A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI"

Átírás

1 A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI Az Eötvös Lórád Tudomáyegyetem Természettudomáy Kará a Fzka Kéma Taszék évek óta kéma-szakos taárhallgatókak matematka bevezetõ elõadásokat tart. Az elõadások célja az, hogy a hallgatóságak e legyeek degeek azok a matematka levezetések, állítások, amelyekkel késõbb, fõleg fzka-kéma taulmáya sorá találkozk. A valószíûségszámítás fejezetek smertetése utá a matematka statsztka eleme következek. Eek a tafolyamak léyeges részet tartalmazza jele vázlatos smertetés, elsõsorba azért, hogy a hallgatóság a taulás elõsegítésére azokat a számítógépes hálózatról magáak letölthesse. Az ayag a félév végég fokozatosa kerül fel a hálóra, tartalomjegyzéke eek megfelelõe folyamatosa bõvül. A tárgy elõadója Szepesváry Pál. Budapest 00 áprls

2 TARTALOM. A matematka statsztka jellemzése. Leíró és felderítõ statsztka. Sokaság és mta. Az adatok.. Az adatok fajtá.. Az adatok kezelése, a skálázás.. Az adatok skálázása..4 Az adatok ábrázolása. Az adatok eloszlása, a mták jellemzó.. Mtaközép jellemzõk a) számta közép, mtaátlag, (mea) b) medá, (meda) c) módusz (mode).. Kterjedés jellemzõk a) stadard devácó (stadard devato) b) varácós együttható (coeffcet of varato) c) terjedelem (rage) d) kvatlsek (quatles).. Egyéb eloszlásjellemzõk a) ferdeség (skewess) b) lapultság (kurtoss)..4 Megjegyzések a középértékrõl és a szórásról...5 A mta eloszlásáak grafkus szemléltetése a) a hsztogram b) a bo" vagy "szakállas" (bo ad whskers) ábra

3 . A matematka statsztka jellemzése A matematka statsztka a véletle (valószíûség) változókkal jellemezhetõ (továbbakba véletle) redszerek leíró adataak feldolgozásáról, értelmezésérõl és felhaszálásáról szóló tudomáyos módszerta. Amíg a valószíûségszámítás fogalma aomákkal összhagba defált vagy azokból levezetett absztrakt fogalmak, amelyek tulajdosága ílymódo adottak, a matematka statsztka megfgyelt, leszámlált vagy mért sajátságokat feleltet meg a valószíûségszámítás absztrak fogalmaak, sokszor megállapodásszerû módo. Szokásos modás: "amíg a valószíûségszámítás megtat valószíûségekkel számol, addg a statsztka megtat valószíûséget mér". Mutá a véletle által befolyásolt jeleségek em bztos kmeetelûek, a matematka statsztkába cseek bztos ítéletek. A matematka statsztka becsül, megbecsülhetõ valószíûségû ítéleteket hoz. Ige rtka az az eset, amelyél egy véletle redszer vselkedését mde elképzelhetõ kmeetelél meg lehet fgyel. A matematka statsztka következésképpe csak a redszer valamely szemügyre vett részletébõl, valamely folyamat pllaaty állapotából, tehát a redszer egy mtájából következtet magára a redszerre. Ez a statsztkus megállapítások bzoytalaságáak tovább oka. A matematka statsztka feladata tehát () jellemzõ számadatok, megállapítások levezetése, bemutatása megfgyelt adatokból, () valószíûség hozzáredelése a kapott vagy levot következtetésekhez, () dötés valamely fet alapo megfogalmazott állítás (hpotézs) elfogadásáról vagy elvetésérõl, végül, (4) olya ksérlet feltételek meghatározása (olya ksérletek tervezése), amelyek számukra az állítások megbízhatósága szempotjából legkedvezõbbek. 4. Leíró és felderítõ statsztka Vzsgált redszerek vagy teljese smeretleek vagy vaak róla elõzetes (a pror) smeretek. Ha vaak, képesek vagyuk többé-kevésbé alkalmas (adekvát) matematka modellt alkot, és ez esetbe a statsztka adatgyüjtés célja a modell paramétereek megbecslése. Ha cseek elõzetes smeretek, a leíró és felderítõ statsztka módszeret alkalmazzuk, amelyekre persze a modell alapú vzsgálatokál s szükség va. A felderítõ statsztka az adatok, a mta kezelésére, jellemzésére, ábrázolására voatkozóa ad útmutatásokat, több változó eseté pedg számos tovább feladatot old meg (alakfelsmerés, csoportosítás, osztályozás). 5. Sokaság és mta

4 4 Vszgálatuk tárgya egy redszer. Egy redszerek eleme (objektuma) vaak, az objektumokak tulajdosága. (Objektumok például: emberek, társadalmak, folyók, botópok, oldatok, spektrumok, tulajdoságok az emberek testmérete, emberek, társadalmak, folyók, botópok, oldatok, spektrumok, tulajdoságok az emberek testmérete, a társadalmak lakosságszáma, emzet jövedelme, a folyók vízhozama adott dõbe, helye, botópok fajaak száma, egyedsûrüsége, oldatok kocetrácó, spektrumok csúcsmagassága adott hullámhosszo stb.) Egy redszerek általába sok objektuma, azokak sok, számos esetbe végtele sok értékû tulajdosága va. A redszert alkotó objektumok, potosabba azok tulajdoságat leíró (végtele) sok jellemzõ változó adat alkotja az adatok sokaságát. A sokaság eleme tehát lehetek fzka létezõk, de elméletek s. A sokaság szabatos meghatározása fotos feltétele a statsztka mukáak, hsze ez jelet a feldolgozásra váró adatok potos meghatározását. (Egy folyó vzállása áprls 6-á és ovember -é például két statsztka sokaság). Általába csak arra va móduk, hogy a redszer egy részletét, vagy egy bzoyos állapotát fgyeljük meg, azaz aak leíró adataból mtát vegyük. Szokás moda: a sokaság az összes elképzelhetõ mta halmaza. A mta vzsgálatáak eredméyébõl következtetük a sokaságra, a mta vétele tehát az eredméyek értéke szempotjából elsõredûe fotos. A mta legye (a) reprezetatív, összetételébe képvselje helyese a sokaságot, amelybõl vették, (b) véletle, a mtaelemek kerüljeek egymástól függetleül, egyelõ valószíûséggel a mtába, (c) elégséges méretû, elegedõe agy ahhoz, hogy a mta alapjá levot következtetések kellõe valószíûek legyeek.. Az adatok.. Az adatok fajtá Az adatokat kategorkus és em kategorkus (kvattatív) jellegûekre szokás feloszta. A kategorkus adatok alapjá az objektumokat osztályoz lehet. A kategorkus adatok lehetek evesítõek (omálsak) és redezõek (ordálsak). A evestõ adat egy-egy objektumot valamely (esetleg egyelemû) osztályba osztályba sorol, a redezõ adat már sorredet s defál. (./a táblázat)

5 5./a táblázat. Kategorkus adatok Adatfajta Az adatoko értelmezhetõ müvelet Példa Nevesítõ (omáls) =, Nem, év, állampolgárság, foglalkozás, telefoszám Redezõ (ordáls) =,, <, > Iskola osztályzat, rag, betegség foka, IQ Azokat a kategorkus adatokat, amelyek csak két osztály valamelykébe sorolhatak, dchotómkus vagy bárs adatokak evezk. (Dchotómkus adatok: férf-õ, gaz-hams, kcs-agy, beteg-egészséges) A kvattatív adatok lehetek folytoos vagy dszkrét (mérhetõ vagy leszámlálható, gyakra metrkusak evezettek) adatok. Szokásosa megkülöböztetk azokat adatokat, amelyek skálájáak ökéyes a 0-potja,.léyegébe külöbségük értelmes (tervallum skála) azoktól, amelyekre multplkatív artmetka mûveletek s alkalmazhatók (aráyos skála).(./b táblázat)../b táblázat. Metrkus adatok példá Adatskála Folytoos Dszkrét Itervallum Potecál, Celsus fokba mért hõmérséklet Naptár apok Aráyos Tömeg, Abszolut hõmérséklet Részecskeszám Vegyész gyakorlatukba az esetek túlyomó részébe metrkus adatokkal (tömeg, ayagmeység, térfogat, kocetrácó, yomás, hõmérséklet, eergák sebességek) va dolguk... Az adatok kezelése, a skálázás A sokaságból vett elemû mta -edk adata egy: mtaelem =, (.) A mtaelemek sorozata a mta =,,, (.) ahol de az adat mérés sorszáma. Ha a mta adatat agyságuk szert állítjuk sorba, a redezett mtához jutuk: * * * * * * A redezett mta,,...,... (.)

6 6.. Az adatok skálázása Egy mta természetes terjedelmét a számegyeese a legksebb és legagyobb értékû mtaelem határozza meg. Külöbozõ okokból szükség lehet arra, hogy ezt a terjedelmet módosítsuk, hogy az adatokat más egységbe, más skálá tektsük. Ezt skálázással lehet elér, amelyek sorá az eredet mtaelemekhez valamely számot hozzáaduk, vagy/és azokat valamely azoos számmal osztjuk. A számos skálázás lehetõség közül a vegyész gyakorlatba a mértékegységváltás, a mta ormálása 0 és érték közé (móltört, tömegtört megadás), a mta cetrálása, és a mta stadardzálása leggyakorbbak. Normált mtához jutuk, ha az eredet mta mde elemét az elemek összegével osztjuk. Eek egy eleme: z Felhívjuk a fgyelmet arra, hogy az így ormált adatok között egy már függetle a többtõl, az adatok összegébõl és a - adatból a függõ már kszámítható. Cetrált mta keletkezk, ha mde elembõl kvojuk az elemek átlagát (l..7 képlet): ( c) = ( 5. ) = k= k (.4) A cetrált mtába szükségképpe poztv és egatív értékek lépek fel, az elemek összeg 0. Ebbõl következk, hogy a cetrált adatok közül s csak - darab függetle. A stadardzált lesz a mta akkor, ha az eredet mtaelemekbõl kvojuk azok átlagát és a külöbségeket a mta emprkus szórásával (l..0 képlet) osztjuk: u = (.6) s A stadardzált mta 0-közepû, szórása..4 Az adatok ábrázolása Mtákról szemléletes képet ad a potsor, azaz a mtaelemek ábrázolása a számegyeese, az (egyváltozós) szóródás kép (uvarate scatter plot).

7 7.. példa: Tektsük egy 4 elemû mtát: -7,-46, 67,-8,7, 07,, -0,, -6, -, -0 99, 7, 57, -5, 60, -7, -95, -6, 4, 9. 58, 87 Redezve: -6,-0,-0,-7,-95,-8,-46,-7,-5,-7,-6,- 4, 9,, 57, 58, 60, 67, 87, 99, 07,, 7 Potsorral ábrázolva: Uvarate Scatter Plots Data o Orgal Scale C ábra Potsoros ábrázolás. Az adatok eloszlása, a mták jellemzó Bár az adatok sorozatáak és képéek megtektése bzoyos fokg tájékoztat az adatok elhelyezkedésérõl, szükség va olya számadatokra, amelyek tömöre jellemzk a mta (a) közepét, (b) terjedelmét és (c) eloszlását. Egy-egy célra több jellemzõ közül lehet választa. A valószíûségszámítás sokaságok eloszlásáak jellemzésére potosa defált meységeket, mt várható érték, szórás, ferdeség, lapultság, korrelácós együttható stb. Levezette ezekek a meységekek tulajdoságat s. Az alábbakba smertetett tapasztalat (ksérlet, gyakra statsztkákak evezett) jellemzõk ezekek az elmélet meységekek becslése. A becslések között külööse értékeljük azokat, amelyek torzítatlaok. Torzítatla az a becslés, amelyek várható értéke megegyezk azzal a meységgel, amelyket becsül... Mtaközép jellemzõk a) számta közép, mtaátlag, (mea) A számta közép = = (.7)

8 8 A számta közép a hagyomáyos legksebb égyzetek elvéek megfelelõ jellemzõ, a várható érték torzítatla becslése. Hátráya, hogy érzékey a szélsõségese eltérõ ("klógó") adatokra. Az. példába szereplõ adatok számta közete: b) medá, (meda) A medá az változó azo értéke, amelyél a mta elemek fele ksebb, fele agyobb. % = = % = + m+ m + m + ha a mta páratla elemõ, = m+ (.8/a) ha a mta páros elemû, = m (.8/b) A medá em érzékey szélsõséges értékekre, u.. robusztus becslõ. Az. példába szereplõ adatok medája: 6 c) módusz (mode) A módusz a leggyakrabba elõforduló mtaelem értéke* * több mamumos eloszlásokál a leggyakorbb, majd a másodk leggyakorbb... d = leggyakorbb (.9) A módusz a valószíûség változó sûrüségfüggvéyéek mamumhelye. Ksérlet meghatározása agy mtákból lehetséges, ahol beszélhetük azoos értékû mtaelemekrõlrõl. Tovább, adott esetbe haszos, de gyakorlatukba rtkábba elõforduló mtaközép jellemzõk még a mérta közép: (g) =.... és a harmokus közép: ( h) = Kterjedés jellemzõk a) stadard devácó (tapasztalat szórás, korrgált emprkus szórás (stadard error, stadard devato): Stadard devácó ( ) s = = (.0)

9 9 Ez a jellemzõ az elmélet szórás becslése. Nevezõjébe a kézefekvõ helyett azért szerepel -, mert azt csak - függetle mért adatból számíthattuk k. A számta közép ugyas egy adatot az közül a többbõl kszámíthatóvá tesz. Ha a evezõbe álla, a stadard devácó torzította becsülé a szórást. Fotos megjegyzés: Ha adat között m darab megkötés létezk, az adat között csak - m darab függetle. A függetle adatokak ezt a számát szabadság fokak (degree of freedom, DF) s evezk. Az. példába szereplõ adatok stadard devácója: b) varácós együttható (coeffcet of varato) " c. v." = V = s / (.) A varácós együttható azt mutatja meg, háyadrésze, háy százaléka a tapasztalat szórás a középértékek. Bzoyos esetekbe (pl 0 várható értékû sokaságokál) értelmetle. c) terjedelem (rage) A terjedelem a legagyobb és legksebb mtaelem külöbsége d = ma - m (.) Az. példába szereplõ adatok terjedelme: 7 - (-6) = 5 d) kvatlsek (quatles) p-s kvatls az változó azo értéke, amelyél ksebb mtaelemek háyada p) 0.-es kvatls = decls = 0. percetls 0.5-ös kvatls = elsõ kvartls (Q ) = 5. percetls 0.5-ös kvatls = másodk kvartls (Q ) = 50. percetls= medá 0.75-ös kvatls = harmadk kvartls (Q ) = 75. percetls 0.90-es kvatls = 90. percetls Az. példába szereplõ adatok elsõ kvartlsa -6.5, medája 6, harmadk kvartlsa Egyéb eloszlásjellemzõk.. Egyéb eloszlásjellemzõk a) ferdeség (skewess) A ferdeség γ = ( )( ) = * s (.)

10 0 Ez a meység a harmadk cetráls mometum/szórás módo, a γ = E [( ξ E( ξ) ) ] képlettel defált meység becslése. A ferdeség valószíûség változókak külöbözõ sûrüségfüggvéye eseté az alábbak szert alakul: σ Sürüségfüggvéy Szmmetrkus Nem szmmetrkus Csúcs elõl Csúcs hátul Ferdeség: 0 poztív egatív Az. példába szereplõ adatok ferdesége: b) lapultság (kurtoss) A lapultság: A lapultság a γ = ( ) ( )( )( ) = γ E * s 4 [( ξ E( ξ) ) ] = 4 σ ( ) ( )( ) 4 (.4) képlettel, γ = egyedk cetráls mometum / szórás 4 - módo defált meység becslése. Ha a lapultság poztív, akkor a sokaság eloszlásáak sûrüségfüggvéye csúcsosabb, mt a ormáls eloszlás haraggörbéjéé, ha egatív, akkor laposabb, ha 0, akkor egyezõ. Az. példába szereplõ adatok lapultsága : Megjegyzések a középértékrõl és a szórásról. a) A középérték leárs fukcoál: E(αX + βy) =αe(x) + βe(y) b) Néháy fotos tétel a szórásról és a szóráségyzetrõl (varacáról): D (X ± Y) = D (X) + D (Y) = σ + σ y D(X+Y) = (σ + σ y ) / D (αx) =α D (X) D(αX) =αd(x) D (X ± α) = D (X) D (X ± α) = D(X) Fetekbõl következk: A középérték szórásáak becslése

11 s m s = = ( ) ( ) (.5) Levezetés: D ( ) D ( ) ( ) ( ) D σ σ σ = / = D = = = = Fotos összefüggés: ( ) = = ) / = ( ) = ( ) (..5 A mta eloszlásáak grafkus szemléltetése a) a hsztogram A hsztogram egy redezett mta elõre ktûzött változó-tartomáyaba esõ elemek számát vagy gyakorságát ábrázolja. A hsztogram hasábjaak szélessége a változótartomáyt, magassága az (abszolut vagy relatív) gyakorságot ábrázolja. Túl kevés tartomáy ktûzésekor az formácó szegéyes (./a ábra), túl sok eseté a kapott kép áttekthetele. (./c ábra) Hstogram 0 Frequecy C./a ábra Elagyolt hsztogram

12 Hstogram Frequecy C./b ábra Jól méretezett hsztogram Hstogram Frequecy C./c ábra Túlrészletezett hsztogram b) a bo" vagy "szakállas" (bo ad whskers) ábra A bo vagy szakállas (bo ad whskers) ábra az eloszlás szemléltetéséek célszerû módja, amely a változó számegyeesé külöbözõ, jellemzõ krtkus potokat tartalmaz: medá gyaús Q Q gyaús * /////// ////////////// * Q-.5 I m ma Q+.5 I (I = Q - Q = terkvartls távolság)

13 Boplots ma Q medá Q m C. ábra A bo ábra. példa. Négy mtát hasolítuk össze. C4 és C adatok aszmmetrkus eloszlású sokaságokból származak, C ormáls és C egyeletes eloszlásúak. A potsor ábrák az alábbak: Uvarate Scatter Plots Data o 0 - Scale C4 C C C ábra A. példa mtáak potsor ábrá Boplots Data o 0 - Scale C C C C4.5 ábra. A. példa mtáak bo ábrá

Statisztika. Eloszlásjellemzők

Statisztika. Eloszlásjellemzők Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben

? közgazdasági statisztika

? közgazdasági statisztika Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem

Részletesebben

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 202.03.0. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése 3 4 Tartalomegyzék. BEVEZETÉS 5. A MÉRÉS 8. A mérés mt folyamat, fogalmak 8. Fotosabb mérés- és műszertechka fogalmak 4.3 Mérés hbák 8.3. Mérés hbák csoportosítása eredetük szert 8.3. A hbák megeleítés

Részletesebben

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke

Részletesebben

4 2 lapultsági együttható =

4 2 lapultsági együttható = Leíró statsztka Egy kísérlet végeztével általában tetemes mennységű adat szokott összegyűln. Állandó probléma, hogy mt s kezdjünk - lletve mt tudunk kezden az adatokkal. A statsztka ebben segít mnket.

Részletesebben

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai 05..04. szórások vizsgálata z F-próba Hogya foguk hozzá? Nullhipotézis: a két szórás azoos, az eltérés véletle (mitavétel). ullhipotézishez tartozik egy ú. F-eloszlás. Szabadsági fokok: számláló: - evező:

Részletesebben

Adatfeldolgozás, adatértékelés. Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Miskolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanszék

Adatfeldolgozás, adatértékelés. Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Miskolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanszék Adatfeldolgozás, adatértékelés Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Mskolc Egyetem, Hdrogeológa Mérökgeológa Taszék A vzsgált köryezet elemek, lletve a felszí alatt közeg megsmerése céljából számtala külöböző

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o)

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o) Ismérvek között kapcsolatok szorosságáak vzsgálata 1. Egy ks smétlés: mérés skálák (Huyad-Vta: Statsztka I. 5-6. o) A külöböző smérveket, eltérő mérés sztekkel (skálákkal) ellemezhetük. a. évleges (omáls)

Részletesebben

Matematikai statisztika

Matematikai statisztika Matematka statsztka 8. elıadás http://www.math.elte.hu/~arato/matstat0.htm Kétmtás eset: függetle mták + + + = + ) ( ) ( ) ( Y Y X X Y X m m m t m Ha smert a szórás: (X elemő, σ szórású, Y m elemő, σ szórású),

Részletesebben

A matematikai statisztika elemei

A matematikai statisztika elemei A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................

Részletesebben

Dr. Tóth Zsuzsanna Eszter Dr. Jónás Tamás Erdei János. Gazdaságstatisztika. II. rész A matematikai statisztika alapjai

Dr. Tóth Zsuzsanna Eszter Dr. Jónás Tamás Erdei János. Gazdaságstatisztika. II. rész A matematikai statisztika alapjai Budapest Műszak és Gazdaságtudomáy Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudomáy Kar Üzlet Tudomáyok Itézet Meedzsmet és Vállalatgazdaságta Taszék Dr. Tóth Zsuzsaa Eszter Dr. Jóás Tamás Erde Jáos Gazdaságstatsztka

Részletesebben

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011 MÉRÉSTECHNIKA DR. HUBA ANTAL c. egy. taár BME Mechatroka, Optka és Gépészet Iformatka Taszék 0 Rövde a tárgyprogramról Előadások tematkája: Metrológa és műszertechka alapok Mérés adatok kértékelése Időbe

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

A Statisztika alapjai

A Statisztika alapjai A Statisztika alapjai BME A3c Magyar Róbert 2016.05.12. Mi az a Statisztika? A statisztika a valóság számszerű információinak megfigyelésére, összegzésére, elemzésére és modellezésére irányuló gyakorlati

Részletesebben

STATISZTIKA II. kötet

STATISZTIKA II. kötet Szeged Tudomáyegyetem Gazdaságtudomáy Kar Petres Tbor Tóth László STATISZTIKA II. kötet Szerzők: Dr. Petres Tbor, PhD egyetem doces Statsztka és Demográfa Taszék Tóth László PhD-hallgató Gazdaságtudomáy

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

Arrhenius-paraméterek becslése közvetett és közvetlen mérések alapján

Arrhenius-paraméterek becslése közvetett és közvetlen mérések alapján Tudomáyos Dákkör Dolgozat SZABÓ BOTOND Arrheus-paraméterek becslése közvetett és közvetle mérések alapá Turáy Tamás. Zsély Istvá Gyula Kéma Itézet Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáy Kar Budapest,

Részletesebben

Ha n darab standard normális eloszlású változót négyzetesen összegzünk, akkor kapjuk a χ 2 - eloszlást: N

Ha n darab standard normális eloszlású változót négyzetesen összegzünk, akkor kapjuk a χ 2 - eloszlást: N Krály Zoltá: Statsztka II. Bevezetés A paraméteres eljárások alkalmazásához, a célváltozóra ézve szgorú feltételek szükségesek (folytoosság, ormaltás, szóráshomogetás), ekkor a hpotézseket egy-egy paraméterre

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Élettan Anatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos döntéseket hoz! Mkor jó egy döntés? Mennyre helyes egy döntés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ SPSS ALAPJAIBA. (Belső használatra)

BEVEZETÉS AZ SPSS ALAPJAIBA. (Belső használatra) BEVEZETÉS AZ SPSS ALAPJAIBA (Belső haszálatra) TARTALOMJEGYZÉK. Statsztka alapfogalmak..... Sokaság...4.2. Ismérvek és mérés skálák...6.3. Statsztka sorok...7 2. SPSS alapfogalmak...9 3. Alapvető statsztka

Részletesebben

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés NBG GI866G4. Statisztika fogalma. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés NBG GI866G4. Statisztika fogalma. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma Statsztka Sportszervező BSc képzés NBG GI866G4 010-011-es taév II félév Statsztka alapfogalmak Oktató: Dr Csáfor Hajalka főskola doces Vállalkozás-gazdaságta Tsz E-mal: hcsafor@ektfhu Statsztka alapfogalmak

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés problémája a pedagógiában Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés fogalma Mérésen olyan tevékenységet értünk, amelynek eredményeként a vizsgált jelenség számszerűen jellemezhetővé, más hasonló jelenségekkel

Részletesebben

Tapasztalati eloszlás. Kumulált gyakorisági sorok. Példa. Értékösszegsor. Grafikus ábrázolás

Tapasztalati eloszlás. Kumulált gyakorisági sorok. Példa. Értékösszegsor. Grafikus ábrázolás Matemata statszta elıadás III. éves elemzı szaosoa 009/00. élév. elıadás Tapasztalat eloszlás Mde meggyeléshez (,,, ) / súlyt redel. Valószíőségeloszlás! Mtaátlag éppe ee az eloszlása a várható értée.

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN

AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN Molár László Ph.D. hallgató Mskolc Egyetem, Gazdaságelmélet Itézet 1. A MINTANAGYSÁG MEGHATÁROZÁSA EGYSZERŐ VÉLETLEN (EV) MINTA

Részletesebben

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.08. Orvosi biometria (orvosi biostatisztika) Statisztika: tömegjelenségeket számadatokkal leíró tudomány. A statisztika elkészítésének menete: tanulmányok (kísérletek)

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Tulajdonságok. Teljes eseményrendszer. Valószínőségi változók függetlensége. Példák, szimulációk

Tulajdonságok. Teljes eseményrendszer. Valószínőségi változók függetlensége. Példák, szimulációk Valószíőségszámítás és statsztka elıadás fo. BSC/B-C szakosokak 3. elıadás Szeptember 26 p 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 A bomáls és a hpergeom. elo. összehasolítása 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k Hp.geom

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

Miért pont úgy kombinálja kétfokozatú legkisebb négyzetek módszere (2SLS) az instrumentumokat, ahogy?

Miért pont úgy kombinálja kétfokozatú legkisebb négyzetek módszere (2SLS) az instrumentumokat, ahogy? Mért pot úgy kombálja kétfokozatú legksebb égyzetek módszere (2SLS az strumetumokat, ahogy? Kézrat A Huyad László 60. születésapjára készülő köyvbe Kézd Gábor 2004. júlus A Budapest Corvus Egyetem rövd

Részletesebben

Regresszió és korreláció

Regresszió és korreláció Regresszó és korrelácó regresso: vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás correlato: vszo, összefüggés, kölcsöösség KAD 01.11.1 1 (vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás) Regresszó és korrelácó Gakorlat megközelítés

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve

Részletesebben

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 5. Megjegyzések. A tétel feltételei gyegíthetőek: elég, ha a függetle, azoos eloszlású változók várható értéke véges.

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk,

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk, A deceber -i gyakorlat téája A hipotézisvizsgálat fotos probléája a következő két kérdés vizsgálata. a) Egy véletle eyiség várható értékéek agyságáról va bízoyos feltevésük. Elleőrizi akarjuk e feltevés

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

A heteroszkedaszticitásról egyszerûbben

A heteroszkedaszticitásról egyszerûbben Mûhely Huyad László kaddátus, egyetem taár, a Statsztka Szemle főszerkesztője A heteroszkedasztctásról egyszerûbbe E-mal: laszlo.huyad@ksh.hu A heteroszkedasztctás az ökoometra modellezés egyk kulcsfogalma,

Részletesebben

Ökonometria. /Elméleti jegyzet/

Ökonometria. /Elméleti jegyzet/ Ökoometra /Elmélet jegyzet/ Ökoometra /Elmélet jegyzet/ Szerző: Nagy Lajos Debrece Egyetem Gazdálkodástudomáy és Vdékfejlesztés Kar (1.,., 3., 4., 5., 6., és 9. fejezet) Balogh Péter Debrece Egyetem Gazdálkodástudomáy

Részletesebben

Példák 2. Teljes eseményrendszer. Tulajdonságok. Példák diszkrét valószínőségi változókra

Példák 2. Teljes eseményrendszer. Tulajdonságok. Példák diszkrét valószínőségi változókra Valószíőségszámítás és statsztka elıadás fo. BSC/B-C szakosokak 3. elıadás Szeptember 28 dszkrét valószíőség változókra X(ω)=c mde ω-ra. Elevezés: elfajult eloszlás. P(X=c)=1. X akkor 1, ha egy adott,

Részletesebben

MINTAVÉTEL A MARKETINGKUTATÁSBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A DIVIZÍV ÉS AZ AGGLOMERATÍV RÉTEGZÉSRE

MINTAVÉTEL A MARKETINGKUTATÁSBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A DIVIZÍV ÉS AZ AGGLOMERATÍV RÉTEGZÉSRE MINTAVÉTEL A MARKETINGKUTATÁSBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A DIVIZÍV ÉS AZ AGGLOMERATÍV RÉTEGZÉSRE Molár László egyetem taársegéd 1. BEVEZETÉS A statsztkusok a mtaagyság meghatározására számos módszert dolgoztak

Részletesebben

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés A m és az átlag Standard hba Mnta átlag 1 170 Az átlagok szntén ngadoznak a m körül. s x s n Az átlagok átlagos eltérése a m- től! 168 A m konfdenca ntervalluma. 3 166 4 173 x s x ~ 68% ~68% annak a valószínűsége,

Részletesebben

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Függetleségvizsgálat Virág Katali Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Függetleség Függetleség Két változó függetle, ha az egyik változó megfigyelése a másik változóra ézve em szolgáltat iformációt; azaz

Részletesebben

A Sturm-módszer és alkalmazása

A Sturm-módszer és alkalmazása A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle

Részletesebben

Komputer statisztika

Komputer statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................

Részletesebben

I. Valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapok

I. Valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapok I. Valószíűségelmélet és matematka statsztka alapok. A szükséges valószíűségelmélet és matematka statsztka alapsmeretek összefoglalása Az alkalmazott statsztka módszerek tárgalása, amel e kötet célja,

Részletesebben

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 10. rész: Az adatelemzés alapjai Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Tizedik rész Az adatelemzés alapjai Tartalomjegyzék Bevezetés Leíró statisztikák I

Részletesebben

Laboratóriumi mérések

Laboratóriumi mérések Laboratórum mérések. Bevezetı Bármlye mérés ayt jelet, mt meghatároz, háyszor va meg a méredı meységbe egy másk, a méredıvel egyemő, ökéyese egységek választott meység. Egy mérés eredméyét tehát két adat

Részletesebben

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM.

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. STATISZTIKA 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. ANNA BÉLA CILI András hármas. Béla Az átlag 3,5! kettes. Éva ötös. Nóri négyes. 1 mérés: dolgokhoz valamely szabály alapján szám rendelése

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

1. előadás: Bevezetés. Irodalom. Számonkérés. A valószínűségszámítás és a statisztika tárgya. Cél

1. előadás: Bevezetés. Irodalom. Számonkérés. A valószínűségszámítás és a statisztika tárgya. Cél Valószíűségszámítás és statsztka előadás fo. BSC/B-C szakosokak 1. előadás szeptember 13. 1. előadás: Bevezetés Irodalom, követelméyek A félév célja Valószíűségszámítás tárgya Törtéet Alapfogalmak Valószíűségek

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE

VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE BUDAPET MŰZAK É GAZDAÁGTUDOMÁY EGYETEM Építőmérök Kar Hdak és zerkezetek Taszéke VABETO ÉPÜLETEK MEREVÍTÉE Oktatás segédlet v. Összeállította: Dr. Bód stvá - Dr. Farkas György Dr. Kors Kálmá Budapest,.

Részletesebben

Statisztikai programcsomagok

Statisztikai programcsomagok Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés

Részletesebben

Statisztika 2. Dr Gősi Zsuzsanna Egyetemi adjunktus

Statisztika 2. Dr Gősi Zsuzsanna Egyetemi adjunktus Statisztika 2. Dr Gősi Zsuzsanna Egyetemi adjunktus Gyakorisági sorok Mennyiségi ismérv jellemző rangsor készítünk. (pl. napi jegyeladások száma) A gyakorisági sor képzése igazából tömörítést jelent Nagyszámú

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk;

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk; Statisztika Tegyük fel, hogy va egy halmazuk, és tekitsük egy vagy több valószíűségi változót, amelyek a halmaz mide elemé felveszek valamilye értéket. A halmazt populációak vagy sokaságak evezzük. Példák:

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL

AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL 36 MIXCONTROL AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL Subert Istvá deformáció-elleálló keverékvázat lehet létrehozi. Kiidulási feltétel az alkalmazás helyéek

Részletesebben

20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek!

20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek! SPEC 2009-2010. II. félév Statsztka II HÁZI dolgozat Név:... Neptun kód: 20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek! 1. példa Egy üzemben tejport csomagolnak zacskókba,

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK FIZIKA. kétszintű érettségire felkészítő. tanfolyamhoz

MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK FIZIKA. kétszintű érettségire felkészítő. tanfolyamhoz MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK a FIZIKA kétszitű érettségire felkészítő tafolyamhoz A fizika mukaközösségi foglalkozásoko és a kétszitű érettségi való vizsgáztatásra felkészítő tafolyamoko 004-009-be elhagzottak

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Sztochasztikus tartalékolás és a tartalék függése a kifutási háromszög időperiódusától

Sztochasztikus tartalékolás és a tartalék függése a kifutási háromszög időperiódusától Sztochasztkus tartalékolás és a tartalék függése a kfutás háromszög dőperódusától Faluköz Tamás Vtéz Ildkó Ibola Kozules: r. Arató Mklós ELTETTK Budapest IBNR kfutás háromszög IBNR: curred but ot reported

Részletesebben

Szemmegoszlási jellemzők

Szemmegoszlási jellemzők Szemmegoszlási jellemzők Németül: Agolul: Charakteristike er Korgrößeverteilug Characteristics of particle size istributio Fraciául: Caractéristique e compositio graulométrique Kutatási, fejlesztési és

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

2.10. Az elegyek termodinamikája

2.10. Az elegyek termodinamikája Kéma termodamka.1. z elegyek termodamkája fzka kéma több féle elegyekkel foglakozk, kezdve az deáls elegyektől a reáls elegyekg. Ha az deáls elegyek esetébe az alkotók közt kölcsöhatásokat elhayagoljuk,

Részletesebben

STATISZTIKA I. Változékonyság (szóródás) A szóródás mutatószámai. Terjedelem. Forgalom terjedelem. Excel függvények. Függvénykategória: Statisztikai

STATISZTIKA I. Változékonyság (szóródás) A szóródás mutatószámai. Terjedelem. Forgalom terjedelem. Excel függvények. Függvénykategória: Statisztikai Változékonyság (szóródás) STATISZTIKA I. 5. Előadás Szóródási mutatók A középértékek a sokaság elemeinek értéknagyságbeli különbségeit eltakarhatják. A változékonyság az azonos tulajdonságú, de eltérő

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László Valószíűségszámítás Ketskeméty László Budapest, 996 Tartalomjegyzék I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 3. Kombatorka alapfogalmak 4 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 6. A valószíűségszámítás alapfogalma

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Geostatisztika I. Dr. Szabó Norbert Péter. BSc geográfus alapszak hallgatóinak

Geostatisztika I. Dr. Szabó Norbert Péter. BSc geográfus alapszak hallgatóinak Geostatsztka I. BSc geográfus alapszak hallgatóak Dr. Szabó Norbert Péter egyetem adjuktus Mskolc Egyetem Geofzka Itézet Taszék e-mal: orbert.szabo.phd@gmal.com Ajálott rodalom Steer Ferec, 990. A geostatsztka

Részletesebben

Bevezetés a hipotézis vizsgálatba. Hipotézisvizsgálatok. Próbák leírása. Kétoldali és egyoldali hipotézisek. Illeszkedésvizsgálatok

Bevezetés a hipotézis vizsgálatba. Hipotézisvizsgálatok. Próbák leírása. Kétoldali és egyoldali hipotézisek. Illeszkedésvizsgálatok Bevezetés a hpotézs vzsgálatba Lásd előadás ayagát. Kétoldal és egyoldal hpotézsek Hpotézsvzsgálatok Ebbe a ejezetbe egyajta határozókulcsot szereték ad a hpotézsvzsgálatba haszált próbákhoz. Először dötsük

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 8. Valószíűségszámítás ESEMÉNYEK 174 Eseméyek formális leírása, műveletek 175 Feladatok 176 A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA 177 A valószíűség tulajdoságai 178 Mitapéldák 179 Feladatok 181 VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK

Részletesebben

MATEMATIKAI STATISZTIKA KISFELADAT. Feladatlap

MATEMATIKAI STATISZTIKA KISFELADAT. Feladatlap Közlekedésmérnök Kar Jármőtervezés és vzsgálat alapja I. Feladatlap NÉV:..tk.:. Feladat sorsz.:.. Feladat: Egy jármő futómő alkatrész terhelésvzsgálatakor felvett, az alkatrészre ható terhelı erı csúcsértékek

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

matematikai statisztika

matematikai statisztika Az újságokban, plakátokon, reklámkiadványokban sokszor találkozunk ilyen grafikonokkal, ezért szükséges, hogy megértsük, és jól tudjuk értelmezni őket. A második grafikon ismerős lehet, hiszen a függvények

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

Dr. Hanka László PhD. KOCKÁZAT BECSLÉSE A VALÓSZÍNŰSÉG KISZÁMÍTÁSA NÉLKÜL, A MEGBÍZHATÓSÁGI INDEX ÉS ALKALMAZÁSA

Dr. Hanka László PhD. KOCKÁZAT BECSLÉSE A VALÓSZÍNŰSÉG KISZÁMÍTÁSA NÉLKÜL, A MEGBÍZHATÓSÁGI INDEX ÉS ALKALMAZÁSA XXII. évfolyam, 01.. szám Dr. Haka László PhD. Óbuda Egyetem Bák Doát Gépész és Bztoságtechka Mérök Kar, Mechatroka Itézet E-mal: haka.laszlo@gbk.u-obuda.hu KOCKÁZAT BECSLÉSE A VALÓSZÍNŰSÉG KISZÁMÍTÁSA

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Modern műszeres analitika szeminárium Néhány egyszerű statisztikai teszt

Modern műszeres analitika szeminárium Néhány egyszerű statisztikai teszt Modern műszeres analitika szeminárium Néhány egyszerű statisztikai teszt Galbács Gábor KIUGRÓ ADATOK KISZŰRÉSE STATISZTIKAI TESZTEKKEL Dixon Q-tesztje Gyakori feladat az analitikai kémiában, hogy kiugrónak

Részletesebben