Hipotéziselmélet. Statisztikai próbák I. Statisztikai próbák II. Informatikai Tudományok Doktori Iskola
|
|
|
- Gábor Kozma
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Hpotézselmélet Iformatka Tudomáyok Doktor Iskola Statsztka próbák I Dr Ketskeméty László előadása Statsztka próbák II. Dötés eljárást dolgozuk k aak eldötésére, hogy a ullhpotézs gaz-e. Ha úgy kell döteük, hogy a ullhpotézs em gaz, automatkusa az alteratív hpotézst fogjuk elfogad. A dötésükhöz szgfkaca sztet foguk redel, amvel jellemezzük, hogy a ullhpotézsük mellett dötés mlye erős Dr Ketskeméty László előadása 3
2 Statsztka próbák III. Paraméteres esetbe: Dr Ketskeméty László előadása 4 Statsztka próbák IV Dr Ketskeméty László előadása 5 Statsztka próbák V. Elfogadás tartomáy: Krtkus tartomáy: Dötés: Dr Ketskeméty László előadása 6
3 Statsztka hba Valóság H 0 IGAZ Dötés H IGAZ H 0 -at Elfogad - juk HELYES DÖNTÉS MÁSODFAJÚ HIBA H -et Fogadjuk el ELSŐFAJÚ HIBA HELYES DÖNTÉS Dr Ketskeméty László előadása 7 Statsztka próbák VI. Elsőfajú hbavalószíűség: Másodfajú hbavalószíűség: Akkor követjük el, ha gaz a ullhpotézs, Akkor követjük el, ha elfogadjuk de a mtrealzácó mégs a krtkus a ullhpotézst, holott valójába tartomáyba esk, és a dötésük em gaz. Értéke ehezebbe elutasító! Az elsőfajú hbavalószíűség, állapítható meg. amt m állítuk be! Dr Ketskeméty László előadása 8 A statsztka hbavalószíűségek szemléltetése Eloszlás a ullhpotézs mellett A valód eloszlás p Az első fajú hbava-, lószíűség. Általába 5-0%-ra választjuk (m 0 ) (m) Másodfajú hbavalószíűség Dr Ketskeméty László előadása 9 3
4 A statsztka hbavalószíűségek szemléltetése Eloszlás a ullhpotézs A valód eloszlás mellett p Az elsőfajú hbavalószíűség (ksebbre választva) (m 0 ) (m) A másodfajú hbavalószíűség (ő) Dr Ketskeméty László előadása 0 A statsztka hbavalószíűségek szemléltetése Az eloszlás a ullhpotézs mellett A valód eloszlás p Az elsőfajú hbavalószíűség (még ksebbre választva) (m 0 ) (m) A másodfajú hbavalószíűség (tovább ő) Dr Ketskeméty László előadása A statsztka hbavalószíűségek szemléltetése A helyzet javul, ha a mtaelemszámot öveljük, hsze a két sűrűségfüggvéy szórása ksebb lesz, azaz távolodak egymástól! Dr Ketskeméty László előadása 4
5 A statsztka hbavalószíűségek szemléltetése Az eloszlás a ullhpotézs mellett (még agyobb mta alapjá) A valód eloszlás (még agyobb mta alapjá) p Az elsőfajú hbavalószíűség (m 0 ) (m) A másodfajú hbavalószíűség Dr Ketskeméty László előadása 3 A statsztka hbavalószíűségek szemléltetése Az eloszlás a ullhpotézs mellett (még az előzőél s agyobb mta alapjá) p A valód eloszlás (még az előzőél s agyobb mta alapjá) Az elsőfajú hbavalószíűség (m 0 ) (m) A másodfajú hbavalószíűség Dr Ketskeméty László előadása 4 Statsztka próbák VII. A próba erőfüggvéye A próba ereje A próba torzítatlasága (Ha a ullhpotézs em áll fe, akkor agyobb valószíűséggel utasítjuk el, mt amkor feáll!) Dr Ketskeméty László előadása 5 5
6 Statsztka próbák VIII. A próba kozsztecája Az egyeletese legjobb próba Dr Ketskeméty László előadása 6 Neyma-Pearso fudametáls lemma Feltételek: Dr Ketskeméty László előadása 7 Neyma-Pearso fudametáls lemma Állítás: A tétel arról szól, hogya lehet adott mtaelemszámú mta eseté rögzített elsőfajú hbavalószíűséghez a lehető legksebb másodfajú hbavalószíűségű próbát megkostruál Dr Ketskeméty László előadása 8 6
7 Bzoyítás: Neyma-Pearso fudametáls lemma Dr Ketskeméty László előadása 9 Bzoyítás: Neyma-Pearso fudametáls lemma Dr Ketskeméty László előadása 0 Bzoyítás: Neyma-Pearso fudametáls lemma Dr Ketskeméty László előadása 7
8 Bzoyítás: Neyma-Pearso fudametáls lemma Dr Ketskeméty László előadása Ste-lemma Dr Ketskeméty László előadása 3 Bzoyítás: Ste-lemma Dr Ketskeméty László előadása 4 8
9 Bzoyítás: Ste-lemma Dr Ketskeméty László előadása 5 Bzoyítás: Ste-lemma Dr Ketskeméty László előadása 6 Bzoyítás: Ste-lemma Dr Ketskeméty László előadása 7 9
10 Paraméteres próbák egymtás u-próba kétmtás u-próba egymtás t-próba kétmtás t- próba függetle mtás összetartozó mtás Welch-próba egyszerű csoportosítás (oe-way ANOVA) F-próba Bartlett-teszt A próbákba az a közös, hogy az elemzett mta eloszlása ormálst követ. A ullhpotézst éppe a ormáls eloszlás paraméterevel kapcsolatosa fogalmazzuk meg. Várható érték a paraméter A szórás a paraméter Dr Ketskeméty László előadása 8 DÖNTÉS: H 0 Egymtás u-próba Feltétel: a ormáls eloszlású mtáak smerjük a szórását. P H : A mta várhatóértéke m m 0 0 upróba N 0 P( N(0,) u ) u krt próba u krt 0 (0,) N (0,) u P u N (0,) u ( ukrt ) ( ukrt ) ( ukrt ) krt krt H 0 krt ( u krt ) Dr Ketskeméty László előadása 9 Egymtás u-próba Az elsőfajú hba valószíűsége: Az elsőfajú hbavalószíűség éppe az szgfkaca-szt! Dr Ketskeméty László előadása 30 0
11 Egymtás u-próba A másodfajú hbavalószíűség: Ugyas most: Dr Ketskeméty László előadása 3 Az u-próba erőfüggvéye: Egymtás u-próba Az u-próba tulajdosága: a próba torzítatla és kozsztes! Ráadásul egyeletese legjobb próba s! Dr Ketskeméty László előadása 3 Bzoyítás: A kozszteca bzoyítása. Egymtás u-próba Dr Ketskeméty László előadása 33
12 A torzítatlaság bzoyítása. Egymtás u-próba Dr Ketskeméty László előadása 34 A torzítatlaság bzoyítása. Egymtás u-próba Dr Ketskeméty László előadása 35 Egymtás u-próba Megjegyzés: A gyakorlatba akkor s alkalmazzák az u- próbát, amkor a mta em ormáls eloszlású, de a mtaelemszám agy. Az alkalmazás jogosságát a cetráls határeloszlás-tétellel lehet dokol. Ugyas a próbastatsztka ormáls eloszlású lesz aszmptotkusa, mvel a CHT szert a mtaátlag már közel ormáls eloszlású! Dr Ketskeméty László előadása 36
13 A kétmtás u-próba Adottak az X, X,..., X és az Y, Y,..., Ym egymástól függetle statsztka mták. A mták függetle ormáls eloszlásúak, a szórásak smertek. H 0:, H:. X N(, ), Y m N(, ) m X Y N (, m ) m Dr Ketskeméty László előadása 37 A kétmtás u-próba Ha feltesszük, hogy a ull-hpotézs gaz, akkor X Ym N(0, ). X Ym N (0, ) m m DÖNTÉS: X Ym m u H 0 -t elfogadjuk Dr Ketskeméty László előadása 38 H t Egymtás t-próba H : A mta várható értéke m 0 m t 0 0 próba * s P krt DÖNTÉS: ( t t ) t próba t krt 0 H Dr Ketskeméty László előadása 39 3
14 Kétmtás t-próba (függetle mták) : A mták várható értéke egyelőek H 0 A mták szórása egyelőekek tektedők. Külöbe em alkalmazható a próba. Eek ym m m H 0 t elleőrzése próba F-próbával. t m * * s m s t, P krt próba t y, m ( t m t ) DÖNTÉS: krt H 0 m Dr Ketskeméty László előadása 40 Kétmtás t-próba (összetartozó mták) X, Y, X, Y,..., X, Y X N,, Y N, H 0 H DÖNTÉS: : A mták várható értéke egyelőek y 0 t próba t * * s, s y, P( t tkrt ) t próba t statsztka mta krt H Dr Ketskeméty László előadása 4 A Welch-próba I. Ha az F-próbát el kell vetük, em alkalmazható a két függetle mtás t-próba a két mta várható értéke egyezéséek elleőrzésére. Erre az esetre dolgozta k Welch a most smertetedő robusztus próbát: X,X,,X N( X, X ) és Y,Y, Y m N( Y, Y ) egymástól függetle ormáls eloszlású statsztka mták, X és Y em smert. H : X Y, H:. 0 X Y Dr Ketskeméty László előadása 4 4
15 Dr Ketskeméty László előadása 43 A Welch-próba II. Megmutatható, hogy a ullhpotézs feállása eseté a m s s Y X W m y m m,,, próbastatsztka közelítőleg Studet-eloszlású [f] (egészrész f) szabadságfokkal, ahol s m s m s c c m c f m y m y,,,, ) ( Dr Ketskeméty László előadása 44 F-próba X,X,,X N( X, X ) és Y,Y, Y m N( Y, Y ) egymástól függetle ormáls eloszlású statsztka mták, X és Y em smert.. :, : 0 Y X Y X H H Ha feltesszük, hogy a ull-hpotézs gaz, akkor gaz lesz, hogy,, *, * m m y F s s Dr Ketskeméty László előadása 45 Bartlett-próba Adott p ormáls eloszlású mta, amk függetleek egymástól. Az a ulhpotézsük, hogy a mták szórása em külöbözek egymástól: A szórások külöbözők : : 0 H p H A próbastatsztka most: p s f z f c B log log.306 ahol f p f f f p f p c 3 p s f f z Megmutatható, hogy ha H 0 feáll, akkor B eloszlása p- szabadságfokú - eloszlást (Chégyzet) követ.
16 Egyszeres osztályozás (Oe-way ANOVA) Az HA 0 egyes mtarealzácót : A változók csoportok várható várható egy tördelő értéke értéke változó azoosak külöbségére értéke szert kofdeca tervallum kettőél több szerkeszthető. csoportra osztjuk. A külöbség A módszer valód a értéke függetle a beállított Hmtás : Va t-próba valószíűséggel két olya kterjesztése változó, ebbe melyek kettőél az tervallumba várható agyobb értéke esetre. esk. külöbözek A próbastatsztka Fsher-féle F-próba eloszlása a ullhpotézs feállása H eseté 0 : A változók F-eloszlású. varacá egyelőek A Bartlett-Bo-próba próbastatsztka eloszlása a ullhpotézs feállása Heseté 0 : A kettőél F-eloszlású. több Az változó F-próba varacá kterjesztése. egyelőek Levee-próba Ez em paraméteres próba! Ncs előzetes feltevés a Hváltozók 0 : A kettőél ormaltására több változó voatkozóa! varacá egyelőek Dr Ketskeméty László előadása 46 Csoportátlagok: t v ( v ) ( j v ) ( t ) ( j t ) t j v j m ( m ) ( j m ) m j v m ( t ) ( v ) j j ( j m ) t Q total j j j Q k t Egyszeres osztályozás Négyzetösszegek: ( t) v m ( ) v ( ) m Q t t t v v v m m m b ( ( ) ( ) j ) ( ( ) j ( ) ) ( ( ) j ( ) ) j j j Dr Ketskeméty László előadása 47 Egyszeres osztályozás Q total Q k Q b H0 H Q k 3 Q b 3 F-eloszlású (, -3) ( m) ( t) Q b m t t 3 m v Studet (-3) Dr Ketskeméty László előadása 48 6
17 Nemparaméteres próbák Ha az alapsokaság (a statsztka mta) eloszlását em tektjük eleve smertek, akkor emparaméteres próbákról beszélük. Ilyekor tehát az előzetes feltevések agyo általáosak, de természetesek; pl. feltesszük, hogy a mta eloszlása folytoos, vagy feltesszük, hogy a szórás véges, stb. Mvel kevesebb feltételt követelük meg kduláskor (a pror feltevések), a következtetések levoásához agyobb elemszámú mtákra lesz szükségük, mt a paraméteres próbák eseté. A próbastatsztkák eloszlását csak aszmptotkusa smerjük Dr Ketskeméty László előadása 49 Nemparaméteres próbák területe ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT H 0 : Az elemzett változó eloszlása megegyezk a hpotetkussal -próba, egymtás Kolmogorov-Szmrov, P-P grafko FÜGGETLENSÉVIZSGÁLAT H 0 : Az elemzett változók függetleek -próba, omáls változókra, ordáls változókra HOMOGENITÁSVIZSGÁLAT H 0 : Az elemzett változók eloszlása azoos -próba, kétmtás Kolmogorov-Szmrov, Wlcoo, McNemar, Kruskal-Walls, Fredma Dr Ketskeméty László előadása 50 Nemparaméteres próbák -próbák Kolmogorov-Szmrov próbák Ma.Whtey-próba Kruskal-Walls próba Wlcoo próba Fredma próba Levee-próba Dr Ketskeméty László előadása 5 7
18 -próbák Eze a tulajdoságo alapulak a -égyzet próbák! Dr Ketskeméty László előadása 5 -próbák: tszta lleszkedés vzsgálat X X,...,, F 0 ( ) X statsztka mta a mta hpotetkus eloszlásfüggvéye Elleőrz akarjuk azt a feltevést, hogy a mta elmélet eloszlásfüggvéye éppe ez a függvéy: H : P( X t) F0 ( ) H P( X t) F ( ) 0 t : 0 t Dr Ketskeméty László előadása 53 -próbák: tszta lleszkedés vzsgálat Adjuk meg a mta értékkészletéek egy tetszőleges r dszjukt tervallumból álló felosztását: I k a a a r * * * * a a, ( k,,..., r), a a k, k 0, r Ha a ullhpotézs gaz, akkor, p k P( X I k ) F0 ( ak ) F0 ( ak ) Dr Ketskeméty László előadása 54 8
19 -próbák: tszta lleszkedés vzsgálat A k X ( ) I ( k,,..., r) k az Ak k teljes eseméyredszer eseméy bekövetkezéseek a gyakorsága T,..., ~ Pol, p, p,..., p, r Tehát, ha a ullhpotézs gaz: r k pk T ( X, X,..., X ) r ( ). p k k r Dr Ketskeméty László előadása 55 -próbák: tszta lleszkedés vzsgálat K a krtkus érték: P( r K ) Dötés: a ullhpotézst akkor fogadjuk el az szgfkaca-szete, ha T K Az elsőfajú hbavalószíűség most csak aszmptotkusa lesz Dr Ketskeméty László előadása 56 -próbák: becsléses lleszkedés vzsgálat X,...,, X X statsztka mta F () a mta hpotetkus eloszlásfüggvéye Az eloszlásfüggvéy most k db paramétertől függ, amek értékét em smerjük! Elleőrz akarjuk azt a feltevést, hogy a mta elmélet eloszlásfüggvéye éppe ez a függvéy: H0: P( X t) F t H : 0 P ( X t) F t Dr Ketskeméty László előadása 57 9
20 -próbák: becsléses lleszkedés vzsgálat Első lépésbe tektjük a k db paraméter kozsztes becsléset a mtából: ~ T,,...,,,,..., k Másodk lépésbe az eloszlásfüggvéy képletébe behelyettesítjük a becsléseket: F0 ( t) F~ ( t) Harmadk lépésbe végrehajtuk egy tszta lleszkedésvzsgálat tesztet a mtá, azzal a külöbséggel, hogy a szabadág fokot csökketjük a paraméterek számával: r --k Dr Ketskeméty László előadása 58 -próbák: függetleségvzsgálat Dr Ketskeméty László előadása 59 -próbák: függetleségvzsgálat Dr Ketskeméty László előadása 60 0
21 -próbák: függetleségvzsgálat Ha a ullhpotézs gaz, a próbastatsztka eloszlása Dr Ketskeméty László előadása 6 -próbák: homogetásvzsgálat Ha a ullhpotézs gaz, azaz a két mtáak ugyaaz az eloszlásfüggvéye: Dr Ketskeméty László előadása 6 Egymtás Kolmogorov-Szmrov próba H 0 : A mta eloszlásfüggvéye F( ) Most s lleszkedésvzsgálatról va szó! t próba sup F IR emp ( ) F( ) F emp k ( ) ahol * * k ; vagy k k # Ha a ullhpotézs gaz, a próbastatsztka aszmptotkusa Kolmogorov-eloszlást DÖNTÉS t követ. próba t A krtkus krt H értéket ez alapjá 0 az eloszlás alapjá határozzuk meg a szgfkaca szthez Dr Ketskeméty László előadása 63
22 Egymtás Kolmogorov-Szmrov próba Az emprkus eloszlásfüggvéy és az elmélet eloszlásfüggvéy átfedése 00 elemű mta eseté: Dr Ketskeméty László előadása 64 A Kolmogorov eloszlás Dr Ketskeméty László előadása 65 Kétmtás Kolmogorov-Szmrov próba H 0 t : Most A mták homogetásvzsgálatról eloszlásfüggvéye va szó! azoos m sup F t t ( ) G H DÖNTÉS próba krt 0 ( ) Ha próba a ullhpotézs gaz, a próbastatsztka emp most emp s aszmptotkusa Kolmogorov-eloszlást IR követ. A krtkus értéket ez alapjá az eloszlás alapjá határozzuk meg a szgfkaca szthez Dr Ketskeméty László előadása 66
23 Két függetle mta homogetásáak vzsgálata Ma-Whtey próbával Egy X mta adatat két részre osztjuk egy Y csoportképző változó segítségével. Megvzsgáljuk, hogy a két mta azoos eloszlásfüggvéyhez tartozk-e. Pl. azoos eloszlást követ-e a GDP eloszlása a lat-amerka és a kelet-európa országok esetébe? Dr Ketskeméty László előadása 67 Két függetle mta homogetásáak vzsgálata Ma-Whtey próbával Tektsük az,,..., és y, y,..., y m mtákat! Legye N=+m. A két mta "összefésüléséből" képezzük a redezett mtát! z * * * z z N R r, R y N r a két mtához tartozó ragszámösszegek Dr Ketskeméty László előadása 68 Két függetle mta homogetásáak vzsgálata Ma-Whtey próbával Abba az esetbe, ha, m elég agy, az R X eloszlása aszmptotkusa ormáls lesz ( N ) paraméterekkel, így és R m( N ) stadard ormáls eloszlású! Ks mták eseté a Ma-Whtey táblázatot haszáljuk Dr Ketskeméty László előadása 69 3
24 Több függetle mta együttes homogetásvzsgálata Kruskal-Walls próbával Elleőrz szereték azt a ullhpotézst, hogy p függetle mta ugyaabból az eloszlásból származk-e, vagys a mtákak közös-e az eloszlásfüggvéyük. Pl. A gépkocsk fogyasztása azoos eloszlást követ-e a gyártás hely szert? A dolgozó fzetések azoosak-e a mukabeosztásokba? a gdp eloszlása azoos-e az egyes földrészeke? Dr Ketskeméty László előadása 70 Több függetle mta együttes homogetásvzsgálata Kruskal-Walls próbával A p függetle mtát egy Y tördelő változó segítségével fogjuk előállíta. Az egyes mtákhoz az X változó azo esete tartozak majd, amelykél az Y azoos értéket vesz fel Dr Ketskeméty László előadása 7 Több függetle mta együttes homogetásvzsgálata Kruskal-Walls próbával Egy X változó esetet egy Y tördelő változó segítségével p részre csoportosítuk. X folytoos változó Y dszkrét (kategóra) változó, csoportképző változó () () (,,..., ) () () (,,..., ) ( p) ( p) ( p),,..., p,,, a p rész-mta N az adatmátr összes esetszáma N p Dr Ketskeméty László előadása 7 4
25 Több függetle mta együttes homogetásvzsgálata Kruskal-Walls próbával z * * * z z N jelöl az X mta redezett realzáltját r,,..., r r r az első például azt adja meg, hogy az mta ragszáma első mta első eleme a teljes redezett mtába a háyadk r, r,..., r helye áll! a másodk mta ragszáma r, r,..., N N r N p p a p-edk mta ragszáma R r r r, R r r r,, R p r r N p N a megfelelő ragszámösszegek Dr Ketskeméty László előadása 73 Több függetle mta együttes homogetásvzsgálata Kruskal-Walls próbával Megmutatható, hogy a mták homogetásáak feltételezése mellett a p H N( N ) j R j j 3( N ) redstatsztka aszmptotkusa p - szabadságfokú -eloszlást követ Dr Ketskeméty László előadása 74 Két összetartozó mta homogetásáak elleőrzése Wlcoo próbával Nullhpotézs: az adatmátr X és Y változója azoos eloszlásfüggvéyhez tartozk-e?, y,, y,...,, y az X,Y változópár adatsora d y, d y,..., d y a dfferecák sora d s sg d, s sg d,..., s sg d d az előjelek sora a d, a d,..., a d az abszolút eltérések sora Dr Ketskeméty László előadása 75 5
26 Két összetartozó mta homogetásáak elleőrzése Wlcoo próbával (0 ) a * a * a * az abszolút eltérések redezett mtája r, r,..., r az a, a,..., a abszolút eltérések ragszáma R r s 0 R r s 0 a poztív dfferecák ragszám-összege a egatív dfferecák ragszám-összege R R R r Dr Ketskeméty László előadása 76 Két összetartozó mta homogetásáak elleőrzése Wlcoo próbával Ezutá a Wlcoo-táblázatból adott >0 elsőfajú hba megválasztás utá kolvassuk a megfelelő krtkus értékeket, és a ullhpotézst akkor fogadjuk el, ha R + a két krtkus érték közé esk. Pl. =0,0 eseté =6-hoz a <R+ <0 relácóak kell feálla Dr Ketskeméty László előadása 77 Két összetartozó mta homogetásáak elleőrzése Wlcoo próbával Ha az mta elemszám agy (több mt 5), akkor megmutatható, hogy R + közel ormáls eloszlású lesz ( ) ( )( ) ER, és 4 σ R 4 paraméterekkel. R Ilyekor a ullhpotézs eldötéséhez az u relácó teljesülését kell elleőrz, ahol u Dr Ketskeméty László előadása 78 6
27 Több összetartozó mta homogetásáak elleőrzése Fredma próbával Összese p változó azoos eloszláshoz tartozását elleőrzzük. () () X () () () () ( p) ( p) ( p) az adatmátr Pl. a külöböző dőpotokba vett súlyok azoos eloszlásúak-e Dr Ketskeméty László előadása 79 Több összetartozó mta homogetásáak elleőrzése Fredma próbával Készítsük el az adatmátr mde soráak ragszámat: () r () r () r () r () r () r ( p) r ( p) r ( p) r () r p azt a ragszámot jelet, hogy () háyadk legksebb elem az adatmátr első sorába Dr Ketskeméty László előadása 80 Több összetartozó mta homogetásáak elleőrzése Fredma próbával () () R r, j j () () R r,..., j j ( p) ( p) R r j j az egyes oszlopokhoz tartozó ragszám-összegek. Ha a homogetás feltétele (a ullhpotézs) gaz, p ( j) F R 3( p ) p( p ) j ragstatsztka aszmptotkusa p- szabadságfokú -eloszlást követ Dr Ketskeméty László előadása 8 7
28 Több összetartozó mta homogetásáak elleőrzése Fredma próbával Ha az mta elemszám kcs, akkor a Fredma-táblázatot haszáljuk. Abba az esetbe, ha a homogetást el kellett vet, akkor az összes (,j) párokra voatkozó kétdmezós mtáko egyekét elleőrzzük a homogetás feállását, pl. Wlcoo próbával Dr Ketskeméty László előadása 8 Szekvecáls próbák Felmerül a kérdés, hogy em lehete olya próbát szerkeszte, am az első és másodk hbavalószíűség összegét mmalzálja? Wald Ábrahám (90-950) olya szekvecáls eljárást dolgozott k, amely adott hbavalószíűségek mellett mmalzálja a szükséges mtaelemek várható számát Eek a módszerek akkor va agy jeletősége, amkor a mtavétel költséges, mert a vzsgált termék rocsolásával jár. Ilye pl. a lőszervzsgálat, zzó élettartam-vzsgálat, élelmszer összetétel-elemzés, stb Dr Ketskeméty László előadása 83 Szekvecáls próbák Két paraméter közül szereték választa: 0, Jelölje a két paraméterhez tartozó sűrűségfüggvéyeket: f 0 ( ), f ( ) A felállított hpotézs a valód paraméterre voatkozk: H : 0 0, H : Dr Ketskeméty László előadása 84 8
29 Szekvecáls próbák Legye X, X,..., X,... egy végtele hosszú statsztka mta. f V f 0 ( X ),,,... ( X ) Eek alapjá szekvecáls dötésük (=,, ) a következő:. Ha V A. Ha V B 3. Ha A V B akkor elfogadjuk a ullhpotézst és megálluk; akkor elfogadjuk az alteratívhpotézst és megálluk; akkor tovább mtát veszük. A, B Dr Ketskeméty László előadása 85 Wald-Wolforwtz tétel Az összes olya (szekvecáls és em szekvecáls) dötés eljárás közül, amelyek első- és másodfajú hbavalószíűsége em agyobbak mt lletve és a szükséges N (véletle) mtaelemszám várható értéke mdkét hpotézs feállása eseté véges, a fet eljárás mmalzálja E t Dr Ketskeméty László előadása 86 Példa -próbával lleszkedésvzsgálatra A World 95 állomáyba elleőrzzük, hogy az országok egyeletese vaak-e szétosztva az egyes gazdaság régókba! Dr Ketskeméty László előadása 87 9
30 Példa -próbával lleszkedésvzsgálatra Dr Ketskeméty László előadása 88 Példa -próbával lleszkedésvzsgálatra Az országok eloszlása a régókba egyeletesek tekthető! Dr Ketskeméty László előadása 89 Példa -próbával függetleségvzsgálatra Függetle-e a kor a fogyasztás meységétől? Dr Ketskeméty László előadása 90 30
31 Példa -próbával függetleségvzsgálatra Dr Ketskeméty László előadása 9 Példa -próbával függetleségvzsgálatra Dr Ketskeméty László előadása 9 Példa -próbával függetleségvzsgálatra Dr Ketskeméty László előadása 93 3
32 Példa -próbával függetleségvzsgálatra A jeletős szgfkaca-szt arra utal, hogy a függetleséget feltételező ullhpotézs gaz! A páces korától em függ a fogyás meysége! Dr Ketskeméty László előadása 94 Példa -próbával függetleségvzsgálatra Függetle-e a vérzsírcsökkeés (trglcerd) a fogyasztás meységétől? Dr Ketskeméty László előadása 95 Példa -próbával függetleségvzsgálatra A jeletős szgfkaca-szt arra utal, hogy a függetleséget feltételező ullhpotézs gaz! A vérzsírtartalom em függ a fogyás meységétől! Dr Ketskeméty László előadása 96 3
33 Példa egymtás Kolmogorov-Szmrov próbára Normáls eloszlást követ-e a fogyás? Dr Ketskeméty László előadása 97 Példa egymtás Kolmogorov-Szmrov próbára Dr Ketskeméty László előadása 98 Példa egymtás Kolmogorov-Szmrov próbára Jeletős agyságú a szgfkaca szt, el kell hogy fogadjuk a ullhpotézst! A fogyás jól lleszkedk a ormáls eloszláshoz! Dr Ketskeméty László előadása 99 33
34 Példa kétmtás Kolmogorov-Szmrov próbára Elleőrzzük, hogy a kezdet súly azoos eloszlású-e a végsúllyal! Dr Ketskeméty László előadása 00 Példa kétmtás Kolmogorov-Szmrov próbára Dr Ketskeméty László előadása 0 Példa kétmtás Kolmogorov-Szmrov próbára A súlyeloszlások homogetása feáll! Dr Ketskeméty László előadása 0 34
35 Példa Ma-Whtey próbára Azoos eloszlást követ-e a GDP eloszlása a latamerka és a kelet-európa országok esetébe? A world 95 adatmátrba most X a gdp_cap, az Y csoportképző változó pedg a rego Dr Ketskeméty László előadása 03 Példa Ma-Whtey próbára Dr Ketskeméty László előadása 04 Példa Ma-Whtey próbára Kelet-Európába magasabbak a GDP értékek! A próba em fogadható el! Dr Ketskeméty László előadása 05 35
36 Példa Kruskal-Walls próba alkalmazására Elleőrzzük, hogy a world 95 állomáyba a férfak és a ők várható élettartama azoos eloszlást követek-e a külöböző éghajlat vszoyok között! A lfeepm, lfeepf változók vaak az X szerepébe, A clmate változó lesz az Y tördelő változó. Az uralkodó klma szert fogjuk csoportosíta a lfeepm és lfeepf értéket! Dr Ketskeméty László előadása 06 Példa Kruskal-Walls próba alkalmazására X Y Dr Ketskeméty László előadása Dr Ketskeméty László előadása 08 36
37 Példa Kruskal-Walls próba alkalmazására Alacsoyak a szgfkaca sztek, azaz az életkorok máskét alakulak más klmatkus régókba! Dr Ketskeméty László előadása 09 Példa a Wlcoo próba alkalmazására Elleőrzzük, hogy a detstudy állomáyba a kezdetsúly és végsúly azoos eloszlást követek-e! A vzsgált összetartozó változók Dr Ketskeméty László előadása 0 Példa a Wlcoo próba alkalmazására Dr Ketskeméty László előadása 37
38 Példa a Wlcoo próba alkalmazására Mdegyk dffereca egatív volt, vagys md a 6 páces fogyott! Természetese a szgfkaca szt eek megfelelőe 0! Dr Ketskeméty László előadása Példa a Fredma próba alkalmazására Elleőrzzük, hogy a detstudy állomáyba a külöböző dőpotokba mért testsúlyok azoos eloszlást követek-e! Dr Ketskeméty László előadása 3 Példa a Fredma próba alkalmazására Dr Ketskeméty László előadása 4 38
39 Példa a Fredma próba alkalmazására a súlyok ragszáma csökkeő tredet mutatak A ullhpotézst elutasítjuk Dr Ketskeméty László előadása 5 Párokét Wlcoo-próbák Az összes párosítást beállítjuk! Dr Ketskeméty László előadása 6 Egyk párál sem fogadható el a homogetás! Dr Ketskeméty László előadása 7 39
40 A fotosabb emparaméteres próbák áttektő táblázata Dr Ketskeméty László előadása 8 A fotosabb emparaméteres próbák áttektő táblázata Dr Ketskeméty László előadása 9 A fotosabb emparaméteres próbák áttektő táblázata Dr Ketskeméty László előadása 0 40
Matematikai statisztika
Matematka statsztka 8. elıadás http://www.math.elte.hu/~arato/matstat0.htm Kétmtás eset: függetle mták + + + = + ) ( ) ( ) ( Y Y X X Y X m m m t m Ha smert a szórás: (X elemő, σ szórású, Y m elemő, σ szórású),
Megállapítható változók elemzése Függetlenségvizsgálat, illeszkedésvizsgálat, homogenitásvizsgálat
Megállapítható változók elemzése Függetleségvzsgálat, lleszkedésvzsgálat, homogetásvzsgálat Ordáls, omáls esetre s alkalmazhatóak a következő χ próbá alapuló vzsgálatok: 1) Függetleségvzsgálat: két valószíűség
? közgazdasági statisztika
Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem
? közgazdasági statisztika
... Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB
ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!
ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet
Bevezetés a hipotézis vizsgálatba. Hipotézisvizsgálatok. Próbák leírása. Kétoldali és egyoldali hipotézisek. Illeszkedésvizsgálatok
Bevezetés a hpotézs vzsgálatba Lásd előadás ayagát. Kétoldal és egyoldal hpotézsek Hpotézsvzsgálatok Ebbe a ejezetbe egyajta határozókulcsot szereték ad a hpotézsvzsgálatba haszált próbákhoz. Először dötsük
Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum)
Az átlagra voatkozó megbízhatósági itervallum (kofidecia itervallum) Határozzuk meg körül azt az itervallumot amibe előre meghatározott valószíűséggel esik a várható érték (µ). A várható értéket potosa
Változók függőségi viszonyainak vizsgálata
Változók függőség vszoyaak vzsgálata Ismétlés: változók, mérés skálák típusa kategoráls változók Asszocácós kapcsolat számszerű változók Korrelácós kapcsolat testsúly (kg) szemüveges em ő 1 3 férf 5 3
Matematikai statisztika elıadás III. éves elemzı szakosoknak. Zempléni András 9. elıadásból (részlet)
Matematka statsztka elıadás III. éves elemzı szakosokak Zemplé Adrás 9. elıadásból részlet Y közelítése függvéyével Gyakor eset, hogy em smerjük a számukra érdekes meység Y potos értékét pl. holap részvéy-árfolyam,
Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága
Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba
Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet
Függetleségvizsgálat Virág Katali Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Függetleség Függetleség Két változó függetle, ha az egyik változó megfigyelése a másik változóra ézve em szolgáltat iformációt; azaz
Statisztikai próbák. Ugyanazon problémára sokszor megvan mindkét eljárás.
Statsztka próbák Paraméteres. A populácó paraméteret becsüljük, ezekkel számolunk.. Az alapsokaság eloszlására van kkötés. Nem paraméteres Nncs lyen becslés Nncs kkötés Ugyanazon problémára sokszor megvan
Ha n darab standard normális eloszlású változót négyzetesen összegzünk, akkor kapjuk a χ 2 - eloszlást: N
Krály Zoltá: Statsztka II. Bevezetés A paraméteres eljárások alkalmazásához, a célváltozóra ézve szgorú feltételek szükségesek (folytoosság, ormaltás, szóráshomogetás), ekkor a hpotézseket egy-egy paraméterre
Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2.
Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Statisztika Hipotézisvizsgálat Székely Balázs 2010. december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Előadás vázlat 1 Itervallumbecslések
ÖKONOMETRIA. Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó. Szakmai felelős: Elek Péter június
ÖKONOMETIA Készült a TÁMOP-4.1.-08//A/KM-009-0041pályázat projet eretébe Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudomáy Taszéé az ELTE Közgazdaságtudomáy Taszé az MTA Közgazdaságtudomáy Itézet és a
biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat
Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke
Hipotézis vizsgálatok. Egy példa. Hipotézisek. A megfigyelt változó eloszlása Kérdés: Hatásos a lázcsillapító gyógyszer?
01.09.18. Hpotézs vzsgálatok Egy példa Kérdések (példa) Hogyan adhatunk választ? Kérdés: Hatásos a lázcsllapító gyógyszer? Hatásos-e a gyógyszer?? rodalomból kísérletekből Hpotézsek A megfgyelt változó
Intelligens adatelemzés ea. vázlat 1. rész
Itellges adatelemzés ea. vázlat. rész A tematka.ea. a tárgy tematkájáak áttektése. Egy mtaélda M-S adatok elemzése (A)..ea. HF-ok jellegéek megbeszélése, a HF témák választásához szemotok 3.ea. Statsztka
A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai
05..04. szórások vizsgálata z F-próba Hogya foguk hozzá? Nullhipotézis: a két szórás azoos, az eltérés véletle (mitavétel). ullhipotézishez tartozik egy ú. F-eloszlás. Szabadsági fokok: számláló: - evező:
Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o)
Ismérvek között kapcsolatok szorosságáak vzsgálata 1. Egy ks smétlés: mérés skálák (Huyad-Vta: Statsztka I. 5-6. o) A külöböző smérveket, eltérő mérés sztekkel (skálákkal) ellemezhetük. a. évleges (omáls)
Statisztika II. előadás és gyakorlat 2. rész
előadás és gyakorlat. rész T.Nagy Judt Ajálott rodalom: Ilyésé Molár Emese Lovasé Avató Judt: Feladatgyűjteméy, Perekt, 006. Korpás Attláé (szerk.): Általáos, Nemzet Taköyvkadó, 1997. Molár Mátéé Tóth
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 10. A statisztika alapjai Debrecei Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csaád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Statisztikai függvéyek Defiíció, empirikus várható érték Empirikus
A biostatisztika alapfogalmai, konfidenciaintervallum. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet
A biostatisztika alapfogalmai, kofideciaitervallum Dr. Boda Krisztia PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Iformatikai Itézet Mitavétel ormális eloszlásból http://www.ruf.rice.edu/~lae/stat_sim/idex.html
Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 18.
Statisztika. zárthelyi dolgozat 009. március 8.. Ismeretle m várható értékű, szórású ormális eloszlásból a következő hatelemű mitát kaptuk:, 48 3, 3, 83 0,, 3, 97 a) Számítsuk ki a mitaközepet és a tapasztalati
s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés
A m és az átlag Standard hba Mnta átlag 1 170 Az átlagok szntén ngadoznak a m körül. s x s n Az átlagok átlagos eltérése a m- től! 168 A m konfdenca ntervalluma. 3 166 4 173 x s x ~ 68% ~68% annak a valószínűsége,
A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI
A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI Az Eötvös Lórád Tudomáyegyetem Természettudomáy Kará a Fzka Kéma Taszék évek óta kéma-szakos taárhallgatókak matematka bevezetõ elõadásokat tart. Az elõadások célja az,
Variancia-analízis (ANOVA) Mekkora a tévedés esélye? A tévedés esélye Miért nem csinálunk kétmintás t-próbákat?
Varanca-analízs (NOV Mért nem csnálunk kétmntás t-próbákat? B Van különbség a csoportok között? Nncs, az eltérés csak véletlen! Ez a nullhpotézs. és B nncs különbség Legyen, B és C 3 csoport! B és C nncs
Statisztika. Eloszlásjellemzők
Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az
Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése
3 4 Tartalomegyzék. BEVEZETÉS 5. A MÉRÉS 8. A mérés mt folyamat, fogalmak 8. Fotosabb mérés- és műszertechka fogalmak 4.3 Mérés hbák 8.3. Mérés hbák csoportosítása eredetük szert 8.3. A hbák megeleítés
) ( s 2 2. ^t = (n x 1)s n (s x+s y ) x +(n y 1)s y n x+n y. +n y 2 n x. n y df = n x + n y 2. n x. s x. + s 2. df = d kritikus.
Kétmtás t-próba ^t ȳ ( s +( s + + df + vag ha, aor ^t ȳ (s +s Welch-próba ^d ȳ s + s ( s + s df ( s ( s + d rtus t s (α, +t s (α, s + s Kofdecatervallum ét mta átlagáa ülöbségére SE s ( + s ( ±t (α,df
Tulajdonságok. Teljes eseményrendszer. Valószínőségi változók függetlensége. Példák, szimulációk
Valószíőségszámítás és statsztka elıadás fo. BSC/B-C szakosokak 3. elıadás Szeptember 26 p 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 A bomáls és a hpergeom. elo. összehasolítása 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k Hp.geom
Hipotéziselmélet - paraméteres próbák. eloszlások. Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc szeptember 10. 1/58
u- t- Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc 2. előadás 2018. szeptember 10. 1/58 u- t- 2/58 eloszlás eloszlás m várható értékkel, σ szórással N(m, σ) Sűrűségfüggvénye: f (x) = 1 e (x m)2 2σ
Hipotézis vizsgálatok
Hipotézis vizsgálatok Hipotézisvizsgálat Hipotézis: az alapsokaság paramétereire vagy az alapsokaság eloszlására vonatkozó feltevés. Hipotézis ellenőrzés: az a statisztikai módszer, amelynek segítségével
Statisztikai hipotézisvizsgálatok
Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy
Izsák János. ELTE TTK Állatrendszertani és Ökológiai Tanszék. Kézirat
BIOSTATISZTIKAI ALAPISMERETEK Izsák Jáos ELTE TTK Állatredszerta és Ökológa Taszék Kézrat Budapest, 5 Tartalomjegyzék Előszó 4. Valószíűség vektorváltozók 6.. Bevezetés 6.. A többváltozós, specálsa kétváltozós
Korreláció- és regressziószámítás
Korrelácó- és regresszószámítás sztochasztkus kapcsolat léyege az, hogy a megfgyelt sokaság egységeek egyk smérv szert mlyeségét, hovatartozását smerve levoható ugya bzoyos következtetés az egységek másk
STATISZTIKA II. kötet
Szeged Tudomáyegyetem Gazdaságtudomáy Kar Petres Tbor Tóth László STATISZTIKA II. kötet Szerzők: Dr. Petres Tbor, PhD egyetem doces Statsztka és Demográfa Taszék Tóth László PhD-hallgató Gazdaságtudomáy
A heteroszkedaszticitásról egyszerûbben
Mûhely Huyad László kaddátus, egyetem taár, a Statsztka Szemle főszerkesztője A heteroszkedasztctásról egyszerûbbe E-mal: laszlo.huyad@ksh.hu A heteroszkedasztctás az ökoometra modellezés egyk kulcsfogalma,
NEMPARAMÉTERES ELJÁRÁSOK
Kály Zoltá: Statsztka II. NEMPARAMÉTERES ELJÁRÁSOK Az eddgek soá találkoztuk má olya eláásokkal, melyek a változók középétékét vzsgálták: egymtás-, páos-, függetle mtás t-póba, egy- és többszempotos vaaca
Példák 2. Teljes eseményrendszer. Tulajdonságok. Példák diszkrét valószínőségi változókra
Valószíőségszámítás és statsztka elıadás fo. BSC/B-C szakosokak 3. elıadás Szeptember 28 dszkrét valószíőség változókra X(ω)=c mde ω-ra. Elevezés: elfajult eloszlás. P(X=c)=1. X akkor 1, ha egy adott,
Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz
Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.
Hipotézis, sejtés STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Tudományos hipotézis. Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H 0 ) 11. Előadás
STATISZTIKA Hipotézis, sejtés 11. Előadás Hipotézisvizsgálatok, nem paraméteres próbák Tudományos hipotézis Nullhipotézis felállítása (H 0 ): Kétmintás hipotézisek Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H
A statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük.
Statisztikai módszerek. BMEGEVGAT01 Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Gépészméröki Kar Hidrodiamikai Redszerek Taszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.
Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy
20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek!
SPEC 2009-2010. II. félév Statsztka II HÁZI dolgozat Név:... Neptun kód: 20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek! 1. példa Egy üzemben tejport csomagolnak zacskókba,
AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN
AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN Molár László Ph.D. hallgató Mskolc Egyetem, Gazdaságelmélet Itézet 1. A MINTANAGYSÁG MEGHATÁROZÁSA EGYSZERŐ VÉLETLEN (EV) MINTA
I. Valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapok
I. Valószíűségelmélet és matematka statsztka alapok. A szükséges valószíűségelmélet és matematka statsztka alapsmeretek összefoglalása Az alkalmazott statsztka módszerek tárgalása, amel e kötet célja,
18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható
8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.
1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása
HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat
Tanult nem paraméteres próbák, és hogy milyen probléma megoldására szolgálnak.
8. GYAKORLAT STATISZTIKAI PRÓBÁK ISMÉTLÉS: Tanult nem paraméteres próbák, és hogy mlyen probléma megoldására szolgálnak. Név Illeszkedésvzsgálat Χ próbával Illeszkedésvzsgálat grafkus úton Gauss papírral
ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk,
A deceber -i gyakorlat téája A hipotézisvizsgálat fotos probléája a következő két kérdés vizsgálata. a) Egy véletle eyiség várható értékéek agyságáról va bízoyos feltevésük. Elleőrizi akarjuk e feltevés
A peremeloszlások. Valószínőségszámítás elıadás III. alk. matematikus szak. Példa. Valószínőségi vektorváltozók eloszlásfüggvénye.
y Valószíőségszámítás elıaás III. alk. matematkus szak 4. elıaás, szeptember 30 A peremeloszlások (X,Y) eloszlásából (elevezés: együttes eloszlás) következtethetük az egyes változók eloszlására: P(X)P(X,Y0)+P(X,Y)+P(X,Y2)
Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a
Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,
Információs rendszerek elméleti alapjai. Információelmélet
Iformácós redszerek elmélet alaja Iformácóelmélet A forrás kódolása csatora jelekké 6.4.5. Molár Bált Beczúr Adrás NMMMNNMNfffyyxxfNNNNxxMNN verzazazthatóvsszaálímdeveszteségcsaakkorfüggvéykódolásaakódsorozat:eredméyekódolássorozatváltozó:forás
Geostatisztika c. tárgy a BSc földrajz alapszak hallgatóinak
Geostatsztka c. tárgy a BSc földrajz alapszak hallgatóak Dr. Szabó Norbert Péter egyetem taársegéd Geofzka Taszék e-mal: orbert.szabo.phd@gmal.com gfmal@u-mskolc.hu Tematka Adatredszerek, hsztogrammok
A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata
6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az
1. előadás: Bevezetés. Irodalom. Számonkérés. A valószínűségszámítás és a statisztika tárgya. Cél
Valószíűségszámítás és statsztka előadás fo. BSC/B-C szakosokak 1. előadás szeptember 13. 1. előadás: Bevezetés Irodalom, követelméyek A félév célja Valószíűségszámítás tárgya Törtéet Alapfogalmak Valószíűségek
Matematikai statisztika
Matematikai statisztika PROGRAMTERVEZŐ INFORMATIKUS alapszak, A szakiráy Arató Miklós Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Természettudomáyi Kar 2019. február 18. Arató Miklós (ELTE) Matematikai statisztika
A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.
A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra
Regresszió és korreláció
Regresszó és korrelácó regresso: vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás correlato: vszo, összefüggés, kölcsöösség KAD 01.11.1 1 (vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás) Regresszó és korrelácó Gakorlat megközelítés
Nemparaméteres eljárások
Nemparaméteres eljárások Bevezetés Az ntervallum vagy a hányados skálán végzett méréseknél az adatokból számolhatunk átlagot, szórásnégyzetet, szórást Fontos módszerek alapulnak ezeknek a származtatott
Táblázatok 4/5. C: t-próbát alkalmazunk és mivel a t-statisztika értéke 3, ezért mind a 10%-os, mind. elutasítjuk a nullhipotézist.
1. Az X valószínőség változó 1 várható értékő és 9 szórásnégyzető. Y tıle független várható értékkel és 1 szórásnégyzettel. a) Menny X + Y várható értéke? 13 1 b) Menny X -Y szórásnégyzete? 13 1 összesen
VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA)
VARIANCIAANAÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) Varancaanalízs. Varancaanalízs (szóráselemzés, ANOVA) Adott: egy vagy több tetszőleges skálájú független változó és egy legalább ntervallum skálájú függő változó.
KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematikatanár hallgatók számára. Szita formula J = S \R,
KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatla matematkataár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajal Péter 2018 1. Bevezető példák 1. Feladat. Háy olya sorbaállítása va a {a,b,c,d,e} halmazak, amelybe a és b em kerül
Sztochasztikus tartalékolás és a tartalék függése a kifutási háromszög időperiódusától
Sztochasztkus tartalékolás és a tartalék függése a kfutás háromszög dőperódusától Faluköz Tamás Vtéz Ildkó Ibola Kozules: r. Arató Mklós ELTETTK Budapest IBNR kfutás háromszög IBNR: curred but ot reported
f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben
Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,
6. feladatsor. Statisztika december 6. és 8.
6. feladatsor Statisztika 200. december 6. és 8.. Egy = 0 szervert tartalmazó kiszolgáló mide szervere mide pillaatba 0 < p < valószíűséggel foglalt, a foglaltságok szerverekét függetleek. Tehát a foglaltak
Változók közötti kapcsolatok vizsgálata
) Eseméek függetlesége: p(ab) p(a) p(b) ) Koelácó: vö. az tutív tatalommal Változók között kapcsolatok vzsgálata Akko poztív, ha és átlagosa ugaaa az áa té el a saját váható étékétől, egatív ha elletétes
ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!
ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Élettan Anatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos döntéseket hoz! Mkor jó egy döntés? Mennyre helyes egy döntés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test
Regresszió és korreláció
Regresszó és korrelácó regresso: vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás correlato: vszo, összefüggés, kölcsöösség KAD 016.11.10 1 (vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás) Regresszó és korrelácó Gakorlat megközelítés
2. METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS
. METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS. Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudomáya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlye tulajdoságáról számszerű értéket kapuk.
Valószínőségszámítás helye a tudományok között. Véletlen tömegjelenségek. Történeti áttekintés 1. Modellezés. Történeti áttekintés 3.
Valószíőségszámítás és statsztka elıadás Ifo. BSC B-C szakosokak 4/5. félév Zemplé Adrás zemple@ludes.elte.hu http://www.cs.elte.hu/~zemple/. elıadás: Bevezetés Irodalom, követelméyek A félév célja Valószíőségszámítás
24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje.
24. tétel valószíűségszámítás elemei. valószíűség kiszámításáak kombiatorikus modellje. GYORISÁG ÉS VLÓSZÍŰSÉG meyibe az egyes adatok a sokaságo belüli részaráyát adjuk meg (törtbe vagy százalékba), akkor
Adatfeldolgozás, adatértékelés. Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Miskolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanszék
Adatfeldolgozás, adatértékelés Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Mskolc Egyetem, Hdrogeológa Mérökgeológa Taszék A vzsgált köryezet elemek, lletve a felszí alatt közeg megsmerése céljából számtala külöböző
Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás
Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani
Matematika B4 I. gyakorlat
Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a
1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia
Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 5. Megjegyzések. A tétel feltételei gyegíthetőek: elég, ha a függetle, azoos eloszlású változók várható értéke véges.
1. A radioaktivitás statisztikus jellege
A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a
Bevezetés a hipotézisvizsgálatokba
Bevezetés a hipotézisvizsgálatokba Nullhipotézis: pl. az átlag egy adott µ becslése : M ( x -µ ) = 0 Alternatív hipotézis: : M ( x -µ ) 0 Szignifikancia: - teljes bizonyosság csak teljes enumerációra -
kismintás esetekben vagy olyanokban, melyeknél a tanulóalgoritmust tesztadatokon szeretnénk
ÚJRAMINTAVÉTELEZÉSI ELJÁRÁSOK A jackkife (zsebkés) és bootstrap (cipőhúzó a saját kallatyújáál fogva) eljárások agol elevezése is arra utal, hogy itt ad hoc eljárásokról va szó, melyek azoba agyo haszosak
GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet
GVMST22GNC Statisztika II. 3. előadás: 8. Hipotézisvizsgálat Kóczy Á. László Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Hipotézisvizsgálat v becslés Becslés Ismeretlen paraméter Közeĺıtő
Hipotézis STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Munkahipotézis (H a ) Tematika. Tudományos hipotézis. 1. Előadás. Hipotézisvizsgálatok
STATISZTIKA 1. Előadás Hipotézisvizsgálatok Tematika 1. Hipotézis vizsgálatok 2. t-próbák 3. Variancia-analízis 4. A variancia-analízis validálása, erőfüggvény 5. Korreláció számítás 6. Kétváltozós lineáris
2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya
II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve
Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1
Mérés adatok feldolgozása 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel
MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011
MÉRÉSTECHNIKA DR. HUBA ANTAL c. egy. taár BME Mechatroka, Optka és Gépészet Iformatka Taszék 0 Rövde a tárgyprogramról Előadások tematkája: Metrológa és műszertechka alapok Mérés adatok kértékelése Időbe
Geostatisztika I. Dr. Szabó Norbert Péter. BSc geográfus alapszak hallgatóinak
Geostatsztka I. BSc geográfus alapszak hallgatóak Dr. Szabó Norbert Péter egyetem adjuktus Mskolc Egyetem Geofzka Itézet Taszék e-mal: orbert.szabo.phd@gmal.com Ajálott rodalom Steer Ferec, 990. A geostatsztka
Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János
Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November
Statisztika. Földtudomány szak, geológus szakirány, 2015/2016. tanév tavaszi
Statisztika Földtudomáy szak, geológus szakiráy, 015/016. taév tavaszi félév Backhausz Áges (ELTE TTK Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék)1 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 1.1. Példa: az adatok elemzése....................
Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére.
Véletleített algoritmusok Tegyük fel, hogy va két doboz (A,B), amely egyike 1000 Ft-ot tartalmaz, a másik üres. 500 Ft-ért választhatuk egy dobozt, amelyek a tartalmát megkapjuk. A feladat megoldására
Populáció. Történet. Adatok. Minta. A matematikai statisztika tárgya. Valószínűségszámítás és statisztika előadás info. BSC/B-C szakosoknak
Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 16. A matematikai statisztika tárgya Következtetések levoása adatok alapjá Ipari termelés Mezőgazdaság Szociológia
Geostatisztika. Dr. Szabó Norbert Péter. BSc műszaki földtudományi alapszak hallgatóinak
Geostatsztka BSc műszak földtudomáy alapszak hallgatóak Dr. Szabó Norbert Péter egyetem adjuktus Mskolc Egyetem Geofzka Itézet Taszék e-mal: orbert.szabo.phd@gmal.com Ajálott rodalom Steer Ferec, 990.
STATISZTIKA. ltozók. szintjei, tartozhatnak: 2. Előad. Intervallum skála. Az adatok mérési m. Az alacsony mérési m. Megszáml Gyakoriság módusz
A változv ltozók k mérés m sztje STATISZTIKA. Előad adás Az adatok mérés m sztje, Cetráls mutatók A változv ltozók k az alább típusba t tartozhatak: Nomáls (kategorkus és s dszkrét) Ordáls Itervallum skála
A matematikai statisztika elemei
A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................
Dr. Tóth Zsuzsanna Eszter Dr. Jónás Tamás Erdei János. Gazdaságstatisztika. II. rész A matematikai statisztika alapjai
Budapest Műszak és Gazdaságtudomáy Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudomáy Kar Üzlet Tudomáyok Itézet Meedzsmet és Vállalatgazdaságta Taszék Dr. Tóth Zsuzsaa Eszter Dr. Jóás Tamás Erde Jáos Gazdaságstatsztka
kritikus érték(ek) (critical value).
Hipotézisvizsgálatok (hypothesis testig) A statisztikáak egyik célja lehet a populáció tulajdoságaiak, ismeretle paramétereiek a becslése. A másik tipikus cél: valamely elmélet, hipotézis empirikus bizoyítása
Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből
Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.
2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk;
Statisztika Tegyük fel, hogy va egy halmazuk, és tekitsük egy vagy több valószíűségi változót, amelyek a halmaz mide elemé felveszek valamilye értéket. A halmazt populációak vagy sokaságak evezzük. Példák:
Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés NBG GI866G4. Statisztika fogalma. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma
Statsztka Sportszervező BSc képzés NBG GI866G4 010-011-es taév II félév Statsztka alapfogalmak Oktató: Dr Csáfor Hajalka főskola doces Vállalkozás-gazdaságta Tsz E-mal: hcsafor@ektfhu Statsztka alapfogalmak