Bevezetés a hipotézis vizsgálatba. Hipotézisvizsgálatok. Próbák leírása. Kétoldali és egyoldali hipotézisek. Illeszkedésvizsgálatok

Átírás

1 Bevezetés a hpotézs vzsgálatba Lásd előadás ayagát. Kétoldal és egyoldal hpotézsek Hpotézsvzsgálatok Ebbe a ejezetbe egyajta határozókulcsot szereték ad a hpotézsvzsgálatba haszált próbákhoz. Először dötsük el, hogy mt szereték tesztel, majd keressük meg azt a részt és egyekét válaszolva a kérdésekre jussuk el a haszáladó próbához. A próbák részletes leírása a következő ejezetbe va. Érdemes elolvas a példákat, melyekből újabb ötleteket kaphattok, hogy mre s haszálható egy-egy próba. II. Az eloszlásra voatkozó próbák II. Eloszlás egyezése adott elmélet eloszlással - lleszkedésvzsgálat II. Két eloszlás egyezése, homogetás vzsgálat II.3 Függetleségvzsgálat Illeszkedésvzsgálatok χ próba Kolmogorov-Smrov próba Log-valószíűség próba Homogetás vzsgálat χ próba Függetleségvzsgálat χ próba Próbák leírása Illeszkedésvzsgálat χ próbával Ige gyakor adatelemzés probléma, hogy egy adott populácóból való mták alapjá eldötsük, hogy az adott populácó valamlye elmélet eloszlású-e. Az lleszkedésvzsgálatál a ullhpotézsük az, hogy a meggyelt populácó eloszlása az elméletleg várt eloszlással egyezk. A χ próba omáls skálájú valószíűség változó eseté alkalmazható, lehetőleg ge agyszámú meggyelés eseté. A próbához először meg kell ad az elmélet eloszlást, amhez a meggyelt eloszlás lleszkedését vszoyítjuk. Legye A ( =.. k) teljes eseméyredszer, és legye P(A ) = p. Végezzük meggyelést, ambe A eseméy -szer következk be. Másképpe egy meggyelt eloszlás mde eleméhez redeljük egy elmélet eloszlás F elemét.

2 A próbastatsztkák legye a következő: ( p ) ( F ) χ = = p F A próbastatsztka χ eloszlású k- szabadság okkal. A χ próbát csak akkor végezhetjük lleszkedésvzsgálatra, ha egyetle elmélet gyakorság sem ksebb egyél, és az elméletleg várt gyakorságok maxmum 0%-a ksebb 5-él. Yates olytoosság korrekcó: A számolt próbastatsztka csak becslése az elmélet χ eloszlásak. A becslés agyo jó, kvéve azo esetekbe, amkor k = (tehát d = ). Ekkor a Yates által ajálott korrekcóval érdemes él, azaz mde F - külöbséget 0.5-el csökketjük. A próbastatsztkák így: χ = ( F 0. ) 5 F Kolmogorov-Smrov egymtás próba lleszkedés vzsgálatra Ez a próba kmodotta jól haszálható ordáls, tervallum vagy aráy jellegű meységek eseté lleszkedésvzsgálatra. Továbbá előyösebb az alkalmazása a χ próbáál, ha a meggyelések száma alacsoy és/vagy az elméletleg várható értékek alacsoyak. A próbához először meg kell ad az elmélet eloszlást, amhez a meggyelt eloszlás lleszkedését vszoyítjuk. Legye A ( =.. k) teljes eseméyredszer, és legye P(A ) = p. Végezzük meggyelést, ambe A eseméy -szer következk be. Másképpe egy meggyelt eloszlás mde eleméhez redeljük egy elmélet eloszlás F elemét. Ezt követőe számoljuk k a kummulált meggyelt és elmélet gyakorságokat (léyegébe az eloszlásüggvéyt számoljuk k). Vegyük mde kummulált meggyelt és elmélet gyakorság külöbségéek abszolút értékét (d ). A próbastatsztkák értéke mdeze d közül a legagyobb osztva -el. max kum D = kum F max d = Függetleségvzsgálat χ próbával, kotgeca táblák Egyszerűség kedvéért vzsgáljuk most kétdmezós problémákat, azaz olyaokat, melyekbe két változó üggetleségét kell tesztelük (a próba természetese több dmezós elemzésél s hasolóa elvégezhető). Alkossuk egy olya táblázatot, amek soraak száma (r) megegyezk az első változó értékeek számával, az oszlopok száma pedg a másk változó értékeek számával (c). A mátrx j elemébe azo meggyelések száma kerül, amelyekre gaz az első változó -k értéke és a másodk változó j-k értéke. Alkossuk meg mde sorra az adott sorba levő meggyelések számáak összegét (R ), lletve egy-egy oszlopba található meggyelések értékét (C j ). R C Ameybe a két változó üggetle egymástól úgy elméletleg az Fj = (ahol az összes meggyelések száma) értékek kerüléek a kotgeca táblába. A két eloszlás egyezése - és így a üggetleség - χ próbával tesztelhető d = (r-) (c-) szabadság ok mellett. χ ( F ) = j F j j

3 -es kotgeca táblákra a következő egyszerűsítő képleteket alkalmazhatjuk: ( ) χ =, a szabadság ok (d) egy (). Ez esetbe a Yates éle olytoosság korrekcót R C R C alkalmazhatjuk: χ = ( / ) R C R C Példák. Növéygeetkusok elvégeztek egy keresztezést, amt követőe 3: aráyba várak sárga és zöld vrágú övéyeket. Elvégezve a kísérletet 00 övéyt vzsgálak. A 00 övéyből 84 sárga, 6 zöld vrágú volt. Igaz-e, hogy 3:-es hasadást kaptuk? A kérdést χ próba segítségével döthetjük el, hsz vsszavezethető lleszkedést vzsgáltra. Nullhpotézsük (H 0 ) az, hogy az adatok olya keresztezésből eredek, melyekbe a sárga - zöld vrágú övéyek aráya 3:- hez. Ellehpotézsük (H ) természetese az, hogy a hasadás aráy em 3:-hez. A tapasztalat eloszlás mellé el kell íruk az elmélet eloszlást s. Elvleg 00 övéyből 75 sárgát és 5 zöldet váruk. Másképpe p(zöld) = 0.5; p(sárga) = 0.75; = 00, tehát F sárga = p(sárga) = 75, és F zöld = p(zöld) = 5 Sárga Zöld meggyelt gyakorság ( ) elmélet gyakorság (F ) (75) (5) ( F ) (84 75) (6 5) A próbastatsztkák: χ = = = 4.30 F 75 5 A χ eloszláshoz még hozzá tartozk a szabadság ok megállapítása, am esetükbe a kategórák (k=) száma míusz egy, tehát d =. 95%-os szgkacaszte a χ α=0.05; d==3.84, így a ullhpotézs elvetése mellett dötük.. Vzsgáljuk meg az egyk klasszkus Medel- kísérletet kmeetelét! Sárga és sma babszemű, heterozgóta (F emzedék) övéyeket utóda között a következő eotípus eloszlást tapasztaltuk: 5 sárga és sma, 39 sárga és rácos, 53 zöld és sma és 6 zöld és rácos. Klasszkus Medel- öröklődést eltételezve 9:3:3: aráyba kell kapuk a eotípusokat. Teszteljük azt a hpotézst, hogy a mta egy olya populácóból ered, ahol a eotípusok aráya 9:3:3:. Sárga, Sárga, Zöld, Zöld, sma rácos sma rácos meggyelt gyakorság ( ) elmélet gyakorság (F ) (40.65) (46.65) (46.65) (5.65) A próbastatsztkák: ( F ) ( ) ( ) ( ) (6 5.65) χ = = = F = = 8.97

4 A χ eloszláshoz még hozzá tartozk a szabadság ok megállapítása, am esetükbe a kategórák (k=4) száma míusz egy, tehát d = 3. 95%-os szgkacaszte a χ α=0.05; d=3=7.8, így a ullhpotézs elvetése mellett dötük. Tehát a hasadás em 9:3:3: Ameybe a ullhpotézst elogadtuk vola, úgy em vzsgálódtuk vola tovább, így azoba tovább aggatjuk adatakat. Nem tudjuk, hogy az eltérésért valamely eotípus gyakorsága okolható, vagy az hasadás markása eltér a várttól. Láthatjuk a próbastatsztka értékéhez a legagyobb hozzájárulást a egyedk tag (a mdkét gére homozgóta receszív zöld, rácos eotípus) adja. Feltehető tehát, hogy eek a eotípusak a gyakorsága tér el ayra a várttól, hogy az eredet ullhpotézst el kellet vetük. Hagyjuk el hát az adatokból ezeket az értékeket és vzsgáljuk, hogy a maradék eotípusok 9:3:3 aráyba hasadak-e? Sárga, Sárga, Zöld, sma rácos sma meggyelt gyakorság ( ) elmélet gyakorság (F ) (46.4) (48.8) (48.8) A próbastatsztkák: ( F ) (5 46.4) ( ) ( ) χ = = = =.543 F A haszáladó χ eloszlás szabadság oka. 95%-os szgkacaszte a χ α=0.05; d==5.99, így a ullhpotézst elogadjuk. Tehát a hasadás 9:3:3, azaz a klógó érték téyleg a zöld rácos gyakorsága volt (ameybe tesztelék, hogy az első három eotípus kombált száma és az utolsóé 5:-hez hasad-e, úgy ezt a ullhpotézst el kée vetük. Ez megerősít azt az elképzelést, hogy az utolsó tag matt vetettük el az eredet ullhpotézst). A statsztka eyt tud moda ekük a tapasztalt eloszlással kapcsolatba, aak kderítése, hogy mért lett egy eotípusból kevesebb, mt vártuk a bológus eladata. Godolhatjuk például, hogy a homozgóta recesszív géek emcsak a mag alakra/szíre gyakorolak hatást, de a túlélőképessége s, és az lye övéyekek ksebb a rátermettsége. Esetleg valamely parazta / predátor jobba kedvel ezt a eotípust így a mtavételkor gyakorsága már ksebb, mt a többé. 3. Egy kísérletbe bogarakat helyeztük egy éygradesbe (-5, ahol a legéyesebb és 5 a legkevésbé megvlágított rész). Hagytuk őket, hogy válasszák k a számukra megelelő éy teztású helyet, ezt követőe leszámoltuk, hogy háya tartózkodak az egyes megvlágítás osztályokhoz tartozó helye. Nullhpotézsük legye, hogy a bogarak egyeletese oszlaak meg az öt éyteztás osztály között. Féyteztás osztályok F kum kum F d max d 6 D = = = %-os szgkacaszte a D =65 = 0.66, így a ullhpotézst elvetjük.

5 4. Egy oltóayag hatásosságát vzsgálták egereke. Feljegyezték, hogy mely állatok kaptak az oltásból. Továbbá eljegyezték, hogy háy állat élt tovább, és mey halt meg. Oltást kapott 49 egér, ebből 5 halt meg. Nem kapott oltást 3 egér, ebből 5 egér halt meg. Szerkesszük meg a kotgeca táblát! j túlélt? ge em oltást kapott? ge (R ) em (R ) 0 (C ) 6 (C ) 8 () R C Ezt követőe meg kell szerkeszteük a üggetleség eseté eálló elmélet eloszlást a Fj = képlet alapjá: F j túlélt? ge em oltást kapott? ge (R ) em (R ) 0 (C ) 6 (C ) 8 () Vegyük észre, hogy a margálsokba (a sor és oszlopösszegek) levő értékek a két táblázatba azoosak. Elmélet eloszlásuk jóságáak legalapvetőbb tesztelése, hogy megézzük, hogy a margálsok ugya azoke, mt a tapasztalat kotgeca táblázatba. A két eloszlás azoosságáak megállapítására χ próbát alkalmazuk. A próbastatsztkák értéke χ = A haszáladó χ eloszlás szabadság oka. 95%-os szgkacaszte a χ α=0.05; d==3.84, így a ullhpotézst elogadjuk. Tehát a oltóayagak cs hatása. Feladatok. Egy bokrokba észkelő madár észkéek elhelyezkedését eljegyezték az égtájak szert: Égtáj Észak É-K Kelet D-K Dél D-Ny Nyugat É-Ny Fészkek (a) Teszted azt a ullhpotézst, hogy cs égtáj szert preereca a észek elhelyezésébe! (b) Ha a ullhpotézs el kell vet, próbáld meg megmoda, hogy melyk ráy a ktütetett! Állításodat statsztkával gazold!. Táplálékpreerecát vzsgáltak egy emlősajál. A 6 állatot helyeztek egyekét egy ugyaolya térbe, ambe a hatéle táplálékból azoos meység volt található. A táplálékok a bejárattól azoos távolságra voltak. Feljegyezték, hogy mely állat melyk táplálékból ogyasztott először. Táplálék Állatok (a) Teszted azt a ullhpotézst, hogy cs táplálékpreerecája az adott ajak a hat táplálék tektetébe! (b) Ha a ullhpotézs el kell vet, próbáld meg megmoda, hogy melyk táplálékot választja preerecálsa a aj!

6 3. Egy tél álmot alvó deevérpopulácóba 44 hím és 54 őstéy egyed va. Teszteld a ullhpotézst, hogy a kolóába egyelő számú hím és ő található! 4. A geetka elmélet szert egy bzoyos keresztezést követőe a kék száryú és pros száryú legyek aráya :3-hoz kell, hogy legye. Egy kokrét kísérletbe 76 pros- és kékszáryú legyet kaptak. Szgkása modható, hogy az elmélet rossz? 5. Tél álmot alvó deevérekél vzsgálták a emek aráyát 4 helye. Végezze el a heterogetás vzsgálatot és, ha lehetséges az összesített adatok alapjá tesztelje az : aráyra voatkozó ullhpotézst! Hely Hím Nőstéy A 4. példába smertetett kísérletet ötször megsmételték: Kísérlet Pros száryú Kék száryú Teszteld, hogy a külöböző kísérletek eredméye összevohatóak-e! Ha ge, akkor az összesített adatokra végezd el a 3: aráyra voatkozó ullhpotézst. 7. Egy ízeltlábú előordulását vzsgálták a víztől való távolság üggvéyébe: Távolság (m) Ízeltlábú / m Vzsgáld Kolmogorov-Smrov próbával, hogy az ízeltlábúak egyeletese oszlaak el a víztől való távolságtól üggetleül. 8. Egy bzoyos madáraj abudacáját vzsgálták az év külöböző dőszakába. Vzsgáljuk meg, hogy gaz-e az, hogy mde évszakba a emaráy azoos! Nem Tavasz Nyár Ősz Tél Hím Nőstéy Két borz populácóba vzsgálták a veszettség meglétét. Az első élőhelye 43 egyedből 4 volt ertőzött, a másk élőhelye 50 egyedből volt ertőzött. Igaz-e, hogy a ertőzés előordulása mdkét helye azoos? ő szedett egy bzoyos gyógyszert terhessége alatt, belőlük 4 tapasztalt abormáls vérzést a szülést követőe. A kotrollcsoportba levő 340 ő (ők em szedték a gyógyszert) közül 6 tapasztalt

7 abormáls vérzést a szülést követőe. Tesztelje azt a ullhpotézst, hogy a gyógyszer szedése és az abormáls vérzés üggetle egymástól.