IV x. 2,18 km magasan van a hôlégballon.

Átírás

1 8 Hegyesszögû tigonometiai alapfeladatok 8 9 8,8 km magasan van a hôlégballon Egyészt = tg és = tg 0, másészt a Pitagoasz-tételt alkalmazva kapjuk, hogy a b a + b = Ezen egyenletendszebôl meghatáozhatjuk az magasságot Az elsô két egyenletbôl fejezzük ki a-t, illetve b-t -szel, majd ezeket helyettesítsük be a hamadik egyenletbe, $ tg $ tg 0 amelyben má csak lesz az ismeetlen = tg 0 + tg 9 h 0 m magasan lebeg a léggömb h Vegyük észe, hogy LT = TB, ezét TB = h Egyészt = tg 7, másészt alkalmazzuk AT Pitagoasz tételét az ABT deékszögû háomszöge Fejezzük ki az elôzô egyenletbôl AT-t, majd ezt helyettesítsük be a Pitagoasz-tétel alapján felít egyenletbe Itt má csak h lesz az ismeetlen, 00 tg 7 amelyet könnyen meghatáozhatunk kis számolás után h = 0 m Adjunk egy + tg 7 második megoldást, például úgy, hogy észevesszük, hogy az ATL háomszög egybevágó az ABT háomszöggel Miét? Az egybevágóságból következik, hogy AB = AL Folytassuk! 0 a) eset: AB = 00 m, (0/I); b) eset: AB* = 00 m (0/II) Vegyük észe, hogy az ACD háomszög egyenlô száú, ebbôl CD = 00 m Alkalmas szögfüggvény alkalmazásával számítsuk ki a étékét a BCD háomszögbôl! Azt kapjuk, hogy a = 00 $ 7, m Tekintsük az ABC háomszöget! Vegyük észe, hogy ez egybevágó a BCD háomszöggel! Miét? Ebbôl következik, hogy az ACB szög deékszög Ebbôl következik, hogy AB = 00 m Miét? A B*BC háomszög egyenlô száú, ebbôl következik, hogy CB*A szög 0 -os Miét? A B*AC háomszög is egyenlô száú (miét?), ebbôl következik, hogy AB* = AC, azaz AB* = 00 m 0/I 0/II

2 Vegyes, illetve összetettebb hegyesszögû tigonometiai feladatok 8 0, km magasa emelkedik a hegy a síkság fölé, y, km távolsága, illetve z,9 km távolsága vagyunk az egyes helyeken a hegy csúcsától Alkalmazzunk egy megfelelô szögfüggvényt az és a befogójú deékszögû háomszöge tg 8l =, majd innen fejezzük ki a-t segítségével a =! Majd ugyanezt a a tg 8l szögfüggvényt alkalmazzuk az és b befogójú deékszögû háomszöge, majd innen fejezzük ki b-t segítségével b =! Ezután alkalmazzuk Pitagoasz tételét a síkságon levô deékszögû háomszöge + = K tg 8 l J N J N! tg 8lO K tg 8 lo Ebbe az egyenletbe helyettesítsük be az L P L P elôbb kifejezett étékeket, és -e kapunk egy egyismeetlenes egyenletet, ebbôl kisebb számítások után megkaphatjuk a hegy magasságát Az y, illetve z meghatáozását megfelelô szögfüggvény segítségével végezhetjük el 0 m magasan van a hôlégballon a tó fölött Íjunk fel egy megfelelô szögfüggvényt az - m és y befogójú deékszögû háomszöge, majd egy ugyanilyen szögfüggvényt az + m és y befogójú deékszögû háomszöge! Oldjuk meg a két egyenletbôl álló kétismeetlenes egyenletendszet, például úgy, hogy elosztjuk a két egyenlet megfelelô oldalait egymással, majd ekko y kiesik és meghatáozható $ ( tg 8 9 tg ) tg = -, tg 8 9 = + l + l l l, =, 0 m y y tg 8 9l - tg l 8 m magasan van a felhô a hegycsúcs fölött Készítsünk hasonló ábát, mint az elôzô feladatnál, és hasonló módon oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot! 0, m magas a domb és 0 m magasan volt a villámlás a víz színe fölött Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô két feladatot

3 8 Hegyesszögû tigonometiai alapfeladatok Köívek, köcikkek, köszeletek h 9, m a hídpilléek távolsága és i 0, m az ívhossz,8 m az ívhossz Készítsünk hasonló ábát, mint az elôzô feladatnál! 7, cm a tapadási felületek összhossza Elôszö számítsuk ki a { szöget, majd ebbôl az a szöget, ebbôl pedig az i ívhosszat! Vegyük észe, hogy a = $ {, ebbôl pedig számítsuk ki az i ívhosszat! = i + i a tapadási felületek 7 összhossza 8 7, cm a szíj hossza Készítsünk hasonló ábát, mint az elôzô feladatnál! Az elôzôhöz hasonló módon számítsuk ki az i és az i ívhosszat! Majd számítsuk ki az e éintôszakasz hosszát! = i + i + $ e a szíj hossza 9,9 cm a tapadási felületek összhossza A 9 ába alapján hasonlóan oldhatjuk meg, mint a 7 feladatot 70 8, cm a szíj hossza A 9 ábát felhasználva, hasonlóan oldhatjuk meg, mint a 9 8 feladatot 7,8 cm a keesett kölapész teülete A keesett teületet megkapjuk, ha a félkö teületébôl levonjuk a megfelelô köszelet teületét A köszelet teületét megkapjuk, ha a megfelelô köcikk teületébôl levonjuk a megfelelô háomszög teületét 7 08, cm a keesett teület 7 88, cm a keesett teület A keesett teületet megkapjuk, hogy ha a megfelelô deltoid teületébôl levonjuk a megfelelô köcikk teületét 7 cm a kétszeesen fedett ész teülete Vegyük észe, hogy a keesett teület éppen a megfelelô köszelet teületének a kétszeese! 7 8 m téfogatú a kitemelt kôzet Pitagoasz tételével számítsuk ki a köhenge sugaát, ez, m Majd számítsuk ki a köszelethez tatozó háomszög teületét, ez 9, m, majd a megfelelô köcikk teületét, ez,7 m, ebbôl a megfelelô köszelet teülete,7 m! Mint tudjuk, a keesett téfogatot megkapjuk, ha a köszelet teületét szoozzuk az alagút hosszával 7, lite olaj van a tatályban Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot 77 9 lite olaj van a tatályban Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô két feladatot 78, lite víz van a tatályban Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô háom feladatot Egyenlô száú háomszögek, deékszögû háomszögek, négyszögek 79 a, cm az alap hossza, b 8, cm a száak hossza, t, cm a háomszög teülete Húzzuk be az alaphoz tatozó magasságot! Íjunk fel egy megfelelô szögfüggvényt! Ebbôl és az a - b =, egyenletbôl álló egyenletendszet megoldva kapjuk a-t, illetve b-t Ezután számítsuk ki az alaphoz tatozó magasságot, majd a teületet!

4 Vegyes, illetve összetettebb hegyesszögû tigonometiai feladatok 8 80 a 8, cm az alap hossza, b 7,7 cm a szá hossza, t,9 cm a háomszög teülete Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot 8 a 9, cm az alap hossza, b, cm a szá hossza Íjunk fel a teülete egy egyenletet, majd alkalmazzunk egy megfelelô szögfüggvényt az alaphoz tatozó magasság behúzása után! Ezután oldjuk meg az egyenletendszet! 8 a,07 cm az alap hossza, b 8,77 cm a száak hossza, t 99, cm a háomszög teülete 8 a,8 az alappal szemközti szög, b 77, a száakkal szemközti szög A háomszögben húzzuk meg az alaphoz tatozó magasságot és az egyik szához tatozó magasságot! m b m Egyészt = sin b, másészt a sin b = tg b = Ezen egyenletendszebôl meghatáozhatjuk cos b, illetve b étékét a a cos b 8 a = $ cm 8,9 cm, b = 8$ cm 7,89 cm a deékszögû háomszög befogói, a á,7 és b á, a két hegyesszöge A magasságtétellel számítsuk ki az átfogóhoz tatozó magasságot, m = 8 cm! Majd megfelelô szögfüggvény segítségével kaphatjuk meg az egyik szöget, amelybôl megkaphatjuk a másik szöget Pitagoasz tételének segítségével számíthatjuk ki a befogókat 8 a = $ cm,7 cm, és b = $ cm 8,9 cm a két befogó hossza, a á,7 és b á, a két hegyesszöge Az átfogóhoz tatozó magasság két szelete osztja az átfogót E két szelete kapunk ebbôl egy egyenletet A másik egyenletet a magasságtételbôl kaphatjuk Megoldva az egyenletendszet, egy másodfokú egyenlethez jutunk Megoldva kaphatjuk, hogy a két szelet cm, illetve 8 cm, illetve fodítva Pitagoasz tételével kiszámíthatjuk a befogókat Szögfüggvény segítségével számíthatjuk ki a szögeket 8 R = + $, egység a háomszög köé íható kö sugaa Például szögfüggvény segítségével kaphatjuk, hogy BC = R Számítsuk ki a beít kö sugaát, amely egység lesz! Vegyük figyelembe, hogy a B-bôl a C-felé induló éintôszakasz hosszát például szögfüggvénnyel megkaphatjuk, hiszen a beít kö középpontja ajta van a szögfelezôkön Ehhez hozzáadva a beít kö sugaának hosszát, megkapjuk a BC távolságot, vagyis R hosszát 87 a = cm, b = cm a befogók hossza, illetve fodítva a, és b 7,8, a hegyesszögek, illetve fodítva Pitagoasz tételének segítségével kaphatunk egy egyenletet Ha alkalmazzuk a köhöz külsô pontból húzott éintôszakaszok tételét, akko ebbôl kaphatjuk, hogy az átfogó hossza egyenlô a - cm és b - cm összegével Ebbôl nyetük a második egyenletet Oldjuk meg az egyenletendszet, amely másodfokú egyenlete vezet! Ebbôl kaphatjuk a befogókat Szögfüggvény segítségével számíthatjuk ki a szögeket 88 c = 0 cm az átfogó hossza a = cm és b = cm a befogók hossza, illetve fodítva a,87 és b,, a hegyesszögek, illetve fodítva Vegyük észe, hogy c = $ R! Miét? Alkalmazzuk Pitagoasz tételét és a köhöz húzott éintôszakaszok tételét! Ebbôl két egyenletet kapunk a két befogóa Megoldva az egyenletendszet amely egy másodfokú egyenlete vezet, megkaphatjuk a befogókat Szögfüggvénnyel megkaphatjuk a szögeket 89 a, és b 7,8 a hegyesszögek, vagy fodítva Készítsünk egy olyan deékszögû háomszöget, amelynek beít köének sugaa egység és a köülít kö sugaa pedig egység! Ez hasonló háomszög ahhoz, mint ami a feladatban szeepel Ezután például úgy oldhatjuk meg a feladatot, mint az elôzôt 90, cm a négyszög ismeetlen oldala Bocsássunk meôlegest a, cm-es szakasz megfelelô végpontjából a cm-es oldala! Ezt szögfüggvénnyel kiszámíthatjuk A, cm-es oldal meôleges vetületét a cm-es oldala szintén szögfüggvénnyel számíthatjuk A,7 cm-es oldal megfelelô végpontjából húzzunk páhuzamost a cm-es oldallal! Így kaptunk egy olyan deékszögû háomszöget is, amelynek átfogója az ismeetlen oldal Ee a háomszöge alkalmazzuk Pitagoasz tételét!

5 8 Hegyesszögû tigonometiai alapfeladatok 9 9, cm és y 9, cm az ismeetlen oldalak hossza Elôszö számítsuk ki a + a étékét a + a = = 80 -,, majd az a étékét szögfüggvénnyel, és ebbôl kapjuk a étékét Pitagoasz tételével kaphatjuk e-t Az és y az e és a ismeetében szögfüggvénnyel számolható 9 a 9,8 cm és c, cm az alapok hossza A övidebbik alap két végpontjából húzzuk meg a tapéz magasságait! A száak meôleges vetületeit a nagyobbik alapa, szögfüggvénnyel számíthatjuk ki Számítsuk ki a magasságot! Állítsunk fel egy egyenletet az alapoka! Majd íjunk fel egy egyenletet a teülete! Oldjuk meg az egyenletendszet! 9 eset: A szimmetikus tapéz esete a, cm és c,7 cm az alapok hossza, a 7,9 és b 08,8 Húzzuk meg a tapéz egyik átlóját! Alkalmazzunk szögfüggvényt, illetve Pitagoasz tételét! eset: A paalelogamma esete a = c =, cm az alapok hossza, a szögek ugyanazok, mint az elsô esetben 9,9 cm az ismeetlen oldal, 0,, illetve 7,8 az ismeetlen szögek Állítsunk meôlegest a 8 cm-es, illetve a 7 cm-es oldal megfelelô végpontjából a cm-es oldala! Ekko a 8, illetve a 7 cm-es oldalak cm-es oldala való meôleges vetületei alkalmas szögfüggvényekkel számolhatók, valamint a vetítô szakaszok hosszai is számolhatók A 7 cm-es oldal megfelelô végpontjából meôlegest állítunk a 8 cm-es oldalt vetítô egyenese, s így kapunk egy deékszögû háomszöget, amelybôl az ismeetlen oldal számítható 9, cm,,8 cm,,97 cm, illetve 8,9 cm a négyszög ismeetlen oldalai Húzzuk meg az AC átlót! Állítsunk meôlegest C-bôl AB-e és állítsunk meôlegest D-bôl az AC átlóa! A keletkezô megfelelô deékszögû háomszögeke alkalmazzunk megfelelô szögfüggvényeket, majd Pitagoasz tételét! Tigonometikus kifejezések 9 a) sin a; b) cos a; c) 97 a) ctg a; b) cos a; c) - tg a 98 a) 0; b) $ sin b; c) - ctg a 99 a) sin a; b) ; c) sin a 700 a) cos a = ; tg a = ; ctg a = b) cos a = ; tg a = ; ctg a = c) cos a = $ ; tg a = t ; ctg a = d) cos a = ; tg a = + t t ; ctg a = $ e) sin a = ; tg a = ; ctg a = f) sin a = ; tg a = ; ctg a = $ g) sin a = ; tg a = ; ctg a = h) sin a = ; cos a = ; ctg a = i) sin a = ; cos a = ; ctg a = j) sin a = ; cos a = ; ctg a =

6 Vegyes, illetve összetettebb hegyesszögû tigonometiai feladatok 87 k) sin a = ; cos a = ; tg a = l) sin a = ; cos a = ; tg a = 7 $ 7 m) sin a = ; cos a = ; tg a = tg a= 70 a) ; b) 70 a) ; b) ; c) 70 a) ; b) sin a 70 a) Végezzük el a bal oldalon a szozásokat és a jobb oldalon a négyzete emelést! b) Szoozzunk be a nevezôkkel! 70 Alakítsuk szozattá a bal oldal számlálóját, másészt vegyük figyelembe, hogy sin a + + cos a = cos a - sin a = (cos a - sin a) (cos a + cos a $ sin a + sin a) 707 Végezzük el a bal oldalon a kijelölt mûveleteket! 708 Végezzük el a bal oldalon a kijelölt mûveleteket! 709 Végezzük el a bal oldalon a kijelölt mûveleteket, majd alkalmazzuk a tangens definícióját, és hozzunk közös nevezôe 70 a) és b) használjuk a definíciókat és hozzunk közös nevezôe! 7 a) ; b) ; c) ; d) 7 sin a 7 a) - ctg a; b) cos ; c) tg ; d) 7 A bal oldal számlálójában is és nevezôjében is hozzunk közös nevezôe! 7 a) Emeljük köbe a sin + cos = egyenlôséget! b) - Használjuk fel az elôzô feladat eedményét és a sin + cos = négyzete emelésével kapott eedményt! 7 a) m - Emeljük négyzete a tg + ctg = m egyenletet! b) m - $ m Alakítsuk szozattá a tg + ctg kifejezést! 77 A kifejezés pontos étéke Vegyük figyelembe, hogy sin 7 = cos (90-7 ), másészt cos 7 = sin (90-7 ), alkalmazzuk még a kotangens definícióját Majd végezzük el a mûveleteket! 78 A kifejezés pontos étéke Vegyük figyelembe, hogy sin = cos 7, másészt sin 7 = cos 7! Miét? $ 79 A kifejezés pontos étéke Vegyük figyelembe, hogy sin = cos és 7 $ cos = sin! Miét? 7 70 A kifejezés pontos étéke Vegyük figyelembe, hogy sin ( - a) = cos (a + ) és cos (0 + a) = sin (0 - a)! Miét? Szögfüggvények általánosítása 7 a) sin a; b) - cos a; c) - tg a; d) - ctg a 7 a) - sin a; b) - cos a; c) tg a; d) - ctg a; e) - sin a; f) cos a; g) tg a; h) ctg a 7 a) cos a; b) sin a; c) cos a; d) - sin a; e) sin a; f) - tg a; g) ctg a; h) - ctg a; i) tg a; j) - cos a 7 a) ; - ; - ; - ; - ; b) - ; - ; ; ; - ; - c) -; ; -; -; ; - d) - ; ; - ; - ; ; 7 Mindegyik észfeladat eedménye 0 7 a) - ; b) - ; c) - ; d) ; e) - ; f) -

7 88 Tigonometikus függvények gafikonjai 77 A kifejezés pontos étéke 78 Mindegyik észfeladat eedménye 0 79 Mindegyik észfeladat eedménye 0 70 a) - ; b) ; c) 7 Vegyük figyelembe, hogy a szinuszfüggvény peiódusa 0, másészt sin (80 + a) = =-sin a! 7 A kifejezés pontos étéke -8 Vegyük figyelembe, hogy a tangensfüggvény peiódusa 00 $ $, másészt tg (- a) = tg a! Ezeket alkalmazva igazolhatjuk, hogy tg = tg, $ J N J N másészt tg = tg - = tg - = tg K O K O L P L P 7 A kifejezés pontos étéke Vegyük figyelembe, hogy a koszinuszfüggvény peiódusa $, másészt a tangensfüggvény peiódusa Ezt felhasználva mutassuk meg, hogy a négyzete emelendô töt számlálója cos, míg a nevezôje tg Az utóbbi pedig egyenlô $ tg J- N K O -mal! Folytassuk! L P J N 7 a) Végeedmény: Vegyük figyelembe, hogy cos ( + ) =-cos és cos + K O = L P =-sin! b) Végeedmény: Vegyük figyelembe, hogy sin (80 - ) = sin és sin (70 - ) = = sin ( ) =-sin ( + 90 )! 7 a) Végeedmény: Vegyük figyelembe, hogy az elsô szozat mindkét tényezôje - sin, míg a második szozat mindkét tényezôje cos! b) Végeedmény: Igazoljuk, hogy az elsô szozat mindkét tényezôje sin, míg a második szozat elsô tényezôje cos, a második tényezôje - cos! 7 a) ctg a; b) - cos a; c) - cos a 77 ctg a =- ; cos a =- ; sin a= 78 Végeedmény: sin $ cos = Mutassuk meg, hogy = + tg, másészt cos tg sin $ cos =! + tg 79 Használjuk fel, hogy = + ctg, ezután a négyzetgyök alatt alakítsunk ki teljes négyzetet! Gondoljuk meg, hogy a feltételek miatt + ctg a =--ctg a! sin 70 A kifejezés pontos étéke: 0 Használjuk fel, hogy tg (80 - a) =-tg a, ezét tg 77 =-tg Hasonló módon ctg 7 =-ctg Tigonometikus függvények gafikonjai 7 a) Vegyük figyelembe: sin ( - ) = sin! b) Gondoljuk meg: cos (- ) = cos! 7 a) (7/I) b) (7/II) 7 a) Gondoljuk meg, hogy tg (- ) =-tg, ezét tüközzük a tg függvény gafikonját az tengelye b) Vegyük figyelembe, hogy ctg (- ) =-ctg, ezét tüközzük a ctg függvény gafikonját az tengelye

8 Tigonometikus függvények gafikonjai 89 7/I 7/II 7 a) (7/I) b) (7/II) 7 a) Vegyük észe, hogy f () = minden valós - e! b) Gondoljuk meg, hogy g() = (sin + cos ) 7 a) Igazoljuk, hogy f () = 0 b) Igazoljuk, hogy g() = 0 77 a) Vegyük figyelembe, hogy f () =-cos b) Gondoljuk meg, hogy g() = cos 78 a) Vegyük észe, hogy f () =-sin b) Vegyük figyelembe, hogy g() = sin 79 a) A tg függvény gafikonját toljuk el -vel az tengely iányában a pozitív iányba b) A tg függvény gafikonját toljuk el -vel az tengely iányában a negatív iányba 70 a) A ctg függvény gafikonját toljuk el -vel az tengely iányában a negatív iányba! b) A ctg függvény gafikonját toljuk el -vel az tengely iányában a pozitív iányba! 7 a) f () = tg ; b) g() = tg 7 a) Igazoljuk, hogy f () = 0 b) Igazoljuk, hogy g() = $ sin 7 a) Gondoljuk meg, hogy f () = $ sin, ha sin $ 0 és f () = 0, ha sin < 0! b) Vegyük figyelembe, hogy g() = $ cos, ha cos $ 0 és g() = 0, ha cos <0! 7 a) Vegyük észe, hogy f () =- $ sin, ha sin <0 és f () = 0, ha sin $ 0! b) Vegyük figyelembe, hogy g() = 0, ha cos $ 0 és g() =- $ cos, ha cos <0! 7 a) Gondoljuk meg, hogy f () =, ha sin >0 és f () =-, ha sin < 0 b) Figyeljük meg, hogy g() =, ha cos >0 és g() =-, ha cos <0 7 Lásd az ábát! 7/I 7/II 7

9 90 Tigonometikus függvények gafikonjai Lásd az ábákat!

10 Tigonometikus függvények gafikonjai a) (78/I); b) (78/II); c) (78/III) 79 a) (79/I); b) (79/II); c) (79/III) Lásd az ábákat! 7 78/II 78/III 7 79/I 77 79/II 79/III 78/I

11 9 Tigonometikus függvények gafikonjai 770 a) (770/I); b) (770/II); c) (770/III) 77 a) (77/I); b) (77/II) 77 a) (77/I); b) (77/II) 77 a) (77/I); b) (77/II) 77 Lásd az ábákat! 770/I 77/I 770/II 77/II 770/III 77/I 77/II 77/I 77/II 77

12 Tigonometikus függvények gafikonjai a) (77/I); b) (77/II) Lásd az ábákat! 77 77/I 77/II

13 9 Tigonometikus egyenletek I ész Tigonometikus egyenletek I ész Bevezetô feladatok A következôkben k, illetve az m tetszôleges egész számokat jelent $ 777 a) = + k$ $ ; = + m$ $ ( = 0 + k $ 0 ; = 0 + m $ 0 ) $ b) = + k$ $ ; = + m$ $ ( = 0 + k $ 0 ; = 0 + m $ 0 ) 7 $ c) =- + k$ $ ; = + m$ $ ( =-0 + k $ 0 ; = 0 + m $ 0 ) $ d) =- + k$ $ ; = + m$ $ ( =-0 + k $ 0 ; = 0 + m $ 0 ) $ e) = + k$ $ ; = ( = 90 + k $ 0 ) f) =- + k$ $ ; = + + m $ $ ( =-90 + k $ 0 ; = 70 + m $ 0 ) (A két megoldás megegyezik) $ g) = + k$ $ ; = + m$ $ ( = + k $ 0 ; = + m $ 0 ) $ h) =- + k$ $ ; = + m$ $ ( =- + k $ 0 ; = + m $ 0 ) i) = 0 + k $ $ ; = + m $ $ ( = k $ 0 ; = 80 + m $ 0 ) A két megoldássoozatot össze lehet vonni a következôbe: = n $, ahol n tetszôleges egész szám j) Nincs megoldás a valós számok halmazán k) á 0,97 + k $ $ ; á, + m $ $ ( á, + k $ 0 ; á,87 + m $ 0 ) l) Nincs megoldás a valós számok halmazán 778 a) = + k$ $ ; =- + m$ $ ( = 0 + k $ 0 ; =-0 + m $ 0 ) $ $ b) = + k$ $ ; =- + m$ $ ( = 0 + k $ 0 ; =-0 + m $ 0 ) c) = + k$ $ ; =- + m$ $ ( = 0 + k $ 0 ; =-0 + m $ 0 ) $ $ d) = + k$ $ ; =- + m$ $ ( = 0 + k $ 0 ; =-0 + m $ 0 ) e) = + k$ $ ; =- + m$ $ ( = + k $ 0 ; =- + m $ 0 ) $ $ f) = + k$ $ ; =- + m$ $ ( = + k $ 0 ; =- + m $ 0 ) g) = 0 + k $ $ ; = ( = k $ 0 ) h) ( = + k $ $ ; =- + m $ $ ) (A két megoldás ugyanaz) i) Nincs megoldás a valós számok halmazán j) = + k$ $ ; =- + m$ $ ( = 90 + k $ 0 ; =-90 + m $ 0 ) A két megoldást összefoglalhatjuk a következôbe: = + n$, ahol n tetszôleges egész szám k) Nincs megoldás a valós

14 Alapvetô feladatok 9 számok halmazán l) á,09 + k $ $ ; á -,09 + m $ $ ( á 70, + k $ 0 ; á - 70, + m $ 0 ) 779 a) = + k$ ( = + k $ 80 ) b) =- + k$ ( =- + k $ 80 ) c) = 0 + k$ = k$ ( = k $ 80 ) d) = + k$ ( = 0 + k $ 80 ) e) =- + k$ ( =-0 + k $ 80 ) f) = + k$ ( = 0 + k $ 80 ) g) =- + k$ ( =-0 + k $ 80 ) h), 8 + k$ ( á,9 + k $ 80 ) 780 a) = + k$ ( = + k $ 80 ) b) = + k$ ( = 0 + k $ 80 ) c) = + + k $ ( = 0 + k $ 80 ) d) 0, 88 + k$ ( á 8,98 + k $ 80 ) Alapvetô feladatok A következôkben k, l, m, n tetszôleges egész számokat jelentenek $ $ 78 a) = + k$ $ ; =- + l$ $ ; = + m$ $ ; =- + n$ $ $ $ b) = + k$ $ ; = + l$ $ ; =- + m$ $ ; = + n$ $ c) = + k$ ; =- + l$ d) = + k$ ; =- + l$ 78 a) = + k$ ; =- + l$ b) = + k$ ; = + l$ c) = + k$ d) = + k$ 8 78 a) = + k$ ; =- + l$ ( = + k $ 80 ); ( =- + l $ 80 ) $ $ b) = + k$ ; =- + l$ 9 7 $ $ $ $ 78 a) = + k$ b) = k$ ; = + l$ 0 $ 78 a) = + k$ b) = + k$ 78 a) = + k$ ; l =- + b) = + k $ ; = + l $ $ $ $ 787 a) =- + k$ ; = + l$ b) = + k$ ; = + l$ ; 9 $ $ $ = + m$ ; = + n$ 9 $ 788 a) =- + k$ ; =- + l$ b) = + k$ ; = + l$ 789 a) eset: = + + k $ $, ebbôl = k $ $ eset: + = + l $ $, ebbôl

15 9 Tigonometikus egyenletek I ész $ $ $ = + m$ b) = k$ ; = + l$ $ $ 790 a) = k$ ; = + l$ b) = + k$ ; =- + l$ a) eset: = + k $ $, ebbôl = k $ $ eset: + = l $ $, ebbôl $ = l$ b) = k$ ; l = $ 79 a) = k$ ; l 0 = $ b) = + k$ ; =- + l$ a) = + k $, ebbôl = k $ Meg kell vizsgálni, hogy a tangensek nevezôi miko nem nullák Ha ezt megtesszük, akko azt kapjuk, hogy a kizát valós számok nem esnek bele az elôbb megadott megoldásjelöltbe, ezét az valóban megoldás Behelyettesítéssel is ellenôizhetjük, hogy kielégíti az egyenletet b) = k$ megoldásjelöltet kapjuk, ha megoldjuk az egyenletet De ezen soozat nem minden eleme megoldás Ha a tangensek nevezôit megvizsgáljuk, miszeint azok nem lehetnek nullák, akko azt kapjuk, hogy csak a következô észsoozatai megoldások az elôbb kapott megoldásjelöltnek: = l$ ; = + m$ ; $ = + n$ 79 a) = + k$ b) = + k$ a) = k $ megoldásjelöltet kapjuk, ha megoldjuk az egyenletet Ámde, ha megvizsgáluk a kotangensek nevezôit, miszeint azok nem lehetnek nullák, akko azt kapjuk, hogy a megoldásjelölt számok esetén nulla lenne a nevezô Ez nem lehet, ezét az egyenletnek nincs megoldása a valós számok halmazán b) = k$ megoldásjelöltet kapunk, de ha megvizsgáljuk a kotangensek nevezôit, miszeint azok nem lehetnek nullák, akko azt kapjuk, hogy csak $ a következô észsoozatok a megoldások: = + l$ ; = + m$ $ $ 79 a) sin = sin (-), ezt pedig megoldva: = k$ ; = + l$ b) = k$ ; l = + $ $ $ 7 $ 797 a) = k$ ; l = + $ b) = + k$ ; =- + l$ a) eset: - = + k $ $, ebbôl = + k $ $ eset: + = + l $ $, $ ebbôl = + l$ b) = + k$ ; = + l$ 8 7 $ $ $ 799 a) = + k$ ; = + l$ b) 0 = + k $ ; = + l$ 800 a) = k$ a megoldásjelölt, de ebbôl csak a következô észsoozatok a megoldások: $ = l$ ; = + m$ ; = + n$ b) = k$ a megoldásjelölt, de ebbôl csak a

16 Alapvetô feladatok 97 $ következô észsoozatok a megoldások: = + l$ ; = + m$ J 80 a) Vegyük figyelembe, hogy cos = sin + N K ; O ezt felhasználva, átíhatjuk az egyenletet a következô alakba: sin = sin + N K L P J, O ez pedig má koábban tágyalt típusú A megoldások: = + k$ $ ; = + l$ b) = + k$ ; = + l$ L P $ 8 $ 80 a) = + k$ ; = + l$ b) = + k$ ; =- + l$ a) =- + k$ ; = + l$ b) =- + k $ ; =- - l$ = 8 0 =- + m $, ahol m=- l vagy = + k $ $ 80 a) =- + k$ ; =- + l$ 8 $ b) = -k$ ; =- -l$ $ 0 80 a) Rendezzük nulláa az egyenletet, ezután alakítsuk szozattá! Használjuk fel, hogy egy szozat akko és csak akko nulla, ha legalább az egyik tényezôje nulla! sin $ ( sin - ) = 0 = k$ ; = + l$ $ b) = + k$ ; = l$ $ ; = + m$ $ (Összefoglalhatjuk a következô egyenletbe: = n$, ahol n tetszôleges egész szám) 80 a) = + k$ ; = + l$ $, összefoglalva: = + m$ b) = k$ ; = l$ $, összefoglalva: = m$ 807 a) = k$ ; = + l$ $ ; =- + m$ $ b) = + k$ ; $ = + l$ $ ; = + m$ $ 808 a) = + k$ $ ; =- + l$ $ b) = k$ ; = + l$ $ ; =- + m$ $ 809 a) = + k$ ; =- + l$ ; b) = + k$ ; =- + l$ 80 a) = + k$ b) =- + k$ 8 a), 07 + k$, (, + k$ 80 ) b) = + k$ 8 a) = + k$ ; =- + l$ b) = + k$ ; =- + l$ $ $ 9 $ 8 a) =- + k$ $ ; = + l$ $ ; = + m$ $ ; = $ + n $ $ b) = + k$ $ ; = + l$ $ A sin = -bôl nincs valós megoldás

17 98 Tigonometikus egyenletek I ész 8 a) = + k$ $ ; á - 0,98 + l $ $ ; á,8 + m $ $ ( = 90 + k $ 0 ; á - 9,7 + l $ 0 ; á 99,7 + m $ 0 ) b) á 0,99 + k $ $ ; á,7 + + l $ $ ; á - 0,08 + m $ $ ; á,8 + n $ $ ( á,98 + k $ 0 ; á,0 + + l $ 0 ; á -,80 + m $ 0 ; = 9,80 + n $ 0 ) 8 a) = 0 + k $ $ b) = k $ ; á 0,0 + l $ ; á - 0,0 + m $ 8 a) = + k$ ; á,90 + l $ b) = + k$ ; = + l$ $ 87 a) = + k$ b) = + k$ ; =- + l$ 8 8 $ 88 a) = + k$ ; =- + l$ b) = + k$ ; =- + l$ ; = + m$ ; =- + n$ $ 89 a) = + k$ b) = + k$ $ ; = + l$ $ ; =- + m$ $ ; 7 $ = + n$ $ 80 a) = + k$ $ ; =- + l$ $ cos = -bôl nem kapunk megoldást b) = + k $ $ ; = + l$ $ ; =- + m$ $ $ 8 a) = k $ ; = + l$ $ b) = + k$ ; = 0 + l $ $ $ 8 a) = + k $ $ ; = + l$ $ b) = + k$ $ ; = + l$ $ sin =--bôl nem kapunk megoldást $ 8 a) = + k$ $ ; = + l$ $ J N b) = + k$ ; á -,07 + k $ ( á -, + k $ 80 ) = + tg K L cos O Alakítsuk át az egyenletet például a következô alakúa: tg + tg - = 0! P $ $ 8 a) = + k$ $ ; = + l$ $ ; =- + m$ $ ; = + n$ $ $ $ Rövidebben: = + k$ ; =- + l$ b) = + k$ $ ; =- + l$ $ ; á,09 + m $ $ ; á -,09 + n $ $ 8 a) Az egyenletnek nincs megoldása a valós számok halmazán + cos! 0& & cos! - &! + k$ ; cos = 0 & = + k$ ; ellentmondás b) = + k$ $ 8 a) = + k$ b) Nincs megoldása a valós számok halmazán 87 a) Nincs megoldása a valós számok halmazán b) =- + k$ $ $ 88 a) = + k$ $ ; = + l$ $ b) = + k$ $ ; = + l$ $

18 Összetettebb feladatok a) = + k$ $ ; =- + l$ $ cos = -bôl nincs megoldás b) = + k$ 80 Azonosság, tehát minden valós szám megoldása az egyenletnek Egyészt emeljük négyzete a sin + cos = azonosságot, másészt emeljük az elôzô azonosságot hamadik hatványa és a kapott eedményeket használjuk fel 7 $ 8 = + k$ $ ; =- + l$ $ ; = + m$ $ 8 = 0 Vázoljuk az f () = cos és a g() = + függvény gafikonját közös koodinátaendszeben! 8 Nincs megoldás a valós számok halmazán Vázoljuk az f () = sin és a g() =-(-) függvény gafikonját közös koodináta-endszeben! $ 8 = + k$ $ ; y= + l$ Alakítsunk ki teljes négyzetet az -es tagokból, az y-os tag má teljes négyzet 8 { = ; y = k $ $ }, { = ; y = + l $ } Hozzuk a következô alaka: - $ $ cos y + = 0 Tekintsük ezt -e másodfokú egyenletnek! Ennek akko és csak akko van valós megoldása, ha a diszkiminánsa nemnegatív Összetettebb feladatok 8 = + k$ 87 = + k$ ; = + l$ 88 = + k$ $ ; =- + l$ $ 89 = + k$ $ ; =- + l$ $ $ $ 80 = + k$ $ ; = + l$ $ ; =- + m$ $ ; = + n$ $ 8 á 0,0 + k $ ; á 0,78 + l $ Vezessünk be új változót, például: + tg y = Ekko másodfokú egyenlete vezethetjük vissza az eedeti egyenletet - tg 8 á - 0,8 + k $ ; á - 0, + l $ Vegyük észe, hogy: - = tg Így cos az egyenlet: tg + $ ctg = tg - Különböztessünk meg két esetet, egyészt amiko 9 tg > 0, másészt amiko negatív (nulla nem lehet) $ 8 = + k$ ; = + l$ $ ; =- + m$ $ ; = + n$ $ ; $ =- + p$ $ Itt k, l, m, n, p tetszôleges egész számok Vegyük észe, hogy cos ( - ) =-cos

19 00 Tigonometikus egyenletek I ész 8 á,779 + k $ $ ; á -,779 + l $ $ Különböztessünk meg két esetet, egyészt amiko cos nemnegatív, másészt amiko negatív 8 = k; + =- + l Alakítsuk át tangense a kotangenst! Ebbôl kapjuk, hogy $ cos ( $ $ ) = + k$ Ebbôl következik, hogy cos ( $ $ ) = (k = 0 lehet csak) 8 = ; =- ; =-, +, ; =-, -, ; = = $ $ k $, + + =- + ebbôl 0 = (k - ) $ + (k - 7) $ - + k Ennek a diszkiminánsa nemnegatív kell hogy legyen, ebbôl következik, hogy: 0 $ k + k - Ezt oldjuk meg, majd vegyük figyelembe, hogy k egész! Ebbôl következik, hogy k lehetséges étékei -, 0, 87 = + k + ; = - k +, ahol k nemnegatív egész szám =- + l + ; =- - l +, ahol l nemnegatív egész szám 88 = k$ + k $ + ; = k$ - k $ + Itt k tetszôleges egész szám = l$ + l $ - ; = l$ - l $ - Itt l tetszôleges nem nulla egész szám A továbbiakban k, l, m, n, p, q,, s tetszôleges egész számokat jelent 89 = + k$ ; á,07 + l $ Osszuk el az egyenletet cos -szel, amiko ez nem nulla! Ezzel tg -e másodfokú egyenletet kapunk 80 = + k$ ; á 0, + l $ Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot 8 á 0,9 + k $ ; á -,99 + l $ Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot, ha elôbb felhasználjuk, hogy = sin + cos 8 á,09 + k $ ; á - 0,77 + l $ Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot 8 = + k$ ; á - 0,0 + l $ 8 = + k$ ; á -,07 + l $ Szoozzunk be a nevezôvel, ezután olyan típusú lesz, mint az elôzô feladatokban megoldottak! 8 = + k$ ; á,89 + l $ ; á,90 + m $ 8 = + k$ ; =- + l$ ; = + m$ ; =- + n$ $ 87 = + k$ $ ; =- + l$ $ ; = + m$ $ ; $ $ =- + n$ $ ; = + p$ $ ; =- + q$ $ ; 7= + $ $ ; $ 8=- + s$ $ Emeljük hamadik hatványa a sin + cos = azonosságot! Ezt felhasználva elôbb-utóbb cos -e negyedfokú egyenletet kapunk, amely másodfokú egyenlete vezethetô vissza (Lehet sin -e negyedfokú is az egyenlet)