tartozk. Ha az osztást sőrőségre kalbrálják, akkor a bemerülés mélységébıl rögtö a sőrőség olvasható le. A skálát lehet szeszfokra, tej százalékos zsírtartalomra, stb. kalbrál. Sóoldat sőrőségéek meghatározása areométerrel Az oldatot 50 ml-s mérıhegerbe ötjük, belehelyezzük az areométert, és leolvassuk az oldat sőrőségét. Ha külöbözı kocetrácójú sóoldatok sőrőségét megmérjük, akkor meghatározhatjuk a ρ ( C) függvéyt, azaz hogya függ a sőrőség az oldat kocetrácójától, C-tıl. Ks kocetrácótartomáyba a sőrőség és a kocetrácó között az összefüggés leárs: V a ρ ρ + ac o ρ o és a kostasok. Az smeretle kocetrácót a sőrőség smeretébe a következıképpe határozhatjuk meg. Megmérjük az oldat sőrőségét, ρ -t. Beírva a fet egyeletbe: ρ ρ 0 + ac, kfejezzük C -t: ρ ρ C 0. a A mérés meete Négy külöbözı kocetrácójú sóoldat sőrőségét megmérjük, a ulla kocetrácójú oldat sőrősége a víz sőrősége az adott hımérséklete. Az összetartozó érték párokat grafkoo ábrázoljuk; a vízsztes tegelye a kocetrácót, a függılegese a sőrőséget. Leárs regresszó segítségével meghatározzuk az egyees paraméteret: ρ és a-t. Az smeretle kocetrácójú oldat sőrőségét s megmérjük. ρ o és a kostasok smeretébe kszámítjuk az smeretle kocetrácót. Feladatok Határozzuk meg a kadott oldatok sőrőségét areométerrel! Az adatokat foglaljuk táblázatba! ' a g a a o

19 9 Ajálott táblázat: C, g/l C, kg/m C, mol/l ρ, kg/m Sóoldatok víz 4 smeretle Az oldatok kocetrácóját adjuk meg g/l, kg/m, mól/l mértékegységekbe! Ábrázoljuk a sőrőség értékeket a kocetrácó függvéyébe! Illesszük regresszós egyeest az öt potra! Határozzuk meg a regresszós egyees kostasat, majd ezekkel számítsuk k az smeretle kocetrácót! Az eredméyt a következı grafkohoz hasolóa kell ábrázol. mass desty, kg/m Sodum-chlorde soluto at 0 Celsus y 0,6 + 00, mass cocetrato, kg/m 9. ábra. Sóoldat összetétel aráyáak és sőrőségéek összefüggése.. Folyadék sőrőségéek mérése Mohr Westphal mérleggel A Mohr Westphal mérleg egyfajta specáls mérleg, amelye egy G súly tart egyesúlyt levegıbe egy V térfogatú üvegtesttel. A mérleg egyk karja hosszú és tíz egységre va osztva (0. ábra), eek a végé helyezkedk el az üvegtest. Ha az üvegtest folyadékba merül, akkor az egyesúly felbomlk, mvel az üvegtestre felhajtó erı hat (. a ll. b ábra). Ameybe 0 C-s desztllált vízbe merül az üvegtest, akkor az egyesúlyt helyre lehet állíta az l hosszúságú mérlegkar 0-k osztására helyezett U-alakú L lovassal, amelyek súlya egyelı a 0 C hımérséklető, V térfogatú desztllált víz súlyával. A lovas súlya lefelé hat, a felhajtó erı felfelé hat az l hosszúságú mérlegkar végé a 0-k osztásál. Megjegyzés: a víz sőrőségéek közsmert értéke 4 C-ra voatkozk. A laboratórum eszközöket vszot szobahımérsékletre, a haszálat hımérsékletre szokás htelesíte.

20 0 0. ábra. A Mohr Westphal-mérleg képe Ha az üvegtest a víz sőrőségéél agyobb sőrőségő folyadékba merül, akkor a felhajtó erı s agyobb lesz (. b ábra). A mérleghez tartozk egy specáls súlysorozat: az L súlyú lovas 0., 0.0 és 0.00 súlyáak megfelelı súlyú lovas.: 0.L, 0.0L és 0.00L. Ezeket a mérlegkar külöbözı osztásara helyezve vsszaállítjuk az egyesúlyt. Ilyekor a felhajtó erı meghatározásához fel kell ír a mérlegkarra ható forgatóyomatékokat. Felfelé forgat a felhajtóerı, lefelé forgatak a lovasok. A. b ábrá például az L lovas forgató karja a mérlegkar teljes l hossza, a 0.L lovas karja 0.l, a 0.0L lovas karja 0.8l és a 0.00L lovas karja 0.5l.. ábra Mohr Westphal-féle mérleg. Egyesúly levegıbe. A felhajtó erık:. a ábra. b ábra Egyesúly vízbe Egyesúly folyadékba F felvíz ρ Vg F ρ Vg víz felfolyadék folyadék A forgatóyomatékok a 6.a és b ábrá szemléltetett példa eseté F felvíz l Ll F l k Ll + 0.L0.l + 0.0L0.8l L0. l felfolyadé 5 Egyszerősítve l-lel megkapjuk a felhajtó erık értékét az L -lel kfejezve:

21 F felvíz L F L. 085 felfolyadé k Beírva a felhajtó erık kfejezését, azaz a kszorított víz súlyát, ll. a kszorított folyadék súlyát, kapjuk, hogy L ρ Vg víz.085l ρ Vg folyadék Elosztva egymással ezt a két kfejezést és egyszerősítve L-lel, g-vel és V-vel ρ.085 folyadék ρ víz és kapjuk, hogy ρ. 085 folyadék ρ víz Tehát a folyadék sőrőségét úgy kapjuk meg, hogy a víz sőrőségét megszorozzuk a folyadékba fellépı felhajtó erı kegyesúlyozásakor a lovasok helyéek megfelelı számmal. A Mohr Westphal mérleggel a mérés úgy törték, hogy elıször kegyesúlyozzuk a desztllált vízbe, majd a méredı sőrőségő folyadékba a felhajtó erıt a lovasokkal. Ezutá a lovasok helyébıl leolvasható, hogy meyvel kell a víz sőrőségét megszoroz, hogy megkapjuk a folyadék sőrőségét. Ha a méredı sőrőség agyobb, mt.ρ víz, akkor a kegyesúlyozáshoz még egy, vagy több L súlyú lovast lehet haszál. Ha a desztllált víz em 0 C-s, akkor a bee fellépı felhajtó erı sem potosa L. Ilyekor a vízbe fellépı felhajtó erıt s az összes lovas felhaszálásával egyesúlyozzuk k, és a folyadék sőrőségét úgy kapjuk meg, hogy a víz aktuáls sőrőségét két égyjegyő szám háyadosával szorozzuk meg..4. Folyadék sőrőségéek mérése Beroull törvéye alapjá Beroull törvéye értelmébe az deáls közeg (összeyomhatatla gáz vagy folyadék) stacoárus, veszteségmetes (súrlódás élkül) áramlására gaz a következı összefüggés m m mv + mgh + p mv + mgh + p ρ ρ Ez az összefüggés az eerga megmaradás törvéyét adja áramló közegekre: p a sztatkus yomás, v a közeg sebessége, m a közeg tömege, ρ a közeg sőrősége, h egy választott voatkoztatás szthez képest mért magasság és g a ehézség gyorsulás (. ábra). A. ábra külöbözı keresztmetszető és külöbözı magasságba elhelyezkedı csıszakaszokba törtéı áramlást szemléltet.. ábra Két külöbözı csıszakasz egy áramlásál, Beroull törvéyéhez Szokás még egységy térfogatra felír a Beroull egyeletet ( ρ v + ρgh + p ρv + ρgh + p m V ρ alapjá):

22 Mdegyk tag yomás mértékegységő: ρ v az ú. torló yomás, ρ gh a hdrosztatka yomás és p a sztatkus yomás. Kísérlet összeállításukba vízsztes levegı áramot állítuk elı porszívó és vízsugár légszvattyú segítségével. Mvel a légáram vízsztes, ezért a h értéke mdeütt azoos, és így h h, tehát az egyelet két oldalá szereplı két h-t tartalmazó tag szté egyelı, ezért elhagyható: p + ρ v p + ρv.. ábra Áramlás csı A és A keresztmetszettel, ll. v és v sebességgel Stacoárus áramló közegekre érvéyes a folytoosság tétel, vagy a kotutás tétel A v Av, ahol az A keresztmetszetél az áramló közeg sebessége v, A keresztmetszetél a közeg sebessége v. 4. ábra Vízsugár légszvattyú Kísérlet összeállításukál levegı áramot hozuk létre porszívóval. A légáramot egy vízsugár légszvattyú (4. ábra) egedjük át. A szvattyú szők keresztmetszetébe a levegı sebessége agyo megı, és ekkor a sztatkus yomás csökke. Ha az alacsoy yomású térhez egy üvegcsıvel csatlakozuk (5. ábra), amelyek az alja egy folyadékot tartalmazó edéybe áll, akkor a folyadék felemelkedk a csıbe h magasságra. Ilyekor a folyadék p h hdrosztatka yomásáak és a csıbe levı levegı p sztatka yomásáak összege egyesúlyt tart a külsı levegı p 0 yomásával. A légkör yomást p 0 jelöl: p p + h p 0

23 5. ábra Sőrőség mérése Beroull törvéye alapjá Az áramló levegıre felírhatjuk Beroull törvéyét és a folytoosság tételt. Az egyk hely a légszvattyú összeszőkülı keresztmetszete, a másk a kísérlet helység légtere, amely 0 m/s sebességgel mozog, és a statkus yomás megegyezk a külsı légyomással, p 0 -val. Az összeszőkülı keresztmetszetbe a levegı áramlás sebessége v levegı, sőrősége ρ, és a sztatkus yomás p. p + ρ levegı vlevegı p0 Összevetve az elıbb egyelettel ph + p ρ levegı vlevegı + p Ebbıl ph ρlevegı vlevegı A csıbe felemelkedett folyadék hdrosztatka yomása (g a ehézség gyorsulás): p h g h ρ folyadék folyahék Így ρ folyadék h folyadék g ρlevegı vlevegı Ez a kfejezés alkalmas smert sőrőségő folyadék eseté a levegı sebességéek meghatározására, ll. a levegı sebességéek smeretébe egy smeretle sőrőség meghatározására. Ha pl. vízzel végezzük a kísérletet, akkor a víz és a levegı sőrőségéek smeretébe, a vízoszlop magasságáak lemérésével a levegı sebessége kszámítható: ρvízhvíz g vlevegı ρ Ha egy smeretle sőrőségő ( ρ ) folyadék h magasságra emelkedk fel, amkor a levegı v levegı sebességgel áramlk, akkor ρ levegı vlevegı ρ h g A levegı álladó sebességét úgy tudjuk bztosíta, hogy a porszívóra kapcsolt feszültséget álladó értéke tartjuk. Külöbözı levegı sebességeket a porszívóra kapcsolt feszültség változtatásával lehet beállíta. levegı levegı

24 4 Nem szükséges a levegı sebességéek smerete ahhoz, hogy smeretle sőrőséget mérjük. Elıször vízbe állatjuk a csövet és azutá ugyaolya levegı sebességél smeretle sőrőségő folyadékba, akkor: ρ vízhvíz g ρlevegı vlevegı és ρ h g ρlevegı vlevegı. Eze két egyeletbıl a baloldalak egyelıségével kapjuk, hogy hvíz ρ vízhvíz g ρ h g, ll. ρ ρvíz. h Ezzel léyegébe a sőrőség mérését hosszúság mérésére vezettük vssza: a vízél és az smeretle sőrőségő folyadékál az emelkedés magasságát lemérve és smerve a víz sőrőségét, a fet egyeletbıl az smeretle sőrőség meghatározható. A mérés meete. A légáram elıállításához porszívót haszáluk. A porszívóra adott feszültség változtatásával változtatható a légáram sebessége. A porszívóra kapcsolt feszültség értékét dgtáls voltmérıvel mérjük. Egy pohárba elıször vzet ötük. A vízsugár légszvattyúhoz csatlakozó függıleges mőayagcsövet a hozzáerısített voalzóval együtt a vízbe állítjuk. Óvatosa elkezdjük a porszívóra kapcsolt feszültség értékét egy torod traszformátor segítségével övel. 0 V 60 V feszültségtartomáyba 0 V-okét öveljük a feszültség értékét. A égy beállított feszültségél a mőayagcsıbe felemelkedett vízoszlop magasságát leolvassuk. Ezt a feszültség lecsökketésével, majd újra emelésével még kétszer megsmételjük. Ezutá a méredı sőrőségő folyadékba állítjuk a mőayagcsövet a voalzóval együtt. Az elıbb feszültségeket állítjuk be újra (ezzel bztosítjuk, hogy a légáram sebessége ugyaaz), és a csıbe felemelkedett folyadékoszlop magasságát megmérjük, szté mde feszültségél háromszor. Az egy feszültséghez tartozó vízoszlop magasságokat, lletve folyadékoszlop magasságokat átlagoljuk, ezek leszek a h víz és h. Ezekkel az értékekkel a hvíz ρ ρvíz képlet segítségével kszámítjuk a folyadék sőrőségét. A víz sőrőségét adott h hımérséklete táblázatból keressük k. A víz sőrőségét külöbözı hımérséklete a következı táblázat tartalmazza: t C ρ, kg/m t C ρ, kg/m t C ρ, kg/m 5 999, , 5 997, ,95 998, , ,75 997, , ,6 997, , , , ,95 A h víz értékek smeretébe az egyes feszültségekél meghatározhatjuk a levegı áramlás sebességét a ρ vízhvíz g ρlevegı vlevegı összefüggéssel. A levegı sőrősége,9 kg/m. p + ρ v p összefüggésbıl a csıbe kalakuló yomást határozhatjuk meg. A A levegı levegı 0 pllaaty légyomás, p o, értékét yomásmérırıl olvassuk le. Ha a légkör yomás aktuáls értéke em smeretes, akkor helyettesítsük aak kovecoáls valód értékét: 05 Pa. (A Nemzetköz Metrológa Értelmezı Szótárba: Covetoal true value of a quatty).

25 5 Feladatok Határozzuk meg a kadott oldat sőrőségét égy külöbözı feszültségértékél! Egy-egy feszültségél háromszor mérjük meg a vízoszlop, ll. a folyadékoszlop magasságát! Számítsuk k az átlagot, a szórást és az átlag szórását! Egy-egy feszültségél az átlagértékek felhaszálásával számítsuk k az oldat sőrőségét! Határozzuk meg az így kapott égy sőrőség átlagát, szórását és átlagszórását! Határozzuk meg a égy külöbözı feszültségél a légáram sebességét és a csıbe uralkodó yomást! Ábrázoljuk a vllamos feszültség és a mért sőrőség összefüggését! A mérıfeszültséget a vízsztes tegelyre vegyük fel. Tektettel arra, hogy a feszültség em befolyásolja a sőrőséget, ez az összefüggés csaks vízsztes egyees voallal közelíthetı. Ha ρ a sőrőség és σ ρ a szórása, akkor tovább vízsztes voalat húzuk a ρ + σ ρ és a ρ σ ρ értékekél. A mérés eredméyek kétharmada eze a sávo belül helyezkedk el, ha a sőrőség értékek ormáls eloszlást követek. Ajálott táblázat: víz U h víz h V víz σ h mm mm mm σ h mm h bor mm h bor mm bor σ h mm σ h mm ρ bor kg/m ρ bor kg/m σ ρbor kg/m p Pa v m/s.5. Folyadék sőrőségéek mérése rezgı kapllárssal Ha egy m tömeg harmokus rezgımozgást végez, akkor a rezgés peródus deje, T a következıképpe adható meg m T π D D a rugalmasságra jellemzı álladó, mértékegysége Nm. A peródusdı és az f frekveca, ll. az ω körfrekveca között a következı összefüggések állak fe: π f, ω πf T T Ha az mu egy U-alakú csı tömege (6. ábra) ürese és akkor a folyadékkal telt csı rezgés deje ms tömegő folyadékot ötük bele,

26 6 T π m U + D m s 6. ábra Rezgı csı folyadék sőrőségéek méréséhez Ha a folyadék sőrősége ρ s és térfogata V T, amely az U-alakú csı belsı térfogata, akkor az m ρ V alapjá a rezgésdı égyzete: s s T Ebbıl kfejezve a folyadék sőrőségét: Bevezetve két jelölést: A folyadék sőrősége T T T D ρ s 4π V 4 π m V U T V T m + U ρ s D D 4π V D A 4π és B ρ A T s T ( B) V T T 4π D 4π m D Az A és B az eszközre jellemzı álladók. Kísérletleg úgy lehet meghatároz (7. ábra), hogy két smert sőrőségő folyadékot töltük a csıbe és mérjük a rezgésdıket. A rezgésdık égyzetéek függvéyébe ábrázoljuk a sőrőséget. Egy egyeest kell kapuk, amelyek a meredeksége A és a vízsztes tegelyt B-él metsz. m U U 7. ábra A rezgıcsöves sőrőségmérı kostasaak meghatározása Ez a sőrőségmérı módszer alkalmas folyamatok sorá a folyadékok sőrőségéek meghatározására.

27 7 4. Felület feszültség mérése Két (egymással em elegyedı közeg) határá mdg fellép a felület feszültségbıl származó erı. Oka, hogy a közegek felületé elhelyezkedı atomokra, vagy molekulákra ható erık értéke em egyezk meg a közeg belsejébe levı részecskékre ható erık értékével. Ugyas, a közeg belsejébe elhelyezkedı részecskére a szomszédos részecskéktıl származó erık eredıje ulla, míg a felszíe levı részecskékre a folyadék belseje felé ráyuló eredı erı tapasztalható. 8. ábra Felület feszültség értelmezése A 8. ábrá az (pl. levegı) és a (pl. víz) közeg határá, l szakaszo F erı hat a folyadék belseje felé. Az erı aráyos a szakasz hosszával: F α l, ll. ebbıl kfejezve α -t F α l Ez a felület feszültség, α, defícója. A felület feszültség mértékegysége N/m. A felület feszültséget gyakra jelölk γ betővel s. Ha általába felület feszültségrıl beszélük egy ayag eseté, akkor eze az lletı ayag és levegı határá mérhetı felület feszültet értjük. Ha egy folyadékhártya felületét A értékkel megöveljük, akkor az ehhez szükséges muka W α A Ebbe az összefüggésbe az α -t fajlagos felület eergáak evezzük, amelyek számértéke megegyezk a fet defált α értékkel. A fajlagos felület eerga mértékegysége J/m. Ha a két közeg határfelülete em sík, akkor ú. görbület yomás lép fel a két közeg határá. Gömbfelület eseté a görbület yomás: α p g r A tszta ayag felület feszültsége általába csökke, ha másk ayagot aduk hozzá. A víz felület feszültsége csökke, ha bármlye ayagot olduk bee, hsze a vízmolekulák között kölcsöhatás erı értéke csökke. Az oldott ayag kocetrácója és az oldat felület feszültsége között matematka összefüggés va. Sokszor a felület feszültséget méréssel meghatározzuk, és a függvéy smeretébe a kocetrácót kszámítjuk. Detergesek (mosogatószerek) ú. mcellákat (specáls szerkezető aggregátumokat) képezek, ha agy a kocetrácójuk a vízbe. Ks kocetrácóál és agy kocetrácóál s a felület feszültség és a kocetrácó között függvéykapcsolat leárs, azaz mdkét kocetrácó tartomáyba a függvéy képe egyees, csak ks kocetrácóál az egyees meredeksége agy, míg mcellák jelelétébe ksebb. A mcellák kalakulására jellemzı, ú. krtkus mcella kocetrácót felület feszültség méréssel s meg lehet határoz. Külöbözı kocetrácójú oldatok felület feszültségét mérve és ábrázolva a kocetrácó függvéyébe két egyeest kapuk, amelyekek a metszéspotja megadja a krtkus mcella kocetrácót, azt a kocetrácót, ahol elıször megjeleek a mcellák. A következı táblázat etlalkohol és víz külöbözı aráyú elegyéek felület fezsültségét tartalmazza külöbözı hımérsékleteke levegıre voatkoztatva.

28 8 A táblázatba a felület feszültség mértékegysége mn/m (mllnewto/méter) tömegtört hımérséklet, C % ,6 74, 7,6 7, 69,9 0 5,4 49,7 47,9 46, 44,4 0 4,7 4, 9,8 8,4 7,0 5,6 0 6,5 5,6 4,7,7,8,9,0 40,7,0, 0,6 9,9 9, 8,5 50,0 0, 9,6 8,9 8, 7,5 6,8 60 9,8 9, 8,4 7,7 7,0 6, 5,6 70 8,8 8, 7,4 6,7 6,0 5, 4,6 80 7,8 7,0 6, 5,6 4,8 4,,4 90 6,8 6, 5, 4,5,7,9, 00 5,8 5,0 4,,,4,6 0,7 Természetese 0 % a tszta vzet; 00 % a tszta alkoholt jelet. Az alkohol víz elegy eutektkus potja -5 C; lye hımérséklete em smeretes a felület feszültsége. A felület feszültség értéke függ a hımérséklettıl, várhatóa csökke, hsze a kölcsöhatás a molekulák között csökke a hımérséklet emelkedésével. A felület feszültség hımérsékletfüggését Eötvös Lorád utá a következı képlettel számíthatjuk: α Vm k( TC 6 T ) α a felület feszültség, V m a folyadék molárs térfogata, T C a krtkus hımérséklet, T az aktuáls hımérséklet. Az Eötvös-féle álladó k J/K. Nézzük erre egy példát! A víz sőrősége 5 C-o 997 kg/m, molárs tömege M 0,0805 kg/mol. Molárs térfogata kg 0,0805 M m V mol m 0, ρ kg 997 mol m Krtkus hımérséklete 74 C, azaz 647 K. Eötvös álladója ksebb, mt az elmélet érték: 0 J/K. Keressük a felület feszültségét 5 C-ra, tehát 98 K-re. 9 k( TC 6 T ) 0 J/K( 647K 6K 98K) N α 0,05 V m 0, m m 0, mol A hatváyozás matt az Eötvös-álladó mértékegységét (és mérıszámát) szabályosabb így J J jelöl: K mol, elméletleg K mol ; a számításba ezt em jelöltük. Eötvös a felület feszültségek meghatározása céljából elıször s egy új eljárást dolgozott k, az u. refleós módszert. E módszer lehetıvé tette a külöbözı folyadékok felület feszültségéek agypotosságú meghatározását. Kísérlete sorá azt találta, hogy összefüggés va a folyadékok felület feszültsége és molekulasúlyuk között. Eze az alapo a folyadékok felület feszültségéek a hımérséklettel való változásából meghatározhatjuk a folyadékok molekulasúlyát. Ez a fotos összefüggés az Eötvös-féle törvéy, mely kmodja, hogy valamey egyszerőe összetett folyadék molekulárs felület eergája C hımérsékletváltozásra ugyaayt változk. Ez az általáos gázálladó megfelelıje a folyadék állapotra.

29 9 A 0,05 N/m érték ksebb a víz mért felület feszültségéél (0,07 N/m). Eek oka az, hogy a víz molekula erıse poláros, magas az asszocácós foka és ezért a molárs térfogata valójába ksebb, mt ahogya a fet képlet alapjá számítjuk. 4. A felület feszültség mérés módszere. Felület feszültség mérése kapllárs emelkedés módszerével Ha kapllárs (kcsy belsı átmérıjő) üvegcsövet merítük vízbe, akkor, a víz felszíe a csıbe magasabba lesz, mt az edéybe (9. a ábra). Ha pedg folyékoy hgayba merítjük az üveg csövet, akkor a csıbe a hgay szt alacsoyabba lesz, mt az edéybe (9. b ábra) 9.a ábra 9.b ábra Kapllárs emelkedés (a) és süllyedés (b) 0.a ábra 0. b ábra Üveg és víz (edvesítı folyadék; a) és hgay (em edvesítı folyadék; b) határa A víz edvesít az üveget, azaz a víz és az üveg között vszoylag agy az adhézós erı (0. ábra) a vízmolekulák között kohézós erıhöz képest. A kalakuló folyadék felszí olya, hogy merıleges az eredı erıre. A hgay és az üveg eseté a hgaymolekulák között fellépı kohézós erı agyobb az üveg és hgay között adhézós erıhöz képest. A folyadék felszí tt s merıleges az eredı erıre. A kapllárs emelkedésél, ll. a süllyedésél a hdrosztatka yomás (p h ) és a görbület yomás (p g ) egyelı egymással α ρgh r Ebbıl a kfejezésbıl a felület feszültség meghatározható, ha smerjük a kapllárs sugarát, a folyadék sőrőségét és emelkedés magasságát. rρgh α Ez a kfejezés akkor érvéyes, ha kapllársba a folyadék felszíe tökéletes félgömb, azaz a folyadék felszíhez húzott értı a folyadék hártya végéél éppe függıleges. Ilyekor azt modjuk, hogy a víz tökéletese edvesít az üveget. Valóságba a folyadék felszí em

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése 3 4 Tartalomegyzék. BEVEZETÉS 5. A MÉRÉS 8. A mérés mt folyamat, fogalmak 8. Fotosabb mérés- és műszertechka fogalmak 4.3 Mérés hbák 8.3. Mérés hbák csoportosítása eredetük szert 8.3. A hbák megeleítés

Részletesebben

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az

Részletesebben

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 202.03.0. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011 MÉRÉSTECHNIKA DR. HUBA ANTAL c. egy. taár BME Mechatroka, Optka és Gépészet Iformatka Taszék 0 Rövde a tárgyprogramról Előadások tematkája: Metrológa és műszertechka alapok Mérés adatok kértékelése Időbe

Részletesebben

3.3 Fogaskerékhajtások

3.3 Fogaskerékhajtások PTE, PMMK Stampfer M.: Gépelemek II / Mechaikus hajtások II / 7 / 3.3 Fogaskerékhajtások Jó tulajoságaikak köszöhetőe a fogaskerékhajtóművek a legelterjetebbek az összes mechaikus hajtóművek közül. A hajtás

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető 11. méré Méréek, hibák 1. evezető laboratóriumi muka orá gyakra mérük külöböző fizikai meyiégeket. Ezeket a méréeket bármeyire ügyeek vagyuk i, bármeyire moder digitáli mérőezköz gombjait yomogatjuk i

Részletesebben

Szennyvíztisztítási technológiai számítások és vízminőségi értékelési módszerek

Szennyvíztisztítási technológiai számítások és vízminőségi értékelési módszerek Szennyvíztsztítás technológa számítások és vízmnőség értékelés módszerek Segédlet a Szennyvíztsztítás c. tantárgy gyakorlat foglalkozásahoz Dr. Takács János ME, Eljárástechnka Tsz. 00. BEVEZETÉS Áldjon,

Részletesebben

TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorganizmusok számának meghatározása telepszámlálásos módszerrel

TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorganizmusok számának meghatározása telepszámlálásos módszerrel TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorgaizmusok számáak meghatározása telepszámlálásos módszerrel A telepszámlálásos módszerek esetébe a teyésztést szilárd táptalajo végezzük, így - szembe

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

HITELESÍTÉSI ELŐÍRÁS TARTÁLYOK

HITELESÍTÉSI ELŐÍRÁS TARTÁLYOK HITELESÍTÉSI ELŐÍRÁS TARTÁLYOK GEOMETRIAI TARTÁLYHITELESÍTÉS HE 31/4-2000 TARTALOMJEGYZÉK 1. AZ ELŐÍRÁS HATÁLYA 2. MÉRTÉKEGYSÉGEK, JELÖLÉSEK 3. ALAPFOGALMAK 3.1 Tartályhitelesítés 3.2 Folyadékos (volumetrikus)

Részletesebben

Sűrűségmérés. 1. Szilárd test sűrűségének mérése

Sűrűségmérés. 1. Szilárd test sűrűségének mérése Sűrűségérés. Szilárd test sűrűségének érése A sűrűség,, definíciój hoogén test esetén: test töege osztv test V térfogtávl: V A sűrűség SI értékegysége kg/, hsználtos ég kg/d, kg/l és g/c Ne hoogén testnél

Részletesebben

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László Valószíűségszámítás Ketskeméty László Budapest, 996 Tartalomjegyzék I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 3. Kombatorka alapfogalmak 4 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 6. A valószíűségszámítás alapfogalma

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011 MÉRÉSTECHNIKA DR. HUBA ANTAL c. eg. taár BME Mechatroka, Optka és Gépészet Iformatka Taszék 0 Rövde a tárgprogramról Előadások tematkája: Metrológa és műszertechka alapok Mérés adatok kértékelése Időbe

Részletesebben

7. VIZES OLDATOK VISZKOZITÁSÁNAK MÉRÉSE OSTWALD-FENSKE-FÉLE VISZKOZIMÉTERREL

7. VIZES OLDATOK VISZKOZITÁSÁNAK MÉRÉSE OSTWALD-FENSKE-FÉLE VISZKOZIMÉTERREL 7. VIZES OLDATOK VISZKOZITÁSÁNAK MÉRÉSE OSTWALD-FENSKE-FÉLE VISZKOZIMÉTERREL Számos technológiai folyamat, kémiai reakció színtere gáz, vagy folyékony közeg (fluid közeg). Gondoljunk csak a fémek előállításakor

Részletesebben

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA 9. LINÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKA Az 5. fejezetbe már megmeredtü a leár trazformácóal mt a leár leépezée egy ülölege típuával a 6. fejezetbe pedg megvzgáltu a leár trazformácó mátr-reprezetácóját.

Részletesebben

feladatmegoldok rovata

feladatmegoldok rovata feladatmegoldok rovata Kémia K. 588. Az 1,2,3 al megszámozott kémcsövekben külön-külön ismeretlen sorrendben a következő anyagok találhatók: nátrium-karbonát, nátrium-szulfát, kalciumkarbonát. Döntsd el,

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

b) Adjunk meg 1-1 olyan ellenálláspárt, amely párhuzamos ill. soros kapcsolásnál minden szempontból helyettesíti az eredeti kapcsolást!

b) Adjunk meg 1-1 olyan ellenálláspárt, amely párhuzamos ill. soros kapcsolásnál minden szempontból helyettesíti az eredeti kapcsolást! 2006/I/I.1. * Ideális gázzal 31,4 J hőt közlünk. A gáz állandó, 1,4 10 4 Pa nyomáson tágul 0,3 liter térfogatról 0,8 liter térfogatúra. a) Mennyi munkát végzett a gáz? b) Mekkora a gáz belső energiájának

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS SZERVEZETI EGYSÉGEKEN BELÜLI DÖNTÉSI FOLYAMATOK SZABÁLYOZÁSA

MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS SZERVEZETI EGYSÉGEKEN BELÜLI DÖNTÉSI FOLYAMATOK SZABÁLYOZÁSA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS SZERVEZETI EGYSÉGEKEN BELÜLI DÖNTÉSI FOLYAMATOK SZABÁLYOZÁSA ÁR-01 OLDAL: 1. 1. AZ ELJÁRÁS CÉLJA Szabályoz, hogy a szervezete belül kk, hol és mlye dötéseket hozak meg. Beazoosíta,

Részletesebben

Az elektromos kölcsönhatás

Az elektromos kölcsönhatás TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) z elektromos kölcsönhatás Rég tapasztalat, hogy megdörzsölt testek különös erőket tudnak kfejten. Így pl. megdörzsölt műanyagok (fésű), megdörzsölt üveg- vagy

Részletesebben

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I.

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I. Oktatási Hivatal A 11/1. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható.

Részletesebben

Hosszmérés finomtapintóval 2.

Hosszmérés finomtapintóval 2. Mechatroika, Optika és Gépészeti Iformatika Taszék kiadva: 0.0.. Hosszmérés fiomtapitóval. A mérések helyszíe: D. épület 53-as terem. Az aktuális mérési segédletek a MOGI Taszék holapjá érhetők el, a www.mogi.bme.hu

Részletesebben

1. BEVEZETÉS. - a műtrágyák jellemzői - a gép konstrukciója; - a gép szakszerű beállítása és üzemeltetése.

1. BEVEZETÉS. - a műtrágyák jellemzői - a gép konstrukciója; - a gép szakszerű beállítása és üzemeltetése. . BEVEZETÉS A korszerű termesztéstechnológia a vegyszerek minimalizálását és azok hatékony felhasználását célozza. E kérdéskörben a növényvédelem mellett kulcsszerepe van a tudományosan megalapozott, harmonikus

Részletesebben

A 2008/2009. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának. feladatai és megoldásai fizikából. I.

A 2008/2009. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának. feladatai és megoldásai fizikából. I. Oktatási Hivatal A 8/9. tanévi FIZIKA Országos Közéiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható.

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

Statisztikai programcsomagok

Statisztikai programcsomagok Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

Hajtástechnika \ Hajtásautomatizálás \ Rendszerintegráció \ Szolgáltatások MOVITRAC B. Üzemeltetési utasítás. Kiadás: 2009. 05.

Hajtástechnika \ Hajtásautomatizálás \ Rendszerintegráció \ Szolgáltatások MOVITRAC B. Üzemeltetési utasítás. Kiadás: 2009. 05. Hajtástechka \ Hajtásautomatzálás \ Redszertegrácó \ Szolgáltatások MOVITRAC B Kadás: 2009. 05. 16810961 / HU Üzemeltetés utasítás SEW-EURODRIVE Drvg the world Tartalomjegyzék 1 Fotos tudvalók... 5 1.1

Részletesebben

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Témavezető: Lebaov Dóa Mezei Istvá Adjuktus Matematika Bs Alkalmazott Aalízis és Matematikai

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke:

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke: A PÉNZ IDİÉRTÉKE A péz értéke többek között az idı függvéye. Ha idıbe késıbb jutuk hozzá egy jövedelemhez, akkor elveszítjük aak lehetıségét, hogy az eltelt idıbe azt befektessük, azaz elesük aak hozamától,

Részletesebben

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása

Részletesebben

Az Egyszerű kvalitatív kísérletek és az egész órás mérési gyakorlatok időzítése, szervezési kérdései!

Az Egyszerű kvalitatív kísérletek és az egész órás mérési gyakorlatok időzítése, szervezési kérdései! Tartalomjegyzék Az Egyszerű kvalitatív kísérletek és az egész órás mérési gyakorlatok időzítése, szervezési kérdései! Egyszerű kvalitatív kísérletek 1. Forog vagy nem? 2. Szívószál-rakéta 3. Itt a golyó

Részletesebben

M3 ZÁRT CSATORNÁBAN ELHELYEZETT HENGERRE HATÓ ERŐ MÉRÉSE

M3 ZÁRT CSATORNÁBAN ELHELYEZETT HENGERRE HATÓ ERŐ MÉRÉSE M3 ZÁRT CSATORNÁBAN ELHELYEZETT HENGERRE HATÓ ERŐ MÉRÉSE. A mérés élja A mérés fladat égyzt krsztmtsztű satorába bépíttt, az áramlás ráyára mrőlgs szmmtratglyű, külöböző átmérőjű hgrkr ható ( x, y ) rő

Részletesebben

specific (assignable) cause: azonosítható, tettenérhető (veszélyes) hiba megváltozott a folyamat

specific (assignable) cause: azonosítható, tettenérhető (veszélyes) hiba megváltozott a folyamat ELLENŐRZŐ KÁRTYÁK méréses mősítéses commo cause: véletle gadozás secfc (assgable) cause: azoosítható, tetteérhető (veszélyes) hba megváltozott a folyamat Mősítéses elleőrző kártyák 41 Mősítéses elleőrző

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben

2.9.10. ETANOLTARTALOM

2.9.10. ETANOLTARTALOM 07/2012:20910 2.9.10. ETANOLTARTALOM Az itt előírt módszerek etanoltartalmú folyékony gyógyszerkészítmények vizsgálatára vonatkoznak. Valamely folyadék etanoltartalmát a folyadék 100 térfogategységében

Részletesebben

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi kar Vicze Gergely Trazies káosz yitott biliárdasztaloko Msc szakdolgozat Témavezető: Tél Tamás, egyetemi taár Elméleti Fizikai Taszék Budapest, 2012 1 Tartalom

Részletesebben

INTERFERENCIA - ÓRAI JEGYZET

INTERFERENCIA - ÓRAI JEGYZET FZKA BSc,. évfolya /. félév, Optika tárgy TERFERECA - ÓRA JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 8. AJÁLOTT SZAKRODALOM: ALAPFOGALMAK Klei-Furtak, Optics Richter, Bevezetés a oder optikába Bor-Wolf, Priciples of

Részletesebben

Gépelemek szerelésekor, gyártásakor használt mérőezközök fajtái, használhatóságuk a gyakorlatban

Gépelemek szerelésekor, gyártásakor használt mérőezközök fajtái, használhatóságuk a gyakorlatban Molnár István Gépelemek szerelésekor, gyártásakor használt mérőezközök fajtái, használhatóságuk a gyakorlatban A követelménymodul megnevezése: Gépelemek szerelése A követelménymodul száma: 0221-06 A tartalomelem

Részletesebben

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat:

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat: JÁRATTERVEZÉS Kapcsolatok szert: Sugaras, gaárat: Járattípusok Voalárat: Körárat: Targocás árattervezés egyszerű modelle Feltételek: az ayagáram determsztkus, a beszállítás és kszállítás dőpot em kötött

Részletesebben

Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS

Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS Jegyzet ELE, Iformata Kar Hegedős: Numerus Aalízs ARALOM Gép szám, hbá 3 Normá, egyelıtlesége 9 3 A umerus leárs algebra egyszerő traszformácó 6 4 Mátro LU-felbotása, Gauss-Jorda

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM ÁRAMLÁSTAN TANSZÉK TOMPA TESTEK ELLENÁLLÁSTÉNYEZŐJÉNEK VIZSGÁLATA MÉRÉSI SEGÉDLET. 2013/14. 1.

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM ÁRAMLÁSTAN TANSZÉK TOMPA TESTEK ELLENÁLLÁSTÉNYEZŐJÉNEK VIZSGÁLATA MÉRÉSI SEGÉDLET. 2013/14. 1. BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM ÁRAMLÁSTAN TANSZÉK M1 TOMPA TESTEK ELLENÁLLÁSTÉNYEZŐJÉNEK VIZSGÁLATA MÉRÉSI SEGÉDLET 013/14. 1. félév 1. Elméleti összefoglaló A folyadékáramlásban lévő,

Részletesebben

KOVÁCS ENDRe, PARIpÁS BÉLA, FIZIkA I.

KOVÁCS ENDRe, PARIpÁS BÉLA, FIZIkA I. KOVÁCS ENDRe, PARIpÁS BÉLA, FIZIkA I. 4 MECHANIKA IV. FOLYADÉkOk ÉS GÁZOk MeCHANIkÁJA 1. BeVeZeTÉS A merev testek után olyan anyagok mechanikájával foglalkozunk, amelyek alakjukat szabadon változtatják.

Részletesebben

I. BEVEZETİ. i= 1 i= Z : Ai F és Ai Ai+ i Z : Bi F és Bi Bi+

I. BEVEZETİ. i= 1 i= Z : Ai F és Ai Ai+ i Z : Bi F és Bi Bi+ I ALAPFOGALMAK I BEVEZETİ Jelölése: K: véletle ísérlet, ω : elem eseméy, { : } Ω= ω : eseméytér, F Ω : eseméyalgebra, A F : eseméy, Ω F : bztos eseméy Mővelete eseméyeel: összegzés: A+B (halmazuó), szorzás:

Részletesebben

6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK

6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK 6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK A techikai fejlettég mai zívoalá az azikro motor a legelterjedtebb villamo gép, amely a villamo eergiából mechaikai eergiát (forgó mozgát) állít elő. Térhódítáát a háromfáziú váltakozó

Részletesebben

A Sturm-módszer és alkalmazása

A Sturm-módszer és alkalmazása A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle

Részletesebben

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve

Részletesebben

Ftéstechnika I. Példatár

Ftéstechnika I. Példatár éecha I. Példaár 8 BME Épülegépéze azé éecha I. példaár aralojegyzé. Ha özeoglaló... 3.. Hvezeé...3.. Háadá....3. Hugárzá...6.. Háoáá....5. Szgeel axál hleadáához arozó ül áér....6. Bordázo vezeé.... Sugárzá...5.

Részletesebben

Laborjegyzıkönyv javítási tájékoztató. Kiegészítések a leggyakoribb hibák értelmezéséhez

Laborjegyzıkönyv javítási tájékoztató. Kiegészítések a leggyakoribb hibák értelmezéséhez Laborjegyzıkönyv javítási tájékoztató Kiegészítések a leggyakoribb hibák értelmezéséhez Miért készült ez a tájékoztató? Azért, mert néhányan szórást és átlagot számítottak a sóoldatok összetétel sőrőség

Részletesebben

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója

Részletesebben

VIII. ELEKTROMOS ÁRAM FOLYADÉKOKBAN ÉS GÁZOKBAN

VIII. ELEKTROMOS ÁRAM FOLYADÉKOKBAN ÉS GÁZOKBAN VIII. ELEKTROMOS ÁRAM FOLYADÉKOKBAN ÉS GÁZOKBAN Bevezetés: Folyadékok - elsősorban savak, sók, bázsok vzes oldata - áramvezetésének gen fontos gyakorlat alkalmazása vannak. Leggyakrabban az elektronkus

Részletesebben

4. A GYÁRTÁS ÉS GYÁRTÓRENDSZER TERVEZÉSÉNEK ÁLTALÁNOS MODELLJE (Dudás Illés)

4. A GYÁRTÁS ÉS GYÁRTÓRENDSZER TERVEZÉSÉNEK ÁLTALÁNOS MODELLJE (Dudás Illés) 4. A GYÁRTÁS ÉS GYÁRTÓRENDSZER TERVEZÉSÉNEK ÁLTALÁNOS MODELLJE (Dudás Illés) ). A gyártás-előkészítés-irányítás funkcióit, alrendszereit egységbe foglaló (általános gyártási) modellt a 4.1. ábra szemlélteti.

Részletesebben

Széki Hírek A Magyarszékért Egyesület kiadványa

Széki Hírek A Magyarszékért Egyesület kiadványa Szék Hírek A Magyarszékért Egyesület kadáya X. éfolyam, 1. szám Karácsoy a árakozással tel szeretet üepe December 17-é fatalok adtak hagerseyt a templomba. K kegyetleül süöltött a hdeg szél, míg be melegséggel

Részletesebben

SZESZMÉRŐ KÉSZÜLÉKEK

SZESZMÉRŐ KÉSZÜLÉKEK HITELESÍTÉSI ELŐ ÍRÁS SZESZMÉRŐ KÉSZÜLÉKEK HE 58-2001 FIGYELEM! Az előírás kinyomtatott formája tájékoztató jellegű. Érvényes változata Az OMH minőségirányítási rendszerének elektronikus adatbázisában

Részletesebben

Alapfogalmak Metrológia Metrológia: Általános metrológia Mérés célja Mérési elvek, mérési módszerek Mér eszközök konstrukciós elemei, elvei

Alapfogalmak Metrológia Metrológia: Általános metrológia Mérés célja Mérési elvek, mérési módszerek Mér eszközök konstrukciós elemei, elvei Alapfogalmak Metrológia, a mérés tudománya a mérési bizonytalanság meghatározásával együtt. Metrológia: alkalmazott tudomány, mely a kvantitatív ismeretszerzési folyamatok - tervezéséhez, - végrehajtásához

Részletesebben

Kényszereknek alávetett rendszerek

Kényszereknek alávetett rendszerek Kéyszerekek alávetett redszerek A koordátákak és sebességekek előírt egyeleteket kell kelégítee a mozgás olyamá. (Ezeket a eltételeket, egyeleteket s ayag kölcsöhatások bztosítják, de ezek a kölcsöhatások

Részletesebben

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való

Részletesebben

? közgazdasági statisztika

? közgazdasági statisztika Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem

Részletesebben

MŰSZAKI ISMERETEK. Az Agrármérnöki MSc szak tananyagfejlesztése TÁMOP-4.1.2-08/1/A-2009-0010

MŰSZAKI ISMERETEK. Az Agrármérnöki MSc szak tananyagfejlesztése TÁMOP-4.1.2-08/1/A-2009-0010 MŰSZAKI ISMERETEK Az Agrármérnöki MSc szak tananyagfejlesztése TÁMOP-4.1.2-08/1/A-2009-0010 Az előadás áttekintése Méret meghatározás Alaki jellemzők Felületmérés Tömeg, térfogat, sűrűség meghatározása

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

Topográfia 7. Topográfiai felmérési technológiák I. Mélykúti, Gábor

Topográfia 7. Topográfiai felmérési technológiák I. Mélykúti, Gábor Topográfia 7. Topográfiai felmérési technológiák I. Mélykúti, Gábor Topográfia 7. : Topográfiai felmérési technológiák I. Mélykúti, Gábor Lektor : Alabér, László Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027

Részletesebben

Darupályák ellenőrző mérése

Darupályák ellenőrző mérése Darupályák ellenőrző mérése A darupályák építésére, szerelésére érvényes 15030-58 MSz szabvány tartalmazza azokat az előírásokat, melyeket a tervezés, építés, műszak átadás során be kell tartan. A geodéza

Részletesebben

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR Épületgépészeti és Gépészeti Eljárástechnika Tanszék VARJU EVELIN

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR Épületgépészeti és Gépészeti Eljárástechnika Tanszék VARJU EVELIN BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR Épületgépészeti és Gépészeti Eljárástechnika Tanszék VARJU EVELIN Térfogati hőátadási tényező meghatározása fluidizációs szárításnál TDK

Részletesebben

JAVO-STANDARD TÖLTŐGÉP (KONTÉNEREZŐGÉP)

JAVO-STANDARD TÖLTŐGÉP (KONTÉNEREZŐGÉP) SOPRONI EGYETEM Erdőmérnöki Kar ERDÉSZETI GÉPTANI TANSZÉK JAVO-STANDARD TÖLTŐGÉP (KONTÉNEREZŐGÉP) 1999. 2 SOPRONI EGYETEM Erdészeti Géptani Tanszék Tanszékvezető: Dr. Horváth Béla H-9400. Sopron, Ady E.

Részletesebben

MAGYAR RÉZPIACI KÖZPONT. 1241 Budapest, Pf. 62 Telefon 317-2421, Fax 266-6794 e-mail: hcpc.bp@euroweb.hu

MAGYAR RÉZPIACI KÖZPONT. 1241 Budapest, Pf. 62 Telefon 317-2421, Fax 266-6794 e-mail: hcpc.bp@euroweb.hu MAGYAR RÉZPIACI KÖZPONT 1241 Budapest, Pf. 62 Telefon 317-2421, Fax 266-6794 e-mail: hcpc.bp@euroweb.hu Tartalom 1. A villamos csatlakozások és érintkezôk fajtái............................5 2. Az érintkezések

Részletesebben

A nyomás mérés alapvető eszközei. Mérésadatgyűjtés, jelfeldolgozás 2. előadás

A nyomás mérés alapvető eszközei. Mérésadatgyűjtés, jelfeldolgozás 2. előadás A nyomás mérés alapvető eszközei Mérésadatgyűjtés, jelfeldolgozás 2. előadás Levegő nyomás mérésének alapvető eszközei U-csöves manométerek Ismétlés:Fizika I. 5. előadás p 1 = p 2 p 1 >p 2 ρ l levegő A

Részletesebben

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):

Részletesebben

Slovenská komisia Fyzikálnej olympiády 49. ročník Fyzikálnej olympiády v školskom roku 2007/2008

Slovenská komisia Fyzikálnej olympiády 49. ročník Fyzikálnej olympiády v školskom roku 2007/2008 Slovenská komisia Fyzikálnej olympiády 49. ročník Fyzikálnej olympiády v školskom roku 2007/2008 Szlovákiai Fizikai Olimpiász Bizottság Fizikai Olimpiász 49. évfolyam, 2007/2008-as tanév Az FO versenyzıinek

Részletesebben

1.52 CS / CSK. Kulisszás hangcsillapítók. Légcsatorna rendszerek

1.52 CS / CSK. Kulisszás hangcsillapítók. Légcsatorna rendszerek 1.52 CS / Légcsatra redszerek Alkalmazás: A légcsatraredszere építve, a légcsatráka terjedõ zaj csillapítására alkalmasak. Kialakításuk a eépített csillapító testek szerit alapvetõe hárm féle lehet: A,

Részletesebben

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t. Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is

Részletesebben

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk.

Részletesebben

2. A hőmérő kalibrálása. Előkészítő előadás 2015.02.09.

2. A hőmérő kalibrálása. Előkészítő előadás 2015.02.09. 2. A hőmérő kalibrálása Előkészítő előadás 2015.02.09. Nemzetközi mértékegységrendszer SI Alapmennyiség Alap mértékegységek Mennyiség Jele Mértékegység Jele hosszúság l méter m tömeg m kilogramm kg idő

Részletesebben

FOLYTONOS TESTEK. Folyadékok sztatikája. Térfogati erők, nyomás. Hidrosztatikai nyomás. www.baranyi.hu 2010. szeptember 19.

FOLYTONOS TESTEK. Folyadékok sztatikája. Térfogati erők, nyomás. Hidrosztatikai nyomás. www.baranyi.hu 2010. szeptember 19. FOLYTONOS TESTEK Folyadékok sztatikája Térfogati erők, nyomás A deformáció szempontjából a testre ható erőket két csoportba soroljuk. A térfogati erők a test minden részére, a belső részekre és a felületi

Részletesebben

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET. Összeállította: Dr. Szabó Sándor

ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET. Összeállította: Dr. Szabó Sándor MISKOLCI EGYETEM Gépgyártástechnológa Tanszék Mskolc - Egyetemváros ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET Összeállította: Dr. Szabó Sándor A orgácsoló megmunkálásokhoz

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

103. számú melléklet: 104. számú Elıírás. Hatályba lépett az Egyezmény mellékleteként 1998. január 15-én

103. számú melléklet: 104. számú Elıírás. Hatályba lépett az Egyezmény mellékleteként 1998. január 15-én 1998. január 22. ENSZ - EGB 104. sz. Elıírás EGYEZMÉNY A KEREKES JÁRMŐVEKRE, VALAMINT AZ ILYEN JÁRMŐVEKRE FELSZERELHETİ ÉS/VAGY ILYENEKEN ALKALMAZHATÓ SZERELVÉNYEKRE ÉS ALKATRÉSZEKRE VONATKOZÓ EGYSÉGES

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

Számítógépes döntéstámogatás

Számítógépes döntéstámogatás Pao Egyetem Műszak Iformatka Kar Vllamosmérök és Iformácós Redszerek aszék Számítógépes dötéstámogatás Előadás vázlatok Dr. Kozma György Veszprém, 0/03 Számítógépes dötéstámogatás tematka, 0 ematka. Leíró

Részletesebben

52 524 01 0100 31 01 Nyomástartóedény-gépész Kőolaj- és vegyipari géprendszer üzemeltetője

52 524 01 0100 31 01 Nyomástartóedény-gépész Kőolaj- és vegyipari géprendszer üzemeltetője A 0/007 (. 7.) SzMM rendelettel módosított /006 (. 7.) OM rendelet Országos Képzési Jegyzékről és az Országos Képzési Jegyzékbe történő felvétel és törlés eljárási rendjéről alapján. Szakképesítés, szakképesítés-elágazás,

Részletesebben

DT320 x. Túlfeszültségvédő, 4 20 ma áramhurokhoz. Kezelési útmutató

DT320 x. Túlfeszültségvédő, 4 20 ma áramhurokhoz. Kezelési útmutató Túlfeszültségvédő, 4 20 ma áramhurokhoz Kezelési útmutató Tartalomjegyzék 1. Kezelési útmutató...3 1.1. Rendeltetése... 3 1.2. Célcsoport... 3 1.3. Az alkalmazott szimbólumok... 3 2. Biztonsági útmutató...4

Részletesebben

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek TÁMOP-4../A/-/-0-005 Egészségügy Ügyvtelszervező Szakrány: Tartalomfejlesztés és Elektronkus Tananyagfejlesztés a BSc képzés keretében Bostatsztka e-book Dr. Dnya Elek Tartalomjegyzék. Bevezetés a mátrok

Részletesebben

11. A talaj víz-, hő- és levegőgazdálkodása. Dr. Varga Csaba

11. A talaj víz-, hő- és levegőgazdálkodása. Dr. Varga Csaba 11. A talaj víz-, hő- és levegőgazdálkodása Dr. Varga Csaba A talaj vízforgalmának jellemzői A vízháztartás típusát a talajszelvényre ható input és output elemek számszerű értéke, s egymáshoz viszonyított

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben