Korreláció- és regressziószámítás

Átírás

1 Korrelácó- és regresszószámítás sztochasztkus kapcsolat léyege az, hogy a megfgyelt sokaság egységeek egyk smérv szert mlyeségét, hovatartozását smerve levoható ugya bzoyos következtetés az egységek másk smérv szert hovatartozásáról, de ez a következtetés em teljese egyértelműpl. a mukaélkülvé válás esélye és az skola végzettség között kapcsolat vagy a bztoság öv haszálata és a baleset súlyossága között kapcsolat). poztív, egatív kapcsolat poztív, ha a β X * X x poztív, ellekező esetbe egatív

2 magyarázó változó [β X X x ], eredméyváltozó [ Y], maradék változó rezduum) [ε] megkülöböztetük kétváltozós és többváltozós eseteket többváltozós leárs regresszós függvéy általáos alakja: egyváltozós leárs regresszós függvéy általáos alakja: jeletése az, hogy a magyarázó változó egységy övekedése a becsült eredméyváltozó átlagosa háy egységy övekedésével/csökkeésével jár együtt. regresszószámítás sorá feltételezzük, hogy eredméyváltozók Y) sztochasztkus kapcsolatba áll a magyarázó változókkal X). Eek általáos formája: homo-hetero-)szkedasztctás Varε X) = σ 2 a homoszkedasztctás heteroszkedasztctás: szórások külöbözőségét jelet. a maradékokak több jól elkülöíthető csoportja va, ahol a csoporto belül homoszkedasztctás érvéyes.) regresszós együtthatók [β X ] eredméyváltozót és a magyarázó változót közvetleül összekötőyíl a magyarázó változó közvetle hatását fejez k, számszerűértékét a regresszós együttható mutatja

3 rugalmasság elasztctás) magyarázó változó 1%-os övekedése az eredméyváltozó háy %-os övekedésével/csökkeésével jár együtt. regresszós becslés abszolút hbája [s* e] Kfejez, hogy a regresszós becslések átlagosa meyvel térek el az eredméyváltozó megfgyelt értéketől. kovaraca [cov] kapcsolat szorosságáak és ráyáak a vzsgálata külö-külö mdkét mtára vesszük mde mtaelem külöbségét a mtaelemek átlagától X, lletve Y ), majd párokét összeszorozzuk őket. A szorzatok összegét képezzük, melyet elosztuk a mtaelemszám értékével. leárs korrelácós együttható [r] r korrelácós együttható olya -1 és +1 között elhelyezkedőmutatószám, amelyk 1-hez közel abszolút értéke szoros, közel leárs függvéyszerűkapcsolatot, 0 körül értéke a leárs kapcsolat háyát, ú. korrelálatlaságot jeletk. Poztív értéke egy ráyba mozgó, míg a egatív értéke elletétes ráyba mozgó változókat jeleteek determácós együttható [R 2 ] megmutatja, hogy a regresszós modellel az y adatokba meglévő varaca bzoytalaság) háy %- a szütethető meg együtthatók szeparált együttes) tesztelése Itt arra keressük a választ, hogy a paraméterek eleget teszek-e valamféle előre meghatározott korlátozásak. Ezt a próbát akkor haszálhatjuk, ha a regresszós függvéy sokaság meredekségére va elleőrz kívát feltevésük. ullhpotézs elfogadása: X alakulása em befolyásolja Y-t, azaz a két változó között cs a sokaság szte s feálló leárs kapcsolat. próba meete az, hogy mtából kszámoljuk a becsült paraméterértékeket, aak stadard hbáját, és ameybe ez a háyados a krtkus t-értékeke kívül elutasítás) tartomáyba esk, a

4 ullhpotézst elutasítjuk, azaz elfogadjuk a kapcsolat létét. varacaaalízs A hbatéyező égyzetösszegéek SSE) szabadságfoka -2). A regresszóból becsült égyzetösszeg SSR) szabadságfoka pedg a szabadságfokok között addtív összefüggésből következk. átalakítások: F próba végrehajtása egyszerű, hsze a regresszós számításokból átvesszük a mtából számított égyzetösszegeket, kszámoljuk a fet próbafüggvéy emprkus értékét, és azt összevetjük a megfelelőszabadság fokú és megfelelőszgfkaca szthez tartozó táblázatbel krtkus) értékkel. Ha az Fértékük agyobb, mt a krtkus érték, a ullhpotézst elutasítjuk. Nullhpotézsük szert a regresszó em érvéyes,a kétváltozós esetbe egyetle) X magyarázó változó em magyarázza az eredméyváltozóalakulását, azaz paraméteréek sokaság értéke lehet) 0. SSE=0, ez azt jelet, hogy a függőváltozó teljes varacája megmagyarázható a magyarázó változó segítségével. Mde megfgyelt y érték a regresszófüggvéye helyezkedk el. Ismérvek között kapcsolat determsztkus. Ha SSE 0, akkor a két smérv között sztochasztkus kapcsolat áll fe. Mél agyobb a rezduáls égyzetösszeg értéke, aál agyobb a becslés hbája, mert a modellbe em szereplő egyéb magyarázó változók hatása aál agyobb szerepet játszk a függőváltozó szóródásába. autókorrelácó egy változóak a saját maga dőbe vagy térbe külöböző értékevel vett korrelácóját értjük. leárs korrelácóról va szó azoos változók máskor vagy máshol megfgyelt értéke között.) egy változó saját késleltetett értékevel vett összefüggéseket mér.

5 Durb-Watso teszt elsőredű auto)korrelácó tesztelésére alkalmas. megfgyelések dexét t-re cseréljük: azt feltételezzük, hogy a maradékváltozó t-edk dőpotbel értéke ε t ) a leárs regresszós egyeletbe saját késleltetett értéke és egy jó tulajdoságú 0 várható értékű, homoszkedasztkus, autokorrelálatla, ormáls eloszlású) véletle változó η t ) segítségével írható le. ρ elsőredű autokorrelácós együttható 0, akkor a evezett jó tulajdoságok ε-t s jellemzk, így az duló regresszós modell feltétele teljesülek. Ha azoba ρ 0, akkor az elsőredű autokorrelácóval és következméyevel számoluk kell.

6 többszörös determácós együttható [R 2 =SSR/SST] többváltozós regresszóál s képezhetük egy aráyszámot, amely megmutatja, hogy a teljes égyzetösszegből háy százalékot tesz k a regresszós égyzetösszeg, azaz a determácós együtthatót, amt ebbe az esetbe többszörös determácós együtthatóak hívuk többszörös korrelácós együttható [R] többszörös determácós együttható poztív előjelű égyzetgyöke a többszörös korrelácós együttható. azt mutatja, hogy a magyarázóváltozók és az eredméyváltozó között mlye szoros a kapcsolat. korrelácós-mátrx pl: Látható, hogy a két magyarázó változó között s va korrelácós kapcsolat. Ez azt jelet, hogy em csak közvetleül hat X 1 vagy X 2 az eredméyváltozóra, haem ú. közvetett hatás s érvéyesül. Többváltozós esetbe fotos lehet tud, hogy mlye szoros a közvetle kapcsolatkét változó között. Közvetle kapcsolato azt értjük, hogy a kapcsolatból kszűrjük azokat a hatásokat, amelyek más változóko keresztül érvéyesülek. Az így kapott korrelácós együtthatókat evezzük parcáls korrelácós együtthatókak. parcáls korrelácós együttható a kapcsolatból kszűrjük azokat a hatásokat, amelyek más változóko keresztül érvéyesülek. Az így kapott korrelácós együtthatókat evezzük parcáls korrelácós együtthatókak. multkolleartás magyarázó változók em függetleek egymástól. Feállása eseté pedg gyakorlatlag az egész modell haszálhatatla. VIF-mutató multkolleartás mértékéek jellemzésére haszáljuk. azt adja meg, hogy a j-edk magyarázó változó regresszós együtthatójáak varacája háyszorosa aak, mt amt multkolleartás élkül kapák. korrgált determácós együttható A változók számáak övelésével a fet képlet szert az R 2 értéke csökkehet, ha az új változó csak ks hatással va az eredméyváltozóra,ugyaakkor hátráya, hogy bzoyos esetekbe akár egatív értékeket s felvehet.

7 7. Dötéselmélet dötés helyzet olya helyzetek, amelyekbe az egyé vagy csoport, azaz a dötést hozó legalább két cselekvés változat cselekvés mód) között választás problémájával áll szembe. cselekvés változat stratéga) s =1, 2, ) a dötéshozó redelkezésére álló erőforrások bzoyos formába való felhaszálását jelet. egy cselekvés változat a dötéshozó hatáskörébe tartozó szabályozható változók bzoyos módo való együttese. téyállapot [t ] olya eseméyekek tekthetők, amelyek em a cselekvés változat téyezőek hatására következek be, de a cselekvés változat következméyére hatással vaak. Egy-egy cselekvés változat következméye emcsak magától a cselekvéstől függ, haem más téyezőktől, eseméyektől s, vagys a következméyekre hatással vaak a dötéshozó által em, vagy csak részlegese szabályozható külső körülméyek. Ezeket a külsőkörülméyeket téyállapotokak evezzük. következméy eredméy) o j =1, 2, ; j=1, 2,, m) egy cselekvés változat és egy téyállapot együttes hatásáak eredméye. dötés krtérum olya előírás, amely megmodja, hogya haszáljuk fel az előbb formácókat egyetle cselekvés változat kválasztására. dötés körülméyet a következőkategórákba sorolhatjuk: 1. bzoytalaság; 2. kockázat; 3. bzoyosság; 4. koflktus. dötés mátrx A sorokba a cselekvés változatok, az oszlopokba pedg a téyállapotok szerepelek. kfejez, hogy a cselekvés változatok és téyállapotok együttese határozzák meg a következméyeket. bzoytala dötések osztálya azok a dötés problémák, amelyekbe em smerjük a téyállapotok lletve következméyek) valószíűséget.

8 Wald krtérum mmax) pesszmsta és óvatos dötést hozó krtéruma. mde egyes cselekvés változat esetébe a legrosszabb következméyt tektve ezek közül a legjobbat, azaz a relatíve legksebb rosszat választja. Maxmax krtérum optmsta dötéshozó krtéruma azt éz meg, hogy melyk a legjobb következméy, majd ezek közül s a legjobbat választja. Savage krtérum mmáls megbáás krtéruma. mértéke az adott körülméyek között optmáls tehát a legjobb) és a téyleges dötés között külöbség a következméyek értékébe mérve. Hurwcz krtérum optmzmus együtthatóval súlyozva számítja k a legmegfelelőbb cselekvés változatot. a dötéshozó egy φ optmzmus együtthatót határoz meg a [0,1] tervallumo belül. pesszmzmus együttható értéke meghatározható: 1-φ). Ha egy adott S stratéga u1, u2,..., um haszosságú következméyel járhat, akkor a stratéga φ dexe kfejezhető: s ) M 1 ) m M az u j értékek között a legagyobbat, az m pedg a legksebbet jelet. Laplace krtérum átlagkrtérum) mde egyes eseméyt azoos valószíűséggel tektük. P t ) P t ) 0,5 1 2 kockázatos dötések osztálya Ha a dötés következméyet befolyásoló lehetséges eseméyekre voatkozóa a dötéshozó csak részleges formácóval bír, akkor kockázattal áll szembe. A kockázatos dötések osztályába tartozak mdazok a dötések, amelyek esetébe a téyállapotok vagy következméyek) valószíűsége smertek, azaz smeretes a valószíűségeloszlásuk. A dötés probléma megoldása lyekor a következő: 1. választ egy dötés krtérumot; 2. értékel az egyes cselekvés lehetőségeket; 3. a választott krtérumak megfelelőe kválasztja az optmáls cselekvés lehetőséget. legagyobb valószíűség maxmum lkelhood)krtéruma Adott Pt) téyállapot valószíűségek mellett a dötéshozó: 1.kválasztja a valószíűségadatok maxmumát; 2, ha ez a k-adk oszlopba va, akkor a k-adk oszlop yereségadata közül megkeres a legagyobbat; 3.optmáls lesz az a cselekvés változat, amelyek sorába ez a legagyobb yereségadat szerepel.

9 várható érték krtérum Bzoyos esetekbe kszámíthatjuk az eseméyek várható értékét, ezáltal tektetbe véve mde lehetséges eseméyt a megfelelő valószíűséggel. A krtérum alkalmazásáak meete: 1. a dötéshozó kszámítja a téyállapot várható értékét; 2. megkeres a téyállapotak azt az értékét, amelyk a legközelebb áll a várható értékhez; 3. a téyállapot oszlopába megkeres a legagyobb értéket, amellyel kjelöl az optmáls cselekvés változatot. várható pézérték krtérum Ezt a krtérumot alkalmazva a dötéshozó kszámítja mde egyes cselekvés lehetőség várható pézértékét, és azt a cselekvést választja, amelyhez a legagyobb lye érték tartozk. Ez a krtérum egyformá fotosak tekt a pézügy következméyeket és e következméyek bekövetkezéséek valószíűséget. teljes formácó tökéletes előrejelzés teljese megszüteté a bzoytalaságot. végggodolja, hogy mt s yerhet azáltal, hogy megkapja az 100%-os előrejelzést, meyt vola érdemes érte fzet, vagy kább a meglévő formácó alapjá dötsö. Ameybe a tökéletes előrejelzés t 1, úgy s 1 cselekvés lehetőséget választja, ha az előrejelzés t 2, akkor s 2 cselekvés lehetőséget választja példába: Létezk a megyébe egy főszakértő, ak 100%-os bztosággal meg tudja moda, hogy Réz megye taácsa hogya fog döte az útépítés ügyébe, ylvá az formácó pézbe kerül.) a pror valószíűség A dötéshozó korább tapasztalatara alapozott szubjektív becslés posteror valószíűség a valószíűségek becslés) a teljes formácó megszerzése utá keletkeztek etka eutraltás : kockázatos dötés probléma esetébe a dötést hozó közömbös Cselekvés változatok várható értéke számára azoosak. M s M 1 s 2 Az smeretle valószíűségeket jelöljük a következőképpe P t 1 ) p P t ) 1 P t ) 1 p 2 1

10 bztos dötések osztálya egy cselekvés változat esetébe melyk következméy lesz az eredméy, dötéshozó mde olya téyezőt potosa smer, amely téyezők a következméyeket befolyásolják. - bztosa tehát 1 valószíűséggel) tudjuk, hogy melyk téyállapot következk be - a cselekvés változathoz tartozó egyetle eredméy következméy) bekövetkezését tektjük bztosak A dötéshozó bztosa tudja, hogy a lehetséges eseméyek közül melyk következk be. Potosa meg tudja határoz, hogy az egyes cselekvés lehetőségekhez mlye következméyek tartozak. A dötéshozó mde egyes cselekvés lehetőséghez kszámítja az smert eseméy bekövetkezéséből adódó következméyt, majd kválasztja azt a cselekvést, amely optmáls, vagys a dötéshozó számára a legelőyösebb következméyel jár. Eszköze: matematka programozás 8. Komplex redszerek összemérés problémá, ragmódszerek alkalmazása omáls évleges) skála Az egyelőség axómákra épül. vagy A=B vagy A B ha A=B akkor B=A ha A=B és B=C, akkor A=C A számok csak azoosításra szolgálak. Egyed dolgok azoosító számozása, ll. osztályok azoosítása Számítható statsztka jellemzők: gyakorság, módusz pl mezszám sorred ordáls) skála Két dolgot valamlye közös tulajdoság alapjá hasolítuk össze. A sorredséget tükröző axómák s érvéyesek:

11 1. ha A<B, akkor B>A 2. ha A>B és B>C, akkor A>C A sorred skálá mért dolgok cseek egymástól azoos távolságra, az egymást követő tervallumok em azoos agyságúak. számolható: gyakorság, módusz, medá, kvatlsek, ragkorrelácós együttható, átlag, szórás NEM Példa: a termékek mőség osztályba sorolása, kérdőíves felmérésekél egy-egy kérdésre adott válasz 3, 5, vagy 7 fokozatú skálá törtéő mérése tervallumskála Ha a skála redelkezk a sorred skála tulajdoságaval, továbbá a skálá lévő bármelyk két szám külöbsége smert és meghatározott agyságú. Közös és álladó mértékegység jellemz, és a számokat eek alapjá redeljük a sorba redezett dolgokhoz. A ullpotját és mértékegységét szabado választjuk meg. A skálá számszerűe egyelő külöbségek a valóságba s egyelő külöbséget jelezek. Egy tervallumskálá bármelyk két tervallum aráya függetle a mértékegységtől és a ullpottól. Az tervallumskála értékeek külöbsége már redelkezek az addtvtás tulajdosággal. pl hőmérséklet aráyskála Legmagasabb redű skála, legerősebb mérés forma. Addtvtás axómák: 6. ha A=P és B>0, akkor A+B>P 7. A+B=B+A 8. ha A=P és B=Q, akkor A+B=P+Q 9. A+B)+C=A+B+C) Valód ullpot, bármelyk két potjáak aráya függetle a mértékegységtől. Példa : klasszkus műszak tulajdoságok kg, hosszúság) komplex redszer mde olya redszer, amelyet egydejűleg több tulajdoság értékelés téyező) alapjá mősítük. értékelés téyező olya tulajdoság, amelyet em ömagába, haem az értékelés folyamatába tektük

12 preferecarelácó Olya megelőzés relácó, ahol a megelőzés megállapítása az ú. előybe részesítés, preferálás alapjá törték. Jele:, mdg értékelést fejez k. a-t előybe részesít preferálja) b-vel szembe: a b, vagy a-t és b-t azoos fotosságúak dfferesek) tekt: a b, vagy b-t preferálja a-val szembe: b a. A preferecarelácó tulajdosága: a a hams rreflexvtás) ha a b gaz, akkor b a hams aszmmetra) ha a b és b c gaz, akkor a c s gaz traztvtás) ha a-t és b-t em azoosa preferálja, akkor a b és b a közül az egyk gaz trchotóma) közvetle ragsorolás a sorszámozásak felel meg. A dolgok közvetle ragsorolása és a számok hozzáredelése em válk szét tudatosa. Előye: ragszámok megadásával gyorsa lefolytatható. Hátráya: em ad formácót az értékelő személyek véleméyéek megbízhatóságáról, következetességéről; Nem tudjuk megállapíta a traztvtás követelméyéek megsértését. páros összehasolítás Az alteratívák közvetett, párokét összehasolításá alapszk. Alkalmazása ott dokolt, ahol több értékelés téyezővel kell számol, s azok fotossága, súlya eltér egymástól. Az értékelés mél megbízhatóbb elvégzését a matematka módszerek felhaszálásával lehet bztosíta. Az eredméyt a párokét felállított elemek között prefereca-dötésekre vezetjük vssza. A súlyszámokat úgy határozzuk meg, hogy az értékelés téyezőket párokét összehasolítva eldötjük, melyket preferáljuk, melyket tartjuk fotosabbak, és a dötéseket értékeljük.

13 traztvtás ha a fotosabb b-él és b fotosabb c-él, akkor a s fotosabb c-él a b c traztvtás a C b preferecamátrx sorokba és oszlopokba értékelés téyezők szerepelek. Ahol a sorba lévő preferált az oszlopba szereplővel szembe, oda 1-et íruk, ahol hátráyt szeved, oda 0-át. következetesség mutató [K] Ha egy adott esetbe meg tudjuk határoz a d körhármasok téyleges számát, szembe a körhármasok d max maxmáls számával, akkor a kettőháyadosakét megkapjuk az traztvtást kozsztecát, következetleséget) mutató aráyszámot. Általába azoba em ezt szokták megad, haem ezt az aráyszámot 1-ből levova. d K 1 d max ha páratla 24d K 1 3 ha páros 24d K Gulford-féle súlyozás a páros összehasolítás alapjá magasabb szte, tervallumskálá súlyozzuk. A preferecák teztásáak tervallumsztű méréséről va szó. Eszköze: páros összehasolítás és stadard ormáls eloszlás. 1. Elkészítjük a prefereca-mátrxot, kszámítjuk a kozszteca mutató értékét. 2.Meghatározzuk a prefereca aráyokat p) a következő módo m az értékelést végzők száma) a m p 2 m p alapjá táblázatból meghatározzuk u-t u m u Z max u m u 100

14 teljes elletét X és Y között maxmáls a véleméyeltérés. Ragszámösszegek azoosak, szórásuk ulla. Két vagy több személy között lehet teljes egyetértés. teljes egyetértés tökéletes ézetazoosság. ragszámösszegek gadozása maxmáls. teljes elletét csak két személy között lehetséges. Kedall-féle egyetértés együttható ragkokordeca együttható) [W] W max W=1, ha teljes az egyetértés a dötéshozók között, és W=0, ha teljes az elletét. 1. A W kszámításához először k ragsoroló) soros és ragsorolt dolog) oszlopos táblázatba redezzük ragszámakat. 2. Kszámítjuk a ragszámösszegeket: R j 3. Kszámítjuk a ragszámösszegek átlagát: R j 4. Kszámítjuk a ragszámösszegek gadozását: 5. Az gadozás teljes egyetértésél lehetséges maxmáls számértékét a következő összefüggéssel határozzuk meg: k 2 3 ) max Kszámítjuk az egyetértés együtthatót : W max 2 3 k ) k k: dötéshozók száma 12 : eldötedők lehetőségek) száma R j R j ) 12 ) j 2

15 ragszámegyezésél Ragsorolás esetébe az azoos dolgok azoos ragszámot kapak ez a ragszámegyezés /kötés/ esete.): L korrekcós téyező t egy kötése belül azoos ragszámok száma, d a kötések száma egy ragsoro belül): t 3 t) L d 12 W k 12 ) k L L

16 ragkorrelácó, ragkorrelácós együttható ha cs ragszám egyezés ha va ragszám egyezés 1) 6 1 1) ) d R R r Y X s Y x Y x s T T d T T r 2 ) ) 6 1 ) ) j t j t j T 1 3 ) 12 1