GEOFIZIKA / 4. GRAVITÁCIÓS ANOMÁLIÁK PREDIKCIÓJA, ANALITIKAI FOLYTATÁSOK MÓDSZERE, GRAVITÁCIÓS ANOMÁLIATEREK SZŰRÉSE

Átírás

1 MSc GEOFIZIKA / 4. BMEEOAFMFT3 GRAVITÁCIÓS ANOMÁLIÁK REDIKCIÓJA, ANALITIKAI FOLYTATÁSOK MÓDSZERE, GRAVITÁCIÓS ANOMÁLIATEREK SZŰRÉSE A gravtácós aomálák predkcója Külöböző feladatok megoldása sorá - elsősorba a geodéza gyakorlatba - többször előfordul, hogy olya helyeke s kelleek gravtácós redelleességek, ahol valójába em végeztük méréseket. Ezeke a helyeke a szomszédos potok smert értéke alapjá terpolácóval, vagy extrapolácóval (közös elevezéssel: predkcóval) állapíthatjuk meg az aomálák legvalószíűbb értékét. ábra. Aomálák predkcója A gravtácós aomálák predkcója sorá az a céluk, hogy az ábrá látható smert Δ g, Δg,..., Δg gravtácós aomálák felhaszálásával meghatározzuk az adott területe, vagy eek közelébe fekvő potba az smeretle Δ g ~ aomála-értéket. Matematkalag megfogalmazva: keressük azt az f függvéyt, amellyel Δ g ~ a Δ ~ g f Δg, Δg,..., Δ = ( ) formába kfejezhető. Általába a legegyszerűbb leárs függvéykapcsolatot írjuk fel: g Δ ~ g = a Δg + a Δg a Δg = a Δ g () ahol a csak a és a potok relatív helyzetéek függvéye. Az a együtthatók megválasztásától függőe külöböző terpolácós és extrapolácós módszerek smeretesek. =

2 A két lehető legegyszerűbb módszer: a zérus-aomála és az ú. reprezetatív érték megadása. Nagyo rtka hálózatok eseté (pl. a tegereke) az smeretle potoko zérus aomálákat feltételezük, azaz: Δ g ~ = 0 tehát eek megfelelőe : a a =... = a 0. = = Ezt főkét zosztatkus redelleességekre alkalmazzuk, mvel zosztatkus egyesúly eseté ez egyébkét s zérus, vagy ehhez közel érték. Ige egyszerű és bzoyos célokak jó megfelelő az ú. reprezetatív érték. Eszert a rtka (általába 0 km-él ksebb potsűrűségű) hálózatok eseté az adott területre legkább jellemző Δ g értéket tektjük a pot smeretle aomála értékéek: Δ g ~ = Δg Ekkor az () szert a = és a = a =... = a = a + =... = a = 0 Nagyobb potsűrűségű hálózatok területé geometra terpolácóval jutuk egyszerűe eredméyre. A módszer léyegét a. ábra szemléltet. A, és a 3 potba smert Δ g, Δg, Δg3 érték alapjá a potba: Δ ~ g = aδg + aδg + a3δg3 ahol: a = a( x3, y3) a = a( x3, y3) a = a x, y, x, y, x, ) 3 3( 3 y3. ábra. A geometra terpolácó

3 Eél léyegese megbízhatóbb megoldást szolgáltat a legksebb égyzetek módszere szert predkcó. Jelölje Δ ~ g = a Δg az () leárs predkcóval meghatározott aomálaértékeket és legye a valóságos aomálaérték. Ekkor a leárs predkcó hbája: = = Δ g a potba ε = Δg Δg~ = Δg a Δg () varacája pedg (a predkcó középhbájáak égyzete): var { ε } = m = M { ε } A feladat azo a a,, a,... a együtthatók meghatározása, amelyekkel számított { ε }. var = m Δ g ~ -re feltétel teljesül. A legksebb égyzetek módszere szert predkcóval a megoldása: Δ vagy rövdebbe: C C... C Δg C C... C Δg (3) C C... C Δg [ C C... C ] g~ = Δg~ = c C Δg (, ) (, ) (,) ahol c az új pot és a mért potok között kovaraca-értékeket tartalmazó c vektor traszpoáltja, C a mért potok C varaca-kovaraca-mátrxáak verze és Δ g a mérésekből levezetett smert aomálaértékeket tartalmazó vektor. Az () és a (3) összehasolításával a legksebb égyzetek módszere szert predkcó eseté az a együtthatók: a = ckck k= 3

4 ahol C k a C mátrx verzéek elemet jelöl. 3. ábra. Jellegzetes kovaraca-függvéy Az egyetle problémát a c kovaraca-vektor és a C varaca-kovaraca függvéyekek a meghatározása okozza. Ezeket úgy célszerű megválaszta, hogy a potok között távolság övekedésével a kovaraca-értékek zérushoz tartsaak, de esetekét az egyes mért potok között megfelelő szelekcót (súlyozást) s lehetővé tegyeek. A 3. ábrá olya tpkus kovaraca-függvéyt láthatuk, amely értéke kzárólag a potok egymástól mért s távolságától függ. Ige kcs s távolságoko belül a g értékek csakem egyelők egymással (a varacák közel egyelők a kovaracákkal), tehát a Δg értékek között ge erős a korrelácó. Az s távolság övekedésével a C(s) kovaracafüggvéy értéke csökke, mvel a Δg értékek között egyre gyegébb a kapcsolat. Ige agy távolságok eseté a kovaracák agyo kcsk, de em feltétleül zérusok, mvel a gravtácós redelleességeket em csak a hely tömeghomogetások, haem agy területekre kterjedő regoáls hatások s befolyásolják. Az aaltka folytatások módszere Az aaltka folytatások módszeréek az a léyege, hogy tetszőleges (pl. gravtácós) aomálatereket az adott észlelés síkról átvsszük (áttraszformáljuk) valamely fölötte, vagy alatta levő síkra. Az előbb az aaltka felfelé folytatás, az utóbb az aaltka lefelé folytatás esete. Az utóbb dőkbe elsősorba a gravtácós aomálatér aaltka lefelé folytatásáak övekedett meg a jeletősége, mvel a mérés techka rohamos fejlődésével egyre potosabbak és egyszerűbbek a lég és az űrbel gravtácós mérések és eek megfelelőe egyre agyobb meységű lég mérésből származó Δg redelleességet kell átszámíta a földfelszíre, vagy a tegersztre. Az aaltka lefelé és felfelé folytatás esete közül az aaltka felfelé folytatás oldható meg egyszerűbbe. Ha adott a 4. ábrá látható z = 0 síko a Δ g0( = Δg( 0) aomálatér, akkor h magasságba a z = h síko a Δ ( = Δg( h) aomálatér a g h 4

5 + + h Δg0 ( x, y ) Δ g h ( = dx dy (4) 3 / π [( x x) + ( y + h ] traszformácóval határozható meg. Az aaltka felfelé folytatás tehát úgy végezhető el, hogy a (4) tegrált valamlye umerkus tegrálás módszerrel kértékeljük. 4. ábra. Az aaltka folytatások elve Az aaltka lefelé folytatás az előbb művelet verze. Ekkor a z = h síko a Δ g h ( aomálatér adott, és alatta h mélységbe a z = 0 síko levő Δ g0( aomálateret kell meghatároz. Ebbe az esetbe a (4) tegrálegyeletet kell megolda Δg0( -ra, amely legegyszerűbbe kétváltozós Fourer-traszformácó alkalmazásával valósítható meg. A gravtácós aomálaterek szűrése A mérés eredméyek alapjá szerkesztett gravtácós zoaomála térképek együttese tartalmazzák a agy kterjedésű (hosszú hullámhosszúságú) regoáls aomálákat és a ks területekre kterjedő (rövd hullámhosszú) hely aomálákat. Bzoyos esetekbe az aomálatér hely hatásoktól metes összetevőjére: a regoáls térre vagyuk kívácsak; más esetekbe vszot (pl. yersayagkutatások céljára) éppe a ksebb hely szerkezetek hatását tükröző hely redelleességek smerete, szükséges. Az előbb esetbe a hely hatásokat tükröző lokáls aomálateret kell kszűr; az utóbb esetbe vszot a teljes térből a regoáls összetevőt kel eltávolíta, hogy az így keletkező ú. rezduáls (maradék) tér már csak a hel lokáls hatásokat tartalmazza. Az aomálaterek regoáls és rezduáls részekre törtéő szétválasztása az alaptér megfelelő szűrésével lehetséges. A szűrés a + + ( x u y v) Δ ( x, y ) = s( u, v) Δg dudv (5) g sz 0 0 0, 0 5

6 művelettel valósítható meg, ahol s(u,v) a művelet súlyfüggvéye. Az s(u,v) súlyfüggvéy Fourer-traszformáltja az S átvtel függvéyt adja. Az átvtel függvéy megfelelő választásával az aomálatér bármely frekvecájú összetevője kszűrhető. A külöböző felülvágó szűrőket megvalósító átvtel függvéyeket az aomálatér smítására, azaz a regoáls tér meghatározására haszáljuk; ugyaakkor az alulvágó szűrőkkel a agyfrekvecás összetevők, tehát a térbe gyorsa változó lokáls aomálák emelhetők k. A gyakorlatba a ehézség aomálaterek szűrését számítógépekkel végezzük. Az (5) megfelelő átalakításával, kétváltozós dgtáls szűréssel tetszőleges t rácstávolságú égyzethálózat rácspotjaba adott Δg( aomálatér eseté, a tér valamely ( x 0, y0) potjába a szűrt gravtácós aomála értéke: ( x + t y mt) Δ gsz ( x0, y0) = cmδg 0, 0 + m ahol a m c együtthatók az (5) összefüggésbe szereplő s(u,v) súlyfüggvéyek megfelelő súlymátrx (szűrőmátrx) eleme. A dgtáls szűréshez az aomálatérképeket dgtalzál kell, azaz a térképeket dgtáls adatredszerré kell átalakíta. Ez a gyakorlatba pl. úgy törték, hogy az adott aomálatérképre k pottávolságú égyzethálózatot helyezük és a rácspotokba kolvassuk az aomálaértékeket. 6