9. tétel: Elsı- és másodfokú egyenlıtlenségek, pozitív számok nevezetes közepei, és ezek felhasználása szélsıérték-feladatok megoldásában

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "9. tétel: Elsı- és másodfokú egyenlıtlenségek, pozitív számok nevezetes közepei, és ezek felhasználása szélsıérték-feladatok megoldásában"

Csenge Vass
4 évvel ezelőtt
Látták:

1 9. tétel: Elsı- és másodfoú egyelıtlesége, pozitív számo evezetes özepei, és eze felhaszálása szélsıérté-feladato megoldásáa Egyelıtleség: Két relációsjellel összeapcsolt ifejezés vagy függvéy. Az egyelıtleséget szoás olya speciális yitott modata (változó()tól függı állítás) is evezi, amelye alaphalmaza számhalmaz. Az egyelıtleség megoldása: Megeressü a ét ifejezés/függvéy özös értelmezési tartomáyáa alaphalmazáa azo elemeit, amelyere a ét ifejezés/függvéy helyettesítési értéei a megadott relációa vaa. Ezee halmaza az egyelıtleség megoldáshalmaza vagy más éve igazsághalmaza. Ha az egyelıtleség az alaphalmaz mide elemére teljesül, aor a megoldáshalmaz egyezi az alaphalmazzal, az egyelıtleség ilyeor azoosság. Ha a relációs jel ét oldalá a változóa csa algerai egész ifejezései vaa, aor algerai egyelıtlesége evezzü. Ee foszáma a ee szereplı legmagasa foszámú tag foszámával egyelı. Nem algeraia például az aszolút értées, a törtes, a gyöös, az epoeciális, a logaritmius, a trigoometrius egyelıtlesége. Egyelıtleség megoldásáál a egatív számmal való szorzás/osztás megfordítja a relációs jelet. Ezért például ismeretleel (elıjelvizsgálat élül) em lehet eszorozi. Elsıfoú egyelıtleség: Reduált alaja: m + > 0, m; R m 0. Megoldása m elıjelétıl függ: m> 0, aor >, ha m< 0, aor m < m Másodfoú egyelıtlesége: Reduált alaja: a + c> 0, ahol a; ;c R a 0. megoldás: a függvéygrafio értéeie leolvasása alapjá: A másodfoú függvéy épe egy paraola. A függvéye D-tıl függıe 0,, vagy metszéspotja va az tegellyel, amelyeet az egyelet megoldásával megaphatu. A függvéy 0-ál ise vagy agyo f() értéeihez tartozó -eet leolvashatju a függvéy grafiojáról.

2 I. eset: a> 0 D> 0 D= 0 D< 0 < vagy > R \ { } R II. eset: a< 0 D> 0 D= 0 D< 0 < < = II. megoldás: algerai úto Az egyelet gyöeie meghatározása utá felírható gyötéyezıs alaa: a ( ) ( ) > 0 alaa. Ezutá a szorzat téyezıie elıjelét vizsgálva megaphatju a megoldáshalmazt. Természetese az a + c 0 egyelıtleséget is hasolóa oldju meg. Pozitív számo evezetes özepei: Harmoius özép: d pozitív valós szám harmoius özepét megapju, ha -et elosztju a számo reciproösszegével. H=,,..., > Geometriai (mértai) özép: d pozitív valós szám mértai özepe a számo szorzatáa -edi gyöe. G=...,,..., 0

3 Számtai (aritmetiai) özép: d valós szám számtai özepe a számo összegée -ed része A=,,..., R Négyzetes (vadratius) özép: d pozitív szám égyzetes özepe a számo égyzetösszege -ed részée égyzetgyöe Q=,,..., 0 -adi hatváyözép: d pozitív szám -adi hatváyözepe a számo -adi hatváyösszege -ed részée -adi gyöe. Q = N és >,,..., 0 Pozitív számo özepei agyságredi sora állítható, ha,,..., > 0 és >, aor: mi ; ; K; H G A Q Q ma ; ; K; { } { } Bármely ettı özött az egyelıség aor és csa aor áll fe, ha = = =.... Két pozitív szám harmoius özepe ise vagy egyelı, mit geometriai özepü. Egyelıség aor és csa aor áll fe, ha a ét szám egyelı. Bizoyítás: a + a a a : a > 0 a ( ) > 0 a a 0 ( a ) 0 Ez pedig azoosa igaz, az egyelıség pedig valóa a= eseté áll fe. Evivales átalaításoat végeztü. a

4 Két pozitív szám geometriai özepe ise vagy egyelı, mit a számtai özepü. Egyelıség aor, és csa aor áll fe, ha a ét szám egyelı. Bizoyítás: a a 0 a ( a ) 0 Ez pedig azoosa igaz, az egyelıség pedig valóa a= eseté áll fe. Evivales átalaításoat végeztü, Két pozitív szám számtai özepe ise vagy egyelı, mit égyzetes özepü. Egyelıség aor és csa aor áll fe, ha a ét szám egyelı. Bizoyítás: a + a + a + a + a + 0 a a ( a ) ( ) hisze midét old. 0 a a 0 Ez pedig azoosa igaz, az egyelıség pedig valóa a= eseté áll fe. Evivales átalaításoat végeztü, Felhaszáláso:. Pozitív szám és reciproáa összege agyo vagy egyelı ettıél, de csa aor lehet egyelı, ha a szám. Azaz, ha > 0. Bizoyítás: haszálju a számtai és mértai özép összefüggését és -re Tehát: =, amiıl És az egyelıség csa aor teljesül, ha =, vagyis =, tehát =.. Adott erülető téglalapo özül a maimális területő a égyzet. Bizoyítás: haszálju a számtai és mértai özép özti összefüggést a téglalap oldalaira a, eírhatju a helyére a téglalap erületét és területét

5 K T, vagyis K K T 6 A terület legagyo értée lehet, és ezt a maimumot el is érheti, ha G=A, 6 azaz ha a=. Tehát a területe aor lesz maimális, ha a téglalap égyzet. 3. Keressü meg az f () = függvéy maimumát [ 0;] e! Mivel: f () = ( ), haszálju a számtai és mértai özép özti 0;, aor eze a számo emegatíva)! összefüggést -re és ( ) re (ha [ ] = ( ) eıl pedig f () = ( ) A függvéy mide értée [ 0;] e tehát ise vagy egyelı -él, de ezt el is érheti, ha A=G, vagyis maimuma =. Ez lehetséges, ha = -e va, értée pedig.. Keressü meg az f () Mivel f () ( ) = ( ) = 3 függvéy maimumát [ ;] e (pot ezért ellett a -es szorzó, hogy A ostas legye) =. Így a függvéy 0! =, haszálju a számtai és mértai özép összefüggését,, (-) re (eze emegatíva). ( ) 3 = eıl = ( ), és ezt a maimumot el is érheti, ha = = ( ) Ez pedig ( ) f () = -ál lehetséges. 3 Alalmazáso: Matematiá elül: - egyé, magasa foú, vagy em algerai egyelıtlesége visszavezethetı a másodfoú egyelıtleség megoldására - ifejezése értelmezési tartomáyáa vizsgálata - szélsıérté-feladato elemi úto törtéı megoldásához (lásd példa) - statisztiáa a mita jellemzése - özépértée, - szórás mit az eltérése égyzetes özepe - ai amat (mértai özép) - súlyozott számtai özép Egyé: - átlagseesség egyezı úto (harmoius özép)

Hasonló dokumentumok

Komplex számok. 6. fejezet. A komplex szám algebrai alakja. Feladatok. alábbi komplex számokat és helyvektorukat:

Komplex számok. 6. fejezet. A komplex szám algebrai alakja. Feladatok. alábbi komplex számokat és helyvektorukat: 6 fejezet Komplex számo A omplex szám algebrai alaja D 61 Komplex száma evezü mide olya a+bi alaú ifejezést amelybe a és b valós szám i pedig az összes valós számtól ülöböz épzetes egysége evezett szimbólum