I. Valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapok

Átírás

1 I. Valószíűségelmélet és matematka statsztka alapok. A szükséges valószíűségelmélet és matematka statsztka alapsmeretek összefoglalása Az alkalmazott statsztka módszerek tárgalása, amel e kötet célja, feltételez a valószíűségszámítás és matematka statsztka alapvető fogalmaak és módszereek smeretét. A témakörek magar elve s tektéles és jól haszálható szakrodalma va (Vcze I.: Matematka statsztka par alkalmazásokkal, 975; Prékopa A.: Valószíűségelmélet, 98; Lukács O.: Matematka statsztka példatár, 987; Rema J., 99; Ré A., 966; Meszéa G., Zerma M.: Valószíűségelmélet és matematka statsztka, 98; Kröpfl, B. és mts.: Alkalmazott statsztka, ). Ebbe és a következő fejezetbe ezért csak áttektjük a szükséges alapokat. Az. fejezetbe az alapfogalmakról és a gakra haszálatos eloszlásokról lesz szó, a. fejezet tárga a statsztka következtetés, vags a hpotézsvzsgálat és a paraméterbecslés... Alapfogalmak Véletle jeleség Ha eg gépről lekerülő termékpéldáok valamel jellemzőjét (pl. a kozervdobozokba töltött paradcsomsűrítmé tömegét) megvzsgáljuk, azt tapasztaljuk, hog a jellemző értéke külöbözőek, és ez az gadozás elkerülhetetle. Ugaíg gadozak az eg alkatrész (eg példá) valamel geometra méretére kapott mérés adatok. Mde jeleséget az okok eg bzoos redszere hoz létre. Ha az okok mdegkét fgelembe tudák ve, a jeleség lefolása azokból egértelműe levezethető, kszámítható vola. Ez azoba gakorlatlag lehetetle, vag célszerűtle, ezért az esetek túlomó többségébe az gadozást véletleszerűek evezzük. Sokaság és mta Az eg gépről lekerülő alkatrészek méretadata, a paradcsomkozervek tömeg-adata stb. sokaságot alkotak. A vzsgálatok célja e sokaság megsmerése. Mvel az alapsokaság teljes körű vzsgálatát em lehet, vag em lee gazdaságos elvégez, ezért vzsgálatakat csak az összesség eg kragadott részére, az ú. mtára korlátozzuk. A mta adata alapjá a matematka statsztka segítségével következtetük az alapsokaságra. Véges sokaság elemeek meghatározása elvleg lehetséges, de esetleg ge ag muka. A matematka statsztka alkalmazása ezt szükségteleé tesz. Végtele sokaság eseté az egész sokaság elvleg sem mérhető meg. Például godoljuk eg adott tárg tömegéek meghatározására. A tömegmérés eredmée a tárg valód tömegétől a véletle hbával külöbözk. A lehetséges mérés eredméek végtele sokaságot alkotak. Ha a tárgat mérlegre tesszük, s megmérjük a tömegét, ezzel k-

2 választottuk a sokaság eg elemét. A mérést többször megsmételve véges számú adatot, a mtát kapjuk. Valószíűség változó Azokat a meségeket, amelekek értéke em álladó, haem esetről esetre más és más lehet, azoba meghatározható, hog mekkora valószíűséggel esek megadott határok közé, valószíűség változókak evezzük. Dszkrét a valószíűség változó és aak eloszlása, ha eg véges vag megszámlálhatóa végtele elemű készletből vehet fel értékeket. Dszkrét valószíűség változó például az eg műszak alatt gártott selejtes termékek száma. Lehetséges értéke (,,,..., N) véges sorozatot alkotak, ahol N az eg műszak alatt gártott termékek száma. Valamel gártó gépsor eg műszak alatt üzemzavaraak száma szté dszkrét valószíűség változó. Az üzemzavarok lehetséges száma elvleg em korlátozott, s ha a ago ag számokhoz gakorlatlag elhaagolható (ge kcs) valószíűségeket redelük, az üzemzavarok lehetséges száma végtele sorozatot alkot. Ha a valószíűség változó a valós számok foltoos sokaságáak értéket vehet fel, foltoos valószíűség változóról beszélük. Foltoos valószíűség változó pl. az acéltermék szakítószlárdsága, vag a polmer sűrűsége. A dszkrét valószíűség változó sűrűség- és eloszlásfüggvée Képzeljük el, hog eg pézérmét -szer földobuk. Az -a) ábrá látható p(x) sűrűségfüggvé tű az eges x = k értékekél aak valószíűségét mutatják, hog a földobás eredmée éppe k-szor fej: pk P x k. (.).8.4. p(x) x -a) ábra. Dszkrét valószíűség változó sűrűségfüggvée A p(x) sűrűségfüggvé tulajdosága: 3

3 p x mde x hele; p x. (.) A szummázás az összes x elemre végzedő. Szokás a kumulált valószíűségeket s ábrázol, ezt eloszlásfüggvéek evezk. Az -b) ábra szert F(x) eloszlásfüggvé értéke az x = k hele azt mutatja, hog a fej eredméű dobások száma mle valószíűséggel lesz dobásból legföljebb k: Fk Px k px. (.3) x k F k P x k p x kovecó s előfordul. Az rodalomba az. x k.8.6 F(x) x -b) ábra. Dszkrét valószíűség változó eloszlásfüggvée A foltoos valószíűség változó sűrűség- és eloszlásfüggvée Ábrázoljuk a kokrét mtavétel sorá kapott értékeket ola derékszögű koordátaredszerbe, amelek abszcsszájá a valószíűség változót osztálokba soroltuk. 4

4 .5 rel. gak.4.3. f(x) ábra. Hsztogram és sűrűségfüggvé A x tervallum az osztál szélessége, x pedg az osztál közepe, az ú. osztáldex. Az tervallumok mdegke fölé téglalapot rajzoluk úg, hog a téglalapok területe az tervallumokbel előfordulások relatív gakorságával (/N), lege aráos (-. ábra). Ez az ú. relatív gakorság hsztogram. Ha egre több mérést végzük és fomítjuk az osztálszélességet, az f x valószíűség-sűrűségfüggvét kapjuk, amelet az ábrá foltoos voal jelöl. A sűrűségfüggvé értelmezése Aak valószíűsége, hog az x foltoos valószíűség változó a és b között értéket vege föl (-3. ábra): b P a x b f x dx. (.4) a f(x) x a b x -3. ábra. A foltoos valószíűség változó sűrűségfüggvééek értelmezése 5

5 Mvel x foltoos valószíűség változó, cs értelme eg-eg érték valószíűségéről beszél, ugas Px x Az (bár ez em lehetetle esemé). f x sűrűségfüggvé tulajdosága: f x - x, vags f x értéke em lehet egatív, f x dx, vags az egész görbe alatt terület egség. Ábrázoljuk a kumulált relatív gakorságokat (aak relatív gakorságát, hog a valószíűség változó x vag aál ksebb értékeket vesz fel) x függvéébe (-4. ábra). Itt, ha egre több mérést végzük, az eloszlásfüggvét kapjuk, ezért az előbb kumulált relatív gakorság hsztogramot, ll. adatat tapasztalat eloszlásfüggvéek s evezk. Az eloszlásfüggvé a sűrűségfüggvé tegrálja (l. az -5. ábrát): x F x P x x f x dx. (.5) A sűrűség-, ll. eloszlásfüggvé alakjáak és paramétereek smerete jelet a sokaság smeretét. kum.rel.gak F(x) ábra. Foltoos valószíűség változó kumulált relatív gakorság hsztogramja és eloszlásfüggvée x F(x) F(x ) x -5. ábra. A foltoos valószíűség változó eloszlásfüggvééek értelmezése x 6

6 Paraméter és statsztka A sokaságra voatkozó valószíűség-sűrűség-, ll. -eloszlásfüggvé kostasa, ll. ezek származéka (mometumok stb.) a paraméterek. A méréssel (mtavétellel) ezek értékeről, azaz a sűrűség- és eloszlásfüggvéről akaruk formácót szerez. A paraméterek aalogoja a mta jellemző vag más éve statsztkák. A paraméterek a sokaság tulajdosága, míg a jellemzők (statsztkák) a mtáé. A legfotosabb paraméterek és statsztkák (jellemzők) Várható érték A várható érték defícója foltoos valószíűség változó eseté: Ex ahol xf xdx, (.6) f x a sűrűségfüggvé. Dszkrét valószíűség változóra: x px E x. (.7) A várható érték a sokaság tulajdosága, tehát paraméter. A mtára a várható értékkel aalóg statsztka a számta átlag: x N N x. (.8) A valószíűség változó függvééek várható értéke Ha (x) az x foltoos valószíűség változó egértékű valós függvée, (x) várható értéké a következő kfejezést értjük: E x x f xdx. (.9) c, ahol c kostas. Ha x, x,..., x valószíűség változók (pl. eg veedő mta eleme), a defícóból belátható, hog Eek alapjá köe belátható, hog Ecx cex, és Ec E x x x E x E x E x. (.) Medá A medá az az érték, amelél agobbat a valószíűség változó ugaola valószíűséggel vesz fel, mt ksebbet (-6. ábra). A medát e -vel jelölve ez a következőt jelet: F. 5. (.) e A tapasztalat medá a agság szert redezett mtaelemek közül a középső. Páros mtaelemszám eseté a két középső érték számta átlaga. 7

7 .75 módusz.3 = e = ábra. Módusz, medá, várható érték Módusz A módusz a valószíűség változó legagobb valószíűségű értéke (a sűrűségfüggvé maxmumhele). Eg eloszlásak több módusza s lehet. A tapasztalat módusz a legagobb gakorságú osztál (a hsztogram legmagasabb téglalapjáak) osztáldexe. Ha több móduszt találuk, általába több sokaság összekeveredésére gaakodhatuk. Egcsúcsos szmmetrkus eloszlás esetébe a módusz és a medá egbeesk a várható értékkel, aszmmetrkus esetbe em (-6. ábra). A varaca defícója Az x foltoos valószíűség változóra: Var x x E x f x dx E x. (.) Dszkrét valószíűség változóra: Var x x E x p x E x, (.3) azaz a várható értéktől való eltérés égzetéek várható értéke. Szokás (a magar elvű szakrodalomba s) a következő jelölés: D (x). Megjegzedő, hog a magar szakrodalomba a varaca helett a szóráségzet elevezést haszálják. Az elmélet és a tapasztalat szóráségzet megkülöböztetése végett tartottuk szükségesek, hog kövükbe más kfejezést haszáljuk. A varaca a sokaság tulajdosága (ezért paraméter), a sűrűségfüggvé szélességét adja meg. A defícó alapjá köe belátható, hog Varcx c Var x, (.4) és függetle x, x,.., x valószíűség változókra (mt pl. eg mta elemere): Var x x x Var x Var x Var x. (.5) 8

8 A varaca mtabel aalogoja a szóráségzet (más éve tapasztalat szóráségzet vag korrgált tapasztalat szóráségzet): s x x. (.6).. A legfotosabb dszkrét eloszlások Számos dszkrét eloszlás smeretes, közülük számukra most a bomáls és a Posso-eloszlás a legfotosabbak. A bomáls eloszlás Dobjuk föl eg pézérmét -szer. Lege p aak valószíűsége, hog eg földobás eredmée fej lege (ez hbátla érméél.5). Aak valószíűségét, hog a sorozatba éppe x lege a fej dobások száma, a következő sűrűségfüggvé adja meg: p x x p x p x. (.7) Általáosabba a bomáls eloszlás akkor haszálható, ha a vett mta eleme kétféle lehet. A gártmá- vag gártáselleőrzésél p a sokaságbel (tételbel) selejtará, x az elemű mtába talált selejtes darabok száma. Szükséges, hog a mtavétel vsszatevéssel törtéjék, vags a k-adk mtaelem ugaola eséllel lege selejtes, mt a k+-edk. Természetese a gakorlatba em szokás a vett mtaelemeket vsszate, ekkor a bomáls eloszlás csak közelítés, amel N eseté teljese jogos. A bomáls eloszlású valószíűség változó várható értéke és varacája: E x p, (.8) Var x p p. (.9) Ha a talált selejtes darabok száma helett a mtabel selejtarát tektjük valószíűség változóak, eek várható értéke és varacája: E x p, (.) Var x p p. (.) A mtabel selejtará s dszkrét valószíűség változó, bár lehetséges értéke em egész számok. Például elemű mtába a talált selejtará lehet, /, / s..t. A Posso-eloszlás Rtka eseméek eloszlásáak modellezésére haszálható, pl. a rtká előforduló selejtes darabok tételekét száma, a műszakokét foalszakadások száma, az üzem 9

9 balesetek száma évete, a festés hbahelek száma eg autó stb. A mőségbztosításba elsősorba a termékegsége előforduló hbák eloszlásáak modellezésére haszálják. Aak feltétele, hog a rtka esemé valamel dő-tervallumbel, vag adott egségbel előfordulásaak száma Posso-eloszlást kövesse: a) bármel egségbe bekövetkező eseméek függetleek kell lee a több egségbeltől; b) az esemé bekövetkezéséek valószíűsége bármel egségbe azoos, és aráos az egség méretével; c) aak valószíűsége, hog két vag több előfordulás következk be eg egségbe, az egség méretéek csökketésével ullához tart. Ha a bomáls eloszlásál a p paraméter ge kcs (p), a mtaelemszám pedg ge ag (), de közbe az p = szorzat véges kostas ( ), a valószíűség változó Posso-eloszlású lesz. A Posso-eloszlású valószíűség változó sűrűségfüggvée: e p x x. (.) x! Várható értéke és varacája: Ex Var x. (.3).3. A legfotosabb foltoos eloszlás: ormáls eloszlás A természetbe akkor találkozuk ormáls eloszlással, ha sok, egmástól függetle, egekét ks hatású téező hatása összeadódk. Ematt a közvetleül mért, véletleszerű gadozásokat mutató adatok (tömeg, hőmérséklet stb.) jó közelítéssel ormáls vag Gauss-féle eloszlású sokaságból vett mtáak tekthetők. A Gauss-eloszlás sűrűség- és eloszlásfüggvée: f x F x x exp, (.4) x x exp dx. (.5) A ormáls eloszlású valószíűség változó várható értéke és varacája: E x, (.6) Var x. (.7) A ormáls eloszlás szokásos rövd jelölése N(, ), pl. N(, ). Ha az eloszlásfüggvé értéket táblázatba akarák foglal, háromdmezós táblázatra lee szükség, mvel F(x) az x változó kívül a és paramétereket s tartalmazza. Célszerű tehát traszformácót keresük.

10 Normalzált (stadardzált) ormáls eloszlás: u-eloszlás Defáljuk a következő valószíűség változót: x u. (.8) Az új valószíűség változó paramétere: Eu E x E x, (.9) Varu Var x Var x. (.3) A két paraméter felhaszálásával a ormalzált (stadardzált) ormáls eloszlás sűrűségfüggvée: f u u exp. (.3) Mthog a sűrűségfüggvébe egetle paraméter sem szerepel, a ormalzált ormáls eloszlás eloszlásfüggvééek értéke ksméretű táblázatba foglalhatók (Függelék I. táblázat). E táblázat adata bármle paraméterű ormáls eloszlásra haszálhatók a traszformácós képlet alkalmazásával. Aak valószíűsége, hog a N(, ) eloszlású x valószíűség változó em haladja meg a értékét, a következő tegrállal adható meg: a dx du Fua P x a F a ahol u a a. a u x u exp exp, (.3) A P x a valószíűség értékét az -7a) ábrá a voalkázott terület mutatja. A kettős vízsztes skála szemléltet a traszformácót. Az -7b) ábra az eloszlásfüggvéel magarázza ugaezt.

11 f(x) a u a x u -7a) ábra. Stadardzált ormáls eloszlású valószíűség változó sűrűségfüggvée F(x) F(a) a x u a -7b) ábra. Stadardzált ormáls eloszlású valószíűség változó és eloszlásfüggvée Tehát aak valószíűsége, hog x a, megegezk aak valószíűségével, hog a u ua. -. példa Határozzuk meg aak valószíűségét, hog az x ormáls eloszlású valószíűség változó a, tervallumba eső értéket vesz fel! P x F F Az összefüggést az -8a) és b) ábrák szemléltetk.

12 f(x) P(x - ) P(x) - + x - -8a) ábra. A ormáls eloszlású valószíűség változó, tervallumbel előfordulásáak valószíűsége a sűrűségfüggvée szemléltetve F( P(-x+) F(-) - + x - -8b) ábra. A ormáls eloszlású valószíűség változó, tervallumbel előfordulásáak valószíűsége az eloszlásfüggvée szemléltetve u fölsõ u alsó A Függelék I. táblázatából F Belátható, hog mvel f x szmmetrkus függvé és F, F a Fa. Íg F F P x ; P.683, azaz a valószíűség 68.3 %. 3

13 Hasoló számítással adódk: tervallum szélessége 3 P példa Határozzuk meg, hog eg N, ormáls eloszlású valószíűség változó értéke mle szmmetrkus tervallumba vaak 95 %-os, ll. 99 %-os valószíűséggel! Határozzuk meg először az u ormalzált ormáls eloszlású változó alsó és felső határértékét! Lege aak valószíűsége, hog az érték az adott tervallumo kívül esk; szmmetrkus sűrűségfüggvéről lévé szó, / aak valószíűsége, hog balra, ll. jobbra kesk az tervallumból (-9. ábra): A Függelék I. táblázatából / u f(x) / / x alsó x fölsõ u -u / -u / -9. ábra. Az u-eloszlású valószíűség változó valószíűségű tervalluma Térjük vssza az eredet x valószíűség változóra és határozzuk meg a kérdéses tervallumot! Tehát x u/ ; x u/. alsó fölsõ 4

14 .5. xalsó xfölső Eloszlások közelítése Gakra célszerű külööse ha em számítógéppel számoluk eges ehezebbe számítható vag kezelhető eloszlásokat másokkal közelíte. A következőkbe bemutatjuk a szokásos közelítéseket, alkalmazásuk feltételet és módját. (A számítógépek alkalmazásával e közelítések jeletősége csekélebb.) A bomáls eloszlás közelítése Posso-eloszlással Ha p kcs (p.) és ag, a = p paraméterű Posso-eloszlás jó közelítés. Természetese aál jobb a közelítés, mél agobb az mtaelemszám, és mél ksebb a p paraméter értéke. A bomáls eloszlás közelítése ormáls eloszlással A ormáls eloszláshoz aál közelebb va a bomáls eloszlás, mél agobb, és mél távolabb va p a és szélső értékektől, potosabba p szükséges. A közelítés em megfelelő a várható érték körül 3 (vags p 3 p p ) tervallumo kívül sem (Motgomer, 99). Ez azt jelet, hog jó a közelítés a várható érték köréké, de em alkalmas a várható értéktől való ag eltérések ks valószíűségéek (tehát a sűrűségfüggvé farok-területéek) számítására. A közelítés: Px k pk k p p k p k k exp. (.33) p p p p A Posso-eloszlás közelítése ormáls eloszlással Mvel a Posso-eloszlás közel rokoságba va a bomálssal, az utóbb pedg jól közelíthető a ormáls eloszlással, kézefekvő, hog va a paraméterek ola tartomáa, amelbe a Posso-eloszlás s jól közelíthető a ormáls eloszlással. Ez a, még bztosabba a 5 tartomába télegese megvalósul: a Possoeloszlású valószíűség változó helettesíthető eg várható értékű és varacájú ormáls eloszlással: e P x k pk x x exp x!. (.34) 5

15 . A statsztka következtetés Az. fejezetbe láttuk, hog az eloszlás smeretébe képet alkothatuk a folamat eredmééről, pl. a selejtaráról, vag arról, mle valószíűséggel kapuk adott tűréshatárok között méretű alkatrészeket. A valóságba a folamat (az eloszlás) paramétere smeretleek, ezért a matematka statsztka módszerevel következtetük a mta statsztka jellemzőből a sokaság eloszlásáak paraméterere. A következtetések két fő módszere va: a becslés és a hpotézsvzsgálat. Ebbe a fejezetbe e módszerekek a mérés adatok feldolgozása és a mőségszabálozás szempotjából elsődlegese fotos voatkozásat smertetjük... A mta statsztka jellemző Ebbe az alfejezetbe áttektjük a véletle mta statsztka jellemzőek eloszlását és a sokaság paraméterevel való kapcsolatukat. A mta akkor haszosítható statsztka következtetésre, ha véletle mta. A véletleszerűség tt azt jelet, hog a mtavétel sorá em érvéesítük szádékosságot, íg pl. eg véges sokaság bármel eleméek egforma eséle va arra, hog kválasszuk. A véletle mtából statsztka jellemzőket számoluk k (pl. átlag, szóráségzet, selejtará), meleket statsztkákak s evezük. Ha smerjük a sokaság eloszlását (az eloszlás típusát és paraméteret), megkaphatjuk a mtabel jellemzők eloszlását s. Általába célszerű az adatokat ábrázol, mert rögtö képet alkothatuk az eloszlás jellegéről. A vzuáls beomás sugallja az elvégzedő statsztka vzsgálatokat s. 6

16 Max = 63 M = 37 75% = % = 44.8 Meda = % 5% % 5% % 5% 3% rel. g ak. a) b) -. ábra. a) Dobozos ábra és b) hsztogram szmmetrkus eloszlásból vett mtára A mtabel adatatok grafkus megjeleítéséek egk elterjedt módja a dobozos ábra (box-plot ll. box-ad-whsker plot). A -a) ábrá 5 elemű mta dobozos ábráját mutatjuk be, a mellette lévő -b) ábrá pedg ugaeek a mtáak a gakorság hsztogamját láthatjuk. A -a) ábrá a vízsztes voalak a szélső értékekg tartaak, ha cs kugró érték. A dobozba lévő égzet a tapasztalat medá (amél ksebb és agobb értékeket egforma gakorsággal vesz föl a változó, az ábrá értéke 5.). A mmum és a doboz alsó voala által határolt tervallumba (37; 44.8) va az adatok 5%-a (alsó kvartls: Q). Ugacsak az adatok 5%-a található a doboz fölső voala és a maxmáls érték között tartomába (54.6; 63, fölső kvartls: Q3). A bemutatott ábrázolás jól haszálható tetszőleges eloszlású sokaságból vett mta ábrázolására, mvel az le ábrázolásál köe észlelhető az eloszlás esetleges aszmmetrája s. Erre látuk példát a -a) ábrá, a -b) ábra pedg a mtabel adatok relatív gakorság hsztogramját mutatja. 7

17 Max = 5 M =. 75% = 7.6 5% =. Meda = 4.4 kesõ % 5% % 5% % 5% rel. g ak. a) b) -. ábra. a) Dobozos ábra és b) hsztogram aszmmetrkus eloszlásból vett mtára A dobozos ábrák egszerűe elkészíthetők, a hsztogramokkal elletétbe vszolag ks elemszámú mtára s haszálhatók.... A számta középérték A számta középérték defícója Képzeljük el eg tetszőleges eloszlású sokaságból vett elemű mtát! Elemeek számta középértéke: x x x... x x, (.) ahol x, x,..., x a valószíűség változók, a mta eleme; x természetese maga s valószíűség változó. Mvel a mta eleme ugaazo alapsokaságból származak, várható értékük ll. varacájuk azoos. A számta közép várható értéke: Ex E x E x E x E x E x. (.) A számta középérték varacája: Var x Var x +Var x Var x Var x Var x. (.3) 8

18 Látható, hog a számta közép várható értéke azoos a mta eg eleméek várható értékével, varacája pedg az eg elem varacájáak -ed része, bármféle eloszlású sokaságból vett mtáról lege s szó. -. példa Ha eg = várható értékű és. 5 varacájú sokaságból = 5 elemű mtát veszük, mle tervallumba lesz a mtaelemek átlaga 95% valószíűséggel? Hoga vszolk ez a tartomá ahhoz az tervallumhoz, amelbe a mtaelemek 95% valószíűséggel veszek föl értékeket? P u / x u / / / A Függelék I. táblázatából =.5 valószíűséghez u / 96.. P / 5 x / 5 P x , vags az átlag a véletle gadozás következtébe 9.56 és.44 között értékeket vesz föl 95% valószíűséggel. Az eged értékekre a 95% valószíűségű tervallum: P x , P9. x átlag. átlag alsó átlag fölsõ f(x).8 x alsó x fölsõ.4 eged ábra. Eged érték és átlagérték sűrűségfüggvée és 95%-os valószíűséghez tartozó tervalluma Az eged értékekre az gadozás tervalluma jóval szélesebb. A -3. ábra mutatja ormáls eloszlás eseté az egetle mtaelem és az ötelemű mta átlagáak sűrűségfüggvéét. x... A cetráls határeloszlás tétel Bármle eloszlású sokaságból vett mták számta középértéke közelítőleg ormáls eloszlást követ az eredet eloszlás várható értéke körül, varacájuk pedg 9

19 /. Tehát az x N, eloszlású valószíűség változó, vags az u= x- N(, ) eloszlású. Ha az eredet eloszlás szmmetrkus, már ég elemű mtára s jó a közelítés, és általáosa egre javul a mtaelemszám övekedésével...3. A ormáls eloszlású mta szóráségzetéek eloszlása: - (kh-égzet-) eloszlás Vegük eg N, ormáls eloszlású sokaságból elemű mtát: x, x,..., x! Ezekből az u= x ormalzált ormáls eloszlású [N(, )] valószíűség változók képezhetők. A -eloszlású valószíűség változót a következőképpe kapjuk: u u u u. (.4) A égzetösszeg szabadság foká az (u, u,..., u) leárs redszer szabadság fokát értjük. A leárs redszer szabadság fokát megkapjuk, ha a változók számából levojuk a köztük lévő leárs összefüggések számát. Mvel tt a tagok egmástól függetleek, az összeadadók száma () megegezk a szabadság fokkal. Az eloszlás sűrűségfüggvée csak a paramétert tartalmazza: f, rajza a -4. ábrá látható. f( ábra. A -eloszlás sűrűségfüggvée külöböző szabadság fokhoz A Függelék II. táblázatába a külöféle valószíűségekhez és szabadság fokhoz tartozó krtkus értékek vaak feltütetve. A -eloszlású valószíűség változó várható értéke: 3. (.5) E E u E u E u Var u

20 Varacája: Var. (.6) A -eloszlás felbotás tétele (Fsher Cochra-tétel) Lege fölbotva k számú kfejezés összegére a szabadság fokú -eloszlású égzetösszeg: u Q Q Q j Qk, (.7) ahol a Q j -k (j = k) maguk s N(, ) eloszlású valószíűség változók leárs kfejezéseek égzetösszege j szabadság fokkal. Ekkor aak szükséges és elégséges feltétele, hog a Q j égzetösszegek függetleek és j paraméterű - eloszlásúak legeek az, hog a Q j égzetösszegek j szabadság fokok összege egelő lege a bal oldalo álló égzetösszeg szabadság fokával: k j j. (.8) Például: legeek az x valószíűség változók ormáls eloszlásúak, várható értékkel és varacával; ekkor x. (.9) A közös -tel mdkét oldalt szorozva eloszlású kfejezést kapuk: x x x x x x x, (.) ugas x xx x x x, (.) mert x x x x. A kdulás égzetösszeg eloszlású szabadság fokkal, az algebra felbotás utá kapott Q és Q kfejezések s eloszlásúak leszek, ll. szabadság fokkal és egmástól függetleek. A Q eltérés-égzetösszeg szabadság foka azért, mert számú összeadadót tartalmaz uga, de ezek közül csak függetle, ugas x x, 3

21 ezért az x x x x x x összefüggés érvées közöttük. Ne hggük, hog a felbothatóság feltétele mdg teljesül! Például a következő felbotás eseté em: x x x x x x,, 3 Az első égzetösszeg szabadság foka azért, mert összeadadót tartalmaz, amelek között cs kapcsolat (mvel x,, x és x között cs kapcsolat). Íg a felbotás sorá kapott három égzetes kfejezés em mdegke eloszlású, és em md függetle egmástól. A felbotás tétel megfordításakét hasoló addícós tétel s érvées.. A ormáls eloszlású sokaságból vett mta tapasztalat szóráségzetéek eloszlása A korrgált tapasztalat szóráségzet defícója: s x x (.) A (.) egeletből látható, hog a x x szabadság fokkal, várható értéke: égzetösszeg eloszlású, E x x E. (.3) A (.) egelettel defált korrgált tapasztalat szóráségzet várható értéke a varaca: E x x E. (.4) Íg a korrgált tapasztalat szóráségzet eloszlású, vag másképpe az s kfejezés -eloszlású s, szabadság fokkal. 3

22 -. példa Eg. 8 varacájú ormáls eloszlású sokaságból 8 elemű mtát veszük. a) Határozzuk meg azt az tervallumot, amelbe az s korrgált tapasztalat szóráségzet 95%-os valószíűséggel megtalálható! P s s s 95. alsó P s s P s s alsó fölsõ alsó fölsõ P alsó fölsõ fölsõ 95. Aak valószíűsége, hog alsó, lege.5, azé pedg, hog fölsõ, lege.975. = 7 szabadság fokra a Függelék II. táblázatából alsó fölsõ 6.. Íg alsó fölsõ P alsó fölsõ P s P s P. 93 s ; Vegük észre, hog a szóráségzet mle széles tartomába gadozhat, pusztá a véletle következtébe! f( ).5.5 alsó fölsõ -5a) ábra. A -eloszlás krtkus értéke b) Határozzuk meg azt az értéket, amelet s 95%-os valószíűséggel em halad meg! P s s 95 fölsõ. A II. táblázatból fölsõ 4. fölsõ P s P s Ps

23 f( ) -5b) ábra. A eloszlás valószíűséghez tartozó fölső krtkus értéke..4. t-eloszlás (Studet-eloszlás) Az u-eloszlás sokszor em haszálható, ha a mta elemszáma kcs, és cs bőséges előzetes adathalmazuk a varaca becslésére (csak ks számú smétlés szóráségzetével helettesíthetjük). Ile esetekbe alkalmazadó a t-eloszlás (-6. ábra)..4.3 f(t) ábra. A t-eloszlás sűrűségfüggvée külöböző szabadság fokhoz t Eg ormáls eloszlású valószíűség változóból a következő kfejezéssel kapuk Studet-féle t-eloszlásút: u E E t s. (.5) 34

24 Az eloszlás egetle paramétere a szabadság fokok száma,, amel a evezőbe lévő szórás égzetéek a szabadság fokszáma. Várható értéke: Et. (.6) A -6. ábrá a =, 4 és szabadság fokokhoz tartozó sűrűségfüggvéeket ábrázoltuk. Ha, a t-eloszlás közeledk a ormáls eloszláshoz. A gakorlatba a > 3 eseté a t-eloszlást ormáls eloszlással helettesíthetjük. Származzék például a t valószíűség változó az elemű mta középértékéből. A következő valószíűség változó t-eloszlású, szabadság fokkal: t= x- x-. (.7) s s/ x A Függelék III. táblázatába a külöféle valószíűségekhez és szabadság fokhoz tartozó t/ krtkus értékek vaak feltütetve. Mvel a t-eloszlás szmmetrkus, az alsó krtkus értéket t/-lel szokás jelöl. A t valószíűség változó valószíűséggel vesz föl a ( t/, t/) tervallumo kívül eső értékeket (-7. ábra). f(t) / -t / t / -7. ábra. A t-eloszlás krtkus értéke -3. példa mérés eredmée a következő: 4.46; 3.93; 5.79; 5.7; 3.8; 5.39; 6.54; 3.85; 4.9; 5.5. x ; s 894. ; s. 946 Ne feledjük, hog s em a középérték szórása, haem az eged mért értéké! Kérdés: mle tervallumba va a valód érték 95%-os valószíűséggel? x P t t t, t s, 35

25 P x t s t x t s. A III. táblázatból. 5 és 9 értékekhez t. 6. t s , Tehát a 95%-os kofdeca-tervallum: (4.9, 5.64). P F-eloszlás Lege és két, egmástól függetle, -eloszlású valószíűség változó, ll. szabadság fokkal. A következő kfejezés F-eloszlású, a számláló szabadság foka, a evezőé : F. (.8) Fgelembe véve, hog s ; s F F s s, / ; és ha, (.9) / s s. (.) Vags azoos varacájú ormáls eloszlású sokaságokból vett mták tapasztalat szóráségzeteek háadosa F-eloszlású (-8. ábra). 36

26 f(f)..75 =3; =.5 =; =.5 =; = ábra. Az F-eloszlás sűrűségfüggvée Takarékosabb táblázatot készíthetük, ha csak a fölső határt adjuk meg, az alsót ugaeze táblázatból ks számolással kapjuk. Lege F (, ) a és szabadság fokokkal jellemzett F-eloszlású valószíűség változóak az a krtkus értéke, amelet az csak valószíűséggel halad meg. Erre a következő egelőség érvées: F (, ) F F. (.) (, ) f(f) F F -9. ábra. Az F-eloszlás krtkus értéke 37

27 -4. példa Azoos módszerrel két mérés sorozatot kaptuk, amelek 4 ll. 7 mérésből állak. Mle tervallumba lehet a két mta szóráségzetéek aráa 9 % valószíűséggel? Mthog azoos módszerről va szó, a varaca változatla: A Függelék IV. táblázatából P Falsó s s Ffölsõ =.9 Ffölsõ F 5 (3, 6) = ; Falsó F. 95(3, 6) =.. F. 5( 6, 3) Az eredmé: a két szóráségzet aráa a (.; 4.76) tervallumba esk 9% valószíűséggel (-9. ábra). Látható, hog két mta szóráségzete ago külöböző lehet akkor s, ha a mögöttük álló sokaság varacája azoos... Hpotézsvzsgálat, statsztka próbák A matematka statsztkába a céluk a sokaság megsmerése (paramétereek meghatározása). Eek sorá gakra úg járuk el, hog az alapsokaságra valamle feltevéssel élük (pl. és/vag értéke) és ezt statsztka próbával elleőrzzük. Azt elleőrzzük a tételből ll. folamatból vett mták elemzésével, hog a tétel vag folamat ola eloszlású-e ll. ola paraméterekkel jellemezhető, mt azt feltételezzük. Például megvzsgáljuk, hog vízmta trát-tartalma em haladja-e meg a megegedett értéket; a selejtará em őtt-e meg stb. A próbák godolatmeete léegébe mdg ugaaz, ezért azt az u-próba smertetéséél mutatjuk be részletese.... u-próba Tegük fel, hog eg ormáls eloszlású sokaság varacájáak számszerű értéke korább vzsgálat alapjá redelkezésükre áll. Elleőrz akaruk eg, a sokaság várható értékére voatkozó hpotézst, azaz azt, hog eg meghatározott számmal, -lal egelő-e (pl. hog a gártott alkatrészek méretgadozásáak cetruma a évleges érték-e). Ezt tektjük ullhpotézsek: Lehetséges ellehpotézsek többek között: H : =. H:, vag H:,vag H:, vag H:. 38

28 Lege x, x,..., x eg, a sokaságból vett elemű mta. (Mdaddg, amíg a kokrét méréseket el em végezzük, a mtaelemek em számszerű értékek, haem valószíűség változók.). Az u-próba meete a következő: A mta elemeek számta középértékéből kszámítjuk a próbastatsztkát: x u. Az u próbastatsztka kfejezése em azoos az N(, ) eloszlású u stadardzált ormáls eloszlású valószíűség változóéval (mert helett szerepel bee), csak akkor, ha, vags ha a H ullhpotézs gaz. Általáos esetbe a következő kfejezés első tagja a defícó szert u eloszlású, a másodk tag pedg attól eltérést okoz: x x u.. Az u-eloszlás táblázata segítségével kszámítjuk, hog az u próbastatsztka ag (pl. =.95) valószíűséggel mle tervallumba esk, ha a H gaz (vags az u fötebb kfejezéséek másodk tagja zérus), ez lesz az elfogadás tartomá. Úgevezett kétoldal ellehpotézs, H : eseté ez a tartomá: P-u x u P x a a ua. 3. Megvzsgáljuk, hog a próbastatsztka kszámított értéke az elfogadás tartomába va-e. Ha a H ullhpotézs gaz, akkor u ag (pl. =.95) valószíűséggel az elfogadás tartomába u a,ua va (krtkus érték: u ), és csak ks (pl. =.5) valószíűséggel esk azo kívülre, az ú. elutasítás tartomába (l. a -. ábrá). 4. Ha u számított értékét az ( ) valószíűséghez tartozó elfogadás tartomáo belül találjuk, akkor a H ullhpotézst elfogadjuk, míg ha a próbastatsztka értéke az tervallumo kívül esk, az elutasítás tartomába, akkor elutasítjuk. Ez a dötés. Az elfogadás tartomá az a tartomá, amelbe a próbastatsztka értéket valószíűséggel fölvesz, amebe a H ullhpotézs gaz. Másképpe az a tartomá, amelbe az u próbastatsztka értéke a véletleszerű gadozás következtébe valószíűséggel lehetek. Vegük észre, hog a vzsgálat léege az u próbastatsztka kfejezése számlálójába lévő külöbség és a evezőbe szereplő gadozás összehasolítása. Ha az x és eltérése léegese meghaladja azt a mér- 39

29 téket, am még a véletle gadozással magarázható, az eltérést szgfkásak (jeletősek) evezzük. f(u) / / -u / u / u elutasítás elfogadás elutasítás 4 -. ábra. A ullhpotézs elfogadás tartomáa Az valószíűséget a statsztka próba szgfkacasztjéek evezzük. A hpotézsvzsgálat szgfkacasztjét az eredméel egütt mdg meg kell aduk, ugas az eltérés lehet szgfkás.5-os szte, de esetleg em szgfkás.-os szte. -5. példa Táramérlege ég smételt tömegméréssel határoztuk meg eg tárg tömegét. A 4 mérésből álló mta számta középértéke x 55. g. Korább mérésekből tudjuk, hog a mérés varacája = -4 g. El kell döteük, hhető-e, hog a várható érték (a tárg valód tömege) 5. g. H : = 5. g, H : (kétoldal ellehpotézs). A hpotézseket u-próbával vzsgáljuk. A próbastatsztka aktuáls értéke: u x / =.95 valószíűséget választva, a Függelék I. táblázata szert u =.96. Az elfogadás tartomá: (-.96;.96), a próbastatsztka aktuáls értéke (.5) eze kívül va, íg a H hpotézst.5-os szgfkacaszte elvetjük (az adatok elletmodaak aak, hog a várható érték 5, g). Mvel kétoldal ellehpotézst haszáltuk, az elutasítás tartomá s két részből áll (l. a -. ábrát), mdegkhez külökülö / valószíűség tartozk.

30 Az elfogadás tartomát x -ra s megadhatjuk: Behelettesítve: P u x u. a a x P x P példa Eg bzoos vegszer kg-jába legföljebb 5. g dege aag lehet. Nég elemzés eredmééek átlaga 5.5 g. Korább mérésekből tudjuk, hog a meghatározás varacája = -4 g. Eldötedő, hhető-e, hog az elemzés eredméek várható értéke (az gaz degeaag-tartalom) em haladja meg az 5 g-os határt. Lege tt s az valószíűség.5! A hpotézsek ekkor: H : 5. g, H : (jobb oldal ellehpotézs) u. 5. / 4 Botsuk az u próbastatsztka kfejezést eg bztosa u eloszlású és eg az attól való eltérést képvselő részre: 5. 5 Ex Ex 5. u A próbastatsztka kfejezéséek másodk tagja a ullhpotézs érvéessége eseté zérus vag egatív, az ellehpotézs szert poztív. Ez azt jelet, hog u eloszlása H gazsága eseté jobbra va eltolva az u-eloszláshoz képest (-. ábra). A ullhpotézst akkor utasítjuk el (az ellehpotézst akkor fogadjuk el), ha az u próbastatsztka aktuáls értéke ara ag (jobbra eltolt), hog azt a véletle csak valószíűséggel okozhatá, vags P u u H. Az u krtkus érték =.5-hoz.65, u eél agobb, tehát elvetjük a ullhpotézst. Egoldal ellehpotézs eseté csak egetle elutasítás tartomá va, tt: (u ; ). 4

31 f(u) = ábra. A jobb oldal ellehpotézs Nlvávalóa mél jobba meghaladja a próbastatsztka aktuáls értéke a táblázatból adott szgfkacaszthez vett krtkus értéket, aál jeletősebb az eltérés, aál bztosabbak lehetük a ullhpotézst elutasító dötésükbe. Az s gaz, hog mél jeletősebb az eltérés, aál ksebb -szte fogadák el a ullhpotézst. -7. példa Elfogadák-e a ullhpotézst a kétoldal alteratívával szembe, ha a -5. példába -ra.5 helett.-ot,.5-et,.-et választaák? A krtkus értékek a Függelék I. táblázatából: u Eszert már =.-es szte elfogadák ullhpotézst. Számítsuk k, hog m lee az az szgfkacaszt, amelél még éppe elfogadák a ullhpotézst, vags mle -hoz tartozó kétoldal krtkus értékkel egezk meg u aktuáls értéke (u =.5)! Ezt a valószíűséget p-vel szokás jelöl, és agsága a Függelék I. táblázata szert.6 (-. ábra). 4

32 f(x) A Függelék I. táblázatából F(.5)= f(x) p =.6+.6 = ábra. A p valószíűség szemléltetése a -7. példához.5 A p az a valószíűség, amellel a próbastatsztka a talált vag azo s túl lévő értéket vesz föl, amebe H gaz, vags pusztá a véletle gadozásak tulajdoíthatóa: Mél ksebb ez a p érték, aál ksebb a valószíűsége, hog u a véletle művekét vege föl legalább akkora értéket, amekkorát találtuk. Vags mél ksebb p valószíűség tartozk a próbastatsztka talált értékéhez, aál bztosabbak lehetük bee, hog az em a véletle következmée, haem valóságos eltérésé. A p érték meghatározása táblázatokból ehézkes, de a számítógépes statsztka programok köedé kszámítják. 43

33 ... Első- és másodfajú hba Mde statsztka próbáál kétféle hbát követhetük el: elvetjük a ullhpotézst, holott gaz, ll. elfogadjuk a hpotézst, pedg az em gaz. Ezeket első-, ll. másodfajú hbákak evezzük. Dötés: A H ullhpotézs A H hpotézst elfogadjuk elutasítjuk gaz Heles dötés Elsőfajú hba em gaz Másodfajú hba Heles dötés Aak valószíűsége, hog elsőfajú hbát követük el, éppe, ugas aak valószíűsége, hog H feállása eseté a próbastatsztka az elutasítás tartomába essék. A másodfajú hba valószíűségét eg ola H alteratív hpotézsre szokás megad, amel a H ullhpotézstől a feladat megszabta műszak szempotból már észrevehetőe külöböző állítást tartalmaz. Lege ez az alteratív hpotézs: H :. Amebe a H hpotézs helett H az gaz, az u próbastatsztka sűrűségfüggvée az u-eloszláséhoz képest a külöbség agságától függő mértékbe el va tolva: x u x A -3. ábrá az u próbastatsztka sűrűségfüggvée látható abba az esetbe, ha a H gaz ( = ll. ha H az gaz ( = Az elfogadás tartomát a ullhpotézs érvéességét feltételezve jelöljük k, hsze éppe a H elfogadás tartomááról va szó. 44

34 f(x) f(u H ) f(u H ) ( ) -3. ábra. A másodfajú hba valószíűsége Látható, hog a másodfajú hba valószíűsége aál ksebb, mél távolabb va a -től (vags agobb másodfajú hba elkövetéséek ksebb a valószíűsége). Ez azt jelet, hog mél agobb az eltérés, aál ksebb a valószíűsége, hog észrevétle maradjo. A agsága függ a próbastatsztka varacájától (a görbe szélességétől) s, tehát a mta elemszámáak övelésével tetszőlegese csökkethető. Az s látható, hog ha az elsőfajú hba megegedett valószíűségét csökketjük, ezzel a másodfajú hba valószíűségét öveljük! -8. példa Tegük föl, hog a -5. példába a valóságos várható érték H : = 5. g ; számítsuk k a másodfajú hba valószíűségét arra az esetre, amelél a H : = 5. g ullhpotézst elfogadtuk az =. szte! ( x 55. g, = -4 g, =4, az u próbastatsztka aktuáls értéke.5, u) A másodfajú hba valószíűsége aak valószíűsége, hog a próbastatsztka az elfogadás tartomába essék, pedg az ellehpotézs az gaz: P u / u u / H. H érvéessége eseté u em u-eloszlású, haem a következő helettesítés szert első tag az: x P u u / / Számszerűe: / / P u / u u /. / / 45

35 .. P 58. u 58.. / 4. / 4 P 458. u Tehát ha a próbastatsztka kszámított értéke kívül va a Függelék I. táblázatából =. szthez vehető krtkus értékek meghatározta elfogadás tartomáo, a ullhpotézst elutasítjuk. Itt az aak valószíűsége, hog elutasítsuk a ullhpotézst, pedg gaz: értékét elég kcsre választva ezt a kockázatot tetszőlegese csökkethetjük. Íg elég valószíű lesz, hog csak akkor utasítjuk el a ullhpotézst, ha em gaz. Ha az eltérést em találjuk szgfkásak (az elfogadás tartomáo belül va a próbastatsztka értéke, ezért elfogadjuk a ullhpotézst), em lehetük bztosak abba, hog a ullhpotézs gaz. Csak azt modhatjuk, hog a redelkezésre álló formácó em elegedő a ullhpotézs elutasításához. A valóságba a ullhpotézstől elég ag s lehet lekor az eltérés. Eek kockázatát éppe a másodfajú hba valószíűsége fejez k. Mél ksebb a mta formácótartalma (ks elemszám, ag szórás), aál agobb a valószíűsége, hog elfogadjuk a ullhpotézst, ha az em gaz. -9. példa Lege eg 4 elemű mta átlaga x 56., az gadozás varacája = -4. Az u próbastatsztka aktuáls értéke: u.. / 4 A táblázat mutatja három hpotézspár esetére az elfogadás tartomáokat =.5 szthez: H H elfogadás tartomá dötés = u 96. elfogadjuk 5. > u 65. elfogadjuk 5. < 65. u elfogadjuk Vags mdhárom, egmásak részbe elletmodó ullhpotézst elfogadjuk. A heles következtetés lvávalóa em az, hog mdhárom gaz, haem az, hog a mta egkek sem mod ellet. Ha az eltérés -tól agobb, pl. x 55., akkor csak a harmadk ullhpotézst ( 5. ) fogadjuk el. A másodfajú hba valószíűsége csak eg adott ellehpotézshez ( H : ) számítható k, és éppe aak valószíűsége, hog a külöbséget em veszszük észre. 46

36 Ha em eg ellehpotézs ( =) jöhet szóba, haem az alteratívák folamatos sorozata (pl., azaz az ellehpotézs összetett hpotézs, akkor a másodfajú hba valószíűsége függvé, amelek maxmuma a = hele va, ezt a próba erőfüggvééek evezk. A értéket, vags a ullhpotézs elfogadás valószíűségét szokás a külöbség függvéébe ábrázol, ezt evezk a próba működés jelleggörbéjéek (Operatg Characterstc: OC-görbe). -. példa Lege 5., = -4, =4, =.5. Ekkor az elfogadás tartomá: 96. u 96.. Számítsuk k a másodfajú hba elkövetéséek valószíűségét külöböző ellehpotézs szert várható értékekhez! Pu u / P u / u / / A képletbe szereplő két valószíűséget és agságát külöböző értékekhez a következő táblázat mutatja: - Pu u / P u / u / / Tehát ha pl. a külöbség.,.79 aak valószíűsége, hog az eltérést em vesszük észre, és a = 5. ullhpotézst hsszük gazak. 47

37 ábra. OC-görbe a -. példához Jelölje azt a külöbséget, amelet már műszak szempotból jeletősek tartuk, és ezért ag bztosággal k akaruk mutat: =. Célszerű ehhez az eltéréshez kszámíta a másodfajú hba valószíűségét, vags aak esélét, hog eg agságú eltérést a ullhpotézstől em veszük észre. Láttuk, hog az elsőfajú hba adott valószíűsége eseté a másodfajú hba valószíűsége az alteratív hpotézstől (a külöbségtől), valamt a sűrűségfüggvé szélességétől függ, mel utóbb a mérések varacájából és az smétlések számából adódk ( ). Ha megadjuk és értéket, kszámíthatjuk az elvégzedő mérések számát. A számítás meetét vzsgáljuk meg eg mtavétel példá, amel a ormáls eloszlásra épül (u-próba). Ha a ullhpotézst elfogadjuk, em kell aggód az elsőfajú hba matt; ha a ullhpotézst elutasítottuk, em kell kérdez a másodfajú hba valószíűségét. 48

38 -. példa (Hald, 965 omá) Eg aag mősége egértelműe jellemezhető a sűrűségével, melek kíváatos értéke ksebb, mt.54. A gártás sorá szerzett eddg smeretek szert a mérés potosságára jellemző varaca égzetgöke =.3. A vzsgálat meete a következő: -szer mtát veszük a mősítedő legártott tételből, mdegk mta sűrűségét megmérjük, átlagoljuk: az íg kapott átlagos sűrűség x. Ha x meghalad eg bzoos x * értéket, az adagot rosszak, ha x < x *, jóak mősítjük. Hog a jó tételt majdem mdg elfogadjuk, a rosszakat majdem mdg elutasítsuk, a következő kíváalmakat adjuk meg: a) ha.5, 99 % lege a valószíűsége, hog jóak mősítsük, b) ha.54, 98 % lege a valószíűsége, hog rosszak mősítsük az adagot. A ullhpotézst és az ellehpotézst a következőképpe fogalmazhatjuk meg: H : =.5 (a tétel jó); H : =.54 (a tétel rossz). Az elsőfajú hba megegedett valószíűsége =., a másodfajú hbáé =.. A kmutatadó, jeletősek mősítedő külöbség: =.4. A feladat: határozzuk meg a veedő mták számát és az x * határértéket. -u u -5. ábra. Krtkus értékek az első- és másodfajú hbához Fejezzük k azt az x * határt, amelet x valószíűséggel em halad meg, ha H gaz (-5. ábra alsó része): 49

39 * P u u H P x u P x x H. Másodfajú hbát akkor követük el, ha H az gaz ( 54. ), de mvel u u, elfogadjuk a H hpotézst (hog 5. ). Eek valószíűsége: Pu u H Px x H P x * * x. x Ha a H ellehpotézs gaz, az valószíűség változóak va u-eloszlása, / amel az alsó ( u ) krtkus értéket valószíűséggel haladja meg lefelé (-4. ábra fölső része). Tehát P x u. / A két kfejezésébe szereplő határt egelővé téve: u * x u u. Ebből a kmutatadó külöbség: = ( u u ), vags u u. Esetükre a Függelék I. táblázatából u. 36, u. 54, íg =.8 és x * =.5. Ez azt jelet, hog mde adagból elemű mtát kell ve és akkor fogadható el a tétel, ha a sűrűségek átlagértéke.5-él ksebb próba a varaca vzsgálatára A próba ormáls eloszlású sokaság smeretle varacájára voatkozó ullhpotézs elleőrzésére szolgál. Tételezzük fel, hog eg ormáls eloszlású sokaságból elemű mtát veszük. A mta szóráségzete (s ) segítségével vzsgáljuk meg, hog a sokaság varacája megegezk-e a értékkel: H :. Az ellehpotézs lege az, hog a varaca agobb, mt : A ullhpotézst eszert potosítva: H :. 5

40 H :. Ha H gaz, akkor a következő kfejezés eloszlású, s. szabadság fokkal: pró- A próbához szgfkacasztet választva, aak valószíűsége, hog a bastatsztka aktuáls értéke az elfogadás tartomába esk, : értékét és P s. függvéébe a Függelék II. táblázata tartalmazza. A H ullhpotézst tehát elfogadjuk, ha s s ( ) (-6. ábra). ( ), elutasítjuk, ha f( ) elfogadás elutasítás -6. ábra. A -próba krtkus értéke Ha a H hpotézs gaz, vags, kcs () aak valószíűsége, hog a próbastatsztka meghaladja a krtkus értéket. Ha az ellehpotézs az gaz, a próbastatsztka eloszlású, és mvel, általába -él agobb értéket vesz föl. Mdeesetre eg ks -ál agobb a valószíűsége aak, hog -tól jobbra eső értékeket vege fel, tehát a H : ellehpotézs jobb oldal ellehpotézs. -. példa Normáls eloszlásból vett elemű mta szóráségzete s Elleőrzzük. 5-os szgfkacaszte, hog elfogadható-e az az állítás, mel szert a 5

41 sokaság varacája em agobb, mt 4.. Ellehpotézsük lege az, hog a varaca agobb, mt 4.. A : 4. H : 4. H próbastatsztka aktuáls értéke: s A Függelék II. táblázatából =.5-os szgfkacaszthez eseté Mvel a próbastatsztka értéke ezt a határt em haladja meg, a H ullhpotézst =.5 szgfkacaszte elfogadjuk. Ha a H ellehpotézst megváltoztatjuk, és a H ullhpotézst a bal oldal ellehpotézs, azaz a H : elleébe vzsgáljuk, az elutasítás és az elfogadás tartomát a -7. ábra mutatja. f( ) elfogadás elutasítás -7. ábra. Elfogadás és elutasítás tartomá a bal oldal ellehpotézshez Azt, hog most jelet az elutasítás tartomát, vags alsó krtkus határt kell kjelölük, köe megértjük, ha meggodoljuk, hog H feállása eseté a próbastatsztka kfejezésébe a varaca valód értékéél agobb számmal, -tel osztuk, ezért az lesz. -3. példa 5

42 Oldjuk meg a -. példát H : 4. esetére! A II. táblázat jelölésevel = szabadság fokhoz az alsó krtkus határ: A próbastatsztka kszámított értéke., íg ebbe az esetbe s az elfogadás tartomába esk. Az előbb két godolatmeetük utá az olvasó köe értelmezhet a H : kétoldal ellehpotézst...4. Két szóráségzet összehasolítása (F-próba) Két, ormáls eloszlású sokaságból vett függetle mta szóráségzetéek összehasolításával el kell döteük, hog a mták mögött álló sokaságok varacá megegezek-e. Amebe a két varaca azoos, a szóráségzetek aráa F- eloszlású, vags a ullhpotézs: H : A próbastatsztka s s F F, s s. Látható, hog az F próbastatsztka csaks akkor F eloszlású, ha a varacák egelők, ellekező esetbe a háados értékétől függőe lefelé, vag fölfelé eltér tőle. Egoldal ellehpotézs eseté pl. H :. Akkor utasítjuk el a ullhpotézst, és fogadjuk el az ellehpotézst, ha s / s F. Kétoldal ellehpotézs eseté: H :. Akkor utasítjuk el a ullhpotézst, és fogadjuk el az ellehpotézst, ha s F -a/ s vag s s F a/. A kétoldal próba gakorlat kvtelezésekor célszerű, ha a tört számlálójába a agobb értékű szóráségzetet írjuk, vags s / s Ilekor elég az elfogadás tartomá fölső határát elleőrz, mert ha s / s F (, ), akkor egúttal bztosak lehetük abba, hog / A számítógépes programok elterjedésével eek jeletősége egre csökke, mvel em szoruluk az F-eloszlás kzárólag F > értékeket tartalmazó táblázataak haszálatára. 53

43 s / s F (, ), ha s s. / Ez azt s jelet, hog az említett kovecót követve elvégzett próbához em /, haem / = szgfkacaszt tartozk (íg a 95 %-os egoldal szt megfelel a 9 %-os kétoldal sztek). -4. példa Eg vzsgálatot két mérés módszerrel (A és B) lehet elvégez. Az A elemzéssel, a B elemzéssel 8 mtát vzsgáltak meg. A tapasztalat szóráségzet az első esetbe s A. 44, a másodk esetbe s B. 3 volt. Állapítsuk meg, va-e a két módszer smételhetősége között külöbség! s s B A H : A B ; A Függelék IV. táblázatából az a krtkus érték, amelet az F-eloszlású valószíűség változó 95 % valószíűséggel em halad meg, ha a számláló szabadság foka 7, a evezőé pedg : F,95 (7, ) = 3.. Mthog a kovecó szert a agobb szóráségzetet írjuk a számlálóba, ez a felső határ 9 %-os kétoldal sztek felel meg. Mvel sb s A F, a ullhpotézst elfogadjuk, és azt modjuk, hog a két módszer smételhetősége %-os szte em külöbözk egmástól szgfkása...5. A t-próba Az u-próba haszálatához smerük kell a sokaság varacáját. Ez csak ge agszámú korább mérésből lehetséges, am a gakorlatba legtöbbször em áll redelkezésre. Láttuk a t-eloszlás bemutatásakor, hog az az u-eloszlással roko, tőle éppe abba külöbözk, hog a legtöbbször smeretle varaca helett bee az s szóráségzet szerepel Egmtás t-próba Az egmtás t-próba hasoló az u-próba előbb smertetett változatához. Aak vzsgálatára alkalmas, hog a várható érték külöbözk-e eg adott értéktől; csak az u- próbáál haszált, de általába smeretle varaca helett a t-próbáál a kszámítható tapasztalat szóráségzet szerepel. Tehát a ullhpotézs: H : = ; vag másképpe: H : Az ellehpotézs a kétoldal változatál: 54. H : ; vag másképpe: H :.

44 A próbastatsztka: t x. s..5.. Kétmtás t-próba A kétmtás t-próbáál két, egmástól függetle mta mögött álló sokaság várható értékéek külöbözőségére voatkozk a ullhpotézs (pl. H : = ). A statsztka próba elvégzéséhez smert a két mta elemszáma ( és ), valamt szóráségzetük ( s és s ). Tételezzük fel, hog a két sokaság varacája megegezk. Ezt a..4. potba smertetett F-próbával elleőrz kell! Vezessük be eg új valószíűség változót: d x x. (.) A d eloszlása s ormáls, paramétere: E d = E x x E x E x Var d = Var x x Var x Var x, (.3). (.4) Eg, a d-től függetle valószíűség változó, s d a következőképpe származtatható: s s d. (.5) A képletbe s a két mta szóráségzetéből egesítéssel adódk: s s s. (.6) + - A következő kfejezés t-eloszlású, szabadság fokkal: t= d E d d E d sd s A ullhpotézs: H : =, ekkor E d. A próbastatsztka tehát: t = d - sd s d. (.7),. (.8) 55

45 Amebe az íg kszámított próbastatsztka t-eloszlású, vags értéke a t alsó és a t fölső küszöbérték között va ( ta/ t t a/ ), azt modhatjuk, hog a két átlagérték külöbözősége szte em szgfkás. Az s egesített szóráségzet haszálata előösebb, mt ha s d kszámítására csak s -et vag csak s -et haszálák, mert szabadság foka agobb, íg a Függelék III. táblázatába hozzá ksebb krtkus érték tartozk. Az tt leírt vzsgálat: t-próba két mta középértékéek külöbözőségére. -5. példa Eg gépről két külöböző apo lekerülő alkatrészekből mtát vettek, az alkatrészek tömegére a következőket kapták: 56 = x = 5. g s. g ; = 5 x g s 5. g. Külöböző-e a két apo a gártott alkatrészek tömegéek várható értéke 5 %-os szgfkacaszte? Először F-próbával elleőrzzük azt a hpotézst, hog a két mta azoos varacájú sokaságból származk. s. F. 333 s. 5 A számláló szabadság foka 9; a evezőé 4. A Függelék IV. táblázatából az a krtkus érték, amelet az F-eloszlású valószíűség változó 95 % valószíűséggel em halad meg, ha a számláló szabadság foka 9, a evezőé pedg 4: F,95 (9, 4) =.65. Mvel s s F, a ullhpotézst elfogadjuk. d =. g; s ; 3 s ;. t = = A t-eloszlás krtkus értéke a Függelék III. táblázatából 3 szabadság fokhoz (. 5): t =.69. A próbastatsztka értéke a krtkus határt meghaladja, tehát a ullhpotézst elutasítjuk: a két ap között külöbség 5 %-os szte szgfkás. Kérdezhetjük, hog adott mtaelemszámmal mekkora külöbséget tudák kmutat. Amt kszámolhatuk, hog az smétlések varacájához képest mekkora a kmutatható eltérés:

46 , ahol Például ézzük meg, hog mdkét mtába 3 smétlés eseté mekkora a? A Függelék IX. táblázatába találjuk a értékeket =.5 és =. hbavalószíűségekhez. Az oszlopokba va az összehasolítadó csoportok száma (a kétmtás t-próbáál ez ), a sorokba az smétlésszám, ez most 3. A érték a táblázatból 3.544, am azt jelet, hog az smétlések szórásáak több mt háromszorosát ktevő külöbséget tuduk csak kmutat, ha mdkét mta 3 elemű. Nézzük most meg, mekkora mták szükségesek, ha a kmutat kívát külöbség a varaca égzetgökével egezk meg ( =.). Ehhez a táblázat szert a két mtába 9-9 adatra va szükség. Ha a kétmtás t-próba végrehajtása sorá a..4. potba smertetett F-próba arra az eredmére vezet, hog em fogadható el a feltevés, az tt smertetett kétmtás t-próba em alkalmazható, helette a következő próbastatsztkát haszáljuk (Welch-próba): t = x x s s. (.9) A H hpotézs feállása eseté ez a t statsztka közelítőleg Studet-eloszlású, paraméterrel, ahol : s / s / s / s / s / s /. (.3) A (.3) kfejezéssel számított szabadság fok jellemzőe em egész szám, de ez a számítógépes programokkal köe kezelhető Páros t-próba A t-próba harmadk változata az ú. páros t-próba. Lege x és két ormáls eloszlású valószíűség változó, mt például eg oldatsorozat két külöböző elemzés módszerrel mért eredmépárja, vag számú goló két külöböző mérőeszközzel mért átmérőadatpárja, vags a két mta em függetle egmástól, vszot a méréskor elkövetett véletle hbák egmástól függetleek. A ullhpotézs: H : Ex E. Vezessük be eg d valószíűség változót a következő defícóval: d x. (.3) 57