3 1, ( ) sorozat általános tagjának képletét, ha
|
|
|
- Ida Kisné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Gyakolatok és feladatok. Hatáozd eg a kvetkező, ekuzíva ételezett soozatok általáos tagját: a), = = " ³, ; (felvételi feladat,99., Teesvá), b),, =, = " ³ ; (felvételi feladat, 99., Teesvá) c) =, = 4 = - " ³ ;, - d), - =, = =, 6 " ³ ; =, =, = " ³. e),. Hatáozd eg a kvetkező soozatok általáos tagjáak képletét: a) 5 6 = -, =, = ; b) = -, =, = ; c) = 4-4, = 6, = ; + + d) = - + +, =, =.. Bizoyítsd be, hogy az ( ) soozat tagjai teljesítik az ³ = a + b ekuziót, + + báely Î eseté, akko a b + b - a b - - = Hatáozd eg az ( ) ³ soozat általáos tagjáak képletét, ha 5 = +, " ³ Bizoyítsd be, hogy végtele sok olya egész szá létezik, aelyből kiidulva az = ± + + ekuziót teljesítő soozat tagjai egész száok sszes (az előjeleket ide lépésbe tetszőlegese egválaszthatjuk)! (Radó Feec Elékvesey.) 6. Hatáozd eg az sszes olya egész szásoozatot, aely teljesíti az + = " Î sszefüggéseket! Bizoyítsd be, hogy az =,, - ³ soozat peiodikus (ha ételezett)!, ( ) k -, k -, 8. Bizoyítsd be, hogy az, Î( - kk, (, =, " ³ ekuziót teljesítő soozat peiodikus! 9. Hatáozd eg az = -, " ³, Î- [, ] soozat általáos tagját! - -. Hatáozd eg =,,, =, " ³ soozat általáos tagját. (Becze Mihály) az,
2 - -. Hatáozd eg az =-,, = " ³ soozat általáos tagját! - 4. Az Î N - soozat teljesíti az =, = - (- ) " ³ sszefüggéseket. Bizoyítsd be, hogy, =,-, " ³! (éettségi,998, Izael). Bizoyítsd be, hogy az ( ) =, = 4 =, 8, " ³,, sszefüggésekkel ételezett soozat ide tagja teészetes szá! 4. Egy eeletes házat háy külbző ódo szíezhetük ki fehée és feketée, ha két feketée szíezett eelet e keülhet egyás flé, és ide eeletek vagy fehéek, vagy feketéek kell leie? 5. Vizsgáld eg az, = a,, Î soozat kovegeciáját! (előbb vizsgáljátok eg, i lehet az első tag ahhoz, hogy a soozat jól-ételezett legye) 6. Vizsgáld eg az, = l(, ), Î soozat kovegeciáját!.. Másodedű lieáis ekuziók Ételezés. Másodedű lieáis ekuzióak evezzük az = a + b + +, " Î ekuziót, ahol abî, (vagy abî, ). Vizsgáljuk eg egy sajátos esetet. Feladat. Hatáozzuk eg az = -, =, = 5 soozat általáos tagját. + + Megoldás. A soozat további tagjai = 9, = 7, =, = 65. Látható, hogy a soozat ide tagja -gyel agyobb it egy kettőhatváy, potosabba az = + sszefüggés sejthető. Ez igazolható a ateatikai idukció segítségével is, i azoba egpóbáluk olya ódszet adi, aely lehetővé teszi az általáos eset egoldását is. E célból átedezzük az adott ekuziót a kvetkező ódo: - = Így az y = - + jelléssel az adott ekuzió y = y alakba íható, tehát az + y soozat ³ - egy étai haladváy. Eszeit y = y =, tehát az - + = ekuzióból kellee eghatáozi az ( ) ³ soozat általáos tagját. Ha felíjuk ezt a ekuziót ede az.,.,...,, étékeke, ajd tagokét sszeadjuk a kapott egyelőségeket, akko az.. = egyelőséghez jutuk. Ebből kvetkezik, hogy... = +. Eek a godolateetek az előye, hogy tetszőleges kezdőétékek eseté is haszálható (a egsejtés lehet, hogy ás kezdőétékek eseté e hozzáféhető). Tetszőleges és eseté y ( ) - = - és így = (. )( ), tehát ( ) ( ) - = - + -, " Î. Vizsgáljuk eg, hogy y = - + alakú helyettesítéssel (akácsak az előbb) ilye feltételek ellett tudjuk átalakítai az adott = a + b + + () ekuziót y = y alakú + ekuzióvá. Az y y = ekuzió + - = ( - ) + + +
3 alakba íható, ahoa = + -, tehát a egfelelő és egválasztása az + + ìï + = a ï í egyeletedsze egoldásáa vezetődik vissza. Így az és az - a - b = ï b =- ïî egyelet gykei. Ezt az egyeletet a () ekuzió kaakteisztikus egyeletéek evezzük. Mivel a kaakteisztikus egyeletek idig va két egoldása (esetleg egybeesők vagy kopleek), az előbbi feladat egoldása a kvetkezőképpe általáosítható: - = - -, - tehát ha ezt a ekuziót ede az,.,.,..., étékeke felíjuk, a k -adikat szoozzuk el és tagokét sszeadjuk a kapott egyelőségeket, akko az æ- - k -- k - = ( - ) å çè ø sszefüggéshez jutuk, it ez az alábbiakból kitűik. - = - - Ha = = = ( - ) - + æ- - k -- k - = ( - ) å çè ø æ k k ¹, akko az - = ( - ) å azoosság alapjá çè ø = c + c, ahol c = és c = k k - å, tehát ( k k ) Ha = =, akko = ( -) = + alakú. k - - Ha a kaakteisztikus egyelet együtthatói valósak de a gykei e valós száok, akko a soozat általáos tagjáak alakja egyszeűsíthető hisz = s( cos j± i si j), tehát, ( cos si ) = s k k+ k k. Az előbbi eseteket sszefoglalva kijelethetjük a kvetkező tételt: Tétel.. Ha az - a - b = kaakteisztikus egyelet gykei ¹ Î, akko az a b = ekuzió általáos tagja = c + c alakú.. Ha az - a - b = kaakteisztikus egyelet gykei =, akko az = a + b + + ekuzió általáos tagja = ( k + k ) alakú.. Ha az - a - b = kaakteisztikus egyelet gykei = Ï, akko az a b = ekuzió általáos tagja = ( k cos k+ k si k ) alakú, ahol j az edukált aguetua. A kostasokat idháo esetbe egadott tagokból hatáozzuk eg.
4 Eedéyek, útutatások. A soozat első éháy tagját kiszáoljuk kokéta és egpóbáljuk észevei a egfelelő képletet. a) =, ³ ; b), c) =,, ³ d) =, ³ ;,,,,...,. 4.. = =, ³, e) =, ³.. Másodedű, álladó együtthatójú ekuziók. Ha e tudják, akko igazoli lehet az általáos tag előállításáa voatkozó tételt.. Elégséges igazoli, hogy az y = - a - b soozata teljesül, hogy y b y = Az y = soozata lieáis a ekuzió. 5. Midkét előjel eseté =. A -as feladat alapjá látható, hogy az u = 4u - u soozat tagjai teljesítik ezt az sszefüggést, ha u + u - 4uu =. Tejesszük ki ezt a soozatot egatív ideeke is az u = 4u - u sszefüggést haszálva ( + + eseté). Másészt az = sszefüggés szietikus + + és + -e ézve, ezét = ± u soozatot ( = és u = Î Ez azt jeleti, hogy ha tekitjük a gzített, -ből iduló u ), akko az ( ) soozat tagjai az előjelek egválasztásától függetleül az Î u Î soozat tagjai kzül keülek ki (ebbe a soozatba előe lépük, ha + előjelet választottuk és hátafele ha előjelet választottuk). Eiatt elégséges igazoli, hogy végtele sok olya és egész szá va, aelye =. Ez ekvivales az - - = (Pell típusú) egyelettel és eek végtele sok egoldása előállítható az a b = b és = a + b ). = eseté Î{ - } 6., + = +, a, b Î kifejtésből (. Ez alapjá a páos ideű tagok észsoozata kostas vagy kostas -. = -e = és így + =, ha ³. Az étéke tetszőleges lehet (csak e - ) Lehet kokét étékekkel is póbálkozi az elejé és aztá a ekuzió alapjá kiszáoli,, -at az függvéyébe.,, 4, 8 9. Az = y soozat eseté a ekuzió y = 4y - y, " ³, y Î- [, ] alakú, vagyis ha y cos a =, akko y cos ( a ) =. - -
5 p u. = ta. A ekuzió alapjá, ha = tau, akko ta 4 + =, tehát 6 -. =, ³.. Mateatikai idukcióval. 6,. A gykt kiküszblve, szeit átedezve és felíva a ásodfokú egoldását az,,, p = ta. + =, = 4 = - 8, " ³ sszefüggéshez jutuk. Ez alapjá = + -, tehát ide tagja egész szá (et = 9 is az) Ha az eelet lehetséges szíezéseiek száa, akko =, = és = + et ha az első szit fehé, akko a tbbit ódo lehet kiszíezi és ha az első + - szit fekete, akko a ásodik fehé és a tbbit - ódo lehet szíezi A gafikus képe kellee ábázoli a soozat tagjait pókháló ódszeel (cobweb ethod) és oa leolvasható a soozat viselkedése.
VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k
2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
= λ valós megoldása van.
Másodredű álladó együtthatós lieáris differeciálegyelet. Általáos alakja: y + a y + by= q Ha q = 0 Ha q 0 akkor homogé lieárisak evezzük. akkor ihomogé lieárisak evezzük. A jobb oldalo lévő q függvéyt
3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!
Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk
1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
Gyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
V. Az egyváltozós valós függvények analízisének elemei
Az egyváltozós valós függvéyek aalíziséek elemei Soozat hatáétéke egye a, és b egye a -, és b - Ige egye a -, és b - Nem egye a -, és b - 6 Nem egye a -, és b - 7 Nem egye a _- i, és b 8 Ige egye a _-
INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK
Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy
Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova
Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok
SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo
SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő
KITŰZÖTT FELADATOK A X. OSZTÁLY SZÁMÁRA
Kitűzött feladatok a X. osztály számára 7 KITŰZÖTT FELADATOK A X. OSZTÁLY SZÁMÁRA. Legye A egy véges halmaz, amelyre A. Határozd meg az A elemeiek számát úgy, hogy létezze f : A A P(A) bijektiv függvéy.
2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.
Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is
Kitűzött feladatok Injektivitás és egyéb tulajdonságok 69 KITŰZÖTT FELADATOK
Kitűzött feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 69 1. KITŰZÖTT FELADATOK Határozd meg az összes szigorúa mooto f:z Z függvéyt, amely teljesíti az f ( xy) = f ( y), x, y Z összefüggést és létezik k
2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása
59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,
A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és
II. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK
Itegrálási módszerek 5 II INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK A parciális itegrálás módszere Ha az f, g : D (D em degeerált itervallumok egyesítése) függvéyek deriválhatók a D halmazo, akkor tudjuk, hogy a szorzatuk
18. Differenciálszámítás
8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke
Függvények határértéke 69. III. Függvények határértéke
Függvéyek határértéke 69 A határérték értelmezése III Függvéyek határértéke Ebbe a fejezetbe taulmáyozi fogjuk a függvéy határértékét egy potba A feladat így fogalmazható meg: Ha adott az f : D valós változójú
( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn
Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes
NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.
NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a
2. LOGIKAI FÜGGVÉNYEK MEGADÁSI MÓDSZEREI. A tananyag célja: a többváltozós logikai függvények megadási módszereinek gyakorlása.
. LOGIKI ÜGGVÉNYEK EGÁSI ÓSZEREI taayag célja: a többváltozós logikai függvéyek egadási ódszereiek gyakorlása. Eléleti iseretayag: r. jtoyi Istvá: igitális redszerek I.... pot. Eléleti áttekités.. i jellezi
A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:
Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai
V. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy
A figurális számokról (IV.)
A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe
Sorozatok A.: Sorozatok általában
200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,
MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei
ö ő ó í í ő ő í í ú ó í ő ü ö ö ő í ő ó í ó ó í ö ő í ó ú ó í í í í ö ő ő ő ő ö Ö ü ó ö ü ö ö ö ő í ő ö ő í ö í í ü ö í ú ü ő ö ö ó ö ő í ő ö ő ö ö ő
ö ő ű ö ö ő ó ű ü ő ü ő ö ő ö ö ő ö ö ő ó ű ö ü ő í ő ö ő í ű ő ö í ö ö Ö ő ű ú ö ő ő ö ö ő ü ü ü ö ő ú ú ő ő ó ő ö í ő ő í ó ö ő ő ö í ó ö ö ő ő ö ö í í ó ú ő ő ö í ó ö í ó ö ü ö ő ó í í ő ő í í ú ó í
Ö í ó í ű í Ö ó ú ű í ú ű Í ú Ó Ú ű ó í Ő Ő ű í í í Í ú ú í ú í Í Ó ó ú ó ó í Á ű Í Ű í Ő Á ó Ö ű ó ű
Ö Ő Ö ü Ö ü ó Á Á ó ó ó í ü ó í í ű í ó ü í ü ó ű í Ö í í ü í Ö í ó í ű í Ö ó ú ű í ú ű Í ú Ó Ú ű ó í Ő Ő ű í í í Í ú ú í ú í Í Ó ó ú ó ó í Á ű Í Ű í Ő Á ó Ö ű ó ű ó ó ó ó í ű ó ü ü í Ő í ó ó í Ő ú Ő í
ő ü ü ü ü ő Ö ő ő ő ü ő ő ő ü ü ő ü ő ő ü ü ő ü ő ü ú Á ú ő ü ő ő ő ü ő ü ú ú Ö ő ü ű ü ő ő Ö ú ő ő ő ő ü
Á Á ü ő ú ő ő ő Ö ú ő ő ő ő ü ő ő ő ő ő ü ü ü ü ő Ö ő ő ő ü ő ő ő ü ü ő ü ő ő ü ü ő ü ő ü ú Á ú ő ü ő ő ő ü ő ü ú ú Ö ő ü ű ü ő ő Ö ú ő ő ő ő ü ő ő ő ő ő ü ü ő ü ő ü ü ü ő ő ő ú ű ő ő ő ú ú ő ő ü ű ú ő
ü ö ö ö ü Ü ö Ö Ö ü ü ü ö ö ö Ü Ö Ö ö ö Í ö ö ö ö ö ö üü ö ö ö ö ú ö ö ö ö ö ö ö ö ü ú ö Ö Ö ö ö ö ö Ö Á ö ö ö ü ö ö
ő ű ö ö ú ú ü ö ö ö ü Ü ö Ö Ö ü ü ü ö ö ö Ü Ö Ö ö ö Í ö ö ö ö ö ö üü ö ö ö ö ú ö ö ö ö ö ö ö ö ü ú ö Ö Ö ö ö ö ö Ö Á ö ö ö ü ö ö ő ö ö Ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ú ö ö ö Á ú ú ö ö ú ú ö Á ú ö ö ú ö ö ö ö ö
I. rész. Valós számok
I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =
VILLAMOS ENERGETIKA Vizsgakérdések (BSc. 2011. tavaszi félév)
1 VILLAMOS ENERGETIKA Vizsgaérdése (BSc. 2011. tavaszi félév) 1. Isertesse a villaoseergia-hálózat feladatr szeriti felosztását a jellegzetes feszültségsziteet és az azohoz tartozó átvihető teljesítéye
1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:
1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét
Analízis feladatgy jtemény II.
Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................
1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)
Bizonyítások. 1) a) Értelmezzük a valós számok halmazán az f függvényt az képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl).
) a) Értelmezzük a valós számok halmazá az f függvéyt az f x = x + kx + 9x képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl) ( ) Számítsa ki, hogy k mely értéke eseté lesz x = a függvéyek lokális szélsőértékhelye
MAGASABBFOKÚ MÁTRIXEGYENLETEK MEGOLDÁSA
1 MAGASABBFOKÚ MÁTRIXEGYENLETEK MEGOLDÁSA Tuzso Zoltá Akár a régebbi, akár az alteratív XI. osztályos algebra taköyveket lapozva, akár példatárakba vagy matematikai verseyeke gyakra találkozuk egyél magasabb
Számsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.
Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el
2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
A Cauchy függvényegyenlet és néhány rokon probléma
A Cauchy függvéyegyelet és éháy roko probléma Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A függvéyegyeletek egyik alapegyelete a Cauchy függvéyegyelet, amely a következő: Melyek azok az f : R R folytoos függvéyek,
ú ú ü ü ú ü Í ü ú ü ú ü ú ü ü ű ü ú ű Í ü ü ú ű ü ű ű ü ü ü ü ű ú Ú ú
ú É ú ü ú ü Í ü ú Ú ú ú ü ü ú ü Í ü ú ü ú ü ú ü ü ű ü ú ű Í ü ü ú ű ü ű ű ü ü ü ü ű ú Ú ú Í ú É Í Á Á Í É Á Á Á Í Á Ó Á Á É Á Á É É ű Á É É ú É É Á Á ú Á ü Á Á Á Á Ú É ü ú ú É É ú Ú Á Á É Á É Ó Ú ú Ú Í
Ó ö ű Ü Ó Ó Ö Ö Í Ó Ö Ú Ö Ű Ü Ö Ö ö Ü Ó Í ö Ü Í Ü Ú Ö Í Ó Ó Ó Ö Ö Á Ó Ü Ó Ó Ö Ó Ó Ó Ö Ö Í Ó Ö Ó Ó Ó É Ü ű Ó ú
Á É É É Ü Á Ü Ü ű Í Ó Ü ű Ó Í Ú Ü Ó ű ú Ü ű ö Ó ö ű ű Ó Ó Ó Ő ű Ó Ö ö Ó Ö Ü Í Ü Ó Ü Á Í Ó ü Ú Ó ű ú Ó úü Ó Ú ü Í ű Í Ő Ó Ó Ó Ó Ü ú Í Í Í Ó ö ű Ü Ó Ó Ö Ö Í Ó Ö Ú Ö Ű Ü Ö Ö ö Ü Ó Í ö Ü Í Ü Ú Ö Í Ó Ó Ó Ö
ö ö í í í í ö í í í í í í í í ö ú ö í í í í í ö ö ü í ö í ö í í í ü í í ö Í í ö ü ű í í í í í
Á É ö úú í ö ö í ű í ú ű Ő ű ű ű Ú ö ö í í í í ö í í í í í í í í ö ú ö í í í í í ö ö ü í ö í ö í í í ü í í ö Í í ö ü ű í í í í í í ö ö í í í ö ö ü í ö ö ü í í ö í í í í ö ű í ö í í ü í ü ü í Í ű ü í ű
ó ö í ó í ó í í ü ü í ó ó í ó ó í í Á ö í ö ó ú í ó ó í
Á Á É ó Á ö ú ú ö ö Í ó ö ö í Á ó Á ü ú ü ö ó ú í ó ú í ó ű í ú ó Á ó Á ü ú ó ö í ó í ó í í ü ü í ó ó í ó ó í í Á ö í ö ó ú í ó ó í ö ö í ó ó í í ü ü í ó Á ü ü ü Í ö í ü ó í ű ö ó ó ó ö í ö ó í ó ü ó í
dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár
dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi taár a Romá Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi taár I. VALÓS SZÁMOK. VALÓS GYÖKÖKKEL RENDELKEZŐ MÁSODFOKÚ EGYENLETEK II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI.
Ó Ó Í ő Ó Í ő Ó ő Ó ő Í Ó ő ő ő
Ó Ó Ó Ó ő Í ő ő ő Á Ó ő É Ü Á Ó Ó Í Ő Ó ú Ó Ó Í ő Ó Í ő Ó ő Ó ő Í Ó ő ő ő Í Ó ő Í É Íő ő ő ő Ó ő ö ő ö Ó Ó Í ő ő ö Ő Ó ő ő ö ö Í Í Ó Í ÖÍ Ö ő Ó Ó ő ö Ó ő Ó ő Ó Ó Á Ó ő Ó ő ő Ó ő ő Í ő Í ő ö É ö Ó Ó Ó ő
ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk,
A deceber -i gyakorlat téája A hipotézisvizsgálat fotos probléája a következő két kérdés vizsgálata. a) Egy véletle eyiség várható értékéek agyságáról va bízoyos feltevésük. Elleőrizi akarjuk e feltevés
í Í ő ü í ő í í ő í í ö í ű ü ő ő ű ő ö ü í ő ő í í í ú í ő ú ú í ú ü ú ö ő ö í ő ú Á Í ő ü ö ö ü ö ő ő ő ű ű ö ö ö ő ő ű ő ü ü ő ü ő ő í ú ú ű í ő ű
ö ű í ú ö ú ő ú í ú í Á ú ö í Í Í ö ű í ö í í ű ö ő ő ö ö í ő ö ü ö ő ú ő ő ű í ú ú ő ű ö ő ű ö ö í í ő ö ö ű ö ű ő ú í í ő ü í Í ő ü í ő í í ő í í ö í ű ü ő ő ű ő ö ü í ő ő í í í ú í ő ú ú í ú ü ú ö ő
1. A radioaktivitás statisztikus jellege
A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a
ő ő ú ú ő ö ö ö ö ő ö ü ű ü ö ú ö ö ű ü ő ő ő ő ú ő ü ő ő ő ő ő ü ő Ö ő ö ü ő ö ő ú
ú ú Á ö ő ő ú ú ő ö ö ö ö ő ö ü ű ü ö ú ö ö ű ü ő ő ő ő ú ő ü ő ő ő ő ő ü ő Ö ő ö ü ő ö ő ú ő ö ü ö ö ö ü ő ö ü ö ő ú ö ö Ú ő ö ö ő ö ű ő ő ű ü ü ő ő ő ő ő ő ő ő ő ü ű ű ü ő ü ü ő ö ú ű ö ö ő ü ő ü ü ő
(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai
Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Témavezető: Lebaov Dóa Mezei Istvá Adjuktus Matematika Bs Alkalmazott Aalízis és Matematikai
Egy lehetséges tételsor megoldásokkal
Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe
É Í Ő É É Á í Ü ő í ő í ő ő Í ő ő ő í ú í í ő í ő
É Í É É Í Ő É ő ő É Í Ő É É Á í Ü ő í ő í ő ő Í ő ő ő í ú í í ő í ő Í Ó É É í ü ő É É Á ő ő É ű ő Á ő í ű ő ü ő ő ü ő ő í ő ő ő ú í ő ő ő í ü É Í É É ő í ő ő ő ő ő í í ő í ő í ú ú ú É Í Ő É í ő í ú Á ő
ö Ö Í ó ö ü ö ö ó ó ü ó Í ö ö ö ó Á ü ü
Í ö ü ó ü ó ö Ö Í ó ö ü ö ö ó ó ü ó Í ö ö ö ó Á ü ü ó ö Í ó ö ó ü ó ó ó ö ö ü ü ö Ó Í Í ü ö ö ö ó ü ó ü ö Ö ö ü Ü ö ö ü ó Í ö ö ö ó Ü ö ö ö ó ó ó ó ü ó Ü ö Ü ó Á Á ö ö ö ó ó ó ó ó ó ö ó ű ó ö ö ö ö ü ú
Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
é é é é í é ű ü ü é ú é í é ü ü é í ű é é é é é é é é ü é ü é ü é í é é é é í é ü é é ü ü é ü ű é é é ű ü é ü ü é ű é ü é éú é ü é ü ű é ü é éú é é é
é Ö é ü é é é ü é í é Ó é Ö é Ú Á é í í ü é é é é ü ü é é é ü é é é ü é ü é í ü é é ü é ü í ü é ü ű é ü ú ü é Í ú ú é ü é é é é í ü é é ü é é é é é é í é ű ü ü é ú é í é ü ü é í ű é é é é é é é é ü é ü
ö ö ö ü ö ü ű ö Ö ü ü ü ü ú ö ú ö ö ű Á ö ú ü ü ö ü ö
ö Ó Í Á ű ü ö ö ü ű ö ö ű ü ú ű Ó ű ü ü ö ü ö ű ű ö ö ö ü ö ü ű ö Ö ü ü ü ü ú ö ú ö ö ű Á ö ú ü ü ö ü ö ö ü ö Á ö ü Ú ö ŐÁ Í ö ú ű Ö Ő Ö ö ö ö Ő Ú Á ü Á ö ö ö ö Í ö ü ú ö ö ü ű ü Á Ó ö Ő ö Á Ő ű ö ö ö
ú ü ő ú ú ü ő
É É ú ü ő ú ú ü ő ú ú ú ő ő ú ü ő Ö Ö Ó Ó É É ő É É É É É É É É É ő É É É É ű ű ő ő ú ú ü ú ő ő ő ü ő ú ő É ő ő ü ű ő ő ő ü ü ő ü ő ü ő Ö ő ő ű ü ő ő ő ő ő ő ő ő ü ú ü ő ü ü ő ü ü ő ő ü ő ő ő ő ü ő ő ő
ö í Á Á Á ö É É í É Á Á Á Á Á É ő ö í ő ö ő ö í ü ő ö ő ö ő ü ö ő ö í ő ő ő ö í ő ő ú ö ű ö ő ö í
ú ö ű ö ő ö í Á Ü ú Á Á Á ö É É í É É Á ö í Á Á Á ö É É í É Á Á Á Á Á É ő ö í ő ö ő ö í ü ő ö ő ö ő ü ö ő ö í ő ő ő ö í ő ő ú ö ű ö ő ö í ö í Á Á Á ö É É í É Á Á Á Á ö ö ú ö ű ö ő ö ö ő í ö í ö í ő ö ü
Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei
Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás
3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló
. Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV
XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február II.forduló -10. osztály
Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 016. február 11
ó ú ő ö ö ó ó ó ó ó ő ő ö ú ö ő ú ó ú ó ö ö ő ő ö ö ó ú ő ő ö ó ő ö ö ö ö ö ö ó Á É ű ó ő ő ű ó ó ö ö ő ó ó ú ő Ű ö ö ó ó ö ő ö ö ö ö ő Ú ú ó ű ó ó ő
Á É É É Ö ó É Á ó É Ü Ü ő Ü ő ö ö ó ő ó ö ö Ö Ú ú ö ö ö ó ó ó ó ö ö ő ő ó ó ő ö ö ö ö ó ö É ö Ö É ó ö ó ú ö ö ó ó ó ó ú ú ö ú ő ó ó ö ó ö ű ö É ö ö ő ó ö ó ö ó ö ő ó ú ő ö ö ó ó ó ó ó ő ő ö ú ö ő ú ó ú
Algebrai egyenlőtlenségek versenyeken Dr. Kiss Géza, Budapest
Magas szitű matematikai tehetséggodozás Algebrai egyelőtleségek verseyeke Dr Kiss Géza, Budapest Néháy helyettesítési módszer és a Cauchy-Schwarz-egyelőtleség speciális esetéek alkalmazása bizoyítási feladatokba
Á Á ő ő ó ő ő ű ó ü ü ó ü ó Ü ú ú ó ó ő ú ő ó ő ő ó ű ó ú ú ő ő ü ő ú ó ú ű ó ő ő ó ű ó Í ú ú Ü ú Ü ó ó ü ű ó ó ő ű ó ő ő ó ű ú ú ő ő ü ő ú ű ó ó ú ű
ó ú ó Á Á Á ő ő ó ő ő ű ó ü ü ó ü ó Ü ú ú ó ó ő ú ő ó ő ő ó ű ó ú ú ő ő ü ő ú ó ú ű ó ő ő ó ű ó Í ú ú Ü ú Ü ó ó ü ű ó ó ő ű ó ő ő ó ű ú ú ő ő ü ő ú ű ó ó ú ű ó ő ő ó ű ó ű ú ű ó ú ú Ü ú Í ü ó Ő Ú Á ÓÁ
megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!
megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások
Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0
Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások
Í Ü Ő Ő Á Ó Á Ő Ú Á Á ó ú í Í Á Ö Á í í Í Ő Ű ú ú Á Í í í Í Í ü ó ö ö í ó ó Í ó í ú ö ö Á Á Á Á í ó í ö ó ó ó ö ö ű ú í íí ó Í ú í ö ó ú í í ó ó ó ó ó ű ó ó ú ö ó í óá ű ó í í Á ú Á í í ó Á ü ö ó ó ó ü
ö é é ú ö ú Ü ő ű ó ő é ó ú ó ó é é é ó ö é ó é ó é ő ő é ü é ó é ó ő ű é Ó é ü é ó é ü ó ó é ü ó é ő é
Á Á ö Á É Á É ú Á Á ö é é ú ó Á é ú é ó ú ő é é ú é ü é ó ó ó ő é ó ó ó é ó é é ó ó é é ó é ü ü ü ő ó é é Ó ő é é ö ö ő é é é é é ú ő ő é é ó ü ú ő é ö é ő ö ü é ő é é ú ő é ü é ü Ú é ö ö é é ü ó ö é é
következô alakúra: ax () = 4 2 P 1 . L $ $ + $ $ 1 1 2$ elsô két tagra a számtani és mértani közép közötti egyenlôtlenséget, kapjuk hogy + cos x
Tigonoetius egenlôtlensége II ész 7 90 a) a in = ezt ao veszi fel ha = Hozzun özös nevezôe alaítsu át a övetezô alaúa: a () = sin cos sin cos + = sin + sin bin = ezt ao veszi fel ha = Mivel b ()> 0 a egadott
194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma
94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,
Ú ű Á ű
Ú ű Á ű ű ű ű ű Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ú Ü Ü Ü Ü Ü ű ű Ú ű ű ű ű Ü ű Ö ű ű Ó Ő ű Ö ű Ö Ü Ő ű ű Ü ű ű Á Á Á Á Á ű Á Ú Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á ű Á Á Á ű ÁÁ ű Á Á Á ű Á ű Á Á Á Á ű Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á ű
Folytonos függvények közelítése polinomokkal
Folytoos függvéyek közelítése poliomokkal Szakdolgozat Paksi lászló matematika BSc, Matematika taái szakiáy Témavezető: Gémes Magit, műszaki gazdasági taá Aalízis Taszék Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi
Bevezetés az algebrába komplex számok
Bevezetés az algebrába komplex számok Wettl Ferec Algebra Taszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december 6.
Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011
1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }
Lineáris egyenletrendszerek. Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Lieáris egyeletredszerek Összeállított: dr. Leitold Adrie egyetei doces Li. egyeletredszerek /2 Lieáris egyeletredszerek áltláos lkj Áltláos (részletes) lk: egyelet iseretle:,, Jelölések: 2 2 2,, 2 2 2,,
Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
ú í ü ü ö ű í í í í ü ö ö ö ö í í í ű í ö Á ö ö í í ü ö ü ü ű
í ö ö ú í ü ü ö ű í í í í ü ö ö ö ö í í í ű í ö Á ö ö í í ü ö ü ü ű ö ö ö ú ü ö ö í í í ö Á ö ö ö ö ö ö ö í ö ö ö ö ö ö ú Ő ö ö ö í ú ú ö ö í ö ö í ű í ö ö ö ö Á ü ö ü ö ü ű ö ö ö í ö í ü í ű í í ö ö Á
ö ü ü ö Ő ü í ü í ü ö ö Ö ó ö ö ö ö ó ö ö ö í ü í Ő Ü ü ö í Á í ü ü ü ö ű ú ö ö ü í Ü Ő ü ü ó ó ó ó í í ó í ö ú ü ü Ö Ö ű ó í ó ó ü ú ü ü ö í ó Ő Ü ó
ö ö Á É ü Ő Ö í ü í ü í ó ó ó í í ó í ö ú ü ü ö ö ű ó í ó ó ü ú ü ü ö í ö ü ü ö Ő ü í ü í ü ö ö Ö ó ö ö ö ö ó ö ö ö í ü í Ő Ü ü ö í Á í ü ü ü ö ű ú ö ö ü í Ü Ő ü ü ó ó ó ó í í ó í ö ú ü ü Ö Ö ű ó í ó ó
Függvényhatárérték-számítás
Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről
É Í ó Í Í ó Íó ó ó Á ó ú ö ű ü ú Á Í ó ó
Í Í Í Í ó ó ó ú ó ő É ú ö ü ú Á Ú ő ö ó ó ó ó ő ő ó ü ő Á ö ű ü É Í ó Í Í ó Íó ó ó Á ó ú ö ű ü ú Á Í ó ó ő ó ú Á ő ü Á ő ú Í É ö Í ö Á Í Á ő ó ő ó ó Á ó ó ó ó ó Íő Á ü ö ó ó ő ó ó Í ö ó ő ú ó Í ö ő ö ó
ú ü ü ú
Ú Á É Á É Í Á ú ú ú ú ü ü ú ú ű Á É Í Á Í Á É Í Á Á É Í Á Ó É Ú Ú Í Á Á É É É Ö Á Á É É É Á Í Í Á Á Á É Í Á Á É Ú Í Á Á É É É Ú ú ü ú ú ű ú ú ü ú Í Í Á É Í Á Ö É Ö Ú Ű Í Á Á É É ú ü ü ü Í ű ű Ü Á É Í Á
(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1
. Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..
ö ö Í ü ö ü ö ű Ü ö ö ö ö ö Ö Ó ö ö Ö ö ö ü ű ö ü ö ö ű ö ü
ü ö ü ü ü ö ö ö ö ö Í ü ö ü ö ű Ü ö ö ö ö ö Ö Ó ö ö Ö ö ö ü ű ö ü ö ö ű ö ü ö Ö ö ü ü ű ü ö ö ö Ü ű Ü ű Í Í ü ú ü ö ú ö ö ö Á ö ű ö Ö ö ö Ö ö ü ö ö ü ö ü ü ö Í ű ü ü ö ö ö ö ö ö ö ű ö ö ö Ö ö ü ö ö ö ú
ű ő ö ő ő ü ő ö ő Á ő ő ő ő ü ő ő Ó ö ü ü ő ö ű ő ő Ö ő ü űő Ö ú ő ü ú ö ő ö ü ő ü ö ő ö ő Ő ő ü ő ö ü ő ü ö ő ő ű ö ő ö ö ö ü ö ú
ő ö ü ő ő Ó ő ü ü ő Ü ő ő ő ő ő ö ő É ö ő ő ö ö ü ő ü ü ő ő ő ü ü ő ő ü ő ü ö ő ő ő ö ö Ö ő ő ö ő ő Ó ö ö ü ű ő ő ü ő ő ő ő ü ő ő ü ü ö ő ő ü Ó ő ő ü ú ű ő ö ő ő ü ő ö ő Á ő ő ő ő ü ő ő Ó ö ü ü ő ö ű ő
EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a
Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! 4. Az EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a1 x + b1 y = c1 egyeletredszer megoldása a a x + b y = c Z halmazo (. rész) Ebbe a részbe
Ö í ó ű í íű ű ó ó ó ó ó ó ó ó ü ó ó Ö ó ü ó ü ó ú ú ú Ö ó ó ó í ó ü úú ü í ó ó ó í Ó Ó ó í Ö í ó ú í ú í ó ü ü ú í í ú í ü ú í
Ö ü Ü Ö Ö ü ü ü ó ó ó ü í í ó í Ö í Á í Ü Ó í ó Ö í Í ü ú Ö í ó ű í íű ű ó ó ó ó ó ó ó ó ü ó ó Ö ó ü ó ü ó ú ú ú Ö ó ó ó í ó ü úú ü í ó ó ó í Ó Ó ó í Ö í ó ú í ú í ó ü ü ú í í ú í ü ú í ó ó í í ú í ü ó
ű Í ő ű ü ő ő ú ő ű ü
Ó Á É ú ű ű ő ú ő ü ő ü ő ü Ö ű ő ű ő ő ő ű ű Í ő ő ű ű ő Í Í ő Í ő ő ő ú ü ű Í ű ú Í ű Í ő Í Í Í ú ú ű ú ű Í ő ű ü ő ő ú ő ű ü ú ő ű Í ű ű ű ü ő ő ő ő ü ü ő ő Íű ő ő ű ő ü ő ű ü ü ő ő ő ü ő ü ő ő ő ú
í ű ű ö í ö í ű í ú ű ű ű í Í í ö í Í ÍÍ ö ü ö í ű í ö ö ö ű í í ö í ö í ü ö í í í ű í ű ö ö ö í ű ö ö ű ü ö ö ö í ú ü ű ö ú í ö ö í ü ö ö í í í í í í
É Á Ú Ö É É É É Ü É ú ö í ü ö ú ö í Ü ü ü ö ö Ő ú í ú ö í ü Á í ű Í í í ú ü ö í í ű í Í ű ü ű í ü ü í ű ú ö Á ö ö ú ö í ű ű ö í ö í ű í ú ű ű ű í Í í ö í Í ÍÍ ö ü ö í ű í ö ö ö ű í í ö í ö í ü ö í í í
SPORTPÉNZÜGYEK. r m. A pénz időértéke.
SPORTPÉNZÜGYEK A péz időétéke. A ai pézösszeg azét étékesebb, it egy későbbi időpotba esedékes pézösszeg, et a befektető eek évé jövedelee, kaata tehet szet Kaat: A péz áa Haszálója azét fizet, et a pézt
Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8
Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,
Í Ó É É É É Ó Ó ú ú Ó Ő Í Ó Ö Ó
ÍÍ Ó É Ó Ó ú Ó Ó Ó ú Ó É Í Ó É É É É Ó Ó ú ú Ó Ő Í Ó Ö Ó É ú Ö Ö Ó É Ó ú ú Á Ó Í Ó Á Ő Ó Ó ú Ó Ó Ó Ó Ó Ó ú Ó Í Í Ó Ő É Ó ú Ő Ő É Ó Ö Ó Ó Ó É Ó Ó É Ú Í Ö ú ú Ö Ö Ó ú ú Ó Ó Ó Ó Ó Ó Í Ó ú Ú Ó ú Í Ó Ó Ó Ó
SZENT ISTVÁN EGYETEM BELSŐÉGÉSŰ MOTOROK MŰKÖDÉSI MIKROFOLYAMATAINAK ANALÍZISE A GÉPÜZEMELTETÉS CÉLJÁBÓL. Doktori értekezés tézisei.
SZENT ISTVÁN EGYETEM BELSŐÉGÉSŰ MOTOROK MŰKÖDÉSI MIKROFOLYAMATAINAK ANALÍZISE A GÉPÜZEMELTETÉS CÉLJÁBÓL Doktoi étekezés tézisei Bátfai Zoltá Gödöllő 001. A doktoi pogam Címe: Agáeegetika és Köyezetgazdálkodás
6. Számsorozat fogalma és tulajdonságai
6. Számsorozat fogalma és tulajdoságai Taulási cél: A számsorozat fogalmáak és elemi tulajdoságaiak megismerése. A mootoitás, korlátosság vizsgálatáak elsajátítása. Nevezetes sorozatok határértékéek megismerése.