2011. november 2. Dr. Vincze Szilvia

Átírás

1 20. novembe 2. D. Vincze Szilvia

2 Tatalomjegyzék.) Számtani és métani soozatok Métani soozatok alkalmazásai: 2.) Kamatos kamat számítás a.) Egyszeű kamatszámítás b.) Kamatos kamat számítás c.) Kamatszámítás inflációval 3.) Jáadékszámítás a.) Gyűjtőjáadék b.) Tölesztőjáadék c.) Tölesztőtev 4.) Beuházások matematikája

3 Bevezetés Számoljuk ki, hogy egy dohányos, aki napi egy doboz cigit szív (legolcsóbb 500 Ft ost), az húsz év alatt mennyi pénztől esik el feltételezve, hogy a cigie szánt pénzt endszeesen befektette volna éves 8% kamatláb mellett? (Az egyszeűség miatt tekintsünk el az inflációtól.)

4 Bevezetés Egy év alatt dohányosunk Ft ot költ. 20 év alatt ez Ft kiadás.

5 Soozatok fajtái Beszélhetünk számtani és métani soozatokól. Mi a különbség közöttük? A számtani soozatnál az egymást követő tagok különbsége állandó (mintha egy lépcsőn mennénk felfelé vagy lefelé) pl:;4;7;0;3;6;..., vagy: 02;94;86;78;70..., A métani soozatnál az egymást követő tagok hányadosa az állandó. Pl: 3;6;2;24;48;96;92;..., vagy pl: 02; 34; 34/3; 34/9; 34/27;...

6 Számtani soozat definíciója Az a, a 2, a 3, soozatot számtani soozatnak nevezzük, ha létezik d R úgy, hogy az a n+ a n d egyenlőség teljesül minden n N estén. A d állandót a számtani soozat különbségének vagy diffeenciájának nevezzük. Ha d >0, akko a számtani soozat szigoúan monoton növekedő, ha d < 0 akko szigoútan monoton csökkenő, ha d 0, akko a soozat minden tagja egyenlő.

7 Métani soozat definíciója Az a, a 2, a 3, soozatot métani soozatnak nevezzük, ha létezik q R úgy, hogy az a n+ q a n egyenlőség teljesül minden n N estén. A q állandót a métani soozat hányadosának vagy kvóciensének nevezzük. Az a >0 estében () ha q <0, akko a métani soozat tagjai váltakozó előjelűek; (2) ha 0 <q <, akko a métani soozat szigoúan monoton csökkenő; (3) ha q, akko a soozat minden tagja egyenlő; (4) ha q >, akko a métani soozat szigoúan monoton növekedő; (5) ha q 0, akko a métani soozat többi tagja (azaz a 2, a 3, ) 0 val egyenlő.

8 Bevezető alapfogalmak Kamat (p): a kölcsönök után az adós által (vagy a betétek után a bank által) időaányosan fizetett pénzösszeg. Kamatláb (I,i): a pénz használatáét egy megállapodás szeinti időtatama fizetendő kamat és a tőke közötti százalékban megadott aány; 00 pénzegysége vonatkozó kamat egy meghatáozott időe (kamatidőe). A kamatidő általában év. I kamatláb, i matematikai kamatláb

9 Alapfogalmak, képletek Kiindulási összeg: C 0 Kamat: p C 0 i, ahol i a matematikai kamatláb A kamattal megnövelt összeg ( C ) kiszámolása: C C 0 + C 0 i C 0 (+i) C 0, ahol + i kifejezést kamattényezőnek nevezzük.

10 Megjegyzések.) A kamatlábat általában éves futamidőe adjuk meg, de előfodul, hogy az év töt észée, n napa kell a kamatot kiszámolni. Ekko az éves kamatot elosztjuk a 365 tel. Megkapjuk az egy napa eső kamatot, majd megszoozzuk a napok számával: p n C0 i 365 n

11 Megjegyzések 2.) A kamatszámítás képletében 3 mennyiség szeepel, közülük kettő ismeetében a hamadik egyenletendezéssel mindig számolható. Gyakoi, hogy a felkamatolt összeg és a kamattényező ismeetében keessük a kiindulási összeget, azaz visszadiszkontálunk, diszkontálunk: C C 0 C 0 C C C v Az / kifejezést v vel jelöljük és diszkonttényezőnek nevezzük.

12 Kamat és annak számítása A kamat a kölcsönadott pénz használatáét fizetett díj. A kamatozási időszak az az időtatam, amelye a kamat já. Kamatszámítás Egyszeű kamatszámítás Kamatoskamatszámítás

13 Egyszeű kamatszámítás Egyszeű kamatszámításnál a kamatot nem csatolják a tőkéhez, a kamat nem kamatozik. Az időegység alatti tőkenövekmény météke időben állandó. Ez azt jelenti, hogy minden kamatozási peiódus végén a kezdőtőke és a kamatláb szozataként kapjuk meg a kamat összegét. Egy éve jutó kamat kezdőtőke * éves kamatláb

14 Egyszeű kamatszámítás Számítsuk ki Ft nak 24% os kamatláb melletti kamatát fél éve! Egy éve jutó kamat * 0, Féléve jutó kamat / Jövőéték

15 Kamat számítása Ft kölcsönt kapunk úgy, hogy év múlva Ft ot kell visszafizetnünk. Hány százalék a kamat? Induló összeg C 0 A kamattal megnövelt összeg C , C C 0 A C C 0 képletből,6, azaz + i,6, vagyis a matematikai kamatláb i 0,6, vagyis I 6 %.

16 Kamat számítása C Ft I 8% C év * 0, Ft Mi a helyzet akko, ha mondjuk meghidetik az éves 8% kamatot (a bankos hidetményekben mindig az éveset látjuk) de csak 3 hónapa kötjük le a pénzünket?

17 Kamat számítása Számoljuk a kamatláb /2 ed észét (ez a havi kamat) és szoozzuk meg a lekötés hónapjainak számával: C 3/ * (3/2 * 8%) Ft

18 Diszkontálás Egy jövőbeni pénz jelenétékének meghatáozása Képzeld el azt, hogy megveszik tőled a házad, melyet Ft ét adtál el, de a vevő úgy fizet, hogy azonnal Ft ot ad, a többit viszont csak fél év múlva fizetné. A tüelmedét viszont akko majd Ft adna neked. Megéi e Neked ez az üzlet, ha a banki kamatláb 8%?

19 Kamatos kamatszámítás A kamatos kamat azt jelenti, hogy a kamatpeiódus végén a kiindulási összeghez hozzáadjuk az addig temelődött kamatot (tőkésítjük a kamatot), és az összeget úja kamatoztatjuk az előzővel azonos kamatlábbal és kamatozási peiódussal. Ez a folyamat többszö (nsze) ismétlődhet, és az n edik időszak végén szeetnénk hozzájutni a pénzünkhöz.

20 Befektetési alapismeetek: 72 es szabály A 72 es szabály : egy bizonyos éves százaléknövekmény mellett hány év alatt duplázódik meg a pénzed? Ez úgy töténik, hogy a 72 őt el kell osztani a százalékban megadott éves növekmény étékével. Ha egyévi 8% os hozamól van szó, akko 72 osztva nyolccal 9. Tehát kilenc év alatt duplázódik meg a pénz évi nyolc százalékos hozam és kamatos kamat mellett. Ha a növekmény például 3 százalék, akko 72:3 24. Tehát 24 év alatt. Ha a százalék 6, akko nagyjából négy és fél év elegendő a duplázáshoz.

21 a különbség USD Ft Példa: Kamatos kamat számítás Mi töténik USD befektetéssel 30 év alatt különböző hozamokkal? 0 0 évig nem jelentős 8% os kamattal évek 2% os kamattal

22 Befektetési alapismeetek: 72 es szabály Tegyük fel, hogy most 33 éves vagy és 60 éves koodban szeetnél 00 millió fointtal nyugdíjba menni. Adva van egy évi 8% os befektetés. Az a kédés, hogy mekkoa kezdőtőkét kellene most elindítanod ahhoz, hogy évi 8% mellett 60 éves kooda eléd a 00 milliót? Hogyan tudod ezt kiszámolni a 72 es szabály segítségével?

23 Befektetési alapismeetek: 72 es szabály Előszö számoljuk ki, hogy a nyolc százalék mellett hány év alatt töténik egy duplázás? 72:8 9. Tehát kilenc évente duplázódik meg a tőke eft 9 év eft 9 év eft 9 év eft

24 Kamatos kamatszámítás Legyen a kezdőtőke K 0, évente tőkésítjük I% os évi kamatláb mellett. Az. év elejei kezdőtőke az év végée K 0 e növekszik. A 2. év elején a kiindulási összeg K 0, az I% os növekedés az + i vel való szozással íható le, vagyis év végén az összeg: K 0 K 0 2. A 3. év elején meglevő K 0 2 összeg az év végée szeesée nő és K 0 3 lesz. Az n edik év végée a felnövekedett összeg: K n K 0 n.

25 Kamatos kamat számítás Az év elején az Este Banknál 7% os kamata elhelyezett Ft a hamadik év végée milyen étéke növekszik? Kamatidőszak Tőke az időszak elején Egyszeű kamat Tőke az időszak végén (c 0 ) ,07 c , (+0,07) (c ) ,07 c , (c 2 ) ,07 c , ,59

26 Kamatos kamat számítás I / 00 Kamatidőszak Tőke az időszak elején Egyszeű kamat Tőke az időszak végén c 0 c 0 i c c 0 +c 0 i c 0 (+i) c 0 kamattényező

27 Kamatos kamat számítás Kamatidőszak Tőke az időszak elején Egyszeű kamat Tőke az időszak végén c 0 c 0 i c c 0 +c 0 ic 0 (+i) c 0 2 c 0 c 0 i c 2 c 0 + c 0 i c 0 (+i) c 0 2

28 Kamatos kamat számítás Kamatidőszak Tőke az időszak elején Egyszeű kamat Tőke az időszak végén c 0 c 0 i c c 0 +c 0 ic 0 (+i) c 0 2 c 0 c 0 i c 2 c 0 + c 0 i c 0 (+i) c 0 2 n c 0 n c 0 n i c n c 0 n +c 0 n i c 0 n (+i) c 0 n

29 Kamat számítása infláció figyelembe vételével Ha kölcsönadunk egy éve 6% os kamatláb mellett, de közben az éves infláció 8%, akko hány százalékkal változik a pénzünk vásáló étéke?

30 Vásálóéték változása Ha az éves kamatláb I%, az éves infláció F%, akko a vásálóéték változását egy éve vonatkozóan az + + i f hányados adja, ahol az f az inflációs áta, az F százalékláb századésze.

31 Kamat számítása infláció figyelembe vételével + i + f + + 0,6 0,08,6,08,074 Kiindulásko egységnyi pénzünkét egységnyi éékű áut vásáolhatunk. A kölcsönidőszak végén a pénzünk,6 egységnyie nő, az eedetileg egységbe keülő áu áa,08 lesz, azaz pénzünkét ekko,6/,08,074 áuegységet kapunk, vagyis a vásálóéték,074 szeesée nőtt, vagyis 7,4% kal.

32 Jáadékszámítás (annuitás számítás) Annuitás az, amiko endszeesen féleaksz pénzt egy időszakon keesztül. A számítás megmondja, hogy adott kamatláb mellett endszees befizetéseket eszközölve (pl. életbiztosítást fizetsz, endszeesen bankba akod a pénzed, hiteledet töleszted) mennyi lesz a befizetési időszak végén a kamatokkal növelt végösszeg?

33 Jáadékszámítás Jáadékon általában egyenlő időközökben töténő azonos nagyságendű befizetések soozatát étjük, adott kamatfeltételekkel. Alapesetben a pénzmozgás n évig tatson, I% évi kamatlábban és év elején töténő a Ft befizetéssel. (Az a az annuitás övidítése.) A jáadék lehet gyűjtő, ekko a befizető magának gyűjti a pénzt, vagy tölesztő, amiko egy felvett kölcsönt töleszt.

34 Gyűjtőjáadék 5 éven keesztül minden év elején Ft ot helyezünk el ifjúsági takaékbetétbe. Mekkoa a betétek felnövekedett étékének az összege a 5. év végén évi 3% os kamatozás mellett? állandó jáuléktag: a kamattényező: időközök száma: n

35 Gyűjtőjáadék A feladat az a +a 2 +a 3 + +a n +a n soozat összegének meghatáozása. métani A métani soozat összegképlete alapján: S n a n q q a n ( + i)

36 Gyűjtőjáadék A feladatunkban: a 0 000;,03 és n 5. A keesett jáadékéték:

37 Gyűjtőjáadék 5 éven át minden év elején hány Ft ot kell a takaékba tenni, ha azt akajuk, hogy az 5. év végén évi 4% os kamatozás mellett Ft ot kapjunk vissza? S n n a A képletből most az a étékét keessük, azaz a S ( n n ) ( )

38 Gyűjtőjáadék A feladatunkban: a ,04,04 (,04 ) éven keesztül minden év elején Ft ot kell betenni a takaékba, hogy a befizetés után 5 évvel megkapjuk a Ft ot.

39 Tölesztőjáadék Ft kölcsönt veszünk fel 28% os kamata. Évente Ft ot tölesztünk. Mennyi tatozásunk maad az 5. év végén? K: kölcsön I: kamat k: évente a tölesztőészlet

40 Tölesztőjáadék Az n edik év végén a tatozásunk: K n K n k n A képletbe behelyettesítve az adatokat: 5,28 K n , , Ft 5

41 Tölesztőjáadék Fontos kédés, hogy hány év alatt tölesztenénk tatozásunkat, ha évente pl Ft ot tölesztenénk? Nyilvánvalóan K n 0, azaz 0 n ,28 ln0 ln3 ln,28 n 4,877, ,28 n

42 Tölesztőjáadék Mekkoa kölcsönt vehetünk fel, ha évi a Ft tölesztést tudunk vállalni n éven keesztül évi I% kamatláb mellett? A V () n gyel jelölt kölcsönt annak felvétele után évvel kezdjük töleszteni. () Vn. év vége 2. év vége (n ). év vége n. év vége a a 2 az első év végén befizetett a fointnak akkoa tőkeész felel meg a kölcsönösszegben, amely egy év alatt a a nőne fel: a/. a második év végén befizetett a fointnak akkoa tőkeész felel meg a kölcsönösszegben, amely két év alatt a a nőne fel: a/ 2 (az éves növekedést az 2 tel való szozással íjuk le) a n

43 Tölesztőjáadék A kölcsönt ezeknek a tőkeészeknek az összege adja: n n n n n i a a a a a a V... 2 ()

44 Tölesztőjáadék Felvettünk millió Ft kölcsönt évi 5% kamat mellett, 0 éves futamidőe, évente azonos nagyságú befizetést ( a Ft) vállalva. A tölesztést a kölcsön felvétele után egy évvel kezdjük. Mekkoa összeget kell fizetnünk évente? V n ( ) 0 6 ; I 5%; n 0 V () n 0 6 a n ; i a 0,5,5 0 a Ft

45 Tölesztőtev A tölesztő jáadék alkalmazásako tölesztő tevet készíthetünk, amelyben évente feltűntetjük, hogy mennyi a tatozásunk év elején, a befizetésünkből (annuitás) mennyi megy kamata, mennyi tőketölesztése és mekkoa az összes tőketölesztésünk. Első lépésben a felvett kölcsön nagysága, a kamatláb és a futamidő ismeetében ki kell számolni az annuitást, majd kitöltjük a táblázatot.

46 Tölesztőtev Felvettünk mft kölcsönt évi 5% kamat mellett, 0 éves futamidőe évente azonos nagyságú ( a Ft) befizetése mellett. A tölesztést évvel a kölcsön felvétele után kezdjük. Készítsünk tölesztő tevet. Az a Ft (melyet az előzőekben megkaptunk).

47 Tölesztőtev Tatozás az Az annuitásból Összes Év év elején kamata tölesztése tölesztés x G A tölesztő tev k adik soában (ahol a k és n közötti szám): x k x x i ( k ) n és Gk

48 Tölesztőtev

49 Tölesztőtev Az első tölesztőészt úgy kapjuk, hogy az annuitásból kivonjuk a kölcsön egy évi kamatát: , ; 6 () x i V a x n ( ) ( ) x i x i x x i x i V a i x V a x n n + + () () k k k x x x x x x x x x

50 Beuházások matematikája A beuházási számításoknál a kamatos kamat és a jáadékszámítás módszeeit alkalmazzuk. Jelöljük az időszakok számát n nel; az egyes időszakok beuházást a, a 2,, a n nel, az egyes időszakok tiszta jövedelmét: A, A 2,, A n nel és a beuházási tényezőt b vel.

51 Beuházások matematikája Az első beuházás: a A b, a következő év tiszta jövedelme: A 2 A. A második beuházás: a 2 A 2 ba ba, a következő év tiszta jövedelme: A 3 A 2 A 2. A hamadik beuházás: a 3 A 3 ba 2 ba 2, a következő év tiszta jövedelme: A 4 A 3 A 2 3. A beuházás összegét az a, a, a 2,, a n métani soozat összege adja: B n a n

52 Beuházások matematikája Legyen mft egy gazdaság tiszta jövedelme az egyik évben. Beuházásoka ennek és minden következő év tiszta jövedelmének 25% át fodítjuk. A beuházások az előző év tiszta jövedelmét 5% kal emelik. Mekkoa a beuházások összege 5 év alatt? Feladat az ismétlődő beuházások összegének meghatáozása! B n a n

53 Beuházások matematikája Legyen mft egy gazdaság tiszta jövedelme az egyik évben. Beuházásoka ennek és minden következő év tiszta jövedelmének 25% át fodítjuk. A beuházások az előző év tiszta jövedelmét 5% kal emelik. Mekkoa a beuházások összege 5 év alatt? Feladat az ismétlődő beuházások összegének meghatáozása!

54 Beuházások matematikája Az első beuházás: , Ft, a következő év tiszta jövedelme: , Ft A második beuházás: , Ft; a következő év tiszta jövedelme: , Ft. n Bn a B 5, ,05 5

55 Beuházások matematikája Fontos kédés, hogy mekkoa étéket kell a beuházott eszközöknek évente hozniuk, hogy a beuházás megtéüljön? Egy mg i vállalkozó Ft étékben vásáol olyan gépet, amelynek az élettatalmát 2 éve becsülik. Mekkoa étéket kell ennek a gépnek évente hoznia, hogy ezt az étéket az évenkénti beuházásnak tekintve a beuházások felnövekedett étéke egyenlő legyen az Ft felnövekedett étékével. A beuházás átlagos jövedelmeződése 5% os.

56 Beuházások matematikája A beuházás akko entábilis, ha a hozadékokból nyehető összeg nem kisebb, mint az a pénzösszeg, amelyhez akko jutnánk, ha a beuházást nem hajtottuk volna vége, hanem a beuházása szánt pénzt n évig kamatoztatnánk.

57 Beuházások matematikája A beuházása fodított Ft 2 év alatt ,5 2 étéke növekedne fel. Jelöljük H val az ismeetlen évenkénti beuházásnak tekintett hozadék étékét, aminek felnövekedett étéke:,5 2 H 0,5

58 Beuházások matematikája ,5 2 2,5 H 0,5 H ,64 Évenkénti ,64 Ft hozadék mellett 2 év alatt megtéül az egyszei Ft os beuházás.

59