Geostatisztika c. tárgy a BSc földrajz alapszak hallgatóinak
|
|
- Bálint Székely
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Geostatsztka c. tárgy a BSc földrajz alapszak hallgatóak Dr. Szabó Norbert Péter egyetem taársegéd Geofzka Taszék e-mal: orbert.szabo.phd@gmal.com gfmal@u-mskolc.hu
2 Tematka Adatredszerek, hsztogrammok és sűrűségmodellek. A legjellemzőbb érték meghatározása. Az adatredszerbe rejlő bzoytalaság jellemzése. Statsztka becslések, becslések határeloszlása. Statsztka (paraméteres és emparaméteres) próbák. A kovaraca és a korrelácó fogalma. A leárs függés mérőszámáak meghatározása. Következtetés be em mért térrészek jellemzőre krgeléssel. Kegyelítések, leárs és emleárs regresszó. Bevezetés a MATLAB programyelvbe. A Statstcs Toolbo éháy eleme. Geostatsztka c. tárgy a BSc geográfus alapszak hallgatóak ME 009
3 . Adatredszerek, hsztogrammok, sűrűségmodellek Geostatsztka c. tárgy a BSc geográfus alapszak hallgatóak ME 009
4 Adatredszerek ábrázolása a számegyeese Ábrázoljuk adatak mdegykét rövd voalkét a számegyeese. Pl. smételt rádoaktív mérés azoos mtá, azoos műszerrel, azoos körülméyek között. Azoos dőtartam alatt külöböző számú részecskét érzékelt a műszer. Atom bomlás folyamatok em determsztkusak. Statsztkus gadozás: mért értékek a várható érték körül szórak.. Adatredszerek, hsztogrammok, sűrűségmodellek ME 009
5 Adatredszerek ábrázolása a számegyeese Valószíű statsztkus hba: észlelt eseméyek száma meghatározott dő alatt középértékbe, mely ± statsztkus gadozást mutat. A ± / relatív hba értéke övelésével csökke. Megfgyelést lehetőleg hosszú dőre ll. agyszámú eseméyre terjesztjük k. Számegyeese balról jobbra ő az adatsűrűség, mamum elérése utá ugyaolya ütembe csökke. Itervallum helyétől függő gyakorsággal várhatuk adatokat. Mérés smétlés: adatszám változk az tervallumokba, adatsűrűségváltozás globálsa em.. Adatredszerek, hsztogrammok, sűrűségmodellek ME 009
6 Adatok előfordulás számáak ábrázolása A mérés sorá többször s előfordulhat ugyaaz az adat. Pl. Borsod II. szételep Múcsoy területére voatkozó vastagság adata. Tegelyek, : telepvastagság, y: előfordulás (darabszám).. Adatredszerek, hsztogrammok, sűrűségmodellek ME 009
7 Adatredszerek ábrázolása, a hsztogram Résztervallumokét ábrázoljuk a darabszámot. Az y tegelye a darabszámak megfelelő magasságba tegellyel párhuzamos egyeest húzuk mde egyes résztervallumo. A kapott lépcsős függvéyt hsztogramak (tapasztalat sűrűségfüggvéyek) evezzük.. Adatredszerek, hsztogrammok, sűrűségmodellek ME 009
8 Adatredszerek ábrázolása, a hsztogram Résztervallumok hosszáak (h) meghatározása. Azoos h hosszúság: téglalap területe aráyos az adott résztervallumra eső adatszámmal (adatsűrűséggel). A h rossz megválasztása: - agy h: torzult globáls adatsűrűség kép, - ks h: zavaró agy ampltudójú fluktuácók.. Adatredszerek, hsztogrammok, sűrűségmodellek ME 009
9 Adatredszerek ábrázolása, a hsztogram Hsztogram e legye adatszám függő, mért adatok száma:. Adatsűrűség eloszlás globáls törvéyszerűsége függetleek legyeek -től. Ábrázoljuk az ordátá / aráyt, ez a relatív gyakorság. Gyakorság*00: az összes adat háy százaléka esett az adott résztervallumba. Hsztogram ormálása: hsztogram oszlopaak összterülete legye - h=, ez az abszcssza átskálázásával jár, - ordáta legye /(h), abszcsszát em kell átskáláz.. Adatredszerek, hsztogrammok, sűrűségmodellek ME 009
10 Nevezetes adatsűrűség modellek A hsztogram látszólagos adatsűrűség-ugrást mutat bzoyos helyeke. A globáls változás meete folyamatos. Bzoyos függvéytípusok közül választuk, aak paraméteret úgy választjuk meg, hogy a függvéygörbe a lehető legjobba lleszkedje a hsztogram (, y ) adatpárjahoz (ld. résztervallum közepé elhelyezett ullkörök). Adatok közelítőleg szmmetrkus eloszlásuak. Nevezetes adatsűrűség modellek szmmetrkus függvéyek: f (T ) f (T ) ahol T: szmmetra pot, f(): sűrűségfüggvéy.. Adatredszerek, hsztogrammok, sűrűségmodellek ME 009
11 Nevezetes adatsűrűség modellek Stadard alak: a szmmetrapot T=0, szélességet szabályzó paraméter S=. Általáos alak: (-T)/S ; f() f()/s. Ekkor a szmmetrapot =T-be kerül, és S -szerese elyújtott függvéy lesz az -tegely ráyába és a teljes görbe alatt terület: - f()d Aak valószíűsége, hogy az adat az [a,b] tervallumba esk: P(a b) f()d b a Az S paramétert skálaparaméterek, T -t helyparaméterek evezzük.. Adatredszerek, hsztogrammok, sűrűségmodellek ME 009
12 Nevezetes adatsűrűség modellek. Egyeletes adateloszlás sűrűségfüggvéye Az adatok S hosszúságú tervallumba egyeletese helyezkedek el. Sűrűségfüggvéye:, f u () S 0, Teljes számegyeesre vett tegrálja. S T egyébkét T S Ábra: egyeletes eloszlású sűrűségmodell llesztése a Borsod II. szételep-vastagság adatredszerére.. Adatredszerek, hsztogrammok, sűrűségmodellek ME 009
13 Nevezetes adatsűrűség modellek. Gauss-eloszlás sűrűségfüggvéye Normáls eloszlás, a mérés hbák tpkus (elfogadott) eloszlása. Stadard alakja: f G () e Általáos alakja: f G () S e (T) S Ábra: Gauss sűrűségmodell llesztése a Borsod II. szételep-vastagság adatredszerére.. Adatredszerek, hsztogrammok, sűrűségmodellek ME 009
14 Nevezetes adatsűrűség modellek 3. Laplace-eloszlás sűrűségfüggvéye Gaussál szélesebb száryú eloszlás, csökkeés helyett va a ktevőbe, kevésbé gyors csökkeés zérus értékre. Stadard alakja: f L () e Általáos alakja: f L () S e T S Ábra: Laplace sűrűségmodell llesztése a Borsod II. szételep-vastagság adatredszerére.. Adatredszerek, hsztogrammok, sűrűségmodellek ME 009
15 Nevezetes adatsűrűség modellek 4. Cauchy-eloszlás sűrűségfüggvéye Laplace sűrűségfüggvéyek =T-be hegyes csúcsa va, (jobb és bal oldal dfferecaháyadosok eltérőek). Cauchy-ak cs hegyes csúcsa, még súlyosabb száryak. Stadard alakja: f C () Általáos alakja: fc() S T S Ábra: Cauchy sűrűségmodell S S T llesztése a Borsod II. szételep-vastagság adatredszerére.. Adatredszerek, hsztogrammok, sűrűségmodellek ME 009
16 A helyparaméter jeletése Helyparaméter (T): Szmmetrkus eloszlásál T a szmmetrapot, em szmmetrkusál em az. T jelöl k az adatsűrűség-eloszlás helyét az -tegelye, a mamáls sűrűség helye, a mérés adatredszer alapjá a mért meység legvalószíűbb értéke. T bzoyos esetekbe érdektele pl. szemcseagyság vzsgálatokál..6. Adatredszerek, hsztogrammok, sűrűségmodellek ME 009
17 A skálaparaméter jeletése Skálaparaméter (S): Sűrűségfüggvéy szélességét jellemz. Nagy S-él agy az adatok statsztkus gadozása. Határozatlasággal áll kapcsolatba. S smeretébe számítható k, T meghatározás hbája.. Adatredszerek, hsztogrammok, sűrűségmodellek ME 009
18 Sűrűségmodell llesztése az adatredszerre a legksebb égyzetek elve alapjá Illesztés követelméye: hsztogram potja összességükbe lehető legközelebb legyeek a sűrűségfüggvéyhez. Jelölések: : -edk adat, y = /(h): relatív gyakorság (ormált), f(,t,s): kegyelítő modell (aaltkus sűrűségfüggvéy). Keressük: az optmáls T és S értékpárt. Illeszkedés aál a T és S értékpárál a legjobb, ahol a mérésből (hsztogramból) meghatározott y -k és a f(,t,s) modellből számított y értékek eltéréseek égyzetösszege mmáls. Az optmalzácós feladat célfüggvéye: N y f,t,s m. Adatredszerek, hsztogrammok, sűrűségmodellek ME 009
19 Sűrűségmodell llesztése az adatredszerre a legksebb égyzetek elve alapjá Általáos esetbe sorfejtéses alakba kereshetjük f()-et: f (,p) f (,p T() smert bázsfüggvéy-redszer, pl. polomáls közelítés:t j ()= j. Mmalzáladó célfüggvéy: J 0,p,...,pJ ) p0 p jt j() j N y p0 pt () pt ()... p jt j() m Mmum feltétel ott teljesül, ahol a parcáls derváltak egydejűleg zérus értékűek (értő párhuzamos az abszcsszával): p q N y p p T ( ) p T ( )... p T ( ) 0, q 0,,,..., J 0 j j. Adatredszerek, hsztogrammok, sűrűségmodellek ME 009
20 . Adatredszerek, hsztogrammok, sűrűségmodellek ME 009 Sűrűségmodell llesztése az adatredszerre a legksebb égyzetek elve alapjá Leárs algebra egyeletredszer adódk: Ismeretleek: p q együtthatók (q=0,,,,j). Ismert meységek: T j ( ) függvéyek (j=,,,j; =,,,). Megoldásfüggvéy a becsült paraméterekkel: J J J J J J 0 J J 0 J J 0 ) ( T y ) ( T p... ) ( )T ( T p ) )T ( ( T p ) ( T p ) T ( y ) ( )T T ( p... ) ( )T T ( p ) ( T p ) T ( p y ) ( T p... ) ( T p ) T ( p p J j j (becs.) j (becs.) 0 (becs.) T () p p ) f (,p
21 Modell-családok (szupermodellek) Mért adatok száma () legye agy. Sűrű és elég agy megbízhatósággal adottak a hsztogram potja. Alkalmazzuk aaltkus alakkal adott modellcsaládot, szupermodellt. Egy vagy több paraméter változtatásával más és más jellegű sűrűségmodellhez jutuk. Továbbakba T=0, S= stadard alakokkal fogalkozuk. Umodáls adateloszlás: egymamumú görbék, ekkor a mamum helyét móduszak evezzük.. Adatredszerek, hsztogrammok, sűrűségmodellek ME 009
22 Szmmetrkus szupermodellek. Az f a () szupermodell Sűrűségfüggvéy stadard alakja (a>) f a () (a) a : típusparaméter, : ormálás együttható. Gamma függvéy: faktoráls művelet általáosítása (z)=(z-)! ahol (z!= k=..z k). (a) a a ks értékeél súlyos száryak, agy értékekél rövdebbek., a a. Adatredszerek, hsztogrammok, sűrűségmodellek ME 009
23 Szmmetrkus szupermodellek Az f a () szupermodell a= esetbe a Cauchy sűrűségfüggvéy, (a=)=/. Az f a () szupermodell a= esetbe a Gauss sűrűségfüggvéyhez tart. Geostatsztka feladatokál a=5 eset alkalmazása az optmáls. Gamma függvéy. Adatredszerek, hsztogrammok, sűrűségmodellek ME 009
24 Szmmetrkus szupermodellek. Az f p () szupermodell Sűrűségfüggvéy stadard alakja (p>0) f p () (p)e p p, (p) p p p p :típusparaméter, : ormálás együttható. p=: Laplace sűrűségmodell. p-t övelve lapos mamum. Gyakorlatba p> és p rtká agyobb mt.. Adatredszerek, hsztogrammok, sűrűségmodellek ME 009
25 Egyparaméteres aszmmetrkus szupermodellek Aszmmetrkus adatsűrűség modellekél feáll: Ferdeség (skewess), szmmetrától való eltérés mérőszáma, (3-adk cetráls mometum és a szórás köbéek háyadosa) f (T ) f (T ) 3 3 ha a szmmetrkushoz képest jobbra "yúlk el" a sűrűségfüggvéy (>0), ha balra (<0), ha pedg szmmetrkus az eloszlás (=0). Szupermodell egatív varásáak képzése -, T eltolása.. Adatredszerek, hsztogrammok, sűrűségmodellek ME 009
26 Egyparaméteres aszmmetrkus szupermodellek. A Webull-féle szupermodell Sűrűségfüggvéy stadard alakja (>0, p), p - típusparaméter: f W () p p Módusz abszcsszá: m p p Ifleós potok abszcsszá: e p f, 3 p 4 3 p p 5p 6p p p. Adatredszerek, hsztogrammok, sűrűségmodellek ME 009
27 Egyparaméteres aszmmetrkus szupermodellek. A logorm szupermodell Logartmkusa ormáls eloszlás, adatok logartmusa modellezhető Gauss sűrűségfüggvéyel. Sűrűségfüggvéy stadard alakja (>0, p>0), p - típusparaméter: f l () p e (l ) p Ércek fémtartalmát rögzítő adatredszerekél optmáls.. Adatredszerek, hsztogrammok, sűrűségmodellek ME 009
28 Egyparaméteres aszmmetrkus szupermodellek 3. A gamma szupermodell Sűrűségfüggvéy stadard alakja (>0, p>): f () (p) p e p p - típusparaméter: (p) p p (p) Gyakor próbastatsztka függvéy.. Adatredszerek, hsztogrammok, sűrűségmodellek ME 009
29 Kétparaméteres aszmmetrkus szupermodellek. A típuscsalád Sűrűségfüggvéy stadard alakja (0<<, p, q ): f () (p,q) p ( ) q p és q: típusparaméterek. Normálás téyező: (p, q) (p q) (p) (q). Adatredszerek, hsztogrammok, sűrűségmodellek ME 009
30 Kétparaméteres aszmmetrkus szupermodellek. Az F-szupermodell Sűrűségfüggvéy stadard alakja (>0, p>0, q>0): f F () (p, q) p p q (pq) p és q: típusparaméterek. Normálás téyező: (p,q) (p q) (p) (q) p q p. Adatredszerek, hsztogrammok, sűrűségmodellek ME 009
31 Kumulatív gyakorság hsztogram Külöböző tervallumokba más és más az adatelőfordulás gyakorsága. Sűrűségfüggvéyek távol tartomáyába s poztív f()-ek vaak. Mlye aráyba várhatók egy ktütetett 0 -ál ksebb adatok? Kumulatív gyakorság hsztogram (tapasztalat eloszlásfüggvéy): lépcsős függvéy, amely mde -él megadja háy eél ksebb adatuk va. Értékkészlete [0,]. Ordtá ott ugrk fel a gyakorság adatak megfeklelő értékkel, ahol egy új mérés jeletkezk az abszcsszá.. Adatredszerek, hsztogrammok, sűrűségmodellek ME 009
32 Kumulatív gyakorság hsztogram Résztervallumok határá (balról jobbra haladva) felrajzoljuk, hogy az adatok mlye aráyba ksebbek az tervallumhatárak megfelelő értékél (baloldal ábra). Hsztogramoszlop magasságával aráyos meredekségű összekapcsolodó szakaszok szerkesztése (jobboldal ábra).. Adatredszerek, hsztogrammok, sűrűségmodellek ME 009
33 Az eloszlásfüggvéy Adatok mlye aráyba ksebbek valamely 0 értékél? Kellőe agy adatszám eseté és f() smeretébe számítható. Az eloszlásfüggvéy: valós számhoz aak a valószíűségét redel, hogy a valószíűség változó eél ksebb értéket vesz fel: Mvel f() -re ormált, ezért 0 F() ; az f()0 matt F() mooto övekvő: F( ) F( ), ha <. Mlye aráyba fordulak elő 0 -ál agyobb adatok: -F(); mlye aráyba fordulak elő [a,b] tervallumo adatok: F(b)-F(a). Adatak háy százaléka ksebb, mt : 00*F(). Az eloszlásfüggvéy a sűrűségfüggvéy prmtív függvéye:. Adatredszerek, hsztogrammok, sűrűségmodellek ME F(0) f () d df() f () d
34 Az eloszlásfüggvéy Normál eloszlás sűrűség- és eloszlásfüggvéye: df() f () d Gyakorlat példa: szemcse-eloszlás görbék. (Fredlud et al.,000: A equato to represet gra-sze dstrbuto.caada Geotech. J. Vol.37, pp. 8). Adatredszerek, hsztogrammok, sűrűségmodellek ME 009
35 . A legjellemzőbb érték meghatározása Geostatsztka c. tárgy a BSc geográfus alapszak hallgatóak ME 009
36 Mta alapjá meghatározott jellemző értékek Számta átlag: mtaátlag, azoos súllyal vesz fgyelembe az adatokat k Súlyozott átlag: az adatokat a pror súlyokkal (q) vesz fgyelembe k Medá: eél agyobb és ksebb elem ugyaay va a mtába med () / /,. A legjellemzőbb érték meghatározása ME 009 k q k k q k k () /, páratla páros
37 Mta alapjá meghatározott jellemző értékek A Leggyakorbb érték teratív súlyozott jellemző érték, jele: M. Outler: kugró adat (hbás műszer, elrotott mérés, adattovábbítás vagy rögzítés) Rezszteca: durva hbájú (kugró) adatokra érzéketle becslés algortmus. Robusztusság: tág típustartomáyra alkalmazható becslés algortmus.. A legjellemzőbb érték meghatározása ME 009
38 A leggyakorbb érték. Iterácó rögzített szélességparaméterű súlyfüggvéyel Súlyozás megbízhatóbb eredméyt ad, mt a számta átlag. Adatok zömétől távol eső potokak ks súlyt, a legagyobb adatsűrűség helye agy súlyt aduk. T -t em smerjük, az algortmus teratív lesz (agy és szmmetrkus umodáls eset). Súlyozott átlag orgóra szmmetrkus súlyfüggvéyel: T, T A súlyok T közelébe ma = értékűek, a távolsággal a súlyok csökkeek, outlerek eseté közel 0-ák ( most smert).. A legjellemzőbb érték meghatározása ME 009
39 A leggyakorbb érték Ekkor (ha em korlátozóduk szmmetrkus sűrűségeloszlásra és agy -re) az terácó eredméyekét adódó helyparaméterű meységet leggyakorbb értékek evezzük (j: terácós lépésszám): M,j. A súlyfüggvéy szélességparaméteréek meghatározása Súlyfüggvéybe M legye smert, és szélességparaméter smeretle () M,j M,j M. A legjellemzőbb érték meghatározása ME 009
40 A leggyakorbb érték Az megválasztása: - agy : mde adathoz ugyaakkora súly, kugró adatok tökre tehetk a becslést (. és. görbe), - ks : emcsak az outlerek, de még a cetrumhoz közel potok s fgyelme kívül maradak (4. görbe). Az a potok tömörödés tedecáját (kohézó) jellemz, agysága azzal fordította aráyos, eve dhézó.. A legjellemzőbb érték meghatározása ME 009
41 A leggyakorbb érték. A legjellemzőbb érték meghatározása ME 009 Az mmalzálása és a súlyok eff () effektív potszámáak (súlyok összege) egydejű mamalzálása: Az meghatározása optmalzácóval, lassú és elv lehetőség. Gyakorlatba terácós algortmussal határozzuk meg -t: Az em lehet agyobb a mtaterjedelemél: ma M M ) ( 3/ eff j j j M M M 3 m ma 3
42 A leggyakorbb érték. A legjellemzőbb érték meghatározása ME Az M és meghatározása együttes meghatározása Első közelítéskét M -re E -t vagy med -t fogadjuk el (j=). A dhézó első közelítését a mtaterjedelemből becsüljük (j=). Majd pg-pog terácóval M -t és -t szmultá javítjuk: Stopkrtérum: amíg a dhézó formulájába a jobb és bal oldalo szereplő -ok meg em egyezek. Az általáosított leggyakorbb érték defícója:,j j,j j,j j M M M 3,j j j,j j j,j M M M k, k, k, M ) (k M ) (k M
43 Valószíűség változó várható értéke Relatív gyakorság: A eseméy bekövetkezéséek száma aráyítva az összes kísérlet számához ( A /). Valószíűség: egyre több kísérlet eseté a relatív gyakorság a P(A) számérték körül gadozk, A eseméy az összes kísérletek várhatóa háyad részébe következk be. Kolmogorov aómá:. 0 P(A),. P(A)=, 3. P(A+B)=P(A)+P(B), ha AB=0 (párokét kzáró eseméyek). Aómákból levezethető tételek:. P(o)=0, ha o: lehetetle eseméy,. P(Â)=-P(A), ha  az A eseméy elletéte, 3. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), ha A és B em zárják k egymást.. A legjellemzőbb érték meghatározása ME 009
44 Valószíűség változó várható értéke Valószíűség változó: az eseméytére értelmezett függvéy, melyek értéke attól függ melyk elem eseméy következett be. Dszkrét valószíűség változó eseté a valószíűség lehetséges eseméy eseté: p k P( k ), (k,,3,...), pk k Várható érték: az a szám, amely körül a valószíűség változó megfgyelt értékeek átlaga gadozk E() k Várható értékre voatkozó tételek: E(c) ce(), E(y ) E()E(y), E( y) E() E(y), E(a b) ae() b, k p k c :kost.,, y :függetle, y :em függetle a,b :kost. val.változók, val.változók,. A legjellemzőbb érték meghatározása ME 009
45 Jellemző értékek meghatározása a sűrűségfüggvéy smeretébe Aak valószíűsége, hogy az adat az [,+h] tervallumba esk: h 0 P(0 0 P(0 0 h) f()d f(0)h f (0) h 0 h) Az tervallumba esés valószíűsége közelítőleg egyelő a relatív gyakorsággal (tervallumba eső adatok száma/összes adatszám*tervallum hossza) 0 f (0) h. A legjellemzőbb érték meghatározása ME 009
46 Jellemző értékek meghatározása a sűrűségfüggvéy smeretébe Várható érték: az a szám, amely körül a valószíűség változó megfgyelt értékeek átlaga gadozk E kpk hkf (k ) k k Ha h-t csöketjük mde határo túl a kfejezés tart E f () d Hasolóa adódk a leggyakorbb érték és a dhézó folytoos formulája M M M M f ()d f ()d, Medá: eél agyobb és ksebb adat 50%-os relatív gyakorsággal fordul elő. A legjellemzőbb érték meghatározása ME 009 med f ()d M M f ()d f ()d
47 3. Az adatredszerbe rejlő bzoytalaság jellemzése Geostatsztka c. tárgy a BSc geográfus alapszak hallgatóak ME 009
48 A hba megjeleése az adatredszerbe, hbatípusok. Szsztematkus (redszeres) hba: Determsztkus oka vaak. Azoos körülméyek között végzett mérésekél agysága és előjele em változk. Ilyeek a mérőeszköz tökéletleségéből származó hbák (a működés ll. htelesítés potatlasága), mérés módszerek specfkus hbá, vagy az elhayagolt külső hatásokból (yomás, hőmérséklet, páratartalom) eredő bzoytalaság. Részbe korrgálható.. Véletle hba: A mérést befolyásoló külső okok együttes következméyekét lép fel. Mde egyes mérésél másképp jeletkezk. Előjele egatív és poztív egyarát lehet (véletleszerűe fellépő köryezet hatások, mérőműszer működés hbája, beállítás- és leolvasás potatlaságok). Teljese em küszöbölhető k (átlagos hatásuk becsülhető). 3. Statsztkus hba: Nagyszámú egymástól függetle eseméy megfgyelésekor lép fel. Ilye például a részecskeszámlálásál észlelt hba (statsztkus gadozás). A mérés adatszám övelésével csökkethető. 3. Az adatredszerbe rejlő bzoytalaság jellemzése ME 009
49 Adatredszer 0 -tól való távolsága Valód hba: ha smerék valamely meység potos értékét ( potos ), majd végezék egyetle mérést erre a meységre, akkor mérésük eredméyéek a hbája - potos lee. Potos értéket em smerjük, azt med, E vagy M -el helyettesítjük. Ezek külöbözek, így a hbajellemzők s. Defáljuk egyetle adat távolságát 0 -tól, pl. 0 (p 0) Az =[,,, ] adatredszer 0 -tól való távolsága, pl. 0 p 0 p (p ); (p ) Ha pl. az -ál ksebb adateltérések hatását gyakorlatlag azoosak vesszük, és csökketjük a agy abszolút értékű eltérések hatását: 3. Az adatredszerbe rejlő bzoytalaság jellemzése ME
50 Adatredszer 0 -tól való távolsága A fet meységeket függetleítsük -től és a távolság dmezója egyezze meg dmezójával: Mdegykre gaz, hogyha az 0 távol va a leggyakrabba előforduló -ek tartomáyától a távolságok agyok. A vektor ormák 0 szert mmumhelyet az adatredszer jellemző értékekét fogadjuk el: - L -orma eseté: med (medá), - L -orma eseté: E (számta átlag), - P -orma eseté: M (leggyakorbb érték). 0 k, p / p 0 p k P ; P L ; L ; L 3. Az adatredszerbe rejlő bzoytalaság jellemzése ME 009
51 Hbaformulák Ha a mmumhely értékét 0 helyébe írjuk, egyetle távolságjellegű adatot kapuk, amely jellemz az adatokak a mmumhelytől való távolságát. Nagy átlagos távolság eseté agy a határozatlaság. Ha egyetle adatot fogaduk el jellemző értékek, akkor ez a távolság a hba mértékéek tekthető. Nem a med, E vagy M jellemzők, haem az egyes adatok hbájáról (adatredszer bzoytalaságáról) beszélük. d U emp emp emp med E M közepeseltérés (L emprkus szórás(l orma) orma) emprkus határozatlaság (P orma, k ) Folytoos eloszlás (tegrálformulák) eseté elmélet szórásról stb. beszélük. 3. Az adatredszerbe rejlő bzoytalaság jellemzése ME 009
52 Kugró adatot tartalmazó adatredszer hbája Az =,,,6 adatsorra számítsuk k az L -, L -, P-ormák értékváltozásat 0 =4-től kezdve egy mooto értéksoro. A ormák mmumhelye felvett értéke adja az adatok hbáját. A ormák külöböző hbákat mutatak. Kugró adatokra az L -orma ge érzékey, P-orma legkevésbé. 3. Az adatredszerbe rejlő bzoytalaság jellemzése ME 009
53 Kugró adatot em tartalmazó adatredszer hbája Az adatsorból távolítsuk el a kugró adatot (=40). A ormagörbék szmmetrkusak és med =E =M =0. A hbák értéke s agyo közel. Nagy külöbség akkor várható, ha durva hbájú adatok vagy az adateloszlás sűrűségfüggvéyéek súlyosak a szárya. 3. Az adatredszerbe rejlő bzoytalaság jellemzése ME 009
54 Korrgált emprkus hbaformulák Az emprkus szóráségyzet ( ) torzított becslése az elmélet varacáak (), mvel E( ): Korrgált tapasztalat (emprkus) szórás defícója: A fet korrgált tapasztalat szórás már torzítatla becslése az elmélet szórásak, mvel E( )=. Bzoyítás: A korrgált tapasztalat szórás evezőjébe - szerepel, mvel meghatározása - függetle adatból törték. A számta közép ( átlag) függ a mtaelemektől, mely egy adatot kszámíthatóvá tesz., 3. Az adatredszerbe rejlő bzoytalaság jellemzése ME 009, E E E E
55 A dhézó, mt hbajellemző Az értéke outler eseté em sokat változott (ld. előző két ábra). Ha rögzített 0 mellett egyetle adatot mde határo túl övelék, akkor a P-orma értéke s mde határo túl őe. A dhézóál fordított a helyzet, egyre kább elhayagolható a távol adat szerepe. Ha egy általáos f()-el jellemzett adatredszerre Cauchy-eloszlást llesztük, akkor aak skálaparamétere optmáls esetbe a dhézó: f C () T A dhézó f()-hez legjobba hasolító Cauchy-eloszlás valószíű hbája. Valószíű hba: a szmmetrapottól jobbra és balra skálaparaméteryt felmérve a számegyeese, olya tervallumhoz jutuk, melybe 50%-os relatív gyakorsággal várhatók az adatok. 3. Az adatredszerbe rejlő bzoytalaság jellemzése ME 009
56 Valószíűség változó varacája Dszkrét valószíűség változókál a valószíűség lehetséges eseméy eseté: p k P( k ), (k,,3,...), pk k Szóráségyzet (varaca): a valószíűség változó várható értékétől való eltérést jellemz () E E() E() k k p k Varacára voatkozó tételek: E( ) E (a b) a ( y) (), (), () (y), a,b : kost.,, y : függetle val.változók, 3. Az adatredszerbe rejlő bzoytalaság jellemzése ME 009
57 Valószíűség változó varacája Csebsev-egyelőtleség: a valószíűség változó várható érték körül szóródására ad felvlágosítást E() ahol : tetszőleges poztív szám. Folytoos valószíűség változó varacája: Statsztka mometumok defcója: k k k k E E E E k E() k P E() () f () d k adk mometum, k adk cetráls mometum, k k adk abszolút mometum, k E() k adk cetráls abszolút mometum. 3. Az adatredszerbe rejlő bzoytalaság jellemzése ME 009
58 Kofdeca-tervallumok A dhézó a leggyakorbb előfordulás tervallumát jellemz. Arról s formál, hogy az adatok háy százaléka várható a dhézó valamlye többszörösét ktevő hosszúságú tervallumo kívül. Az ábrá látható példá szereplő százalékos előfordulás gyakorságot kofdecasztek, a hozzá tartozó tervallumot kofdeca-tervallumak evezzük. 3. Az adatredszerbe rejlő bzoytalaság jellemzése ME 009
59 Kofdeca-tervallumok A [-Q,Q] terszeksztls tervallumba az adatok /3-ada (66% kofdecaszt), a [-q,q] terkvartls tervallumba azok fele (50% kofdecaszt) várható. A q az alsó kvartls (adatok ¼-e ksebb), q felső kvartls (adatok ¼- e agyobb). A Q az alsó szetls (adatok /6-a ksebb), Q felső szetls (adatok /6-a agyobb). Hba jellemzése: terkvartls félterjedelem (q) és terszetls félterjedelem (Q). 3. Az adatredszerbe rejlő bzoytalaság jellemzése ME 009
60 Stadard Gauss-eloszlás szórása és a kvartlsek 3. Az adatredszerbe rejlő bzoytalaság jellemzése ME 009
61 Közvetette meghatározott meység hbája, a mérés hba terjedése Ha egy fzka meység függ más meységektől q=f(,y, ), akkor,y, mérésével és, y, hbák smeretébe, q meység átlagértéke és hbája jó közelítéssel meghatározható q q q f (, y) q, Függetle valószíűség változók eseté általáosa feáll: Így a fet szóráségyzetekre teljesül: A mérés hbára adódk: q ahol q,y q y c c c q q q q,y,y q y q y,y,y y y,y y 3. Az adatredszerbe rejlő bzoytalaság jellemzése ME 009
62 4. Mamum lkelhood becslés, becslések határeloszlása Geostatsztka c. tárgy a BSc geográfus alapszak hallgatóak ME 009
63 Sűrűségeloszlások paramétereek mamum lkelhood-becslése A mamum lkelhood elv mamáls hasolóságot keres a mta és a sűrűségfüggvéy között. A hasolóságot valószíűség-elmélet alapo mér. Tegyük fel, hogy smerjük f() típusát és skálaparaméterét. A helyparaméter meghatározása a cél. Pl. S= skálaparaméterű Cauchyeloszlásból származó 0 elemű mta helyparaméterét becsüljük. Vegyük ks -et és képezzük a mtaelemekre f( ) valószíűségeket. A teljes mtára így képzett valószíűségek szorzatáak mamumáál adódk az optmáls T érték. 4. Mamum lkelhood becslés, becslések határeloszlása ME 009
64 Sűrűségeloszlások paramétereek mamum lkelhood-becslése A mamum lkelhood elv szert mamum feltétel (ahol szorzótéyező elhagyható, mvel az függetle T -től): L Logartmálva a fet célfüggvéyt: f,t ma L * l f,t ma dl * dt 0 A célfüggvéy mamuma az smeretle paraméter szert dervált zérus értékéhez köthető. 4. Mamum lkelhood becslés, becslések határeloszlása ME 009
65 Gauss-eloszlás paramétereek mamum lkelhood-becslése A mamum lkelhood függvéy (hatváyozás azoossága): Logartmálva a fet célfüggvéyt: A helyparaméter és skálaparaméter becslése: T S e S e S,S,T f L T S G ma T S l S l l L L * 3 * T S 0 T S S ds dl 4. Mamum lkelhood becslés, becslések határeloszlása ME 009 * E T 0 T T T 0 T S dt dl
66 Becslések határeloszlása Becslések eloszlása övekvő mtaelemszám ( ) eseté egy eloszlástípust közelít, amt határeloszlásak evezük. Tetszőleges eloszlásból származó mta alapjá meghatározott számta átlagok (mtaátlagok) határeloszlása E () E() Az átlagok (mt becslések) eloszlása határesetbe N(,) Gausseloszlást közelít, ha véges a szórás. Ez a cetráls határeloszlástétel egy varása. Ha valamely becsléseloszlás Gauss típusú A / szórással, akkor A -t aszmptotkus szórásak evezzük. Nagy számok törvéye alapjá: az átlagképzés -el aráyos potosságövekedést mutat agy -ek eseté, ha véges a szórás. 4. Mamum lkelhood becslés, becslések határeloszlása ME 009
67 E... E... E E Becslések határeloszlása Bzoyítás és egy példa: 4. Mamum lkelhood becslés, becslések határeloszlása ME 009
68 5. Statsztka (paraméteres és emparaméteres) próbák Geostatsztka c. tárgy a BSc geográfus alapszak hallgatóak ME 009
69 Statsztka próbák az adatok smert eloszlástípusa eseté, hpotézs vzsgálatok Statsztka hpotézs: a megfgyelt meység eloszlásáak a típusára vagy az eloszlás paraméterere tett feltevés. Nullhpotézs (H 0 ): az előzetes feltevést gazak tételezzük fel. Ellehpotézs (H ): a ullhpotézssel szembeálló más lehetőség. Legye smert az meység eloszlása (Gauss) és szórása. A változóra vett mtába az átlag. Igaz-e hogy az egész sokaság várható értéke T 0? A mtaátlag em lesz potosa T 0. A mtaátlag mekkora eltérése eseté feltételezhetjük, hogy a várható érték T 0? H H 0 : E() T : E() A mtabel tapasztalat alátámasztja-e a következő ullhpotézst? Mvel cs a teljes sokaság a brtokukba, ezért kevés mérésre tudjuk csak a ullhpotézs feállását vzsgál. 5. Statsztka (paraméteres és emparaméteres) próbák ME 009 T 0 0
70 Egymtás u-próba Statsztka függvéy (statsztka): valamlye számítás utasítás, mely egyetle adatot számít db adat alapjá. A statsztka próba feladata megtalál a statsztka függvéyt (próbafüggvéyt), amelyek eloszlását H 0 feállása eseté smerjük. Legye a statsztka a következő, mely előállítja az u véletle változót: u / Az u változó s Gauss-eloszlású ( stadardzáltja). Eek smeretébe [-u, u ] megbízhatóság tervallum kostruálható, melybe u agy valószíűséggel esk: T0 T0 P u u P u / / ahol a krtkus tartomáyra esés valószíűsége, - a szgfkaca-szt. 5. Statsztka (paraméteres és emparaméteres) próbák ME 009 T 0
71 Egymtás u-próba Ha H 0 ullhpotézs gaz, akkor u agy valószíűséggel (-) esk a [u,u ] megbízhatóság tartomáyba és ks valószíűséggel a krtkus tartomáyba. Ha u a krtkus tartomáyba va, akkor H 0 ullhpotézst elvetjük, ha a megbízhatóság tartomáyo belül va, akkor elfogadjuk. 5. Statsztka (paraméteres és emparaméteres) próbák ME 009
72 Egyoldal statsztka próbák Az eddgekbe látott kétoldal próbáál a krtkus tartomáy két részből áll: F - (/) érték alatt és F - (- /) érték felett tartomáyból. Egyoldal próba eseté az ellehpotézs kétféle lehet (H 0 változatla): H H : : E() T E() T 0 0 jobboldal baloldal A krtkus tartomáy az eloszlásfüggvéy smeretébe F - (-)-ből számítható. 5. Statsztka (paraméteres és emparaméteres) próbák ME 009
73 Statsztka próbák hbafogalma Amkor u a krtkus tartomáyba esk és H 0 t elvetjük akkor valószíűséggel követük el hbát, ha H 0 mégs gaz. Ezt elsőfajú hbáak evezzük. Ha elfogadjuk H 0 -t egy adott valószíűség mellett, holott az em gaz. Ezt másodfajú hbáak () evezzük. A ullhpotézs elfogadása aál agyobb kockázattal jár, mél agyobb a szgfkaca-szt. Nem célszerű a bztoság sztet túl magasra állíta. 5. Statsztka (paraméteres és emparaméteres) próbák ME 009
74 Illeszkedés-vzsgálatok Típusmeghatározás: a mta megfelel-e egyetle eloszlástípusak valamlye szgfkaca-szte vagy sem. Grafkus ormaltásvzsgálat: a mta Gauss-eloszlásból származk-e. Gauss-papír készítése: abszcsszá a valószíűség változó értéke, ordátá a - verz eloszlásfüggvéy (stadard Gauss) szert átskálázott valószíűsége szerepelek (em egyeletes az osztás). Ordáta átskálázásával az m várható értékű szórású ormáls eloszlás képe egyees. -ből képezzük F -et, az ordáta-tegely eltolásával: m F() Pl. F(m)=(0); F(m+)=(). 5. Statsztka (paraméteres és emparaméteres) próbák ME 009
75 Geofzka adatredszerek lleszkedés-vzsgálatra F a (), a=5 5. Statsztka (paraméteres és emparaméteres) próbák ME 009
76 6. A kovaraca és a korrelácó fogalma. A leárs függés mérőszámáak meghatározása. Geostatsztka c. tárgy a BSc geográfus alapszak hallgatóak ME 009
77 Kétdmezós (,y) valószíűség változót dszkrét valószíűség vektorváltozóak evezzük, mely együttes valószíűsége: p Többdmezós eloszlások k P(, y y k ), (,k,,3,...), p Ha az egyk változót rögzítjük peremeloszlásról beszélük: P( ) pk, P(y yk ) k Az együttes eloszlásfüggvéy és a peremeloszlás függvéyek: F( F( 0 0, y F(, y ) P(, ) P( , y y ), y ) ) P(, y y 0 0 ) k 0 y y 0 p y y 0 k 0 k p P(y y k k k P( ) ) k 6. A kovaraca és a korrelácó fogalma. A leárs függés mérőszámáak meghatározása ME 009
78 6. A kovaraca és a korrelácó fogalma. A leárs függés mérőszámáak meghatározása ME 009 Peremsűrűség-függvéyek a szórások (, ) és várható értékek (m,m ) smeretébe: Normáls eloszlás együttes sűrűségfüggvéye, ahol r a valószíűség változók között kapcsolat erősségét kfejező együttható: Az f(,y) együttes sűrűségfüggvéy felülete alatt térfogat =. Kétdmezós Gauss-eloszlású valószíűség változó m y m y m r m r G e r y) (, f -m -m e f(y) e f()
79 Korrelálatla változók eloszlása Az f(,,., ) együttes (-dmezós) valószíűség-sűrűség függvéy megadja, hogy az első mérés mlye valószíűséggel esk, a másodk,. stb. köryezetébe. Az együttes sűrűségfüggvéyre korrelálatla adatok eseté: f (,,, ) f ()f () f ( ) Látható, hogy külööse agy értékek eseté ugyaaz a valószíűsége, hogy értéke kcs vagy agy. Ilyekor az adatok korrelálatlaok. 6. A kovaraca és a korrelácó fogalma. A leárs függés mérőszámáak meghatározása ME 009
80 Korrelált változók eloszlása Korrelált adatok eseté az együttes sűrűségfüggvéyél bzoyos agyságú értékek eseté csak bzoyos értékek szerepelek azoos valószíűséggel. Együttváltozás (tedeca) fgyelhető meg. Az ábrá agy értékekhez agy értékek tartozak ( : a korrelácó mértékével aráyos). 6. A kovaraca és a korrelácó fogalma. A leárs függés mérőszámáak meghatározása ME 009
81 Az együttváltozás mérőszáma Osszuk fel az (, ) síkot égy síkegyedre (váltakozó előjellel). Képezzük az ( - )( - ) függvéyt. Szorozzuk össze a fet függvéyt a sűrűségfüggvéyel és összegezzük előjelese a területeket. Az így kapott kovaraca a két valószíűség változó együttváltozásáak a mérőszáma. Korrelálatla eloszlásál cov(, )=0, md a égy síkegyedre azoos értékek esek. Korrelált eloszlás eseté vagy poztív (azoos előjelű v. ráyú) vagy egatív (elletétes ráyú) a változás. 6. A kovaraca és a korrelácó fogalma. A leárs függés mérőszámáak meghatározása ME 009
82 Az együttváltozás mérőszáma Az összegzés felírható tegrál alakba ( f felület alatt térfogatokat adjuk össze), ezzel a kovaraca defícója: cov( A kovaraca valószíűség-elmélet formulája: cov(, y) E Emprkus (tapasztalat) formula:, ) f (, )dd cov(, y) E() Ey E(y) y y k Látható, hogy =y eseté a kovaraca megegyezk a tapasztalat szóráségyzettel: cov(, ) k 6. A kovaraca és a korrelácó fogalma. A leárs függés mérőszámáak meghatározása ME 009
83 A leárs függés mérőszáma Korrelácós együttható: két változó között leárs kapcsolat szorosságát mérő szám (ormált kovaraca) R(, y) Az R - és között szám. Ha R = teljes korrelácó, R=0 leárs függetleség. Korrelácó erőssége: cov(, y) () (y) y y y y 0 < R 0.3: gyege korrelácó, 0.3 < R 0.6: közepes korrelácó, 0.6 < R : erős korrelácó. A korrelácós együttható előjele s az együttváltozás ráyára utal. k k k 6. A kovaraca és a korrelácó fogalma. A leárs függés mérőszámáak meghatározása ME 009
84 Példa korrelácó számításra Fúrólyukba mért fajlagos vezetőképesség kapcsolata a réz és vas kocetrácóval (Fország adatredszer, 008.) 6. A kovaraca és a korrelácó fogalma. A leárs függés mérőszámáak meghatározása ME 009
85 A leárs függés mérőszáma A korrelácós együttható megadja a leárs kapcsolat ráyát, aráyos a zaj mértékével, de em adja meg ömagába az egyees meredekségét. Négy külöböző kapcsolat eseté a leárs kapcsolat erőssége azoos. Az y változók átlagértéke=7.5, szórása=4., korrelácós együttható=0.86. Az llesztett egyees: y = Forrás: Fracs Ascombe (Wkpéda) 6. A kovaraca és a korrelácó fogalma. A leárs függés mérőszámáak meghatározása ME 009
86 Többváltozós összefüggések korrelácós jellemzése Legye adott (, =,,,) valószíűség vektorváltozó. Változók eloszlása smeretébe (várható érték, szórás) a kovaraca mátr a párokét együttváltozásokat adja meg. Szmmetrkus mátr, mvel cov(, j )=cov( j, ): A korrelácós mátr a párokét kapcsolat erősségét adja meg. Szmmetrkus mátr, mvel R(, j )=R( j, ): σ ), cov( σ ), cov( ), cov( ), cov( σ C ), R( ), R( ), R( ), R( R N N 6. A kovaraca és a korrelácó fogalma. A leárs függés mérőszámáak meghatározása ME 009
87 7. Következtetés be em mért térrészek jellemzőre krgeléssel Geostatsztka c. tárgy a BSc geográfus alapszak hallgatóak ME 009
88 Problémafelvetés Legye z (=,,,7) mérés potokba smert egy vzsgált meység. Kérdés ugyaeze meység értéke a z 0 potba. Iterpolácós eljárással meghatározható a kérdéses érték: z 0 w z, ahol w d d homok homok agyag homok A 4 és 6-os potokak agyobb súlyt kellee ad, mt pl. az és - es potak, mvel azok azoos geológa egységbe tartozak. Hogya haszálhaták fel a geológa formácót az terpolácó sorá? Ábra Zhag 009 yomá 7. Következtetés be em mért térrészek jellemzőre krgeléssel ME 009
89 Térbel korrelácó vzsgálata Bohlg 005 yomá 7. Következtetés be em mért térrészek jellemzőre krgeléssel ME 009
90 A félvarogram Az adatok eloszlását Gauss-típusúak feltételezzük, azok gadozását szórással jellemezzük. A kérdéses meység potbel értékét a köryező (smert) adatok súlyozott átlagakét számítjuk. Olya súlyokat kell választuk, mellyel az eredméy szórása mmáls lesz. Félvarogram: a (h) görbe, mely a távolság függvéyébe megadja a vzsgált meység értékkülöbség égyzetösszegéek a felét h h h Zr h Z r ahol h: két vzsgált pot távolsága (térbe h vektor abszolút értéke), (h): egymástól h távolságba lévő összes potpár száma, Z(r ): a vzsgált meység értéke egy adott potba, Z(r +h): a vzsgált meység értéke a pottól h távolságra. r : -edk pot helyzete (térbe helyvektora). 7. Következtetés be em mért térrészek jellemzőre krgeléssel ME 009
91 A félvarogram A Z(r )-Z(r +h) külöbség (-) - szeresére vált, amkor a két pot helyet cserél. A külöbségek átlagértéke így zérus lesz. Az egyes külöbségek így az átlagértéktől való eltéréskét foghatók fel. A varogram így az emprkus szóráségyzet fele: Mél közelebb vaak a potok egymáshoz a Z értékek aál jobba korrelálak. A h -tól függő kovaraca COV Zr,Z r h H h ahol H: hatástávolság. A korrelácó két pot között csak e távolságg áll fe. Eze távolságo belül kell a h VARZ r Zr h potot választa az terpolácóhoz. VAR Zr COVZ r,z r H 7. Következtetés be em mért térrészek jellemzőre krgeléssel ME 009
92 Varogram modellek A mérés eredméyekből számított félvarogram potok bzoyos gadozással adják meg az emprkus varacát a h függvéyébe. Sma (statsztkus gadozást em mutató) elmélet függvéyek lleszthetők a tapasztalat félvarogramra. Gyakora alkalmazott modellek: - Szférkus modell: h C.5 C, h H Epoecáls modell: h C e A h - Gauss modell: h H 3, h h H 0 h H C e h A 7. Következtetés be em mért térrészek jellemzőre krgeléssel ME 009
93 Varogram modellek A görbék mdhárom esetbe C -hez tartaak: A hatástávolságot kegyelítéssel számítjuk (A: kostas). Epoecáls és Gauss modell eseté gyakorlat hatástávolságot határozuk meg: A kregelés szempotjából fotos kovaracát a félvarogramból számíthatjuk: COV H 0.95C C Zr,Z r h C h H VAR Z r 7. Következtetés be em mért térrészek jellemzőre krgeléssel ME 009
94 A kregelés Robusztus (em érzékey a varogram modellre ll. tektetbe vesz aak ráyfüggését azaz azotrópáját) súlyozott becslés eljárás be em mért potok jellemzőek a meghatározására. A P 0 potba smeretle Z(P 0 ) értéket db közel P pot Z(P ) értékéek súlyozott átlagakét közelítjük: w Z Z P 0 P A súlyok összege, így a becslés torzítatla. (Ha pl. mde köryező érték ugyaaz lee, csak ebbe az esetbe kapák a kérdéses potba s ugyaazt az értéket). A w súlyok meghatározását a becslés varacájáak (valód és a becsült érték eltéréséek a szóráségyzete) a mmumához kötjük: VAR Z P 0 w ZP m 7. Következtetés be em mért térrészek jellemzőre krgeléssel ME 009
95 A kregelés A mmalzálás a KW=C 0 leárs egyeletredszerre vezet, ahol K az ú. Krege-mátr: c c c c 3 A mátr elemeket a félvarogramból számítjuk k: c c c j 0 c c c c 3 c c c c COV Z P VAR Z P COV Z P, Z P C h, C,, ZP C h. A súlyokat a W=K - C 0 egyeletredszerből határozzuk meg. A becslés varacáját a =W T C 0 skalár adja meg Következtetés be em mért térrészek jellemzőre krgeléssel ME 009 c c c c 3 j w w w w 0 3 c c c c P P j P P
96 Nyékládháza 004-es földmágeses mérés Mágeses térerősség méréssel a felszí alatt mágesezhető kőzeteket, felszíközel tárgyakat lokalzáljuk. 7. Következtetés be em mért térrészek jellemzőre krgeléssel ME 009
97 Nyékládháza 004-es földmágeses mérés Köryezetgeofzka mérés célja az volt, hogy felderítsük és lehatároljuk a szeméttelep határát és a fémes hulladékok helyét kmutassuk a mágeses térkép segítségével. m Kregeléssel szerkesztett mágeses zovoalas térkép m 7. Következtetés be em mért térrészek jellemzőre krgeléssel ME 009
98 Nyékládháza 004-es földmágeses mérés A félvarogram Az adatok statsztkája C Kregelés pothálózat, terpolácó eredméye 7. Következtetés be em mért térrészek jellemzőre krgeléssel ME 009
99 8. Kegyelítések, leárs és emleárs regresszó Geostatsztka c. tárgy a BSc geográfus alapszak hallgatóak ME 009
100 A leárs regresszó Regresszó számítással matematka kapcsolatot keresük egy tapasztalat úto megfgyelt függvéy változó között. Egyváltozós függvéykapcsolat eseté keressük az y=f(,p) regresszós függvéyt és a p paraméter(eke)t. Legegyszerűbb egyváltozós feladat a leárs regresszó. Ekkor keressük az (, y ) =,,, mérés potpárokra legjobba lleszkedő egyeest és aak egyeletét y m a ahol m : a regresszós egyees meredeksége ( egységy megváltozása mekkora változást déz elő y -ba) és a az ordáta-metszete. A fet egyelet (modell) segítségével számított adatsort állíthatuk elő, melyek eltérése a mért adatsortól az m és a paraméterek megválasztásától függ. 8. Kegyelítések, leárs és emleárs regresszó ME 009
101 A leárs regresszó A mérés és a számított adatok eltéréséek a mmalzálásával tudjuk meghatároz a mérés potokra legjobba lleszkedő regresszós egyees paraméteret: p=[m,a]. 8. Kegyelítések, leárs és emleárs regresszó ME 009
102 A leárs regresszó A mért és számított adatsor =,,, számú adat eseté: (mért) (mért) (mért) (mért) (szám.) (szám.) (szám.) y y, y,, y, y y, y,, y (szám.) y (szám.) m Az m és a paraméterek optmáls értékét a Gauss-féle legksebb égyzetek módszerével határozzuk meg. Az lleszkedés a mért és számított adatok között a lehető legjobb legye, azaz az eltérés legye mmáls: E A fet célfüggvéy mmumáak feltétele, melyek egydejűleg kell teljesüle: E E 0, 0, m a a (mért) (szám.) y y y m a 8. Kegyelítések, leárs és emleárs regresszó ME 009 m
103 A leárs regresszó A mmalzálás eredméye a két optmáls regresszós koeffces: m R y y, a y m ahol R y az és y változó korrelácós együtthatója, és y az és y adatsor szórása. A fet legksebb égyzetes kegyelítések jeletős hátráya az, hogy ge érzékeye reagál a kugró adatokra és az adatok eloszlás típusáak változására. Ekkor érdemes L -ormá alapuló vagy MFV (leggyakorbb érték) azaz P-orma szert kegyelítést végez, melyek rezsztes és robusztus becslés eéjárások. Pl. L -orma szert kegyelítés célfüggvéye R db A(p)=0 mellékfeltétel előírása mellett (ahol p : smeretleek, : Lagrage multplkátorok): R (mért) E y f,p Ap m r r 8. Kegyelítések, leárs és emleárs regresszó ME 009
104 Nemleárs regresszó Nemleárs regresszószámítást akkor alkalmazuk, ha a modell em leárs. Gyakra alkalmazzuk a polomok (pl. hatváyfüggvéyek) szert kegyelítést. Ekkor a célfüggvéy: N y (mért) f (,p) f (,p f (,p) 0,p,...,p Learzál s lehet az f függvéykapcsolatot. Az eredet változók helyett, velük összefüggő, de egymással leárs kapcsolatba lévő változókat vezetük be: y ae Y l y,x a e A b,b B Többváltozós regresszó (modell alapú adatfeldolgozás) ld. jövő félév! J ) p m 0 l y l a b J j p Y A BX 8. Kegyelítések, leárs és emleárs regresszó ME 009 j j
105 9. Bevezetés a MATLAB programyelvbe. A Statstcs Toolbo éháy eleme Geostatsztka c. tárgy a BSc geográfus alapszak hallgatóak ME 009
106 Sztetkus példa eloszlásokra MATLAB összefoglalás. Ld. a Geoformatka szoftverfejlesztés c. oktatás segédletet az ajálott rodalom részbe. Írjuk MATLAB scrptet az alább feladatra: Geeráljuk 00 elemű mtát [-,] tervallumból egyeletes ll. E=0 várható értékű és =/3 szórású ormáls eloszlásból. Ábrázoljuk grafkusa a két eloszlást, végezzük ormaltás vzsgálatot. Hasolítsuk össze az emprkus jellemzőket. 00 elemű mta geerálása egyeletes és Gauss eloszlásból: ufrd(,,00,); y ormrd(0,/ sqrt(3),00,); Normál eloszlás sűrűségfüggvéye és ábrázolása: t ormpdf([ : 0.:],0,/ sqrt(3)); subplot(,,); plot([ : 0.:], t); 9. Bevezetés a MATLAB programyelvbe. A Statstcs Toolbo éháy eleme ME 009
107 Sztetkus példa eloszlásokra Az egyeletes eloszlás sűrűségfüggvéye és ábrázolása: k ufpdf([ : 0.:],,); subplot(,,); plot([ : 0.:],k); Grafkus ormaltás vzsgálat (emprkus eloszlásfüggvéyt ábrázolja úgy, hogy az ordátát a stadard ormáls verz eloszlásfüggvéy szert skálázza). Ha az adatok lleszkedek az egyeesre Gauss eloszlásról va szó. subplot(,,3); ormplot(); subplot(,,4); ormplot(y); 9. Bevezetés a MATLAB programyelvbe. A StatstcsToolbo éháy eleme ME 009
108 Sztetkus példa eloszlásokra A két eloszlás elmélet várható értéke és szórása megegyezek. A korrelácó kcs, az eloszlások alakja matt eltérő terjedelem és lapultság adódk. Redezzük [,y] mátrba (00) az adatokat. A számta közép, medá, emprkus szóráségyzet és szórás: szkozep mea(z); med meda (z); empva var(z); szor std(z); A terjedelem, lapultság, kovaraca és korrelácós koeffcesek: terj rage(z); lap kurtoss(z) 3; kov cov(z); korr corrcoef (z); 9. Bevezetés a MATLAB programyelvbe. A Statstcs Toolbo éháy eleme ME 009
109 Sztetkus példa futás eredméye szkozep = med = empvar = szor = terj = lapul = kov = corr = Bevezetés a MATLAB programyelvbe. A Statstcs Toolbo éháy eleme ME 009
110 Mály 00-es radoaktív mérés Egy mérés poto mértük azoos körülméyek között, azoos műszerrel, az dőegység alatt beérkező fotook számát 8 alkalommal (football salakpálya) beutes Bevezetés a MATLAB programyelvbe. A Statstcs Toolbo éháy eleme ME 009
111 Mály 00-es radoaktív mérés Végezzük grafkus lleszkedés-vzsgálatot ormáls eloszlásra: 9. Bevezetés a MATLAB programyelvbe. A Statstcs Toolbo éháy eleme ME 009
112 Mály 00-es radoaktív mérés Normáls eloszlást feltételezve határozzuk meg a sűrűségfüggvéy skála- és helyparaméterét a mamum lkelhood módszerrel. Ábrázoljuk az emprkus/folytoos sűrűség- és eloszlásfüggvéyt. lapultsag = ferdeseg = f ( ) e 84 ( 944) m = 944. szgma = kof_m (95%) = kof_szgma (95%) = Bevezetés a MATLAB programyelvbe. A Statstcs Toolbo éháy eleme ME 009
113 Mály 00-es radoaktív mérés clc; fgure(); stem([:legth(beutes)]',beutes(:,)); label('mérés sorszáma'); ylabel('gamma beütés/perc'); fgure(); ormplot(beutes); fgure(3); subplot(,,); [,a]=hst(beutes,(600:30:300)); bar(a,/8); label('\gamma'); ylabel('f(\gamma)'); grd o; hold o; [m,szgma,kof_m,kof_szgma]=ormft(beutes); lapultsag=kurtoss(beutes)-3, ferdeseg=skewess(beutes), m, szgma, kof_m, kof_szgma, prob=ormpdf((600:30:300),m,szgma); plot((600:30:300),30*prob,'r'); subplot(,,); s=cumsum(); bar(a,s/8); label('\gamma'); ylabel('f(\gamma)'); grd o; hold o; eloszfgv=ormcdf((600:30:300),m,szgma); plot((600:30:300),eloszfgv,'r'); MATLAB program (scrpt): beutes: adatokat tartalmazó 8 elemű oszlopvektor. m: ormáls eloszlás helyparamétere. szgma: ormáls eloszlás szórása. kof_m: a helyparaméter kofdeca tervalluma 95%-os kofdeca szte. kof_szgma: a szórás kofdeca tervalluma 95%-os kofdeca szte. cumsum: kummulatív gyakorság. 9. Bevezetés a MATLAB programyelvbe. A Statstcs Toolbo éháy eleme ME 009
114 Sztetkus példa korrelácó számításra =[ 3 4 5], y=[ ], N=legth(); atls=0; for =:N atls=atls+(); ed atl=atls/n; yatls=0; for =:N yatls=yatls+y(); ed yatl=yatls/n; s=0; for k=:n s=s+(((k)-atl)^); ed kov=s/(n-); szor=sqrt(kov); s=0; for k=:n s=s+(((k)-atl)*(y(k)-yatl)); ed kov=s/(n-); kov=s/(n-); s3=0; for k=:n s3=s3+((y(k)-yatl)^); ed kov=s3/(n-); szory=sqrt(kov); kovaraca=[kov kov;kov kov], korr=kov/(szor*szor); korr=kov/(szor*szory); korr=korr; korr=kov/(szory*szory); korrelaco=[korr korr;korr korr], Számítsuk k két adatsorra (,y ) a kovaraca és korrelácós mátrot, alkalmazzuk a korrgált tapasztalat szórásokat. = y = kovaraca = szoras_= korrelaco = szoras_y= Bevezetés a MATLAB programyelvbe. A Statstcs Toolbo éháy eleme ME 009
115 Nyékládháza 004-es földmágeses mérés Számítsuk k a kovaraca és a korrelácós mátrot az y=5m és y=8m adatsorra voatkozóa (5 adat/voal). m kovaraca = szoras_= korrelaco = szoras_y= Bevezetés a MATLAB programyelvbe. A Statstcs Toolbo éháy eleme ME 009
116 Sztetkus példa leárs regresszóra Számítsuk k a leárs regresszós paramétereket a polyft függvéy valamt a korrelácós együttható és a szórások segítségével s. clc; clear all; =[0:0]; y_mert=[ ]; eh=polyft(,y_mert,); y_szam=polyval(eh,); plot(,y_mert,'*'); hold o; plot(,y_szam); label(''); ylabel('y'); ttle('leárs regresszó'); m=eh(), a=eh(), R=corrcoef(,y_mert), Szgma=std(), Szgmay=std(y_mert), m_r=r(,)*std(y_mert)/std(), a_atl=mea(y_mert)-m*mea(), R = Szgma = Szgmay = m = a = m_r = a_atl = Bevezetés a MATLAB programyelvbe. A Statstcs Toolbo éháy eleme ME 009
117 Nyékládháza 006-os földmágeses mérés Számítsuk k a regresszós paramétereket a polyft függvéy segítségével. Az smételt mágeses térerősség méréseket egy poto (bázso) 8-h között végeztük a ap korrekcó végrehajtása céljából. 9. Bevezetés a MATLAB programyelvbe. A Statstcs Toolbo éháy eleme ME 009
118 Ajálott rodalom Steer Ferec, 990: A geostatsztka alapja. Taköyvkadó, Budapest. Ferec Steer: Optmum methods statstcs. Akadéma Kadó, Budapest, 997. Szabó Norbert Péter: Geoformatka szoftverfejlesztés. Oktatás segédlet, 006. Stoya Gsbert: Matlab, frssített kadás. Typote, 005. Matlab cetral webpage: Geostatsztka c. tárgy a BSc geográfus alapszak hallgatóak ME 009
119 Köszööm a fgyelmet! Geostatsztka c. tárgy a BSc geográfus alapszak hallgatóak ME 009
Geostatisztika I. Dr. Szabó Norbert Péter. BSc geográfus alapszak hallgatóinak
Geostatsztka I. BSc geográfus alapszak hallgatóak Dr. Szabó Norbert Péter egyetem adjuktus Mskolc Egyetem Geofzka Itézet Taszék e-mal: orbert.szabo.phd@gmal.com Ajálott rodalom Steer Ferec, 990. A geostatsztka
RészletesebbenGeostatisztika. Dr. Szabó Norbert Péter. BSc műszaki földtudományi alapszak hallgatóinak
Geostatsztka BSc műszak földtudomáy alapszak hallgatóak Dr. Szabó Norbert Péter egyetem adjuktus Mskolc Egyetem Geofzka Itézet Taszék e-mal: orbert.szabo.phd@gmal.com Ajálott rodalom Steer Ferec, 990.
RészletesebbenORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!
ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet
Részletesebben? közgazdasági statisztika
Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem
RészletesebbenA paramétereket kísérletileg meghatározott yi értékekre támaszkodva becsülik. Ha n darab kisérletet (megfigyelést, mérést) végeznek, n darab
öbbváltozós regresszók Paraméterbecslés-. A paraméterbecslés.. A probléma megfogalmazása A paramétereket kísérletleg meghatározott y értékekre támaszkodva becsülk. Ha darab ksérletet (megfgyelést, mérést
RészletesebbenMatematikai statisztika
Matematka statsztka 8. elıadás http://www.math.elte.hu/~arato/matstat0.htm Kétmtás eset: függetle mták + + + = + ) ( ) ( ) ( Y Y X X Y X m m m t m Ha smert a szórás: (X elemő, σ szórású, Y m elemő, σ szórású),
RészletesebbenMegállapítható változók elemzése Függetlenségvizsgálat, illeszkedésvizsgálat, homogenitásvizsgálat
Megállapítható változók elemzése Függetleségvzsgálat, lleszkedésvzsgálat, homogetásvzsgálat Ordáls, omáls esetre s alkalmazhatóak a következő χ próbá alapuló vzsgálatok: 1) Függetleségvzsgálat: két valószíűség
Részletesebben? közgazdasági statisztika
... Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB
RészletesebbenStatisztika. Eloszlásjellemzők
Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az
RészletesebbenVáltozók függőségi viszonyainak vizsgálata
Változók függőség vszoyaak vzsgálata Ismétlés: változók, mérés skálák típusa kategoráls változók Asszocácós kapcsolat számszerű változók Korrelácós kapcsolat testsúly (kg) szemüveges em ő 1 3 férf 5 3
RészletesebbenMatematikai statisztika elıadás III. éves elemzı szakosoknak. Zempléni András 9. elıadásból (részlet)
Matematka statsztka elıadás III. éves elemzı szakosokak Zemplé Adrás 9. elıadásból részlet Y közelítése függvéyével Gyakor eset, hogy em smerjük a számukra érdekes meység Y potos értékét pl. holap részvéy-árfolyam,
RészletesebbenA MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI
A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI Az Eötvös Lórád Tudomáyegyetem Természettudomáy Kará a Fzka Kéma Taszék évek óta kéma-szakos taárhallgatókak matematka bevezetõ elõadásokat tart. Az elõadások célja az,
RészletesebbenMatematika B4 I. gyakorlat
Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a
RészletesebbenAdatfeldolgozás, adatértékelés. Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Miskolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanszék
Adatfeldolgozás, adatértékelés Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Mskolc Egyetem, Hdrogeológa Mérökgeológa Taszék A vzsgált köryezet elemek, lletve a felszí alatt közeg megsmerése céljából számtala külöböző
RészletesebbenRegresszió és korreláció
Regresszó és korrelácó regresso: vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás correlato: vszo, összefüggés, kölcsöösség KAD 01.11.1 1 (vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás) Regresszó és korrelácó Gakorlat megközelítés
RészletesebbenHipotéziselmélet. Statisztikai próbák I. Statisztikai próbák II. Informatikai Tudományok Doktori Iskola
Hpotézselmélet Iformatka Tudomáyok Doktor Iskola Statsztka próbák I. 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása Statsztka próbák II. Dötés eljárást dolgozuk k aak eldötésére, hogy a ullhpotézs gaz-e. Ha úgy kell
RészletesebbenRegresszió és korreláció
Regresszó és korrelácó regresso: vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás correlato: vszo, összefüggés, kölcsöösség KAD 016.11.10 1 (vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás) Regresszó és korrelácó Gakorlat megközelítés
RészletesebbenIsmérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o)
Ismérvek között kapcsolatok szorosságáak vzsgálata 1. Egy ks smétlés: mérés skálák (Huyad-Vta: Statsztka I. 5-6. o) A külöböző smérveket, eltérő mérés sztekkel (skálákkal) ellemezhetük. a. évleges (omáls)
RészletesebbenAz átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum)
Az átlagra voatkozó megbízhatósági itervallum (kofidecia itervallum) Határozzuk meg körül azt az itervallumot amibe előre meghatározott valószíűséggel esik a várható érték (µ). A várható értéket potosa
RészletesebbenA statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük.
Statisztikai módszerek. BMEGEVGAT01 Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Gépészméröki Kar Hidrodiamikai Redszerek Taszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
RészletesebbenMatematikai statisztika
Matematikai statisztika PROGRAMTERVEZŐ INFORMATIKUS alapszak, A szakiráy Arató Miklós Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Természettudomáyi Kar 2019. február 18. Arató Miklós (ELTE) Matematikai statisztika
RészletesebbenÖKONOMETRIA. Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó. Szakmai felelős: Elek Péter június
ÖKONOMETIA Készült a TÁMOP-4.1.-08//A/KM-009-0041pályázat projet eretébe Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudomáy Taszéé az ELTE Közgazdaságtudomáy Taszé az MTA Közgazdaságtudomáy Itézet és a
RészletesebbenStatisztika I. 4. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre
Statsztka I. 4. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre KÖZÉPÉRTÉKEK A statsztka sor általáos jellemzésére szolgálak, a statsztka sokaságot egy számmal jellemzk. Számított középértékek: matematka számítás eredméyekét
RészletesebbenA sokaság/minta eloszlásának jellemzése
3. előadás A sokaság/mnta eloszlásának jellemzése tpkus értékek meghatározása; az adatok különbözőségének vzsgálata, a sokaság/mnta eloszlásgörbéjének elemzése. Eloszlásjellemzők Középértékek helyzet (Me,
RészletesebbenTapasztalati eloszlás. Kumulált gyakorisági sorok. Példa. Értékösszegsor. Grafikus ábrázolás
Matemata statszta elıadás III. éves elemzı szaosoa 009/00. élév. elıadás Tapasztalat eloszlás Mde meggyeléshez (,,, ) / súlyt redel. Valószíőségeloszlás! Mtaátlag éppe ee az eloszlása a várható értée.
Részletesebben2. METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS
. METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS. Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudomáya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlye tulajdoságáról számszerű értéket kapuk.
Részletesebben4 2 lapultsági együttható =
Leíró statsztka Egy kísérlet végeztével általában tetemes mennységű adat szokott összegyűln. Állandó probléma, hogy mt s kezdjünk - lletve mt tudunk kezden az adatokkal. A statsztka ebben segít mnket.
RészletesebbenFeladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz
Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.
RészletesebbenFüggvénygörbe alatti terület a határozott integrál
Függvéygörbe alatt terület a határozott tegrál Tektsük az üggvéyt a ; tervallumo. Adjuk becslést a görbe az tegely és az egyees között síkdom területére! Jelöljük ezt a területet I-vel! A becslést legegyszerűbbe
RészletesebbenGEOFIZIKA / 4. GRAVITÁCIÓS ANOMÁLIÁK PREDIKCIÓJA, ANALITIKAI FOLYTATÁSOK MÓDSZERE, GRAVITÁCIÓS ANOMÁLIATEREK SZŰRÉSE
MSc GEOFIZIKA / 4. BMEEOAFMFT3 GRAVITÁCIÓS ANOMÁLIÁK REDIKCIÓJA, ANALITIKAI FOLYTATÁSOK MÓDSZERE, GRAVITÁCIÓS ANOMÁLIATEREK SZŰRÉSE A gravtácós aomálák predkcója Külöböző feladatok megoldása sorá - elsősorba
RészletesebbenBacktrack módszer (1.49)
Backtrack módszer A backtrack módszer kombatorkus programozás eljárás, mely emleárs függvéy mmumát keres feltételek mellett, szsztematkus kereséssel. A módszer előye, hogy csak dszkrét változókat kezel,
RészletesebbenTartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése
3 4 Tartalomegyzék. BEVEZETÉS 5. A MÉRÉS 8. A mérés mt folyamat, fogalmak 8. Fotosabb mérés- és műszertechka fogalmak 4.3 Mérés hbák 8.3. Mérés hbák csoportosítása eredetük szert 8.3. A hbák megeleítés
RészletesebbenA biostatisztika alapfogalmai, konfidenciaintervallum. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet
A biostatisztika alapfogalmai, kofideciaitervallum Dr. Boda Krisztia PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Iformatikai Itézet Mitavétel ormális eloszlásból http://www.ruf.rice.edu/~lae/stat_sim/idex.html
RészletesebbenIntelligens adatelemzés ea. vázlat 1. rész
Itellges adatelemzés ea. vázlat. rész A tematka.ea. a tárgy tematkájáak áttektése. Egy mtaélda M-S adatok elemzése (A)..ea. HF-ok jellegéek megbeszélése, a HF témák választásához szemotok 3.ea. Statsztka
RészletesebbenStatisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.
Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy
RészletesebbenHipotézis vizsgálatok. Egy példa. Hipotézisek. A megfigyelt változó eloszlása Kérdés: Hatásos a lázcsillapító gyógyszer?
01.09.18. Hpotézs vzsgálatok Egy példa Kérdések (példa) Hogyan adhatunk választ? Kérdés: Hatásos a lázcsllapító gyógyszer? Hatásos-e a gyógyszer?? rodalomból kísérletekből Hpotézsek A megfgyelt változó
RészletesebbenA pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata
6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az
RészletesebbenSTATISZTIKA II. kötet
Szeged Tudomáyegyetem Gazdaságtudomáy Kar Petres Tbor Tóth László STATISZTIKA II. kötet Szerzők: Dr. Petres Tbor, PhD egyetem doces Statsztka és Demográfa Taszék Tóth László PhD-hallgató Gazdaságtudomáy
RészletesebbenAzonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága
Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba
RészletesebbenKorreláció- és regressziószámítás
Korrelácó- és regresszószámítás sztochasztkus kapcsolat léyege az, hogy a megfgyelt sokaság egységeek egyk smérv szert mlyeségét, hovatartozását smerve levoható ugya bzoyos következtetés az egységek másk
RészletesebbenIzsák János. ELTE TTK Állatrendszertani és Ökológiai Tanszék. Kézirat
BIOSTATISZTIKAI ALAPISMERETEK Izsák Jáos ELTE TTK Állatredszerta és Ökológa Taszék Kézrat Budapest, 5 Tartalomjegyzék Előszó 4. Valószíűség vektorváltozók 6.. Bevezetés 6.. A többváltozós, specálsa kétváltozós
Részletesebbenbiometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat
Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke
RészletesebbenORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!
ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Élettan Anatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos döntéseket hoz! Mkor jó egy döntés? Mennyre helyes egy döntés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 10. A statisztika alapjai Debrecei Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csaád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Statisztikai függvéyek Defiíció, empirikus várható érték Empirikus
RészletesebbenMÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011
MÉRÉSTECHNIKA DR. HUBA ANTAL c. egy. taár BME Mechatroka, Optka és Gépészet Iformatka Taszék 0 Rövde a tárgyprogramról Előadások tematkája: Metrológa és műszertechka alapok Mérés adatok kértékelése Időbe
Részletesebben24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje.
24. tétel valószíűségszámítás elemei. valószíűség kiszámításáak kombiatorikus modellje. GYORISÁG ÉS VLÓSZÍŰSÉG meyibe az egyes adatok a sokaságo belüli részaráyát adjuk meg (törtbe vagy százalékba), akkor
Részletesebbens n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés
A m és az átlag Standard hba Mnta átlag 1 170 Az átlagok szntén ngadoznak a m körül. s x s n Az átlagok átlagos eltérése a m- től! 168 A m konfdenca ntervalluma. 3 166 4 173 x s x ~ 68% ~68% annak a valószínűsége,
RészletesebbenRegresszió. Fő cél: jóslás Történhet:
Fő cél: jóslás Történhet: Regresszó 1 változó több változó segítségével Lépések: Létezk-e valamlyen kapcsolat a 2 változó között? Kapcsolat természetének leírása (mat. egy.) A regresszós egyenlet alapján
RészletesebbenMérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1
Mérés adatok feldolgozása 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel
Részletesebben18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható
8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.
RészletesebbenMiért pont úgy kombinálja kétfokozatú legkisebb négyzetek módszere (2SLS) az instrumentumokat, ahogy?
Mért pot úgy kombálja kétfokozatú legksebb égyzetek módszere (2SLS az strumetumokat, ahogy? Kézrat A Huyad László 60. születésapjára készülő köyvbe Kézd Gábor 2004. júlus A Budapest Corvus Egyetem rövd
RészletesebbenAZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN
AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN Molár László Ph.D. hallgató Mskolc Egyetem, Gazdaságelmélet Itézet 1. A MINTANAGYSÁG MEGHATÁROZÁSA EGYSZERŐ VÉLETLEN (EV) MINTA
Részletesebben1. A radioaktivitás statisztikus jellege
A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a
RészletesebbenBIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA. Leíró statisztika
BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA Leíró statisztika Első közelítésbe a statisztikai tevékeységeket égy csoportba sorolhatjuk, de ezek között ics éles határ:. adatgyűjtés, 2. az adatok áttekithetővé tétele,
RészletesebbenA matematikai statisztika elemei
A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
RészletesebbenI. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.
I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.
Részletesebben7. MÉRÉSEK KIÉRTÉKELÉSE FÜGGVÉNYILLESZTÉSSEL
7. MÉRÉSEK KIÉRTÉKELÉSE FÜGGVÉNYILLESZTÉSSEL Ebbe a fejezetbe kokrét mérések kértékelését mutatjuk be, köztük azokét s, amelyeket az. fejezetbe leírtuk. A kértékelés módszerét tulajdoképpe levezethetjük
RészletesebbenStatisztikai próbák. Ugyanazon problémára sokszor megvan mindkét eljárás.
Statsztka próbák Paraméteres. A populácó paraméteret becsüljük, ezekkel számolunk.. Az alapsokaság eloszlására van kkötés. Nem paraméteres Nncs lyen becslés Nncs kkötés Ugyanazon problémára sokszor megvan
RészletesebbenA peremeloszlások. Valószínőségszámítás elıadás III. alk. matematikus szak. Példa. Valószínőségi vektorváltozók eloszlásfüggvénye.
y Valószíőségszámítás elıaás III. alk. matematkus szak 4. elıaás, szeptember 30 A peremeloszlások (X,Y) eloszlásából (elevezés: együttes eloszlás) következtethetük az egyes változók eloszlására: P(X)P(X,Y0)+P(X,Y)+P(X,Y2)
RészletesebbenA szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai
05..04. szórások vizsgálata z F-próba Hogya foguk hozzá? Nullhipotézis: a két szórás azoos, az eltérés véletle (mitavétel). ullhipotézishez tartozik egy ú. F-eloszlás. Szabadsági fokok: számláló: - evező:
RészletesebbenI. Valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapok
I. Valószíűségelmélet és matematka statsztka alapok. A szükséges valószíűségelmélet és matematka statsztka alapsmeretek összefoglalása Az alkalmazott statsztka módszerek tárgalása, amel e kötet célja,
RészletesebbenTulajdonságok. Teljes eseményrendszer. Valószínőségi változók függetlensége. Példák, szimulációk
Valószíőségszámítás és statsztka elıadás fo. BSC/B-C szakosokak 3. elıadás Szeptember 26 p 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 A bomáls és a hpergeom. elo. összehasolítása 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k Hp.geom
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
Részletesebben10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
RészletesebbenArrhenius-paraméterek becslése közvetett és közvetlen mérések alapján
Tudomáyos Dákkör Dolgozat SZABÓ BOTOND Arrheus-paraméterek becslése közvetett és közvetle mérések alapá Turáy Tamás. Zsély Istvá Gyula Kéma Itézet Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáy Kar Budapest,
RészletesebbenÖkonometria. /Elméleti jegyzet/
Ökoometra /Elmélet jegyzet/ Ökoometra /Elmélet jegyzet/ Szerző: Nagy Lajos Debrece Egyetem Gazdálkodástudomáy és Vdékfejlesztés Kar (1.,., 3., 4., 5., 6., és 9. fejezet) Balogh Péter Debrece Egyetem Gazdálkodástudomáy
Részletesebben18. Differenciálszámítás
8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke
Részletesebben2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1
Mérés adatok feldolgozása 202.03.0. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel
Részletesebbenf (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben
Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
RészletesebbenHa n darab standard normális eloszlású változót négyzetesen összegzünk, akkor kapjuk a χ 2 - eloszlást: N
Krály Zoltá: Statsztka II. Bevezetés A paraméteres eljárások alkalmazásához, a célváltozóra ézve szgorú feltételek szükségesek (folytoosság, ormaltás, szóráshomogetás), ekkor a hpotézseket egy-egy paraméterre
RészletesebbenValószínűségszámítás. Ketskeméty László
Valószíűségszámítás Ketskeméty László Budapest, 996 Tartalomjegyzék I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 3. Kombatorka alapfogalmak 4 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 6. A valószíűségszámítás alapfogalma
RészletesebbenA felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u
Approxmácó Bevezetés A felhaszált térfogalmak: leárs tér (vektortér) ormált tér Baach tér eukldesz-tér Hlbert tér V ormált tér T V T kompakt halmaz Ekkor v V u ~ T legjobba közelítõ elem azaz v u ~ f {
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
RészletesebbenBevezetés a hipotézis vizsgálatba. Hipotézisvizsgálatok. Próbák leírása. Kétoldali és egyoldali hipotézisek. Illeszkedésvizsgálatok
Bevezetés a hpotézs vzsgálatba Lásd előadás ayagát. Kétoldal és egyoldal hpotézsek Hpotézsvzsgálatok Ebbe a ejezetbe egyajta határozókulcsot szereték ad a hpotézsvzsgálatba haszált próbákhoz. Először dötsük
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
RészletesebbenMegoldás a, A sebességből és a hullámhosszból számított periódusidőket T a táblázat
Fzka feladatok: F.1. Cuam A cuam hullám formájáak változása, ahogy a sekélyebb víz felé mozog (OAA) (https://www.wdowsuverse.org/?page=/earth/tsuam1.html) Az ábra, táblázat a cuam egyes jellemzőt tartalmazza.
RészletesebbenEddig megismert eloszlások Jelölése Eloszlása EX D 2 X P(X = 1) = p Ind(p) P(X = 0) = 1 p. Leíró és matematikai statisztika
Leíró és matematikai statisztika Matematika alapszak, matematikai elemző szakiráy Zempléi Adrás Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Matematikai Itézet Természettudomáyi Kar Eötvös Lorád Tudomáyegyetem
RészletesebbenPéldák 2. Teljes eseményrendszer. Tulajdonságok. Példák diszkrét valószínőségi változókra
Valószíőségszámítás és statsztka elıadás fo. BSC/B-C szakosokak 3. elıadás Szeptember 28 dszkrét valószíőség változókra X(ω)=c mde ω-ra. Elevezés: elfajult eloszlás. P(X=c)=1. X akkor 1, ha egy adott,
Részletesebben13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai
Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk
RészletesebbenA heteroszkedaszticitásról egyszerûbben
Mûhely Huyad László kaddátus, egyetem taár, a Statsztka Szemle főszerkesztője A heteroszkedasztctásról egyszerûbbe E-mal: laszlo.huyad@ksh.hu A heteroszkedasztctás az ökoometra modellezés egyk kulcsfogalma,
RészletesebbenDr. Hanka László PhD. KOCKÁZAT BECSLÉSE A VALÓSZÍNŰSÉG KISZÁMÍTÁSA NÉLKÜL, A MEGBÍZHATÓSÁGI INDEX ÉS ALKALMAZÁSA
XXII. évfolyam, 01.. szám Dr. Haka László PhD. Óbuda Egyetem Bák Doát Gépész és Bztoságtechka Mérök Kar, Mechatroka Itézet E-mal: haka.laszlo@gbk.u-obuda.hu KOCKÁZAT BECSLÉSE A VALÓSZÍNŰSÉG KISZÁMÍTÁSA
Részletesebben= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05
Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em
RészletesebbenStatisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés NBG GI866G4. Statisztika fogalma. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma
Statsztka Sportszervező BSc képzés NBG GI866G4 010-011-es taév II félév Statsztka alapfogalmak Oktató: Dr Csáfor Hajalka főskola doces Vállalkozás-gazdaságta Tsz E-mal: hcsafor@ektfhu Statsztka alapfogalmak
RészletesebbenFELADATOK MÉRÉSELMÉLET tárgykörben. 1. Egy műszer osztálypontossága 2.5, a végkitérése 300 V. Mekkora a mérés abszolút hibája?
FELADATOK MÉÉSELMÉLET tárgykörbe. Egy műszer osztálypotosság., végktérése 3 V. Mekkor mérés bszolút hbáj? H Op v / %,*3/ 7, V. A fet műszer V-ot mér. Mekkor mérés reltív hbáj? H h v % 6,% h 3. Egy mérés
RészletesebbenSzemmegoszlási jellemzők
Szemmegoszlási jellemzők Németül: Agolul: Charakteristike er Korgrößeverteilug Characteristics of particle size istributio Fraciául: Caractéristique e compositio graulométrique Kutatási, fejlesztési és
RészletesebbenMiskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Alkalmazott Informatikai Tanszék
Mskol Egyetem Gépészmérök és Iformatka Kar Alkalmazott Iformatka Taszék 2012/13 2. félév 9. Előadás Dr. Kulsár Gyula egyetem does Matematka modellek a termelés tervezésébe és ráyításába Néháy fotosabb
RészletesebbenMéréstani összefoglaló
PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKAI INTÉZET Méréstai összefoglaló (köryezettudomáyi szakos hallgatók laboratóriumi mérési gyakorlataihoz) Összeállította: Dr. Német Béla Pécs 2008 1 Bevezetés
RészletesebbenMegjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia
Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 5. Megjegyzések. A tétel feltételei gyegíthetőek: elég, ha a függetle, azoos eloszlású változók várható értéke véges.
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
RészletesebbenMINTAVÉTEL A MARKETINGKUTATÁSBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A DIVIZÍV ÉS AZ AGGLOMERATÍV RÉTEGZÉSRE
MINTAVÉTEL A MARKETINGKUTATÁSBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A DIVIZÍV ÉS AZ AGGLOMERATÍV RÉTEGZÉSRE Molár László egyetem taársegéd 1. BEVEZETÉS A statsztkusok a mtaagyság meghatározására számos módszert dolgoztak
RészletesebbenZavar (confounding): akkor lép fel egy kísérletben, ha a kísérletet végző nem tudja megkülönböztetni az egyes faktorokat.
Zavar és mita Zavar (cofoudig): akkor lép fel egy kísérletbe, ha a kísérletet végző em tudja megkülöbözteti az egyes faktorokat. Zavar és mita Zavar (cofoudig): akkor lép fel egy kísérletbe, ha a kísérletet
RészletesebbenRegresszióanalízis. Példák. A regressziószámítás alapproblémája. A regressziószámítás alapproblémája. Informatikai Tudományok Doktori Iskola
A regresszószámítás alapproblémája egresszóaalízs egresszószámításkor egy változót egy (vagy több) másk változóval becslük. Y,,... p függıváltozó függetle változók Y f(,,... p ) becslés f F Iformatka udomáyok
RészletesebbenSorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!
Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei
RészletesebbenA G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:
Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai
RészletesebbenKÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN
KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN DR. REICHART OLIVÉR 005. Budapest Lektorálta: Zukál Edre Tartalom BEVEZETÉS 3. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK 5.. Kombiatorikai alapösszefüggések
RészletesebbenDr. Tóth Zsuzsanna Eszter Dr. Jónás Tamás Erdei János. Gazdaságstatisztika. II. rész A matematikai statisztika alapjai
Budapest Műszak és Gazdaságtudomáy Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudomáy Kar Üzlet Tudomáyok Itézet Meedzsmet és Vállalatgazdaságta Taszék Dr. Tóth Zsuzsaa Eszter Dr. Jóás Tamás Erde Jáos Gazdaságstatsztka
RészletesebbenValós függvénytan. rendezett pár, ( x, valós számok leképezése az csoportra. függvény mint előírás, pl. y x azt jelenti, hogy x
II. Valós függvéyta Alapvetőe ebbe a fejezetbe s elem matematka smeretekről lesz szó, de az smeretek alapos, készségsztű begyakorlása (mely esetleg túlmegy az tt közölt feladatok megoldásá) elegedhetetleek
Részletesebben