7. MÉRÉSEK KIÉRTÉKELÉSE FÜGGVÉNYILLESZTÉSSEL

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "7. MÉRÉSEK KIÉRTÉKELÉSE FÜGGVÉNYILLESZTÉSSEL"

Átírás

1 7. MÉRÉSEK KIÉRTÉKELÉSE FÜGGVÉNYILLESZTÉSSEL Ebbe a fejezetbe kokrét mérések kértékelését mutatjuk be, köztük azokét s, amelyeket az. fejezetbe leírtuk. A kértékelés módszerét tulajdoképpe levezethetjük a 6. fejezetbe kfejtett általáos elméletből. Az egyes mérések esetébe így elég lee az llesztőfüggvéyt felír, és a w súlyokat megválaszta. Tektve azoba, hogy ez a jegyzet kezdők számára s készült, akk a 6. fejezetet em olvasták, éháy egyszerűbb esetbe attól függetleül adjuk meg a teljes megoldást. 7.. Leárs regresszó Mvel a laborgyakorlatok keretébe legtöbbször leárs regresszót kell csáluk, lletve méréseket erre vezetjük vssza, először eek a részletevel foglalkozuk. Az llesztés végrehajtása Akkor beszélük leárs regresszóról, amkor ( ) M ξ = a + a, =,,,. (7.) A legksebb égyzetek módszere szert a keresett paraméterek függvéyébe meg kell keresük a Q = w ξ a a ( ) (7.) fukcoál mmumát. Ez a következő két egyeletből álló egyeletredszer megoldását géyl: G G = Q w( a a) a = ξ =0, = Q w ( a a) a = ξ =0. Ez a -re és a -re leárs egyeletredszer, amelyet a következő vektoros alakra hozhatuk: Ra = g, (7.3) 7

2 ahol továbbá R = w, R = R = w, R = w, (7.4a) g = wξ, g = wξ. (7.4b) A w súlyokat a (6.) képlet szert kell megválaszta. A (7.3) egyeletredszert az R mátr vertálásával oldjuk meg: ~a = R g. (7.5) A keresett paraméterek becsült értéket a paraméter jele fölé tett spayol ékezettel ( ) jelöljük. A (7.3) egyeletredszert közvetleül meg tudjuk olda. Az R mátr verze R R R =. (7.6) R R R R R Megjegyezzük, hogy a evező az R mátr determása. (7.5) alapjá adódak a becsült paraméterek: gr gr ~a = RR R és a ~ gr gr = RR R. (7.7) A 6. fejezetbe általába tárgyaljuk ezek statsztka tulajdoságat. A (6.4) képlet szert szóráségyzetüket a ( a ) D ~ = R σ RR R és D ( a ~ ) képletek adják meg. Kovaracájuk pedg RR R R = σ (7.8) cov ( ~, ~ R a a) = σ RR R. (7.9) Két utóbb képletükből kapjuk a becsült paraméterek korrelácós együtthatóját: A σ együtthatót ρ = Qm = w ξ a~ a~ R R R. (7.0) ( ) 7

3 segítségével becsüljük, am úgy adódk, hogy a becsült paramétereket (7.)-be helyettesítjük. A 6.. TÉTEL szert ez ( ) szabadság fokú χ -változóval aráyos, és σ becslésére az Q s = m (7.) emprkus szóráségyzetet haszáljuk [vö. (5.7)]. Ezt kell a (7.8) és (7.9) képletekbe helyettesíte. Gyakorlásképpe javasoljuk, hogy az Olvasó mutassa meg, hogy a (7.7) alatt becslések torzítatlaok. Befejezésül megadjuk a keresett paraméterekre voatkozó kofdecatervallumot: a~ D ( ~ ) ~ D ( ~ γ a a a + γ a) (7.a) és a~ γ D a ~ a a ~ + γ D a ~, (7.b) ( ) ( ) ahol γ az ( ) szabadság fokú Studet-eloszlás kvatlse, a szórásokat pedg (7.8) és (7.) szert számítjuk k. A (7.) és (7.) szert leárs regresszó természetes általáosítása a polomllesztés, amt a 7.. alfejezetbe tárgyaluk. Galto megfogalmazása Galto az utódok és a szülők magassága (ξ, lletve ξ ) között összefüggést kereste, és azt találta, hogy közöttük poztív korrelácó va. Vzsgáljuk meg ezt most matematkalag. Kovaracamátruk B = σ σσ ρ, σσ ρ σ amek az verze ρ B = σ σσ. ρ ρ σσ σ A változók várható értéke ( ξ ) ( ξ ) M = b, M = b. Ezekkel a jelölésekkel a két változó együttes eloszlásfüggvéye (3.37) alapjá Útmutatás: írjuk fel először g és g várható értékét, és ezt helyettesítsük (7.7)-be. Például ( ) = ( + ) M g w a a. 73

4 q f( z, z) = ep, πσσ ρ ahol q = + ρ σ σ σσ ( z b ) ( z b ) ρ( z b )( z b ) Közvetleül felírhatjuk ξ perem-sűrűségfüggvéyét: ( ) f z ( z b ) = σ π ep σ. E két sűrűségfüggvéy háyadosa ξ feltételes sűrűségfüggvéye ( ) f z z [vö. (3.3)], ahol = σ q ep, π ρ ( ) z b ρ z b q =, ρ σ σ amt ez egyszerűe belátható. A feltételes sűrűségfüggvéyt át lehet ír az alakba, ahol ( ) f z z ( z b ). = ep (7.3) σ π σ ρσ b = M ξξ = b + b σ ξ feltételes várható értéke, továbbá ( ) ( ξ ) ( ) ( ) σ = D ξ ξ = σ ρ (7.3a) (7.3b) ξ feltételes szóráségyzete. Galto esetébe mdkét valószíűség változó ugyaabból az eloszlásból vett mta, tehát b = b = b és σ = σ, vagys az utód magasságáak a várható értéke ( ) = b+ ρ( ξ b) M ξ ξ feltéve, hogy a szülő magassága ξ. Erről a képletről leolvasható Galto következtetése. Ha ξ > b (vagys a szülő az átlagál magasabb), várhatóa az utód 74

5 magassága s agyobb lesz az átlagál. Mvel a ρ korrelácós együttható -él ksebb, az utód magassága kevesebbel múlja felül az átlagot, mt a szülőé. Ezt a jeleséget evezte el vsszatérések, lat eredetű szóval regresszóak. Aalóg következtetéseket lehet levo ξ < b eseté s. Az általáosságra vsszatérve tegyük fel, hogy számú függetle megfgyelést végeztük, és a (ξ, ξ ) értékpárokat ( =,,..., ) kaptuk eredméyül. Az alábbakba azt keressük, hogya lehet együttes eloszlásuk paraméteret becsül. Mvel azoos potosságú megfgyelésekről va szó, alkalmazhatjuk a (5.4) és (5.7) képleteket: és ~ b ~ b = = ξ =, s = ( ) ξ ξ ξ = = ξ =, s = ( ) ξ ξ ξ A ρ korrelácós együttható meghatározása céljából a mamáls valószíűség elvét alkalmazzuk. A valószíűség-függvéyt a (7.3) képletek segítségével írjuk fel. Ehhez bevezetjük a vektor jelölésmódot. A ξ megfgyeléseket a ξ H, a ξ megfgyeléseket pedg a H ξ vektor kompoeseek tektjük. (7.3) alapjá az előbb vektorak az utóbbra voatkozó feltételes sűrűségfüggvéye ahol f ( ξ H ξ H ) = Q ep, [ ( ) ] ( ) π ρ σ ρ ρσ Q = ξ b b σ ( ξ ) A mamáls valószíűség elvéek közvetle alkalmazhatósága kedvéért rögtö behelyettesítettük a valószíűség változók megfgyelt értéket. A keresett paraméterek becsléséhez meg kell keresük Q mmumát. Ha bevezetjük az ρσ ρσ a = b b, a = σ σ jelöléseket, Q-t (7.) szert alakra hozhatjuk: Q = ξ a a ( ξ )... 75

6 Látható, hogy most w, szerepét pedg ξ játssza. A (7.) alakú llesztőfüggvéyel való llesztést eredetleg ezért evezték el leárs regresszóak. A (7.4) egyeletek alapjá ekkor tehát 76 g = ξ = ξ g = ξξ = ξξ R =, R = R = ξ = ξ, R = ξ = ξ,,. Ném számolással beláthatjuk, hogy R R R = ξ ( ) ξ s =. (7.7) felhaszálásával és hasoló számolással kapjuk, hogy amvel ~a = ( ξξ ξξ ) ( ) ( ξ ξ)( ξ ξ) = s s ( ) ( ξ ξ)( ξ ξ) ~ ~ sa ρ = = s s s = ( ) ( ξ ξ)( ξ ξ) ( ξ ξ) ( ξ ξ) =,. (7.4) Vegyük észre, hogy az tt szereplő összeg haszálható ξ és ξ kovaracájáak a becslésére: ( ξ ξ ) cov, = ( ξ ξ)( ξ ξ) ( ). (7.5) Gyakra felmerül az a kérdés, hogy a megfgyelt valószíűség változók korreláltak-e sem. Eek eldötésére szükségük va a ρ együtthatóra voatkozó kofdecatervallumra. Amkor em valószíűség változó, ez em jelet problémát, hsze a (7.b)-be felírt kofdecatervallum választ ad a kérdésre: ha ez tartalmazza a ullát, akkor a -t (az adott kofdecaszte) 0-ak vehetjük. A (7.4) szert korrelácós együttható esetébe azoba em lye egyszerű a kérdés, ugyas ~ ρ sűrűségfüggvéye boyolult az általáos esetbe. Rema József köyve [] déz a következő tételt: amkor ρ = 0, a

7 t = ~ ρ ~ ρ meység Studet-eloszlású valószíűség változó ( ) szabadság fokkal. Így tehát a korrelácót akkor tekthetjük zérusak, amkor ~ ρ ~ ρ < γ, (7.6) ahol γ az ( ) szabadság fokú Studet-eloszlás kvatlse. Az.3. ábrá mutatott adatok esetébe a következő eredméyek jöek k a leárs regresszóból: ~ ρ = 0, 534; t = 6, 08; = 00. A. függelék táblázata szert a kvatls értéke, 985 ε = 0, 05 γ =, 67 ε = 0, 0 vagys a korrelácó md 95%, md 99% kofdecaszte szgfkás. A leárs regresszó csapdá A leárs regresszó haszos segédeszköz külöböző meységek között kapcsolatok felsmerésére. Fölrajzoljuk az egyk változót a másk függvéyébe, és kapcsolatot vélük felfedez, ha a potok emelkedő vagy csökkeő tedecát mutatak, vagy ha előybe részesítjük a számszerű vzsgálatot a (7.4) képlettel becsüljük a korrelácós együtthatót, és a két meység között kapcsolatot látuk, ha ez szgfkása külöbözk zérustól. Ez a megközelítés így ömagába veszélyes, mert számos csapdát rejt magába. A felsmert öszszefüggés látszólagos lehet, ha az aalízs mögött em állak elmélet megfotolások. Ok és okozat Savlle és Wood köyvéből [] vettük az alább példát. A 7.. ábra az Egyesült Államokba megfgyelt rákos esetek számát mutatja a kvfogyasztás függvéyébe. Mvel 970 és 980 között mdkét meység övekedett, ezek évete megfgyelt értéke korreláltak. Jóllehet ez matematka bzoyosság, mégsem állíthatjuk, hogy a rákos esetek számáak a övekedését az okozta, hogy az emberek több kvt ettek. A téylegese talált (és statsztkalag bzoyított) korrelácót csak akkor szabad ok okozat kapcsolatak tekte, ha erre elmélet dok va. 77

8 rákos esetek száma kvfogyasztás 7.. ábra. Kapcsolat az Egyesült Államokba megfgyelt rákos esetek száma és a kvfogyasztás között Hasoló példákat lehet az élet legkülöbözőbb területé talál. Például határozotta poztív korrelácó va a Dua vízállása és a BME területé tartózkodó hallgatók száma között. Nylvá épeszű ember em tételez fel ezek között okokozat kapcsolatot. A matematka statsztka, vagy kább az azt rosszul alkalmazó áltudomáy rát bzalmatla emberek gyakra köszörülk szellemességüket az lye korrelácóko. Akkor mre vezethetők vssza ezek a látszólagos összefüggések? A válasz egyszerű. Az lye példákba általába lehet talál egy közvetítő meységet, am legtöbbször az dő. Mkor magas ugyas a Dua vízsztje? Koratavasszal és késő ősszel. Éppe ezek az dőszakok előzk meg a vzsgadőszakokat, amkor a hallgatók a legszorgalmasabba járak az egyetemre. Hasolóa az dő a közvetítő a 7.. ábrá mutatott példába s. Az etrapolácó veszélye Nem csak a leárs regresszóba, haem általáosabba a polomllesztésbe (vö. 7.. alfejezet) s agyo veszélyes az llesztésbe kapott függvéyt a vzsgált valószíűség változók mérés tartomáyá túl etrapolál. Súlyos tévedések forrása az lyesm. A probléma hagsúlyozotta főleg a polomllesztésél merül fel, ugyas többyre akkor forduluk ehhez az eszközhöz, amkor semm más ötletük cs az llesztőfüggvéyre voatkozóa. Kszóró potok Ha a kértékelt adathalmaz tartalmaz kszóró potokat, akkor a regresszós egyees teljese hbás lehet. Erre mutatak példát a 7.a. és 7.b. ábrák, amelyeket a 7.. ábrából kdulva szerkesztettük. Láthatóa a kszóró pot elhúzza maga felé a regresszós egyeest. A torzítás módja a kszóró pot elhelyezkedésétől függ. 78

9 kszóró pot 7.a. ábra. Aszmmetrkusa elhelyezkedő kszóró pot kszóró pot 7.b. ábra. Közpotosa elhelyezkedő kszóró pot A kszóró potok felsmerésével a 8. fejezetbe foglalkozuk részletese. Természetese em csak az okoz problémát, ha az adatok között kszóró pot va. Elképzelhető az s, hogy a két vzsgált meység között em leárs, haem másfajta a kapcsolat. Ilyekor jobb híjá egy legalább másodfokú polommal célszerű próbálkoz. A grafkus ábrázolás hasza A fetekbe vázolt problémák felsmeréséhez agyo haszos a vzsgált adatokat grafkusa s ábrázol. Erre példakét a 7.. táblázatba égy adatsor található, amelyet F. J. Ascombe ötlete alapjá kostruáltuk. Az adatokat a 7.3a. 7.3d. ábrák mutatják. Mdegyk llesztésbe azoos emcsak a paraméterek a ~ = 50, 9± 7, 63 a ~ = 0, 965 ± 0, 0304 llesztett értéke, haem kovaracamátruk s ugyaaz md a égy llesztésbe. A Q m -ra kapott értékek már a egyedk tzedes jegybe egy egységgel eltérek, de eek oka, hogy a 7.. táblázatba kerekített értékek találhatók. 7.. táblázat. Adatok a leárs regresszó csapdáak llusztrálására F. J. Ascombe, Graphs Statstcal Aalyss, The Amerca Statstca 7, pp. 7 (973). 79

10 a) eset b) eset c) eset d) eset 00 5,4 464,0 533,5 684,53 645, ,3 530,7 567,6 684,53 660, ,4 59,8 60,6 684,53 664, ,4 647, 635,6 684,53 684, ,4 696,8 669,7 684,53 694, , 740,7 703,7 684,53 704, , 778,9 737,7 684,53 709, , 8,4 77,8 684,53 73, , 838, 805,8 684,53 749, ,8 859,3 839,8 684,53 753, ,5 874,7 873,9 684,53 763, ,9 884,4 907,9 684,53 783, ,6 888,3 94,9 684,53 787, ,5 886,6 77,6 684,53 80, , 879, 00,0 46,58 37, a) eset b) eset 80

11 c) eset d) eset 7.3. ábra. A 7.. táblázatba mutatott adatokra végzett llesztés eredméye A bemutatott esetek egykébe sem veék észre, hogy az adatokkal baj lehet, ha em vzsgáljuk meg a róluk készült ábrákat. Az a) eset kfogástala leárs regresszót mutat. Nagyjából lyeek kell leük az llesztett egyeest és a mért adatokat együtt mutató ábrákak. A b) esetbe ylvávaló, hogy a mért adatok em leársa, haem (legalább) kvadratkusa függeek -től, tehát az llesztést meg kell smételük egy magasabb fokszámú polommal. A c) esetbe = 400-ál ylvávalóa fellépett egy kszóró pot, am valószíűleg téves adatbevtel következméye. Hasoló oka lehet a d) esetek, de tt az változó értéke vaak hbása megadva. Nemleárs problémák learzálása Az előző szakaszba tárgyalt llesztés problémák közös jellemzője, hogy az llesztőfüggvéy leárs a keresett paraméterekbe. Ilye esetekbe az llesztés a (7.3) leárs egyeletredszerre vezethető vssza. Számos llesztés probléma va azoba, amelyekbe az llesztőfüggvéy a keresett paraméterekbe em leárs. Eek legegyszerűbb példája az epoecáls llesztés: 8

12 ( ) M = a e, =,,,. (7.7) ξ a Ebbe az esetbe a mmalzáladó fukcoál a a ( ) Q = w ξ ae (7.8) alakba írható fel. Ha eek az a -re és a -re voatkozó derváltjat ullával tesszük egyelővé, egyeletredszert kapuk a -re és a -re voatkozóa. Az adódó egyeletek traszcedesek, tehát csak terácóval oldhatók meg, amek az elkerülése érdekébe szokás az llesztés problémát learzál: vesszük a (7.7) egyelet logartmusát. (7.7) szert a közvetleül mért ξ meységek logartmusa a keresett paraméterek leárs függvéye: lξ l a a, =,,,. (7.9) Ha tehát lξ értékere egy (7.) szert leárs regresszót alkalmazuk, a kapott eredméyekből a keresett paraméterek meghatározhatók. Hasoló learzálást alkalmazhatuk egy sor egyéb llesztés probléma megoldásába s. Két példát mutatuk még. Amkor a sugárdózst mérjük a távolság függvéyébe, az llesztőfüggvéy ( ) f( ) M =, = ξ a a ( a ) (7.0a) alakú. Ez a probléma úgy learzálható, hogy vesszük a mért dózsok égyzetgyökéek a recprokát: a a = a + a, ahol a =, a =. (7.0b) a a a ξ A vesszős paraméterek a (7.) szert leárs regresszóval becsülhetők, majd belőlük az eredet paramétereket a (7.0b) alatt képletekkel kapjuk meg. A másk példa a reaktorba mért aáls eloszlás, amelyre voatkozóa az llesztőfüggvéy M ( ξ ) = f(, a) = acos[ a( a3 )] (7.a) alakú. Ez a probléma akkor learzálható, ha smerjük a értékét. Ha a mért értékeket függvéyébe felrajzoljuk, a mamáls érték a jó becslése. Ezutá a learzálás már elvégezhető az arccos függvéy segítségével: arccos ξ a a = a( a3) = a + a, ahol a = a, a3 =. (7.b) a A vesszős paraméterek a (7.) szert leárs regresszóval becsülhetők, majd belőlük az eredet paramétereket a (7.b) alatt képletekkel kapjuk meg. Ha szükséges, a becslését javíthatjuk: a leárs regresszót a külöböző értéke 8

13 mellett végezzük el, és végül azt választjuk, amelyre a (7.) szert Q a legksebb. A példák sorát folytathaták. Mdegyk léyege, hogy a mért adatokat valamlye alkalmasa választott függvéy szert traszformáljuk úgy, hogy a traszformált meységek várható értéke egy kétparaméteres leárs függvéyel legye közelíthető. A módszer legfőbb előye, hogy az így traszformált meységeket függvéyébe ábrázolva egyszerű grafkus becslést kaphatuk a keresett paraméterekre. Az lye módo végzett llesztés elmélet kérdéseek egy külö részt szetelük (6.6. alfejezet). 7.. Polomllesztés Defícók A 7.3.b). ábrá látható potok ylvávalóa em írhatók le egy leárs függvéyel. Ilye esetekbe próbálkozhatuk egy magasabb fokszámú polommal: ξ m k k k = ( ) M = a, =,,,. (7.) A mmalzáladó fukcoál ekkor m Q = w ξ a k k k =. (7.3) Ha ezt a keresett paraméterek szert derváljuk, a derváltakat ullával tesszük egyelővé, végeredméybe smét a (7.3) leárs egyeletredszert kapjuk, ahol Rkk = w k k +, (7.4a) gk w k = ξ, k, k =,,, m. (7.4b) (7.3)-at ebbe az esetbe megoldva (7.5) szert kapjuk a paraméterek becsült értéket. Kovaracamátrukat pedg a B = σ R (7.5) képlet adja meg, ahol σ becslése Q s = m, (7.6) m [vö. (7.)]. A k-adk paraméter szóráségyzete 83

14 D ~ ( ak ) = s [ ] továbbá a megfelelő kofdecatervallum R, k =,,..., m, (7.7) kk ( ) ( ) a~ D a ~ a a ~ D a ~ k γ k k k + γ k, k =,,..., m, (7.8) [vö. (7.)]. γ az ( m) szabadság fokú Studet-eloszlás kvatlse (vö.. függelék). Numerkus problémák A polomllesztés a legegyszerűbb függvéyllesztés feladatok közé tartozk, mert (7.) a keresett paraméterekbe leárs függvéy. 3 Ematt cs szükség a 6.. alfejezetbe tárgyalt terácóra. Az ehhez hasoló előyök mellett azoba a polomllesztés umerkusa a legkellemetleebb feladatok közé tartozk. Illusztrácóképpe tektsük a 7.4. ábrát, amely két, egymáshoz képest eltolt parabolát mutat: az első az értékek az orgó körül, a másodko az = 60 érték körül csoportosulak. Az előbb esetbe umerkus problémák em jeletkezek, vszot az utóbbba em egyszerű az R mátrot vertál ξ ábra. Egymáshoz képest eltolt parabolák A.3. alfejezetbe foglalkozuk a mátrok vertálásáak a problémával. A (.0) képletbe defáluk egy C mérőszámot, amely megmutatja, mlye mértékbe rosszul kodcoált az vertáladó mátr. 4 Kszámoltuk m = -, 3- és 4-edfokú polomokra ezt a mutatót az értékek átlagáak a függvéyébe. A 7.5a. ábrá mutatjuk be az eredméyt arra az esetre voatkozóa, amkor az llesztedő potok száma = 0. Látható, hogy C rohamosa csökke, és harmadfokú polom (m = 4) esetébe már 0 7 agyságredű érték. Ekkor az vertáláskor már 8 9 értékes számjegy elvész, tehát az verzet dupla potosságú számítással s csak körülbelül égy tzedesjegy potossággal lehet megkap. Amt a.3. alfejezetbe megmutatjuk, az verzet utóterácóval javíta lehet. m = 5 esetébe azoba már elképzelhető, hogy a számítógép potossá- 3 Ez em tévesztedő össze a leárs regresszóval, ahol a leárs jelző arra utal, hogy az llesztőfüggvéy az változóba leárs. Más kérdés, hogy a (7.) függvéy éppe a paraméterekbe s leárs. 4 Mél ksebb C, aál ehezebb az verzet kszámíta. 84

15 go belül az verzet em lehet kszámíta. A probléma mértéke függ a potok számától: a 7.5b. ábrá ugyaezt bemutatjuk = 50 esetébe s. A helyzet émleg javult, de em sokkal log0c m= m=3 m= átlag 7.5a. ábra. A C (R) paraméter függése -tól ( = 0) log0c m= m=3 m= átlag 7.5b. ábra. A C (R) paraméter függése -tól ( = 50) Ortogoáls polomok Az mét bemutatott umerkus problémák kezelésére szolgálak az ortogoáls polomok. 5 A 7.5a. és 7.5b. ábrákról látszk, hogy a polomllesztés akkor a legkedvezőbb, amkor az értékek átlaga az orgó körül va. Ha törtéetese em lyeek, akkor lyeé lehet traszformál, vagys a (7.) llesztőfüggvéy helyett egy traszformált polomot haszáluk: m ( c) k( 0) k f, = c, =,,,, k = 5 Elméletüket eredetleg Csebsev dolgozta k. 85

16 ahol 0 egy alkalmasa megválasztott álladó. A fetekből következk, hogy célszerű az értékek átlagával egyelőek választa. Az llesztésből adódó c, c,..., c m együtthatókból az eredet együtthatókat egyszerűe kszámíthatjuk. Ezt az ötletet továbbfejleszthetjük, ha az előbb traszformácó helyett az általáosabb m ( c) kϕ k( ) f, = c, =,,, (7.9) k = képletet írjuk, ahol ϕ k () egy (k )-edfokú polom. A mátrverzó umerkus problémát úgy tudjuk a legjobba kküszöböl, hogy az R mátrot dagoálssá tesszük. Ehhez az szükséges, hogy a (7.9)-be szereplő polomok ortogoálsak legyeek: [ ] ( ) ( ) = kk k ( ) wϕ ϕ δ w ϕ k k. (7.30) Itt δ kk a Kroecker-delta. Ezeket a polomokat rekurzóval építjük fel. Az elsőt azoosa -gyel tesszük egyelővé: és a többt ϕ k ϕ ( ), (7.3a) k k ( ) = + d ϕ ( ) l = kl l (7.3b) alakba keressük. A defícóból következk, hogy d kk = 0. A (7.30) ortogoaltás feltételből számolható az tt szereplő több együttható: d kl = w w ( ) k ϕ l [ ϕ ( )] l Ezekkel a polomokkal (7.3) helyett a, l =,,..., k ; d kk = 0. (7.3c) m Q = wξ ckϕk( ) (7.3a) k = fukcoál mmumát keressük a c k paraméterek függvéyébe. Ez most s a (7.3) alakú Rc = g (7.3b) egyeletredszerre vezet, ahol az R mátr és g vektor eleme (7.4) aalógájára 86

17 és [ ] ( ) ( ) kk k ( ) R = w ϕ ϕ = δ w ϕ kk k k ( ) g = wξϕ k k (7.3c), (7.3d) (k, k =,,..., m). Az R mátr vertálása em okoz semmféle umerkus problémát, hsze most gk ~c k =. (7.33) w ϕ [ ( )] k A (7.5) képlet alapjá ezek a paraméterek egymástól függetleek, és szóráségyzetük D ( ~ ck ) = =. w Rkk (7.34) ϕ [ ( )] k Md az ortogoáls polomok megszerkesztéséhez, md az eredet paraméterek rekostruálásához szükség va a polomok együtthatóra. Keressük tehát a polomokat k l ϕ k ( ) = b kl l = alakba. (7.3)-ből következk, hogy (7.35a) bkk, k,,..., m. (7.35b) (7.3b) szert pedg k bkl = dkl bl l, l =,,..., k, (7.35c) l = l amek a levezetését az Olvasóra bízzuk. Az mét kapott algortmus megvlágítása érdekébe kszámítjuk az első éháy ortogoáls polomot. (7.3)-ből következk, hogy d = 0, b =. Helyettesítsük ezt (7.35b)-be és (7.35c)-be k = mellett: (7.3c) alapjá b =, b = d b = d. 87

18 vagys d wϕ w ( ) [ ϕ( ) ] w = = =, ϕ ( ) =. Ez eddg ugyaaz, mt amt a 7.5. ábrák alapjá heursztkusa sejtettük. Alkalmazzuk smét (7.3c)-t: d 3 w = = w (7.35b)-ből és (7.35c)-ből, d 3 = w ( ) w b ( b ) w, d 33 = 0. b 33 =, b = d b = d, b = d b + d b Ezt tovább folytatva felépíthetjük a ϕ 4 (), ϕ 5 () stb. polomokat. Amkor programot készítük, a polomok helyettesítés értékeek a kszámítására célszerű a Horer-elredezést alkalmaz, vagys a (7.35a) képlet helyett a következő sémát beprogramoz: ( ( )) ( ) = b + b + b3+ b ( + b ) ϕ k k k k k k kk,. Így tudjuk em csak a szorzások és összeadások számát, haem a kvoás jegyveszteségeket s a mmumra lehet csökkete. Az eredet polom együtthatót a következő azoosságból kapjuk meg: m m k k k k = k = ( ) a c ϕ. Köyű belát, hogy ez az azoosság akkor teljesül, amkor a k m k = clblk. (7.36a) l= k Eek a képletek az alkalmazásakor s léphetek fel kkerülhetetle kvoás jegyveszteségek, de ezek általába sokkal ksebb hbát okozak, mt azok, amelyek a mátrvertálás sorá fellépek. Ha bevezetjük az 88

19 b b A = b : : : : bm bm bm3... bmm jelölést, akkor (7.36a)-t átírhatjuk vektor alakba: ~ a = A T ~ c. (7.36b) (3.9) alapjá adódk ebből az eredet paraméterek kovaracamátra: B~ = A T B~ A = σ A T R A. (7.37) a c Vegyük észre, hogy (7.35b)-re való tektettel mdg a~ = ~ c. (7.36c) m m Háyadfokú legye a polom? Gyakra kérdezzük, háyadfokú polomot célszerű választa. Nylvá mél magasabb a polom fokszáma, aál jobba fogja az llesztőfüggvéy a mérés eredméyeket közelíte. Mvel az ~ a becsült paraméterek szórása vszot rohamosa ő a fokszámmal, gyekszük mél alacsoyabb fokszámú polomot lleszte. Szélső esetbe potra egzaktul lehet egy ( )-edfokú polomot lleszte (m = ), de eek algha va valam fzka értelme. Az ortogoáls polomok segítségével megtalálhatjuk e két elletmodó szempot között a középutat. Írjuk fel ugyas kofdecatervallumot a c k együtthatókra. Ha γ az ( m) szabadság fokú Studet-eloszlás kvatlse, akkor (7.8) mtájára a következő tervallumot szerkeszthetjük meg: c ~ γ D c ~ c c ~ + γ D c ~, k =,,..., m, (7.38) ( ) ( ) k k k k k ahol a szórásokat (7.34) alapjá becsüljük. Mvel ezek az együtthatók egymástól függetleek, azokat el lehet vet, amelyek em külöbözek szgfkása 0-tól, vagys amelyekre a (7.38) tervallum tartalmazza a 0-t. m megfelelő értéke tehát az a legagyobb k, amelyél agyobb deekre ez teljesül. Az elmodottakat a 7.. táblázatba mutatott adatokkal llusztráljuk. 6 Harmadfokú polomot llesztettük rájuk, és 99% kofdecaszte a következő tervallumok adódtak (7.38) és a. függelék szert: 3556, c 35, 6 ; 0, 449 c 0, 4376 ; , c, ; , c, Ezek valóságosa mért adatok: egy reaktor magasságát (ξ ) mutatja a hőmérséklet ( ) függvéyébe. 89

20 Látható, hogy c 4 em külöbözk szgfkása 0-tól, tehát m megfelelő értéke 3, vagys az adatok leírhatók egy másodfokú polommal. Amkor lye következtetésre jutuk, érdemes az llesztést az alacsoyabb fokszámmal s megsmétel. Ha akkor a fettől léyegese eltérő kofdecatervallumok jöek k, akkor ez azt jelet, hogy a polomllesztéssel cs mde redbe. Nézzük meg ezért, m jö k Q m -ra a két llesztésbe: Q m = 3, 553 m= 4 re és Q = 3564, m= 3 ra. m A két érték gyakorlatlag megegyezk egymással, tehát teljese elegedő másodfokú polomot lleszte. 7.. táblázat. Példa polomllesztésre ξ ξ,00 330,38 90,73 353,0 35,90 33,55 94,70 355,00 45,6 335,45 00,00 357,03 54,85 338,95 05,6 360,03 63,30 340,80,30 36,96 65,68 34,5 5,70 366,08 73,38 345,0 0,40 368,45 80,67 347,4 6,0 37,40 85,99 35,00 3,44 376,33 Elvleg ugya lehetséges, hogy egy c k együtthatót lye alapo 0-ak veszük, és egy másk, magasabb fokszámú ϕ k () polomé meg szgfkása külöbözk 0-tól, de ez em szokott a gyakorlatba előfordul. Ha ugyas a mérések leírhatók egy k-adfokú polommal, akkor a (7.30) szert ortogoaltás matt k > k-ra mdegyk ~ c k várható értéke zérus. Ez s az ortogoáls polomok előye, mert az a k együtthatókkal köye megtörtéhet, hogy ~ a k em külöbözk szgfkása 0-tól, de k > k-ra ~ a k ge. Természetese az ortogoáls polomokkal sem árt a körültektés, amt a 7.3. alfejezetbe mutatott példa llusztrál fogja Smítás A polomllesztés egyk gyakor alkalmazása a smítás, am azo alapul, hogy tetszőleges, em agyo gyorsa változó (ú. sma) függvéyt egy elegedőe szűk tervallumba Taylor-sorba lehet fejte. Más szóval: egy alkalmas fokszámú polommal lehet közelíte. Egy lye polom llesztését evezzük smításak. Természetese em csak polommal, haem más lleszthető függvéyel s lehet smíta. Smítás Jelöljük az llesztőfüggvéyek az llesztett paraméterek szert derváltjat F k -val: 90

21 F k ( ) f =,a, k =,,..., m; =,,...,. a k Ebből képezzük a m méretű F mátrot. Polomllesztés esetébe [ ] F k = Fk = k, k =,,..., m; =,,...,. (7.39a) A w súlyokból képezzük a dagoáls W mátrot. Ekkor a (7.4) képleteket a következőképpe írhatjuk át vektor alakba: R g = F T WF, (7.39b) H = F T W ξ, (7.39c) ahol H ξ a mért ξ, ξ,..., ξ meységekből képezett (-elemű) vektor. A paraméterek becsült értékét a (7.5) képlet adja meg. A mért értékek várható értékét úgy becsülhetjük, hogy a paraméterek becsült értékét behelyettesítjük az llesztőfüggvéybe: m k k m k = k = ~ ~ y = a = F a ~ amt az alább módo írhatuk át vektor alakba: H ~ y Fa ~ T = = FR F Wξ. k k, (7.40a) (7.40b) Az ~ y értékeket tektjük a mért adatok smításáak. Melőtt továbbmeék, kszámítjuk e vektor kovaracamátrát. Abból duluk k, hogy a w súlyok fordítva aráyosak a mért meységek szóráségyzetével:, BH W ξ = σ amvel B~ y = FR σ F T WW WFR F T = σ FR F T, (7.4) amt ez egyszerűe belátható. Az alábbakba az egyszerűség kedvéért feltesszük, hogy mérések azoos potosságúak, vagys W = E, (az -es egységmátr). Ekkor ~ y Fa ~ T = = FR F ξ H = Sξ H, (7.4) [vö. (7.40b)]. Vegyük észre, hogy az tt defált S mátr aráyos a smított értékek kovaracamátrával. Ez az észrevétel azoba csak a polomllesztésre voatkozk táblázat. Aktvtásmérő beredezés kalbrálása 7 Potosabba: az olya llesztőfüggvéyekre, amelyek az llesztett paraméterekbe leársak. 9

22 ξ ξ, 35,44 5,3 9,3 4, 3,83 00,7 8,07,6 7,45 5, 7,36 9, 3,69 04,5 7,339 30,9,775 53,5 7,3 A 7.. táblázatba szereplő adatokra skerese llesztettük egy másodfokú polomot, sőt arról s meggyőződtük, hogy cs szükség magasabb fokszámú polomra. Ilye körülméyek között az llesztett parabola helyettesítés értéke tekthetők az adatok smításáak s. Nem mde eset lye egyszerű azoba. Az alábbakba egy boyolultabb esetet elemzük. A 7.3. táblázat egy aktvtásmérő beredezés kalbrácóját mutatja. Itt a mta tömege mg-ba, ξ pedg a 40 K zotóp mért és számított aktvtásáak a háyadosa %-ba. Smítás céljából először azzal a módszerrel próbálkozuk, mt a 7.. táblázat adataval s tettük a 7.. alfejezetbe. Harmadfokú polomot llesztve (m = 4) a következő kofdecatervallumokat kapjuk az ortogoáls polomok együtthatóra 99% kofdecaszte: 873, c 94, ; 0, 345 c 0, 0063; 4 3, 4 0 c, 07 0 ; 30, 0 c 0, Az llesztésbe Q m = 3,7 adódott. Ebből következk, hogy c 3 -at és c 4 -et 0- ak vehetjük, vagys elegedőek tűk a leárs polom. Elég egy pllatás az adatokra (vö ábra), és látjuk, hogy erről szó sem lehet. Ezért csak c 4 -et hagyjuk el, vagys másodfokú polomot llesztük (m = 3). A kapott kofdecatervallumok (Q m = 34,7): 5 767, c 047, ; 0, 477 c 0, 0069 ; 4 3 4, 77 0 c, Itt már c s 0-ak tűk, am abszurdum. A helyzet egyre romlk, Q m értéke majdem a kétszeresére őtt. Levohatjuk tehát a következtetést, hogy a 7.3. táblázatba található adatsort em lehet egyetle polommal smíta. Ezért megpróbálkozuk a két részletbe való smítással: az adatokat két ötös csoportra botjuk, és mdkettőre külö llesztük egy-egy polomot. Az első csoport llesztéséhez em elég a másodfokú polom, így ott harmadfokú polommal (m = 4) dolgozuk. A smított görbék a 7.6. ábrá láthatók az első rész folytoos voallal, a másodk rész pedg szaggatottal. Az első rész smítására kapott polom együttható: a = 37, 87; a = 3, 608; a = 0, 83; a = 0, 00305; 3 4 a másodk részére pedg a = 0, 78; a = 0, 0368; a = 9, Látható, hogy az első részbe a görbület em írja le kfogástalaul a potokat. Iterpolácós célból így egy egyedfokú polom lee kíváatos, de eek az

23 együtthatót em írjuk fel. Mvel tt az együtthatók száma megegyeze a potok számával, a polom egzaktul átmee a mért potok mdegyké. 8 ξ ábra. A 7.3. táblázatba található adatok smítása Smítás egyeletes alappotok esetébe Mért görbék smítása egyszerű képletekbe foglalható, amkor az alappotok egyeletesek: ( ) = 0 +. Ebbe az esetbe (7.4) szert a smított értékeket az méretű S mátr segítségével számíthatjuk k. Az alábbakba megadjuk S elemet m és éháy jellegzetes értékére. A félreértések elkerülése érdekébe feltütetjük a mátrok redjét. Leárs smításra (m = ): 6S 33 6S 44 6S S 66 8S Mvel valójába erre kéyszerülék, azt látjuk, hogy az első részbe sűríte kellett vola a mérés potokat. Ez azoba a jele alfejezet témájától messze vezető kérdés, így tovább em foglalkozuk vele. 93

24 Kvadratkus smításra (m = 3): 0S 44 0S S 66 4S Harmadfokú smításra (m = 4): 70S

25 6S 66 4S E mátrok alkalmazására mutatuk egy példát. Tegyük fel, hogy öt egyeletes alappotba mért értékeket smítuk egy másodfokú polommal ( = 5, m = 3). Ekkor a következőképpe kapjuk a smított értékeket: 3ξ + 9ξ 3ξ 5ξ + 3ξ =, 0 9ξ + 3ξ + ξ + 6ξ 5ξ =, = ξ + ξ + ξ + ξ ξ, = ξ + ξ + ξ + ξ + ξ, 0 3ξ 5ξ 3ξ + 9ξ + 3ξ =. 0 ~ y ~ y ~ y ~ y ~ y Dfferecálás A smítás eredméyeképpe kapott polom haszálható a mért (és ezért hbával terhelt) függvéykapcsolat dfferecálására. Nem kell mást teük, mt a (7.40a) szert smított függvéyt dervál: m k( ) k m m ( ) k k k = k = k = ~ y = a ~ k = k F a ~ = F a ~ k k. (7.43a) Azt, hogy valamlye, a dervált függvéyhez tartozó meységről va szó, egy elé írt jellel tütetjük fel. (7.40b) mtájára ezt átírjuk vektor alakba: ~ ~ H T y = Fa = FR F Wξ, (7.43b) ahol F = ( k ) F, k =,,..., m. (7.43c) k k Egyszerűe kapjuk a derváltak kovaracamátrát [vö. (7.4)]: ( ) σ ( ) B ~ y = FR σ F T WW WFR F T = FR F T. (7.44) Amkor a méréseket egyeletes alappotokba végeztük, a derválás képlete egyszerűsíthetők. (7.4) mtájára a derváltakat a 95

26 ~ y = Fa ~ = FR F ξ H T = Sξ H (7.45) alakba írjuk fel, ahol feltettük, hogy a mérések potossága azoos, vagys W = E,. A fetekhez hasolóa és m éháy értékére felírjuk a derváláshoz haszálható S mátrokat. m = esetébe egyeest llesztük, tehát a dervált mde potba azoos. Az alább együtthatókkal lehet kszámíta éháy értékére: 3 6 S S S S S Ha például = 5 potba végeztük méréseket, a derváltat a ~ 4 5 y 5 = ξ ξ + ξ + ξ 0 képlet adja meg mdegyk mérés potba. m = 3 és m = 4 esetébe valóságos mátrokat kell haszáluk, amelyeket - ek ugyaazokra az értékere adjuk meg, mt korábba. Kvadratkus smításra (m = 3): 0 S S S S Harmadfokú smításra (m = 4): 84 S

27 756 S S Kegyelítés Az.3. alfejezetbe említettük egy kegyelítés problémát. Először azt oldjuk meg, majd megmutatjuk, hogy ugyaez a módszer alkalmazható a smítás javítására s. A háromszög szöge Az.3. alfejezetbe kfejtetteket előbb átírjuk a jele fejezett jelölésere. Mért értékek: ξ = 54 5 ξ = 50 ξ 3 = 76 6, amelyek várható értékét a szokás szert jelöljük: M( ξ ) = a, =,, 3. Tudjuk azoba, hogy összegük 80 : a + a + a3 = 80. Ha ebből a 3 -at a másk kettővel kfejezzük, akkor a következő kétparaméteres llesztésre jutuk: ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) Q = a + a a + a = mmum. 3 A ormálegyeleteket a keresett paraméterek szert derválással kapjuk: Q = ξ + ξ a = 0, a Q = ξ + ξ a = 0, a amek a megoldása 97

28 a~ = 54, a~ = 4957, a~ = Egy ad hoc módszerrel ugyaezt kaptuk az.3. alfejezetbe. A kegyelítés problémák általáos megoldását a 6.5. alfejezetbe tárgyaljuk, amek az áttaulmáyozását azoba csak haladó olvasókak ajáljuk. Smítás kegyelítéssel Ezt a módszert alkalmazhatjuk a smítás javítására s. Korábba a 7.3. táblázat adatat két csoportra osztottuk, és egymástól függetleül llesztettük rájuk polomokat. Felvetjük a következő ötletet: lehet-e javíta a smított görbét úgy, hogy a két polomot egy közbeső potba egymáshoz llesztjük? Megkövetelhetjük például, hogy a két rész között 0 40 mg potba a két polom helyettesítés értéke és derváltja egymással megegyezze. Ha az elsőre (m )- edfokú, a másodkra pedg másodfokú polomot llesztük, és ezeket az lletve m k = a k k a + a + a m+ m+ m+ 3 alakba írjuk fel, akkor a polomok együtthatóra az m k ak 0 = am+ + am+ 0 + am+ 30, k = m k ( ) k 0 = m + k = k a a a, + m+ 3 0 (7.43a) (7.43b) feltételeket szabjuk. Valójába tehát csak (m + ) paramétert kell lleszteük, a femaradó kettőt k tudjuk velük fejez: a m+ a m+ 3 m am+ k = ( k 3 ) ak 0, (7.44a) 0 k = m m+ k 3 ( k ) ak 0 0 k = a = +. (7.44b) Ebbe az esetbe a (7.39) képletek a következőképpe módosulak. Az első csoportba cs változás: k k k F =, k m, F = 0, k > m. (7.45a) A másodk csoportba azoba a mátr a következőképpe módosul: k ( ) ( ) F = k k 3, k =,,..., m, k k (7.45b) 98

29 Fm, + = Ha ezt a 7.3. táblázatba szereplő mérés adatokra alkalmazzuk, a következő eredméyeket kapjuk. Először vesszük az m = 4 esetet, amelyre voatkozk a 7.6. ábra s. Az llesztett paraméterek a következők az első részbe: a = 35, 68; a =, 399; a = 0, 0795; a = 0, 00088; 3 4 a másodk részbe pedg a = 4, 0; a = 0, 0870; a =, értékét 35-ek választottuk. Érdemes megéz, hogya változott Q m a feltétel élkül értékhez képest. A 7.6. ábrá mutatott görbéek megfelelő két llesztésbe kapott értékek összege: Q () ( ) m m + Q = 85, + 00, = 854,. A kegyelített llesztésbe ezzel szembe Q m = 7,8 adódk, vagys az llesztés romlott. Ebbe cs semm meglepő: eredetleg hét paramétert llesztettük, vszot a kegyelítésbe a paraméterek száma a feltételek számával csökket, tehát csak öt paramétert llesztettük. Természetes, hogy az llesztés romlott ettől. Ez látszk a 7.7a. ábrá s: az llesztett görbe sokkal rosszabbul lleszkedk a mért potokra a másodk részbe a. ábra. A 7.6. táblázatba található adatok smítása kegyelítéssel (m = 4) Az m = 5 mellett végzett smítás kegyelítés élkül olya polomot ad, amelyek a görbéje egzaktul átmegy a mért potoko. Jóllehet ezt formálsa lehet llesztéskét s végrehajta, de a léyeget jobba megközelítjük, ha em smításról, haem terpolácóról beszélük. Amkor azoba a smítást kegyelítéssel végezzük, a művelet valóságos llesztéssé válk. Az llesztett paraméterek a következők az első részbe: a = 39, 7; a = 4, 609; a = 0, 373; 3 99

30 a a másodk részbe pedg = 0, 000; a =, 3 0 ; a =, 76; a = 0, 04990; a =, értékét most s 35-ek választottuk. Q m értéke 5,5, am léyegese ksebb, mt a kegyelítés élkül smításba, tehát az llesztés javult. Ez látszk a 7.7.b ábrá s b. ábra. A 7.6. táblázatba található adatok smítása kegyelítéssel (m = 5) A mutatott példából látszk, hogy a kegyelítés ayba javítja a smítást, hogy a polomok fokszámát övelhetjük, és ezzel javul az llesztés. 0,5 0-0,5 - -,5 - -,5-3 -3, ábra. A 7.6. táblázatba található adatok derváltja kegyelítéssel (m = 5) 4 Dfferecálás kegyelítéssel Az előző alfejezetbe részletese tárgyaltuk a smított görbe derválását. Ezt meg lehete smétel a kegyelítéssel smított görbékre voatkozóa. A dolgot 00

31 em tárgyaljuk teljes általáosságba. Megelégszük az előbb példával való llusztrácóval. Az llesztésből (m = 5) kapott paraméterekkel az első részbe az a másodk részbe pedg az a a + a + 3a + 4a, a 7 8 képlet adja a derváltat. Az eredméyt a 7.8. ábrá mutatjuk be. A berajzolt potok a közvetle ξ+ ξ + umerkus derválással kapott értékeket ábrázolják az ( + + )/ meységek függvéyébe. A 7.8. ábrá látszk, hogy ezek a potok léyegese smább görbét adak, mt a smított görbe derváltja. Eek az az oka, hogy az első részre llesztett egyedfokú polom túlságosa khagsúlyozza az eredet mért értékek mérés hbát. Ezért az = 5 körül gadozásokak cs sem matematka, sem fzka tartalmuk Hbaterjedés Gyakra fordul elő, hogy valamlye meységet közvetle mérésből vagy llesztésből származó valószíűség változók függvéyébe számítjuk k. Az eredméy szté valószíűség változó. Ahhoz, hogy vele tovább tudjuk dolgoz, smerük kell várható értékét és szórását. Több meység számítása esetébe szükség lehet a kovaraca kszámítására s. Az eddg alfejezetekbe tektett llesztésekbe tulajdoképpe már ezt tettük, hsze a közvetleül mért ξ ( =,,..., ) meységek függvéyébe becsültük a keresett a, a,... paramétereket, és határoztuk meg rájuk voatkozóa a várható értéket, szórás és kovaracát. Azt s modhaták tehát, hogy a vzsgáladó függvéykapcsolatot llesztőfüggvéyek tektve közvetleül alkalmazhatjuk korább képleteket. Ilyesmt mégsem moduk, mert szereték a gyakorlatba közvetleül haszálható módszereket és képleteket levezet. Vzsgál fogjuk tehát az H η = g ξ, ξ,, ξ = g ξ, k =,,..., m (7.46) ( ) ( ) k k k alakú függvéyeket. Többyre csak az m = esettel foglalkozuk. Ilyekor elhagyjuk a k deet. Várható érték Legye először =. Fejtsük a g-függvéyt az y = M(ξ) várható érték körül Taylor-sorba: 0

32 g( ξ) = g( y) + g ( y)( ξ y) + g ( y)( ξ y) + (7.47a) Itt a páratla ktevőjű tagok várható értéke eltűk, vagys M = + +, [ g( ξ )] g( y) g ( y) D ( ξ) (7.47b) ahol a k em írt tagok közül az első a g-függvéy egyedk derváltjával és egyedk cetráls mometumával aráyos (vö. 3.. alfejezet). Amkor a g(ξ) függvéyt kszámítjuk, a g(y) meységre szereték becslést kap. Látható, hogy ez csak akkor torzítatla, amkor a (7.47b)-be kírt másodk tag az első mellett elhayagolható. Az alábbakba ezt mdg fel fogjuk tételez. Ekkor azoba a Csebsev-egyelőtleségből (3.3. TÉTEL) következk, hogy a (7.47a) sorfejtésbe a égyzetes tag agy valószíűséggel elhayagolható. Más szóval: a g(ξ) függvéy learzálható. A továbbakba tehát a ( ) ( ) ( )( ) g = g ξ g y g y ξ y (7.48a) közelítést alkalmazzuk. Ha em egy, haem több valószíűség változó szerepel, akkor eek az aalogoja a g g = g( ξ, ξ,, ξ) g( y, y,, y) ( y) ξ ξ (7.48b) képlet. Köyű ezt átv az m > esetre s. A jobb oldalo szereplő (ξ y ) külöbségek az egyes valószíűség változók mérés (llesztés) hbája. A (7.48) képletek megadják, hogy ezek hatása hogya terjed át a kszámítadó függvéyre. Ezért szoktuk hbaterjedésről beszél. Mvel azoba a hbákat em smerhetjük, csak arra va lehetőségük, hogy ezek legfőbb jellemzőjét, a szórást kszámítsuk a közvetleül mért meyységek szórásáak a függvéyébe. A kszámított függvéy szórása Tegyük fel először, hogy a ξ valószíűség változók függetleek. Ekkor az 3.8. TÉTELt alkalmazhatjuk. Az eredméy ayra fotos, hogy tétel formájába modjuk k: 7.. TÉTEL. Ha a ξ valószíűség változók függetleek ( =,,..., ) és g a valószíűség változók olya függvéye, amelyre alkalmazható a (7.48b) közelítés, a függvéy helyettesítés értékéek szóráségyzete H [ g( ξ )] = ( g) g [ ] = ( ) D M D ξ. (7.49) ξ Ez az általáosa haszált hbaterjedés képlet. 0

33 Példaképpe tektjük a (7.0b) képletbe szereplő a paramétert. A learzált llesztésből kapjuk az a és a paramétereket, amelyekből az ~ ( ~, ~ a ~ a = g a a ) = a ~ képlet alapjá kapjuk a keresett paramétert. Feltesszük egyelőre, hogy a vesszős paraméterek között kovaraca elhayagolható. (7.49) szert eek a szóráségyzete D ~ ~ a a~ D ~ + ~. a ( a ) = ( a ) D ( a ~ ) A hasoló szorzat, lletve háyados alakú függvéyek esetébe egyszerűbb, ha vesszük a g-függvéy logartmusát: l a ~ = l a ~ l a ~, majd eek vesszük a dfferecálját: a ~ ~ ~ a a a ~ = a ~ a ~, és alkalmazzuk a szóráségyzetek összeadás törvéyét: D ( ~ ) D ( ~ a ) D ( ~ a a ) a~ ~ ~ = a + a, amből D ( ~ ) ~ D ~ a = a a~ ( ) D ( ~ ) ~ D ( ~ a a a a ) D ( a ~ ) + a~ = a~ Köyű belát, hogy ez azoos a (7.49) képlet közvetle alkalmazásával kapott eredméyel. Két változó esetébe talá boyolultabbak tűk a logartmuso alapuló számítás, de sok téyező esetébe, főleg ha gyökök és hatváyok s előfordulak, a logartmus képzése mdg egyszerűsítést jelet. A (7.49) képlet em érvéyes, amkor a szereplő valószíűség változók korreláltak. Egyszerűe bzoyítható a 7.. TÉTEL. Ha g a ξ valószíűség változók ( =,,..., ) változók olya függvéye, amelyre alkalmazható a (7.48b) közelítés, a függvéy helyettesítés értékéek szóráségyzete H [ g( ξ )] = ( g) a~ g g [ ] = ( j) + D M cov ξ, ξ. (7.50) ξ ξ j = j a~. 03

34 Eek a tételek az alkalmazása elsősorba akkor jö szóba, amkor a szereplő valószíűség változók llesztett paraméterek. Térjük vssza a fet példához, és e hayagoljuk el az llesztett paraméterek között kovaracát! A (7.50) képlet ekkor a D ~ ~ a a~ D ~ + a~ D ~ a~ ~ cov ~, ~. a ( a ) = ( a ) ( a ) ( a a ) 3 Megjegyzedő, hogy tt s alkalmazható a logartmálás, de agyo kell vgyáz az előjelekre. Ak em jártas a dologba, jobba tesz, ha a rögösebb, de egyees utat választja, vagys közvetleül a (7.50) képletet alkalmazza. Függvéyek kovaracája Amkor (7.46) szert egyél több függvéyt számítuk k (m > ), a kszámított függvéyértékek korreláltak leszek, hsze ugyaazoktól a valószíűség változóktól függek. Ebbe az esetbe érdekes a külöböző k deekhez tartozó függvéyértékek között kovaraca. Ezt (7.48b) alapjá írhatjuk fel. Rögtö az általáos esetet tektjük, vagys em tételezzük fel, hogy a közvetleül mért (llesztett) valószíűség változók függetleek. Egyszerűe bzoyítható a 7.3. TÉTEL. Ha a g k függvéyek (k =,,..., m) a ξ valószíűség változók ( =,,..., ) változók olya függvéye, amelyekre alkalmazható a (7.48b) közelítés, a függvéyek helyettesítés értékéek a kovaracája H H gk gk [ gk( ξ) gk ( ξ) ] = ( ξ ξ j) cov, ξ ξ cov, j = j. (7.5) E képletet a fet tektett learzált llesztés eredméyere alkalmazzuk. Kszámítjuk a (7.0b)-be szereplő a és a paraméterek kovaracáját: a~ cov [, ] D ~ ( ~ a a a ) ~ cov ( a ~, a ~ = ) a 4 + a 3. Mt a kovaracák esetébe általába, tt s ügyel kell az egyes tagok előjelére. Kofdecatervallumok Amkor a közvetleül mért (llesztett) valószíűség változók md Gausseloszlásúak, a vzsgált függvéyek helyettesítés értékéről ugyaezt lehet moda. Ebbe az esetbe tehát em okoz problémát a kofdecatervallumok megszerkesztése. Az llesztett paraméterek esetébe azoba a szórások mdg csak véges szabadság fokkal becsülhetők. Ilyekor boyolultabb feladattal álluk szembe, de boyolultsága matt eek részletebe em megyük bele. 04

35 7.6. Korrekcók Az 5.3. alfejezetbe tárgyaljuk a közvetle mérésekhez alkalmazadó korrekcók fgyelembevételéek a módját. Ugyaezt áttektjük függvéyllesztés esetébe s. Az általáos formalzmus Leggyakrabba két fajta korrekcóval találkozuk: addtív korrekcókkal és korrekcós téyezőkkel. Ez azt jelet, hogy a közvetleül mért meységek várható értékét em maga a korrekcók élkül esetbe haszáladó f(,a) llesztőfüggvéy adja meg, haem ( ) f( ) M ξ = µ, a + α. (7.5) Általába a µ téyező és az α korrekcó mért adat, tehát maga s valószíűség változó. Példák korrekcóra: a laboratórum háttérsugárzása, a hőmérséklet hatása stb. Példák korrekcós téyezőre: radoaktív bomlás, műszerek kalbrácós téyezője stb. Úgy képzeljük el, hogy µ az összes korrekcós téyezők szorzata, α pedg az összes korrekcók összege. A mamáls valószíűség elve alapjá a ( (,a) ) Q = w ξ µ f α (7.53) égyzetösszeg mmumát kell keresük az a paramétervektor függvéyébe. Ha a korrekcók s valószíűség változók, akkor a (6.39c) képlet alapjá a súlyokat a σ w [ f( )] ξ µ α = σ + σ,a + σ (7.54) képlettel kell kszámítauk. Vegyük észre, hogy ez éppe a (7.53) alatt öszszegbe a (...) tag zárójelébe levő külöbség szóráségyzete. Ezzel a 6. fejezetbe kmodott tételek érvéybe maradak. Eek alapjá mérések kértékelése a korábbak alapjá mde továbbak alapjá végrehajtható, ha az llesztőfüggvéyt (7.5), a súlyokat pedg (7.54) szert választjuk meg. Az eddg modottak akkor érvéyesek, amkor az de külöböző értékehez tartozó korrekcók egymástól statsztkalag függetleek, lletve amkor szórásuk elhayagolható. Korrelált korrekcók esetébe az eljárás léyegese boyolultabb. A kérdésre a jele alfejezet végé térük vssza. Függetle korrekcók kezelése learzálás eseté Labormérések esetébe elsősorba az dő rövdsége matt az f(,a) llesztőfüggvéy learzálására kéyszerülük. Ez azoba em lehetséges, ha fetartjuk a mmalzáladó Q fukcoál (7.53) szert alakját. Ezért egy közelítő eljárást alkalmazuk: a korrekcókat em az llesztőfüggvéyhez, ha- 05

36 em a mért meységekhez kapcsoljuk. Hagsúlyozzuk, hogy ez csak közelítő szükségmegoldás. Arról va szó, hogy az llesztést a ξ α ξ c = µ korrgált mérésekre voatkoztatjuk: ( ( )) (7.55a) c c c Q = w ξ f,a. (7.55b) A súlyokat ebbe az esetbe a (7.49) hbaterjedés képlet alapjá kell kszámítauk: σ σξ σα σ µ ξ α c w = + + µ µ µ. (7.55c) Ezekkel a képletekkel a korrgált meységekre voatkozóa már alkalmazható a learzált llesztés módszere. Mdeek természetese feltétele, hogy az f(,a) llesztőfüggvéy learzálható legye. Mvel ez csak az llesztőfüggvéyekek egy specáls osztályára alkalmazható módszer, célszerű az általáos eljárást beprogramoz, ha llesztő programot íruk. Jól látható, hogy az adatokak a (7.55) képletek szert korrekcója meglehetőse sok előkészítő számítást géyel külööse akkor, amkor a korrekcók em egyszerűek, haem több téyező vagy tag szorzata, lletve összege. Semmképpe em ajálhatjuk, hogy ezt bárk kézzel végezze el, mert méréseek kértékelése hbakereséssé degradálódk: a fzka jeleségek megértése helyett az dőt aak elleőrzésével fogja tölte, melyk -re rototta el a korrekcó számítását és alkalmazását. *Korrelált korrekcók Ha akár a korrekcó, akár a korrekcós téyezők külöböző -hez tartozó értéke korreláltak, a korrekt adatkezelés agyo elboyolódk. Nem való ebbe a jegyzetbe a kérdés átfogó tárgyalása. A szokástól eltérőe most em tuduk olya rodalm hvatkozást megad, ahol ez megtalálható. A dolog oka abba rejlk, hogy egyrészt külöös elv problémát em jelet, így a matematkusok em érzk szükségét tárgyal, másrészt súlyosa elboyolítja az adatkezelés formalzmusát, így a fzkusok akkek pedg dolguk lee mdezt korrektül kdolgoz jobbak látják a közelítő megoldásokat. A [3] rportok ugya hozzálátak a probléma tárgyalásához, de megállak aál a közelítésél, amely akkor érvéyes, amkor a korrekcók mérés potossága sokkal jobb, mt a ξ valószíűség változóké. Az általáosa alkalmazható eljárást egy közöséges példával llusztráljuk: gyakra előfordul, hogy az α korrekcókra egyetle mérés adatuk va, vagys mde -re ugyaazt a számot kell levouk (7.55a)- ba vagy (7.53)-ba. 06

37 Feltesszük tehát, hogy α α és M( α ) = a 0. (7.56) Az egyszerűség kedvéért feltesszük, hogy µ, vagys cs korrekcós téyező. Eek a mérések a valószíűség függvéyét egyszerűe felírhatjuk az 5.3. alfejezetbe követett godolatmeet általáosításakét: L ahol és ( aa ) w w 0 Q = w0( α a0) ( ) ( ) + πσ σ σ ;, = ep ep 0 ( ( ) ) Q = w ξ f,a a0 σ σ α =. w 0 A mamáls valószíűségek elve alapjá ll derváltjat kell zérussal egyelővé te egyrészt az a paramétervektor m kompoese szert, másrészt a 0 szert. Az előbbek a G k ( a) ( a) (, a) Q f = = w[ ξ f(, a) a0] = 0 a a k k, (7.57a) ormálegyeletekre vezetek (k =,,..., m). Az utóbb pedg egy tovább, (m + )-edk egyeletre vezet: G 0 l L = = w0 α a0 + w [ ξ f a0] = 0. (7.57b) a ( a) ( ) (, a) 0 Így tehát em m, haem (m + ) paramétert kell becsülük. Az addtív korrekcóhoz tartozó, (m + )-edk paramétert természetese k lehet küszöböl a (7.57) egyeletekből, és így azokat formálsa legalábbs vssza lehet vezet m számú egyeletből álló egyeletredszerre. (7.57b)-ből ugyas kfejezhetjük az a 0 paramétert: a~ 0 w 0 [ (, ~ )] w0α + w ξ f a = + w, (7.57c) amt (7.57a)-ba helyettesítve egy m-smeretlees egyeletredszert kapuk az eredet a paramétervektorra. Tektve, hogy a 0 becsült értéke függ eek az 07

38 utóbb egyeletredszerek a megoldásától, tt valójába egy terácós eljárást defáltuk. Ezzel megtaláltuk aak a módját, hogy egy fajta korrelált korrekcót a legegyszerűbbe fgyelembe vegyük. Az alábbakba megézzük, hogya hat ez az eredetleg keresett paraméterek kovaracájára. Áttérük a 6.3. alfejezetbe haszált mátros formalzmusra, mert ez általáosítható boyolultabba korrelált korrekcók kezelésére s. A (6.9a) képlettel defált F mátr most kbővül az a 0 paraméterek megfelelő oszloppal, lletve az α mért adatak megfelelő sorral. Mvel az =,,..., mérés adatokra (7.5) alapjá úgy képzelhetjük, hogy az llesztőfüggvéy ( ) f( ) M ξ =, a + a0, az F mátr (m + )-edk oszlopa az a 0 paraméter szert derváltakat, vagys csupa -eseket tartalmaz. Az ( + )-edk mérés adat α, amelyre az llesztőfüggvéy a 0, tehát F-ek ez a sora csupa 0-kat tartalmaz az első m oszlopba, vszot az (m + )-edk elem tt smét. Legye e egy olya -elemű vektor, amelyek mde eleme. Ezzel az F mátr így írható: Fa e F = 0, (7.58a) ahol F a az eredet, az addtív korrekcó élkül llesztéshez tartozó F mátr. Hasoló megfotolásokkal kapjuk a W mátrot s: W W a = 0 0. (7.58b) w 0 (6.9) szert az R mátrot az Fa 0 Wa 0 Fa e Fa WaFa Fa Wae R = T e 0 0 = T T (7.59) T T T w0 e WaFa e Wae+ w0 alakba kapjuk. Látható, hogy a bal felső blokk éppe R a, vagys az eredet, az addtív korrekcó élkül llesztéshez tartozó R mátr. (6.3) szert az llesztett (m + ) paraméter kovaracamátrát a (7.59) szert, teljes R mátr verze adja, vszot az eredetleg keresett a paramétervektor kovaracamátra az R verz bal felső blokkja alapjá számítható. A.8. TÉTEL alapjá ezt közvetleül felírhatjuk. Esetükbe köyebbség, hogy a tételbe szereplő B blokk most egy skalár, tehát verze egyszerűe a (7.59) mátr jobb alsó eleméek a recproka. Így tehát az ~ a becslés kovaracamátra T ( a a ) M T T T F W ee W F = Fa WaFa T e W e+ w a a a a σ a 0. (7.60) 08

A paramétereket kísérletileg meghatározott yi értékekre támaszkodva becsülik. Ha n darab kisérletet (megfigyelést, mérést) végeznek, n darab

A paramétereket kísérletileg meghatározott yi értékekre támaszkodva becsülik. Ha n darab kisérletet (megfigyelést, mérést) végeznek, n darab öbbváltozós regresszók Paraméterbecslés-. A paraméterbecslés.. A probléma megfogalmazása A paramétereket kísérletleg meghatározott y értékekre támaszkodva becsülk. Ha darab ksérletet (megfgyelést, mérést

Részletesebben

Statisztika. Eloszlásjellemzők

Statisztika. Eloszlásjellemzők Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben

Matematikai statisztika elıadás III. éves elemzı szakosoknak. Zempléni András 9. elıadásból (részlet)

Matematikai statisztika elıadás III. éves elemzı szakosoknak. Zempléni András 9. elıadásból (részlet) Matematka statsztka elıadás III. éves elemzı szakosokak Zemplé Adrás 9. elıadásból részlet Y közelítése függvéyével Gyakor eset, hogy em smerjük a számukra érdekes meység Y potos értékét pl. holap részvéy-árfolyam,

Részletesebben

? közgazdasági statisztika

? közgazdasági statisztika Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem

Részletesebben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,

Részletesebben

Regresszió és korreláció

Regresszió és korreláció Regresszó és korrelácó regresso: vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás correlato: vszo, összefüggés, kölcsöösség KAD 01.11.1 1 (vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás) Regresszó és korrelácó Gakorlat megközelítés

Részletesebben

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 10. A statisztika alapjai Debrecei Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csaád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Statisztikai függvéyek Defiíció, empirikus várható érték Empirikus

Részletesebben

Változók függőségi viszonyainak vizsgálata

Változók függőségi viszonyainak vizsgálata Változók függőség vszoyaak vzsgálata Ismétlés: változók, mérés skálák típusa kategoráls változók Asszocácós kapcsolat számszerű változók Korrelácós kapcsolat testsúly (kg) szemüveges em ő 1 3 férf 5 3

Részletesebben

GEOFIZIKA / 4. GRAVITÁCIÓS ANOMÁLIÁK PREDIKCIÓJA, ANALITIKAI FOLYTATÁSOK MÓDSZERE, GRAVITÁCIÓS ANOMÁLIATEREK SZŰRÉSE

GEOFIZIKA / 4. GRAVITÁCIÓS ANOMÁLIÁK PREDIKCIÓJA, ANALITIKAI FOLYTATÁSOK MÓDSZERE, GRAVITÁCIÓS ANOMÁLIATEREK SZŰRÉSE MSc GEOFIZIKA / 4. BMEEOAFMFT3 GRAVITÁCIÓS ANOMÁLIÁK REDIKCIÓJA, ANALITIKAI FOLYTATÁSOK MÓDSZERE, GRAVITÁCIÓS ANOMÁLIATEREK SZŰRÉSE A gravtácós aomálák predkcója Külöböző feladatok megoldása sorá - elsősorba

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

i 0 egyébként ábra. Negyedfokú és ötödfokú Bernstein polinomok a [0,1] intervallumon.

i 0 egyébként ábra. Negyedfokú és ötödfokú Bernstein polinomok a [0,1] intervallumon. 3. Bézer görbék 3.1. A Berste polomok 3.1. Defícó. Legye emegatív egész, tetszőleges egész. A ( ) B (u) = u (1 u) polomot Berste polomak evezzük, ahol ( ) = {!!( )! 0, 0 egyébkét. A defícóból közvetleül

Részletesebben

Megállapítható változók elemzése Függetlenségvizsgálat, illeszkedésvizsgálat, homogenitásvizsgálat

Megállapítható változók elemzése Függetlenségvizsgálat, illeszkedésvizsgálat, homogenitásvizsgálat Megállapítható változók elemzése Függetleségvzsgálat, lleszkedésvzsgálat, homogetásvzsgálat Ordáls, omáls esetre s alkalmazhatóak a következő χ próbá alapuló vzsgálatok: 1) Függetleségvzsgálat: két valószíűség

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba

Részletesebben

Függvénygörbe alatti terület a határozott integrál

Függvénygörbe alatti terület a határozott integrál Függvéygörbe alatt terület a határozott tegrál Tektsük az üggvéyt a ; tervallumo. Adjuk becslést a görbe az tegely és az egyees között síkdom területére! Jelöljük ezt a területet I-vel! A becslést legegyszerűbbe

Részletesebben

Miért pont úgy kombinálja kétfokozatú legkisebb négyzetek módszere (2SLS) az instrumentumokat, ahogy?

Miért pont úgy kombinálja kétfokozatú legkisebb négyzetek módszere (2SLS) az instrumentumokat, ahogy? Mért pot úgy kombálja kétfokozatú legksebb égyzetek módszere (2SLS az strumetumokat, ahogy? Kézrat A Huyad László 60. születésapjára készülő köyvbe Kézd Gábor 2004. júlus A Budapest Corvus Egyetem rövd

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése 3 4 Tartalomegyzék. BEVEZETÉS 5. A MÉRÉS 8. A mérés mt folyamat, fogalmak 8. Fotosabb mérés- és műszertechka fogalmak 4.3 Mérés hbák 8.3. Mérés hbák csoportosítása eredetük szert 8.3. A hbák megeleítés

Részletesebben

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o)

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o) Ismérvek között kapcsolatok szorosságáak vzsgálata 1. Egy ks smétlés: mérés skálák (Huyad-Vta: Statsztka I. 5-6. o) A külöböző smérveket, eltérő mérés sztekkel (skálákkal) ellemezhetük. a. évleges (omáls)

Részletesebben

Matematikai statisztika

Matematikai statisztika Matematka statsztka 8. elıadás http://www.math.elte.hu/~arato/matstat0.htm Kétmtás eset: függetle mták + + + = + ) ( ) ( ) ( Y Y X X Y X m m m t m Ha smert a szórás: (X elemő, σ szórású, Y m elemő, σ szórású),

Részletesebben

A statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük.

A statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük. Statisztikai módszerek. BMEGEVGAT01 Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Gépészméröki Kar Hidrodiamikai Redszerek Taszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

Regresszió és korreláció

Regresszió és korreláció Regresszó és korrelácó regresso: vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás correlato: vszo, összefüggés, kölcsöösség KAD 016.11.10 1 (vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás) Regresszó és korrelácó Gakorlat megközelítés

Részletesebben

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u Approxmácó Bevezetés A felhaszált térfogalmak: leárs tér (vektortér) ormált tér Baach tér eukldesz-tér Hlbert tér V ormált tér T V T kompakt halmaz Ekkor v V u ~ T legjobba közelítõ elem azaz v u ~ f {

Részletesebben

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke

Részletesebben

Adatfeldolgozás, adatértékelés. Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Miskolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanszék

Adatfeldolgozás, adatértékelés. Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Miskolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanszék Adatfeldolgozás, adatértékelés Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Mskolc Egyetem, Hdrogeológa Mérökgeológa Taszék A vzsgált köryezet elemek, lletve a felszí alatt közeg megsmerése céljából számtala külöböző

Részletesebben

? közgazdasági statisztika

? közgazdasági statisztika ... Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematikatanár hallgatók számára. Szita formula J = S \R,

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematikatanár hallgatók számára. Szita formula J = S \R, KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatla matematkataár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajal Péter 2018 1. Bevezető példák 1. Feladat. Háy olya sorbaállítása va a {a,b,c,d,e} halmazak, amelybe a és b em kerül

Részletesebben

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

1. A radioaktivitás statisztikus jellege

1. A radioaktivitás statisztikus jellege A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

10.M ALGEBRA < <

10.M ALGEBRA < < 0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész

Részletesebben

Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum)

Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum) Az átlagra voatkozó megbízhatósági itervallum (kofidecia itervallum) Határozzuk meg körül azt az itervallumot amibe előre meghatározott valószíűséggel esik a várható érték (µ). A várható értéket potosa

Részletesebben

Backtrack módszer (1.49)

Backtrack módszer (1.49) Backtrack módszer A backtrack módszer kombatorkus programozás eljárás, mely emleárs függvéy mmumát keres feltételek mellett, szsztematkus kereséssel. A módszer előye, hogy csak dszkrét változókat kezel,

Részletesebben

Matematika B4 I. gyakorlat

Matematika B4 I. gyakorlat Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21. Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy

Részletesebben

A heteroszkedaszticitásról egyszerûbben

A heteroszkedaszticitásról egyszerûbben Mûhely Huyad László kaddátus, egyetem taár, a Statsztka Szemle főszerkesztője A heteroszkedasztctásról egyszerûbbe E-mal: laszlo.huyad@ksh.hu A heteroszkedasztctás az ökoometra modellezés egyk kulcsfogalma,

Részletesebben

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

2. METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS

2. METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS . METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS. Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudomáya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlye tulajdoságáról számszerű értéket kapuk.

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Megjegyzés: Amint már előbb is említettük, a komplex számok

Megjegyzés: Amint már előbb is említettük, a komplex számok 1 Komplex sámok 1 A komplex sámok algeba alakja 11 Defícó: A komplex sám algeba alakja: em más, mt x y, ahol x, y R és 1 A x -et soktuk a komplex sám valós éséek eve, míg y -t a komplex sám képetes (vagy

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

Hiba! Nincs ilyen stílusú szöveg a dokumentumban.-86. ábra: A példa-feladat kódolási változatai

Hiba! Nincs ilyen stílusú szöveg a dokumentumban.-86. ábra: A példa-feladat kódolási változatai közzétéve a szerző egedélyével) Öfüggő szekuder-változó csoport keresése: egy bevezető példa Ez a módszer az állapothalmazo értelmezett partíció-párok elméleté alapul. E helye em lehet céluk az elmélet

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 4. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statsztka I. 4. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre KÖZÉPÉRTÉKEK A statsztka sor általáos jellemzésére szolgálak, a statsztka sokaságot egy számmal jellemzk. Számított középértékek: matematka számítás eredméyekét

Részletesebben

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat:

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat: JÁRATTERVEZÉS Kapcsolatok szert: Sugaras, gaárat: Járattípusok Voalárat: Körárat: Targocás árattervezés egyszerű modelle Feltételek: az ayagáram determsztkus, a beszállítás és kszállítás dőpot em kötött

Részletesebben

1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat!

1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat! Számok és mûveletek Hatváyozás aaaa a a darab téyezõ a a 0 0 a,ha a 0. Írd fel hatváyalakba a következõ szorzatokat! a) b),,,, c) (0,6) (0,6) d) () () () e) f) g) b b b b b b b b h) (y) (y) (y) (y) (y)

Részletesebben

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit! Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk

Részletesebben

Számsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.

Számsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik. Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el

Részletesebben

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László Valószíűségszámítás Ketskeméty László Budapest, 996 Tartalomjegyzék I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 3. Kombatorka alapfogalmak 4 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 6. A valószíűségszámítás alapfogalma

Részletesebben

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk,

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk, A deceber -i gyakorlat téája A hipotézisvizsgálat fotos probléája a következő két kérdés vizsgálata. a) Egy véletle eyiség várható értékéek agyságáról va bízoyos feltevésük. Elleőrizi akarjuk e feltevés

Részletesebben

STATISZTIKA II. kötet

STATISZTIKA II. kötet Szeged Tudomáyegyetem Gazdaságtudomáy Kar Petres Tbor Tóth László STATISZTIKA II. kötet Szerzők: Dr. Petres Tbor, PhD egyetem doces Statsztka és Demográfa Taszék Tóth László PhD-hallgató Gazdaságtudomáy

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve

Részletesebben

A matematikai statisztika elemei

A matematikai statisztika elemei A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................

Részletesebben

Statisztikai próbák. Ugyanazon problémára sokszor megvan mindkét eljárás.

Statisztikai próbák. Ugyanazon problémára sokszor megvan mindkét eljárás. Statsztka próbák Paraméteres. A populácó paraméteret becsüljük, ezekkel számolunk.. Az alapsokaság eloszlására van kkötés. Nem paraméteres Nncs lyen becslés Nncs kkötés Ugyanazon problémára sokszor megvan

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN

AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN Molár László Ph.D. hallgató Mskolc Egyetem, Gazdaságelmélet Itézet 1. A MINTANAGYSÁG MEGHATÁROZÁSA EGYSZERŐ VÉLETLEN (EV) MINTA

Részletesebben

ÖKONOMETRIA. Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó. Szakmai felelős: Elek Péter június

ÖKONOMETRIA. Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó. Szakmai felelős: Elek Péter június ÖKONOMETIA Készült a TÁMOP-4.1.-08//A/KM-009-0041pályázat projet eretébe Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudomáy Taszéé az ELTE Közgazdaságtudomáy Taszé az MTA Közgazdaságtudomáy Itézet és a

Részletesebben

A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI

A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI Az Eötvös Lórád Tudomáyegyetem Természettudomáy Kará a Fzka Kéma Taszék évek óta kéma-szakos taárhallgatókak matematka bevezetõ elõadásokat tart. Az elõadások célja az,

Részletesebben

Regresszió számítás. Mérnöki létesítmények ellenőrzése, terveknek megfelelése. Geodéziai mérések pontok helyzete, pontszerű információ

Regresszió számítás. Mérnöki létesítmények ellenőrzése, terveknek megfelelése. Geodéziai mérések pontok helyzete, pontszerű információ Regresszó számítás Mérök létesítméek elleőrzése, terekek megfelelése Deformácózsgálat Geodéza mérések potok helzete, potszerű formácó Leárs regresszó Regresszós sík Regresszós göre Legkse égzetek módszere

Részletesebben

VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE

VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE BUDAPET MŰZAK É GAZDAÁGTUDOMÁY EGYETEM Építőmérök Kar Hdak és zerkezetek Taszéke VABETO ÉPÜLETEK MEREVÍTÉE Oktatás segédlet v. Összeállította: Dr. Bód stvá - Dr. Farkas György Dr. Kors Kálmá Budapest,.

Részletesebben

A biostatisztika alapfogalmai, konfidenciaintervallum. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet

A biostatisztika alapfogalmai, konfidenciaintervallum. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet A biostatisztika alapfogalmai, kofideciaitervallum Dr. Boda Krisztia PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Iformatikai Itézet Mitavétel ormális eloszlásból http://www.ruf.rice.edu/~lae/stat_sim/idex.html

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

Izsák János. ELTE TTK Állatrendszertani és Ökológiai Tanszék. Kézirat

Izsák János. ELTE TTK Állatrendszertani és Ökológiai Tanszék. Kézirat BIOSTATISZTIKAI ALAPISMERETEK Izsák Jáos ELTE TTK Állatredszerta és Ökológa Taszék Kézrat Budapest, 5 Tartalomjegyzék Előszó 4. Valószíűség vektorváltozók 6.. Bevezetés 6.. A többváltozós, specálsa kétváltozós

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

) ( s 2 2. ^t = (n x 1)s n (s x+s y ) x +(n y 1)s y n x+n y. +n y 2 n x. n y df = n x + n y 2. n x. s x. + s 2. df = d kritikus.

) ( s 2 2. ^t = (n x 1)s n (s x+s y ) x +(n y 1)s y n x+n y. +n y 2 n x. n y df = n x + n y 2. n x. s x. + s 2. df = d kritikus. Kétmtás t-próba ^t ȳ ( s +( s + + df + vag ha, aor ^t ȳ (s +s Welch-próba ^d ȳ s + s ( s + s df ( s ( s + d rtus t s (α, +t s (α, s + s Kofdecatervallum ét mta átlagáa ülöbségére SE s ( + s ( ±t (α,df

Részletesebben

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011 MÉRÉSTECHNIKA DR. HUBA ANTAL c. egy. taár BME Mechatroka, Optka és Gépészet Iformatka Taszék 0 Rövde a tárgyprogramról Előadások tematkája: Metrológa és műszertechka alapok Mérés adatok kértékelése Időbe

Részletesebben

Ha n darab standard normális eloszlású változót négyzetesen összegzünk, akkor kapjuk a χ 2 - eloszlást: N

Ha n darab standard normális eloszlású változót négyzetesen összegzünk, akkor kapjuk a χ 2 - eloszlást: N Krály Zoltá: Statsztka II. Bevezetés A paraméteres eljárások alkalmazásához, a célváltozóra ézve szgorú feltételek szükségesek (folytoosság, ormaltás, szóráshomogetás), ekkor a hpotézseket egy-egy paraméterre

Részletesebben

Hipotézis vizsgálatok. Egy példa. Hipotézisek. A megfigyelt változó eloszlása Kérdés: Hatásos a lázcsillapító gyógyszer?

Hipotézis vizsgálatok. Egy példa. Hipotézisek. A megfigyelt változó eloszlása Kérdés: Hatásos a lázcsillapító gyógyszer? 01.09.18. Hpotézs vzsgálatok Egy példa Kérdések (példa) Hogyan adhatunk választ? Kérdés: Hatásos a lázcsllapító gyógyszer? Hatásos-e a gyógyszer?? rodalomból kísérletekből Hpotézsek A megfgyelt változó

Részletesebben

Matematikai statisztika

Matematikai statisztika Matematikai statisztika PROGRAMTERVEZŐ INFORMATIKUS alapszak, A szakiráy Arató Miklós Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Természettudomáyi Kar 2019. február 18. Arató Miklós (ELTE) Matematikai statisztika

Részletesebben

3.1. A Poisson-eloszlás

3.1. A Poisson-eloszlás Harmadik fejezet Nevezetes valószíűségi változók Valamely valószíűségi változóhoz kapcsolódó kérdésekre akkor tuduk potos választ adi, ha a változó eloszlása ismert, vagy megközelítőleg ismert. Ebbe a

Részletesebben

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 202.03.0. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:

A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk: Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai

Részletesebben

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai 05..04. szórások vizsgálata z F-próba Hogya foguk hozzá? Nullhipotézis: a két szórás azoos, az eltérés véletle (mitavétel). ullhipotézishez tartozik egy ú. F-eloszlás. Szabadsági fokok: számláló: - evező:

Részletesebben

BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA. Leíró statisztika

BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA. Leíró statisztika BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA Leíró statisztika Első közelítésbe a statisztikai tevékeységeket égy csoportba sorolhatjuk, de ezek között ics éles határ:. adatgyűjtés, 2. az adatok áttekithetővé tétele,

Részletesebben

LOGISZTIKAI ÉS SZÁLLÍTMÁNYOZÁSI TANSZÉK

LOGISZTIKAI ÉS SZÁLLÍTMÁNYOZÁSI TANSZÉK AZ IGÉNYEK ELREJELZÉSE A készletezésbe számos esetbe kell jöv'be bekövetkez' eseméyeket el're megjósol, külöböz' értékek agyságát el're megbecsül. Ezekre számos példát láttuk az el'z'ekbe, mt pl. az átlagos

Részletesebben

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +... . Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk

Részletesebben

A Sturm-módszer és alkalmazása

A Sturm-módszer és alkalmazása A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei Eukldes tér, metrkus tér, ormált tér, magasabb dmeós terek vektoraak söge, eek követkemée Metrkus tér Defícó. A H halmat metrkus térek eveük, ha va ola, metrkáak eveett m: H H R {0} függvé, amelre a követkeők

Részletesebben

Tulajdonságok. Teljes eseményrendszer. Valószínőségi változók függetlensége. Példák, szimulációk

Tulajdonságok. Teljes eseményrendszer. Valószínőségi változók függetlensége. Példák, szimulációk Valószíőségszámítás és statsztka elıadás fo. BSC/B-C szakosokak 3. elıadás Szeptember 26 p 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 A bomáls és a hpergeom. elo. összehasolítása 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k Hp.geom

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

4 2 lapultsági együttható =

4 2 lapultsági együttható = Leíró statsztka Egy kísérlet végeztével általában tetemes mennységű adat szokott összegyűln. Állandó probléma, hogy mt s kezdjünk - lletve mt tudunk kezden az adatokkal. A statsztka ebben segít mnket.

Részletesebben

Diszkrét Matematika 1. óra Fokszámsorozatok

Diszkrét Matematika 1. óra Fokszámsorozatok Dszkrét Matematka. óra 29.9.7. A köetkezı fogalmakat smertek tektük: gráf, egyszerő gráf, hurokél, párhuzamos élek, fa, ághatás operácó. Fokszámsorozatok Def.: G gráf fokszámsorozata fokaak reezett öekı

Részletesebben

2.10. Az elegyek termodinamikája

2.10. Az elegyek termodinamikája Kéma termodamka.1. z elegyek termodamkája fzka kéma több féle elegyekkel foglakozk, kezdve az deáls elegyektől a reáls elegyekg. Ha az deáls elegyek esetébe az alkotók közt kölcsöhatásokat elhayagoljuk,

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

Megoldás a, A sebességből és a hullámhosszból számított periódusidőket T a táblázat

Megoldás a, A sebességből és a hullámhosszból számított periódusidőket T a táblázat Fzka feladatok: F.1. Cuam A cuam hullám formájáak változása, ahogy a sekélyebb víz felé mozog (OAA) (https://www.wdowsuverse.org/?page=/earth/tsuam1.html) Az ábra, táblázat a cuam egyes jellemzőt tartalmazza.

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

Arrhenius-paraméterek becslése közvetett és közvetlen mérések alapján

Arrhenius-paraméterek becslése közvetett és közvetlen mérések alapján Tudomáyos Dákkör Dolgozat SZABÓ BOTOND Arrheus-paraméterek becslése közvetett és közvetle mérések alapá Turáy Tamás. Zsély Istvá Gyula Kéma Itézet Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáy Kar Budapest,

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a

EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! 4. Az EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a1 x + b1 y = c1 egyeletredszer megoldása a a x + b y = c Z halmazo (. rész) Ebbe a részbe

Részletesebben