Miért pont úgy kombinálja kétfokozatú legkisebb négyzetek módszere (2SLS) az instrumentumokat, ahogy?

Save this PDF as:
Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Miért pont úgy kombinálja kétfokozatú legkisebb négyzetek módszere (2SLS) az instrumentumokat, ahogy?"

Átírás

1 Mért pot úgy kombálja kétfokozatú legksebb égyzetek módszere (2SLS az strumetumokat, ahogy? Kézrat A Huyad László 60. születésapjára készülő köyvbe Kézd Gábor júlus A Budapest Corvus Egyetem rövd életű Ökoometra Csoportjáak vezetőjekét Huyad Lac fotosak tartotta, hogy a taításo túl s foglalkozzuk ökoometra problémákkal, és ezekről beszéljük s egymás között. A cél az volt, hogy egymást jobba megsmertessük érdekes alkalmazásokkal, boyololtabb modellekkel, és az egyébkét általuk vszoylag gyakra haszált módszerek mélyebb hátterével. Ez a műhelymuka valóba eldult, bár a hétközapok vhara és az Ökoometra Csoportak és oktatóak a jövője körül bzoytalaság matt em futott fel teljese. De em adtuk fel a terveket. Ez az írás s ezt akarja bzoyíta: egy olya kérdést bocolgat, amelyet Lac többször felvetett, ám redese sosem beszéltük végg. A kérdés a következő. A kétfokozatú legksebb égyzetek módszere több strumetum eseté az edogé magyarázó változókak az egzogé magyarázó változókra (strumetumokra való leárs projekcóját haszálja a becsléshez. Ezáltal a túl sok strumetumból azok egyféle leárs kombácójával hoz létre éppe elegedő számú strumetumot. De vajo m a megfotolás pot e leárs kombácó mögött? Optmáls megoldás-e ez, és ha ge, mlye értelembe, és mlye feltételek mellett? És végül, elképzelhető-e olya sztuácó, amkor va a 2SLS-él jobb megoldás? Tektsük egy függetle azoos eloszású (d mtát és rajta egy kétváltozós leárs modellt, ahol a egyetle magyarázó változó va, amely edogé: y β0 + βx + u ( 0 E u Cov u, x 0 Az elemzés sorá végg feltesszük, hogy a modell korrektül specfkált, vagys a leárs függvéyforma a megfelelő, és x hatása y-ra mde egyes eseté β. x edogetása matt β OLS becslése kozsztes: p lm β _ OLS ( y y( x x β_ OLS 2 ( x x Cov( y, x Cov( β0 + βx + u, x V ( x V ( x Cov( u, x β V ( x β V x + V x

2 Ha találuk megfelelő strumetumot, β kozsztese becsülhető. Megfelelő (érvéyes strumetum korrelálatla a em megfgyelt kompoessel és korrelált az edogé magyarázó változóval: ( Cov z, u 0 Cov z, x 0 Ezeket az strumetum mometumfeltételeek evezzük. Az első mometumfeltétel azt köt k, hogy egy érvéyes strumetum em korrelálhat a em megfgyelhető heterogetással; a másodk azt, hogy a megfgyelhető magyarázó változóval vszot korrelála kell. E két feltétel eredméyekét az strumetum közvetleül em, a megfgyelt magyarázó változó keresztül vszot hat az eredméyváltozóra. Az strumetáls detfkácó, és az arra épülő strumetáls becslőfüggvéy ezt haszálja k: z és y megfgyelt együttmozgása két hatás eredője: z hatása x-re, és x hatása y-ra (z közvetleül em hat y-ra. Ha a megfgyelt z és y együttmozgásból kszűrjük z hatását x-re, megkapjuk x hatását y-ra, vagys β et. Az strumetáls változó (IV becslőfüggvéy: _ IV ( y y( z z ( x x( z z _ IV β β kozsztes becslőfüggvéye β ek: p lm β _ IV + Cov x, z Cov x, z ( β0 + β + Cov( x z β Cov y, z Cov x u, z Cov x, z, β Cov x, z Cov u, z Ha olya szerecsés helyzetbe vagyuk, hogy emcsak egy, haem több érvéyes strumetumuk s va, a bőség zavara vet fel egy újabb problémát. Ha a modell korrektül specfkált, bármelyk felhaszálásával kozsztese becsülhetjük β -et. Kombálásuk azoba hatásosabb becslőfüggvéyhez vezethet: több strumetum több formácót tartalmazhat, mt egy. Ha mdegyk strumetum korrelálatla u-val, úgy bármlye leárs kombácójuk s korrelátla: Cov z, u Cov z2, u... Cov zl, u 0 L L Cov λlzl, u λlcov( zl, u l 0 l A kétfokozatú legksebb égyzetek módszere (2SLS a következő kombácót alkalmazza: x γ + γ z + γ z γ z, * L L ahol a γ paraméterek az OLS becslések abba a leárs regresszóba, melyek eredméyváltozója az x, magyarázó változó pedg a z-k. A 2SLS ekkor 2

3 * * ( y y( x x * * ( x x _2SLS 2 β A kérdés az, hogy va-e olya leárs kombácó, amelyek ksebb (aszmptotkus varacája va, mt a többek, és ha ge, ezt hogya határozhatjuk meg - és hogy vajo a 2SLS lye becslőfüggvéy-e. A Mometumok Általáosított Módszere (GMM keretébe választ kaphatuk ezekre a kérdésekre. A kdulópotot az érvéyes strumetum mometumfeltétele jeletk. Legye x ( x a modell magyarázó változóak (esetükbe a kostas és az egyetle x a vektora; β ( β β 0 a becsüledő paraméterek vektora, és z ( z... zl az strumetumok vektora. x és β 2 -es, z pedg (L+ -es oszlopvektor (L strumetum és a kostas. Később haszáladó referecakét jegyezzük meg, hogy β 2SLS becslőfüggvéye e jelölések alapjá a következő: ( * * ( * β xx xy. 2SLS A továbbakba végg feltesszük, hogy (. E ragja 2 (ez a megfelelője az érvéyes strumetumok másodk mometumfeltételéek, vagys az x-szel való korreláltságak. A kduló mometumfeltételeket ekkor a következő egyeletredszer foglalja össze: ( E z u E z y x β 0. β GMM becslőfüggvéye az aalóga elvé alapul: a várható értéket aak mtabel megfelelőjével, a mtaátlaggal helyettesít: zu z ( y x β Szy Sβ E( zu prob. Szy z y S Mthogy véges mtába ulla valószíűséggel lesz mdegyk mtaátlag potosa ulla még ha a várható értékek md ullák s, a GMM azt a paramétert keres, amely mellett a mometumfeltételből képzett kvadratkus forma a legközelebb va ullához: β arg m S S β A S S β GMM zy zy β ( S ( A S S A Szy 3

4 ahol a másodk egyelőségél az optmum elsőredű feltételét írtuk le (khaszáljuk hogy a kvadratkus forma kovex, sőt valószíűséggel szgorúa kovex, így az elsőredű feltétel elégséges. S zy a mtabel égyzetösszeg (osztva a mtaelemszámmal, amely egy (L+ dmezójú oszlopvektor; S pedg ezzel aalóg mátrx, dmezója (L+ 2. A bármlye olya (L+ (L+ dmezójú valószíűség mátrx lehet, amely valószíűségbe valamlye poztív deft mátrxhoz kovergál: p lm A Ψ poz. def. A GMM becslőfüggvéy kozsztecáját ge egyszerű belát: β S A S S A S S ( S A S ( S A [ Sβ Szu ] ( β S ( A S S A Szu z u GMM zy + + β β+ Ψ Ψ β zu p lm GMM E E E E ( zu Az utolsó sorba azt haszáljuk k, hogy p S E( u β lm zu GMM z 0, hogy eek folytoos függvéye és így alkalmazható a Slutsky-tétel, valamt hogy az A mátrx valószíűség határáak (Ψ létezk az verze. 2 Az A mátrxtól függőe végtele sok GMM becslőfüggvéy létezk, és mdegyk kozsztes. Ez aak az újrafogalmazása, hogy érvéyes strumetumok bármlye leárs kombácójával készíthető kozsztes becslőfüggvéy: a kombácóhoz haszált súlyok mátrxa em más, mt A -/2. A GMM becslőfüggvéy szmptotkusa ormáls: D ( β GMM β N( 0, Λ Λ ΔΩΔ Δ E Ψ E E Ψ 2 2 ( ( ( Ω V zu E zu z E u z z A legksebb aszmptotkus varacát az a GMM becslőfüggvéy adja, amelybe A Ω plm Ω Ω E u zz 2 ( A Slutsky-tétel azt modja k, hogy ha p lmξ μ, akkor bármely f folytoos függvéyre plm f ξ f μ. 2 Elvleg em kell, hogy az verz véges mtába s létezze, csak olyakor általáosított verzt (Moore- Perose kell haszál. A léyeg megértéséhez ettől a fomságtól yugodta eltekthetük, és feltehetjük, hogy A maga s poztív deft. 4

5 Ezt a becslőfüggvéyt Optmáls GMM-ek (OGMM evezk: S S S S β OGMM Ω Ω z y Kcst pogyolá fogalmazva, az optmáls súlymátrx az strumetumok (z és a em megfgyelt heterogetás (u szorzata szórásáak (a covaracamátrx ½ hatváyáak az verze. Az tuícó gyakorlatlag ugyaaz, mt az általáosított legksebb égyzetek módszeréél (GLS: a legjobb leárs kombácó az, ahol az egyes strumetumok aál ksebb súlyt kapak, mél zajosabbak (mél kább szóródak véges mtába a 0 mometumfeltétel körül. A mmáls aszmptotkus varaca bzoyítást tt em vezetjük le; 3 léyegébe ugyaarra a kaptafára megy, mt a mmáls varacájú becslőfüggvéyek bzoyítása általába (Gauss-Markov tétel. Kérdés marad az, hogy potosa m s Ω, amelyről eddg ayt tuduk, hogy kozsztesek kell lee Ω-ra. Egyszerű választ ad erre az aalóga elve: 2 Ω u zz am kétlépcsős OGMM becslés eljárást jelet: első lépcsőbe megfelelőe kell u^ kat becsülük Ω^ hoz, majd másodk lépcsőbe e (Ω-ra kozsztese becsült Ω^ felhaszálásával kapjuk meg az OGMM becslőfüggvéyt. Ez megt a GLS módszerrel aalóg, lletve aak megvalósítható változatával (FGLS. Mde lye becslőfüggvéy kozsztes lesz Ω-ra, ha olya u y x β változók szerepelek bee, ahol β kozsztes becslőfüggvéye β-ak. Tudjuk, hogy a redelkezésre álló z változók bármlye leárs kombácójával kozsztes strumetáls becslőfüggvéy készíthető, vagy másképpe fogalmazva, bármely poztív deft A mátrx kozsztes GMM becslőfüggvéyhez vezet. Így bármelyket haszáljatjuk az első lépcsőbe, de praktkus szempotból az legegyszerűbb, ha az első lépcsőbe AI (az (L+ (L+ dmezójú egységmátrx. A kérdés az, hogy va-e ehhez az optmáls GMM-hez bárm köze a 2SLS-ek. A válasz: ge, bzoyos feltételek mellett. Tegyük fel, hogy u homoszkedasztkus z-re kodícoálva, vagys V(u z V(u, és ezért ( 2 ( 2 2 σ ( E u zz E u E zz E zz. Ebbe az esetbe Ω kozsztes becslőfüggvéye a következő: Ω u S zz σ 2 2 hom zz Elvleg ez s kétlépcsős eljárást tee szükségessé akárcsak az OGMM általáos esetébe, ám egy szerecsés véletle ettől megóv mket: mthogy a rezduáls varaca (lletve aak 3 Formáls bzoyítást lásd például Wooldrdge (2002, 8.3. fejezet. 5

6 recproka a becslőfüggvéyek md a evezőjébe, md a számlálójába szerepel, egyszerűe kesk: 2 2 ( ( ( σ ( σ ( S ( Szz S S Szz Szy β OGMM _ hom S ΩhomS S ΩhomSzy S Szz S S Szz S zy Közbe szép csedese elérkeztük a godolatmeet végéhez. Ez a becslőfüggvéy ugyas em más mt a 2SLS: ( ( y ( ( ( y γ zz γ γ z y ( S S z z ( S S ( S S S Szz zz Szz S S Szz zy ( zz z ( ( ( S ( Szz S S Szz Szy βogmm_hom β 2SLS xx x γ z γ z γ z zz zz zz y z S S S S S S y S S S S S S S S zz zz zz zz zz zz zz zy OLS zz ahol a másodk sorba khaszáltuk, hogy defícó szert γ γ S S. A 2SLS tehát potosa megegeyzk az Optmáls GMM-mel ha a em megfgyelt heterogetás az strumetumokra kodcoálta homoszkedasztkus. Vagys ebbe az esetbe 2SLS az a leárs kombácója az strumetumokak, amelyka legksebb aszpmtotkus varacájú becslést bztosítja. Magyarul: a legjobb. Ameybe a em megfgyelt heterogetás heteroszkedasztkus, akkor vszot em az. De vajo praktkus szempotból léyeges-e az OGMM és a 2SLS között külöbség heteroszkedsztkus esetbe? Ezt a kérdés két dolog s motválja. Egyrészt az OGMM boyoluoltabb eljárást géyel, ezért ha praktkus szempotból em agy az előye, kár vele bajlód. Másrészt ráadásul az OGMM kétlépcsős eljárása emcsak boyolultabb, de véges mtába bzoytalaabb, sőt torz s lehet (lásd pl. Podvsky, 999. A kérdés vzsgálatához egy egyszerű Mote Carlo szmulácót végeztük el. A szmulácó sorá két külöböző adatgeeráló folyamatot (DGP, egy homoszkedasztkust (DGP és egy heteroszkedasztkust (DGP 2 vzsgáltuk. Mdkét folyamatba egy edogé magyarázó változó (x és 2 érvéyes strumetum volt (z és z 2 ; a két strumetum közül z jobba korrelált x-szel (vagys erősebb, z 2 kevésbé (gyegébb. DGP 2 -be az strumetumok égyzete korreláltak a em megfgyelt heterogetás (u égyzetével, így u feltételese heteroszkedasztkus volt (Corr(u 2,z 2 Corr(u 2,z A heteroszkedasztctás mértéke közepese erősek modható. 4 4 γ az az (L+ 2 dmezójú OLS paramétervektor, amelyek első oszlopába x első eleméek a kostasak, másodk oszlopába x másodk eleméek x-ek a z vektoro futtatott regresszós paraméteret becsüljük. Mthogy a kostas em szóródk, aak paramétere md ullák, így γ első oszlopa s ullvektor. 6

7 A Mote Carlo szmulácóba 50 ezerszer geeráltuk mtát az adott DGP alapjá, és ezeke a mtáko egyekét megbecsültük β OLS, IV (IV csak z -gyel, IV 2 (IV csak z 2 - vel, 2SLS és OGMM becsléset. Az 50 ezer smétlés utá megvzsgáltuk a külöböző módoko becsült β ek átlagos relatív eltérését a valóságtól (Rel.Bas vagys relatív torzítás, a szóródását (Std vagys szórás, valamt a torzítás és a szóródás együttes hatásakét adódó teljes eltéréségyzetet (RMSE, root mea squared error. A Mote Carlo szmulácót elvégeztük 00, 000 és elemű mtákra s. Az alább táblázat foglalja össze szmulácók eredméyet. A DGP-k potos leírását a Függelék tartalmazza. Táblázat: A Mote Carlo szmulácók eredméye DGP (homoszkedasztkus DGP2 (heteroszkedasztkus OLS IV(z IV(z2 2SLS OGMM OLS IV(z IV(z2 2SLS OGMM 00 Rel.bas Std RMSE Rel.bas Std RMSE Rel.bas Std RMSE A szmulácók redbe kmutatják az smert eredméyeket: az OLS torz, és bár szórása mde mtaagyság mellett ksebb mt bárm más becslőfüggvéyé, végeredméybe agyo mellélő. Az egyetle strumetumot haszáló strumetáls becslőfüggvéyek ks mtába torzak, ám agy mtába ez eltűk (kozszteca. Az erősebb IV-t (z haszáló becslőfüggvéyek a ksmtás torzítása és a szórása s ksebb, mt a gyegébb strumetumot (z 2 haszálóé. Az strumetumokat kombáló becslőfüggvéyekbe (2SLS, OGMM gyakorlatlag eltűk a ksmtás torzítás, és a szórás s mdg jóval ksebb, mt az egy strumetumot haszáló IV-k eseté. A heteroszkedasztkus DGP esetébe bzoytalaabbak becslések: a torzítások és a szórások s általába agyobbak. Am fő kérdésüket, a 2SLS és az OGMM vszoyát llet, az eredméyek meglehetőse egyértelműek. Homoszkedasztkus DGP mellett a 2SLS ks mtába precízebb (hsze khaszálja a homoszkedasztctás feltevését, am tt helyes, közepes és agy mtába azoba a kettő teljese azoos eredméy produkál. Heteroszkedasztkus DGP eseté a agy mtás hasolóság megmarad, de ks mtába sem jobb az OGMM. Az eredméyek mögött valószíűleg az áll, hogy bár az OGMM gyorsabba kovergál a valós β-hoz (ksebb az aszmptotkus varacája, ez az előy praktkus szempotból eleyésző. Ugyaakkor azoba az OGMM kétlépcsős eljárása plusz bzoytalaságot vsz a becslésbe ks mta eseté, ezért ks mtába scs meg az előye a 2SLS-sel szembe. Az aaltkus és a szmulácós eredméyeket a következőképpe foglalhatjuk össze. A 2SLS elvleg s a legjobb (legsebb aszmptotkus varacát adó módo kombálja az strumetumokat homoszkedasztkus esetbe. Heteroszkedasztkus esetbe elvleg va ála 7

8 jobb becslőfüggvéy, praktkusa azoba eek az elvleg jobb becslések több a hátráya, mta az előye. A 2SLS megállja a helyét heteroszkedasztkus köryezetbe s, ezért haszáljuk csak bátra. Hvatkozások: Podvsky, Ja M. (999: Fte sample propertes of GMM estmators ad tests. I L. Mátyás (szerk: Geeralzed Method of Momets Estmato. Cambrdge Uversty Press. Jeffrey M. Wooldrdge (2002: Ecoometrc aalyss of cross secto ad pael data. MIT Press. Függelék A Mote Carlo szmulácókba haszált adatgeeráló folyamatok (DGP-k potos leírása DGP : z ~ dn(0,0.5 z 2 ~ dn(0,0.5 x 0.5z + 0.2z 2 + v v ~ dn(0,σ v úgy, hogy σ x u ~ N(0, úgy, hogy Corr(u,v0.5 y β x + u β vagys: edogé x, 2 érvéyes strumetum z & z 2, z erősebb: Corr(x,u Corr(u,z Corr(u,z 2 0. Corr(z,x 0.25, Corr(z 2,x 0.0. Homoszkedasztctás: Corr(u 2, z 2 Corr(u 2, z DGP 2 : z ~ dn(0,0.5 z 2 ~ dn(0,0.5 x 0.5z + 0.2z 2 + v v ~ dn(0,σ v úgy, hogy σ x u ~ N(0, úgy, hogy Corr(u,v0.5 y β x + u β vagys: edogé x, 2 érvéyes strumetum z & z 2, z erősebb: Corr(x,u Corr(u,z Corr(u,z 2 0. Corr(z,x 0.25, Corr(z 2,x 0.0. Heteroszkedasztctás: Corr(u 2, z 2 Corr(u 2, z , amt egy autoregreszív kodcoáls heteroszkedasztctás (ARCH modell geerál: 8

9 u ψ v+ e e ε z + z, ε ~ dn 0, σ, hogy σ ε u 9

? közgazdasági statisztika

? közgazdasági statisztika Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem

Részletesebben

A paramétereket kísérletileg meghatározott yi értékekre támaszkodva becsülik. Ha n darab kisérletet (megfigyelést, mérést) végeznek, n darab

A paramétereket kísérletileg meghatározott yi értékekre támaszkodva becsülik. Ha n darab kisérletet (megfigyelést, mérést) végeznek, n darab öbbváltozós regresszók Paraméterbecslés-. A paraméterbecslés.. A probléma megfogalmazása A paramétereket kísérletleg meghatározott y értékekre támaszkodva becsülk. Ha darab ksérletet (megfgyelést, mérést

Részletesebben

? közgazdasági statisztika

? közgazdasági statisztika ... Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB

Részletesebben

Statisztika. Eloszlásjellemzők

Statisztika. Eloszlásjellemzők Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése 3 4 Tartalomegyzék. BEVEZETÉS 5. A MÉRÉS 8. A mérés mt folyamat, fogalmak 8. Fotosabb mérés- és műszertechka fogalmak 4.3 Mérés hbák 8.3. Mérés hbák csoportosítása eredetük szert 8.3. A hbák megeleítés

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba

Részletesebben

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o)

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o) Ismérvek között kapcsolatok szorosságáak vzsgálata 1. Egy ks smétlés: mérés skálák (Huyad-Vta: Statsztka I. 5-6. o) A külöböző smérveket, eltérő mérés sztekkel (skálákkal) ellemezhetük. a. évleges (omáls)

Részletesebben

GEOFIZIKA / 4. GRAVITÁCIÓS ANOMÁLIÁK PREDIKCIÓJA, ANALITIKAI FOLYTATÁSOK MÓDSZERE, GRAVITÁCIÓS ANOMÁLIATEREK SZŰRÉSE

GEOFIZIKA / 4. GRAVITÁCIÓS ANOMÁLIÁK PREDIKCIÓJA, ANALITIKAI FOLYTATÁSOK MÓDSZERE, GRAVITÁCIÓS ANOMÁLIATEREK SZŰRÉSE MSc GEOFIZIKA / 4. BMEEOAFMFT3 GRAVITÁCIÓS ANOMÁLIÁK REDIKCIÓJA, ANALITIKAI FOLYTATÁSOK MÓDSZERE, GRAVITÁCIÓS ANOMÁLIATEREK SZŰRÉSE A gravtácós aomálák predkcója Külöböző feladatok megoldása sorá - elsősorba

Részletesebben

ÖKONOMETRIA. Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó. Szakmai felelős: Elek Péter június

ÖKONOMETRIA. Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó. Szakmai felelős: Elek Péter június ÖKONOMETIA Készült a TÁMOP-4.1.-08//A/KM-009-0041pályázat projet eretébe Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudomáy Taszéé az ELTE Közgazdaságtudomáy Taszé az MTA Közgazdaságtudomáy Itézet és a

Részletesebben

A heteroszkedaszticitásról egyszerûbben

A heteroszkedaszticitásról egyszerûbben Mûhely Huyad László kaddátus, egyetem taár, a Statsztka Szemle főszerkesztője A heteroszkedasztctásról egyszerûbbe E-mal: laszlo.huyad@ksh.hu A heteroszkedasztctás az ökoometra modellezés egyk kulcsfogalma,

Részletesebben

Megállapítható változók elemzése Függetlenségvizsgálat, illeszkedésvizsgálat, homogenitásvizsgálat

Megállapítható változók elemzése Függetlenségvizsgálat, illeszkedésvizsgálat, homogenitásvizsgálat Megállapítható változók elemzése Függetleségvzsgálat, lleszkedésvzsgálat, homogetásvzsgálat Ordáls, omáls esetre s alkalmazhatóak a következő χ próbá alapuló vzsgálatok: 1) Függetleségvzsgálat: két valószíűség

Részletesebben

Matematikai statisztika elıadás III. éves elemzı szakosoknak. Zempléni András 9. elıadásból (részlet)

Matematikai statisztika elıadás III. éves elemzı szakosoknak. Zempléni András 9. elıadásból (részlet) Matematka statsztka elıadás III. éves elemzı szakosokak Zemplé Adrás 9. elıadásból részlet Y közelítése függvéyével Gyakor eset, hogy em smerjük a számukra érdekes meység Y potos értékét pl. holap részvéy-árfolyam,

Részletesebben

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az

Részletesebben

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László Valószíűségszámítás Ketskeméty László Budapest, 996 Tartalomjegyzék I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 3. Kombatorka alapfogalmak 4 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 6. A valószíűségszámítás alapfogalma

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN

AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN Molár László Ph.D. hallgató Mskolc Egyetem, Gazdaságelmélet Itézet 1. A MINTANAGYSÁG MEGHATÁROZÁSA EGYSZERŐ VÉLETLEN (EV) MINTA

Részletesebben

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve

Részletesebben

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 10. A statisztika alapjai Debrecei Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csaád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Statisztikai függvéyek Defiíció, empirikus várható érték Empirikus

Részletesebben

Korreláció- és regressziószámítás

Korreláció- és regressziószámítás Korrelácó- és regresszószámítás sztochasztkus kapcsolat léyege az, hogy a megfgyelt sokaság egységeek egyk smérv szert mlyeségét, hovatartozását smerve levoható ugya bzoyos következtetés az egységek másk

Részletesebben

A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI

A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI Az Eötvös Lórád Tudomáyegyetem Természettudomáy Kará a Fzka Kéma Taszék évek óta kéma-szakos taárhallgatókak matematka bevezetõ elõadásokat tart. Az elõadások célja az,

Részletesebben

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 202.03.0. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematikatanár hallgatók számára. Szita formula J = S \R,

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematikatanár hallgatók számára. Szita formula J = S \R, KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatla matematkataár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajal Péter 2018 1. Bevezető példák 1. Feladat. Háy olya sorbaállítása va a {a,b,c,d,e} halmazak, amelybe a és b em kerül

Részletesebben

Adatfeldolgozás, adatértékelés. Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Miskolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanszék

Adatfeldolgozás, adatértékelés. Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Miskolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanszék Adatfeldolgozás, adatértékelés Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Mskolc Egyetem, Hdrogeológa Mérökgeológa Taszék A vzsgált köryezet elemek, lletve a felszí alatt közeg megsmerése céljából számtala külöböző

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

i 0 egyébként ábra. Negyedfokú és ötödfokú Bernstein polinomok a [0,1] intervallumon.

i 0 egyébként ábra. Negyedfokú és ötödfokú Bernstein polinomok a [0,1] intervallumon. 3. Bézer görbék 3.1. A Berste polomok 3.1. Defícó. Legye emegatív egész, tetszőleges egész. A ( ) B (u) = u (1 u) polomot Berste polomak evezzük, ahol ( ) = {!!( )! 0, 0 egyébkét. A defícóból közvetleül

Részletesebben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,

Részletesebben

A biostatisztika alapfogalmai, konfidenciaintervallum. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet

A biostatisztika alapfogalmai, konfidenciaintervallum. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet A biostatisztika alapfogalmai, kofideciaitervallum Dr. Boda Krisztia PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Iformatikai Itézet Mitavétel ormális eloszlásból http://www.ruf.rice.edu/~lae/stat_sim/idex.html

Részletesebben

A Sturm-módszer és alkalmazása

A Sturm-módszer és alkalmazása A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle

Részletesebben

Kényszereknek alávetett rendszerek

Kényszereknek alávetett rendszerek Kéyszerekek alávetett redszerek A koordátákak és sebességekek előírt egyeleteket kell kelégítee a mozgás olyamá. (Ezeket a eltételeket, egyeleteket s ayag kölcsöhatások bztosítják, de ezek a kölcsöhatások

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Számsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.

Számsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik. Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el

Részletesebben

Matematikai statisztika

Matematikai statisztika Matematka statsztka 8. elıadás http://www.math.elte.hu/~arato/matstat0.htm Kétmtás eset: függetle mták + + + = + ) ( ) ( ) ( Y Y X X Y X m m m t m Ha smert a szórás: (X elemő, σ szórású, Y m elemő, σ szórású),

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Regresszió és korreláció

Regresszió és korreláció Regresszó és korrelácó regresso: vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás correlato: vszo, összefüggés, kölcsöösség KAD 01.11.1 1 (vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás) Regresszó és korrelácó Gakorlat megközelítés

Részletesebben

A peremeloszlások. Valószínőségszámítás elıadás III. alk. matematikus szak. Példa. Valószínőségi vektorváltozók eloszlásfüggvénye.

A peremeloszlások. Valószínőségszámítás elıadás III. alk. matematikus szak. Példa. Valószínőségi vektorváltozók eloszlásfüggvénye. y Valószíőségszámítás elıaás III. alk. matematkus szak 4. elıaás, szeptember 30 A peremeloszlások (X,Y) eloszlásából (elevezés: együttes eloszlás) következtethetük az egyes változók eloszlására: P(X)P(X,Y0)+P(X,Y)+P(X,Y2)

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai 05..04. szórások vizsgálata z F-próba Hogya foguk hozzá? Nullhipotézis: a két szórás azoos, az eltérés véletle (mitavétel). ullhipotézishez tartozik egy ú. F-eloszlás. Szabadsági fokok: számláló: - evező:

Részletesebben

Arrhenius-paraméterek becslése közvetett és közvetlen mérések alapján

Arrhenius-paraméterek becslése közvetett és közvetlen mérések alapján Tudomáyos Dákkör Dolgozat SZABÓ BOTOND Arrheus-paraméterek becslése közvetett és közvetle mérések alapá Turáy Tamás. Zsély Istvá Gyula Kéma Itézet Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáy Kar Budapest,

Részletesebben

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011 MÉRÉSTECHNIKA DR. HUBA ANTAL c. egy. taár BME Mechatroka, Optka és Gépészet Iformatka Taszék 0 Rövde a tárgyprogramról Előadások tematkája: Metrológa és műszertechka alapok Mérés adatok kértékelése Időbe

Részletesebben

STATISZTIKA II. kötet

STATISZTIKA II. kötet Szeged Tudomáyegyetem Gazdaságtudomáy Kar Petres Tbor Tóth László STATISZTIKA II. kötet Szerzők: Dr. Petres Tbor, PhD egyetem doces Statsztka és Demográfa Taszék Tóth László PhD-hallgató Gazdaságtudomáy

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Regresszió és korreláció

Regresszió és korreláció Regresszó és korrelácó regresso: vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás correlato: vszo, összefüggés, kölcsöösség KAD 016.11.10 1 (vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás) Regresszó és korrelácó Gakorlat megközelítés

Részletesebben

Befektetett munka. Pontosság. Intuícióra, tapasztalatra épít. Intuitív Analóg Parametrikus Analitikus MI alapú

Befektetett munka. Pontosság. Intuícióra, tapasztalatra épít. Intuitív Analóg Parametrikus Analitikus MI alapú ..4. Óbuda Egyetem ák Doát Gépész és ztoságtechka Mérök Kar yagtudomáy és Gyártástechológa Itézet Termelés olyamatok II. Költségbecslés Dr. Mkó alázs mko.balazs@bgk.u-obuda.hu z dı- és költségbecslés eladata

Részletesebben

Változók függőségi viszonyainak vizsgálata

Változók függőségi viszonyainak vizsgálata Változók függőség vszoyaak vzsgálata Ismétlés: változók, mérés skálák típusa kategoráls változók Asszocácós kapcsolat számszerű változók Korrelácós kapcsolat testsúly (kg) szemüveges em ő 1 3 férf 5 3

Részletesebben

2. METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS

2. METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS . METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS. Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudomáya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlye tulajdoságáról számszerű értéket kapuk.

Részletesebben

Megjegyzés: Amint már előbb is említettük, a komplex számok

Megjegyzés: Amint már előbb is említettük, a komplex számok 1 Komplex sámok 1 A komplex sámok algeba alakja 11 Defícó: A komplex sám algeba alakja: em más, mt x y, ahol x, y R és 1 A x -et soktuk a komplex sám valós éséek eve, míg y -t a komplex sám képetes (vagy

Részletesebben

7. MÉRÉSEK KIÉRTÉKELÉSE FÜGGVÉNYILLESZTÉSSEL

7. MÉRÉSEK KIÉRTÉKELÉSE FÜGGVÉNYILLESZTÉSSEL 7. MÉRÉSEK KIÉRTÉKELÉSE FÜGGVÉNYILLESZTÉSSEL Ebbe a fejezetbe kokrét mérések kértékelését mutatjuk be, köztük azokét s, amelyeket az. fejezetbe leírtuk. A kértékelés módszerét tulajdoképpe levezethetjük

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE

VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE BUDAPET MŰZAK É GAZDAÁGTUDOMÁY EGYETEM Építőmérök Kar Hdak és zerkezetek Taszéke VABETO ÉPÜLETEK MEREVÍTÉE Oktatás segédlet v. Összeállította: Dr. Bód stvá - Dr. Farkas György Dr. Kors Kálmá Budapest,.

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum)

Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum) Az átlagra voatkozó megbízhatósági itervallum (kofidecia itervallum) Határozzuk meg körül azt az itervallumot amibe előre meghatározott valószíűséggel esik a várható érték (µ). A várható értéket potosa

Részletesebben

Laboratóriumi mérések

Laboratóriumi mérések Laboratórum mérések. Bevezetı Bármlye mérés ayt jelet, mt meghatároz, háyszor va meg a méredı meységbe egy másk, a méredıvel egyemő, ökéyese egységek választott meység. Egy mérés eredméyét tehát két adat

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Információs rendszerek elméleti alapjai. Információelmélet

Információs rendszerek elméleti alapjai. Információelmélet Iformácós redszerek elmélet alapja Iformácóelmélet Glbert-Moore Szemléltetése hasoló a Shao kódhoz A felezőpotokra a felezős kódolás A felezőpot értéke bttel hosszabb kfejtést géyel /2 0 x x x p p 2 p

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA. Leíró statisztika

BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA. Leíró statisztika BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA Leíró statisztika Első közelítésbe a statisztikai tevékeységeket égy csoportba sorolhatjuk, de ezek között ics éles határ:. adatgyűjtés, 2. az adatok áttekithetővé tétele,

Részletesebben

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat:

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat: JÁRATTERVEZÉS Kapcsolatok szert: Sugaras, gaárat: Járattípusok Voalárat: Körárat: Targocás árattervezés egyszerű modelle Feltételek: az ayagáram determsztkus, a beszállítás és kszállítás dőpot em kötött

Részletesebben

Ha n darab standard normális eloszlású változót négyzetesen összegzünk, akkor kapjuk a χ 2 - eloszlást: N

Ha n darab standard normális eloszlású változót négyzetesen összegzünk, akkor kapjuk a χ 2 - eloszlást: N Krály Zoltá: Statsztka II. Bevezetés A paraméteres eljárások alkalmazásához, a célváltozóra ézve szgorú feltételek szükségesek (folytoosság, ormaltás, szóráshomogetás), ekkor a hpotézseket egy-egy paraméterre

Részletesebben

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke

Részletesebben

specific (assignable) cause: azonosítható, tettenérhető (veszélyes) hiba megváltozott a folyamat

specific (assignable) cause: azonosítható, tettenérhető (veszélyes) hiba megváltozott a folyamat ELLENŐRZŐ KÁRTYÁK méréses mősítéses commo cause: véletle gadozás secfc (assgable) cause: azoosítható, tetteérhető (veszélyes) hba megváltozott a folyamat Mősítéses elleőrző kártyák 41 Mősítéses elleőrző

Részletesebben

Matematikai statisztika

Matematikai statisztika Matematikai statisztika PROGRAMTERVEZŐ INFORMATIKUS alapszak, A szakiráy Arató Miklós Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Természettudomáyi Kar 2019. február 18. Arató Miklós (ELTE) Matematikai statisztika

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

Sztochasztikus tartalékolás és a tartalék függése a kifutási háromszög időperiódusától

Sztochasztikus tartalékolás és a tartalék függése a kifutási háromszög időperiódusától Sztochasztkus tartalékolás és a tartalék függése a kfutás háromszög dőperódusától Faluköz Tamás Vtéz Ildkó Ibola Kozules: r. Arató Mklós ELTETTK Budapest IBNR kfutás háromszög IBNR: curred but ot reported

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Függetleségvizsgálat Virág Katali Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Függetleség Függetleség Két változó függetle, ha az egyik változó megfigyelése a másik változóra ézve em szolgáltat iformációt; azaz

Részletesebben

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére.

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére. Véletleített algoritmusok Tegyük fel, hogy va két doboz (A,B), amely egyike 1000 Ft-ot tartalmaz, a másik üres. 500 Ft-ért választhatuk egy dobozt, amelyek a tartalmát megkapjuk. A feladat megoldására

Részletesebben

24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje.

24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje. 24. tétel valószíűségszámítás elemei. valószíűség kiszámításáak kombiatorikus modellje. GYORISÁG ÉS VLÓSZÍŰSÉG meyibe az egyes adatok a sokaságo belüli részaráyát adjuk meg (törtbe vagy százalékba), akkor

Részletesebben

Ellenben az alábbi táblázat egére, nem additív, hiszen különbségek: =4.6 és =3,3; azaz a B típus jobban bírja az éhezést.

Ellenben az alábbi táblázat egére, nem additív, hiszen különbségek: =4.6 és =3,3; azaz a B típus jobban bírja az éhezést. Meység geetka Most olya jelegekkel foglakozuk, amelyek ge sok lókuszo öröklődek. A géek kfejeződését a köryezet s befolyásolja! Pl. a Drosohla száryá a keresztér háyát, okozhatja egyrészről ot mutácó,

Részletesebben

Dr. Tóth Zsuzsanna Eszter Dr. Jónás Tamás Erdei János. Gazdaságstatisztika. II. rész A matematikai statisztika alapjai

Dr. Tóth Zsuzsanna Eszter Dr. Jónás Tamás Erdei János. Gazdaságstatisztika. II. rész A matematikai statisztika alapjai Budapest Műszak és Gazdaságtudomáy Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudomáy Kar Üzlet Tudomáyok Itézet Meedzsmet és Vállalatgazdaságta Taszék Dr. Tóth Zsuzsaa Eszter Dr. Jóás Tamás Erde Jáos Gazdaságstatsztka

Részletesebben

10.M ALGEBRA < <

10.M ALGEBRA < < 0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

Hipotéziselmélet. Statisztikai próbák I. Statisztikai próbák II. Informatikai Tudományok Doktori Iskola

Hipotéziselmélet. Statisztikai próbák I. Statisztikai próbák II. Informatikai Tudományok Doktori Iskola Hpotézselmélet Iformatka Tudomáyok Doktor Iskola Statsztka próbák I. 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása Statsztka próbák II. Dötés eljárást dolgozuk k aak eldötésére, hogy a ullhpotézs gaz-e. Ha úgy kell

Részletesebben

MINTAVÉTEL A MARKETINGKUTATÁSBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A DIVIZÍV ÉS AZ AGGLOMERATÍV RÉTEGZÉSRE

MINTAVÉTEL A MARKETINGKUTATÁSBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A DIVIZÍV ÉS AZ AGGLOMERATÍV RÉTEGZÉSRE MINTAVÉTEL A MARKETINGKUTATÁSBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A DIVIZÍV ÉS AZ AGGLOMERATÍV RÉTEGZÉSRE Molár László egyetem taársegéd 1. BEVEZETÉS A statsztkusok a mtaagyság meghatározására számos módszert dolgoztak

Részletesebben

1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat!

1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat! Számok és mûveletek Hatváyozás aaaa a a darab téyezõ a a 0 0 a,ha a 0. Írd fel hatváyalakba a következõ szorzatokat! a) b),,,, c) (0,6) (0,6) d) () () () e) f) g) b b b b b b b b h) (y) (y) (y) (y) (y)

Részletesebben

A statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük.

A statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük. Statisztikai módszerek. BMEGEVGAT01 Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Gépészméröki Kar Hidrodiamikai Redszerek Taszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

alapmátrix azon alapuló számítását. Az összefüggés igényli az L( A 1 esetére megadja a Wei-Norman egyenletet és a Φ (t) ) Lie-algebra A

alapmátrix azon alapuló számítását. Az összefüggés igényli az L( A 1 esetére megadja a Wei-Norman egyenletet és a Φ (t) ) Lie-algebra A Bíráló véleméy SzabóZoltá: A Geometrc Approach or the Cotrol o Swtched ad LPV Systems (Kapcsolt és LPV redszerek ráyítása geometra megközelítésbe) c. MTA doktor (DSc) értekezésről Az értekezés az ráyíthatóság,

Részletesebben

4 TÁRSADALMI JELENSÉGEK TÉRBELI EGYÜTTMOZGÁSA

4 TÁRSADALMI JELENSÉGEK TÉRBELI EGYÜTTMOZGÁSA ELTE Regoáls Földrajz Taszék 005 4 TÁRSADALMI JELENSÉGEK TÉRBELI EGYÜTTMOZGÁSA 4. Általáos szempotok A terület folyamatok, a tagoltság vzsgálata szte sohasem szűkül le egy-egy jeleség (mutatószám) térbel

Részletesebben

A szerkezetszintézis matematikai módszerei

A szerkezetszintézis matematikai módszerei 7 A szerkezetsztézs matematka módszere 1.5 Első derváltat géylő módszerek Az első derváltat géylő módszerek (elsőredű módszerek, melyek felhaszálják a grades formácókat, általába hatékoyabbak, mt a ulladredű

Részletesebben

Kvantum párhuzamosság Deutsch algoritmus Deutsch-Jozsa algoritmus

Kvantum párhuzamosság Deutsch algoritmus Deutsch-Jozsa algoritmus LOGO Kvatum párhuzamosság Deutsch algoritmus Deutsch-Jozsa algoritmus Gyögyösi László BME Villamosméröki és Iormatikai Kar Bevezető Kvatum párhuzamosság Bármilye biáris üggvéyre, ahol { } { } : 0, 0,,

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Backtrack módszer (1.49)

Backtrack módszer (1.49) Backtrack módszer A backtrack módszer kombatorkus programozás eljárás, mely emleárs függvéy mmumát keres feltételek mellett, szsztematkus kereséssel. A módszer előye, hogy csak dszkrét változókat kezel,

Részletesebben

Regresszió. Fő cél: jóslás Történhet:

Regresszió. Fő cél: jóslás Történhet: Fő cél: jóslás Történhet: Regresszó 1 változó több változó segítségével Lépések: Létezk-e valamlyen kapcsolat a 2 változó között? Kapcsolat természetének leírása (mat. egy.) A regresszós egyenlet alapján

Részletesebben

A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:

A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk: Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

Hipotézis vizsgálatok. Egy példa. Hipotézisek. A megfigyelt változó eloszlása Kérdés: Hatásos a lázcsillapító gyógyszer?

Hipotézis vizsgálatok. Egy példa. Hipotézisek. A megfigyelt változó eloszlása Kérdés: Hatásos a lázcsillapító gyógyszer? 01.09.18. Hpotézs vzsgálatok Egy példa Kérdések (példa) Hogyan adhatunk választ? Kérdés: Hatásos a lázcsllapító gyógyszer? Hatásos-e a gyógyszer?? rodalomból kísérletekből Hpotézsek A megfgyelt változó

Részletesebben

DISZKRÉT SZIMULÁCIÓ MATEMATIKAI ALAPJAI

DISZKRÉT SZIMULÁCIÓ MATEMATIKAI ALAPJAI OPERÁCIÓKUTATÁS No. 9. Szűcs Gábor DISZKRÉT SZIMULÁCIÓ MATEMATIKAI ALAPJAI Budapest 007 Szűcs Gábor: DISZKRÉT SZIMULÁCIÓ MATEMATIKAI ALAPJAI OPERÁCIÓKUTATÁS No. 9 A sorozatot szerkeszt: Komárom Éva Megjelek

Részletesebben

EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a

EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! 4. Az EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a1 x + b1 y = c1 egyeletredszer megoldása a a x + b y = c Z halmazo (. rész) Ebbe a részbe

Részletesebben

Eseményalgebra, kombinatorika

Eseményalgebra, kombinatorika Eseméyalgebra, kombiatorika Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek

Részletesebben

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +... . Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk

Részletesebben

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u Approxmácó Bevezetés A felhaszált térfogalmak: leárs tér (vektortér) ormált tér Baach tér eukldesz-tér Hlbert tér V ormált tér T V T kompakt halmaz Ekkor v V u ~ T legjobba közelítõ elem azaz v u ~ f {

Részletesebben