Ha n darab standard normális eloszlású változót négyzetesen összegzünk, akkor kapjuk a χ 2 - eloszlást: N

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Ha n darab standard normális eloszlású változót négyzetesen összegzünk, akkor kapjuk a χ 2 - eloszlást: N"

Átírás

1 Krály Zoltá: Statsztka II. Bevezetés A paraméteres eljárások alkalmazásához, a célváltozóra ézve szgorú feltételek szükségesek (folytoosság, ormaltás, szóráshomogetás), ekkor a hpotézseket egy-egy paraméterre (pl. átlag, szórás) fogalmaztuk meg. Ha a feltételek em teljesülek, lletve a változók már eleve omáls vagy ordáls sztűek, em haszálhatjuk a paraméteres eljárásokat mert agymértékbe torzítaak. Így jöttek létre az ú. emparaméteres eljárások, amből sok fajta alakult k, de em szükségesek a paraméteres próbákál előírt megszorítások. A χ - eloszlás A χ -eloszlást a próbastatsztkákba legtöbbször kategorkus adatok elemzésére haszáljuk, lletve akkor, ha az ordáls, vagy eél fomabb skáláko em haszáljuk fel a változó agyságredjére voatkozó formácót. Ha darab stadard ormáls eloszlású változót égyzetese összegzük, akkor kapjuk a χ - eloszlást: Ha: η η, η,..., η (0,), 3 N Akkor kapjuk a Ch-eloszlást: χ η + η + η η 3 Ha égyzetese összegzük, akkor a Ch-égyzet eloszlást kapjuk: 3 χ η + η + η η Vagys az szabadság fokú χ -eloszlás em más mt darab függetle stadard ormál eloszlás égyzetösszege. A χ - statsztka Nullhpotézse általába az, hogy két vagy több omáls változó eloszlása azoos. H H 0 : F : F H H Ha a omáls változóak K-darab külöböző értéke fordulhat elő, akkor a Ch-égyzet statsztka általáos alakja a következő: tap tapasztalt, mért gyakorság várt lleszkedés eseté elvárt, elmélet gyakorság ( tap várt χ várt : az -edk cellába tapasztalt gyakorság N: elemszám p : az -edk cellába elvárt valószíűség )

2 Nemparaméteres eljárások/. (asszocácós mérőszámok omáls és ordáls skálá) K ( Np Np ) χ ( K ), α A próbastatsztkát természetese α szgfkaca-szthez tartozó krtkus érték mellett értelmezzük (táblázat érték). Ha a kszámított próbastatsztka-érték eél agyobb elvetjük a ullhpotézst. Számítógépes alkalmazásokál általába em a táblázat F krt -értéket kapjuk (mvel a számítógép em tudja, hogy m mlye szgorú szgfkaca szt mellett dötük majd később), haem a p-szgfkaca sztet határozza meg. Ha a p-érték 0,05-él ksebb, akkor elvetjük a H 0 -t, egyébkét megtartjuk. Illeszkedésvzsgálat χ -próbával Illeszkedésvzsgálatál az egyk változó egy elmélet eloszlás, a másk pedg a mért gyakorság adatok. H 0 : a tapasztalat és a hpotetkus eloszlás megegyezk H : a tapasztalat és a hpotetkus eloszlás em egyezk meg Azaz: H : F H 0 : F H H Egy telefoos lelksegély szolgálatál egy egyhetes dőtervallum sorá következő módo alakul a ap telefohívások száma: H:9, K:35, Sze:3, Cs:39, :47, Szo:6, V:5 A gyakorlat szert a lelk segítők száma a hét első égy apjá -, az utolsó három apo - fő.

3 Krály Zoltá: Statsztka II. Kérdés: A gyakorlat összhagba va-e azzal az elvárással, hogy a kollegák mukaterhelését egyeletese osszuk el? Napok: p N*p - N*p ( Hétfő 9 0, 9,4-0,4 0,005 Kedd 35 0, 9,4 5,6,066 3 Szerda 3 0, 9,4,6 0,087 4 Csütörtök 39 0, 9,4 9,6 3,34 5 étek 47 0, 58,8 -,8,368 6 Szombat 6 0, 58,8 3, 0,74 7 Vasárap 5 0, 58,8-7,8,034 Σ 94,0 94 7,868 Np ) Kéz számolás, és ch-égyzet eloszlás táblázat haszálata eseté; a df6, és α0,05 szgfkaca-szthez tartozó krtkus érték:,59, így a kszámolt próbastatsztka értéke (7,87) még belefér az elfogadás tartomáyba. Vagys helyes az a gyakorlat mszert dupláz kell az utolsó három apo a szolgálatot teljesítők létszámát. Az lleszkedésvzsgálat futtatása R-be (lelksegély szolgálat): gyak <- c(9,35,3,39,47,6,5) prob <- c(,,,,,,) chsq.test(gyak,pprob/0) Vagy általáosabba: chsq.test(gyak,pprob,rescale.ptrue) Np Eredméy: Ch-squared test for gve probabltes data: gyak X-squared , df 6, p-value A kéz számolással szkroba, (α0,05 mellett) tt sem utasítjuk el a H 0 -t. Feladat:. Egy pézérme szabályosságát vzsgáljuk: feldobjuk 00-szor és 60 esetbe FEJ lett az eredméy. Szabályos-e a pézérme.. Dobókocka szabályosságát vzsgálva az alább dobások születtek: -es:5, -es:, 3- as:7, 4-es:8, 5-ös:30, 6-os:9. Szabályos-e a dobókockák? Két változó kapcsolata Két változó kapcsolatával eddg csak folytoos esetbe találkoztuk. Itt taultuk a korrelácót és a regresszót mt a leárs kapcsolat erősségéek mérőszámát. Most omáls- és ordáls változók kapcsolatával folytatjuk, amhez be kell vezet a kotgecatábla fogalmát. 3

4 Nemparaméteres eljárások/. (asszocácós mérőszámok omáls és ordáls skálá) M a kotgeca tábla, és mre jó? Megfgyelés egységekről több külöböző kategorkus változó adatat összegyűjtve ábrázoljuk a változók külöböző értékeek együttes előfordulás gyakorságat. Az együttes gyakorságok táblázatos elredezése a kotgecatábla. Az elemzés céljatól függőe több formája lehet, két szempotos esetbe a táblázat sora az egyk, oszlopa a másk változó kategórát jeletk, a cellákba pedg a megfgyelt, együttes gyakorságok kerülek. Előfordul, hogy folytoos változókra s szerkesztük kotgecatáblát, ekkor a változók értéket tervallumokra botjuk és eze tervallumok előfordulás gyakorságat írjuk a megfelelő cellákba (pl. kh-égyzet-próba, lleszkedésvzsgálatál ormaltásvzsgálat eseté). A kotgecatábla elemzése lehetőséget ad a változók között függőség vszoyok feltárására s. Kétszempotos kotgecatáblá általába a kh-égyzet-próba szolgál a változók függetleségéek vzsgálatára. Ha emellett dötük, akkor a cellagyakorságok becsülhetők a margáls gyakorságok szorzatával, osztva a megfgyelések teljes N számával. Ha a függetleség ullhpotézsét elutasítjuk, asszocácós v. függőség mérőszámokkal (assocato measures) jellemezzük a változók között kapcsolat erősségét. Ilye maga a khégyzet-statsztka értéke s. Ha ezt N-el elosztjuk, a ph-égyzet égyzetes kotgecát (cotgecy coeffcet) kapjuk. Ez - a sorok és az oszlopok számától függőe, alkalmas ormalzáló téyezővel - 0 és közé tehető. Az így ormalzált kotgeca égyzetgyöke a Cramér-féle V, ezt éha a kapcsolat ráyát mutató előjellel s ellátják. Az említett mérőszámok szmmetrkusak, a változók sorredjét, vagys a kotgecatábla sorat és oszlopat felcserélve értékük em változk. Aszmmetrkus függőség mérőszám pl. a Goodma-Kruskal-féle lambda, amely azt mér, hogy a sorváltozó meyre határozza meg az oszlopváltozó értékét. KxK típusú táblázatba a változók egybevágóságát vzsgálja a Cohe-κ mutató. Egyszerűsége és gyakor alkalmazása matt külö s említedő a két dchotóm (kétértékű) változóból keletkező x -es (égymezős) kotgecatábla. Kevés megfgyelés eseté a kh-égyzet-próba helyett a Fsher-féle egzakt próbát (Fsher s exact test) érdemes választa, mvel az utóbb sokkal potosabb. A kotgecatábláko a hpotézstesztelés legtöbbször vsszavezethető a halmazelméletből s smert függetleség formulára, vagys a: (A B) (A)*(B) összefüggésre, Ha az A és B eseméyhalmazok egymástól függetleek, akkor a metszethalmaz (együttes előfordulás) várható valószíűsége egyelő az elem halmazok valószíűségeek szorzatával. Kotgecatáblá pedg, így módosul: a cellákét várható valószíűségek egyelők az adott cellához tartozó margáls valószíűségek szorzataval, am csak akkor teljesül, ha a sorokba és az oszlopokba levő változók függetleek egymástól. Ez utóbb következméye, hogy egy-egy változóra voatkozó cellagyakorságok aráya s megmaradak a függetleség, azaz H 0 eseté. 4

5 Krály Zoltá: Statsztka II. Tegyük fel, hogy G-sorból és K-oszlopból áll a kotgecatáblák. Változók: B B B 3. B K Sormargálsok: A O O O 3. O K O + A O O O 3. O K O + A 3 O 3 O 3 O 33. O 3K O A G O G O G O G3. O GK O G+ Oszlopmargálsok: O + O + O +3. O +K N Mvel mde -edk sorba K-darab cellát összegzük, a sormargálsok általáos alakja a következő: K O + O j j Mvel mde j-edk oszlopba G-darab cellát összegzük, az oszlopmargálsok általáos alakja a következő: O G + j O j A teljes elemszám pedg az összes cella elemszámaak összegekét állítható elő: N G K O j j Függetleség vzsgálat Ha a két változó kategorkus - akár omáls, akár ordáls - a függetleség vzsgálat Khégyzet próbára vezet. Ugyaazt az elvet alkalmazzuk, mt az lleszkedés vzsgálatál, csak kcst máshogy. A G-sorból, és K-oszlopból álló kotgecatáblá a Ch-égyzet statsztka a következőképp alakul: G K ( j Npj ) χ ( G )( K ), α j Npj A kéz számolás sorá célszerű a tapasztalt és várt gyakorságokra alapoz, mert kevesebb számolást géyel: O j j az -edk sor j-edk cellájába tapasztalt, megfgyelt, mért (Observed) gyakorság E j az -edk sor j-edk cellájába függetleség eseté várt (Expected) gyakorság Alapösszefüggések a kotgecatáblá: E j N p j p j p+ p+ j p + O + N p + j O + j N 5

6 Nemparaméteres eljárások/. (asszocácós mérőszámok omáls és ordáls skálá) Ebből következk, hogy: E j N p j N O O + + p+ p+ j N N N j Ném egyszerűsítés utá, csak a margálsokkal kfejezve: E j O + N O + j Így a próbastatsztka jóval egyszerűbb alakot ölt: G K j ( O j E j E j ) χ ( G )( K ), α Hpotézsek: H 0 : az oszlpokba levő gyakorságok függetleek a soroktól H : az oszlpokba levő gyakorságok em függetleek a soroktól Ugyaez jelölésekkel felírva: H 0 :, j : O j E j H :, j : O j E j Homogetás vzsgálat Formalag ugyaúgy törték, mt a függetleség vzsgálat, csak más az értelmezése. Mdkét esetbe azt kérdezzük, az egyk változó eloszlása eltérő-e a másk változó külöbözô értékeél. Vagys az a kérdés, hogy a sorváltozó és az oszlopváltozó szert gyakorságok függetleek-e egymástól? élda a homogetásvzsgálatra: Egy kutatás sorá az elsőéves egyetem hallgatók lakáskörülméyet vzsgálták: Neme: Lakáskörülméyek: Kollégum: Albérlet: Család: Egyéb: Σ Fú: Láy: Σ N00 Az elemzés futtatása R-be: Table <- matrx(c(4,57,97,7,58,55,46,66),, 4, byrowtrue) rowames(table) <- c('fu', 'Lay') colames(table) <- c('kol', 'Alberlet', 'Csalad', 'Egyeb') Table Test <- chsq.test(table, correctfalse) Test 6

7 Krály Zoltá: Statsztka II. Az eredméy: Kol Alberlet Csalad Egyeb Fu Lay earso's Ch-squared test data: Table X-squared , df 3, p-value A p0,676-os szgfkaca szt azt jelz, hogy a két em képvselőek lakóhely szert eloszlása homogéek tekthető. élda a függetleségvzsgálatra: Feladat: A gyerek később társadalm státusza összefügghet-e az apa végzettségével? A-változó: Apa végzettség: alsó, közép, 3felső B-változó: Gyerek státusz: alsó, közép, 3felső Adatok: Apa (A): Gyerek (B): B B B 3 Σ A A A Σ N405 Az elemzés futtatása R-be: Table <- matrx(c(30,50,30,60,5,0,55,45,90), 3, 3, byrowtrue) rowames(table) <- c('a', 'A', 'A3') colames(table) <- c('b', 'B', 'B3') Table Test <- chsq.test(table, correctfalse) Test A futtatás eredméye: B B B3 A A A earso's Ch-squared test data: Table X-squared , df 4, p-value 6.7e-0 Az eredméy azt mutatja, hogy a gyerek később társadalm státusza és az apa végzettsége összefügg: p0,000, azoba a változók között kapcsolat ráyáról em kapuk formácót. Ha a függetleség vzsgálat sorá azt kapjuk, hogy a két változó függetle egymástól, akkor a kérdést le s zárhatjuk. Ha azoba em függetleek, akkor a kapcsolat mbelétét, erősségét 7

8 Nemparaméteres eljárások/. (asszocácós mérőszámok omáls és ordáls skálá) kezdhetjük vzsgál. Erre szolgálak a külöböző asszocácós mérőszámok, melyeket az előbb Apa-Gyerek vzsgálat χ -eredméyét felhaszálva foguk bevezet. A χ -statsztkából származó asszocácós mérőszámok omáls skálá A χ statsztka a két dszkrét változó függetleségét tesztel, H 0 -eseté függetleségről (lletve homogetásról) beszélük, lyekor a próbastatsztka értéke ulla, vagy ullához közel. A két változó függése eseté a χ statsztka poztív értéket vesz fel és mél agyobb ez az érték, aál agyobb a függés mértéke s. Mvel a statsztka maxmáls értéke függ az elemszámtól és a szabadság foktól s, a felhaszáló számára értelmezhetőbb, származtatott mérőszámok kerültek kdolgozásra. A traszformácók célja az eredet χ statsztka értékét beszoríta a [0, ] tartomáyba, hogy ezáltal egy korrelácóra emlékeztető mérőszámot kapjuk. A Φ (h) együttható Φ χ N A Φ együttható tulajdosága: - H 0 -eseté ulla az értéke, ez a függetleség jele - x-es kotgca tábla eseté, az együttható maxmáls értéke - az együttható értéke túlléphet az -gyet, ha a táblázat soraak, vagy oszlopaak száma kettőél agyobb. Kotgeca (earso-féle C) együttható χ C χ + N A C együttható tulajdosága: - H 0 -eseté ulla az értéke, ez a függetleség jele - az együttható mdg 0 és között marad, de maxmáls értéke az -gyet sohasem ér el Cramer féle V együttható V χ N( k ) ahol k az oszlopok vagy sorok száma közül a ksebbk. 8

9 Krály Zoltá: Statsztka II. A Cramer-féle V együttható tulajdosága: - H 0 -eseté ulla az értéke, ez a függetleség jele - A V együttható mdg 0 és között marad, maxmáls értéke elérhet az -gyet bármely kotgecatábla eseté. Ha két oszlopuk vagy soruk va, akkor értéke azoos a Φ együtthatóval, mvel a tört evezőjébe ekkor csak az N-értéke szerepel. Az asszocácós mérőszámok kszámítása R-be a vcd-csomagból: Table <- matrx(c(30,50,30,60,5,0,55,45,90), 3, 3, byrowtrue) rowames(table) <- c('a', 'A', 'A3') colames(table) <- c('b', 'B', 'B3') Table Test <- assocstats(table) Test A futtatás eredméye: X^ df (> X^) Lkelhood Rato e-09 earso e-0 h-coeffcet : Cotgecy Coeff.: 0.38 Cramer's V : 0.46 Fsher-féle egzakt-próba (Fsher s exact test of sgfcace) Két dchotóm változó között kapcsolat erősségét mér. A függetleséget tesztel és közvetleül számítja k a szgfkaca sztet. H 0 : A sorok és oszlopok függetlesége (homogetás) H : A függetleség / homogetás sérül Nem érzékey: - az eloszlásra, és - a mtaagyságra sem. Általába *-es kotgecatáblá, és ks elemszámál haszáljuk, mvel eléggé számolásgéyes. A χ -próbát helyettesít, ha: - valamelyk cella gyakorsága <5, lletve - ha a mtaagyság N<0 A Fsher-próba működés elve: Közvetleül számolja a mért gyakorságok alapjá az aráytalaság mértékét, a tapasztaltál extrémebb értékek bekövetkezéséek valószíűségét H 0 gaz volta eseté. A számítás alapja a hpergeometrkus eloszlás. A számítás sorá, rögzített margálsok, és függetleséget feltételező H 0 eseté, a tapasztaltál szélsőségesebb elemek elmélet valószíűséget összegezzük, a hpergeometrkus eloszlás mde tovább tagjára. Vzsgálat: Igaz-e hogy a láyok depresszósabbak mt a fúk? 9

10 Nemparaméteres eljárások/. (asszocácós mérőszámok omáls és ordáls skálá) A mérés sorá az alább eredméyeket kaptuk: Depresszós Nem depresszós Láy 7 Fú 5 6 A Fsher-próba kszámításáak meete: Megkeressük a legksebb cellagyakorságot m (tt: m ). A legksebb cellagyakorságot, és a hozzá tartozó átlót lépésekét -gyel csökketve, a másk átlót pedg -gyel övelve egyre erősebb kereszttáblákat állítuk elő, amíg: m 0. (Ha eredetleg m, akkor 3 lépésből áll a számítás.) A mért gyakorságokat tartalmazó táblából duluk k, majd: - az m hez tartozó dagoáls elemet mdg -gyel csökketjük egésze 0-g, eközbe - a másk átló elemet -gyel öveljük - kszámítjuk mde lépésél a -t - addg smételjük a lépéseket amíg m hez tartozó cella 0 lesz - kszámítjuk a k értéket, vagys az egyes lépésekből származó valószíűségek összegét. Y Y Sormargálsok: X a7 b r a+b X c5 d6 r c+d Oszlopmargálsok: s a+c s b+d Na+b+c+d Az -edk lépésbe a -valószíűség a következőképp alakul: r! r! s! s! N! a! b! c! d! Vagys mde lépésél úgy számítjuk k a -t,hogy a margálsok faktorálsaak szorzatát elosztjuk a teljes elemszám, és a cellákét elemszámok faktorálsaak szorzatával. A számítás k+ lépésből áll:σ k Lássuk a fet adatokkal a számítás meetét: 0 Alaphelyzet: a7 b r 9 c5 d6 r s s 8 N0 9!!! 8! 0! 7!! 5! 6! 0 0,3 Első lépés: 0

11 Krály Zoltá: Statsztka II. a8 b r 9 c4 d7 r s s 8 N0 9!!! 8! 0! 8!! 4! 7! 0,04 Másodk lépés: a9 b0 r 9 c3 d8 r s s 8 N0 9!!! 8! 0! 9! 0! 3! 8! 0,00 Így: Σ ,3 + 0,04 + 0,00 0,57 Azaz: p 0,57 Ez azt jelet, hogy a ullhpotézst megtartjuk, vagys a mta alapjá em modhatjuk azt, hogy a láyok depresszósabbak leéek a fúkhoz képest. A Fsher-próba és χ -próba futtatása R-be: Tabla <- matrx(c(7,,5,6),,, byrowtrue) rowames(tabla) <- c('a', 'b') colames(tabla) <- c('x', 'y') Tabla #fsher.test(tabla, a"less") # egyoldal/alsó szgfkaca szt #fsher.test(tabla, a"two") # kétoldal szgfkaca szt fsher.test(tabla, a"greater")# egyoldal/felső szgfkaca szt chsq.test(tabla, correctfalse) remove(tabla) Elv lehetőség az R-be, hogy k lehet számoltat az alsó egyoldal-, és a kétoldal szgfkaca sztet s, de a gyakorlatba eek cs jeletősége. R-Commaderrel: Statstcs / Cotgecy tables / Eter ad aalyze two-way table Eredméy: Fsher's Exact Test for Cout Data data: Tabla p-value alteratve hypothess: true odds rato s greater tha 95 percet cofdece terval: If sample estmates: odds rato earso's Ch-squared test

12 Nemparaméteres eljárások/. (asszocácós mérőszámok omáls és ordáls skálá) data: Tabla X-squared.549, df, p-value 0.4 Amt látható a χ - statsztka eseté szgfkásabb lett az eredméy, mert a ks, és kegyesúlyozatla elemszám matt torzulás jeletkezk (másodfajú hba). A torzulás mértéke az elemszámok csökkeésével egyre agyobb, lye esetbe valóba csak a Fsher-próba az am jól haszálható. Kappa (Cohe-féle κ) együttható Nomáls változók egybehagzóságára alkalmazható asszocácós mérőszám Két omáls változó (A és B) egyezését vzsgálja. Ha ugyaazt az eseméyredszert kétfajta kódolással (A-kódolás és B-kódolás) képezzük le, megvzsgálható, hogy a két kódolás külöbözk-e, vagy léyegébe ugyaaz. A módszert legtöbbször tesztek valdtásvzsgálatára, lletve kódolók (ítészek, bírálók) ítéleteek egybehagzóságáak vzsgálatára haszáljuk. H 0 : a két kategorzácó (kódolás) egymástól függetle H : a két kategorzácó egybehagzk, a függetleségtől poztív ráyba tér el H H 0 : A : A B B Gyakorlat probléma: - Va egy drága, hagyomáyos teszt (A), és egy új olcsó eljárás (B). A két módszer ugyaazt a jeleséget kívája mér. El kell döte, hogy kváltható-e az új módszerrel a rég? Megoldása: A mérés sorá ugyaazt a jeleséget (eseméysort) mdkét teszttel megmérjük, majd megvzsgáljuk, hogy a kétféle teszt által adott kétféle kódolás ( dagózs ) meyre egyezk meg. Egyezés eseté a kétféle kódból előállított kotgecatáblá, csak a főátlóba leszek gyakorság adatok Feltétel, hogy a kétféle mérésből származó adatok (A és B) ugyaazt a kategóra-redszert adják outputkét (pl. Skzofré, Neurotkus, Egészséges). A-teszt B-teszt S N E S N E Láthatjuk, hogy a kétféle mérés agyjából ugyaazt adja. Nem tökéletes az egybehagzóság, de a főátló ge erős. A próbastatsztka kzárólag a kotgecatábla főátlójába levő tapasztalt- és a függetleség eseté várható gyakorságokra alapoz.

13 Krály Zoltá: Statsztka II. κ o e e ahol: o p és e p p + + vagy gyakorságokkal: Ha : E O + N O + Akkor: κ O N E E A mutató stadard hbája pedg (amt kézzel em érdemes számol): ASE ( κ ) N ( ) ( O + O+ + O + O+ N O + O+ O + + O N( N O O ) + [ )] + + A kappa együttható léyegébe azt mér, hogy a függetleség állapotához képest, meyre erősödk fel a kereszttáblába a főátló, azaz meyre vág egybe a két kódoló kategorzácója. A számítógépes alkalmazásokál egy Z-traszformált próbastatsztkát alkalmazak a szgfkacaszt megállapítására (amely H 0 eseté aszmptotkusa stadard ormál eloszlású): κ Z ASE(κ ) A kappa-mutató értelmezése: 0-0,4-g gyege 0,4-0,6 közepes 0,6-0,8 jó 0,8- kváló A Cohe-kappa kszámítása kézzel a fet adatokkal: Változók: B B B 3 Sormargáls: A A A Oszlopmargáls : N07 Tapasztalt gyakorság a főátlóba: O

14 Nemparaméteres eljárások/. (asszocácós mérőszámok omáls és ordáls skálá) Függetleség eseté várt elmélet gyakorság a főátlóba: E + + 6,77 + 3,07 +, ,9 Így a kappa értéke: 7 70,9 00,8 κ 0,7368 am egyébkét a jó egybehagzóságot jelet 07 70,9 36,8 A Cohe-kappa mutató az R-be a vcd-csomagból érhető el: lbrary(vcd) tabla<-matrx(c(45,5,6,0,70,3,7,5,56),3,3,byrowtrue) s.matrx(tabla) ckappa<-kappa(tabla) ckappa Az eredméy pedg kssé háyos: value ASE Uweghted Weghted Így (a súlyozatla κ-ra ) a kétoldal szgfkaca szt kszámítása: a hagyomáyos módszerrel törték: cohesg*(-porm(0.7368/0.039)) cohesg Vagy egyszerűbbe, a számok begépelése élkül: cohesg*(-porm(ckappa$uweghted[]/ckappa$uweghted[])) cohesg Eek értéke: p0.000 Az eredméy azt mutatja, hogy a két teszt javarészt ugyaazt a jeleséget mér, jól egyezk a kétféle eredméy. Am azt jelet, hogy az új és olcsóbb (B) eljárással elég jól helyettesíthető a rég (A) módszer. Lambda (Goodma-Kruskal-féle λ) Nomáls változók predkcós jellegű kapcsolatáak vzsgálatára alkalmazható asszocácós mérőszám A RE-elv (roportoal Reducto predctve Error) Két változó kapcsolatáak vzsgálatára alkalmazott, egyk legrégebb alapelv az Y-változóba (célváltozó) tapasztalható előrejelzés hba egy másk X-változó (predktor) által csökketése. A statsztka próbák zöme erre az alapelvre vezethető vssza. Léyege, hogy a két változóról akkor godoljuk, hogy összefüggek (pl. okság kapcsolat va közöttük), ha a predktorváltozó értékeek smerete léyegese (szgfkása) csökket a célvéltozó becsléséek hbáját. Az eddg smert paraméteres próbák (pl. L.Reg., ANOVA) összhagba vaak ezzel az elvvel, a Goodam-Kruskal-féle λ pedg tökéletese bele s llk a RE-elv kocepcójába. Ha az X-változóval kapcsolatos a-paraméter szgfkása 4

15 Krály Zoltá: Statsztka II. csökket az Y becslés hbáját, ez általába azt jelet, hogy a két változó összefügg, valamlye értelembe, pl. az egyk változó (predktor) befolyásol egy másk változót (célváltozó). Leárs regresszó példájá: H : Y m + ε 0 H : Y b + a X + ε Nullhpotézs eseté, a legjobb becslés a célváltozó (Y) átlaga. Ezzel szembe, akkor fogadjuk el a H -et ha az a meredekségparaméter bevezetése (és az Y -hez tartozó X értékeek smerete) szgfkása csökket a becslés hbát. Egyszempotos ANOVA példájá: H : Y m + ε H 0 : Y m + a + ε Nullhpotézs eseté, a legjobb becslés a célváltozó (Y) átlaga. Akkor fogadjuk el a H -et ha az a csoport-paraméter bevezetése (X értékeek smerete) szgfkása csökket a becslés hbát. Ha az alapelvet megértettük, akkor köye geeralzálhatjuk egyéb, omáls változókra s: Nomáls változók eseté a változó (B) legvalószíűbb értékéek legjobb előrejelzése, a B- változó módusza, vagys a leggyakorbb értéke. Ha ez a B-változó és egy másk, omáls A- változó függvéye vagy következméye, akkor az A-változó értéke szert B-móduszokból megbízhatóbba lehet következtet a B-értékekre, azaz csökke a B-re voatkozó előrejelzés hba valószíűsége. Kérdés: Ha smert a populácó, egy omáls változó szert kategorzácója (A), akkor lehet-e következtetb ugyaeze populácó másk omáls változójára (B). Másképp: ha smerem a populácó egyk kategorzácóját, akkor eek smerete csökket-e egy másk kategorzácó becsléséek véletle hbáját? A B-változó előrejelzés hbája, ha a B-változó móduszával becslük: [hbab] A B-változó előrejelzés hbája, ha smerjük az A-változó értéke szert B-móduszokat: [ hbab A] Abszolút hbacsökkeés: [ hbab] [ hbab A] Aráyos hbacsökkeés: RE B A [ hbab] [ hbab] [ hbab A] 5

16 Nemparaméteres eljárások/. (asszocácós mérőszámok omáls és ordáls skálá) +m : a legagyobb oszlopmargáls valószíűsége (B-módusz) m : az -edk sor legagyobb eleméek valószíűsége (sorokét B-móduszok) λ B A ( + m ) ( m ) + m m + m + m Ugyaez a gyakorságokkal kfejezve: O +m : a legagyobb oszlopmargáls O m : az -edk sor legagyobb eleme λ B A O N m O O + m + m Azt fejez k, hogy mlye aráyba csökke a B-változó előrejelzés hbája, ha smerem ugyaeze sokaság A-változóbel értékét s. A mutató közvetleül mér az aráyos hbacsökkeés mértékét. Szemléletesebbe: a sorváltozó (A) meyre határozza meg az oszlopváltozó (B) értékét? A számítógépes alkalmazásokál Z-traszformált szgfkacaszt megállapítására: λ B A Z ASE λ ) ( B A próbastatsztkát alkalmazak a A gyakorlatba, a lambda értéke már éháy tzed eseté s erős függést jelez Korább példák kapcsá már megállapítottuk, hogy a gyerek és az apa társadalm státusza összefüggött (legalábbs a χ statsztka ezt mutatta), arról vszot em kaptuk formácót, hogy ez a kapcsolat mlye ráyú. Feladat: Az apa végzettsége befolyásolja-e a gyerek társadalm státuszát, vagy fordítva? A-változó: Apa végzettség: alsó, közép, 3felső B-változó: Gyerek státusz: alsó, közép, 3felső Adatok: Apa (A): Gyerek (B): B B B 3 Σ A A A Σ N405 A gyerekre ézve: λ ( ) B A 0, 6

17 Krály Zoltá: Statsztka II. Az apára ézve: λ ( ) A B 0,046 A kapott eredméyek em modaak ellet a józaészek sem, mvel az apa státusza kább meghatározhatja a gyerek társadalm helyzetét, mt fordítva. Megjegyzés: A Goodma-Kruskal-féle λ-mutató az R-programcsomagba még cs mplemetálva. Asszocácós mérőszámok ordáls változók eseté Moototás együtthatók: - Goodma-Kruskal féle (gamma) - Kedall féle τ τ b τ c (tau és tau b, c) - Somers féle D - Kedall-féle - Spearma-féle ragkorrelácó A fagylat-fogyasztás preferecákat vzsgáljuk a csok és a vaílafagyalt eseté. Kérdés: Meyre szeret Ö a fagylaltot?. utálom. megeszem 3. szeretem Változók: X Y Személyek: (csok) (vaíla) A B 3 C D 3 E A személyek X és Y változójáak eleme között, ha mde elemet összehasolítuk, összese: N( N ) darab elempárt lehet képez Ez 5 személy eseté 0 darab párt/összehasolítást fog jelete. Mooto kapcsolat szempotjából a személyek között megkülöböztetük kokordás () és dszkordás (Q), valamt kapcsolt (T) párokat s. Defícók: : Kokordás (egyráyú) az olya pár, amelyél az egyk személy mdkét változójához tartozó skálá magasabba ragsorol, mt a másk személy. Vagys akkor mooto, ha X >X eseté Y >Y s mdg feáll. AB, BE 7

18 Nemparaméteres eljárások/. (asszocácós mérőszámok omáls és ordáls skálá) Esetükbe: Q: Dszkordás (fordított) az olya pár, amelyél a két személy mdkét változójába elletétese ragsorolt. Tehát: X >X eseté Y <Y s mdg gaz. BD Esetükbe: Q Tx: (csak az X-változóba kapcsolt (azoos) és Y változójába eltérő pár) BC Esetükbe: T x Ty: (csak azy-változóba kapcsolt és X változójába eltérő pár) AC, AD, CD, CE, DE Esetükbe: T y 5 A moototásra voatkozó mérőszámok agy hasolóságot mutatak, ameybe a -Q és +Q aráyát vzsgálják külöböző feltételek mellet. Közös beük az a törekvés, hogy a mutató értékét a [-, ] tartomáyba szorítsák be. Goodma-Kruskal féle Γ: A gamma megmutatja, hogy meyvel agyobb a kokordás párok valószíűsége a dszkordás párok valószíűségéél. Q Γ + Q A gamma értéke az előbb példába: Γ + Q Q + 3 0,333 Khagyja azokat az eseteket, ahol kapcsolt pár (egyelőség) va, ezért csak a mooto változópárokkal foglalkozk. Értéke - és között mozoghat, függetleség eseté ulla az értéke. A Γ0 érték azoba csak a x-es táblázat eseté jelet bztosa függetleséget. Somers féle D: Ez aszmmetrkus mérőszám. A D (X Y) azt kérdez, Y és Y külöbözősége eseté X és X vszoya jelet-e moototást. Ebbe az értelembe X-t tekthetjük függő változóak. Q D (X Y) : D( X Y ) 0, 5 + Q + Tx Ha Y a függő változó, akkor: Q D (Y X) : D( Y X ) 0, 5 + Q + Ty

19 Krály Zoltá: Statsztka II. A szmmetrkus változat a két aszmmetrkus D középértéke a képletbe látható módo. Szmmetrkus D: Q Tx + Ty + Q D( sym ) 6 0,66 Kedall féle τ (Tau) Értéke azt fejez k, hogy meyvel agyobb a a kokordás párok valószíűsége a dszkordás párokéhoz képest, ha az összes lehetséges párt fgyelembe vesszük. τ ( Q) N( N ) ( ) 5 (5 ) 0 0, σ τ ( + 5) 9( ) Kedall féle τ b (Tau b) τ b ( + Q + Q Tx) ( + Q + Ty) ( + + )( + + 5) 4 8 0,77 Am egyébkét a két aszmmetrkus Somers-féle D mérta közepével egyelő, azaz: τ b X D( X Y ) D( Y ) 0,5 0,5 0,77 Értéke csak akkor érhet el a +-et vagy --et, ha a táblázat soraak és oszlopaak száma egyelő. Kedall féle τ c (Tau c): Eek értéke már bármlye táblázat eseté elérhet a +-et vagy --et. m( Q) ( ) 4 τ c 0,6 N ( m ) 5 5 Az m jeletése: a két változó értékkészlete (kereszttáblá: a sorok ll. oszlopok száma) közül a ksebbk (tt: m). Spearma-féle ragkorrelácó Ha két folytoos változó eloszlása külöbözk, lletve sérül a ormaltás követelméy, akkor a két folytoos változó leárs kapcsolatára voatkozó earso-féle (paraméteres) leárs 9

20 Nemparaméteres eljárások/. (asszocácós mérőszámok omáls és ordáls skálá) korrelácós együttható torzított eredméyt adhat. Ugyas a earso-féle r-együttható csak tervallum skálá levő ormáls eloszlású változókra haszálható. r ( x ( x x) x)( y y) ( y y) Számukra sokszor csak a két változó együttváltozása (moototása) a fotos: ha az egyk agyobb akkor a másk agyobb ksebb vagy változatla? Ekkor már em a változók kokrét értéke fotosak, csak az egymáshoz vszoyított helyzetük. Ebből az alapelvből kdulva születtek meg a ragsoroláso alapuló eljárások. A ragsorolásos eljárások léyege (ld. később s), hogy a számítás em a változók kokrét értékevel törték, haem a redezett mtába elfoglalt sorszámmal (X helyett: Rag(X ) ragszám). A ragsorolásos eljárások általába em érzékeyek a ormaltás feltétel sérülésére, és a mták eloszlásáak külöbözőségére sem. Csak azt géylk, hogy a változók legalább ordáls típusúak legyeek, ugyas ez a redezhetőség a ragszám-koverzó szükséges és elégséges feltétele. A Spearma-féle ragkorrelácó alapelve: - mdkét mtát redezzük - a redezett mták elemehez ragszámokat redelük - a ragszámokra számoljuk k a hagyomáyos earso-féle (paraméteres) korrelácót Mdkét mta -elemű X : x...x melyek r-külöböző értéke lehet Y : y...y melyek s-külöböző értéke lehet Mdkét mta elemet ragsoroljuk: X-ragsor:,...r Y-ragsor:,...s Az eredet értékeket a redezett mtabel ragszámokkal helyettesítjük (ragszámkoverzó): x R y S Ezt követőe a kovertált ragszámokra alkalmazzuk a earso-képletet: r s ( R ( R R) R)( S Az asszocácós eljárások közül az R-be egyelőre csak a earso-félr r, Spearma-féle rho, és a Kedall-féle tau b érhető el. Az eljárások a cor.test() függvéyel futtathatóak. A szükséges adatok (fagyprefereca) bevtele a futtatáshoz: fagy<-data.frame(xc(,,,3,),yc(,3,,,)) attach(fagy) ( S S ) S ) 0

21 Krály Zoltá: Statsztka II. A hagyomáyos earso-féle paraméteres korrelácó futtatása R-be: cor.test(x,y,method"pearso") Eredméy: earso's product-momet correlato data: X ad Y t 0.335, df 3, p-value alteratve hypothess: true correlato s ot equal to 0 95 percet cofdece terval: sample estmates: cor A Spearma-féle emparaméteres korrelácó (rho) futtatása R-be: cor.test(x,y,method"spearma") Eredméy: Warg cor.test.default(x, Y, method "spearma") : p-values may be correct due to tes Spearma's rak correlato rho data: X ad Y S 6, p-value alteratve hypothess: true rho s ot equal to 0 sample estmates: rho A Kedall-féle tau b asszocácós együttható kszámítása R-be: cor.test(x,y,method"kedall") Az eredméy, pedg: Warg cor.test.default(x, Y, method "kedall") : Caot compute exact p-value wth tes Kedall's rak correlato tau data: X ad Y z 0.433, p-value alteratve hypothess: true tau s ot equal to 0 sample estmates: tau A Hmsc-csomagba található asszocácós eljárások: Goodma Kruskal gamma (Hmsc-csomagból): GKgamma<-rcorr.ces(X, Y, outxtrue) GKgamma

Statisztika. Eloszlásjellemzők

Statisztika. Eloszlásjellemzők Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az

Részletesebben

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o)

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o) Ismérvek között kapcsolatok szorosságáak vzsgálata 1. Egy ks smétlés: mérés skálák (Huyad-Vta: Statsztka I. 5-6. o) A külöböző smérveket, eltérő mérés sztekkel (skálákkal) ellemezhetük. a. évleges (omáls)

Részletesebben

NEMPARAMÉTERES ELJÁRÁSOK

NEMPARAMÉTERES ELJÁRÁSOK Kály Zoltá: Statsztka II. NEMPARAMÉTERES ELJÁRÁSOK Az eddgek soá találkoztuk má olya eláásokkal, melyek a változók középétékét vzsgálták: egymtás-, páos-, függetle mtás t-póba, egy- és többszempotos vaaca

Részletesebben

A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI

A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI Az Eötvös Lórád Tudomáyegyetem Természettudomáy Kará a Fzka Kéma Taszék évek óta kéma-szakos taárhallgatókak matematka bevezetõ elõadásokat tart. Az elõadások célja az,

Részletesebben

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Adatfeldolgozás, adatértékelés. Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Miskolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanszék

Adatfeldolgozás, adatértékelés. Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Miskolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanszék Adatfeldolgozás, adatértékelés Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Mskolc Egyetem, Hdrogeológa Mérökgeológa Taszék A vzsgált köryezet elemek, lletve a felszí alatt közeg megsmerése céljából számtala külöböző

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése 3 4 Tartalomegyzék. BEVEZETÉS 5. A MÉRÉS 8. A mérés mt folyamat, fogalmak 8. Fotosabb mérés- és műszertechka fogalmak 4.3 Mérés hbák 8.3. Mérés hbák csoportosítása eredetük szert 8.3. A hbák megeleítés

Részletesebben

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.

Részletesebben

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 202.03.0. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az

Részletesebben

MINTAVÉTEL A MARKETINGKUTATÁSBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A DIVIZÍV ÉS AZ AGGLOMERATÍV RÉTEGZÉSRE

MINTAVÉTEL A MARKETINGKUTATÁSBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A DIVIZÍV ÉS AZ AGGLOMERATÍV RÉTEGZÉSRE MINTAVÉTEL A MARKETINGKUTATÁSBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A DIVIZÍV ÉS AZ AGGLOMERATÍV RÉTEGZÉSRE Molár László egyetem taársegéd 1. BEVEZETÉS A statsztkusok a mtaagyság meghatározására számos módszert dolgoztak

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

Sztochasztikus tartalékolás és a tartalék függése a kifutási háromszög időperiódusától

Sztochasztikus tartalékolás és a tartalék függése a kifutási háromszög időperiódusától Sztochasztkus tartalékolás és a tartalék függése a kfutás háromszög dőperódusától Faluköz Tamás Vtéz Ildkó Ibola Kozules: r. Arató Mklós ELTETTK Budapest IBNR kfutás háromszög IBNR: curred but ot reported

Részletesebben

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés NBG GI866G4. Statisztika fogalma. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés NBG GI866G4. Statisztika fogalma. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma Statsztka Sportszervező BSc képzés NBG GI866G4 010-011-es taév II félév Statsztka alapfogalmak Oktató: Dr Csáfor Hajalka főskola doces Vállalkozás-gazdaságta Tsz E-mal: hcsafor@ektfhu Statsztka alapfogalmak

Részletesebben

Miért pont úgy kombinálja kétfokozatú legkisebb négyzetek módszere (2SLS) az instrumentumokat, ahogy?

Miért pont úgy kombinálja kétfokozatú legkisebb négyzetek módszere (2SLS) az instrumentumokat, ahogy? Mért pot úgy kombálja kétfokozatú legksebb égyzetek módszere (2SLS az strumetumokat, ahogy? Kézrat A Huyad László 60. születésapjára készülő köyvbe Kézd Gábor 2004. júlus A Budapest Corvus Egyetem rövd

Részletesebben

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve

Részletesebben

VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE

VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE BUDAPET MŰZAK É GAZDAÁGTUDOMÁY EGYETEM Építőmérök Kar Hdak és zerkezetek Taszéke VABETO ÉPÜLETEK MEREVÍTÉE Oktatás segédlet v. Összeállította: Dr. Bód stvá - Dr. Farkas György Dr. Kors Kálmá Budapest,.

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011 MÉRÉSTECHNIKA DR. HUBA ANTAL c. egy. taár BME Mechatroka, Optka és Gépészet Iformatka Taszék 0 Rövde a tárgyprogramról Előadások tematkája: Metrológa és műszertechka alapok Mérés adatok kértékelése Időbe

Részletesebben

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat:

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat: JÁRATTERVEZÉS Kapcsolatok szert: Sugaras, gaárat: Járattípusok Voalárat: Körárat: Targocás árattervezés egyszerű modelle Feltételek: az ayagáram determsztkus, a beszállítás és kszállítás dőpot em kötött

Részletesebben

Arrhenius-paraméterek becslése közvetett és közvetlen mérések alapján

Arrhenius-paraméterek becslése közvetett és közvetlen mérések alapján Tudomáyos Dákkör Dolgozat SZABÓ BOTOND Arrheus-paraméterek becslése közvetett és közvetle mérések alapá Turáy Tamás. Zsély Istvá Gyula Kéma Itézet Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáy Kar Budapest,

Részletesebben

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA)

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) VARIANCIAANAÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) Varancaanalízs. Varancaanalízs (szóráselemzés, ANOVA) Adott: egy vagy több tetszőleges skálájú független változó és egy legalább ntervallum skálájú függő változó.

Részletesebben

Laboratóriumi mérések

Laboratóriumi mérések Laboratórum mérések. Bevezetı Bármlye mérés ayt jelet, mt meghatároz, háyszor va meg a méredı meységbe egy másk, a méredıvel egyemő, ökéyese egységek választott meység. Egy mérés eredméyét tehát két adat

Részletesebben

I. BEVEZETİ. i= 1 i= Z : Ai F és Ai Ai+ i Z : Bi F és Bi Bi+

I. BEVEZETİ. i= 1 i= Z : Ai F és Ai Ai+ i Z : Bi F és Bi Bi+ I ALAPFOGALMAK I BEVEZETİ Jelölése: K: véletle ísérlet, ω : elem eseméy, { : } Ω= ω : eseméytér, F Ω : eseméyalgebra, A F : eseméy, Ω F : bztos eseméy Mővelete eseméyeel: összegzés: A+B (halmazuó), szorzás:

Részletesebben

kritikus érték(ek) (critical value).

kritikus érték(ek) (critical value). Hipotézisvizsgálatok (hypothesis testig) A statisztikáak egyik célja lehet a populáció tulajdoságaiak, ismeretle paramétereiek a becslése. A másik tipikus cél: valamely elmélet, hipotézis empirikus bizoyítása

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

A Sturm-módszer és alkalmazása

A Sturm-módszer és alkalmazása A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László Valószíűségszámítás Ketskeméty László Budapest, 996 Tartalomjegyzék I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 3. Kombatorka alapfogalmak 4 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 6. A valószíűségszámítás alapfogalma

Részletesebben

INNOVÁCIÓ. Eszközök, környezet, Fejlesztési ötletek, variációs paraméterek. Kísérletterv kidolgozás. Konstrukciós elvárások megoldási ötletek

INNOVÁCIÓ. Eszközök, környezet, Fejlesztési ötletek, variációs paraméterek. Kísérletterv kidolgozás. Konstrukciós elvárások megoldási ötletek Termékjellemzők optmalzálásáál haszálatos formácós módszerta 1 Bevezetés Koczor Zoltá, Némethé Erdőd Katal, Kertész Zoltá, Szecz Péter Óbuda Egyetem, RKK, Mőségráyítás és Techológa Szakcsoport Napjak aktuáls

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ SPSS ALAPJAIBA. (Belső használatra)

BEVEZETÉS AZ SPSS ALAPJAIBA. (Belső használatra) BEVEZETÉS AZ SPSS ALAPJAIBA (Belső haszálatra) TARTALOMJEGYZÉK. Statsztka alapfogalmak..... Sokaság...4.2. Ismérvek és mérés skálák...6.3. Statsztka sorok...7 2. SPSS alapfogalmak...9 3. Alapvető statsztka

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

KTK. Dr. Herman Sándor Dr. Rédey Katalin. Statisztika I. PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM. Közgazdaságtudományi Kar. Alapítva: 1970

KTK. Dr. Herman Sándor Dr. Rédey Katalin. Statisztika I. PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM. Közgazdaságtudományi Kar. Alapítva: 1970 Dr. Herma Sádor Dr. Rédey Katal Statsztka I. PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM KTK Közgazdaságtudomáy Kar Alapítva: 97 Mde jog fetartva. Jele köyvet vagy aak részletet a szerző egedélye élkül bármlye formába vagy

Részletesebben

specific (assignable) cause: azonosítható, tettenérhető (veszélyes) hiba megváltozott a folyamat

specific (assignable) cause: azonosítható, tettenérhető (veszélyes) hiba megváltozott a folyamat ELLENŐRZŐ KÁRTYÁK méréses mősítéses commo cause: véletle gadozás secfc (assgable) cause: azoosítható, tetteérhető (veszélyes) hba megváltozott a folyamat Mősítéses elleőrző kártyák 41 Mősítéses elleőrző

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 8. Valószíűségszámítás ESEMÉNYEK 174 Eseméyek formális leírása, műveletek 175 Feladatok 176 A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA 177 A valószíűség tulajdoságai 178 Mitapéldák 179 Feladatok 181 VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK

Részletesebben

Számítógépes döntéstámogatás

Számítógépes döntéstámogatás Pao Egyetem Műszak Iformatka Kar Vllamosmérök és Iformácós Redszerek aszék Számítógépes dötéstámogatás Előadás vázlatok Dr. Kozma György Veszprém, 0/03 Számítógépes dötéstámogatás tematka, 0 ematka. Leíró

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

STATISZTIKAI MÓDSZEREK

STATISZTIKAI MÓDSZEREK HAJTMAN BÉLA STATISZTIKAI MÓDSZEREK Egetem egzet Pázmá Péter Katolkus Egetem, Bölcsészettudomá Kar Plscsaba, 0. Bevezetés Az első félévbe (Bostatsztka) a statsztka alapat smertük meg. Természetese ez

Részletesebben

Khi-négyzet eloszlás. Statisztika II., 3. alkalom

Khi-négyzet eloszlás. Statisztika II., 3. alkalom Khi-négyzet eloszlás Statisztika II., 3. alkalom A khi négyzet eloszlást (Pearson) leggyakrabban kategorikus adatok elemzésére használjuk. N darab standard normális eloszlású változó négyzetes összegeként

Részletesebben

Az állat becsült kor. teljes súly. teljes hossz orrtól. törzs hossza. pocak körkörös méret. hátsó láb hossza kör

Az állat becsült kor. teljes súly. teljes hossz orrtól. törzs hossza. pocak körkörös méret. hátsó láb hossza kör Koeláció- és egesszió-aalízis Az is előfodulhat, hogy két változó között ics semmilye kapcsolat: Az X és Y véletle változók között az alábbi ábáko Az állat becsült ko pozitív összefüggés em lieáis összefüggés

Részletesebben

Valószínűségszámítás és matematikai statisztika. Ketskeméty László

Valószínűségszámítás és matematikai statisztika. Ketskeméty László Valószíűségszámítás és matematka statsztka Ketskeméty László Budapest, 996 Tartalomjegyzék I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 4. Kombatorka alapfogalmak 5 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 7. A valószíűségszámítás

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Valószí ségszámítás és statisztika oktatási segédayag Kupá Pál Tartalomjegyzék fejezet Valószí ségszámítási alapfogalmak 5 Eseméyek 5 M veletek eseméyekkel 5 2 A valószí ség fogalma 7 3 Valószí ségi változók

Részletesebben

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben

Részletesebben

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk.

Részletesebben

Példa: Egy üzletlánc boltjainak forgalmára vonatkozó adatok 1999. október hó: (adott a vastagon szedett!) S i g i z i g i z i

Példa: Egy üzletlánc boltjainak forgalmára vonatkozó adatok 1999. október hó: (adott a vastagon szedett!) S i g i z i g i z i . konzult. LEV. 013. ápr. 5. MENNYISÉGI ISMÉRV szernt ELEMZÉS Tk. 3-8., 88-90. oldal, kmarad: 70., 74. oldal A mennység smérv (X) lehet: dszkrét és folytonos. A rangsor a mennység smérv értékenek monoton

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei Eukldes tér, metrkus tér, ormált tér, magasabb dmeós terek vektoraak söge, eek követkemée Metrkus tér Defícó. A H halmat metrkus térek eveük, ha va ola, metrkáak eveett m: H H R {0} függvé, amelre a követkeők

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

2.10. Az elegyek termodinamikája

2.10. Az elegyek termodinamikája Kéma termodamka.1. z elegyek termodamkája fzka kéma több féle elegyekkel foglakozk, kezdve az deáls elegyektől a reáls elegyekg. Ha az deáls elegyek esetébe az alkotók közt kölcsöhatásokat elhayagoljuk,

Részletesebben

A SOKASÁGI ARÁNY MEGHATÁROZÁSÁRA IRÁNYULÓ STATISZTIKAI ELJÁRÁSOK VÉGES SOKASÁG ÉS KIS MINTÁK ESETÉN LOLBERT TAMÁS 1

A SOKASÁGI ARÁNY MEGHATÁROZÁSÁRA IRÁNYULÓ STATISZTIKAI ELJÁRÁSOK VÉGES SOKASÁG ÉS KIS MINTÁK ESETÉN LOLBERT TAMÁS 1 ÓDSZERTAI TAULÁYOK A SOKASÁGI ARÁY EGHATÁROZÁSÁRA IRÁYULÓ STATISZTIKAI ELJÁRÁSOK VÉGES SOKASÁG ÉS KIS ITÁK ESETÉ LOLBERT TAÁS 1 A ckk ő célja aak vzsgálata, hogy az elleőrzés gyakorlatba széles körbe haszált

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN DR. REICHART OLIVÉR 005. Budapest Lektorálta: Zukál Edre Tartalom BEVEZETÉS 3. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK 5.. Kombiatorikai alapösszefüggések

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Hanka László. Fejezetek a matematikából

Hanka László. Fejezetek a matematikából Haka László Egyetemi jegyzet Budapest, 03 ÓE - BGK - 304 Szerző: Dr. Haka László adjuktus (OE BGK) Lektor: Hosszú Ferec mestertaár (OE BGK) Fiamak Boldizsárak Előszó Ez az elektroikus egyetemi jegyzet

Részletesebben

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola Dr. Ratkó István Matematka módszerek orvos alkalmazása 200..08. Magyar Tudomány Napja Gábor Dénes Főskola A valószínűségszámítás és matematka statsztka főskola oktatásakor a hallgatók néha megkérdezk egy-egy

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...!

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

Elektrokémiai fémleválasztás. Felületi érdesség: definíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás során

Elektrokémiai fémleválasztás. Felületi érdesség: definíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás során Elektrokémiai fémleválasztás Felületi érdesség: defiíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás sorá Péter László Elektrokémiai fémleválasztás Felületi érdesség fogalomköre és az érdesség

Részletesebben

Komputer statisztika

Komputer statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................

Részletesebben

Adatelemzés és adatbányászat MSc

Adatelemzés és adatbányászat MSc Adatelemzés és adatbányászat MSc. téma Adatelemzés, statsztka elemek áttekntése Adatelemzés módszertana probléma felvetés módszer, adatok meghatározása nyers adatok adatforrás meghatározása adat tsztítás

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

GEODÉZIA I. NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM ERDŐMÉRNÖKI KAR Erdőmérnöki Szak. Dr. Bácsatyai László. Kézirat. Sopron, 2002.

GEODÉZIA I. NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM ERDŐMÉRNÖKI KAR Erdőmérnöki Szak. Dr. Bácsatyai László. Kézirat. Sopron, 2002. A geodéza tárgya, felosztása, alapfogalmak NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM ERDŐMÉRNÖKI KAR Erdőmérök Szak Dr. Bácsatya László GEODÉZIA I. Kézrat Sopro, 00. . A geodéza tárgya, felosztása, alapfogalmak A gyűjtögető,

Részletesebben

Kevei Péter. 2013. november 22.

Kevei Péter. 2013. november 22. Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

2.6. Az ideális gáz fundamentális egyenlete

2.6. Az ideális gáz fundamentális egyenlete Fejezetek a fzka kéából.6. Az deáls gáz fudaetáls egyelete A legegyszerűbb terodaka redszer az u. deáls gáz. Erre jellező, hogy a részecskék között az egyetle kölcsöhatás a rugalas ütközés, és a részecskék

Részletesebben

AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL

AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL 36 MIXCONTROL AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL Subert Istvá deformáció-elleálló keverékvázat lehet létrehozi. Kiidulási feltétel az alkalmazás helyéek

Részletesebben

HAGYOMÁNYOS MÓDSZEREK ÉS ÚJ KIHÍVÁSOK AZ ÁGAZATON BELÜLI KERESKEDELEM MÉRÉSÉBEN* ERDEY LÁSZLÓ

HAGYOMÁNYOS MÓDSZEREK ÉS ÚJ KIHÍVÁSOK AZ ÁGAZATON BELÜLI KERESKEDELEM MÉRÉSÉBEN* ERDEY LÁSZLÓ ÓDSZERTANI TANULÁNYOK HAGYOÁNYOS ÓDSZEREK ÉS ÚJ KIHÍVÁSOK AZ ÁGAZATON BELÜLI KERESKEDELE ÉRÉSÉBEN* ERDEY LÁSZLÓ Az ágazato belül kereskedelem témaköre az 960-as évekbe, az Európa Gazdaság Közösség létrehozásával

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS

Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS Jegyzet ELE, Iformata Kar Hegedős: Numerus Aalízs ARALOM Gép szám, hbá 3 Normá, egyelıtlesége 9 3 A umerus leárs algebra egyszerő traszformácó 6 4 Mátro LU-felbotása, Gauss-Jorda

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

NYERS GÁBOR: Kontrolling és a költségvetés folyamatos ellenõrzése a PSZÁF gyakorlatában 518

NYERS GÁBOR: Kontrolling és a költségvetés folyamatos ellenõrzése a PSZÁF gyakorlatában 518 Tartalom KÖZPÉNZÜGYEK MONETÁRIS ÉS FISKÁLIS RENDSZER ERDÕS TIBOR: Stagflácó és moetárs poltka 36 BÁGER GUSZTÁV PULAY GYULA: A költségvetés tervezés makrogazdaság kockázataak elemzése 384 KUTASI GÁBOR:

Részletesebben

Termékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás és piaci erő. Termékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás. Modern piacelmélet

Termékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás és piaci erő. Termékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás. Modern piacelmélet Moder acelmélet Moder acelmélet Termékdfferecálá ELTE TáTK Közgazdaágtudomáy Tazék Sele Adre ELTE TáTK Közgazdaágtudomáy Tazék Kézítette: Hd Jáo A taayag a Gazdaág Vereyhvatal Vereykultúra Közota é a Tudá-Ökoóma

Részletesebben

X = 9,477 10 3 mol. ph = 4,07 [H + ] = 8,51138 10 5 mol/dm 3 Gyenge sav ph-jának a számolása (általánosan alkalmazható képlet):

X = 9,477 10 3 mol. ph = 4,07 [H + ] = 8,51138 10 5 mol/dm 3 Gyenge sav ph-jának a számolása (általánosan alkalmazható képlet): . Egy átrium-hidroxidot és átrium-acetátot tartalmazó mita 50,00 cm 3 -es részletée megmérjük a ph-t, ami,65-ek adódott. 8,65 cm 3 0, mol/dm 3 kocetrációjú sósavat adva a mitához, a mért ph 5,065. Meyi

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

Hajtástechnika \ Hajtásautomatizálás \ Rendszerintegráció \ Szolgáltatások MOVITRAC B. Üzemeltetési utasítás. Kiadás: 2009. 05.

Hajtástechnika \ Hajtásautomatizálás \ Rendszerintegráció \ Szolgáltatások MOVITRAC B. Üzemeltetési utasítás. Kiadás: 2009. 05. Hajtástechka \ Hajtásautomatzálás \ Redszertegrácó \ Szolgáltatások MOVITRAC B Kadás: 2009. 05. 16810961 / HU Üzemeltetés utasítás SEW-EURODRIVE Drvg the world Tartalomjegyzék 1 Fotos tudvalók... 5 1.1

Részletesebben

Óbudai Egyetem. Doktori (PhD) értekezés. Mamdani-típusú következtetési rendszeren alapuló kockázatkiértékelő módszerek optimalizálása

Óbudai Egyetem. Doktori (PhD) értekezés. Mamdani-típusú következtetési rendszeren alapuló kockázatkiértékelő módszerek optimalizálása Óbuda Egyetem Dotor (PhD) érteezés Mamda-típusú öveteztetés redszere alapuló ocázatértéelő módszere optmalzálása Tóthé Laufer Edt Témavezető: Rudas Imre, DSc Taács Márta, PhD Alalmazott Iformata és Alalmazott

Részletesebben

A válaszadó-vezérelt mintavétel megbízhatóságának vizsgálata szimulációs módszerekkel 1

A válaszadó-vezérelt mintavétel megbízhatóságának vizsgálata szimulációs módszerekkel 1 Szociológiai Szemle 23(2): 72 88. válaszadó-vezérelt mitavétel megbízhatóságáak vizsgálata szimulációs módszerekkel 1 Kmetty Zoltá Simo Dávid zkmetty@yahoo.com; dr.david.simo@gmail.com Beérkezés: 2013.

Részletesebben

Románia országimage-e a német nyelvterületeken élők szemében

Románia országimage-e a német nyelvterületeken élők szemében XI. Erdély Tudomáyos Dákkör Kofereca Romáa országmage-e a émet yelvterületeke élők szemébe Témavezető: Szerző: Bagoly-Smó Péter Boér Alíz Taársegéd, BBTE, Földrajz Kar BBTE, Földrajz Kar, Turzmusföldrajz,

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

Rádiókommunikációs hálózatok

Rádiókommunikációs hálózatok Rádiókommuikációs hálózatok Készült az NJSZT Számítógéphálózat modellek Tavaszi Iskola elöadás-sorozataihoz. 977-980. Gyarmati Péter IBM Research, USA; Budapest Föváros Taácsa. I this paper we show a somewhat

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA 9. LINÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKA Az 5. fejezetbe már megmeredtü a leár trazformácóal mt a leár leépezée egy ülölege típuával a 6. fejezetbe pedg megvzgáltu a leár trazformácó mátr-reprezetácóját.

Részletesebben

AZ IGÉNY SZERINTI TÖMEGGYÁRTÁS KÉSZLETGAZDÁLKODÁSI PROBLÉMÁINAK MEGOLDÁSA MÓDOSÍTOTT ÚJSÁGÁRUS MODELL SEGÍTSÉGÉVEL

AZ IGÉNY SZERINTI TÖMEGGYÁRTÁS KÉSZLETGAZDÁLKODÁSI PROBLÉMÁINAK MEGOLDÁSA MÓDOSÍTOTT ÚJSÁGÁRUS MODELL SEGÍTSÉGÉVEL MAGYAR TUDOMÁNY NAPJA DOKTORANDUSZOK FÓRUMA Mskolc Egyetem, 2006. ovember 9. AZ IGÉNY SZERINTI TÖMEGGYÁRTÁS KÉSZLETGAZDÁLKODÁSI PROBLÉMÁINAK MEGOLDÁSA MÓDOSÍTOTT ÚJSÁGÁRUS MODELL SEGÍTSÉGÉVEL Mleff Péter,

Részletesebben