Tapasztalati eloszlás. Kumulált gyakorisági sorok. Példa. Értékösszegsor. Grafikus ábrázolás

Átírás

1 Matemata statszta elıadás III. éves elemzı szaosoa 009/00. élév. elıadás Tapasztalat eloszlás Mde meggyeléshez (,,, ) / súlyt redel. Valószíőségeloszlás! Mtaátlag éppe ee az eloszlása a várható értée. Tapasztalat eloszlás eloszlásüggvéye: tapasztalat eloszlásüggvéy: F (lépcsısüggvéy). F (z)=/, ( ) ( ) ha () 0 =-, () = < z Ha a mta X,X,,X valószíőség változó-sorozat, F (z) s valószíőség változó. Példa Kumulált gyaorság soro a/ ormáls eloszlás özelítése, = z a/ ormáls eloszlás özelítése, = z Táblázatos megelelıje a tapasztalat eloszlásüggvéye: megadja, hogy az adott osztályöz elsı határáa megelelı és aál sebb értée háyszor (ll. mlye aráyba) ordula elı. Lehet leele s umulál: az adott osztályöz alsó határáa megelelı és aál agyobb értée háyszor (ll. mlye aráyba) ordula elı. Értéösszegsor Az osztályohoz az azoba tartozó meggyelése smérvértéee az összegét redel Ha a gyaorság sor osztályözöel va megadva és csa a megoszlás smert, aor becsüljü (osztályözép és gyaorság szorzata). Lehet relatív értéösszegsort s épez (a teljes értéösszeggel elosztva az osztályo értéösszegét) Graus ábrázolás Oszlopdagram: a gyaorságoal aráyos az oszlopo magassága Meység smérvere: Gyaorság polgo Hsztogram Megoszlás szemléltetése lehetséges ördagrammal s.

2 Hsztogram (meység smérvere) Adataat osztályoba sorolju (mdegyet potosa egybe, pl. az -ed osztály: a <a ), a csoporto relatív gyaorsága megegyeze az osztály ölé rajzolt téglalap területével. Összterület: (hasoló a sőrőségüggvéyhez) Példá Túl so osztály Frequecy Potszámo graus ábrázolása potszám Példá Túl evés osztály Frequecy Potszámo graus ábrázolása Példá Jó osztályszám Frequecy Potszámo graus ábrázolása potszám potszám Középértée: átlag Mtaátlag:... : = ha az egyes értée (l ) gyaorsága ( ) adotta: = Ha csa az osztályözöbe esı értée gyaorságát smerjü, az egyes értéeet becsüljü az osztályözéppel és alalmazzu az elızı épletet. l... l : Medá A sorbaredezett mta özépsı eleme (ha páros so eleme va: a ét özépsı átlaga). Közelítés osztályözös gyaorságora: ' me Me= l h : l a medát magába oglaló osztály alsó határa me : umulált gyaorság a medát megelızı osztályg bezárólag me : a medát magába oglaló osztály gyaorsága h: a medát magába oglaló osztály szélessége. : a mta elemszáma me

3 Módusz A leggyaorbb (tpus) érté. Az eloszlás lehet umodáls, bmodáls vagy polmodáls(egy-, ét- vagy többmóduszú). Meghatározása: A gyaorság polgo mamumhelye (a modáls osztályöz özépértée). Közelítése em szmmetrus esetbe Mo= mo Ahol mo a móduszt tartalmazó osztály alsó határa 0 a móduszt tartalmazó osztály gyaorsága 0- a móduszt tartalmazó osztályt megelızı osztály gyaorsága 0 a móduszt tartalmazó osztályt övetı osztály gyaorsága h a móduszt tartalmazó osztály szélessége h Tapasztalat vatlse Elmélet vatls: abszolút olytoos, szgorúa mooto F eseté q z =F - (z) Általába: {:F()>z} A tapasztalat eloszlás vatlse: tapasztalat vatlse. Esetleg leárs terpolácóval lehet potosíta a becsléseet. z=/: medá. z=/4, 3/4: vartlse Alapstatsztá graus megjeleítése boplot Az egyes dobozo az alsó vartlstól Gam a elsı vartlsg tartaa. Középvoal a medá. T5 A voala a teljes terjedelmet Norm elölel, ha ez az egyes ráyoba em agyobb a U05 vartlse özött ülöbség.5- szereséél. Ha eze ívül s vaa poto, azoat ülö-ülö jeleít meg Graoo/: Éves mamáls vízálláso Graoo/: halálozás rátá relatív gyaorság Hsztogram Survval probablty mortalty e00 6 e Mortalty Rate Survval probablty probablty rato Rato o Mortalty Rates Age at death Magyar éphaladóság (000, olytoos voal) USA éphaladóság (950, szaggatott voal) Meggyelése (cm) 3

4 Graoo/3: Relámampáyo Kvatlse számítása Webull becslése Webull becslése Osztályözös gyaorság sorból eml l eml l Potdagramo pn Qp = ' h = Webull becslése eml l = = 4 Webull becslése eml l = 0 Ahol a vatlst tartalmazó osztály alsó határa N a mta elemszáma - umulált gyaorság a vatlst tartalmazó osztályt megelızı osztályyal bezárólag a vatlst tartalmazó osztály gyaorsága h a vatlst tartalmazó osztály szélessége Szóródás Meység smérv értéee ülöbözısége Mérıszáma: Terjedelem: ma( )-m( ) Átlagos abszolút eltérés: 3... d = Gyaorság sorra: d =... Tapasztalat szórás Tapasztalat szóráségyzet: ( ) ( ) ( 3 )... ( ο = ) Gyaorság sorora: ( ) ( )... ( ο = ) Kszámítás lehetıség: ο = Négyzetgyöe a tapasztalat szórás. Optmumtulajdoságo A mtaátlag adja az átlagos égyzetes eltérése mmumhelyét, a mmum értée a szóráségyzet: ο ( a) = m a,a megoldás : a= A medá pedg az átlagos abszolút eltérést mmalzálja: m a a,a megoldás : a= medá Redezett mta Az X,...,X mta elemet agyság szert sorbaredezve apju az X () X ()... X () redezett mtát. Mostatól: az X,...,X mta eleme üggetle, azoos eloszlásúa. Ha eltesszü, hogy a özös eloszlásu abszolút olytoos, aor elírható a redezett mta -ad elemée, X () -e a sőrőségüggvéye. 4

5 Redezett mta elemee sőrőségüggvéye, ( ) Spec.: mmum: mamum: F = ( ) ( )( ( )) A grao éháy esetre. F, ( ) = ( )( F ( )), ( ) = ( ) F ( ) Becsléselmélet A mta eloszlásáa smeretle paraméterét özelítjü a mta üggvéyével (elevezés: becslés, becslıüggvéy) Statszta: a mta üggvéye. A becslése magu s statsztá. Tovább példá statsztára: tapasztalat mometumo: X = Tapasztalat szóráségyzet stb. / Becslése tulajdosága Torzítatlaság. θ valós paramétert becslü a T(X) statsztával. Ez torzítatla, ha, E T (X ) mde θ paraméterértére. Példá: ( ) θ θ = Valószíőség becslése relatív gyaorsággal. Várható érté becslése mtaátlaggal Korrgált tapasztalat szóráségyzet ( X X) /( ) = 5