STATISZTIKA II. kötet

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "STATISZTIKA II. kötet"

Átírás

1 Szeged Tudomáyegyetem Gazdaságtudomáy Kar Petres Tbor Tóth László STATISZTIKA II. kötet

2 Szerzők: Dr. Petres Tbor, PhD egyetem doces Statsztka és Demográfa Taszék Tóth László PhD-hallgató Gazdaságtudomáy Kar

3 Másodk kötet

4 Tartalomjegyzék 7. Statsztka mták módszere Általába a mtákról A véletle mtavétel 7.3. A mtajellemzők és a sokaság jellemzők kapcsolata Véletle mtavétel tervek 4 8. Mta alapjá törtéő becslések Becslőfüggvéyek és tulajdoságak Potbecslés Itervallumbecslés Itervallumbecslés FAE mta eseté Itervallumbecslés EV mta eseté Itervallumbecslés R mta eseté 6 9. Hpotézsek vzsgálata Alapfogalmak Egymtás próbák Két függetle mtás próbák Több függetle mtás próbák 86 4

5 . Damkus elemzés 93.. Egyszerű elemzés módszerek 93.. Mozgó átlagok módszere Aaltkus tredszámítás Szezoáls gadozások elemzése 33. Többváltozós regresszó- és korrelácószámítás 38.. Többváltozós regresszószámítás 38.. Többváltozós korrelácószámítás Multkolleartás, autokorrelácó, heteroszkedasztctás Általáosított legksebb égyzetek módszere Főkompoes aalízs 374 Tesztkérdések 385 Tárgymutató 396 Képletgyűjteméy 44 Statsztka táblázatok 47 Irodalom 43 5

6 7. Statsztka mták módszere 7.. Általába a mtákról Az.3. fejezetbe már smertettük, hogy mlye módszerekkel juthatuk statsztka adatokhoz. Itt említettük meg azt s, hogy az adatgyűjtés (körét tektve) lehet teljes vagy részleges, de ezekkel em foglalkoztuk részletese. A továbbakba azoba eek a témáak több fgyelmet szetelük. Teljes körű megfgyelés A teljes körű adatfelvétel klasszkus példája a épszámlálás. Népszámlálást már a Róma Brodalomba s végeztek. A cezus szó a épszámlálás szomájává vált, és azóta s mde ország statsztka hvataláak legkomolyabb (legtöbb erőforrást géylő) feladata. Magyarországo a emzetköz gyakorlatak megfelelőe általába évekét tartaak épszámlálást. (Megjegyzés: a épszámlálások között dőszakba egy ú. mkrocezust s leboyolítaak. Ez azoba em teljes körű.) Legutóbb - be volt hazákba lye összeírás. A több mllárd fortba kerülő adatfelvételt a Közpot Statsztka Hvatal (KSH). február elejé kezdte meg. A három hétg tartó mukába megközelítőleg 4 számlálóbztos vett részt. A válaszadás állampolgár kötelesség, az adatszolgáltatás megtagadása pézbírsággal bütethető. A épszámlálással kapcsolatba a parlamet külö törvéyt alkot. Részleges megfgyelés A épszámlálás példájá vlágossá vált, hogy egyes gazdaság, társadalm jeleségek teljes megfgyelése alapuló vzsgálata agyo költséges, esetleg lehetetle. A gyakorlat egyre gyakrabba alkalmazza a részleges adatgyűjtést, külöösképpe aak egyk módját, a reprezetatív megfgyelést. A reprezetatív adatgyűjtés célja, hogy a sokaság egy részéek megfgyeléséből következtessük aak egészére. Azt a sokaságot, amelyre a reprezetatív megfgyelés segítségével következtetük alapsokaságak vagy sokaságak (jelöljük pl. A-val), az alapsokaság azo részét, amelyet megfgyelük mtasokaságak vagy mtáak (jelöljük pl. a-val) evezzük. Eek megfelelő llusztrácó a 7. ábrá látható. 6

7 7.. Általába a mtákról A mtavétel grafkus modellje A a a A 7. ábra Az alapsokaság lehet véges vagy végtele, de a mtasokaság mdg véges elemszámú. Mtavétel és emmtavétel hba A mta alapjá a sokaság jellemzők, a em teljes körű megfgyelés matt, csak bzoyos hbával közelíthetőek. Fotos azoba megkülöböztetük ezt a részlegességből adódó hbát a több hbalehetőségtől, ezért ezt mtavétel hbáak fogjuk evez. Azokat a hbalehetőségeket, amelyek md a teljes, md a részleges megfgyelés sorá feállak emmtavétel hbákak evezzük. Ezek (mt például a defícós, válaszadás, végrehajtás hba) a statsztka muka mde fázsába előfordulhatak. A tervezés sorá defícós hba az, ha a kérdőív potatlaul, hbása va megszerkesztve, az adatgyűjtéssel kapcsolatos fogalmak em tsztázottak, stb. Az adatgyűjtés sorá törtéhetek válaszadás hbák, amkor az adatszolgáltató szádékosa vagy öhbájá kívül a valóságak em megfelelő adatokat szolgáltat az adatfelvétel tárgyáról, a megfgyelés egységről. Az adatfelvétel (a tervezetek) em megfelelő elvégzése végrehajtás hbát jelet. Természetese a feldolgozás fázsába s törtéhet potatlaság, például adatrögzítés hba. A mtavétel megbízhatóságát a emmtavétel és a mtavétel hba agysága együttese jellemz. A emmtavétel hbák agyságára csak előző tapasztalatok 7

8 7. Statsztka mták módszere alapjá vagy szubjektív módó következtethetük, míg a mtavétel hba elmélet megfotolásokra támaszkodva matematka-statsztka eszközökkel becsülhető. Ezzel a továbbakba majd külö s foglalkozuk. A emmtavétel hba bemutatására smertetük két részleges adatgyűjtést. Háztartás-statsztka Az egyk legagyobb elemszámú mtavételre példa a KSH háztartás-statsztka felvétele. Évete körülbelül ezer háztartást kérek fel arra, hogy bevételekről és kadásakról aplót vezesseek. A felvétel,-,3%-os mtájáak statsztka mutató természetese ksebb potosságúak, mt a teljes körű épszámlálás vagy a %-os mtájú mkrocezus adata. A mtavétel hbá kívül tovább torzítást eredméyez, hogy a háztartás költségvetés felvételek em tartalmazzák a legjobb és legrosszabb életkörülméyek között élők adatat. Ez a felvétel ugyas ökétes, így a leggazdagabb rétegek (emzetköz tapasztalatok s ezt mutatják) általába elzárkózak az adatszolgáltatástól. A lakcímmel em redelkező hajléktalaok szté em kerülek bele a felmérésbe. A részvétel megtagadása mellett a másk legagyobb torzító téyező a jövedelmek tedecózus elttkolása, általába a gazdagabb háztartásokba, de az alacsoyabb jövedelműek körébe s. Az említett jellemzők matt a háztartás-statsztka közleméyekbe a valóságosál kevesebb magas jövedelmű és több alacsoy jövedelmű háztartás szerepel. Ezt szem előtt kell tarta az adatok felhaszálása sorá. Közvéleméy-kutatás A közvéleméy- és packutatással általába erre szakosodott tézetek foglalkozak. Ezek adatakat szte kzárólag mtavételes felvétel útjá yerk. Az egyk leggyakorbb közvéleméy-kutatás téma az állampolgárok pártpreferecájára voatkozk. Eek felmérésére általába havota körülbelül főt kérdezek meg személyes megkereséssel. A mtába kerülő személyeket a szavazásra jogosult állampolgárok közül teljes véletlet bztosító módszerrel választják k úgy, hogy az alapsokaság és a megkérdezettek összetétele megegyezze. A pártpreferecák felmérése sorá több torzító téyező s előfordul, amely emmtavétel hbát eredméyez. Ilye például az, hogy a szélsőséges pártok szmpatzása általába elhallgatják véleméyüket, és bzoytalaak modják magukat a szavazatukat lletőe. 8

9 7.. Általába a mtákról A következő példáál (elletétbe ez előző kettővel) a részleges megfgyelés már em tartalmaz válaszadás hbát. Gyógyszerek hatásosságáak vzsgálata Újoa kfejlesztett gyógyszerek hatásosságáak vzsgálatára s gyakra alkalmazzák a mtavétel módszeret. Egy adott betegségbe szevedők közül kválasztaak éháyat, és kezelések vetk alá őket. Ezzel párhuzamosa megfgyelek egy olya csoportot (kotrollcsoport), amelyek tagja hatóayag élkül gyógyszert, ú. placebót kapak. Ilye esetbe a statsztka eszközevel arra kereshetjük a választ, hogy a két csoport egészség állapotába bekövetkezett változások között va-e statsztkalag jeletős, ú. szgfkás külöbség. 9

10 7. Statsztka mták módszere 7.. A véletle mtavétel Ahhoz, hogy a mtavétel hba matematka-statsztka eszközökkel kezelhető legye olya mtát kell választa, amely valamlye értelembe reprezetálja a sokaságot. Erre egy lehetséges eljárás a véletle mtavétel. A továbbakba törvéyszerűségeket foguk megfogalmaz olya mtákra voatkozóa, amelyek elemet az alapsokaságból úgy választottuk k, hogy mde sokaság elem előre adott valószíűséggel kerülhetett a mtába. (Megjegyzés: a véletle fogalmával most em foglalkozuk részletese, aak értelmezése a valószíűségszámításból smertek; véletlee valamlye valószíűséggel bekövetkező eseméyt értük.) Véletle számok előállítása és alkalmazása Ha a sokaság mde egyes tagjához egy sorszámot redelük, akkor a mtavétel véletleszerűségéek bztosításához egy olya számsort kell megaduk, amelyek eleme egyelő valószíűséggel kerültek kválasztásra. Ilye számsort háromféleképpe s kaphatuk. Sorsolás: például cédulákra felírt sorszámokat húzuk k egy urából, amelyet előtte jól megkevertük. Véletle számok táblázata: létezek olya táblázatok, amelyek ú. pszeudovéletle számsorozatokat tartalmazak. (Ezeket a számsorozatokat matematka képletekkel állították elő.) Úgy haszáljuk őket, hogy ksorsoljuk valamely sorát és oszlopát, és az ott található számtól kezdve folyamatosa kolvassuk a táblázatba szereplő számokat. Ha a táblázatba szereplő számok közül olyahoz érük, amelyk agyobb a sokaság elemszámáál, akkor azt átugorjuk. Gép sorsolás: a számológépek legtöbbjébe va beépített véletleszám-geerátor. Eek többször meghívásával készíthetjük el a mtába kerülő elemek sorszámaak sorozatát. Véletle számokat az Ecel segítségével s kaphatuk. A VÉL() paraméter élkül függvéy meghívásával -ál agyobb vagy egyelő és - él ksebb egyeletes eloszlású véletle számot kapuk. (Ezt fel kell szorozuk a sokaság elemszámával és hozzá kell aduk egyet, ahhoz hogy sorszámot kapjuk.)

11 7.. A véletle mtavétel Eél összetettebb és több beállítás lehetőséget tartalmaz az Eszközök meü Adatelemzés almeüjébe a Véletleszám-geerálás pael. Itt egy egész tartomáyt tölthetük fel egymástól függetle véletle számokkal. Az ezt megelőzőe smertetett eljárások egyeletes eloszlású véletle számokat adak, mert a leggyakrabba ezt haszáljuk. A véletleszám-geerálás párbeszédpaeljébe azoba mód va többféle eloszlás beállítására és azok paramétereek megadására. A mtajellemzők, mt valószíűség változók Egy adott sokaságból egy véletleszerűe kválasztott egyed smérvértéke (a pror) véletleek tekthető. Ezt a véletletől függő smérvértéket ezért mt valószíűség változót fogjuk tekte. Egy többelemű mta valamlye jellemző adata szté valószíűség változó. Egy adott elemszámú (azoos módo végrehajtott) mtavétel agyo sokféle mtajellemzőt eredméyezhet, a mták statsztka jellemző mtáról mtára változhatak, attól függőe, hogy mely sokaság elemek kerültek a mtába. A véletle mtavétel eredméyekét kapott részsokaságot valószíűség mtáak s evezzük. A fetekkel való összhag érdekébe azt fogjuk feltételez, hogy dszkrét sokaságak valószíűségeloszlással, míg folytoos sokaságak eloszlásfüggvéyükkel adottak. (Megjegyzés: az eddgekbe kább azt a megközelítést követtük, hogy a sokaságak elemek felsorolásával adottak. Ez természetese csak véges sokaság eseté lehetséges. Igaz persze, hogy a gyakorlatba szte kzárólag véges sokaságokkal találkozuk, ám a statsztka tárgyából adódóa ezek agy elemszámú sokaságok, gyakorlatlag végteleek tekthetőek. Ezzel szembe a mtát mdg elemeek felsorolásával adjuk meg, mert az mdg véges.) Mtaelemek kválasztása vsszatevéssel vagy vsszatevés élkül A mtavétel sorá a mtaelemek kválasztásáál két eltérő módszer létezk. Az egyk szert a már khúzott elemeket azoal vsszahelyezzük az alapsokaságba, így ugyaazo elem többször s beválogatható a mtába. Ezt a módszert vsszatevéses

12 7. Statsztka mták módszere mtavételek (leggyakrabba FAE 6) -ek) evezzük. A másk módszer szert a kválasztásra került mtaelemeket em rakjuk vssza, így mde sokaság egység csak egyszer kerülhet az adott mtába. Ezt a módszert vsszatevés élkül mtavételek (leggyakrabba EV 7) -ek) evezzük. Egy N elemszámú sokaságból vsszatevéses mtavétellel elemet k N FAE (5) féleképpe választhatuk k. Egy N elemszámú sokaságból vsszatevés élkül mtavétellel elemet N k EV (53) féleképpe választhatuk k. 58. példa A 7.. fejezetbe említett háztartás-statsztka felvétel eseté mey a lehetséges mták száma, ha az ország megközelítőe 3,8 mlló háztartásából veszük ezres elemszámú mtát? Legye N 3,8 és. 6 Az összes lehetséges FAE mták száma (5) szert: 4 k FAE ( 3,8 ) ( 3,8) ( ) ( 3,8 ) A megfelelő műveletek elvégzése utá a következő eredméyt kapjuk: k 6,9. FAE 6) Az FAE rövdítés arra utal, hogy a vsszatevéses mtavétel eseté a mtaelemek függetle és azoos eloszlású valószíűség változók, hsze a mtaelemeket egymástól függetleül választjuk k és mdg ugyaabból a sokaságból, az alapsokaságból. 7) Az EV rövdítés a vsszatevés élkül módszert haszáló mtavétel terv elevezésére, az egyszerű véletle mtavételre utal.

13 7.. A véletle mtavétel Az összes lehetséges EV mták száma (53) szert: 6 6 ( 3,8 )! ( )! 3,8! 3,8 k EV 4. Eek kszámításához felhaszáljuk az ú. STIRLING-féle összefüggést:! π e , 88 ahol > értékekre a zárójelbe levő kfejezés elhayagolható. Ezt felhaszálva: k EV π ,8 3,8 π 3,8 ( 3,8 ) e ( ) e π 3,79 ( 3,79 ) 6 3,79 e 6 3,79. A megfelelő műveletek elvégzése utá a következő eredméyt kapjuk: 33 k 4,6. EV Megjegyzés: a kapott eredméyek agyságredjéek érzékeltetése végett, összevetésül megemlítjük, hogy a Vlágegyetemük tömege megközelítőleg csak gramm! (Paul Daves: Az utolsó három perc, Kulturtrade Kadó Kft, Bp., 994.) 56 Adott alapsokaság eseté az Ecel segítségével s k tuduk választa véletle mtát. Vgyük be az alapsokaságuk adatat egy mukatartomáyba, majd az Eszközök meü Adatelemzés... almeüjébe hívjuk meg a Mtavétel meüpotot. A Bemeet tartomáy mezőbe adjuk meg az alapsokaságot tartalmazó mukatartomáyt. Két mtavétel módszer közül választhatuk: A Perodkus dőszak: választókapcsoló segítségével szsztematkus kválasztást (ezt a 7.4. fejezetbe részletesebbe smertetjük) végezhetük, míg a A Véletle mták száma: választókapcsolóval smétléses véletle mtát kapuk. Az előbb esetbe meg kell aduk a lépésközt. Ha a program az alapsokaság végére ér, akkor befejez a mtavételt. 3

14 7. Statsztka mták módszere (Megjegyzés: ez a mtavétel módszer csak bzoyos esetekbe tekthető véletle mtavétel módszerek.) A Véletle mtavétel módszert alkalmazva azt tudjuk megad, hogy a program háy véletleszerűe kválasztott cella adatát másolja a Kmeet tartomáy mezőbe. 4

15 7.3. A mtajellemzők és a sokaság jellemzők kapcsolata 7.3. A mtajellemzők és a sokaság jellemzők kapcsolata A mtákból a sokaságra voatkozó következtetések levoását evezzük statsztka dukcóak. Ezzel a statsztka következtetéselmélet foglalkozk. A továbbakba azt fogjuk megvzsgál, hogy melyek azok a törvéyszerűségek, amelyek feljogosítaak mket arra, hogy az alapsokaság egy megfelelő módo kválasztott részsokasága alapjá az alapsokaságra voatkozó állításokat fogalmazzuk meg. Elemezzük egy adott sokaság eseté az (ebből azoos módo kválasztható) elemű mták összességét. Ha mde egyes mtára kszámítjuk valamelyk mtajellemzőt, akkor az adott jellemző eloszlását kaphatjuk meg. A mtajellemzők eloszlását mtavétel eloszlásak evezzük. Vzsgáljuk most meg, hogy mlye tulajdoságokkal redelkezk az egyk legfotosabb mtajellemző, a mtából számított átlag (az ú. mtaátlag). Haszáljuk a következő jelöléseket: a sokaság elemszáma legye N, várható értéke µ, szóráségyzete σ. A mta elemszáma legye, a mtaátlag, szóráségyzete pedg v. Eek megfelelő llusztrácó a 8. ábrá látható. (Megjegyzés: ebbe a fejezetbe tehát v em a relatív szórást jelöl!) A sokaság és a mta fotosabb jellemző N µ σ v < N 8. ábra 5

16 7. Statsztka mták módszere Va-e valamlye kapcsolat a 8. ábrá feltütetett (sokaság és mta-) jellemzők között? A (54)-(56) képletek defálják ezeket a fotos összefüggéseket. A mtaátlagok mtavétel eloszlása A 8. ábrá látható mta csak egy az összes lehetséges mta közül. A mtavétel módszertől függőe ezek száma (5)-(53) szert adott. Természetese mdegykek megva a saját mtajellemzője. Az összes lehetséges mtaátlag gyakorság sorát az 5. táblázat tartalmazza. Az összes lehetséges mták átlagaak eloszlása Mtaátlagok Gyakorságok 5. táblázat f f M k Összese M f k k FAE vagy k EV A fet eloszlásak ktütetett szerepe va a statsztkába, mert ez az összekötő kapocs a mták és a sokaság között. Mt mde gyakorság sorak, eek s va átlaga és szórása. Megkülöböztetésül jelöljük ezeket a következő szmbólumokkal: σ. µ, lletve Az összes lehetséges elemű vsszatevéses mták eseté a mtabel átlagok eloszlásáak várható értéke: E ( ) µ µ (54) és szórása: σ σ. (55) 6

17 7.3. A mtajellemzők és a sokaság jellemzők kapcsolata A vsszatevés élkül mtákra feáll a következő két összefüggés: E ( ) µ µ és σ N σ. (56) N A mtajellemzők szórásával a mtavétel hbát tudjuk jellemez, amely szórásak a statsztkába külö elevezése va: ezt evezzük a mtajellemző stadard hbájáak 8). A stadard hba égyzetét mtavétel szóráségyzetek evezzük. A mtaátlagok eloszlásával kapcsolatba megemlítük éháy fotos téyt. A mtaátlagok eloszlása függ az alapsokaság eloszlásától. Ha az alapsokaság Ha ormáls eloszlású, akkor a mtabel átlagok s ormáls eloszlást követek. 3, akkor az alapsokaság eloszlásától függetleül a mtaátlagok közelítőleg ormáls eloszlásúak leszek µ várható értékkel (ez a valószíűségszámításból smert közpot határeloszlás tételéek következméye) és σ szórással. Ematt a továbbakba a 3 elemszámúál em ksebb mtákat agy mtákak, a 3-ál kevesebb elemet tartalmazó mtákat pedg ks mtákak fogjuk evez. A mtaátlagok eloszlása aál jobba közelít a ormáls eloszlást mél agyobb a mta elemszáma. Az lye típusú eloszlásokat aszmptotkusa ormáls eloszlásokak evezzük. A ormáls eloszlás Az egyk agyo fotos folytoos eloszlás az ú. ormáls eloszlás, vagy GAUSS-féle eloszlás. Eek két paramétere va, amelyeket µ -vel és σ -val jelölük. Az eloszlás sűrűségfüggvéye: 8) A statsztkába fotos szerepe matt kemeljük, hogy a stadard hba egy közöséges szórás, csak em akármelyk eloszlás szórása, haem a mtavétel eloszlás szórása! 7

18 7. Statsztka mták módszere ( ) µ σ f e. (57) σ π A (57) grafkus ábrája az ú. GAUSS-görbe. A ormáls eloszlást jellemző fotosabb mometumokat és mutatószámokat az 53. táblázat tartalmazza. A ormáls eloszlás jellemző várható érték µ 53. táblázat szórás σ ferdeség-mutató ( α 3 ) csúcsosság-mutató ( α 4 ) 3 (57) rövdebb jelölése: N( µ, σ ). Megjegyzés: egy ormáls eloszlású valószíűség változó a (, ) tervallumba bármlye értéket felvehet. A gyakorlatba (gazdaság, társadalm jeleségek vzsgálatáál) lye természetese sohasem fordul elő, de gyakra találkozuk jó közelítéssel ormáls eloszlásúak tekthető sokaságokkal. Például az emberek magasságáak, testtömegéek, értelm sztjéek, stb. gyakorság görbéje megközelítőleg GAUSS-görbe alakú. Általába mde olya jeleség megközelítőleg ormáls eloszlású, amelyet befolyásoló téyezőkre jellemzőek az alábbak: a téyezők száma agy és egymástól függetleek, egyekét hatásuk az összhatáshoz képest kcs, külöböző ráyúak és teztásúak. 8

19 7.3. A mtajellemzők és a sokaság jellemzők kapcsolata Ha ormáls eloszlású valószíűség változókat (55) szert stadardzáljuk, akkor a traszformált változó stadard ormáls eloszlású lesz. (Megjegyzés: az lye változókat a statsztkába gyakra z-vel vagy u-val jelöljük.) Eek sűrűségfüggvéye: z ϕ ( z) e, (58) π grafkoja a 9. ábrá látható. Megjegyzés: fotossága matt kemeljük a z értékhez tartozó valószíűséget. A ϕ( ),39897,4 mde átlagos (ormáls eloszlású) tulajdoság előfordulásáak valószíűségét mutatja. Mvel (az előzőek alapjá) az összes lehetséges mtaátlag s ormáls eloszlású, a sokaság várható értékével egyelő mtaátlag előfordulásáak va a legagyobb valószíűsége, körülbelül 4%. A sokaság várható értékétől jeletőse eltérő mtaátlagok előfordulásáak valószíűsége eél jóval ksebb. A stadard ormáls eloszlás sűrűségfüggvéyéek grafkoja ϕ(z),5,4,3,, -3,5 -,5 -,5 -,5,5,5,5 3,5 z 9. ábra A z stadardzált változó várható értékű és szórású ormáls eloszlású valószíűség változó, azaz 9

20 7. Statsztka mták módszere z N(,). A stadardzált változó uverzálsa haszálható (mvel mértékegység élkül), azaz külöböző típusú sokaságok eseté s alkalmazható összehasolítás céljára. A ormáls eloszlás egyk fotos tulajdosága a következő: µ m z σ (59) tervallumba található ( z,, 3 eseté) az összes (9. ábrá látható) görbe alatt terület 68,7; 95,45 és 99,73%-a. Gyakra azoba szükség va stadard ormáls eloszlású változó eloszlásfüggvéyéek értékere akkor s, ha z em egész szám. Ezekre az esetekre táblázatokat szoktuk haszál. Lásd az I. táblázatot! Ebbe a külöböző z értékek az első tzedes jegyg az első oszlopba szerepelek, míg a másodk tzedes az első sorba va. A táblázat belseje tartalmazza az eloszlásfüggvéy értékeek törtrészét. Ebből a táblázatból vsszafelé s tuduk keres: ha a lefedett terület agysága adott, akkor meg tudjuk moda az tervallumhoz tartozó z értéket. A statsztka rodalomba a (59) szert táblázatot legtöbbször em közlk. Ez azzal magyarázható, hogy az eloszlásfüggvéy (defícójából adódóa) em a (59) szert, haem a (, z) tervallumba adja meg a 9. ábrá látható görbe alatt területet. Eek megfelelő értéket a II. táblázat tartalmazza. M az összefüggés a két táblázatba közölt adatok között? Az összefüggés felírása végett, a (59) szert valószíűségre vezessük be az ( α ) jelölést. Ebből következk, hogy a kegészítő valószíűség α -val egyelő. Például z eseté a valószíűség ( α ) 95,45%; azaz α,9545, 455 ; tehát ( ) 4,55%. Fgyelembe véve a feteket, az I. táblázat közvetleül α -ra, a II. táblázat pedg α -re adja meg a (59) képlethez szükséges megfelelő z értéket. Az I. és a II. táblázat értéket az Ecel segítségével számítottuk k. A statsztka függvéyek közül a STNORMELOSZL(z) függvéy stadard ormáls eloszlású

21 7.3. A mtajellemzők és a sokaság jellemzők kapcsolata változó eloszlásfüggvéyéek értéket adja, míg verzét az INVERZ.STNORM(valószíűség) függvéy segítségével határozhatjuk meg. 59. Példa Mlye z értékre lesz a (59) által adott tervallumhoz tartozó terület az összterület legalább 9%-a? A z,96 értékhez háy százalékos részterület tartozk? Az I. táblázatba közölt elmélet értékek alapjá mdkét kérdés megválaszolható. Keressük meg a táblázatba a 9%-ak (lletve táblázatuk potossága szert,9- ek) megfelelő értéket. (Lásd a 3. ábrát.) Az I. táblázat része z M, , , M 3. ábra Legalább 9%-ak megfelelő terület a vastago szedett,96. Ebbe a sorba z-ek megfelelő szám,6; függőlegese pedg 5; ezért z értéke,65 ( z,6 +,5,65 ). A táblázatba közölt adatok alapjá a 9%-ak megfelelő potosabb értéket em tuduk megállapíta, de az Ecel INVERZ.STNORM(,95) függvéyhívás segítségével ez köye meghatározható: z,

22 7. Statsztka mták módszere Megjegyzés: az említett Ecel függvéy paraméteréél fgyelembe kell ve azt, hogy α valószíűség ( α) helyett valószíűség ( ) -t kell ve, ahol α,9. A z,96 értékhez tartozó terület agyságát szté meg tudjuk határoz az I. táblázatból és az Ecel segítségével s. A táblázatba a 3. ábrá látható módo (vastago szedett,9 és 6 számokál) keressük a megfelelő értéket. A keresett érték tehát,95; vagys z,96 -hoz 95%-os terület tartozk. Az I. táblázat része z M, , , M 3. ábra Mt már említettük, az összes lehetséges mták átlaga ormáls eloszlásúak, ezért felírható a következő összefüggés: N( µ, σ ). (6) Ezek szert, a ormáls eloszlásra voatkozó (eddg említett) tulajdoságok a mtaátlagokra s érvéyesek. A (59) alapjá, gaz a következő összefüggés: µ m z σ. (6)

23 A 3. ábra a z 7.3. A mtajellemzők és a sokaság jellemzők kapcsolata értékhez tartozó területet llusztrálja. A mtaátlagok (6) szert ábrázolása ϕ(z),5,4,3, 95,45%, < µ m σ > z 3. ábra 6. Példa Az összes lehetséges mtaátlag háy százaléka található a µ,58 σ tervallumba; lletve melyk az az tervallum, amely ezekek 99,5%-át tartalmazza? Az I. táblázatba a,58 értékek (,5 és 8 számok kereszteződésébe),99 vagy 99,%-os valószíűség felel meg. Tehát (a mtavétel módszertől függőe),99 k FAE vagy,99 kev m mtaátlag található a vzsgált tartomáyba. Az I. táblázatba a 99,5%-ál em ksebb legközelebb érték,9955. Ehhez z,8 tartozk. A keresett tervallum: µ m,8 σ. Megjegyzés: az összes lehetséges mtaátlag %-át elméletleg a tervallum tartalmazza. z értékkel adott 3

24 7. Statsztka mták módszere 7.4. Véletle mtavétel tervek Függetle, azoos eloszlású mta (FAE) Egyelő valószíűséggel vett vsszatevéses mta eseté függetle, azoos eloszlású mtát (FAE) kapuk. Végtele sokaságból vett vsszatevés élkül mta s FAE mtáak tekthető, hsze ebbe az esetbe a kválasztott elemek em befolyásolják a megmaradó sokaság eloszlását. A gyakorlatba a agy elemszámú sokaságok s (jó közelítésbe) végteleek tekthetőek. Az emprkus elemzésekél (a agy elemszámú sokaságból vett) vsszatevés élkül mtavétel módszert alkalmazzuk leggyakrabba. Egyszerű véletle mta (EV) Ha homogé, véges elemszámú sokaságból vsszatevés élkül kválasztást alkalmazuk, akkor egyszerű véletle mtát (EV) kapuk. Egyszerű véletle mta kválasztásához gyakra alkalmazzák az ú. szsztematkus kválasztást. Eek léyege az, hogyha redelkezük egy lstával a sokaság elemeről, akkor mde k-adk elemet kválasztva véletle mtához jutuk, ameybe a lsta sorba redezéséek alapjául szolgáló és a vzsgál kívát smérv függetle egymástól. N A k lépésköz értékét a k képlettel határozhatjuk meg. A kválasztás kdulópotját véletleszerűe jelöljük k, majd ettől kezdve mde k-adkat kválasztjuk. Ha a lsta végére érük, akkor folytatjuk a lsta elejéről folyamatosa. Eek a módszerek az előye egyszerűségébe va. Rétegzett mta (R) Mde mtavétel tervél felmerül a következő kérdés: hogya lehete olya módo kválaszta a mtát, hogy az mél jobba reprezetálja a sokaságot. A 4.. fejezetbe már láttuk, hogy a heterogé sokaságok (valamlye megfelelőe megválasztott csoportképző smérv szert) gyakra megközelítőleg homogé részsokaságokra bothatóak. Ezt haszáljuk k a rétegzett mtavétel eseté, amelyek végrehajtása a következőképpe törték: először a sokaságot mél homogéebb (a vzsgált smérv szempotjából ksebb szórású) részsokaságokra (átfedésmetese és hézagmetese) 4

25 7.4.Véletle mtavétel tervek botjuk szét. Ezeket a részsokaságokat evezzük rétegekek vagy sztrátumokak. A rétegeke belül ezutá egyszerű véletle mtavételt hajtuk végre. Heterogé sokaságok eseté a rétegzett mtavétel (ugyaakkora agyságú mtát feltételezve) általába ksebb mtavétel hbát eredméyez, mt az EV vagy FAE mta. Az R mta hatásossága azo múlk, hogy skerül-e megfelelőe homogé rétegeket kalakíta. A rétegzett mtavétel tárgyalásához a következőkbe smertetett jelölésredszert alkalmazzuk. A rétegek számát jelölje M, elemszámakat pedg redre: N, N,..., N M ; míg a rétegekből kválasztott elemek száma legye,,..., M. Ezek alapjá a vzsgált sokaság elemszáma: M j N j N, míg a mtaagyság: M j j. A sztrátumok és a rétegekből vett mták más jellemzőre s deeléssel utaluk. A rétegzett mtavételél döteük kell, hogy hogya osztjuk szét a mta teljes elemszámát () a rétegek között. Erre többféle elosztás terv létezk. 5

26 7. Statsztka mták módszere Egyeletes elosztás: az egyes rétegekből azoos számú elemet választuk a mtába. A j-edk sztratumból kválasztott mta elemszáma: j j,,..., M. (6) M Aráyos elosztás: a rétegek elemszámáak sokaságbel aráyát fgyelembe véve törték a kválasztás. A j-edk rétegből kválasztott mta elemszáma: N j j M j N j N j N. (63) Az aráyos elosztás több haszos tulajdosággal redelkezk, ezért a gyakorlatba gyakra alkalmazzák. Ez a mtavétel terv az egyeletes elosztáshoz hasolóa szté egyszerű, tt a sokaságba és a mtába ugyaazok a súlyaráyok szerepelek. Eek következméyekét belátható, hogy az aráyos elosztással yert mtából számított főátlag hbája (a rétegezéstől függetleül) em lehet agyobb, mt EV mta eseté. NEYMAN-féle optmáls elosztás: ha smerjük az egyes részsokaságok vzsgált smérv szert szórását, vagys az egyes rétegek heterogetásáak mértékét, akkor ezt fel tudjuk haszál arra, hogy a sokaságot jobba reprezetáló mtát válasszuk k. A NEYMAN-féle optmáls elosztás eseté a ksebb szórású rétegekből ksebb, míg a agyobb szórású rétegekből agyobb mtát veszük. A j-edk rétegből kválasztott mta elemszáma: j M N σ j j j j N σ j. (64) Ez a mtavétel a főátlagot a legksebb mtavétel hbával közelít, de a gyakorlatba mégs rtká alkalmazzuk, mert a rétegekét szórások általába smeretleek. 6

27 7.4.Véletle mtavétel tervek Csoportos mta (CS) Az eddg mtavétel tervekél feltételeztük, hogy redelkezésükre áll a sokaság összes egyedét tartalmazó lsta, am alapjá a kválasztás elvégezhető. A gyakorlatba lyeel általába em redelkezük, és elkészítése s agyo költséges esetleg lehetetle lee. Ilyekor a sokaságot agyobb összetartozó egységekre botjuk szét, amelyekél a lsta köyebbe beszerezhető. Ha eze összetartozó csoportok (pl. területleg) kocetrálta helyezkedek el, akkor egy csoport teljes körű megfgyelése olcsóbb lehet, mt a más tervek szert kválasztott em kocetrálta elhelyezkedő mtaelemek megfgyelése. A csoportos mtavétel eseté tehát a homogé sokaságot csoportokra botjuk szét (általába természetese adódó módo), és a csoportok halmazából választuk EV mtát, majd a kválasztott csoportokat teljes körűe megfgyeljük. A csoportos mtavétel általába egyszerűbbé és olcsóbbá tesz a felvételt. Potossága a csoportoko belül homogetástól függ. A csoportos mtavétel eseté a rétegzettel elletétbe az ad hatásosabb becslést, ha a csoportok heterogéek, hsze mde elemüket megfgyeljük, így homogé csoportok eseté ez redudás és rotja a hatásosságot. Fotossága matt még egyszer kemeljük, hogy a rétegzett mtavétel akkor hatásos, ha (a megfgyelt smérv szempotjából) a sokaság heterogé és a rétegek homogéek, míg a csoportos mtavétel akkor hatásos, ha a sokaság homogé és a csoportok heterogéek. Többlépcsős mta (TL) A többlépcsős mtavételt hasoló esetekbe alkalmazzuk, mt a csoportos mtavételt. Eél a mtavétel tervél több lépésbe jutuk el a megfgyelés egységekhez. A leggyakorbb a kétlépcsős mtavétel, amelyek sorá (a csoportos mtához hasolóa) csoportokat (elsődleges megfgyelés egység) választuk k a sokaságból, de em fgyeljük meg ezeket teljes körűe, haem újabb mtavételt alkalmazuk a csoportoko belül. A többlépcsős mtavétel előye, hogy az elsődleges megfgyelés egység homogetása eseté csökket a megfgyelés redudacáját, így övel a hatásosságot. A TL mta elosztásáak kérdése boyolultabb az egylépcsős mtákéál, általába arra törekszük, hogy a végső mta a sokaság aráyokak megfelelő legye. 7

28 7. Statsztka mták módszere Az említett mtavétel terveke kívül még számos más s smeretes, de köyvükbe ezekkel em foglalkozuk. A következő két fejezetbe csak az FAE, EV és R mták alkalmazásával foglalkozuk. 8

29 8. Mta alapjá törtéő becslések 8.. Becslőfüggvéyek és tulajdoságak Ahogy azt a 7. fejezetbe már megállapítottuk, céluk az, hogy mta alapjá következtessük az alapsokaságra, lletve aak valamelyk jellemzőjére. Ebbe a fejezetbe olya módszerekkel foglalkozuk, amelyek segítségével egy sokaság valamely jellemzőjét vagy eloszlását, lletve egy statsztka modell valamlye paraméterét tudjuk közelítőleg meghatároz. A becslésük tárgyát képező sokaság jellemzőt a továbbakba Θ -val jelöljük. A sokaság jellemző mtából törtéő közelítő meghatározására szolgáló statsztkát becslőfüggvéyek evezzük. Az,..., mtaelemekhez tartozó, becslőfüggvéyre a következő jelöléssel hvatkozuk: Θˆ (,,..., ) Θˆ Θˆ. A becslőfüggvéy tehát olya statsztka, amely a sokaság jellemzőt a mtajellemzők valamlye függvéyével közelít, és mvel értéke a mtaelemektől függ, vagys mtáról mtára változk, ez s valószíűség változóak tekthető. (A mtavétel végrehajtása utá természetese md a mta, md a becslőfüggvéy értéke realzálódak, tehát a posteror módo már em tekthetőek valószíűség változókak.) Először a potbecsléssel, majd az tervallumbecsléssel foglalkozuk. Potbecslés eseté (a becslőfüggvéyük segítségével) a mtához egyetle számszerű értéket redelük, és ezt tektjük a becsül kívát paraméter értékéek. Itervallumbecslés eseté azoba egy olya tervallumot határozuk meg, amely előre adott agy valószíűséggel tartalmazza a becsül kívát paramétert. Egy sokaság jellemző becslésére természetese többféle becslőfüggvéy s készíthető. A kérdés az, hogy hogya lehet ezeket a statsztkákat összehasolíta, és kválaszta közülük a legjobbat. A becslőfüggvéyeket, mt mde más valószíűség változót, kézefekvő eloszlásukkal, várható értékükkel és varacájukkal jellemez. 9

30 8. Mta alapjá törtéő becslések Torzítatlaság A legalapvetőbb krtérum a becslőfüggvéyekkel szembe, hogy értékük (a külöböző mtáko) a sokaság jellemző körül gadozzo. Torzítatlaak evezük egy becslőfüggvéyt, ha aak várható értéke a becsül kívát sokaság jellemzővel egyelő. Vagys: E ( Θ) ˆ Θ. (65) A torzítás mértékét a Bs ( Θˆ ) Θ E( Θˆ ) (66) mérőszámmal szoktuk kfejez. 9) Bzoyos statsztkákál előfordul, hogy a torzítás mértéke függ a mtaagyságtól. Ha a mtaagyság mde határo túl törtéő övelésekor a becslőfüggvéy torzítatlaá válk, vagys lm Bs ( Θˆ ), akkor azt modjuk, hogy aszmptotkusa torzítatla. A torzítatla becslőfüggvéyek természetese szté aszmptotkusa torzítatlaok. Azt már láttuk, hogy az FAE és az EV mtából számított mtaátlag a sokaság várható érték torzítatla becslése, mvel (54) szert: E ( ) µ. A 3. fejezetbe taglaltak szert, az átlag, lletve a várható érték mellett a sokaságok másk legfotosabb jellemzője a szórás, lletve aak égyzete a varaca. A mtából számított szóráségyzet, amelyet tapasztalat szóráségyzetek evezük, torzította becsül a sokaság varacát. A torzítás mértéke FAE mta eseté: σ Bs(v). 9) A torzított szó agol megfelelője: based. 3

31 8.. Becslőfüggvéyek és tulajdoságak Ha képezzük az s ( ), (67) lletve s k f ( ) (68) becslőfüggvéyt, akkor a sokaság varaca torzítatla becslését kapjuk. E ( s ) σ (69) A (67)-(68) segítségével defált mtajellemzőt korrgált tapasztalat szóráségyzetek, égyzetgyökét korrgált tapasztalat szórásak evezzük. EV mta eseté s égyzetét (7) szert még egy korrekcós téyezővel kell szorozuk, hogy torzítatla becslőfüggvéyt kapjuk. N E s σ (7) N 6. példa A. példáál a. táblázat a kötelező gépjármű-bztosítással foglalkozó társaságok díjbevételeek adatat tartalmazza 999 első egyedévére. Ugyaezeket az adatokat tartalmazza az 54. táblázat s, de most em ezer, haem mlló Ft-ba. Megjegyzés: ezt a példát csak szemléltető gazolás céljából tárgyaljuk, a valóságba lye ks elemszámú sokaságál mdg teljes körű felmérést alkalmazuk (em pedg mtavételt)! 3

32 8. Mta alapjá törtéő becslések 999 első egyedévéek díjbevétele 54. táblázat Bztosítók Díjbevételek (mlló Ft) Argosz 48 Aa Coloa 479 ÁB-Aego 986 Geeral-Provdeca Hugára 8 38 Közlekedés Bztosító Egyesület OTP-Garaca 55 Összese 5 74 Forrás: ÁBIF Az adott sokaságból származó összes lehetséges mta alapjá vzsgáljuk meg, hogy N torzítatla becslőfüggvéy-e az, a v, az s, az s és az s! N A sokaság 7 elemű: N 7. A sokaság eleme: 48, 479, 986, 3456, 838,, 55. A sokaság átlag: X 48, 86. A sokaság szórás: σ 63,4; a varaca: σ , 98. Számításakhoz vegyük pl. kételemű mtákat! Tektsük először az FAE mtákat. Az összes lehetséges kételemű FAE mták száma a (5) képlet szert: k FAE Ezeket a mtákat és a mtákból kszámított mutatókat az 55. táblázat tartalmazza (ahol,,...,49 ). 3

33 Mtaelemek 8.. Becslőfüggvéyek és tulajdoságak Az összes lehetséges kételemű FAE mta és éháy jellemzője v s 55. táblázat 48, 48 48,,,, 48, ,5 65,5 3,5 36,6 48, 986 7, 66 84, 3 68,,67 48, , 9 96, , 4, 48, , , 9 7 5, 5 45,79 48, 64, 6 896, 53 79, 3,93 48, 55 79,5 3 3, ,5 54,7 479, ,5 65,5 3,5 36,6 479, ,,,, 479, 986 3, , ,5 65,6 479, ,5 5 63, ,5 5,6 479, , , ,5 5 45,73 479, 89,5 35 9,5 7 8,5 67,99 479, 55 87, 4 44, 8 488, 478, 986, 48 7, 66 84, 3 68,,67 986, 479 3, , ,5 65,6 986, ,,,, 986, , 54 5, 8 45, 39,45 986, , , , 4 35, 986, 43, , , 333,6 986, 55 57,5 7 64, ,5 587,6 3456, 48 94, 9 96, , 4, 3456, ,5 5 63, ,5 5,6 3456, 986 7, 54 5, 8 45, 39, , ,,,, 3456, , , 96 56, 3 3, , 778, , , 373,5 3456, 55 35, , ,5 67,5 838, , , 9 7 5, 5 45,79 838, , , ,5 5 45,73 838, , , , 4 35, 838, , , 96 56, 3 3,67 838, ,,,, 838, 4 9, , , 5 683,7 838, ,5 9 57, , ,73, 48 64, 6 896, 53 79, 3,93, ,5 35 9,5 7 8,5 67,99, , , , 333,6, , , , 373,5, , , , 5 683,7,,,,,, 55 67, , ,5 746, 55, 48 79,5 3 3, ,5 54,7 55, , 4 44, 8 488, 478, 55, ,5 7 64, ,5 587,6 55, , , ,5 67,5 55, ,5 9 57, , ,73 55, 67, , ,5 746, 55, 55 55,,,, Átlag: 48, , ,98 88,49 s 33

34 8. Mta alapjá törtéő becslések Vzsgáljuk meg, hogy melyk becslőfüggvéy torzítatla, vagys melykek a várható értéke egyezk meg a becsül kívát sokaság jellemzővel. E ( ) , 86 X A vártak megfelelőe a mtaátlag torzítatlaul becsül a sokaság várható értéket. E E ( v), + 65, , , 49 σ , 98 ( s ), + 3, , , 98 σ , E ( s), + 36, , 88, 49 σ 63, Ez alapjá azt látjuk, hogy a (em korrgált) tapasztalat szóráségyzet (v) torzította, míg a korrgált tapasztalat szóráségyzet ( s ) torzítatlaul becsül a sokaság szóráségyzetet. Fotos összefüggés azoba, hogy a sokaság szórást a korrgált tapasztalat szórás s torzította becsül, tehát E (s) σ. Tektsük most az EV mtákat. Az összes lehetséges kételemű EV mták száma a (53) képlet szert: 7 k EV. Ezeket a mtákat és a mtákból kszámított mutatókat az 56. táblázat tartalmazza (ahol,,...,). 34

35 8.. Becslőfüggvéyek és tulajdoságak Az összes lehetséges kételemű EV mta és éháy jellemzője Mtaelemek 56. táblázat N s N 48, ,5 4,7 48, 986 7, 4 98,86 48, , ,86 48, , ,86 48, 64, 46 7,43 48, 55 79,5 6 5,43 479, 986 3, ,7 479, , ,7 479, ,5 5 4,43 479, 89,5 6 56,43 479, 55 87, ,86 986, , 96, 986, , 6 87,43 986, 43, 54 46,86 986, 55 57, ,7 3456, , , , 778, , , 55 35,5 69 4,7 838, 4 9, ,7 838, , ,86, 55 67,5 477,7 Átlag: 48, ,98 E ( ) 453, ,5 48, 86 X E s N N 4, , , 98 σ ,98 Hatásosság Egy torzítatla becslőfüggvéyek lehet olya agy szóródása, hogy ez haszálhatatlaá tesz. A becslőfüggvéy szórása a véletle téyező okozta hba mérőszámáak tekthető. Ezt a szórást a becslőfüggvéy, lletve a becslés stadard 35

36 8. Mta alapjá törtéő becslések hbájáak evezzük. A becslőfüggvéyel szembe tovább elvárt tulajdoság tehát, hogy szórása a lehető legksebb legye. A 7.3. fejezetbe említettekhez hasolóa, a becslőfüggvéy összes lehetséges mtá felvett értékeek szóráségyzetét mtavétel szóráségyzetek evezzük. Jelölése: var(θ) ˆ. A mtavétel szóráségyzet égyzetgyöke a becslés stadard hbája. Jelölése: Se(Θˆ ) ). Se ( Θˆ ) var( Θˆ ). A torzítatla becslőfüggvéyeket hatásosság szempotjából szóráségyzetükkel vagy szórásukkal hasolítjuk össze, a ksebb szórású statsztkát hatásosabbak (effcesebbek) evezzük. Vegyük például a következő esetet: legye a sokaság várható érték becslőfüggvéye a mdekor mta első eleme, azaz Θ ˆ. A mtaátlaghoz hasolóa ez a statsztka s torzítatlaul becsül a várható értéket, de eek stadard hbája például FAE mta eseté Se( ) σ, míg a mtaátlagé a (55) szert hogy az utóbb hatásosabb becslése a várható értékek. Se ( ) σ. Ebből következk, Bzoyos esetekbe létezk olya torzítatla becslőfüggvéy, amelyél ksebb szóráségyzetű statsztka em készíthető. Az lye becslőfüggvéyeket mmáls szóráségyzetű torzítatla vagy (abszolút) hatásos torzítatla becslőfüggvéyekek evezzük. Az aszmptotkusa torzítatla becslőfüggvéy fogalmához hasolóa haszáljuk az aszmptotkusa hatásos becslőfüggvéy elevezést. A Θˆ statsztka aszmptotkusa hatásos, ha lm Se ( Θˆ ). ) A stadard hba agolul: stadard error. 36

37 8.. Becslőfüggvéyek és tulajdoságak Bzoyos esetekbe szükség lehet olya becslőfüggvéyek hatásosságáak összehasolítására, amelyek közül legalább az egyk em torzítatla. Az átlagos égyzetes hba (Mse ) ) olya mutatószám, amely a torzítást és a szóráségyzetet s fgyelembe vesz. Defícóját a (7) képlet tartalmazza. Mse ( Θˆ ) Bs ( Θˆ ) + Se ( Θˆ ) E( Θˆ Θ) (7) Több torzított vagy legalább egy torzítatla és több torzított becslőfüggvéy közül azt tektjük kedvezőbbek, amelykek az átlagos égyzetes hbája ksebb. Kozszteca Egy becslőfüggvéyt kozsztesek evezük, ha aszmptotkusa torzítatla és aszmptotkusa hatásos. (Megjegyzés: a szakrodalomba, a fet defícó mellett, a kozsztecáak más tartalmú defícó s létezek.) Például a sokaság várható értékek a mtaátlag kozsztes becslőfüggvéye, hsze: σ Bs ( ) µ E( ) és lm Se( ) lm. Robosztusság Akkor modjuk, hogy egy becslőfüggvéy (lletve becslés eljárás) robosztus, ha az érzéketle a kduló feltételekre. Ha a sokaság eloszlást em smerjük, akkor a becslésre robosztus becslőfüggvéyt haszáluk. A robosztussággal, mt tulajdosággal általáosságba em foglalkozuk. ) Az átlagos égyzetes hba agolul: mea square error. 37

38 8. Mta alapjá törtéő becslések 8.. Potbecslés Ahogy azt már említettük, egy paraméter becslésére sokféle becslőfüggvéy készíthető. M az eddgekbe az aalóga elvét haszáltuk, amkor a sokaság várható értéket a mtaátlaggal becsültük. A továbbakba olya eljárásokat smertetük, amelyek segítségével becslőfüggvéyeket készíthetük. A legksebb égyzetek módszere (LNM) Ezzel a módszerrel az első kötetbe, a regresszószámítás tárgyalásakor már találkoztuk. A legksebb égyzetek módszerét alkalmaztuk egy statsztka modell paramétereek meghatározására, becslésére. Az LNM mdg feltételez egy modell létezését, vagys azt, hogy egy jeleség leírása valamlye összefüggés alapjá lehetséges. Előye, hogy a sokaság eloszlás smerete em kell az alkalmazásához. Az LNM szert úgy határozzuk meg a becsült paramétereket, hogy az ezeket haszáló modell alapjá kapott értékek és a téyleges értékek eltéréseek égyzetösszege mmáls legye. 6. példa Határozzuk meg a sokaság várható érték becslőfüggvéyét az LNM alapjá! Keressük tehát azt a µˆ értéket, amelyre: ( µ ˆ) m. Derválás utá ˆµ adódk. 38

39 8.. Potbecslés A mamum lkelhood módszer (MLM) A mamum lkelhood módszer már feltételez egy sokaság eloszlás smeretét, és arra alkalmas, hogy aak valamely jellemzőjére becslőfüggvéyt adjo. Alapgodolata az, hogy adott sokaság eloszlást feltételezve felírhatuk egy függvéyt, amely az smeretle sokaság paraméter (vagy paraméterek) külöböző lehetséges értéke mellett meghatározza aak valószíűségét, hogy éppe a redelkezésükre álló mta adódjo egy mtavétel eredméyeképpe. Ezt a függvéyt evezzük lkelhood függvéyek. Másképpe fogalmazva az MLM azt feltételez, hogy egy eseméy azért következk be, mert aak va a legagyobb esélye a realzálódásra. Az MLM alapjá a sokaság paramétert azzal az értékkel becsüljük, amelyk paraméterértékre a lkelhood függvéy felvesz mamumát, vagys amelyk paraméter mellett a legagyobb aak az esélye, hogy a megvalósult mtát kapjuk egy mtavétel alkalmával. Ha (egy smeretle paramétert feltételezve) felírjuk a mtaelemek együttes bekövetkezéséek valószíűségét, akkor a lkelhood függvéy a következőképpe adható meg:,,...,, ) f (, ) L( Θ Θ. Megjegyzés: f a feltételezett sokaság eloszlás sűrűségfüggvéye. Az MLM segítségével kozsztes becslőfüggvéyeket kapuk, és ha létezk mmáls szóráségyzetű torzítatla becslőfüggvéy, akkor a módszer ezt adja. 63. példa Határozzuk meg a sokaság várható érték becslőfüggvéyét az MLM alapjá, ormáls eloszlású sokaságot feltételezve! Írjuk fel a lkelhood függvéyt: µ ˆ σ L( e e,,...,, ˆ) σ π σ π µ ˆ σ µ. 39

40 8. Mta alapjá törtéő becslések A lkelhood függvéy helyett, a számítások egyszerűsítése érdekébe, gyakra aak logartmusát az ú. log-lkelhood függvéyt haszáljuk. Ebbe az esetbe a log-lkelhood mamumát keressük derválással. Természetes alapú logartmust véve: d l L d µ ˆ ( µ ˆ) egyelőséget kapjuk, e becslőfüggvéyek µˆ adódk. A mometumok módszere A mometumok módszerét s smert eloszlású sokaságok eseté tudjuk haszál. Segítségével smert eloszlástípus paraméterere adhatuk becslőfüggvéyt. Olya sokaság paraméterek becslésére alkalmas, amelyek mometumokkal felírhatóak. Léyege, hogy az elmélet mometumokat a mtából számított megfelelő emprkus mometumokkal tesszük egyelővé, am általába köye megoldható egyeletre vagy egyeletredszerre vezet. Ez a módszer s kozsztes becslőfüggvéyt eredméyez, de erőse aszmmetrkus eloszlások eseté kevésbé hatékoy. 64. példa Határozzuk meg a ormáls eloszlású sokaság paramétereek becslését a mometumok módszere alapjá! A ormáls eloszlásak két paramétere va. Ezek felírhatóak mometumok segítségével: µ M és σ M ( µ ). A mta első mometuma és másodk cetráls mometuma: m és ( ) m ( ). 4

41 8.. Potbecslés Ie: µˆ és σ ˆ v. Megjegyzés: mt tudjuk, v csak aszmptotkusa torzítatla becslése a sokaság szóráségyzetek, azaz em torzítatla a becslés: ( v) σ E. Ezért az emprkus elemzésekél em v- vel, haem s -tel számoluk! 4

42 8. Mta alapjá törtéő becslések 8.3. Itervallumbecslés A potbecslés sorá egyetle olya értéket határoztuk meg, amelyet valamlye sokaság jellemző vagy statsztka modell paramétere becsléséek tektettük. Nem határoztuk meg, hogy meyre megbízható a becslésük, vagys hogy háy százalék aak a valószíűsége, hogy a becsül kívát paraméter értéke a potbecslés által adott számadattal lesz egyelő. Ez egyébkét em s lehetséges, mert (folytoos esetbe) egy valószíűség változó egyetle kokrét értéket % valószíűséggel vesz fel. A továbbakba ezért egy tervallumot foguk meghatároz, amelyről azt állíthatjuk, hogy előre adott agy valószíűséggel tartalmazza a becsült paraméter téyleges értékét. Ezt az tervallumot kofdeca tervallumak fogjuk evez, utalva arra, hogy bízhatuk abba, hogy a becslésük helyes. A kofdeca tervallum általáos alakja az alább: ( Θˆ < Θ < Θˆ ) α Pr a( α) f ( α). (7) A fet egyeletbe Pr az argumetum valószíűségéek értékét jelöl. Olya tervallumot akaruk meghatároz, amelybe a becsült sokaság jellemző ( α) % valószíűséggel található. Az tervallum alsó és felső határát ezért α értékét fgyelembe véve kell meghatároz. Ezt az előre adott α értéket a becslésük megbízhatóság vagy kofdeca paraméteréek evezzük. Ez általába -hoz közel érték (pl., azaz %), mert így ( α ) már -hez közel, agy valószíűség lesz. 4

43 8.4. Itervallumbecslés FAE mta eseté 8.4. Itervallumbecslés FAE mta eseté Sokaság várható érték becslése Normáls eloszlású, smert szórású sokaság eseté Azt már tudjuk, hogy ha a sokaság ormáls eloszlású, akkor a mta s az. Sőt a mtaátlagok s ormáls eloszlásúak. Potosabba: σ X N( µ, σ ) N( µ, ). A szórás smeretébe elvégezhetjük a ormáls eloszlású mtaátlag stadardzálását; a Z így stadard ormáls eloszlású valószíűség változó lesz. Z µ N(,) σ / Ehhez az előző fejezetbe leírtak szert tuduk szmmetrkus tervallumot redel: µ Pr z < < z α. σ / Feladatuk most em az, hogy adott határok eseté keressük valószíűséget, haem éppe fordítva: adott valószíűség mellet keressük a megfelelő z értéket. A fet egyeletet átredezve: σ σ Pr z(p) < µ < + z(p) α, (73) α ahol: z(p) az I. táblázat szert az ( α )-hoz, míg a II. táblázat szert az ( )-höz tartozó érték. A Θˆ ˆ f ( α) Θa( α) értéket hbahatárak s szoktuk evez. 43

44 8. Mta alapjá törtéő becslések Ebbe az esetbe ez: σ z(p). (74) A kofdeca tervallum a következőképpe s felírható: m z (p) σ m. A mtavétel terv elkészítéséél lehetséges, hogy adott a hbahatár, vagys, hogy mlye potossággal akarjuk meghatároz a sokaság jellemzőt vagy paramétert. Ekkor a (75) képlet segítségével tudjuk megad a szükséges mtaagyságot. ( z σ ) (p) (75) Normáls eloszlású, smeretle szórású sokaság eseté A mtaátlagok ebbe az esetbe s ormáls eloszlásúak, de a stadardzálás végrehajtásához a sokaság szórás em áll redelkezésre. A sokaság szóráségyzetet a korrgált tapasztalat szóráségyzet segítségével becsüljük, hsze ez torzítatla becslést ad. Bár a sokaság szórást a korrgált tapasztalat szórás em becsül torzítatlaul, m mégs ezt fogjuk haszál. A stadardzált változók a következő lesz: T µ. s / Ez em ormáls eloszlású, haem t- (STUDENT-féle) eloszlású változó ν szabadságfokkal. Megjegyzés: a statsztkába egy adott megfgyelés értékhalmaz szabadságfoka egyelő a redszere belül szabado (ökéyese) megválasztható értékek számával. Például az átlagál ( ) adatot ökéyese választhatuk meg, de az -edk elemet már em, az már az előző adatok által meghatározott. A ormáls eloszlású, smeretle szórású sokaság eseté a várható érték kofdeca tervalluma a (76) egyelettel adott. 44

45 8.4. Itervallumbecslés FAE mta eseté s s Pr t(p) ( ν ) < µ < + t(p) ( ν ) α, (76) ahol: t ( ν ) a III. táblázat szert az ( α α (p) )-hoz, míg a IV. táblázat szert az ( )- höz tartozó érték. A STUDENT-féle eloszlás vagy t-eloszlás Ezt az eloszlástípust megalkotójáról W. S. GOSSETTről evezték el, ő ugyas STUDENT áléve jeletette meg mukát. A STUDENT-féle eloszlás sűrűségfüggvéye a következő: Y f ( t), ν + t + ν ahol Y ν -től függő kostas, amelyek értékét úgy választjuk meg, hogy a sűrűségfüggvéy görbe alatt területe legye. A t-eloszlás sűrűségfüggvéye a 33. ábrá látható. ) A t-eloszlás fotos tulajdosága, hogy aszmptotkusa stadard ormáls eloszlás, vagys a szabadságfokát mde határo túl övelve közelít a stadard ormáls eloszláshoz: lm t ( ν ) ( p) ν z (p). (Lásd a 33. ábrát.) ) A fet közölt STUDENT-féle eloszlás számlálójába szereplő Y érték meghatározása az Ecel GAMMALN() függvéy segítségével törtét. (Ezt az eljárást em részletezzük, mert em része a taayagak!) A statsztkába leggyakrabba alkalmazott eloszlásokról bővebbe: [Dekger, 997], [Meszéa Zerma, 98], [Spegel,995]. 45

46 8. Mta alapjá törtéő becslések A t-eloszlás sűrűségfüggvéyéek grafkoja,5,4 N(,),3 ν5, ν5, ν, - -,5 - -,5,5,5 33. ábra A gyakorlatba 3 eseté a közelítés olya mértékű, hogy ekkor már a stadard ormáls eloszlás értékevel számoluk. A t-eloszláshoz tartozó értékeket a stadard ormáls eloszláshoz hasolóa táblázatok segítségével s meg tudjuk határoz. Erre a III. vagy a IV. táblázatot haszálhatjuk. A stadard ormáls eloszlás táblázatával szembe ezek a táblázatok em a t érték függvéyébe adják meg az eloszlásfüggyvéy értékét, haem a t-eloszlás kvatls értéket tartalmazzák. Az Ecelbe a t-eloszlás kvatls értéket az INVERZ.T(valószíűség;szabadságfok) statsztka függvéy segítségével kaphatjuk meg. Itt a (76) szert kofdeca tervallum meghatározásához a valószíűség α paraméterértéket kell megaduk. Szmmetrkus eloszlású, smert szórású sokaság eseté Nagy elemszámú mta eseté a közpot határeloszlás tétele matt a mtaátlag közelítőleg ormáls eloszlású lesz, így a stadard ormáls eloszlással számolhatuk. A 46

47 8.4. Itervallumbecslés FAE mta eseté ksmtás esetbe a kofdeca tervallum meghatározásához a valószíűségszámításból smert GAUSS-féle egyelőtleséget alkalmazhatjuk. A m jelölésredszerükek megfelelőe: σ σ 4 Pr k < µ < + k α. (77) 9k Itt a k érték meghatározásához em kell táblázatot haszáluk. Aak értékét egyszerűe k tudjuk számíta α segítségével: α k. 3 α 3α Ismeretle eloszlású, smert szórású sokaság eseté A problémáak ebbe az esetbe s csak ks mták alkalmazásakor va jeletősége, hsze egyébkét a ormáls eloszlás alkalmazható. Most s egy valószíűségszámításból smert összefüggést alkalmazuk, a CSEBISEVegyelőtleséget. σ σ Pr k < µ < + k k α (78) A k értéke ebbe az esetbe: α k. α α Sokaság értékösszeg becslése A sokaság értékösszeg és a várható érték köye kapcsolatba hozható egymással, mert például dszkrét típusú változó eseté: N S X N X. Egy valószíűség változó kostassal való szorzása eseté a változó eloszlástípusa 47

? közgazdasági statisztika

? közgazdasági statisztika Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben

Statisztika. Eloszlásjellemzők

Statisztika. Eloszlásjellemzők Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az

Részletesebben

AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN

AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN Molár László Ph.D. hallgató Mskolc Egyetem, Gazdaságelmélet Itézet 1. A MINTANAGYSÁG MEGHATÁROZÁSA EGYSZERŐ VÉLETLEN (EV) MINTA

Részletesebben

Matematikai statisztika

Matematikai statisztika Matematka statsztka 8. elıadás http://www.math.elte.hu/~arato/matstat0.htm Kétmtás eset: függetle mták + + + = + ) ( ) ( ) ( Y Y X X Y X m m m t m Ha smert a szórás: (X elemő, σ szórású, Y m elemő, σ szórású),

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

A heteroszkedaszticitásról egyszerûbben

A heteroszkedaszticitásról egyszerûbben Mûhely Huyad László kaddátus, egyetem taár, a Statsztka Szemle főszerkesztője A heteroszkedasztctásról egyszerûbbe E-mal: laszlo.huyad@ksh.hu A heteroszkedasztctás az ökoometra modellezés egyk kulcsfogalma,

Részletesebben

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése 3 4 Tartalomegyzék. BEVEZETÉS 5. A MÉRÉS 8. A mérés mt folyamat, fogalmak 8. Fotosabb mérés- és műszertechka fogalmak 4.3 Mérés hbák 8.3. Mérés hbák csoportosítása eredetük szert 8.3. A hbák megeleítés

Részletesebben

MINTAVÉTEL A MARKETINGKUTATÁSBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A DIVIZÍV ÉS AZ AGGLOMERATÍV RÉTEGZÉSRE

MINTAVÉTEL A MARKETINGKUTATÁSBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A DIVIZÍV ÉS AZ AGGLOMERATÍV RÉTEGZÉSRE MINTAVÉTEL A MARKETINGKUTATÁSBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A DIVIZÍV ÉS AZ AGGLOMERATÍV RÉTEGZÉSRE Molár László egyetem taársegéd 1. BEVEZETÉS A statsztkusok a mtaagyság meghatározására számos módszert dolgoztak

Részletesebben

A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI

A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI Az Eötvös Lórád Tudomáyegyetem Természettudomáy Kará a Fzka Kéma Taszék évek óta kéma-szakos taárhallgatókak matematka bevezetõ elõadásokat tart. Az elõadások célja az,

Részletesebben

A matematikai statisztika elemei

A matematikai statisztika elemei A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................

Részletesebben

Miért pont úgy kombinálja kétfokozatú legkisebb négyzetek módszere (2SLS) az instrumentumokat, ahogy?

Miért pont úgy kombinálja kétfokozatú legkisebb négyzetek módszere (2SLS) az instrumentumokat, ahogy? Mért pot úgy kombálja kétfokozatú legksebb égyzetek módszere (2SLS az strumetumokat, ahogy? Kézrat A Huyad László 60. születésapjára készülő köyvbe Kézd Gábor 2004. júlus A Budapest Corvus Egyetem rövd

Részletesebben

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o)

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o) Ismérvek között kapcsolatok szorosságáak vzsgálata 1. Egy ks smétlés: mérés skálák (Huyad-Vta: Statsztka I. 5-6. o) A külöböző smérveket, eltérő mérés sztekkel (skálákkal) ellemezhetük. a. évleges (omáls)

Részletesebben

Statisztika II. előadás és gyakorlat 2. rész

Statisztika II. előadás és gyakorlat 2. rész előadás és gyakorlat. rész T.Nagy Judt Ajálott rodalom: Ilyésé Molár Emese Lovasé Avató Judt: Feladatgyűjteméy, Perekt, 006. Korpás Attláé (szerk.): Általáos, Nemzet Taköyvkadó, 1997. Molár Mátéé Tóth

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai 05..04. szórások vizsgálata z F-próba Hogya foguk hozzá? Nullhipotézis: a két szórás azoos, az eltérés véletle (mitavétel). ullhipotézishez tartozik egy ú. F-eloszlás. Szabadsági fokok: számláló: - evező:

Részletesebben

Adatfeldolgozás, adatértékelés. Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Miskolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanszék

Adatfeldolgozás, adatértékelés. Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Miskolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanszék Adatfeldolgozás, adatértékelés Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Mskolc Egyetem, Hdrogeológa Mérökgeológa Taszék A vzsgált köryezet elemek, lletve a felszí alatt közeg megsmerése céljából számtala külöböző

Részletesebben

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az

Részletesebben

Példák 2. Teljes eseményrendszer. Tulajdonságok. Példák diszkrét valószínőségi változókra

Példák 2. Teljes eseményrendszer. Tulajdonságok. Példák diszkrét valószínőségi változókra Valószíőségszámítás és statsztka elıadás fo. BSC/B-C szakosokak 3. elıadás Szeptember 28 dszkrét valószíőség változókra X(ω)=c mde ω-ra. Elevezés: elfajult eloszlás. P(X=c)=1. X akkor 1, ha egy adott,

Részletesebben

Tulajdonságok. Teljes eseményrendszer. Valószínőségi változók függetlensége. Példák, szimulációk

Tulajdonságok. Teljes eseményrendszer. Valószínőségi változók függetlensége. Példák, szimulációk Valószíőségszámítás és statsztka elıadás fo. BSC/B-C szakosokak 3. elıadás Szeptember 26 p 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 A bomáls és a hpergeom. elo. összehasolítása 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k Hp.geom

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Élettan Anatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos döntéseket hoz! Mkor jó egy döntés? Mennyre helyes egy döntés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test

Részletesebben

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke

Részletesebben

Ökonometria. /Elméleti jegyzet/

Ökonometria. /Elméleti jegyzet/ Ökoometra /Elmélet jegyzet/ Ökoometra /Elmélet jegyzet/ Szerző: Nagy Lajos Debrece Egyetem Gazdálkodástudomáy és Vdékfejlesztés Kar (1.,., 3., 4., 5., 6., és 9. fejezet) Balogh Péter Debrece Egyetem Gazdálkodástudomáy

Részletesebben

Sztochasztikus tartalékolás és a tartalék függése a kifutási háromszög időperiódusától

Sztochasztikus tartalékolás és a tartalék függése a kifutási háromszög időperiódusától Sztochasztkus tartalékolás és a tartalék függése a kfutás háromszög dőperódusától Faluköz Tamás Vtéz Ildkó Ibola Kozules: r. Arató Mklós ELTETTK Budapest IBNR kfutás háromszög IBNR: curred but ot reported

Részletesebben

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés NBG GI866G4. Statisztika fogalma. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés NBG GI866G4. Statisztika fogalma. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma Statsztka Sportszervező BSc képzés NBG GI866G4 010-011-es taév II félév Statsztka alapfogalmak Oktató: Dr Csáfor Hajalka főskola doces Vállalkozás-gazdaságta Tsz E-mal: hcsafor@ektfhu Statsztka alapfogalmak

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Ha n darab standard normális eloszlású változót négyzetesen összegzünk, akkor kapjuk a χ 2 - eloszlást: N

Ha n darab standard normális eloszlású változót négyzetesen összegzünk, akkor kapjuk a χ 2 - eloszlást: N Krály Zoltá: Statsztka II. Bevezetés A paraméteres eljárások alkalmazásához, a célváltozóra ézve szgorú feltételek szükségesek (folytoosság, ormaltás, szóráshomogetás), ekkor a hpotézseket egy-egy paraméterre

Részletesebben

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE

VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE BUDAPET MŰZAK É GAZDAÁGTUDOMÁY EGYETEM Építőmérök Kar Hdak és zerkezetek Taszéke VABETO ÉPÜLETEK MEREVÍTÉE Oktatás segédlet v. Összeállította: Dr. Bód stvá - Dr. Farkas György Dr. Kors Kálmá Budapest,.

Részletesebben

Dr. Tóth Zsuzsanna Eszter Dr. Jónás Tamás Erdei János. Gazdaságstatisztika. II. rész A matematikai statisztika alapjai

Dr. Tóth Zsuzsanna Eszter Dr. Jónás Tamás Erdei János. Gazdaságstatisztika. II. rész A matematikai statisztika alapjai Budapest Műszak és Gazdaságtudomáy Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudomáy Kar Üzlet Tudomáyok Itézet Meedzsmet és Vállalatgazdaságta Taszék Dr. Tóth Zsuzsaa Eszter Dr. Jóás Tamás Erde Jáos Gazdaságstatsztka

Részletesebben

Geostatisztika I. Dr. Szabó Norbert Péter. BSc geográfus alapszak hallgatóinak

Geostatisztika I. Dr. Szabó Norbert Péter. BSc geográfus alapszak hallgatóinak Geostatsztka I. BSc geográfus alapszak hallgatóak Dr. Szabó Norbert Péter egyetem adjuktus Mskolc Egyetem Geofzka Itézet Taszék e-mal: orbert.szabo.phd@gmal.com Ajálott rodalom Steer Ferec, 990. A geostatsztka

Részletesebben

1. előadás: Bevezetés. Irodalom. Számonkérés. A valószínűségszámítás és a statisztika tárgya. Cél

1. előadás: Bevezetés. Irodalom. Számonkérés. A valószínűségszámítás és a statisztika tárgya. Cél Valószíűségszámítás és statsztka előadás fo. BSC/B-C szakosokak 1. előadás szeptember 13. 1. előadás: Bevezetés Irodalom, követelméyek A félév célja Valószíűségszámítás tárgya Törtéet Alapfogalmak Valószíűségek

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011 MÉRÉSTECHNIKA DR. HUBA ANTAL c. egy. taár BME Mechatroka, Optka és Gépészet Iformatka Taszék 0 Rövde a tárgyprogramról Előadások tematkája: Metrológa és műszertechka alapok Mérés adatok kértékelése Időbe

Részletesebben

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk,

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk, A deceber -i gyakorlat téája A hipotézisvizsgálat fotos probléája a következő két kérdés vizsgálata. a) Egy véletle eyiség várható értékéek agyságáról va bízoyos feltevésük. Elleőrizi akarjuk e feltevés

Részletesebben

3.1. A Poisson-eloszlás

3.1. A Poisson-eloszlás Harmadik fejezet Nevezetes valószíűségi változók Valamely valószíűségi változóhoz kapcsolódó kérdésekre akkor tuduk potos választ adi, ha a változó eloszlása ismert, vagy megközelítőleg ismert. Ebbe a

Részletesebben

Tapasztalati eloszlás. Kumulált gyakorisági sorok. Példa. Értékösszegsor. Grafikus ábrázolás

Tapasztalati eloszlás. Kumulált gyakorisági sorok. Példa. Értékösszegsor. Grafikus ábrázolás Matemata statszta elıadás III. éves elemzı szaosoa 009/00. élév. elıadás Tapasztalat eloszlás Mde meggyeléshez (,,, ) / súlyt redel. Valószíőségeloszlás! Mtaátlag éppe ee az eloszlása a várható értée.

Részletesebben

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk;

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk; Statisztika Tegyük fel, hogy va egy halmazuk, és tekitsük egy vagy több valószíűségi változót, amelyek a halmaz mide elemé felveszek valamilye értéket. A halmazt populációak vagy sokaságak evezzük. Példák:

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve

Részletesebben

Regresszió és korreláció

Regresszió és korreláció Regresszó és korrelácó regresso: vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás correlato: vszo, összefüggés, kölcsöösség KAD 01.11.1 1 (vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás) Regresszó és korrelácó Gakorlat megközelítés

Részletesebben

4 2 lapultsági együttható =

4 2 lapultsági együttható = Leíró statsztka Egy kísérlet végeztével általában tetemes mennységű adat szokott összegyűln. Állandó probléma, hogy mt s kezdjünk - lletve mt tudunk kezden az adatokkal. A statsztka ebben segít mnket.

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 8. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Minták alapján történő értékelések A statisztika foglalkozik. a tömegjelenségek vizsgálatával Bizonyos esetekben lehetetlen illetve célszerűtlen a teljes

Részletesebben

I. Valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapok

I. Valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapok I. Valószíűségelmélet és matematka statsztka alapok. A szükséges valószíűségelmélet és matematka statsztka alapsmeretek összefoglalása Az alkalmazott statsztka módszerek tárgalása, amel e kötet célja,

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

KTK. Dr. Herman Sándor Dr. Rédey Katalin. Statisztika I. PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM. Közgazdaságtudományi Kar. Alapítva: 1970

KTK. Dr. Herman Sándor Dr. Rédey Katalin. Statisztika I. PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM. Közgazdaságtudományi Kar. Alapítva: 1970 Dr. Herma Sádor Dr. Rédey Katal Statsztka I. PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM KTK Közgazdaságtudomáy Kar Alapítva: 97 Mde jog fetartva. Jele köyvet vagy aak részletet a szerző egedélye élkül bármlye formába vagy

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ SPSS ALAPJAIBA. (Belső használatra)

BEVEZETÉS AZ SPSS ALAPJAIBA. (Belső használatra) BEVEZETÉS AZ SPSS ALAPJAIBA (Belső haszálatra) TARTALOMJEGYZÉK. Statsztka alapfogalmak..... Sokaság...4.2. Ismérvek és mérés skálák...6.3. Statsztka sorok...7 2. SPSS alapfogalmak...9 3. Alapvető statsztka

Részletesebben

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 202.03.0. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

Laboratóriumi mérések

Laboratóriumi mérések Laboratórum mérések. Bevezetı Bármlye mérés ayt jelet, mt meghatároz, háyszor va meg a méredı meységbe egy másk, a méredıvel egyemő, ökéyese egységek választott meység. Egy mérés eredméyét tehát két adat

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés A m és az átlag Standard hba Mnta átlag 1 170 Az átlagok szntén ngadoznak a m körül. s x s n Az átlagok átlagos eltérése a m- től! 168 A m konfdenca ntervalluma. 3 166 4 173 x s x ~ 68% ~68% annak a valószínűsége,

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN DR. REICHART OLIVÉR 005. Budapest Lektorálta: Zukál Edre Tartalom BEVEZETÉS 3. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK 5.. Kombiatorikai alapösszefüggések

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Arrhenius-paraméterek becslése közvetett és közvetlen mérések alapján

Arrhenius-paraméterek becslése közvetett és közvetlen mérések alapján Tudomáyos Dákkör Dolgozat SZABÓ BOTOND Arrheus-paraméterek becslése közvetett és közvetle mérések alapá Turáy Tamás. Zsély Istvá Gyula Kéma Itézet Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáy Kar Budapest,

Részletesebben

Bevezetés a hipotézis vizsgálatba. Hipotézisvizsgálatok. Próbák leírása. Kétoldali és egyoldali hipotézisek. Illeszkedésvizsgálatok

Bevezetés a hipotézis vizsgálatba. Hipotézisvizsgálatok. Próbák leírása. Kétoldali és egyoldali hipotézisek. Illeszkedésvizsgálatok Bevezetés a hpotézs vzsgálatba Lásd előadás ayagát. Kétoldal és egyoldal hpotézsek Hpotézsvzsgálatok Ebbe a ejezetbe egyajta határozókulcsot szereték ad a hpotézsvzsgálatba haszált próbákhoz. Először dötsük

Részletesebben

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László Valószíűségszámítás Ketskeméty László Budapest, 996 Tartalomjegyzék I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 3. Kombatorka alapfogalmak 4 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 6. A valószíűségszámítás alapfogalma

Részletesebben

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA ÁVF GM szak 2010 ősz KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA A MINTAVÉTEL BECSLÉS A sokasági átlag becslése 2010 ősz Utoljára módosítva: 2010-09-07 ÁVF Oktató: Lipécz György 1 A becslés alapfeladata Pl. Hányan láttak

Részletesebben

A SOKASÁGI ARÁNY MEGHATÁROZÁSÁRA IRÁNYULÓ STATISZTIKAI ELJÁRÁSOK VÉGES SOKASÁG ÉS KIS MINTÁK ESETÉN LOLBERT TAMÁS 1

A SOKASÁGI ARÁNY MEGHATÁROZÁSÁRA IRÁNYULÓ STATISZTIKAI ELJÁRÁSOK VÉGES SOKASÁG ÉS KIS MINTÁK ESETÉN LOLBERT TAMÁS 1 ÓDSZERTAI TAULÁYOK A SOKASÁGI ARÁY EGHATÁROZÁSÁRA IRÁYULÓ STATISZTIKAI ELJÁRÁSOK VÉGES SOKASÁG ÉS KIS ITÁK ESETÉ LOLBERT TAÁS 1 A ckk ő célja aak vzsgálata, hogy az elleőrzés gyakorlatba széles körbe haszált

Részletesebben

DISZKRÉT SZIMULÁCIÓ MATEMATIKAI ALAPJAI

DISZKRÉT SZIMULÁCIÓ MATEMATIKAI ALAPJAI OPERÁCIÓKUTATÁS No. 9. Szűcs Gábor DISZKRÉT SZIMULÁCIÓ MATEMATIKAI ALAPJAI Budapest 007 Szűcs Gábor: DISZKRÉT SZIMULÁCIÓ MATEMATIKAI ALAPJAI OPERÁCIÓKUTATÁS No. 9 A sorozatot szerkeszt: Komárom Éva Megjelek

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u Approxmácó Bevezetés A felhaszált térfogalmak: leárs tér (vektortér) ormált tér Baach tér eukldesz-tér Hlbert tér V ormált tér T V T kompakt halmaz Ekkor v V u ~ T legjobba közelítõ elem azaz v u ~ f {

Részletesebben

Szemmegoszlási jellemzők

Szemmegoszlási jellemzők Szemmegoszlási jellemzők Németül: Agolul: Charakteristike er Korgrößeverteilug Characteristics of particle size istributio Fraciául: Caractéristique e compositio graulométrique Kutatási, fejlesztési és

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

Komputer statisztika

Komputer statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................

Részletesebben

kismintás esetekben vagy olyanokban, melyeknél a tanulóalgoritmust tesztadatokon szeretnénk

kismintás esetekben vagy olyanokban, melyeknél a tanulóalgoritmust tesztadatokon szeretnénk ÚJRAMINTAVÉTELEZÉSI ELJÁRÁSOK A jackkife (zsebkés) és bootstrap (cipőhúzó a saját kallatyújáál fogva) eljárások agol elevezése is arra utal, hogy itt ad hoc eljárásokról va szó, melyek azoba agyo haszosak

Részletesebben

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2.

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Statisztika Hipotézisvizsgálat Székely Balázs 2010. december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Előadás vázlat 1 Itervallumbecslések

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Regresszió. Fő cél: jóslás Történhet:

Regresszió. Fő cél: jóslás Történhet: Fő cél: jóslás Történhet: Regresszó 1 változó több változó segítségével Lépések: Létezk-e valamlyen kapcsolat a 2 változó között? Kapcsolat természetének leírása (mat. egy.) A regresszós egyenlet alapján

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére.

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére. Véletleített algoritmusok Tegyük fel, hogy va két doboz (A,B), amely egyike 1000 Ft-ot tartalmaz, a másik üres. 500 Ft-ért választhatuk egy dobozt, amelyek a tartalmát megkapjuk. A feladat megoldására

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 8. Valószíűségszámítás ESEMÉNYEK 174 Eseméyek formális leírása, műveletek 175 Feladatok 176 A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA 177 A valószíűség tulajdoságai 178 Mitapéldák 179 Feladatok 181 VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 5. Megjegyzések. A tétel feltételei gyegíthetőek: elég, ha a függetle, azoos eloszlású változók várható értéke véges.

Részletesebben

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Mintavétel A statisztikában a cél, hogy az érdeklõdés tárgyát képezõ populáció bizonyos paramétereit a populációból

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Eseményalgebra, kombinatorika

Eseményalgebra, kombinatorika Eseméyalgebra, kombiatorika Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek

Részletesebben

2.10. Az elegyek termodinamikája

2.10. Az elegyek termodinamikája Kéma termodamka.1. z elegyek termodamkája fzka kéma több féle elegyekkel foglakozk, kezdve az deáls elegyektől a reáls elegyekg. Ha az deáls elegyek esetébe az alkotók közt kölcsöhatásokat elhayagoljuk,

Részletesebben

HAGYOMÁNYOS MÓDSZEREK ÉS ÚJ KIHÍVÁSOK AZ ÁGAZATON BELÜLI KERESKEDELEM MÉRÉSÉBEN* ERDEY LÁSZLÓ

HAGYOMÁNYOS MÓDSZEREK ÉS ÚJ KIHÍVÁSOK AZ ÁGAZATON BELÜLI KERESKEDELEM MÉRÉSÉBEN* ERDEY LÁSZLÓ ÓDSZERTANI TANULÁNYOK HAGYOÁNYOS ÓDSZEREK ÉS ÚJ KIHÍVÁSOK AZ ÁGAZATON BELÜLI KERESKEDELE ÉRÉSÉBEN* ERDEY LÁSZLÓ Az ágazato belül kereskedelem témaköre az 960-as évekbe, az Európa Gazdaság Közösség létrehozásával

Részletesebben

A Sturm-módszer és alkalmazása

A Sturm-módszer és alkalmazása A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle

Részletesebben

NEMPARAMÉTERES ELJÁRÁSOK

NEMPARAMÉTERES ELJÁRÁSOK Kály Zoltá: Statsztka II. NEMPARAMÉTERES ELJÁRÁSOK Az eddgek soá találkoztuk má olya eláásokkal, melyek a változók középétékét vzsgálták: egymtás-, páos-, függetle mtás t-póba, egy- és többszempotos vaaca

Részletesebben

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének Differeciaegyeletek aszimptotikus viselkedéséek vizsgálata Mathematica segítségével Botos Zsófia Újvidéki Egyetem TTK Újvidék Szerbia E-mail: botoszsofi@yahoo.com 1. Bevezető Tekitsük az késleltetett diszkrét

Részletesebben

LOGO. Kvantum-tömörítés. Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar

LOGO. Kvantum-tömörítés. Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar LOGO Kvatum-tömörítés Gyögyösi László BME Villamosméröki és Iformatikai Kar Iformációelméleti alaok összefoglalása A kódolási eljárás Az iformáció átadás hűsége és gazdaságossága a kódolástól függ Az iformáció

Részletesebben

Valószínűségszámítás és matematikai statisztika. Ketskeméty László

Valószínűségszámítás és matematikai statisztika. Ketskeméty László Valószíűségszámítás és matematka statsztka Ketskeméty László Budapest, 996 Tartalomjegyzék I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 4. Kombatorka alapfogalmak 5 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 7. A valószíűségszámítás

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek!

20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek! SPEC 2009-2010. II. félév Statsztka II HÁZI dolgozat Név:... Neptun kód: 20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek! 1. példa Egy üzemben tejport csomagolnak zacskókba,

Részletesebben