Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat október 17. A technológia és a költségek dualitása

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat október 17. A technológia és a költségek dualitása"

Brigitta Királyné
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat 3 októbe 7 technológia és a költségek dualitása oábban beláttuk az alábbi összefüggéseket: a) Ha a munka hatáteméke nő akko a hatáköltség csökken b) Ha a munka hatáteméke csökken akko nő a hatáköltség c) Ha a munka átlagteméke nő akko az átlagköltség csökken d) Ha a munka átlagteméke csökken akko az átlagköltség nő e) z átlagköltség-göbe a minimumában metszi a hatáköltség-göbét; ez megfelel annak a má koábban levezett megállaításnak hogy az átlagtemékgöbe a maximumában metszi a hatátemék-göbét Homogén temelési függvény Egy z h( x y) függvény -edfokú homogén ha z h( mxmy) m azaz ha megszozunk a független változókat ugyanazzal a számmal akko az eedményváltozó étéke az m - szoosa nő Seciális esetek: a) Elsőfokú homogén függvény azaz mz h mxmy vagyis az eedményváltozó étéke az ugyanhányszoosa nő mint a független változók étékei így az eedményváltozó étéke a független változók étékeinek az aányától függ b) -fokú homogén függvény azaz Ezzel z h( mxmy) vagyis az eedményváltozó étéke nem módosul ha a független változókat akámilyen nagy (kicsi) számmal szozunk meg Temelési függvényeke alkalmazva: Ezzel ( ) ( ) függvény -edfokú homogén ha ( mm) m z elsőfokú temelési függvény esetén m ( mm) amiből az m helyettesítéssel f ( k) ahol k Ebben az esetben tehát az főe jutó temelés az főe jutó temeléstől függ illetve -a átendezve f ( k ) Példa: temelési függvény elsőfokú homogén hiszen λ λ λ λ λ hozzátatozó f ( k) függvényt is könnyen

2 tudjuk meghatáozni met f ( k) f ( k) k vagyis 3 homogenitás foka egyenlő a skálaugalmassággal z ( ) temelési függvény legyen -edfokú homogén azaz ha ( ) akko m ( m m ) () Tehát m ()-ből következik m vagyis m m m m s ezzel m m () fenti kélet bal oldalán szeelő kifejezés a temelésnek az m szozótényező szeinti ugalmassága más szóval a skálaugalmasság Jelentése: Ha a szozótényezőt %-kal növeljük akko a temelés %-kal nő 4 Eule-tétel: Egy -edfokú ( ) temelési függvény esetén igaz hogy Ha ( ) -edfokú homogén akko a definíció szeint ( mm) m -et véve ahol k illetve Ebből: m amiből következik vagyis ( ) f ( k ) ( ) f ( k) f (3) ( k) f ( k) és Itt és vagyis és a tőke illetve a munka hatáteméke

3 f l ( k) f ( k) [ f ( k) f ( k) k] Így: f f f ( k) [ f ( k) f ( k) k] ( k) f ( k) f ( k) k ( k) f ( k) f ( k) f ( k) f ( k) amiből (3) miatt az (4) összefüggés adódik 5 Tudjuk hogy adott technológiához meghatáozott költségösszefüggések tatóznak Példaként vegyük a ( ) Cobb-Douglas-féle temelési függvényt (Emlékeztetésül: z szozót általában a technikai haladással vagy a humántőkével szokás kacsolatba hozni mivel > esetén változatlan tőke- és/vagy munkamennyiséggel nagyobb oututot lehet eléni; edig a temelés tőkeugalmassága azaz ha a tőkeáfodítást %-kal növeljük akko a temelés %- kal nő: ε ) tényező áak és ismetek z otimális tényezőfelhasználás feltétele hogy a MP hatátemelékenységek aánya egyenlő a tényezőáak aányával vagyis MP Mivel MP ( ) és MP ezét MP MP ( ) (5) Ez utóbbi összefüggésből adódik ami a temelési függvénybe behelyettesítve: illetve 3

4 4 (6) z (5)-ös összefüggést -e átendezve azt kajuk hogy Ezt megint a temelési függvénybe behelyettesítve és -a átendezve: illetve (7) (6) és (7) alatti eedményekkel íható fel a költségfüggvény: TC átjuk hogy az összköltség-függvény -ban lineáis 6 z előző ontot végiggondolva a és otimális tényezőmennyiségeket a következő feltételes szélsőéték-feladat megoldásával nyetünk: min! TC mellékfeltétel: ( ) Itt nyilván a agange-függvényt is lehetett volna használni azaz ( ) ( ) [ ] min! H λ λ

5 z otimumfeltételek ende: λ λ (8) ( ) Vegyük észe hogy ( λ) H lényegében az összköltség-függvény Tudjuk hogy az otimális tőke- illetve munkamennyiség a temelési szinttől és a tényezőáaktól függ azaz ( ) valamint ( ) fenti agange-függvény ezét úgy is felíható hogy H ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] λ Ha a agange-függvényt a temékmennyiség szeint deiváljuk akko ( ) [ ( )] λ Ebből (8) miatt [ ] λ [ λ ] [ ( )] λ ( ) TC λ (9) vagyis a agange-szozó nem más mint a hatáköltség 7 Shehad lemmája: temelési tényező iánti keeslet a temelési függvény konkét alakjától függetlenül egyenlő a költségfüggvény tényezőá szeinti deiváltjával önnyen lehet aól meggyőzni hogy a fenti feltételekből ugyanazok az otimális tőke- illetve munkamennyiségek következnek 5

6 z állítást a tőkée vonatkozóan bizonyítjuk be iindulóont a fenti agange- illetve összköltség-függvény: H ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] λ Ha ezt a tőke áa szeint deiváljuk akko azt kajuk hogy ( ) amiből átendezéssel ( ) ( ) ( ) λ [ ] ( ) [ ] λ [ λ ] [ ( )] z összköltség-függvény létezésée vonatkozó (8)-as feltételek figyelembe véve: ami a bizonyítandó állítás ( ) ( ) 8 skála ugalmasság és a költségek temelési ugalmassága közötti kacsolat TC z átlagköltségek definíciója C (8) alatti feltételeket λ λ λ kihasználva: C amiből az Eule-tételt alkalmazva C λ adódik Tekintettel aa hogy λ a hatáköltség (ld 6 ont) azt is íhatjuk hogy C C MC illetve Ez utóbbi viszont nem más mint a költségek temelés MC TC MC szeinti ugalmassága hiszen ε TC Ezét ε TC tehát a TC C költségek temelés szeinti ugalmassága egyenlő a skálaugalmasság eciok étékével Így a temelési függvény ismeete elegendő hogy megmondjuk hány százalékkal növekednek a költségek ha a temelést egy százalékkal növeljük fenti éldában szeelő Cobb-Douglas-féle temelési függvény elsőfokú homogén azaz a skálaugalmasság ezét ezen technológiát használva a temelés százalékos 6

7 növelése a költségeket szintén százalékkal fogja növelni mennyiben azonban a temelési eljáás a ( ) függvénnyel lenne leíható akko ( mm) m m m m 3 3 tehát ennél a temelési függvénynél a homogenitási fok 3 ezét a temelés %-kos növelése a költségeket 667 %-kal növeli éldából látszik a józan ész alaján is váható tény: minél hatékonyabb a temelés annál ugalmatlanabb a költség a temelés növelésée 7

Hasonló dokumentumok

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat szeptember 26. Termelés 2: Költség

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat 2011. szetember 26. Termelés 2: öltség I. öltségek A termeléshez termelési tényezőket használunk fel, ezekért fizetni kell ebből adódnak a költségek.