V. Az egyváltozós valós függvények analízisének elemei
|
|
- Teréz Nagyné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei Soozat hatáétéke egye a, és b egye a -, és b - Ige egye a -, és b - Nem egye a -, és b - 6 Nem egye a -, és b - 7 Nem egye a _- i, és b 8 Ige egye a _- i, és b 9 Mivel az a soozatál mide f-hoz va olya küszöbide, amelyél agyobb ideû elemek A-tól f-ál kevésbé téek el, ezeke igaz az is, hogy a b soozat elemei is f-ál kevésbé téek el, hisze + > Nem egye a _- i, és b _- i Nem egye a _- i, és b _- i a) Nem egye a _- i, és b J N J b) Nem egye a si K O, és b cos N K O Mivel az a soozatál mide f-hoz va olya küszöbide, amelyél agyobb ideû elemek -tól f-ál kevésbé téek el, ezét igaz az is, hogy a b soozat elemei is f-ál kevésbé téek el -tól, ha pl > + Mivel az a soozatál mide f-hoz va olya küszöbide, amelyél agyobb ideû elemek -tôl f-ál kevésbé téek el, ezét igaz az is, hogy a b soozat elemei is f-ál kevésbé téek el -tôl, ha pl > Bizoyítsuk idiekt módo Tegyük fel, hogy b soozat koveges, és hatáétéke B; a c a + b soozat hatáétéke pedig legye C Két kove-
2 8 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei ges soozat külöbsége is koveges, és hatáétéke a soozatok hatáétékeiek a külöbsége, tehát az a c - b soozat koveges, ami elletmod a feltevések éldául legye a _- i, és b _- i +, ekko összegük az azoosa soozat J a N 6 Az a soozatak csak véges sok eleme lehet ulla, külöbe az K b O soozatak lee olya észsoozata, ami ullához kovegál, ami elletmod aak, hogy a hatáétéke Tekitsük akko a legagyobb ideû ullelem J a N utái észsoozatot! egye c K b O soozat, amiek tehát ics ulleleme a a Átedezve b, ahoa lim b lim, amit bizoyítai kellett Két ilye soozat például a c c, és b - J a N 7 egye c K b O soozat, ahoa a b$ c, és lim a lim b$ lim c $, ha k, ha k- 8 Nem l a * és b - *,, ha k- -, ha k ekko egyik soozatak sics hatáétéke, ha k, ha k- 9 a) Nem l a * és b *, ha k-, ha k b) Ige Tegyük fel, hogy midkét soozat kolátos Ekko 7 olya A és B valós szám, amelye a < A és b < B 6! N-e Ebbôl viszot az következik, hogy a$ b a $ b < AB<, ami elletmodás Z, ha k, ha k 6 Nem l a * és b, ha k- ] - [, ], ha k \ így egyik soozatak sics hatáétéke 6 Nem l a - és b, így a háyadossoozatak hatáétéke - J - N J 6 a) _ a+ bi K O K O + - N J K + O - N K O - + K O ` + j ` + j +
3 Soozat hatáétéke 8 A számlálóba és a evezôbe tagokét véve a hatáétéket, világos, hogy a evezô -hez, a számláló -el + -hez tat J - NJ b) _ a bi K O - N K O K OK + O J N - J - N - - J N K - O $ - K O K + O + K K O O K + O Az elsô téyezô -höz, a második számlálója és evezôje is -hez tat, ezét lim ab $ 6 a a d $ d a d + _ - i + - Mivel a evezô magasabb fokú, mit a számláló, ezét a hatáéték ulla 6 Haszáljuk fel a számtai soozata és a hatáétéke ismet összefüggéseket a a d d + _ - i + d - a J d N Tehát a és d lim lim + d - d K O S 8 + _ - i$ B - 6 Ha < q <, akko a tagok abszolutétéke szigoúa mooto csökke, így - S a+ aq+ + aq > a+ aq, ha >, és! Ezét b S+ S+ fs > $ a+ aq_ - i ( a+ aq) -aq Ez a soozat viszot em kolátos, tehát em is koveges, ha a! és < q < 66 Tudjuk, hogy a- b a- b+ _ -i_ d-di, ahol d az a, d a b soozat diffeeciáját jelöli Ez a soozat viszot em kolátos, tehát em is koveges, ha (d az a, d ) Ha tehát koveges, akko d az a, d, a két soozat diffeeciája egyelô Ekko viszot a hatáétéke a- b, ami csak akko ulla, ha a két soozat elsô eleme is egyelô Tehát a két számtai soozat mide eleme megegyezik 67 Haszáljuk fel a számtai soozata ismet összefüggéseket S 8 a d + _ - i B d+ _ a-di Eek hatáétéke a legmagasabb fokú tagok háyadosa, tehát a `a+ _ -i dj < _ - i d + a_ - id+ a F d d, & d
4 8 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei 68 S 8 a d + _ - i B d d + a- Ez a soozat viszot em kolátos, tehát em is koveges, ha d & d & a 69 Haszáljuk fel a számtai soozata ismet összefüggéseket a a+ _ -i d Tudjuk, hogy, ahol d b az a, d a b soozat diffeeciáját b + _ - i d jelöli d Eek hatáétéke S 8 a d + _ - i B d+ a-d eek d R d b d b d _ - i B d hatáétéke, ami a feltétel szeit d 7 a) lim A soozat mide tagja pozitív, ezét elég a + < egyelôtleséget megoldai, & + >, > 99 + má jó + + b) lim lim, mivel a számlálóba és a evezôbe - - is a második tag ullához tat Az f,-hez tatozó küszöbide meghatáozása: - <, & - _ - i 9 <, A töt biztosa pozitív, ha >, ezét csak azt 9-9 kell ézi, hol lesz <, Megoldás: c) lim lim lim + - _ - i_ + i _ + i Az f,-hez tatozó küszöbide meghatáozása: A töt biztosa pozitív, ezét csak azt kell ézi, hol lesz <, Megoldás: d) lim, mivel a evezô magasabb fokú, mit a számláló Az f,-hez tatozó küszöbide - + meghatáozása:
5 Soozat hatáétéke <, -, < <, A evezô felíható < _ + i + F alakba, ami midig pozitív, ezét az egyelôtle- séget végig lehet vele szoozi - + -< -< - + Mivel ( - )<, ha >, így csak a bal oldali egyelôtleséget kell megoldai < # vagy $ Megoldás tehát: 7 Az alábbi feladatokba a evezô legmagasabb fokú hatváyával leosztva jutuk eedméye Ha a evezô a magasabb fokú, a hatáéték ulla, ha a számláló, akko a hatáéték a fôegyütthatók háyadosával megegyezô elôjellel + vagy -, míg ha megegyeztek a fokszámok, akko a hatáéték a fôegyütthatók háyadosa a) lim, met a evezô a magasabb fokú b) lim lim c) Hasolóa leosztva a evezô legmagasabb hatváyával - lim d) lim e) Mivel >, helyes a következô átalakítás: + + lim lim ` - j f) lim - lim lim A következô példákál elôszö az összegeket zát alaka kell hozi a) lim lim lim _ + i +
6 8 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei b) lim lim + lim c) lim lim _ + i_ + i 6 6 d) lim! $ +! $ +! $ + f +! $ _ + i! - lim _ + i! _ + i! J N lim K - O K _ + i! O 7 Ezekél a feladatokál a számláló vagy a evezô, esetleg midkettô gyökteleítése segít a) a _ + i-, ezét a soozat hatáétéke ulla b) lim c m lim $ lim lim - - c) ásd b) d) a ` + -j-` - + j Az -el tagokét elosztva, a hatáéték e) Itt elég azt modai, hogy -el tagokét elosztva a számlálót és a evezôt is, a hatáéték ulla f) a `_ + i-_ - ijb + + l + - b l_ + -i b + + l Itt -et kiemelve a számlálóból és a evezôbôl adódik, hogy a hatáéték b + + -l
7 Soozat hatáétéke 8 7 Tetszôleges f > számhoz létezik olya N küszöbide, hogy az aál agyobb ideû elemek az A hatáéték köül az (A - f; A + f) itevallumba esek, tehát legfeljebb N daab elem va azo kívül Ez véges sok elem (valós szám), hozzávéve az (A - f) és az (A + f) számokat még midig véges, tehát va közöttük legkisebb és legagyobb Ezek megfelelek alsó és felsô kolátak Az állítás megfodítása em igaz, pl a cos ( ) 7 Tegyük fel, hogy az a soozat szigoúa mooto ô Tekitsük a soozat legkisebb felsô kolátját (a felsô hatáát), jelölje H Bizoyítadó, hogy va olya A szám, hogy mide f > számhoz található küszöbide, amely utái elemek má az (A - f; A + f) itevallumba esek izsgáljuk az [a ; H] itevallumot A feltételek szeit a soozat valameyi eleme ebbe az itevallumba esik Ha [a ; H] hossza kisebb f-ál, akko késze vagyuk, ha em, akko ézzük az [a ; H] itevallumot A mootoitás miatt [a ; H] [a ; H], és ha eek hossza kisebb f-ál, akko késze vagyuk, ha em, akko ézzük az [a ; H] itevallumot, ami észe az elôzô itevallumak Az eljáást folytatva egymásba skatulyázott itevallumsoozatot kapuk, ekko ugyais a Cato-aióma szeit va olya A szám, amely mide itevallumak potja Csak azt kell igazoli, hogy az itevallum hossza -hoz tat, met akko egyetle ilye szám va, és ez lesz a hatáéték A bizoyítást idiekt módo végezzük Tegyük fel, hogy va olya mide d > szám, amelyél mide itevallum hossza agyobb, tehát az [ A - f; A] itevallumba egyetle elem sem esik Ekko A em lehetett a legkisebb felsô kolát Ezzel elletmodása jutottuk, és kész 76 Mivel koveges a soozat, ezét kolátos, tehát va A alsó és F felsô R F A hatáa Tegyük fel, hogy egyik sem eleme a soozatak Az A; A+ - S W S W itevallumba tehát végtele sok elem va, külöbe véges sok elem közül kivá- T X lasztható lee a legkisebb, ami jó lee alsó hatáak is, és eleme a soozatak álasszuk az itevallum elemei közül egyet Azutá egy ettôl külöbözôt a A; A+ - R F A S W itevallumból stb Ezzel egy olya észsoozatot defiiáltuk, amiek a hatáétéke A Hasoló godolatmeettel és eljáással defi- S 8 W T X R F A iálhatuk egy olya soozatot is, ami F-hez tat, csak most az F - - S W ; F S W T X itevallumból kell kiiduli Egy koveges soozatak viszot em lehet két külöbözô tolódási potja, itt pedig ha A Y F, akko a két észsoozatak ics is közös eleme, met az itevallumokak ics közös potja Elletmodása jutottuk, tehát az eedeti állítás igaz (A F eseté mide elem egyelô, és megegyezik a hatáokkal) Az alsó hatá eleme a soozatak: a - A felsô hatá eleme a soozatak: b Midkét hatá eleme a soozatak: c _- i
8 86 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei 77 Jelöljük az a soozat egy alsó kolátját A -lal, egy felsô kolátját F -lal Az [A ; F ] itevallumot a K felezôpotja két olya észe botja, amelyek közül legalább az egyikbe a soozatak végtele sok eleme va álasszuk ki azt a észitevallumot, és oa egy elemet Ez lesz a koveges b soozat elsô eleme Feltehetô, hogy modjuk az [ A ; K ] itevallumba esik végtele sok elem Mivel b elôtt az a soozatak csak véges sok eleme va, ezét ezeket elhagyva még midig végtele sok eleme va az a soozatak az [ A ; K ] itevallumba egye most A A és F K Ismételjük meg az elôzôeket most az [ A ; F ] itevalluma, így kapjuk b -t, és egy új [ A ; F ] itevallumot stb Ezzel elôállítottuk egy soozatot, amely bámely eleméôl tudjuk, hogy Ak# bk+ # Fk, és az itevallumok egymásba vaak skatulyázva, hosszuk -hoz tat, mivel mide lépésbe felezôdik Egyetle szám va tehát, amit mide itevallum tatalmaz, ez a b soozat hatáétéke És ez valóba jó is, met mide f > számhoz található küszöbide, amelyél agyobb ideû itevallumok hossza pl kisebb f-ál, és ezét az ezekbe az itevallumokba esô elemek bee vaak a hatáéték f sugaú köyezetébe 78 a) A soozat mide tagja pozitív, tehát alulól kolátos + + J N J N a $ < $ + K O + K O, tehát felülôl is kolátos A soozat szigoúa mooto csökke, met az összeg midkét tagja csökke, ha ô + lim + J N lim $ + lim K O Ebbôl következik, hogy a soozatak egy tolódási potja va + + (-) J N b) a + - & < a < K O, tehát kolátos soozat A soozat em mooto, hisze mide páos ideû elem a- gyobb -ál, mide páatla ideû pedig kisebb, mit R + + (-) S J N W J N lim lim S + - W + lim - + K O K O S W T X Ebbôl következik, hogy a soozatak egy tolódási potja va + J N J N J N J N J N J N J N J N c) a $ $ $ $ $ $ $ f <! K O K O K O K O K O K 6 O K 7 O K O, hisze a többi téyezô kisebb -él Mivel mide tag pozitív, így a soozat kolátos A soozat mooto csökke, met ha -ôl ( + )- e lépük, midig -él kisebb számmal szozuk
9 Soozat hatáétéke 87 + R J N J N J N J N J N J N J N J N S lim lim $ $ $ $ $ $ $ f W <! K O K O K O K O K O K 6 O K 7 O K O S W T X - J N < lim K 6 O,a hatáéték viszot csak emegatív szám lehet, tehát lim Egy tolódási pot va! + d) a $ _- i + + $ _-i A soozat kolátos, met mide tagja biztosa bee va a - ; ( - ) R S W S W itevallumba Nem mooto, mide tagja ellekezô elôjelû, mit T X az elôzô ( > ) Mivel ullához tat, ezét két tolódási potja va, a - és az Hatáétéke ics e) Osszuk le a számlálóba és a evezôbe tagokét -el! J N $ - K O a <, met a számláló kisebb, mit, a evezô agyobb, mit Tehát a soozat kolátos Köye látható, + + J N K + O hogy szigoúa mooto fogy, hatáétéke, egy tolódási potja va f) Osszuk le a számlálóba és a evezôbe tagokét -el! + ( -) + (-) a Azoal látható, hogy a soo- - + (-) -( -) zatak va hatáétéke, ami, tehát akko kolátos is Nem mooto + g) a + (-) ( - ) + + ( - ) $ Mivel az utolsó tag - hoz tat, ezét két tolódási potja va, a és a Hatáétéke ics, de kolátos, egyszeû duva becsléssel - és között va mide elem
10 88 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei Métai soozat hatáétéke 79 Ha uqu <, akko az a a $ q (! N + ) métai soozat koveges Így koveges soozatokat kapuk az i), j), k), l), m), q), ) esetekbe Az (i ) soozat hatáétéke, a többi -hoz tat q - - q J 8 s Mivel q ", így s q - - q " - q Te N hat S K - q O 8 Az + q + q + + q " összefüggést alkalmazzuk - q a) A ; - b) B $ ; - c) C 8 $ 7; - d) D - $ -; - e) E -6 $ J N -; -- K O f) F - $ J N -; -- K O g) G $ J N -- K O Alkalmazhatuk speciális megoldási módszeeket is - J N l - G - + -! + $ - + K O, így - G G -, s ie G
11 Soozat hatáétéke 89 8 S a + aq + aq + + aq + a( + q + q + + q + ) a $ - q a) S ; b) S ; c) S - ; d) S A megoldásokba felhaszálhatjuk, hogy koveges sookat tetszôlegese átedezve összegük em változik meg J a) A(q) - q ; A N K O b) A B(q) összeget métai sook összegekét állítjuk elô: B(q) ( + q + q + + q - + ) + (q + q + q + + q - + ) + + (q + q + q + + q - + ) +, ie B(q) - q + q - q + - q + - q + + q + q q - $ ` q + j - q - q J N J K - q O ; B N 9 K O J N c) C(q) + 6q + 9q + + q - + B(q) $ K - q O ; J N 7 C K O 6 J N d) D(q) B(q) + ( + q + q + + q - + ) K + - qo - q J N - q - q J N 8 K + - q O ; D - ( - q) ( q) - K O 9 e) E(q) ( + q + q + + q - + ) + (q + q + q + + q - + ) ( + q + q + + q - + ) + q( + q + q + + q - + ) q $ - q + + q J N ; E - q - q K O f) Az általáos tagot paciális tötek összegekét állítjuk elô ( + ) - +, így $ $ $ $ ( + ) Mivel ", F +
12 9 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei J N g) $ ( + ) $ ( + ) + - K + O, így $ 7 7$ 9 9$ ( + ) $ ( + ) J N $ K + O J N $ - K + O J N $ K ( + ) O " + A B C h) / + + azoosságból $ ( + ) $ ( + ) + + (A + B + C) + (A + B + C) + A /, ie A, B -, C Az általáos tagot $ ( + ) $ ( + ) J N $ - + K + + O alakba íhatjuk $ $ $ $ $ $ $ ( + ) $ ( + ) $ J N $ K + + O J N $ - + K + + O (A közbülsô tagok kiesek) Ie H 8 Ha a kezdetbe beít temészetes számot k-val jelöljük, akko az osztás utá kapott szám k Ez a métai soozat - bá mide tagja pozitív 9 - -hoz tat Mide számológép számábázolásáak va egy potossági hatáa, mely kb a legkisebb (abszolútétékû) ábázolható számmal egyezik meg Az utolsó osztás utá az tötét, hogy az eedméyül kapott szám kisebb lett, mit a számológép által ábázoli tudott legkisebb szám, ezét a gép a kapott eedméyt -ak ételmezte, s ezt is íta ki (A jeleség eve alulcsodulás) 8 Midháom esetbe -hoz tató métai soozatot kapuk, elôbb vagy utóbb lesz a kiít szám 86 A tizedes tötek peiodikusa ismétlôdô észét métai soak is tekithetjük a) a, : J N $ K O $ 9 - Techikailag egyszeû az ismétlôdô szakaszt eltütetô eljáás:
13 Soozat hatáétéke 9 Ha a, :, akko a, : ; a kettô külöbségébôl 9a, ie a 9 9 b) b c) c 9, : : J N $ K O 9 $ agy: c 9, : :, c 9, 9 : :, ie kivoás utá 99c 9 stb 9 d) d : : e) Ha, 7, akko, : : 7 7 7, s ie 999 7, 999 Tehát e f) f g) g : : : : h) h,, h,, 999h,, h Elsô megoldás: Az sugaú félkö hossza Az,,,, étékek behelyettesítésével kapott J N K 8 O végtele so összege 87 Második megoldás: Kicsiyítsük felée az ábát! Ekko az AB ív megfeleltethetô a BC ívek; a BC ív megfelel a CD ívek stb Az eedeti göbe az AB félköívvel hosszabb, mit a kicsiyített Ha a göbe kezdeti hossza volt, akko a kicsiyített göbe hossza, ie +, 88 Egyik eedméy sem jó A so em koveges, így ics összege
14 9 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei 89 A em szíezett teület agysága az elsô lépésbe, a második lépés J N J N utá K O, a hamadik lépés utá K O és így tovább A métai soozat -hoz tat, tehát a beszíezett teület agysága tetszôlegese megközelíti az -et 9 Elsô megoldás: A pios háomszögek teületéek összege $ 6 6, s szimmetiaokok miatt eyi - a sága és kék háomszögek teületösszege is Második megoldás: Az lépés utá a szíezetle háomszög teületéek agysága K O J N, ami -hoz tat Így a szíezett háomszögek összteülete -hez tat, s ie egy-egy szí -yi teületet fed le 9 J N A keületek összege k $ K O $ - - J K J N J N N A teületek összege t $ + + O + K K K O O O $ - ( - ) 9 Az okoskodás alapjá a tekôsbéka által megtett út b , Akhilleusz megtett útja pedig a A métai sook kovegesek, vagyis az a pobléma, hogy Zeo midkét futó útját csak egy kolátozott, véges (idôés út-) itevallumo vizsgálja A két összeg étéke: b, a + b; vagyis éppe a találkozási pot a végtele sook hatáétéke Zeo vizsgálatába soha em jutak el a futók a találkozási potig (Az ókoba még em ismeték a végtele sooka voatkozó mûveleti szabályokat)
15 Függvéy hatáétéke Folytoosság 9 Függvéy hatáétéke Folytoosság Függvéy hatáétéke 9 A feladatokál a evezô legmagasabb fokú tagjával kell leosztai ( együtthatóval!) a) lim lim ; " - 7 " b) lim lim - ; " - " c) lim - ; " - - J 7 N J N ` - + 7j` + - j K OK O d) lim lim " - - " J N J N ; _ i ` j K - - OK O e) lim ; " f) lim lim ; " " g) Ez a függvéy ics is ételmezve, ha $ a) lim lim ; " - - " b) lim ; " c) lim ( si- ) -; " d) lim lim -, met -, " - - " - - ha <;
16 9 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei e) lim c m "- lim ` + 8+ j- ` + + 7j c m "- lim m "- c - lim - - "- J N _ i 8 7 K O K O 9 a) A függvéy folytoos -ba, ezét hatáétéke megegyezik a helyettesítési étékkel lim - ; - " b) lim lim _ - i - ; " " c) lim + ; " d) lim lim, a töt számlálója -7-hez, a evezôje - " - " - hoz tat, ezét ics hatáétéke Jobb és bal oldali hatáétéke tágabb ételembe va, és az -, illetve + ; e) lim lim " " _ - i 96 a) lim lim lim ; " - " _ - i " -- _ - i_ + i J + N b) lim lim lim - - " 9 - " _ - _ + K " + O ; i i - 8+ _ -i_ - 6i c) lim lim ; " " _ -i_ -i + 7+ _ + i_ + i d) lim lim ; " " _ + i_ + i - _ - i_ + i e) lim lim ; " - " _ - i` + + j - 6 _ - i_ + i` + j f) lim lim ; - - " "
17 Függvéy hatáétéke Folytoosság 9 J N g) lim lim - - : ` + + j - _ + id K " - O " _ - i_ + i` + + j 8_ + i_ -ib lim ; " _ - i_ + i` + + j _ - i` + + f + j h) lim lim " - " - 97 a) lim si lim si lim si ; " " _ i " b) lim si lim si ; " " si si c) lim lim $ $ ; " si " si si si d) lim lim lim cos ; tg si " " " cos tg cos 7 si 7 e) lim lim $ $ ; " tg 7 " cos si cos cos cos f) lim lim lim si $ $ + cos + cos " " " lim si si $ ; " + cos $ cos g) lim _ $ ctg i lim ; " " si cos h) Hasolóa f-hez : lim lim si - $ ; " " + cos i) lim si si _ si + i-_ -si i lim " " b si + + -si l lim si $ " b si + + -si l - a + a si - si a si cos j) lim lim - a - a " a " a - a si lim - a " a $ cos + a cos a ; +
18 96 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei t 98 limf f() -6, tehát t - 99 A függvéyek képébôl kiidulva: a) lim 7A ; " - b) lim 7A ; " - + J N c) lim lim + K + " + " + O ; + d) lim - ; " _ + i_ + i e) lim lim " " -- _ + i_ + i J N lim K + O- "-- K _ + i O ; + 7+ f) lim ; " _ - i_ + i g) lim lim " " -- _ + i J N lim -6 K + O + ; " h) lim -; " i) lim lim ; " - " - _ i_ i j) lim " + 6 Folytoosság Akko lesz folytoos, ha ételmezve va, létezik hatáétéke, és a hatáéték megegyezik a potbeli helyettesítési étékkel Tehát: a) folytoos; b) em folytoos; c) em folytoos; d) em folytoos; e) folytoos; f) em folytoos; g) em folytoos Folytoos
19 Diffeeciálszámítás 97 a) Csak $ -a va ételmezve -ál em folytoos, a másik két helye ige b) -él folytoos, a másik két helye em c) Midkét potba folytoos a) Ez a függvéy sehol sem folytoos b) Ez a függvéy csak -ba folytoos, sehol másutt Akko lesz folytoos, ha midkét oldali hatáéték megegyezik a potbeli helyettesítési étékkel a) A bal oldali hatáéték $ -, ezét a helyettesítési éték is eyi kell legye, ezét + p, & p 8 b) p ; c) p ; d) p -; e) p -6 f) Ilye p éték ics, met f() p - & p, de ekko f() -, és ez em egyezik meg a jobb oldali hatáétékkel, ami 9 - Nem, például f() : *,, ha ha! R[ Z,! Z 6 a 6 7 A töt számlálója az helye, ezét a 6; b 8 a) égtele sok, amelyeke a + b b) égtele sok, amelyeke a + b c) Csak az (; ) számpá felel meg d) Csak az (,; 6, ) számpá felel meg e) égtele sok, amelyeke a - b f) Csak a (-; ) számpá felel meg Diffeeciálszámítás 9 a , ha! Y 7; A fl _ i *, ha! 7; A a Csak a - helye lehete pobléma, de ott sics, met a jobb és a bal oldali deivált egyelô () fl() A szozat elsôfokú tagjáak az együtthatóját kell meghatáozi, az lesz a deivált étéke fl()! ( + ) (uu! ) ( - )
20 98 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei ( - ) 6 ( ) ( ) ( ) - + (uu! ) ( - ) (! ) 9 ( ) p- - 8_ p+ qi+ _ p-qi B q+ _ + i p- q- ( - ) 9 p- _ q+ i - _ p+ q-i C (! -) ( + ) + + ( > ) ( > ) + ( > ) b Y - l + ( + ) ( -m) -( + m) 6 ( + m) $ + m ( - ) ( + ) a 7 (uu<uau) ( a - ) m ( + ) (uu! ) ( > )
21 Diffeeciálszámítás 99 7 $ ( + ) # e + + o (!,! -,! -8) - cos ( + si ) si - si $ cos (cos ) si - $ cos ( + ) 6 cos $ cos (si ) $ cos [si (si )] si ( cos si - si cos ) 7 (! k; k,, ) si + cos 8 - (! k; k ;!,!, ) si si J k - N 9!, k egesz + cos K O ( cos si ) + (! k; k ;!,!, ) si J N + tg 6! ( k+ ) ; k,!, K O 8 - (! k, k egész) si ctg Éitôk Az a - 6 deiváltjáak a zéushelyei:!, e helyeke adódik a keesett éitô E b ; - l; E b- ; l Elsô megoldás: Az éitôk egyeletét y + m( + ) alakba keessük Feladatukak olya m felel meg, amely eseté az + m( + ) egyelet diszkimiása D m + m -, itt a két gyök szozata -, tehát az m és az m iáytagesû egyees meôleges egymása J N Második megoldás: Mivel a paabola paamétee p, ezét a -; - K O pot illeszkedik a diektie Tudjuk viszot geometiából, hogy a diekti bámely potjából a paabolához húzott éitôk meôlegesek egymása
22 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei 6 A helye vett éitô iáytagese -, az egyelet: y - 7 (; ); az éitô: y + 8 Az adott egyees em lehet éitô, met illeszkedik a (; ) pota, ami a paabola belsô tatomáyába va Ezét az állítás igaz 9 a - Figyeljük meg a feladat megoldása elôtt: (, ) a paabolá belüli, (; ) a paabolá kívüli síkészbe va, (-; ) pedig ajta va a göbé, s ebbôl má következik is a poto átmeô éitôk száma Nics ilye éitô; a) a két éitô: y b6+ 8l ; y b6-8l ; b) az éitô: y - - Két éitô halad át -, ha az a paabolá kívüli síkészbe va, vagyis ha p + > q, ahol p + a p abszcisszája paabolapot odiátája Hasolóa: éitô adódik, ha p +! q A feladatak ics megoldása, ha p + <q Az elôzôkél valamivel ehezebb feladat Mithogy a keesett éitô átmegy az (; ) poto, egyelete y m + ( - m) alakba íható, ahol m az iáytages Ez az egyees m olya étéke eseté éiti az y göbét, amely mellett az egyees és a göbe egyeletébôl alkotott egyeletedszeek az (; ) számpáo kívül csak egy megoldása va Oldjuk meg az y, y m + (- m) egyeletedszet, ha! Az összehasolító módsze alkalmazása és megfelelô csopotosítás utá az - m( - ) egyelethez jutuk, amely az -! kifejezéssel való osztás utá egyszeû másodfokú egyeletet ad: + + ( - m) Eek az egyeletek akko, és csak akko va egy megoldása, ha diszkimiása ulla: D - ( - m) m - ; D, ha m Eszeit a keesett éitô egyelete: y + a) -, b) -, a, b, c
23 Diffeeciálszámítás (cos + si )l -si + cos, (- + + )l - +, és az helye midkét deivált étéke Ebbôl csak az következik, hogy a két göbe megfelelô éitôje páhuzamos Mivel azoba az helye midkét függvéy étéke, azét a két éitô azoos, vagyis az adott göbék valóba éitik egymást az E(, ) potba 6 a) 9, ; b),7 ; c),9 7 8, ; 9 8 Elsô megoldás: A metszéspotok meghatáozása: (y + ) -6(y - ); y ; y ; 6;! Tehát az adott göbék az A(; ) és a B(- ; ) potba metszik egymást Midkét göbe az y tegelye szimmetikus paabola, ezét elég az A pottal foglalkozi Az éitôk iáytageséek kiszámítása: y - - ; yl ; yl() y - + ; yl - ; yl() Most az éitôk és az tegely szögéek a meghatáozása következék, jele esetbe azoba ez fölösleges, met a meôlegesség megállapítható az m J N $ m $ - K O - egyelôség teljesülésébôl Második megoldás: Midkét paabola tegelye az tegely, és midkettô fókusza az oigó Ismet geometiai tétel, hogy azoos tegelyû és fókuszú paabolák ha metszik egymást, akko azt meôlegese teszik 9 a! Szélsôéték 6 egye az egyik ész, a másik y 8 - y a) + $ y & y# 6, és egyelôség akko és csak akko áll fe, ha y y y b) + # + & + y $, és egyelôség akko, és csak akko áll fe, ha y c) - y - (8 - ) 6( - ) Ez lieáis függvéy, szélsôétéke ics a pozitív számok halmazá d) + y + (8 - ) 8(6 - + ) Ez másodfokú függvéy, szélsôétéke -él va, és ez miimumhely
24 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei 6 egye si a, és y cos a Ekko a következô átalakításokat tehetjük: ami és közé esik ab $ si a 6 Iduljuk ki a T teületképletbôl átszik, hogy legkisebb teületû ics, legagyobb teületû va, a deékszögû háomszög 6 A keület akko maimális, ha a befogók összege maimális, mivel az átfogó álladó Tehát midkét kédése ugyaaz a válasz + y + y # cm, és egyelôség akko és csak akko áll fe, ha y cm 6 Jelöljük -szel és y-al a téglalap oldalaiak hosszát, legye a a háomszög -et tatalmazó oldala, m a hozzá tatozó magasság A hasolóság miatt m- y y m - Ebbôl y m - a m m a A téglalap teületét most má elôállíthatjuk függvéyekét: J m N m T() m a - K ` - a O j, a eek a másodfokú függvéyek akko va maimuma, ha a, vagyis a téglalap egyik oldala a háomszögek középvoala Édemes megfigyeli, hogy ál- taláos háomszög esetébe a középvoal más-más alakú téglalapot szolgáltat, teületük azoba ugyaakkoa: a háomszög teületéek a fele 6 egye a téglalap két oldala és y Mivel K + y $ y K T & K $ T, és egyelôség akko és csak akko áll fe, ha y 66 Jelöljük a téglalap oldalait -szel és y-al! A keesett teület ekko T $ y - - T() akko és csak akko maimális, ha a égyzete maimális, vagyis az y - függvéy szélsôétékét kell keesi Még egyszeûbb a megoldás, ha a téglalap átlója és egyik oldala által bezát szöget választjuk változóak, akko ugyais T(a) si a $ cos a si a Ez pedig akko maimális, ha si a, a p y y ao tl 67 + # + & ao tl $ p, maimuma ics, akámilye közel lehet p-hez
25 Diffeeciálszámítás 68 egye a hosszabbik alapo fekvô hegyesszög A tapéz magassága cos si, a hosszabb alap ( + cos ), így a teület : T + si _ + cos i si Deiválva Tl cos + cos, eek zéushelye cos - és cos & 6 69 Ha a köcikk keülete k, és a köív hossza i, akko a sugá k - i, és a teület T ik ( - i) Ez i-ek egyszeû másodfokú függvéye, maimuma va, ha i k, vagyis a köív a sugá kétszeese, a középpoti szög ívméteké A két feladat matematikailag azoos A m-es adatak ics jeletôsége Ha a félkö sugaa, a téglalap alapja, magassága b, akko a keesztmetszet te- ülete T b +, ahol + b + 8 Ez utóbbi egyeletbôl b-t kifejezzük, behelyettesítjük T elôzô alakjába, s megkapjuk a T() függvéyt 7 Az alagút hosszától függetleül akko lesz maimális a téfogat, ha a keesztmetszet teülete maimális A téglalap egyik oldala, a másik legye k és t + Az elsô egyeletbôl kifejezve, és a második összefüggésbe helyettesítve -et t 8- Eek maimuma - 8 va, ha + p Az ábá látható T távolság -, eszeit a téglalap teülete (amiek a maimumát keessük): T() ( - ) (7 ába) 7 Tüközzük pl az A potot az tegelye! C(,; ) 7 7 Elsô megoldás: A(; ) és (; ) potokat összekötô egyees egyelete y, tehát az említett szakasz potjáak koodiátái (u; u) Képezzük a potak a (; ) és (9; ) potoktól való távolságaik összegét, akko a következô függvéyt yejük: y ( u- ) + u + ( u- 9) + ( u- ), y u - u+ + u - 8u+ 6 Eze függvéy miimumát keessük
26 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei Állítsuk elô az elsô deiváltat: u - u - 8 yl + u - u+ u - 8u+ 6 Az elsô deivált azo az u helye válik -vá, amelye u - u u - u+ u - 8u+ 6 Szoozzuk meg az egyelet mid a két oldalát -vel, majd edezzük a következôképpe: 7 - u u - u - 8u+ 6 u - u+ # u # 7 Midkét oldalt égyzete emelve, majd a kapott másodfokú egyeletet omálalaka hozva, yejük: ( u- )( u+ ), u + u - Az egyelet gyökei: u, u - Ezeke a helyeke lehet a függvéyek szélsôétéke Az u helye yl elôjelet is vált ( < helyeke egatív, > helyeke pozitív), tehát eze a helye a függvéyek miimuma va A keesett pot koodiátái:( ; ) Második megoldás: Tüközzük a (;) potot a megadott szakasza (y ), a tükökép koodiátái (; ) Ezt összekötve a (9; ) pottal adódik a megoldás: (; ) 7 A falak összhosszúsága 9 + y, ebbôl y 9 - A szobák együttes teülete: T 8y ( - ) T maimális, ha (m) 76 egye a levágott saokégyzet oldala, akko a doboz téfogata () ( - ) l() (8-6 + ) ( - )( - ) l(), ha ( <!); ebbe az esetbe maimális a doboz téfogata 77 Maimálisak kell leie a m ( R - m ) m téfogatak l(m) (R - m ); ez akko ulla, ha R m, m, m Ekko (m) maimális, met eze a helye övekedôbôl fogyóba (deiváltja pozitívból egatívba) megy át
27 Diffeeciálszámítás Meg kell még hatáozuk az a középpoti szöget: a m R m 6 Fokokba kifejezve a 9 78 Ha a csomag alapja a oldalú égyzet, magassága pedig b, akko a spága hossza: a + 6 Ebbôl b-t kiküszöbölhetjük a a b 8 egyelôség felhaszálásával A feladat megoldása ezutá má em okoz ehézséget 79 Jelölje AB a létát; az ábá éppe a maimális létát szemléltetjük fodulás közbe Az AB szakasz és y észe a-val kifejezhetô: AB, 6 +, cos a si a f(a) 79 A szélsôéték elôállítása végett deiváljuk f(a)-t: fl(a), sia 6cos, a cos a si a 8, si acos a ( si a - cos a) f l(a), ha si a cos a; tg a ; a, AB, +,,6 (m) 8 m 8 A hajó óa alatt v km-t tesz meg, ezalatt A + B Ft a kiadás A kilométeekéti költség f(v),v + f(v)-ek miimuma va, ha A+ B 8 v v J km N v K h O 8 Ha a geeda keesztmetszetéek oldalait a-val és b-vel jelöljük, a sziládság az y a b étékkel aáyos itagoasz tételébôl a d - b, ezét y d b - b, ahol d adott szám, s eek a hamadfokú függvéyek a szélsô étékét keessük 8 a) 9, tehát függôlegese felfelé kell hajítai; b) si kell legye, tehát -ba kell hajítai 8 Az elôzô példa alapjá -ba kell elidítai, és a távolság: m v si 6 d s, 8 m m g m $ 9, 8 s
28 6 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei 8 Jelöljük az AB szakasz C potjáak A-tól való távolságát -szel Ekko C-be a megvilágítás eôssége (egy kostas szozótól eltekitve): a b -a b m() +, ml() ( d ) - + ( d ) - (legjobb a [c $ f k ()]l c $ k $ f k- () $ f l() deiválási szabályt alkalmazi) a b J d- N ml(), ha, ( d ) - K O b d b d $ a, +,, a a a + b s eze a helye m() valóba miimális 86 egye a beesô féysugá és a pálya síkjáak a szöge (választhatjuk változóak a lámpa és a sík távolságát is, de úgy a számítás valamivel boyolultabb), ekko a keesett magasság (l az ábát): O - m R $ tg ; a megvilágítás si si eôssége a potba: g() C $ C $ 86 J R N K cos O C $ si R cos (si - si R C ), ahol C kostas, aáyossági téyezô gl() R C (cos - si $ cos ), ha si, mivel hegyesszög A jelváltás elleôzése megmutatja, hogy eze a helye g() maimális Ekko cos, tg, tg, a keesett magasság pedig m R tg R 87 m 88 a (m); M (m) 89 m 9 A hege sugaa és magassága is m m S m F R 9 a) m ; b) m R
29 Diffeeciálszámítás 7 9 Bizoyításkét az adott kúpba ít maimális téfogatú hege méeteit édemes kiszámítai [a hasolóság felhaszálásával adódik, hogy m R M (R - ), M amibôl () ( R - )], s a megoldás egyúttal az állítás igazolását is R megadja 9 a) Az ába jelöléseivel a hege felszíe: 9 F ( + h) R cos (si + cos ) Fl() R (cos - si ) Fl(), ha si cos ;,,, s ez az éték szolgáltatja a keesett maimumot b) Ee a godolatmeete épülhet a másik ész megoldása is, csakhogy itt a felszí az elôzô palásttal agyobb Ezét tg -, $ ac tg adódik eedméyül 96 R,; M m m 97 R 98 R, m 99 m - ; () ( - ) l(), ha 6, ez maimumot szolgáltat Ekko m 8 a) Ha R az adott gömb sugaa, és m a kúp magassága, akko J (m) R m N K $ O K m- RO b) A csoka kúp keesztmetszete éitôégyszög, ezét alkotója az alap- és a fedôkö sugaáak összegével egyelô Mit az ába mutatja, az AOD háomszög deékszögû, ezét R ab Eek felhaszálásával a téfogata a (b) R J R N K + R + b O függvéyt kapjuk, amely akko miimális, K b O ha a b R a),8 C; b) w(t),(t + ); c) v() C/s a) v(t) 6t + ; b) a),8t -,; b),
30 8 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei a) v ; b) v + at Jelöljük a kédéses Q elágazási potak A-tól való távolságát -szel AD itagoasz-tétellel meghatáozható: AD m QD - QC _ - i + Fejezzük ki a vezeték áát mit függvéyét! y 9 + 6( - ) + yl ( - ) ( - ) + _ - i + A függvéy miimumát keessük: Hatáozzuk meg a deivált függvéy zéushelyeit, azaz oldjuk meg a - ( - ) ( - ) + egyeletet! Osszuk el midkét oldalt -zel, edezzük az egyeletet a következôképpe: ( - ) ( - ) + Midkét oldalt égyzete emeljük, majd a töteket eltávolítjuk: ( - ) 9, ( ) $ 6( - ),! $ ( - ), iét 7 és 6 adódik Helyettesítéssel meggyôzôdhetük, hogy az 7 helye a függvéyek miimuma va Az elágazást az A pottól 7 m-e kell létesíteük, ha azt akajuk, hogy a csôvezeték áa miimális legye 6 Tekitsük függetle változóak az ODE háomszögek DE oldalát (), és legye eze oldalhoz tatozó magasság z, ekko a teületfüggvéy: T z Mivel DEA D ~ ABC D, feáll, hogy : (m - z) a : m
31 Diffeeciálszámítás 9 Fejezzük ki ebbôl az egyelôségbôl z-t a többi változóval! am - m z, ezt helyettesítve, a - m + am T, a m T - + m a, m m Tl - + a Keessük meg a deivált zéushelyeit! Oldjuk meg a m m - + a egyeletet! Az egyelet gyöke a, helyettesítéssel meggyôzôdhetük, hogy eze a helye maimuma va a függvéyek A DEO háomszög teülete tehát a -ig ô, a -él maimális, ekko az eedeti háomszög középvoala, majd ismét csökke A maimális teület az eedeti háomszög teületéek egyedésze 7 A teületfüggvéy: T (a-) p T T függvéy maimuma ugyaazo helye va, mit y függvéyé (T > p és p álladó) y (a - ) yl - a + a ( - a)( - a) A deivált zéushelyei a, a Az a helye yl elôjelet vált, eze a helye tehát va a függvéyek szélsôétéke, mégpedig maimuma A téglalap teülete a eseté lesz maimális 8 egye a égyzetes hasáb alapéle, testmagassága m; ekko F- F + m, ebbôl m, m, ` F - j
32 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei A függvéyt csak pozitív -e vizsgáljuk, tehát feltesszük, hogy F >, akko < l (F - 6 ) A függvéyek F 6 -ál helyi maimuma va Helyettesítéssel m F 6 adódik Adott felszí mellett tehát a kockáak va maimális téfogata 9 egye a kúp alapköéek sugaa, testmagassága m, a beít hege alapköéek sugaa u, a testmagasság, ekko a hege palástjáak a teülete: u Fejezzük ki u-t függvéyekét A kúp tegelymetszetét elkészítve, látható, hogy va két hasoló deékszögû háomszög (az egyik befogói és m, a másiké - u és m - ) FBC ~ EDC, tehát u : ( - u) (m - ) : m, ebbôl m u ( - ) m A vizsgáladó függvéy $ m-, m l - +, m m helye a függvéyek maimuma va Maimális palástú heget akko kapuk, ha a beít hege magassága a kúp magasságáak fele Tekitsük a Földet gömbek (középpotja O, sugaa R)! egye a kédéses szélességi kö k a hosszúsági kö k és a metszéspotok A és B! a) Az A és B potok távolsága a szélességi kö meté k kö keületéek fele, azaz R $ cos {, ahol { a Föld sugaáak az Egyelítô síkjával bezát szöge Az A és B potok távolsága a hosszúsági kö meté R - R{
33 Diffeeciálszámítás b) A kédés megválaszolásához vizsgáljuk a két távolság külöbségét mit { függvéyét, és keessük eze függvéy miimumát y R cos { - R + R{, dy -R si { + R d{ A függvéyek { (6 9l) eseté va maimuma, a két pot távolsága ekko a szélességi kö meté 6 km, a hosszúsági kö meté 9 km Függvéyvizsgálat a) c) másodfokú függvéyek, a vizsgálatot ismétléskét végezzük el a III fejezetbe taultak alapjá A d) f) feladatok megoldása pedig hasolóa tötéik, mit az -es kidolgozott feladaté éldául: 7 -, zéushelyei ;! ; y -, melyek zéushelyei,!, ahol a deivált elôjelet is vált -, elôtt és - utá a deivált pozitív, a függvéy ô, a deivált két zéushelye között a deivált egatív, a függvéy csökke éldául: a) yl < < < < < > yl egatív pozitív egatív pozitív y helyi miimum 8 helyi maimum helyi miimum
34 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei /a /b /c /d /e /f
35 Diffeeciálszámítás /g /h /i /j
36 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei /a /b /c /d
37 Diffeeciálszámítás /a /b /c /d y _ - i_ - i yl!,! ( - + ) -( - )( + ) ( - + ) ( )!,! - + Hatáozzuk meg a deivált zéushelyeit: yl, ha és - +!, az egyelet gyökei + -, Helyettesítéssel meggyôzôdhetük aól, hogy a függvéyek midkét helye va szélsôétéke A függvéy meetét az alábbi táblázat és gafiko szemlélteti
38 6 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei < << << << > yl y egatív helyi miimum pozitív szakadás ics éték szakadás pozitív helyi maimum egatív ics éték egatív 6 A helyi miimum étéke behelyettesítéssel y -, 6 A helyi maimum étéke behelyettesítéssel y -, A függvéy ételmezési tatomáyába és kivételével mide valós szám + beletatozik, étékkészlete y E - -, 86, vagy y F -, y + + A függvéy ételmezési tatomáyába mide szám beletatozik, étékkészlete: - # y # A függvéy zéushelyei: A függvéy meete: - ; + + yl ( + + ) yl y < - pozitív - helyi maimum - < < egatív - helyi miimum > pozitív
39 Diffeeciálszámítás yl ( ) + yl y < - pozitív - helyi maimum - < < egatív helyi miimum < < pozitív helyi maimum > egatív A függvéy ételmezési tatomáya a valós számok halmaza, étékkészlete # y # 8 - a+ 8 9 y! a - a Képezzük a függvéy elsô deiváltját - 8a+ a - 8 yl ( - a) Mooto övekvô lesz a függvéy olya a étékek eseté, amelyeke yl mide étéke mellett pozitív Mivel a deivált függvéy evezôje mide szóba jöhetô étékée pozitív, elôjele csak a számlálóba szeeplô kifejezéstôl függ Keessük azo a étékeket, amelyek mellett - 8a + a - 8 > egyelôtleség mide étékée pozitív, azaz az y - 8a + a - 8 függvéyek ics zéushelye ( együtthatója pozitív) Tekitsük a - 8a + a - 8 egyeletet! Osszuk el midkét oldalt -vel, ekko - a + a - Képezzük az egyelet diszkimiását: D 6a - a a Az y függvéyek akko em lesz zéushelye, ha D <, azaz uau > a) A függvéy mooto övekvô lesz, ha uau > b) A függvéyek szélsôétéke lesz, ha uau uau < eseté hatáozzuk meg a - 8a + a - 8 függvéy zéushelyeit: - a + a -,, a! - a, a + - a, a - - a
40 8 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei Ugyaezeke válik -vá az yl függvéy is, ugyaakko elôjelet is vált, tehát az a + - a helye a függvéyek miimuma, az a - - a helye a függvéyek maimuma va izsgáljuk az y + - függvéyt yl 8 + Hatáozzuk meg a deivált zéushelyeit: (8 + ),, ál a deivált függvéy elôjelet is vált, itt va szélsôéték, miimum 8 A miimum étéke J N J N $ - K - 8 O K 8 O - $ < helye yl em vált elôjelet, itt ics szélsôéték A függvéy folytoos, hatáétéke a + -be is és a - -be is +, a helyi miimum étéke egatív, ebbôl következik, hogy függvéy gafikoja két helye metszi az tegelyt, azaz a + - egyeletek két valós gyöke va A hamadfokú egész függvéy általáos alakja: y a + b + c + d A feltétel szeit helye y, ebbôl következik, hogy d, helye y -, tehát a + b + c - $ és szélsôétékhelyek, ezek gyökei az yl egyeletek yl a + b + c; feti étékek helyettesítésével yejük: a + b + c A gyökök és együtthatók közötti összefüggés alapjá: c a, - b a Feti két egyelethez hozzákapcsolva az elôzôleg yet a + b + c - egyeletet, a következô háomismeetlees egyeletedszee jutuk: c ba, b -9a, a + b + c -
41 Diffeeciálszámítás 9 Feti egyeletedsze gyökei: a -, b 6, c -8 A keesett függvéy y Ételmezési tatomáya is, étékkészlete is a valós számok halmaza A függvéy ételmezési tatomáya < <, étékkészlete # y # yl cos - si A függvéyt a következô táblázattal és gafikoal jellemezzük: < < 6 6 < < < < < < 6 yll yl pozitív helyi maimum egatív helyi miimum - pozitív ifleiós pot pozitív A kédés második feléek megoldásához ábázoljuk a deivált függvéyt Állítsuk elô a deivált függvéy deiváltját (yll): yll - $ si - $ cos < < 6 6 < <,97 6,97,97 < < <<6, 6, 6, < < yll egatív pozitív egatív pozitív egatív yl helyi miimum - helyi maimum 9 ifleiós s pot helyi maimum 9 m csak a - # m # 9 itevallumba veheti fel étékét
42 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei Az éitôk száma ; ; ; lehet ha m -, éitô húzható, - < m <, éitô húzható, m, éitô húzható, < m #, éitô húzható, 9 < m <, éitô húzható, m 9, éitô húzható Aak feltétele, hogy az adott függvéyek e legye szélsôétéke, az, hogy yl álladó elôjelû legye + ( m-) - ( 6m+ ) yl ( + + m) Feti kifejezés evezôje mide olya étékée, amelye az eedeti függvéy ételmezve va, pozitív Aak szükséges és elégséges feltétele, hogy yl álladó elôjelû legye, az, hogy a számlálóba levô függvéy e váltso elôjelet, azaz feálljo a következô egyelôtleség: (m - ) + (6m + ) # Szozattá alakítva: (m + ) (m + ) # Ez kétféleképpe lehet: a) m + $, és egyidejûleg m + <, azaz - # m < -; b) m + <, és egyidejûleg m + $, azaz m $ -, és m < - A megoldás m - Az adott függvéyek em lesz szélsôétéke, ha m-e a következô feltételek teljesülek: - # m # - A másodfokú egész függvéy általáos alakja: y a + b + c, f(-) -6, f() feltételekbôl adódik, hogy a - b + c -6, a + b + c b, c --a Deiváljuk a függvéyt: yl a + b
43 Diffeeciálszámítás b A függvéyek - helye va szélsôétéke, tehát a J b N f - K a O - 9, ebbôl a következô egyeletet kapjuk: 8 8a - a + 8, a, a 8 9 Helyettesítéssel c -, c - 8 Az adott feltételekek eleget tevô másodfokú függvéyek: y + -, y Deiváljuk a függvéyt: yl + a + b Szélsôéték létezéséek szükséges feltétele, hogy az adott helyeke yl a étéket vegye fel, azaz az a és b étékek gyökei legyeek a + a + b egyeletek A gyökök és együtthatók közötti összefüggés alapjá ab b, a + b - a Ezekbôl a és b -9 étékek adódak J N Mivel - helye yl elôjelet vált, mégpedig a - -d ; - 9 K 9 9 O itevallumba pozitív és a - ; - +d K 9 9 O J N itevallumba egatív (d > ), azét az - helye a függvéyek maimuma va Hasoló meggodolással 9 helye a függvéyek miimuma va A keesett függvéy: y Képezzük a deivált függvéyt: yl - + A - + egyeletek diszkimiása egatív, tehát az eedeti függvéyek ics szélsôéték-helye, yl mide étékée pozitív, az eedeti függ-
44 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei véy a (-; +) itevallumba mooto ô, s mivel folytoos függvéy, ezét gafikoja csak egy helye metszheti az tegelyt q - p + + p -q 7 yl ( + q+ ) yl, ha (q - p) + + p - q, és + q +! Az adott feltétel szeit és - gyökei a (q - p) + + p - q egyeletek Ebbôl adódik a következô egyeletedsze: p- q -, q - p - Az egyeletedsze megoldása: p -, q -6 q - p Tehát p -, q -6 eseté lesz az adott függvéyek az és - helye szélsôétéke, mégpedig az helye maimuma, és az - helye miimuma () Az elôzô potba meghatáozott függvéy - + y, yl - ( 6 ) - + Ételmezési tatomáy az összes valós szám és kivételével Étékkészlet y F,6 és y E - yl y < - egatív - helyi miimum, 6o -< < pozitív Y < < pozitív helyi maimum - < < egatív Y > egatív 7
45 Itegálszámítás Itegálszámítás 8 a) # d + c; b) # d + c; c) # d 8 + c; d) # 8 d 8 + c; d - e) # + c a) # d c; 7 b) ugyaaz; c) # d # d # # + c ; 6 d) 6 6 d d + c; e) # d # d + c a) - $ $ # d 6 # 67 d c; b) y y # 9 dy y # dy 9 y + c; 9 y c) z z z - # dz z # dz z z z + c a) # ( - + -) d c; b) # ( ) d c; c) # J N K d O
46 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei d) # ( - ) d c; e) # ( - ) d c; f) # ( ) d c; g) # ( ) d c; 6 h) # J N - + K d c 7 O ; 6 i) # J N d c K O - ; - - j) # d c # J N - - K O - a) # d # _ + i d + + c (! ); - b) - + ( -) # d # d # d - d -6 ( -) - + c, 6 ( Y ); c) # d # d+ # d + # d c, ( Y ); d) # + 8 d # ` - + j d c, + (! -); - 8 e) # d # ` + + j d c, (! ) - a) # J N K O + d # J + - N K O K O d + + c, (! ); b) # J N K O + d + K O + c, (! );
47 Itegálszámítás c) # J N K O 7 + d + K O + c, (! ) 7 a) # b + lb- + ld # J N K + O d + + c ; ( + )( -) b) # d # J N K O d c, (! ); 7 a b ( - ) a- c) # a+ b- d # b- d - # d+ # d + - a b c, (! ); a + a+ b+ b + d) ( a - ) a # - a a + 6a - a + d # a a d - a # d- # J K N a+ 6 a - + K O a O d a - a+ a- + + c, (a! ) a a) # ( si + ) d - cos + c; b) # ( cos - 7, ) d si -,7 + c; c) # ( si - 8 cos ) d- $ cos - 8 $ si + c; d) # ( cos - si + ) d $ si + $ cos c; e) cos cos -si # d # d cos + si cos + si # _ cos - si id si + cos + c; f) ( si cos si cos # + ) d - + c; si cos g) # J N cos - K d 7 O si - + c; 7 h) # J N si cos - si K d O + $ cos + c
48 6 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei 6 a) # si cos d cos - + c; b) $ cos # si d - + c; J c) a() si + N J # K d 6 O -cos + N K 6 O + c; d) () # si ( - d ) $ cos ( - ) + c - $ cos + c; J N J e) () # cos K d - O si N - K O + c; J f) () cos + N J # K d O si + N K O + c; J N J N J g) () # si + K cos + d O K O - $ cos + N K O + c $ si + c si + cos si 7 a) # d # J N + d cos K cos O + + c; cos + cos cos b) # d # J N + d si K si si O -ctg - + c si + cos - + c; si c) # ( si + cos ) d ( si # + d ) - $ cos + c; d) d # tg + c; cos d e) # cos tg + c; f) d # tg k + c; cos k k g) d # - ctg + c; si h) d # - ctg + c si
49 Itegálszámítás 7 8 a) ( t - # - ) - dt + c; ( t ) b) # ( t+ ) dt + c; t + c) # J N t+ K dt O ( t + ) + c; ( t + 8) d) # t+ 8 dt + c; e) # ( t- ) t- ( t + ) dt + c 9 A evezô deiváltja kostas, ezzel koigáljuk a egatív hatváyfüggvéyeket a) d # ( - ) ( ) - + c; b) d - # ( + ) 9 ( ) + + c; c) d - # ( - ) ( ) - + c; d) d # ( - ) 9 ( ) - + c; e) d d # # ( - ) ( - ) 9 ( ) - + c együk észe, hogy a evezô deiváltja vagy aak számszoosa áll a számlálóba! a) # d- + c; ( + ) ( + ) b) + + # d- ( ) ( ) + c; c) d # c; d) d # c; e) # c + +
50 8 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei a) # adt - t -a - t + c; b) # a- bt dt- _ a- bti c b + ; c) # tdt t + + c; t + d) # d c; e) # d c ; f) # d c ; g) # d, c ; h) # d c Alakítsuk összeggé a szozatokat! a) # si $ cos d # ( si 8- si ) d - $ cos 8 + $ cos + c; 6 b) si si # $ d cos d # - # cosd si - si + c; c) # cos cos d si + $ si c; d) # si cos d - $ cos - $ cos c; e) # si si d - $ si + $ si c együk észe, hogy a belsô függvéy deiváltja vagy aak számszoosa áll a tigoometikus függvéy elôtt! a) # si d - cos + c;
51 Itegálszámítás 9 b) # cos ( - ) d si ( - ) + c; 6 c) # ( + ) cos ( + -) d si ( + - ) + c; d) # ( + ) si ( + -) d - cos ( + -) + c; e) # ( + ) cos ( + - 8) d si ( + - 8) + c a, az függvéy 7 y y y y A pimitív függvéy éitôjéek iáytagesét egyszeûe úgy kapjuk, hogy a megadott étéket behelyettesítjük a függvéybe: a) m, a ; b) m - a 9, 7 ; c) m, a Midháom feladatba va olya függvéy a) f() si; - ; y ; éldául: F() - cos + + függvéy jó b) f() si + cos ;, ; y ; éldául: F() - cos + si + cos, -si, -cos + si -, jó c) f() + ; y cos ; y ; éldául: F() tg + megfelel -- y - J N 7 y si - + K O
52 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei Hatáozott itegál a) # d a ; a a R a a a a a S b) a d W # ` - j ; S W 6 T X c) # d ; 6 d) e) d # - < - F ; - a a d # < - a F a $ b - l - a a a R S W a) # + d + S W T X a) b) # + d d # G -; ( + ) ( + ) ; R -d S W b) # S W ` + j S ` + j W - - T X a) # d # J R N S W 7 + d K O - S - W S W T X R S W b) # _ 8-7i d- _ 8-7 i S 8 W 8 T X ;
53 Itegálszámítás 7 a) # si d 7- cos A ; R S W b) # si d - cos ; S W T X R S W c) # cos d si ; S W T X R S W d) # si$ cos d - cos S W T X 8 a) # ( si + cos ) d + ; b) # si cos d ; c) d) cos # d cos + si 7si + cos A 8 6 d # 7tg A cos 9 a) # si d # b) cos d - - # # # 6 8 cos - si d # _ cos - si id cos + si - R - cos S cos W d - ; S W T X R + cos cos S W d + S W - T X
54 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei Teületszámítás R S W 6 a) t # `- jd $ - ; S W T X b) t # ` + - j d 6; - c) t 6 (A b) feladat függvéye va eltolva a v (; ), és azutá az tegelye tüközve); d) t (Az a) feladat függvéye va eltolva a v (-; ) vektoal) 6 Bámely két paabola hasoló, ezét elég az y paaboláa igazoli, met egy hasolósági taszfomáció em változtatja meg két teület aáyát Messük a paabolát az y c egyeessel (c > ), ekko a paabolával való metszéspotok! c, a téglalap teülete T c c A paabola és az tegely közti teület t # d c c A két teület külöbsége c R c S W S W T X adja a paabolaszelet teületét, ezét az állítás igaz 6 Az elôzô példa eedméyét felhaszálva a kédéses teületet úgy kapjuk meg, hogy a agyobb paabolaszelet teületébôl kivojuk a kisebb paabolaszelet teületét Tegyük fel, hogy a > és c > d >, akko az y c, az y d és a megfelelô paabolaívek által hatáolt paabolaszelet teülete a t $ bc c -d dl a 6 t # si d 7- cos A 6 a) A függvéy páatla, ezét a teület R S W t # `- jd - S W T X b) A függvéy páos, ezét elég a felét kiszámoli A függvéy és az tegely metszéspotjai:! #!,! - A teület tehát # # t ` - + jd+ ` - + j d, ahoa t 8
55 Itegálszámítás c) Ez a függvéy -él metszi, -ál éiti az tegelyt, így a teület t #_ -i_ - i d # ` j d d) A függvéy páatla, elég a [; ] itevalluma meghatáozi a teületet T 6 6 A két függvéy külöbségét, az függvéyt kell itegáli -tôl -ig; t 6 66 a) A göbék metszéspotjai és A kédezett teület: T, b) A göbék metszéspotjai - és - A kédezett teület: T c) A göbék metszéspotjai és 6 A kédezett teület: T 6 d) A göbék metszéspotjai és 9 A kédezett teület: T 6 e) A göbék metszéspotjai és A kédezett teület: T 8 67 Az és oldalú téglalap hamadésze a vizsgált teület: 68 A kédéses teület egy egység oldalú égyzet teületéek észe, 8 T 69 A kédéses teület egy egység oldalú égyzet teületéek észe, 8 T 7 Egy egység oldalú égyzet teületéek észe adódik: T 7 t - 7 # d ; t 6 # _- + + ) d ; 6 t : t 7: 7 y Háom síkidom keletkezik t # f ; t f # ; t f # 8 -! ti i -
56 Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei 7 Az éitô egyelete: y - +, ez a koodiátategelyeket az J N A(; ), illetve a B K ; O potba metszi t 8 7 Az éitô egyelete: y - Egy olya deékszögû háomszög 9 9 teületét keessük, amelybe a befogók hossza, illetve 9 9 $ Teülete: 7 Toljuk el az adott göbét a (-; ) vektoal, ekko egyelete y ( - )( + ) - A lokális szélsôétékhelyek:! Két egybevágó síkidom adódik, közülük egyek a teülete: t # - d, 6 a két ész teületéek az összege 8 76 A két paabola az A(-; 9) és a B(; ) potba metszi egymást Az általuk hatáolt síkidom teülete: t - # , d Az y egyeletû egyees ebbôl 6 teületû észt vág le A másik ész teülete 77 Az elôzô példából következik, hogy t 78 A (; ) pothoz tatozó éitô egyelete: y 6-7, ez az tegelyt J 7 N az A ; K 6 O potba metszi Az y - + egyeletû egyees az éitôt a J 7 N B ; K 8 O, az tegelyt a C(; ) potba metszi t $
57 Itegálszámítás 79 A paabola egyelete: y - ; az éitô egyelete: y A keesett teület (a két lehetséges közül a kisebbik): 6 t $ $ - d # J N - 6 K 6 O 8 Zéushelyek: és a) Az éitô: y - +,7; 99 b) t ; 6 9 c) t 8 8 A paabola egyelete: - + 9y, másik zéushelye: A 6 Az oigóbeli éitô egyelete: y, az A(6, ) potbeli éitô egye- lete: y A két éitô metszéspotja: M(, ) - A háomszög teülete t A$ y M - Az e) feladatba keesett teület: T t - $ A $ y C - 8, 6 ahol az # J N + K 9 O d itegál kiszámítása helyett a -es példa állítását - haszáltuk fel 8 Az A(, ) potbeli éitô egyelete: y -, a B(;) potbeli éitô egyelete: y - + Ezek metszéspotja: M(, 8) - A keesett teület: $ 8 T - # ( )d 8 A paabola egyelete: y A (-; l), illetve a Q(; ) pothoz tatozó éitô egyelete y +, illetve y Ezek metszéspotja: M(, 7) A keesett teület: T # ( + )d + # (- + 8)d - # J N K O d, - - Az elsô és a második itegál helyett egy-egy tapéz teületét is kiszámíthatjuk
Megoldás: Először alakítsuk át az a k kifejezést: Ez alapján az a 2 a n szorzat átírható a következő alakra
. Adott z =, =,3, + 3 soozt. Számíts ki lim 3 htáétéket. Megoldás: Előszö lkítsuk át z k kifejezést: k = + k 3 = k3 k 3 + = (k (k + k + (k + (k k + = k k + k + k + k k +, k =,3, Ez lpjá z szozt átíhtó
Részletesebben18. Differenciálszámítás
8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
RészletesebbenIV x. 2,18 km magasan van a hôlégballon.
8 Hegyesszögû tigonometiai alapfeladatok 8 9 8,8 km magasan van a hôlégballon Egyészt = tg és = tg 0, másészt a Pitagoasz-tételt alkalmazva kapjuk, hogy a b a + b = Ezen egyenletendszebôl meghatáozhatjuk
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
Részletesebben3 1, ( ) sorozat általános tagjának képletét, ha
Gyakolatok és feladatok. Hatáozd eg a kvetkező, ekuzíva ételezett soozatok általáos tagját: a), = = " ³, ; (felvételi feladat,99., Teesvá), b),, =, = " ³ ; (felvételi feladat, 99., Teesvá) c) =, = 4 =
RészletesebbenFIZIKA I. KATEGÓRIA 2015-ben, a Fény Évében
Oktatási Hivatal A 014/015. taévi Oszágos Középiskolai Taulmáyi Vesey dötő oduló FIZIKA I. KATEGÓRIA 015-be, a Féy Évébe MEGOLDÁSI ÚTMUTATÓ Zóalemez leképezési tulajdoságai Bevezető: A méési eladat egy
Részletesebben( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn
Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenFüggvényhatárérték-számítás
Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről
Részletesebben10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
Részletesebben2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
RészletesebbenHajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011
1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }
RészletesebbenKomplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0
Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
RészletesebbenMinta JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ
JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által haszált szíűtől eltérő szíű tollal kell javítai, és a taári gyakorlatak megfelelőe
RészletesebbenBé ni. Barna 5. Benc e. Boton d
Egy asztalon háom halomban 009 db kavics van Egyet eldobok belőle, és a többit két kupacba osztom Ezután megint eldobok egyet az egyik halomból (amelyikben egynél több kavics van) és az egyik halmot ismét
Részletesebbenmegoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!
megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások
RészletesebbenA G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:
Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai
RészletesebbenFolytonos függvények közelítése polinomokkal
Folytoos függvéyek közelítése poliomokkal Szakdolgozat Paksi lászló matematika BSc, Matematika taái szakiáy Témavezető: Gémes Magit, műszaki gazdasági taá Aalízis Taszék Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi
RészletesebbenDebreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet
Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
RészletesebbenI. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?
Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os
RészletesebbenSorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!
Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk
RészletesebbenMatematika B4 I. gyakorlat
Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a
RészletesebbenKoordinátageometria összefoglalás. d x x y y
Koordiátageometria összefoglalás Vektorok A helyvektor hossza Két pot távolsága r x y d x x y y AB A két potot összekötő vektort megkapjuk, ha a végpot koordiátáiból kivojuk a kezdőpot koordiátáit. Vektor
RészletesebbenBizonyítások. 1) a) Értelmezzük a valós számok halmazán az f függvényt az képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl).
) a) Értelmezzük a valós számok halmazá az f függvéyt az f x = x + kx + 9x képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl) ( ) Számítsa ki, hogy k mely értéke eseté lesz x = a függvéyek lokális szélsőértékhelye
RészletesebbenXXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február II.forduló -10. osztály
Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 016. február 11
Részletesebben1. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Trigonometria, vektoralgebra
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK. MECHNIK-STTIK GYKORLT (kidolgozta: Tiesz Péte eg. ts.; Tanai Gábo ménök taná) Tigonometia vektoalgeba Tigonometiai összefoglaló c a b b a sin = cos = c
RészletesebbenSzámsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.
Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el
Részletesebben1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k
RészletesebbenNUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.
NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a
RészletesebbenINJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK
Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2017/2018-as tanév 1. forduló Haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Tásulat Aany Dániel Matematikai Tanulóveseny 017/018-as tanév 1. foduló Haladók III. kategóia Megoldások és javítási útmutató 1. Anna matematika házi feladatáa áfolyt a tinta.
RészletesebbenIV. Trigonometria. Szögek átváltása fokról radiánra és fordítva. Hegyesszögû trigonometriai alapfeladatok
Tigonometia Szögek átváltása fokól adiána és fodítva 5 a) 80 ; 90 ; 0 ; 5 ;,5 b) 0 ; 50; 5 ; 0 ; 0 57 a) 00 ; 5 ; ; 70 ; 5 b) 80 57,9 ;,9 ; 9,79 ;,7 ;, 58 a),59 ; 0, ;, ; 8, ; 07, b) 85, ; 8,0 ; 9,50 ;
RészletesebbenKalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8
Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,
Részletesebben462 Trigonometrikus egyenetek II. rész
Tigonometikus egyenetek II ész - cosx N cosx Alakítsuk át az egyenletet a következô alakúa: + + N p O O Ebbôl kapjuk, hogy cos x $ p- Ennek az egyenletnek akko és csak akko van valós megoldása, ha 0 #
RészletesebbenPopuláció nagyságának felmérése, becslése
http:/zeus.yf.hu/~szept/kuzusok.htm Populáció agyságáak felméése, becslése Becsült paaméteek: N- az adott populáció teljes agysága (egyed, pá, stb) D- dezitás (sűűség), egységyi felülete/téfogata számított
Részletesebben2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.
Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is
RészletesebbenMatematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova
Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok
Részletesebbenf (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben
Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,
RészletesebbenEgy lehetséges tételsor megoldásokkal
Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe
RészletesebbenAz állat becsült kor. teljes súly. teljes hossz orrtól. törzs hossza. pocak körkörös méret. hátsó láb hossza kör
Koeláció- és egesszió-aalízis Az is előfodulhat, hogy két változó között ics semmilye kapcsolat: Az X és Y véletle változók között az alábbi ábáko Az állat becsült ko pozitív összefüggés em lieáis összefüggés
Részletesebben3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató
RészletesebbenA tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és
Részletesebben17. tétel A kör és részei, kör és egyenes kölcsönös helyzete (elemi geometriai tárgyalásban). Kerületi szög, középponti szög, látószög.
17. tétel kö és észei, kö és egyenes kölcsönös helyzete (elemi geometiai tágyalásban). Keületi szög, középponti szög, látószög. Def: Kö: egy adott ponttól egyenlő távolsága levő pontok halmaza a síkon.
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók
Részletesebben(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1
. Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..
Részletesebben2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása
59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,
Részletesebben8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k.
8. KIS REZGÉSEK STABIL EGYENSÚLYI HELYZET KÖRÜL 8.. A rezgések szétcsatolása harmoikus közelítésbe. Normálrezgések Egyesúlyi helyzet: olya helyzet, amelybe belehelyezve a redszert (ulla kezdősebességgel),
RészletesebbenXXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február
Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 06. február 4..
Részletesebben1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója
Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle
RészletesebbenSZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo
SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő
RészletesebbenA logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai
Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Témavezető: Lebaov Dóa Mezei Istvá Adjuktus Matematika Bs Alkalmazott Aalízis és Matematikai
RészletesebbenKalkulus II., második házi feladat
Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,
Részletesebben1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
Részletesebben= λ valós megoldása van.
Másodredű álladó együtthatós lieáris differeciálegyelet. Általáos alakja: y + a y + by= q Ha q = 0 Ha q 0 akkor homogé lieárisak evezzük. akkor ihomogé lieárisak evezzük. A jobb oldalo lévő q függvéyt
Részletesebben(1) Definiálja a mechanizmus fogalmát! Mechanizmuson gépek, berendezések mechanikai elven működő részeinek együttesét értjük.
ZÉCHENYI ITVÁN EGYETEM MECHANIZMUOK ALKALMAZOTT MECHANIKA TANZÉK Elméleti kédések és válaszok egyetemi alapképzésbe (Bc képzésbe) észtvevő méökhallgatók számáa () Defiiálja a mechaizmus fogalmát! Mechaizmuso
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter
Debrecei Egyetem Természettudomáyi és Techológiai Kar Kalkulus példatár Gselma Eszter Debrece, 08 Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok Elméleti áttekités........................................................
RészletesebbenII. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK
Itegrálási módszerek 5 II INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK A parciális itegrálás módszere Ha az f, g : D (D em degeerált itervallumok egyesítése) függvéyek deriválhatók a D halmazo, akkor tudjuk, hogy a szorzatuk
RészletesebbenFüggvények határértéke 69. III. Függvények határértéke
Függvéyek határértéke 69 A határérték értelmezése III Függvéyek határértéke Ebbe a fejezetbe taulmáyozi fogjuk a függvéy határértékét egy potba A feladat így fogalmazható meg: Ha adott az f : D valós változójú
Részletesebben9. tétel: Elsı- és másodfokú egyenlıtlenségek, pozitív számok nevezetes közepei, és ezek felhasználása szélsıérték-feladatok megoldásában
9. tétel: Elsı- és másodfoú egyelıtlesége, pozitív számo evezetes özepei, és eze felhaszálása szélsıérté-feladato megoldásáa Egyelıtleség: Két relációsjellel összeapcsolt ifejezés vagy függvéy. Az egyelıtleséget
RészletesebbenMatematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
RészletesebbenEGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a
Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! 4. Az EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a1 x + b1 y = c1 egyeletredszer megoldása a a x + b y = c Z halmazo (. rész) Ebbe a részbe
RészletesebbenKalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév
Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)
RészletesebbenInnen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
RészletesebbenMűszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat október 17. A technológia és a költségek dualitása
Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat 3 októbe 7 technológia és a költségek dualitása oábban beláttuk az alábbi összefüggéseket: a) Ha a munka hatáteméke nő akko a hatáköltség csökken
Részletesebben1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel?
1. Fogalmazza meg az R -beli háromszög-egyelőtleségeket!,y R (i) +y + y (ii) -y - y 2. Mit mod ki a Beroulli-egyelőtleség? (i) (1+h) 1+ h ( h>-1) ( N*) (ii) (1+h) 1+2 h 1 ( N*) h 2 3. Hogya szól a számtai
Részletesebben2.2. Indukció a geometriában
.. Idukció a geometriába... Számítási feladatok... Feladat. Határozzuk meg az R sugarú körbe írt, oldalú szabályos sokszög oldalhosszát! Megoldás eseté a oldalú szabályos sokszög a égyzet; az R sugarú
Részletesebben6. Számsorozat fogalma és tulajdonságai
6. Számsorozat fogalma és tulajdoságai Taulási cél: A számsorozat fogalmáak és elemi tulajdoságaiak megismerése. A mootoitás, korlátosság vizsgálatáak elsajátítása. Nevezetes sorozatok határértékéek megismerése.
RészletesebbenIII. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK
Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar
RészletesebbenA figurális számokról (IV.)
A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe
RészletesebbenIntegrált Intetnzív Matematika Érettségi
tgrált ttzív Matmatika Érttségi. Adott az f : \ -, f függvéy. a) Számítsd ki az f függvéy driváltját! b) Határozd mg az f függvéy mootoitási itrvallumait! c) gazold, hogy f ( ) bármly sté!. Adott az f
Részletesebben3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló
. Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
RészletesebbenA függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,
l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i
RészletesebbenJAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. október 16. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK
Matematika emelt szit Javítási-értékelési útmutató MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. október. Fotos tudivalók
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szit 1611 ÉRETTSÉGI VIZSGA 017. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fotos tudivalók Formai előírások: 1. Kérjük,
RészletesebbenHatárértékszámítás. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo április A határátmenet és a műveletek 12
Határértékszámítás szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. április 23. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. Segédállítások 3 3. Nevezetes sorozatok 7 4. A határátmeet és a műveletek 2 5. Az e szám fogalma
RészletesebbenANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA
ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add
RészletesebbenPRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA február 10.
PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 08. február 0. STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ MATEMATIKA EMELT SZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA Javítási útmutató 08. február 0. STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ Matematika Írásbeli
Részletesebbendr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár
dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi taár a Romá Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi taár I. VALÓS SZÁMOK. VALÓS GYÖKÖKKEL RENDELKEZŐ MÁSODFOKÚ EGYENLETEK II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI.
RészletesebbenNÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2013 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 8.
. feladat: Eg 5 fős osztálba va fiú és 4 lá. z iskolai bálo (fiú-lá) pár fog tácoli. Háféleképpe tehetik ezt meg? párok sorredje em számít, viszot az, hog ki kivel tácol, az már ige. (0 pot) Válasszuk
Részletesebben(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1.
PROGRAMTERVEZŐ MATEMATIKUS SZAK II. ÉVF. III. FÉLÉV GYAKORLÓ FELADATOK AZ II. ANALÍZIS ZH-RA Primitívfüggvéy keresés. Adja meg az f függvéy egy primitívfüggvéyét: f) = 6 8 + 3 b) f) = + 3 f) = + 5 ) /
Részletesebbenmateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2
Nevezetes zoosságok: mteksoft.hu ( + ) + + ( x + ) x + 6 x + 9 ( x + y) 4x + 1xy + 9y ( ) + ( x ) x 6 x + 9 ( x y) 4x 1xy + 9y ( + + c) + + c + + c + c ( x + y + ) x + y + 4 + xy + 4x + 4y Htváyozás zoossági
RészletesebbenAlgebrai egyenlőtlenségek versenyeken Dr. Kiss Géza, Budapest
Magas szitű matematikai tehetséggodozás Algebrai egyelőtleségek verseyeke Dr Kiss Géza, Budapest Néháy helyettesítési módszer és a Cauchy-Schwarz-egyelőtleség speciális esetéek alkalmazása bizoyítási feladatokba
RészletesebbenANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2
ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i
RészletesebbenGyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
Részletesebben9. ábra. A 25B-7 feladathoz
. gyakolat.1. Feladat: (HN 5B-7) Egy d vastagságú lemezben egyenletes ρ téfogatmenti töltés van. A lemez a ±y és ±z iányokban gyakolatilag végtelen (9. ába); az x tengely zéuspontját úgy választottuk meg,
RészletesebbenIngatlanfinanszírozás és befektetés
Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:
RészletesebbenI. rész. Valós számok
I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =
Részletesebben5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?
5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra
Részletesebben