Bevezetés. 1 A pénz időértékének elve. Befektetés pénzáram grafikonja ábra - Befektetés pénzáram grafikonja

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Bevezetés. 1 A pénz időértékének elve. Befektetés pénzáram grafikonja. 1.1. ábra - Befektetés pénzáram grafikonja"

Átírás

1 Bevezetés A Pézügyta feladatgyűjteméy a Pézügyta tatágy gyakolataihoz készült példatá első észe. Az oktatási segédlet a pézügyi számítások világába vezeti be az olvasót. Bá az oktatási segédletbe sok képlet fog szeepeli, a képletek mégis mid egy logika a péz időétékéek elvéből következek. A pézügyi számítások esetébe midig külöböző időbeli esedékességű pézáamokat hasolítuk össze, és az összehasolítás elve midig ugyaaz. A külöböző képleteket azét kapjuk, met hol a pézáamlások jeleétéke, hol a jövőétéke, hol pedig a hozama édekel miket, továbbá a pézáamlások is külöbözőek lehetek. Az oktatási segédlet külöösebb felsőfokú előképzettség élkül is fogatható. A középiskolai matematika ismeettel a segédlet taayaga elsajátítható. A segédlet élja, hogy bemutassa:. a péz időétékéek elvét, 2. a legfotosabb pézügyi istumetumok áfolyam-számítási módszeeit, 3. az egyszeű és a kamatos kamatszámítást, 4. a hozamszámítások tehikáit. Az itt ismetetett képletek segítségével képes lesz az egyes pézügyi befektetések étékelésée, illetve képes lesz kiszámoli az egyes alteatív befektetési fomákkal eléhető hozamot. Eze pézügyi számítások ismeete azoba feltétele a biztosításmatematikai számítások elsajátításáak is. A Pézügyta gyakolatok második észe a fotosabb adófajták kiszámításával foglalkozik. Mivel az adószabályok gyaka változak, a matematika szabályai viszot midig évéyesek, a két ismeetayagot két külö példatába jeletetjük meg. A péz időétékéek elve A pézügyi életbe gyaka külöböző időpotba esedékes pézeszközöket illetve pézfoásokat kell összehasolítai. Egy befektetési/beuházási dötés eseté agy összegű pézt aduk ki a jelebe és a jövőbe keletkezek belőle bevételek. Hitelfelvétel vagy általába a fiaszíozási dötések eseté pedig agy összegű pézbevételt kapuk a jelebe, és a jövőbe leszek esedékesek a pézkiadások. A befektetési és fiaszíozási dötések szemléltetésée úgyevezett pézáam-gafikookat haszáluk. A pézáam egy adott időtatam alatt befolyó pézbevételek és kiáamló pézkiadások soozata. A pézáam-gafiko a pézáamot szemléltető jelölésedsze. A későbbiekbe ezt a jelölésedszet sokszo fogjuk alkalmazi. A gafiko vízszites tegelye az időtegely, a függőleges tegelye az esedékes pézösszegeket ábázoljuk. A lefelé húzott voal azt jeleti, hogy ott a gazdálkodó alayak pézkiadása va, ha felfelé húzuk voalat, akko ott a gazdálkodó alayak pézbevétele keletkezik. A voal hossza a pézösszeg agyságától függ... ába - Befektetés pézáam gafikoja Befektetés pézáam gafikoja Pézösszeg + C i pézbevétel az i-dik időpotba Idő - C Befektetett összeg

2 Ahol C i az i-edik időpotba esedékes pézösszeg (Cash). Ha a C előjele pozitív, pézbevételük va, ha a C előjele egatív pézkiadásuk va. Ahhoz, hogy a befektetési vagy fiaszíozási dötést meghozhassuk, közös evezőe kell hozi a külöböző időpotbeli pézeket. Meg kell tuduk modai, hogy Ft mai péz, meyi pézt é a jövőbe, illetve, hogy a jövőbeli pézek meyit éek ma. A továbbiakba a jelet t -lal fogjuk jelöli. Eek megfelelőe az év múlva esedékes időpotot t -gyel, a 2 év múlva esedékes időpotot t 2 -vel... Példa - Jeleéték, jövőéték, belső megtéülési áta Tételezzük fel, hogy most va eze foitom (C -), és azt fotolgatom, hogy a pézt egy ismeősömek adom kölsö, aki vállalja, hogy egy év múlva 2 eze foitot (C +2) ad vissza. Ismeősöm szavába abszolút megbízom. Édemes-e hitelt adom ismeősömek? Akko tuduk helyese dötei, ha megvizsgáljuk, hogy egy hasoló feltételű, általuk hozzáféhető befektetési lehetőségek mekkoa a hozamátája. Ezt a hozamátát vájuk el mi is hitelyújtásuktól. Az elvát hozamátát a tőke alteatíva költségéek vagy feláldozott haszáak is evezik, hisze ettől a hozamtól elesük, ha az adott befektetést választjuk. A hozamáta a befektetett tőké felüli többlet-pézbevétel (hozam) a befektetett tőke %-ba kifejezve és évesítve. A hozamáta jele az (etu). A hozamáta évesítéséek módszeeivel a hozamszámítás alfejezetbe foglalkozuk. A hozamátát a későbbiekbe övide hozamkét fogom említei, a szövegköyezetből egyételműe ki fog deüli, hogy miko beszélek többlet-pézbevételől és miko %-ól. Az elvát hozamot meghatáozó téyezőket és a pobléma megoldásáak képletét a.2. ába mutatja: 2. ába - A péz időétéke A péz időétéke Jeleéték? C PV ) év FV C * )? Jövőéték Az agyságát meghatáozó téyezők kokázatmetes hozam likviditás kokázat - adott kokázatú és likviditású befektetések hozama

3 Ahol PV a jövőbe esedékes pézösszeg (C ) jeleétéke (Peset Value), FV a jelebe esedékes pézösszeg (C ) jövőétéke (Futue Value), időtatam évekbe. A PV és az FV midig számított összeg. Közvetleül em lehet őket megfigyeli. Az ábából látható, hogy az "" agyságát észbe makoökoómiai téyezők hatáozzák meg, melyek eedméye a kokázatmetes hozam (az adott befektetés lejáatáak megfelelő állampapí hozama). A kokázatmetes kamatlábat két téyezőe bothatjuk, az ifláióa és a eálkamatlába. A befektetés omiális vagy évleges hozamátája megmutatja, hogy befektetett pézük egy egységée mekkoa pézösszeget kapuk a befektetett tőkéke felül egy év alatt. Tegyük fel az ifláió éves szite 7%. Ha egy befektetés potosa 7%-os omiális hozammal edelkezik, a befektető átlagosa ugyaakkoa meyiségű áut tud vei a befektetéséek végé, mit tudott a befektetett összeggel. A eálkamatláb megmutatja, hogy átlagosa háy %-kal több (vagy kevesebb) áut tuduk megvásáoli a pézükét a befektetési időszak végé, mit tudtuk az elejé. A eálkamatláb kiszámításáak általáosa ismet módja az úgyevezett Fishe-féle közelítés. Képlete: (.), átedezve: i - ahol eálkamatláb, omiális kamatláb, i ifláió. A feti képlet azoba tozított (közelítő) eedméyt ad a eálhozama, valós étékét túlbesüli. Eek szemléltetésée ézzük példák adatait, ahol eze foitot adok kölsö és egy év múlva 2 eze foitot kapok kézhez. A befektetés omiális hozamátája 2%. Meyi almát tuduk vásáoli pézükét a befektetési időszak végé? A választ a eálhozam ismeetébe adhatjuk meg. Számoljuk ki a Fishe-féle megközelítéssel a eálhozamot! (.2) i 2 % % % Ha a befektetési időszak kezdeté eze daab almát tudtuk vásáoli, akko most %-kal többet tuduk, azaz eze daabot, ha a Fishe-képlet helyes lee. De em helyes! A eze daab alma ugyais 2 eze foitba keüle, ekük viszot sak 2 eze foituk va!!! A eálkamatláb potos étékét az alábbi képlettel kapjuk: (.3) i + + i,2 2,9 9,%, A pézükét 9,%-kal tuduk több áut vásáoli, mit a befektetési időszak kezdeté, ha a vásáoli kívát áu potosa az ifláió métékével dágult. A mako téyezőkö túl a kokét befektetés két jellemvoása befolyásolhatja az elvát hozamot:. a befektetés likviditása 2. a befektetés kokázata A befektetés likviditása megmutatja, hogy milye gyosa és mekkoa tazakiós költségek mellett lehet a befektetést készpéze váltai. A likvid befektetések esetébe a készpéze váltás gyosa és agyobb költségek élkül megtötéhet. Az illikvid befektetések készpéze váltása hosszabb időt vesz igéybe és/vagy agy a tazakiós költsége. Az elvát hozam és a likviditás egymással fodította aáyos. A likvid befektetésektől kisebb hozamot váuk el, mit az illikvid befektetésektől. A befektetések kokázata megmutatja, hogy a befektetés hozamáak előe besült, váható étékétől átlagosa milye métékbe téhetek el a hozam téyleges étékei. A váható étéktől vett átlagos eltéést a statisztikából ismet szóással méjük. Miél agyobb a téyleges étékek szóása a váható éték köül, a befektetések aál agyobb a kokázata. Ha egy befektetés kokázata ő, az elvát hozam övekszik. A befektetők a jövőbeli bizoytalaság ellesúlyozásáét hozamkompezáiót váak el.

4 Tételezzük fel, hogy a befektetők által elvát hozam esetükbe potosa %. Azaz a befektetéssel azoos kokázatú és likviditású befektetések piai hozama %. Ha ismejük az elvát hozamot, dötésüket háom módszeel is meghozhatjuk... Jövőéték-számítás Egy ma kapott foit em egyelő egy év múlva esedékes foittal. A jelebeli péz midig étékesebb, mit a jövőbeli, hisze a jelebeli pézt el lehet költei vagy be lehet fekteti. Nézzük meg, hogyha az. példa foitját %-os hozammal fektetjük be, meyi pézük lesz év múlva? (.4) + Kamat + FV C ( + ) ahol az adott időszak alatt évéyes elvát hozam, FV a pézeszköz időszak múlva esedékes jövőétéke, C a jelebeli pézösszeg. A -et a jövőétékéek (Futue Value - FV) evezzük. Egy pézösszeg jövőétéke megmutatja, hogy ha az adott futamidő alatt a pézt az elvát hozammal fektetjük be, meyi pézük lee a futamidő végé. Mivel meghatáoztuk, hogy a jelebeli Ft év múlva foitak felel meg, összehasolíthatjuk a téyleges 2 Ft-tal. A két pézösszeget közös evezőe, közös időpota hoztuk. (.5) 2 FV ( ) 2 ) 2 + A kimeetel pozitív, ezét a befektetést elfogadjuk. Pézük egységgel több, mitha ugyaolya kokázattal és likviditással fektettük vola be más piai eszközbe...2 Jeleéték-számítás ( + ) %) A befektető tudja, hogy a két befektetés közötti külöbség év múlva foit. A megoldással azoba em lehetük teljese elégedettek. Jobba szeeték tudi, hogy mai pézbe kifejezve mekkoa a külöbség. Ekko a jeleéték-számítást választjuk. Egy jövőbe esedékes pézösszeg jeleétéke megmutatja, hogy mekkoa összeget kellee befektetük a jelebe az elvát hozammal ahhoz, hogy az esedékes pézösszeget kapjuk meg az adott jövőbeli időpotba. A jeleéték-számítás a jövőétékszámítás fodított művelete., (.6) PV PV C ) C 2 9,9 ( ), + + ahol C időszak múlva kapott pézösszeg, PV jeleéték (Peset Value), az adott időszakba évéyes elvát hozamáta. A égyszögletes záójelbe lévő kifejezés eve a diszkotfakto. Jelölése DF,. Étéke és között változhat, és két paamétetől függ, -től, az adott befektetéstől elvát hozamátától és -től az időszakok számától. Étéke azt mutatja meg, hogyha időszak múlva kapok Ft-ot, az meyit é ma, ha az elvát hozamáta.

5 A befektetés jövőbe váható hozamáak jeleétéke 9,9. Míg más esetbe 9,9-ot kellee befektetük ahhoz, hogy 2-at kapjuk egy év múlva, e beuházás esetébe sak -at kell. A kettő külöbözete +9,9. Édemes tehát befekteti a pézüket az első példába leít feltételekkel, mivel vagyouk a befektetés végehajtásával -ól 9,9-a övekszik. A 9,9-t, azaz egy befektetés jövőbeli pézáamaiak jeleéték-összegét, úgy evezzük, hogy ez a befektetés buttó jeleétéke, vagy belső étéke. A buttó jeleéték övidítése GPV (Gos Peset Value). Kiszámításáak képlete a következő: (.7) GPV C i i + i ( ) Jele esetbe a befektetések sak egy jövőbeli pézáama volt, ezét sak egy diszkotálást kellett elvégezi. A buttó jeleéték és a befektetett összeg külöbségét ettó jeleétékek evezzük. Ez példákba 9,9 volt. A ettó jeleéték megmutatja, hogy a befektető vagyoát milye métébe változtatja meg a befektetés. A ettó jeleéték övidítése NPV (Net Peset Value). Ha az NPV agyobb, mit, akko a befektetés megvalósítása eseté a befektető vagyoa ő, ha az NPV kisebb, mit, a befektető vagyoa sökke. Ezét sak azokat a befektetéseket édemes megvalósítai, melyekél az NPV>. Temészetese a kokázatos befektetések esetébe az NPV sak a vagyoövekedés váható étékét mutatja, a téyleges vagyoövekedés (vagy sökkeés) météke sak a megvalósítás soá deül ki. Az NPV képlete a következő: (.8) NPV C + C C i i i + i i ) i ( ) A 9,9 em más, mit a jövőéték-számításko kapott jeleétéke: (.) 9,9 PV, ( ) 9, 9 Láthatjuk, hogy midkét módsze szeit ugyaaa a következtetése jutuk, a befektetést édemes végehajtai. A két módsze szeit kapott végeedméy viszot külöbözik. A külöbség magyaázata az, hogy külöböző időpota számoltuk ki a befektetett összeg és a visszakapott pézösszeg külöbségét. Azt, hogy melyik időpota édemes számoli általába attól függ, hogy mi melyik időpotba vagyuk. Ha befektetési alteatívákat étékelük, akko a befektetés időpotja a jele időpot és akko édemes jeleéték-számításokat végezük. Ha befektetést utólagosa étékelük, akko a hozamok ealizálása lesz a jeleidőpot. Ekko jövőéték-számítás szeesésebb. Ha egy hosszabb befektetés közepé vagyuk, akko a múltbeli pézek jövőétékét, a jövőbeli pézek jeleétékét számoljuk ki.

6 ..3 Belső megtéülési áta A kédést úgy is eldöthetjük, hogy kiszámoljuk a befektetés téyleges hozamátáját és ezt hasolítjuk össze az elvát hozammal. A téyleges éves hozamáta eve belső megtéülési áta. A belső megtéülési áta megmutatja, hogy mekkoa hozamátával kell diszkotáluk a befektetés hozamait ahhoz, hogy a befektetett összeget kapjuk eedméyül. Más szóval, azt a diszkotátát keessük, ahol ahol a befektetés NPV-je zéus. A belső megtéülési áta övidítése IRR (Iteal Rate of Retu). (.) NPV C + i ( IRR) i + C i A kokét esetbe a belső megtéülési átát a következő képlettel lehet kiszámoli. 2 2 (.2) NPV + IRR 2% + IRR Mivel a befektetés téyleges hozama (2%) magasabb, mit az elvát hozam (%), a befektetést megvalósítjuk. A feti kis példa bemutatta a pézügyi számítások fő fajtáit. A pézügyi számítások ugyais vagy valamiek az étékét hatáozzák meg adott elvát hozamáta () mellett, ekko áfolyamszámításól beszélük. Attól függőe, hogy egy befektetés jele- vagy jövőétéke a kédés, beszélhetük jele- vagy jövőétékszámításól. A másik alapeset, miko egy adott befektetés áa adott, és az adott á melletti belső megtéülési átát keessük. Ekko hozamszámításól beszélük. Gyakooljuk éháy példá a jele-, jövőéték-, és hozamszámítást!.2 Példák elemi pézáamlások jeleéték-, jövőéték- és hozamszámításaia Elemi pézáamok két pézáamból állak. Egy jelelegi pézáamból és egy jövőbeli pézáamból. Most ezeke ézük példákat..2. Példa Jeleéték számítás Kamatmetes kölsöt kaptuk mukáltatóktól lakásvásálása 5 eze foit étékbe. A hitelt egy összegbe 5 év múlva kell visszafizetük. Meyie legyük hálásak főökükek, ha tudjuk, hogy a foitalapú lakáshitelek jelelegi kamatlába 6%? Számoljuk ki az 5 év múlva esedékes 5 eze foitos visszafizetés jeleétékét, ami megmutatja, hogy mekkoa hitelt kaptuk vola piai kamat mellett. Ezt az összeget vojuk ki a téylegese kapott 5 eze foitból. Az eedméy megmutatja, meyivel jáuk jobba, mitha piai feltételek mellett kaptuk vola kölsö. A jeleéték-számítás képletét alkalmazzuk. Vegyük észe, hogy a fiaszíozás olya, mit a fodított befektetés. Itt az első pézáam pozitív (kapuk pézt), a többi pézáam egatív (fizetett kamatok és tölesztő-észletek). 5 (.3) NPV + C + GPV + 5 5* DF6%, ,5 26, 5 5,6

7 Nem feltétleül kell a 3. képlettel számoluk, ha edelkezésüke áll jeleétéktáblázat. foit jeleétékét azaz a diszkotfaktot - adott évek és elvát hozamok mellett az. melléklet 2. táblázata mutatja. A táblázat soai az időszakok számát, az oszlopai az elvát hozamot jelzik. Most az 5. so 6% oszlopbeli elemét ézzük meg. Eek étéke,747. Szoozzuk ezt meg 5 eze foittal, így megkapjuk a visszafizetés jeleétékét. 373,5 eze foit jö ki. Mivel mi téylegese 5 eze foit hitelt kapuk, 5 eft - 373,5 eft 26,5 eft jövedelmet kaptuk mukáltatóktól..3. Példa Jövőéték-számítás Két éve elhelyezük bakbetétbe EFT-ot, melyek éves kamatlába 6%. A bak kötelezettséget vállal aa, hogy a kamatlábat két évig em változtatja meg. Mekkoa összeget vehetük fel a számlákól a második év végé? Helyettesítsük be a jövőéték-számítás képletébe! 2 (.4) FV C ).*,6.23, 6 Két év múlva tehát.23,6 EFT-ot tuduk felvei a számláól..4. Példa Belső megtéülési áta számítás Befektetett tőkék égy év alatt megduplázódott. Mekkoa volt a befektetésük belső megtéülési átája? Hatáozzuk meg a belső megtéülési áta képletét, ha az elemi befektetés időtávja tetszőleges év. (.5) C NPV C + IRR IRR) C C Helyettesítük be a képletbe! C (.6) IRR 4 2 8,92% C Az éves hozamáta tehát közel 2%-os volt..5. Példa Elemi befektetés időtávja Pézük euóól 8 euóa övekedett 4%-os éves kamatláb mellett. Meyi ideig volt befektetve a pézük? Mivel az ismeetle a hatváykitevőbe va, ezét logaitmizáli kell az egyeletet. Átedezve -e a következő összefüggést kapjuk. (.7) NPV C + C ) Behelyettesítve az egyeletbe, kapjuk: l ( C ) l( C ) l ) (.8) ( C ) l( C ) l ) l l8 l 5 l,4 5 évig volt tehát a pézük befektetve.

8 .3 Évesél gyakoibb kamatozású elemi pézáamok Az előzőekbe feltételeztük, hogy a kamatot évete számolják el. Nézzük meg, hogya milye változásokkal já a feltételezés feloldása. Vezessük be egy új változót! f-el jelöljük az éves kamatfizetések számát. Ha f-el, akko éves kamatfizetési gyakoiságól va szó. Ha f étéke 2, a kamatfizetés gyakoisága, ha f4, akko egyedév, ha pedig f2, a kamatot havota számolják el. Tételezzük fel, hogy a kamatot fél évete számolják el. Ekko f2. Az első félév végé a kamat felét fogják a betétszámlá jóváíi. A következő félévbe má a kamattal övelt étéket fektetjük be úja, amie az év végé ismét megkapjuk a kamat felét. Képlettel: (.9) FV C + * C A szögletes záójelbe lévő összeg mutatja a befektetésük étékét a félév végé, FV pedig az év végi étéket adja meg. A téyleges hozamáta kiszámításához alkalmazzuk a belső megtéülési áta képletét! C + 2 FV 2 (.2) e + C C 2 2 e a téyleges (effektív) éves hozam, ami a befektetés belső megtéülési átája. A következő táblázat tatalmazza a befektetés téyleges hozamát és a felövekedett étékét külöböző kamatfizetési gyakoiság eseté. Bakbetétek esetébe a téyleges éves hozam hivatalos eve Egységesített Betéti Kamatláb Mutató (EBKM).. táblázat A kamatfizetés gyakoisága és a betét téyleges éves hozama Gyakoiság (f) Jövőéték Téyleges éves hozam f FV C * + e + 2 FV C * + e FV C * + e FV C * + e f f e + FV C * + f Végtele kamatfizetési gyakoiság eseté a jövőéték és a téyleges éves hozam hatáétéke a következő: (.2) f FV lim C + C * e f f (.22) e e 2 4 f 2

9 Ahol e a temészetes szám. Ez iaioális szám, közelítő étéke: Példa Megtakaítás összege és EBKM mutatója Havi folyamatos lekötésű bakbetétbe fektetük EFT-ot. Meyi péz lesz a számláko egy év múlva, ha a bakbetét kamatlába évi 6%? Meyi a bakbetét EBKM mutatója? Számolja ki a féléves, a egyedéves EBKM mutatót is 6%-os kamatláb mellett! Meyi lee az EBKM mutatója egy olya bakbetétek, ahol a 6%-os éves kamatot végtele gyakoisággal számolák el?,6 (.2) FV C * + * + 6, 68 f 2 f,6 (.22) e + + 6,7% f 2 f A többi EBKM mutatót az.2. táblázat tatalmazza táblázat A bakbetét EBKM mutatója külöböző kamatfizetési gyakoiság eseté Gyakoiság (f) EBKM, ,9% e 2 4,6 4 e + 6,4% 4,6 Végtele e e e 6,8% Látható, hogy a végtele kamatfizetési gyakoiság esetébe kapott eedméy em külöbözik jeletőse a havi kamatfizetésél kapott eedméytől. Ezét va az, hogy a gyakolatba a haviál gyakoibb kamatfizetés esetébe a számítások egyszeűsítése édekébe az.22-es képletet haszálják.

10 2 Ütemezett pézáamok A fetieket alkalmazzuk több hozamból álló pézáamok étékelésée. Ha a jövőbeli pézek agysága és esedékességük között eltelt idő azoos, vagy azoos százalékkal övekszik, továbbá az alteatív befektetések hozamátája em változik, évjáadékól vagy auitásól beszélük. Például auitást alkot egy lakáshitel mide hóap elejé fizetett álladó agyságú tölesztőészlete, egy lakás béleti díja vagy egy fix kamatozású kötvéy kamatfizetései. Ha a hozamok végtele hosszúak, az auitás eve öökjáadék. Például öökjáadékot alkot egy elsőbbségi észvéy ögzített osztalékfizetése, egy életjáadék havi kifizetései. (Az élet temészetese em tat öökké, de ha a fizetések elég hosszú ideig tataak, egyszeűbb az öökjáadékkal számoli.) Az auitások esetébe a hozamok lehetek ugyaakkoák (egyszeű auitás), vagy egy g %-kal övekedők (övekvő auitás). Az auitások esetébe több fogalmat is defiiáluk kell. Két pézáam esedékessége között eltelt időt jáadékközek evezzük. A pézáamok agyságát jáadéktagak hívjuk. Az olya pézáam-soozatokat, melyekél a jáadékköz megegyezik, ütemezett pézáamokak modjuk. Előszö az egyszeű auitásokkal foguk foglalkozi. 2. Egyszeű auitás jövőétéke 2.. Példa: Egyszeű auitás jövőétéke Egy életbiztosító egy éves megtakaítási lehetőséget kíál ekük. Mide év elejé eze foitot fizetük be megtakaítási számláka, és a befizetés eálétékét a futamidő soá kabatatjuk (megőizzük). Taásadók évi 4%-os eálhozammal kesegtet miket múltbeli tapasztalatok alapjá. Tételezzük fel, hogy hiszük eki, akko eálétékbe meyi lesz a számláko év múlva! A feti példába egy auitás jövőétékée vagyuk kívásiak. A jövőéték kiszámításáak poblémáját a 2.. ába mutatja: 2.. ába - A péz időétéke Gyűjtő auitás poblémája Mekkoa FV adott mellett? FV jáadékköz jáadéktagok

11 ahol, jáadéktag, FV lejáatos évjáadék jövőétéke az utolsó jáadéktag esedékességéek időpotjába. Egy auitás jövőétékéek agyságát a 2. számú képlet segítségével tudjuk kiszámoli. (2.) FV ( + ) ahol - jáadéktag, - időszaki elvát hozam, - jáadéktagok száma, FV - auitás jövőétéke. Helyettesítsük be a képletbe: (2.2) FV,4) 2,6,4 Szeesée a számítást sak külöleges esetbe kell kézzel elvégezük. Itt az auitás jövőétéke táblázatot haszálhatjuk, ami az. melléklet 3. táblázata. A sookba szeepel a jáadéktagok száma, az oszlopokba pedig a jáadékközbe évéyes elvát hozam található. Példákba a jáadéktagok száma, az éves elvát hozam pedig 4%. A év soába és a 4% oszlopába találjuk a 2, étéket. Megszoozva ezt -el kapjuk az évjáadék jövőétékét: 2, (Az eltéés a keekítés következméye). A képlet és a táblázat az utolsó jáadéktag esedékességéek időpotjába mutatja egy auitás jövőétékét. Ebbe az esetbe ez az időpot a. év eleje. Nekük viszot a. év végi éték kellee! Az év elejé 2 eze foituk va. A. évbe is feltételeztük a 4%-os eálhozamot. Egy éve ha befektetjük a 2 eze foitukat 4%-al, akko a. év végi étéket a 4-es képlet segítségével számolhatjuk ki. FV C ( ) 2,6,4 24, 86 (2.3) + A. év végé 24,86 eze foituk lesz. Ha tudi szeeték, hogy a., 2. stb. év végé meyi pézük lee akko, ha többszö má em fizeték be a eze foitot, sak a tőke kamatozóda, akko a kamatos kamatszámítás képlete szeit kapák meg a kívát összegeket. Például, ha a 2. év végi étéke leék kívásiak, akko sak meg kellee hatáozuk a év elejétől a 2. év végéig eltelt időt (3 év) és behelyettesíteük a 4-es képletbe. FV C ( ) 2,6,4 35, 5 (2.4) Példa Évesél kisebb jáadékközű auitás jövőétéke 3 Ökétes yugdíjpéztái befektetést ajál egy ügyfeléek. Az ügyfél havi eze foitot fizete be a péztába éve keesztül. A péztá saját költségeie és tatalékképzése a befizetett összeg 2%-t haszálja fel. Az ügyfél számlájáa keülő összeg hozama viszot éves szite váhatóa 6%-al fogja meghaladi az ifláiót. Eze felül ügyfele mide év végé 3%-os adókedvezméyt is évéyesíthet, amit bakbetétbe helyez el, mely vélhetőe 2%-os ifláió feletti hozamot fog hozi. Számítsa ki, eze feltételek mellett meyi péze lesz az ügyfeléek a számlájá eálétékbe? A képlet levezetése a következő: FV i * ) + * ) + * )... + * ) Vegyük észe, hogy ez egy métai soozat, amelyek első tagja, kvóiese +. A métai soozat összegképlete: q S a * q összegképletébe: FV * ) ), ahol a a métai soozat első tagja, q a kvóiese. Behelyettesítve a métai soozat * )

12 Külö számítjuk ki az adókedvezméy és a befizetések jövőétékét. Az éves fizetési gyakoiság itt 2 lesz. Az ügyfél a kostukió futamideje alatt 2 befizetést fog teljesítei ( év * 2 hóap). A befektetés havi eálhozama,5%. (6%/2). Sajos, most az "" daab Ft jövőétéke táblázatot em tudjuk alkalmazi, ezét képlettel számoluk. A számláa a befizetett összeg 8%-a keül (8. Ft), és azét kell megit +el szoozi, mivel az időszak elejé fizetük. + f * f + f 2,5,5 (2.5) * * 8.* *, FV f Az adómegtakaításokat évete egysze vehetjük igéybe, az év végé. (Most tekitsük el attól, hogy valójába a jövő év első felébe kapjuk vissza valamiko a pézüket.) Az adómegtakaítás météke 2 eze foitos éves befizetés 3%-a, azaz 36 eze foit. A daab 36 eze foit jövőétéke 2%-os eálhozam mellett kiszámolható az auitás jövőétéke táblázatból. 36.*, Ft. A két jövőéték összege: Ft Ft.7.79 Ft. 2.2 Egyszeű auitás jeleétéke.3. Példa Éves gyakoiságú auitás jeleéték Egy vállalkozó ismeősük millió foitot ké tőlük kölsö úgy, hogy 5 éve keesztül mide év végé 3 eze foitot ad ekük vissza. Odaadjuk-e a pézt, ha az ügylettől 3%-os hozamot váuk el? Ki kell számítauk, hogy az 5 daab 3 eze foitos kifizetés jeleétéke a agyobb, vagy az millió foit. A pézáam-soozat egyszeű auitást alkot, amiek most a jeleétékée vagyuk kívásiak. A megoldadó poblémát a 2.2. Ába szemlélteti: 2.2.ába - Tölesztő auitás poblémája Tölesztő auitás poblémája jáadéktagok PV jáadékköz Mekkoa PV adott mellett? Mekkoa adott PV mellett? ahol jáadéktag, PV lejáatos évjáadék jeleétéke egy jáadékközzel az első jáadéktag esedékessége előtt.

13 Egy évjáadék jeleétékét egy időszakkal az első jáadéktag esedékessége előtt, az alábbi képlettel számolhatjuk ki 2 : (2.6) ) ) ) PV AF, ahol - jáadéktag, - elvát hozam, - jáadéktagok száma, PV - auitás jeleétéke, AF, évjáadéktéyező (auitásfakto) elvát hozam és jáadéktag eseté. A szögletes záójelbe lévő kifejezést auitásfaktoak vagy évjáadék-téyezőek modjuk. Az auitásfakto (évjáadék-téyező) (AF) megmutatja, hogy daab Ft-ból álló auitás jeleétéke mekkoa, ha a jáadékköze ételmezett kamatláb. Behelyettesítve a képletbe: (2.7) ) ) 5,3 PV AF, 3 3 2,436 73,7 5,3,3 Mivel az 5 daab 3 eze foit jeleétéke az elvát hozamukkal számolva kevesebb, mit millió foit (73,7 eft), ezét elutasítjuk a kölsöigéyt. A hitel ettó jeleétéke ugyais - EFT + 73,7 EFT - 269,3 EFT. Az egyszeű auitás jeleétékét mutató táblázat az. számú melléklet 4. számú táblázatából is kiézhetjük. A jáadéktágok száma itt 5 lesz, a jáadékközbe évéyes elvát hozam 3%. Az 5-dik soba és 3% oszlopba található éték 2,436, ezt megszoozva 3-al kapjuk a 73,7 jeleétéket..4. Példa Évesél gyakoibb tölesztésű hitel tölesztőészlete Személyi kölsöt kíál öek egy bak 24%-os kamatlábo,25 éves futamidőe. A tölesztőészlet fizetése mide hóap végé esedékes. Ha 6 eft hitelt vee fel, meyi lesz a havi tölesztőészlet? Példákba a 6 eze foitos hitel a jeleéték, és ehhez keessük a megfelelő tölesztőészletet, a kis -t. Átedezve a 2.6-as képletet, kapjuk: (2.8) PV * AF, PV AF, A havi kamatláb 2%, az időszakok száma 5 (2 hóap *,25 év). Az "" daab foit jeleétéke táblázat 5. soába és 2% oszlopába 2,849. Ha ezzel elosztjuk a 6. foit hitelt, megkapjuk a tölesztőészletet, ami Ft. Ha em áll edelkezésüke a táblázat, a tölesztőészletet a következő képlettel számolhatjuk ki. 2 Vegyük észe, hogy a tölesztőészletek jeleétékei is métai soozatot alkotak. Csak itt az első elem étéke /(+) lesz, a kvóies pedig /(+). PV * + * + * 3 * + 2 ) ) ) ) ) ) ) + * + ) ) + ) * * + ) * + * + + * ) * )

14 (2.9) PV * AF, PV AF, Az évjáadék-számítások soá a következőt tételezzük fel:. A hozamáta a futamidő soá álladó. 2. A pézáam-soozat ütemezett. 3. A kamatokat peiódusokét tőkésítik. Az első két feltétel em teljesülésével most em foglalkozuk. Ebbe az esetbe ugyais em alkalmazhatuk zát alaka hozott képleteket, haem a pézáam-soozat tagjait egyekét kell diszkotáluk, a (megfelelő időszaki kamatlábak +) szozatait alkalmazva. Most sak azt fogjuk megézi, mi a helyzet akko, ha a kamatokat em tőkésítjük.

15 3 Egyszeű kamatszámítás Ha elvetjük azt a feltételezést, miszeit a tőkée jutó kamat hozzáadódik az időszak végé a tőkéhez és későbbiekbe a kamattal megövelt összege esedékes a kamat, az egyszeű kamatszámítás képletét kell alkalmazuk. Ekko az adott időszaka jutó kamatot egyszeű aáyosítással kapjuk meg. Az egyszeű kamatszámítás képletei jele- és jövőéték-számítás eseté: (3.) FV C PV C ) ) ahol FV - jövőéték, PV - jeleéték, - időtatam hossza évekbe, < év, - elvát hozam, C jelebeli péz agysága, C jövőbeli péz agysága. Az egyszeű kamatszámítást akko alkalmazzuk, ha a befektetés időtávja kisebb, vagy egyelő a kamatfizetés gyakoiságával. Ha hosszabb, a kamatos kamatszámítást vagy az egyszeű és a kamatos kamatszámítás kombiáióját - amit vegyes kamatszámításak evezük - haszálják. 3. példa Betétkamat számítás Egy vállalat két hetes futamidőe millió foitot helyezett el július 22-é egy bakbetétbe. A betét kamatlába évi %. Mekkoa összeget vehet fel a vállalat két hét múlva? A kamatot időaáyosítással kell kiszámítai. Sajos az aáyosítás módszee em egyételmű. Az egyes aáyosítási módszeek abba külöbözek egymástól, hogy háy aposak tekitik az évet és a hóapokat. A gyakolati életbe háom aáyosítási módsze tejedt el, amelyek egy-egy emzetől kapták a evüket. Az egyes módszeek jellemzőit a 3.. táblázat mutatja. 3.. táblázat - Az egyszeű kamatszámítás esetébe alkalmazható aáyosítás-fajták Aáyosítás eve Hóapok apjaiak száma Évek apjaiak száma Német 3 36 Faia aptái 36 Agol aptái 365 Téyleges aptái 365/366 A 3..-os példát a émet módsze szeit számoljuk ki. Német kamatszámítás szeit a lekötési idő 3 ap, mivel mide hóap 3 apos: Így étéke 3/36,36 Behelyettesítve a 6-os képletbe: (3.2) 3 FV.. +, Két hét múlva a bak a émet kamatszámítási módsze szeit.3.6 Ft-ot fizet vissza. Most má ki tudjuk számoli az egyes pézáamok jele- és jövőétékét. Alkalmazzuk ezt a tudásukat az egyes étékpapíok áfolyamáak kiszámításáa példa Jeleéték egyszeű kamatszámítással Egyik ügyfelükek lejá az életbiztosítása 25. máius 9-é és háom hét múlva veé fel aak összegét,.587. Ft-ot. Egy letéti számláa má most el szeeték külöítei az összeget. Meyi pézt helyezzük a letéti számláa, ha aa a bak háom hetes futamidőe 7%-os kamatot fizet, és a faia kamatszámítás szeit számol? Ebbe az esetbe jeleétéket kell számoluk az egyszeű kamatszámítás képletével. A betét ápilis 7- é já le, a lekötedő összeg kiszámítása a 3.. képlet szeit tötéik:

16 PV C + * ,7 * 36 (3.3) A vegyes kamatszámítás Egyes betéti temékek esetébe lehetséges, hogy a lekötés időpotjától függetleül a kamatfizetés időpotja bizoyos dátumokhoz va kötve (ez a helyzet a láta szóló betétek esetébe). Ebbe az esetbe a vegyes kamatszámítás képletét kell alkalmazi, ami kombiálja az egyszeű és a kamatos kamatszámítás képleteit. A kamatfizetési peiódusok szempotjából töt időszakba az egyszeű, míg az egész időszakokba a kamatos kamatszámítás képleteit alkalmazzuk, és a tagokat összeszoozzuk egymással. A vegyes kamatszámítás általáos képlete a következő: (3.4) ahol FV - a betét felmodásako kifizetett összeg, C - a betét összege, - a kamatláb, N - a betét futamideje alatt a teljes kamatpeiódusok száma, m - egy évbe kamatelszámolások száma, - a betét elhelyezésétől az első kamatelszámolásig eltelt idő évbe, 2 - az utolsó kamatelszámolástól a betét felmodásáig eltelt idő évbe példa Vegyes kamatszámítás Tételezzük fel, hogy ápilis.-é egy eze foitos betétet helyezük el egy olya számláa, amelye mide hóap végé fizetik ki a kamatot. Mekkoa összeget vehetük fel szeptembe 8-á a számláól? Haszáljuk a émet kamatszámítási módszet! A émet kamatszámítás esetébe az év apjaiak száma 36 és mide hóap 3 apos. Ápilistól szeptembeig 4 egész hóapig volt lekötve a péz (május, júius, július, augusztus, azaz N4), ápilis -től 3-ig 2 ap, szeptembe.-től 8-ig 8 ap telt el. Behelyettesítve a 35-ös képletbe, kapjuk: (3.5) A vegyes kamatszámítás eedméyét a kamatos kamatszámítás képletével is közelíthetjük, ha megegedjük, hogy étéke e sak temészetes szám legye. Az étéke 58/36 lesz, mivel eyi évig volt lekötve a betét. (3.6) N FV C m ( + ) + ( + ) FV +, FV PV , + +, 2 58 ), 36 4,27 A kamatos kamatszámítás éve belüli esetbe alábesli a téylegese kapott kamat agyságát. 4 Étékpapíok áfolyamszámítása Alábbiakba megézzük a legfotosabb étékpapíok áfolyamszámítását. Ekko adott elvát hozamhoz keessük azt a maximális áfolyamot, ami az adott étékpapít megvásáolák ,469 36

17 4. Lejáatos kötvéyek áfolyamszámítása Azt a maximális áfolyamot, melye még hajladók vagyuk megvásáoli az adott étékpapít, az étékpapí belső étékéek evezzük. Egy étékpapí (és bámely vagyotágy) belső étéke az adott étékpapí pézáamaiak jeleétékösszege. 4.. példa Államkötvéy belső étékéek kiszámítása A 27/II jelű államkötvéyt 28. július 23-á bosátották ki fix 3%-os kamat mellett. A kötvéy 27. július 24-é já le és félévete fizet kamatot, július 24-é és jauá 24-é. Mekkoa a kötvéy belső étéke 24. októbe -é, ha a befektető által elvát hozam %. Az elvát hozamot is félévete ealizálhatjuk. 4.. ába - Kötvéyáfolyam számítás A kötvéyszámítás poblémája Áfolyamképletbe beszámított pézáamok Kibosátás PV? Jele helyzetük Visszaváltás A pézáamso egy olya fix kamatozású kötvéye jellemző, mely egy összegbe lejáatko fizeti vissza a tőkeészt. A belső étéket sak a még ki em fizetett pézáamok hatáozzák meg. Az ábáól leolvasható, hogy 6 kamatot és a tőkeészt em fizették még ki. A kötvéy áfolyamát általába a évéték százalékába szokták megadi, két tizedesjegy potossággal. (4.) Keesett áfolyam ) % ( ) + + ( + ) % PV + AF k, + N DF, k ( + ) ( + ) ahol - kötvéykamatlába %-ba, - a befektető által elvát hozam, - a kamatfizetések száma, AF, - auitásfakto adott és eseté, DF, - diszkotfakto adott és eseté, N kötvéy évétéke, PV - a kötvéy belső étéke a következő kamatfizetés előtt egy jáadékközzel. Az összeg első tagja a kamatok jeleétékét, míg a második a kötvéy tőkeészéek jeleétékét testesíti meg. Mivel mide kamatfizetés azoos agyságú, ezek auitást alkotak, és jeleétéküket megkapjuk, ha a kamatlábat megszoozzuk az auitásfaktoal. A képlet a kötvéy áfolyamát az utolsó kamatfizetés időpotjába mutatja meg, ami 24. július 24-i időpotot jelet. A képlet alkalmazásához meg kell hatáozi az időszaki (féléves) elvát hozamot, ami %/25%. Háy daab kamatfizetés va még háta. Az 5. ábából leolvashatóa még 6. A megfelelő AF éték a 3. táblázatból 5,76, a DF éték a 2. táblázatból,746. Szoozzuk meg az auitás fakto étékét a féléves fizetedő hozammal, a évétéket pedig a diszkottéyezővel. (4.2) PV AF + N DF 6,5% *5,76 + *,746 7, 59 5 %,6 5%,6 A kötvéy áfolyama a évéték 7,59%-a lett vola , ha az elvát hozam ebbe az időpotba évi % lett vola. A 7,59%-ot a 27/I kötvéy ettó áfolyamáak evezzük. A kötvéy ettó áfolyama megmutatja, hogy mekkoa a kötvéy belső étéke az utolsó kamatfizetés időpotjába, ha a jeleleg évéyes elvát hozammal számolák.

18 A feladattal még em vagyuk késze. Ugyais az áfolyamot em júliusa, haem októbe -e szeeték meghatáozi. A kamatfizetés utá a kötvéy áfolyama potosa a kifizetett kamat agyságával sökke, ha mide más feltétel változatla maad. Az idő múlásával a következő kamatfizetés fokozatosa beépül az áfolyamba. A felhalmozott kamatszámítás feltételezi, hogy ez a beépülés folyamatos és egyeletes. A megközelítést a 4.2. Ába mutatja ába - Felhalmozott kamat A felhalmozott kamatszámítás Kiszámítadó felhalmozott kamat X Kamat agysága (6,5%) Az egyelő száú háomszögek tövéyéből következik, hogy a keesett X úgy aáylik az utolsó kamatfizetéstől eltelt időhöz, ahogy a kamat agysága aáylik a jáadékközhöz. A feálló egyees aáyosságot X-e edezve megkapjuk a felhalmozott kamat agyságát. X t X (4.3) t T T ahol - jáadékközökét kifizetett kamat agysága, T - jáadékköz hossza, t - utolsó kamatfizetéstől az áfolyamszámításig eltelt idő, X - felhalmozott kamat agysága. Az utolsó kamatfizetés 24. július 24-é volt. Októbe -ig 78 ap telt el. 7 a júliusból + 3 (augusztus) + 3 (szeptembe) + (októbe). 24. július 24-től 25. jauá 24-ig 84 ap telik el. ( ). Behelyettesítve a 2-es képletbe kapjuk: (4.4) Utolsó kamatfizetéstõl eltelt idõ Két kamatfizetés között eltelt idõ - jáadékköz (fél év) X t T 6,5% 78 2,76% 84 Ha a felhalmozott kamatot hozzáadjuk a ettó áfolyamhoz, akko a buttó áfolyamot, a 24. októbe - i belső étéket kapjuk. Eek étéke 7,59%+2,76%,35% lesz.. Példa: Egy államkötvéyől a következőt tudjuk. Jelelegi áfolyama 4,5%, kamata évi 8%, a kamatfizetés félévete esedékes, továbbá lejáata 2. augusztus 27. Édemes-e megvásáolia 25. máius 9-é ezt a kötvéyt, ha 5%-os a féléves elvát hozama ettől a befektetéstől? Haladjuk visszafelé, mit a ák! 2-től számolva kamat fizetése esedékes még. Az auitásfakto étéke peiódus és 5% peioduskamat eseté 7,722, az azoos paaméteű diszkotfakto étéke pedig,64. A ettó áfolyam a 2. képlet szeit tehát 7,722*4%+,64*%92,288%. Az előző kamatfizetés febuá 27-é volt, tehát a felhalmozott kamat agol kamatszámítással 4%*/365,96%. A kötvéy étéke az ö számáa tehát em több, mit 92,398, tehát em édemes megvei a kötvéyt. 4.2 Lejáat élküli étékpapíok áfolyamszámítása

19 A feti papíok mid edelkeztek egy meghatáozott lejáattal. A lejáat élküli papíok (öökjáadékos kötvéy, észvéyek) ettó áfolyamát a belső étékképletből vezethetjük le, ha feltételezzük, hogy az tat a végtelehez. Ha a "" álladó, vagy a pézáamsoozat métai soozatot alkot, akko az étékképlet is egy végtele métai soozatot alkot, amiek hatáétéke va. A em lejáó auitásokat öökjáadékak evezzük. Az egyszeű öökjáadék jellegzetessége, hogy álladó agyságú jáadéktagokból áll, de a pézsoozatak is vége. A pézügyi életbe számos példát láthatuk öökjáadéka. Ilye a legtöbb elsőbbségi észvéy pézáama. Ezek általába fix hozamot ígéek és lejáat élküliek. Öökjáadékak tekithetők az alapítváyi kifizetések is. Itt egy tőkeösszeget helyezek el, amelyek évől éve sak a hozamait fizetik ki. Számokkal: (4.5) PV lim ( + ) ( + ) ( + ) + + lim + ahol - a jáadék agysága, - az elvát hozam, - a jáadéktagok száma - itt végtele, PV - az öökjáadék ettó áfolyama. Az öökjáadék ettó áfolyamát tehát megkapjuk, ha a jáadékot az elvát hozammal osztjuk példa Elsőbbségi észvéy áfolyamszámítása Egy elsőbbségi észvéyt bosátottak ki júius -é 2%-os gaatált osztalékfizetési ígéettel. Az osztalékot mide év júius -é fizetik ki. Mekkoa az elsőbbségi észvéy belső étéke febuá 2- é, ha a befektető által elvát hozam 2%? Az elsőbbségi észvéy ettó áfolyamát megkapjuk, ha a 4.5-ös képletbe helyettesítük. (4.6) PV 2% 2% 6% Az elsőbbségi észvéy ettó áfolyama 6% példa Öökjáadék agysága Egy alapítváy alaptőkéje 5 millió foit. Az alapítváy tőkéje egy évi %-os kamatot fizető letéti számlá va. Évete mekkoa összeget tud kifizeti az alapítváy jótékoy éla? Az alapítváyi kifizetések öökjáadékot alkotak. Az alapítváy összege az öökjáadék jeleétéke és a jáadék agysága a kédés. Átedezve a 4.5. képletet megkapjuk, hogy a szétosztható tőke 5 millió foit. 5 millió foit * % 5 millió foit. A övekvő tagú öökjáadékkal a tözsészvéyek belső étékét szokták közelítei, feltételezve, hogy az osztalékok az idő múlásával folyamatosa övekedek egy álladó százalékkal a végteleségig. A képlet hasoló módo vezethető le, mit az öökjáadéké: + g g ( g) ( + ) + PV + lim lim 2 ( ) ( ) ( ) + + g g (4.7) Magyaázat a képlet levezetéséhez. Látható, hogyha az étéke agyo agy, mivel a véges szám, az utolsó tagok étéke má elhayagolhatóa kisi lesz, így va hatáéték. Vegyük észe, hogy a szögletes záójelbe lévő tagok métai soozatot alkotak, ahol az első tag /(+), a kvóies /(+). A métai soozat összegképlete: a*(q^-)/(q-). Ezt alkalmazva zát alakba íhatjuk fel az összeget. Vegyük észe, hogy ha az a végtelebe tat (/(+))^ étéke tat a -hoz. 4 Itt is a métai soozat összegképletével dolgozuk, és a métai soozat első tagja is /+, lesz, itt azoba a kvóies (+g)/(+).

20 ahol az első jáadéktag agysága, - az elvát hozam, g - a jáadék övekedési átája, PV - a övekvő tagú öökjáadék jeleétéke példa Részvéy áfolyamáak kiszámítása Egy észvéye tágyévbe 9%-os osztalékot fizettek. Tételezzük fel, hogy az osztalék hosszú távú övekedési átája 2%. Osztalékot a észvéye júius -é fizetek. A észvéytől elvát hozam 5%. Mekkoa a észvéy belső étéke deembe -é, ha tudjuk, hogy a észvéy évétéke Ft? Számoljuk ki előszö a ettó áfolyamot a 4.7-es képlet segítségével! A " " paaméte étéke 9 lesz, hisze a Ft évétéke fizetik az osztalékot. A képlet " " paamétee azoba a következő osztalékfizetése voatkozik, így a 9 Ft-ot meg kell szoozuk +g-vel a övekedés átájával, hogy megkapjuk a 2. júius -i besült osztalékot. A képlet az áfolyamot júius -e számolja ki. (4.8) g) 9,2 PV 336 g,5,2 A felhalmozott kamatot a 2-es képlet segítségével számolhatjuk ki: (4.9) t 9,2 83 X 5,5 T 365 A buttó áfolyam Ft. A feti osztalékhozamo alapuló észvéyétékelés edkívül bizoytala, mivel ige ézékey a g paaméte változásáa, amit a legehezebb megbesüli példa Még egy példa észvéy áfolyamszámításáa Egy észvéy júius 5-é 55 Ft osztalékot fizetett. A észvéytől elvát hozam 7%. Az osztalék hosszú távú övekedési átáját 5%-a besüli. Mekkoa lesz a észvéy belső étéke az ö számáa máius 9- é? A jövő évi váható osztalék métékét úgy kapjuk, hogy megszoozzuk az 55 Ft-ot (+,5)-el. A észvéy ettó áfolyamát a 4.5-ös képletbe való behelyettesítéssel kapjuk. 55* ( +,5) (4.) PV 362, 5,7,5 A felhalmozott kamat métékét agol kamatszámítással számoljuk ki. Máius 9 és előző év júius 5 között eltelt apok száma: ap. A felhalmozott osztalék météke 55 Ft*(+,5)*277/36548, Ft. A észvéy belső étéke 362,5 Ft + 48 Ft 32,5 Ft.5 5 Előleges kamatszámítás Előleges kamatszámítás esetébe a kamatlábat a visszafizetedő összeg százalékába hatáozzuk meg, és előe levojuk a kifizetedő összegből. Az előleges kamatszámítást is szokták diszkotálásak evezi. Utólagos kamatszámítás eseté a kamatlábat a befektetett péz százalékába fejezik ki, és utólag fizetik. Az előleges kamatszámítás alkalmazásáak teületei az úgyevezett em kamatozó, (diszkot) étékpapíok (váltó, diszkot kistájegy) leszámítolása és a faktoig ügyletek, valamit az úgyevezett elemi kötvéyek étékelése. Az utólagos kamatszámítást alkalmazzák az összes többi ügylet esetébe, például hitelyújtásál és betételhelyezésél. Az előleges kamatszámításál alkalmazott kamatlábat diszkotlábak (bakái diszkot) evezzük. A legevezetesebb em kamatozó étékpapíok a váltó és a diszkot kistájegy. Ezek és a faktoig matematikája gyakolatilag megegyezik. 5 A észvéyek étékelésée a feti képlet sak agy óvatossággal alkalmazható. A képlet étéke agyo ézékey aa, hogy az osztalék hosszú távú agyságáak milye étéket állítuk be. A másik god, hogy a észvéyek em is elsősoba a fizetett osztalék befolyásolja, haem a mögöttük lévő vállalatok teljesítméye. A gyosa övekvő égek pofitjukat a működésbe fogatják vissza, osztalékot em fizetek, így észvéyeik em is étékelhetők a feti módszeel.

Sok sikert és jó tanulást kívánok! Előszó

Sok sikert és jó tanulást kívánok! Előszó Előszó A Pézügyi számítások I. a Miskolci Egyetem közgazdász appali, kiegészítő levelező és posztgraduális kurzusai oktatott pézügyi tárgyak feladatgyűjteméyéek az első darabja. Tematikája elsősorba a

Részletesebben

PROJEKTÉRTÉKELÉSI ALAPOK

PROJEKTÉRTÉKELÉSI ALAPOK Eegeikai gazdasága MKEE. gyakola PROJEKTÉRTÉKELÉSI ALAPOK A gyakola célja, hogy a hallgaók A. megismejék az alapveő közgazdaságai muaóka; B. egyszeű pojekéékelési számíásoka udjaak elvégezi. A. KÖZGAZDASÁGTANI

Részletesebben

SPORTPÉNZÜGYEK. r m. A pénz időértéke.

SPORTPÉNZÜGYEK. r m. A pénz időértéke. SPORTPÉNZÜGYEK A péz időétéke. A ai pézösszeg azét étékesebb, it egy későbbi időpotba esedékes pézösszeg, et a befektető eek évé jövedelee, kaata tehet szet Kaat: A péz áa Haszálója azét fizet, et a pézt

Részletesebben

A pénzügyi számítások alapjai II. Az értékpapírok csoportosítása. Az értékpapírok csoportosítása. értékpapírok

A pénzügyi számítások alapjai II. Az értékpapírok csoportosítása. Az értékpapírok csoportosítása. értékpapírok A pénzügyi számítások alapjai II. étékpapíok Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Ka Pénzügyi Tanszék Galbács Péte doktoandusz Az étékpapíok csopotosítása Tulajdonosi jogot (észesedési viszonyt) megtestesítő

Részletesebben

2011. november 2. Dr. Vincze Szilvia

2011. november 2. Dr. Vincze Szilvia 20. novembe 2. D. Vincze Szilvia Tatalomjegyzék.) Számtani és métani soozatok Métani soozatok alkalmazásai: 2.) Kamatos kamat számítás a.) Egyszeű kamatszámítás b.) Kamatos kamat számítás c.) Kamatszámítás

Részletesebben

A TŐKE KÖLTSÉGE. 7. Fejezet. 7.1. Források tőkeköltsége. 7.1.2 Saját tőke költsége. 7.1.1. Hitel típusú források tőkeköltsége DIV DIV

A TŐKE KÖLTSÉGE. 7. Fejezet. 7.1. Források tőkeköltsége. 7.1.2 Saját tőke költsége. 7.1.1. Hitel típusú források tőkeköltsége DIV DIV 7. Fejezet A TŐKE KÖLTSÉGE 7.1.2 Saját tőke költsége D =hitel tőkeköltsége. i =névleges kamatláb, kötvény esetén n. P n =a kötvény névétéke. =a kötvény áfolyama. P 0 Hitel típusú foások tőkeköltsége, (T

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke:

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke: A PÉNZ IDİÉRTÉKE A péz értéke többek között az idı függvéye. Ha idıbe késıbb jutuk hozzá egy jövedelemhez, akkor elveszítjük aak lehetıségét, hogy az eltelt idıbe azt befektessük, azaz elesük aak hozamától,

Részletesebben

RÁBAKÖZI TAKARÉKSZÖVETKEZET

RÁBAKÖZI TAKARÉKSZÖVETKEZET Vállalkozások és egyéi vállalkozók részére vezetett pézforgalmi számlák kamatairól, valamit a voatkozó betétbiztosítási feltételekről Érvéyes: 2013. szeptember 11-től I. KAMATMÉRTÉKEK Éves kamatláb EBKM

Részletesebben

Finanszírozás, garanciák

Finanszírozás, garanciák 29..9. Fiaszíozás, gaaciák D. Fakas Szilvesze egyeemi doces SZE Gazdálkodásudomáyi Taszék fakassz@sze.hu hp://d.fakasszilvesze.hu/ Fiaszíozás émaköei. A péz idıééke, jövıéék és jeleéék, speciális pézáamlások

Részletesebben

Az állat becsült kor. teljes súly. teljes hossz orrtól. törzs hossza. pocak körkörös méret. hátsó láb hossza kör

Az állat becsült kor. teljes súly. teljes hossz orrtól. törzs hossza. pocak körkörös méret. hátsó láb hossza kör Koeláció- és egesszió-aalízis Az is előfodulhat, hogy két változó között ics semmilye kapcsolat: Az X és Y véletle változók között az alábbi ábáko Az állat becsült ko pozitív összefüggés em lieáis összefüggés

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Bruttó kereslet Nettó kereslet (1) 5. elıadás: Vétel és eladás indulókészlettel; Intertemporális választások. Indulókészlet

Bruttó kereslet Nettó kereslet (1) 5. elıadás: Vétel és eladás indulókészlettel; Intertemporális választások. Indulókészlet (C http://kgt.be.hu/ 5. elıadás: Vétel és eladás idulókészlettel; Itetepoális választások uttó keeslet ettó keeslet ( uttó keeslet: ait a fogyasztó téylegese elfogyaszt (hazavisz a piacól ( ( Jele:, vagy,

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

1. A lehetséges finanszírozási források és azok ára

1. A lehetséges finanszírozási források és azok ára 3. kozultáció 1. A lehetséges fiaszírozási források és azok ára 1.1. A fiaszírozás belső forrásai 1.2. Külső fiaszírozási források 1.3. A fiaszírozási források ára 1.4. A pézügyi lehetőségek egy részéek

Részletesebben

Kamat Hozam - Árfolyam

Kamat Hozam - Árfolyam Pénzügyi számítások kamat, hozam Váltó és értékelése 7. hét 2010.10.19. 1 Kamat Hozam - Árfolyam Kamat nem egyenlő a hozammal!! Kamat-Hozam-Árfolyam összefüggés A jelenlegi gyakorlat alatt a pénz időértékének

Részletesebben

GYAKORLÓ FELADATOK 1. A pénz időértéke I. rész (megoldott) Fizetés egy év múlva

GYAKORLÓ FELADATOK 1. A pénz időértéke I. rész (megoldott) Fizetés egy év múlva . Jelenérték (PV, NPV), jövő érték (FV) Számítsa ki az alábbi pénzáramok jelen és jövőértékét. Az A,B,C ajánlatok három külön esetet jelentenek. 0% kamatlábat használjon minden lejáratra. Jövőértéket a.

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

a legjobb kezekben K&H Csoport

a legjobb kezekben K&H Csoport a legjobb kezekbe A K&H Biztosító 1992 óta működik Magyarországo, és közel félmillió ügyfelet szolgál ki. A K&H Biztosító a magyar piac sajátosságait figyelembe véve alakította ki szolgáltatási palettáját,

Részletesebben

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Témavezető: Lebaov Dóa Mezei Istvá Adjuktus Matematika Bs Alkalmazott Aalízis és Matematikai

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Pénzügyi ismeretek. Dülk Marcell 2012/2013/2

Pénzügyi ismeretek. Dülk Marcell 2012/2013/2 Pénzügyi ismeetek Dülk Macell 2012/2013/2 Rövid ismetető Dülk Macell, dulk@finance.bme.hu, QA337 Jegyzetek, diák Számonkéés Miől lesz szó? Nettó jelenéték fogalma és számítása Pénzáamlások becslése Tőkeköltség

Részletesebben

HosszútávúBefektetések Döntései

HosszútávúBefektetések Döntései VállalatgadaságtaII. HossútávúBefektetések Dötései Előadó: Koma Tímea Tatárgyfelelős: Dr. Illés B. Csaba 27. November 9. A hossútávúbefektetések sajátosságai Rövidebb időre sóló befektetés hossabb időtávra

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

Számítások. *Előadásanyagban nem szerepel. Kamat idővel egyenesen arányos. 1.3. Példa - Kamatos kamat egész évekre éven belül egyszerű kamat

Számítások. *Előadásanyagban nem szerepel. Kamat idővel egyenesen arányos. 1.3. Példa - Kamatos kamat egész évekre éven belül egyszerű kamat Számítások.Kamatszámítás..Péda - Kamatos kamat Számítsuk ki a visszafizetedő összeget az aábbi kostrukció eseté (kamatos kamatta számova), ha 2005.0.0-é köcsö adtuk 200.000 Ft- ot, 205.2.3-é kapjuk vissza

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t. Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is

Részletesebben

A Kormány 82/2010. (III. 25.) Korm. rendelete a betéti kamat és az értékpapírok hozama számításáról és közzétételérõl

A Kormány 82/2010. (III. 25.) Korm. rendelete a betéti kamat és az értékpapírok hozama számításáról és közzétételérõl M A G Y A R K Ö Z L Ö N Y 200. évi 43. szám 809 A Kormáy 82/200. (III. 25.) Korm. redelete a betéti kamat és az értékpapírok hozama számításáról és közzétételérõl A Kormáy a hitelitézetekrõl és a pézügyi

Részletesebben

GYAKORLÓ FELADATOK 3. A pénzügyi eszközök értékelése

GYAKORLÓ FELADATOK 3. A pénzügyi eszközök értékelése GYAKORLÓ FELADATOK 3. A pénzügyi szközök étéklés. fladat (kötvény) A vállalat 2 millió fointos buházása mgvalósításának finanszíozásához kötvénykibocsátást tvz, 5 Millió Ft étékbn. A jgyzést lbonyolító

Részletesebben

Gazdasági Információs Rendszerek

Gazdasági Információs Rendszerek Gazdasági Információs Rendszerek 1. előadás Bánhelyi Balázs Alkalmazott Informatika Tanszék, Szegedi Tudományegyetem 2009 A pénz időértéke Mit jelent a pénz időértéke? Egy forint (dollár, euró, stb.) ma

Részletesebben

Pénzügyi számítások. 7. előadás. Vállalati pénzügyi döntések MAI ÓRA ANYAGA. Mérleg. Rózsa Andrea Csorba László FINANSZÍROZÁS MÓDJA

Pénzügyi számítások. 7. előadás. Vállalati pénzügyi döntések MAI ÓRA ANYAGA. Mérleg. Rózsa Andrea Csorba László FINANSZÍROZÁS MÓDJA Pénzügyi számítások 7. előadás Rózsa Andrea Csorba László Vállalati pénzügyi döntések Hosszú távú döntések Típusai Tőke-beruházási döntések Feladatai - projektek kiválasztása - finanszírozás módja - osztalékfizetés

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

Szent István Egyetem Gazdasági és Társadalomtudományi Kar Pénzügyi és Számviteli Intézet. Beadandó feladat

Szent István Egyetem Gazdasági és Társadalomtudományi Kar Pénzügyi és Számviteli Intézet. Beadandó feladat Szent István Egyetem Gazdasági és Társadalomtudományi Kar Pénzügyi és Számviteli Intézet Beadandó feladat Vállalati pénzügyek tantárgyból BA alapszak levelező tagozat számára Emberi erőforrások Gazdálkodás

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

BETÉT HIRDETMÉNY VÁLLALKOZÓI ÜGYFELEK RÉSZÉRE

BETÉT HIRDETMÉNY VÁLLALKOZÓI ÜGYFELEK RÉSZÉRE BETÉT HIRDETMÉNY VÁLLALKOZÓI ÜGYFELEK RÉSZÉRE Érvényes: 2015. június 01-től A Takarékszövetkezet jelen Hirdetményben szereplő, változó kamatozású betéti termékei esetében betéti kamatváltozást tesz közzé,

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Vállalati pénzügyek alapjai. Befektetési döntések - Részvények értékelése

Vállalati pénzügyek alapjai. Befektetési döntések - Részvények értékelése BME Pénzügyek Tanszék Vállalati pénzügyek alapjai Befektetési döntések - Előadó: Deliné Pálinkó Éva Részvény A részvény jellemzői Részvényt, részvénytársaságok alapításakor vagy alaptőke emelésekor kibocsátott

Részletesebben

A pénz tartva tenyész, költögetve vész!

A pénz tartva tenyész, költögetve vész! VÁLLALATI PÉNZÜGYEK I. A PÉNZ IDŐÉRTÉKE (12 óra) Összeállította: Naár János okl. üzemgazdász, okl. közgazdász-tanár A pénz tartva tenyész, költögetve vész! Dugonics András: Magyar példa beszédek és jeles

Részletesebben

Tartalom. Speciális pénzáramlások. Feladatmegoldás, jelenértékszámítások 2010.10.19. 8. hét. Speciális pénzáramlások. Örökjáradék:

Tartalom. Speciális pénzáramlások. Feladatmegoldás, jelenértékszámítások 2010.10.19. 8. hét. Speciális pénzáramlások. Örökjáradék: Feladatmegoldás, jelenértékszámítások 8. hét 2010.10.26. 1 Tartalom Speciális pénzáramlások Örökjáradék: Olyan végtelen számú tagból álló pénzáramlás, amelynek minden eleme megegyezik. Növekvő örökjáradék:

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Pénzügyi szolgáltatások és döntések. 2. előadás. Bankbetétek

Pénzügyi szolgáltatások és döntések. 2. előadás. Bankbetétek Pénzügyi szolgáltatások és döntések 2. előadás Bankbetétek Az előadás részei a vállalkozások pénzeszközeinek befektetése banki betétkonstrukciók legfontosabb jellemzőik az összehasonlításhoz, értékeléshez

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

TERMÉKTÁJÉKOZTATÓ ÉRTÉKPAPÍR ADÁS-VÉTEL MEGÁLLAPODÁSOKHOZ

TERMÉKTÁJÉKOZTATÓ ÉRTÉKPAPÍR ADÁS-VÉTEL MEGÁLLAPODÁSOKHOZ TERMÉKTÁJÉKOZTATÓ ÉRTÉKPAPÍR ADÁS-VÉTEL MEGÁLLAPODÁSOKHOZ Termék definíció Az Értékpapír adásvételi megállapodás keretében a Bank és az Ügyfél értékpapírra vonatkozó azonnali adásvételi megállapodást kötnek.

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Vállalati pénzügyek alapjai

Vállalati pénzügyek alapjai BME Pénzügyek Tanszék Vállalati pénzügyek alapjai Befektetési döntések - Kötvények értékelése Előadó: Deliné Pálinkó Éva Pénzügyi piacok, pénzügyi eszközök 1. Vállalat a közvetlen pénzügyi piacokon szerez

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása Az új építőipari termelőiár-idex részletes módszertai leírása. Előzméyek Az elmúlt évekbe az építőipari árstatisztikába egy új, a korábba haszálatos költségalapú áridextől eltérő termelői ár alapú idexmutató

Részletesebben

Szent István Egyetem Gazdasági és Társadalomtudományi Kar Pénzügyi és Számviteli Intézet. Beadandó feladat. Pénzügytan I. tárgyból

Szent István Egyetem Gazdasági és Társadalomtudományi Kar Pénzügyi és Számviteli Intézet. Beadandó feladat. Pénzügytan I. tárgyból Szent István Egyetem Gazdasági és Társadalomtudományi Kar Pénzügyi és Számviteli Intézet Beadandó feladat Pénzügytan I. tárgyból Közgazdász gazdálkodási alap levelező, GAM alap és kieg. levelező képzés

Részletesebben

Segédlet a Tengely gördülő-csapágyazása feladathoz

Segédlet a Tengely gördülő-csapágyazása feladathoz Segélet a Tengely göülő-csaágyazása felaathoz Összeállította: ihai Zoltán egyetemi ajunktus Tengely göülő-csaágyazása Aott az. ábán egy csaágyazott tengely kinematikai vázlata. A ajz szeint az A jelű csaágy

Részletesebben

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása

Részletesebben

MECSEK TAKARÉK Szövetkezet Hirdetménye a 2013.12.20-tól érvényes kondícióiról

MECSEK TAKARÉK Szövetkezet Hirdetménye a 2013.12.20-tól érvényes kondícióiról Hagyományos forint takarékbetétek Kamatozó takarékbetétkönyv Látra szóló 0.20% 0.20% 1 évre lekötött, gyámhatósági betét is 2.50% 2.50% Kamatozó takarékbetétkönyv 2014.01.05-től Látra szóló 0.20% 0.20%

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

TERMÉKTÁJÉKOZTATÓ ESETI TREASURY BETÉTMŰVELETEKRE

TERMÉKTÁJÉKOZTATÓ ESETI TREASURY BETÉTMŰVELETEKRE TERMÉKTÁJÉKOZTATÓ ESETI TREASURY BETÉTMŰVELETEKRE Termék definíció Az Eseti Treasury betéti megállapodás keretében a Bank Treasury üzletága az Ügyfél által elhelyezni kívánt bankbetét kamatát az ügyletkötés

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE A kiadváy KHF/438-3/008. egedélyszámo 008..0. időpottól taköyvi egedélyt kapott Educatio Kht. Kompeteciafejlesztő oktatási program kerettaterv

Részletesebben

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető 11. méré Méréek, hibák 1. evezető laboratóriumi muka orá gyakra mérük külöböző fizikai meyiégeket. Ezeket a méréeket bármeyire ügyeek vagyuk i, bármeyire moder digitáli mérőezköz gombjait yomogatjuk i

Részletesebben

Szolnoki Főiskola Üzleti Fakultás Szolnok. Az adós példák aktualizálása folyamatban van! Vállalati pénzügyek és adózási alapok Példatár

Szolnoki Főiskola Üzleti Fakultás Szolnok. Az adós példák aktualizálása folyamatban van! Vállalati pénzügyek és adózási alapok Példatár Szolnoki Főiskola Üzleti Fakultás Szolnok Az adós példák aktualizálása folyamatban van! Vállalati pénzügyek és adózási alapok Példatár Szolnok, 2007. augusztus Összeállította: Dr. Túróczi Imre Főiskolai

Részletesebben

I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK. I.1. Sorozatok

I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK. I.1. Sorozatok Soozato 5 I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK I.. Soozato A legtöbb embe szóicsébe szeepel a soozat szó. Ez azt jeleti, hog edelezi valamile soozatfogalommal. Megéti, ha a miet sújtó

Részletesebben

Betét Hirdetmény és kondíciós lista Érvényes: 2015. június 15-től visszavonásig

Betét Hirdetmény és kondíciós lista Érvényes: 2015. június 15-től visszavonásig Betét Hirdetmény és kondíciós lista Érvényes: 2015. június 15-től visszavonásig Székhely:HU 7500 Nagyatád, Kossuth Lajos u. 16. Postacím:HU 7500 Nagyatád, Kossuth Lajos u. 16. Telefon: (+36-82) 553-820

Részletesebben

Statisztika. Eloszlásjellemzők

Statisztika. Eloszlásjellemzők Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az

Részletesebben

10. évfolyam, harmadik epochafüzet

10. évfolyam, harmadik epochafüzet 0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...

Részletesebben

KONDÍCIÓS LISTA (HIRDETMÉNY)

KONDÍCIÓS LISTA (HIRDETMÉNY) 1 KONDÍCIÓS LISTA (HIRDETMÉNY) PASSZÍV ÜZLETÁG Vállalkozói megtakarítások kondíciói valamint betétbiztosítási feltételei egységes szerkezetben Kiadás időpontja:2015.06.23. Hatályos: 2015.06.24. Indoklás:

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE A kiadváy a Nemzeti Fejlesztési Terv Humáerőforrás-fejlesztési Operatív Program 3... közpoti program (Pedagógusok és oktatási szakértők

Részletesebben

BETÉT HIRDETMÉNY. LAKOSSÁGI (fogyasztónak minősülő) ÜGYFELEK RÉSZÉRE. Érvényes: 2015. június 01-től

BETÉT HIRDETMÉNY. LAKOSSÁGI (fogyasztónak minősülő) ÜGYFELEK RÉSZÉRE. Érvényes: 2015. június 01-től BETÉT HIRDETMÉNY LAKOSSÁGI (fogyasztónak minősülő) ÜGYFELEK RÉSZÉRE Érvényes: 2015. június 01-től A Takarékszövetkezet jelen Hirdetményben szereplő, változó kamatozású betéti termékei esetében betéti kamatváltozást

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

Szent István Egyetem Gazdasági és Társadalomtudományi Kar Pénzügyi és Számviteli Intézet. Beadandó feladat. Pénzügy tárgyból

Szent István Egyetem Gazdasági és Társadalomtudományi Kar Pénzügyi és Számviteli Intézet. Beadandó feladat. Pénzügy tárgyból Szent István Egyetem Gazdasági és Társadalomtudományi Kar Pénzügyi és Számviteli Intézet Beadandó feladat Pénzügy tárgyból Pénzügy MSc. képzés I. évfolyam levelező tagozat számára A Pénzügyi és Számviteli

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

2. modul Gazdasági matematika

2. modul Gazdasági matematika Matematika A. évfolyam. modul Gazdasági matematika Készítette: Lövey Éva Matematika A. évfolyam. modul: GAZDASÁGI MATEMATIKA Taári útmutató A modul célja Időkeret Ajálott korosztály Modulkapcsolódási potok

Részletesebben

HIRDETMÉNY - a vállalkozói és közszolgálati ügyfélkör forintszámlái tekintetében érvényes betéti kamatokról

HIRDETMÉNY - a vállalkozói és közszolgálati ügyfélkör forintszámlái tekintetében érvényes betéti kamatokról Közzététel: 2015. április 30. Hatályba lépés: 2015. május 18. HIRDETMÉNY - a vállalkozói és közszolgálati ügyfélkör forintszámlái tekintetében érvényes betéti kamatokról A Hirdetmény hatálya az Vállalkozói

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

A pénz időértéke. Kifejezi a pénz hozamát ill. lehetővé teszi a különböző időpontokban rendelkezésre álló pénzek összeadhatóságát.

A pénz időértéke. Kifejezi a pénz hozamát ill. lehetővé teszi a különböző időpontokban rendelkezésre álló pénzek összeadhatóságát. A pénzeszközökben bekövetkezett változás kimutatása a változást előidéző vállalati tevékenység szerinti bontásban cash flow (PÉNZÁRAMLÁS) kimutatás A tényleges pénzmozgások figyelembe vétele 1. Szokásos

Részletesebben

Vállalkozási finanszírozás kollokvium

Vállalkozási finanszírozás kollokvium Harsányi János Főiskola Gazdaságtudományok tanszék Vállalkozási finanszírozás kollokvium Név: soport: Tagozat: Elért pont: Érdemjegy: Javította: 47 55 pont jeles 38 46 pont jó 29 37 pont közepes 20 28

Részletesebben

Társaságok pénzügyei kollokvium

Társaságok pénzügyei kollokvium udapesti Gazdasági Főiskola Pénzügyi és Számviteli Főiskolai Kar udapesti Intézet Továbbképzési Osztály Társaságok pénzügyei kollokvium F Név: soport: Tagozat: Elért pont: Érdemjegy: Javította: 55 60 pont

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

Pénzügytan szigorlat

Pénzügytan szigorlat GF KVIFK Gazdaságtudományi Intézet Pénzügy szakcsoport Pénzügytan szigorlat 3 29,5 33 pont jeles 25,5 29 pont jó 21,5 25 pont közepes 17,5 21 pont elégséges 17 pont elégtelen Név: Elért pont: soport: Érdemjegy:

Részletesebben

Kategóriák Fedezeti követelmények

Kategóriák Fedezeti követelmények 1 Válasszon kedvére a világ 20 különböző tőzsdéjét leképező 6.000 különböző CFD közül. Az elérhető tőkeáttétel akár 10-szeres is lehet. Long és short pozíció nyitására egyaránt van lehetőség, akár napon

Részletesebben

A vállalati pénzügyi döntések fajtái

A vállalati pénzügyi döntések fajtái A vállalati pénzügyi döntések fajtái Hosszú távú finanszírozási döntések Befektetett eszközök Forgóeszközök Törzsrészvények Elsőbbségi részvények Hosszú lejáratú kötelezettségek Rövid lejáratú kötelezettségek

Részletesebben

Ingatlanok értékelése hozamszámítással 1-2. 1

Ingatlanok értékelése hozamszámítással 1-2. 1 Piaci érték: Igatlaok értékelése hozamszámítással 1-2. 1 Elıadás Igatlavagyo-értékelı és közvetítı Szakképzés, Igatlakezelı Szakképzés A-. modul Az az ár, amelyért az igatla méltá- yosa,, magájogi szerzıdés

Részletesebben

MINTA FELADATSOR. Megoldás: mivel a négy év múlva esedékes összegre vagyunk kíváncsiak, ezért a feladat a bankszámla jövıértékének meghatározása, t

MINTA FELADATSOR. Megoldás: mivel a négy év múlva esedékes összegre vagyunk kíváncsiak, ezért a feladat a bankszámla jövıértékének meghatározása, t MINTA FELADATSOR 1. Hány forintunk lenne a bankszámlán 4 év múlva, ha ma 200 ezer forintot helyeznénk el évi 8%-os kamatra, és a bank a kamatokat negyedévenként tıkésíti? mivel a négy év múlva esedékes

Részletesebben

TERMÉKTÁJÉKOZTATÓ DEVIZAÁRFOLYAM-SÁVHOZ KÖTÖTT HOZAMFELHALMOZÓ (RANGE ACCRUAL) STRUKTURÁLT BEFEKTETÉSEKRŐL

TERMÉKTÁJÉKOZTATÓ DEVIZAÁRFOLYAM-SÁVHOZ KÖTÖTT HOZAMFELHALMOZÓ (RANGE ACCRUAL) STRUKTURÁLT BEFEKTETÉSEKRŐL TERMÉKTÁJÉKOZTATÓ DEVIZAÁRFOLYAM-SÁVHOZ KÖTÖTT HOZAMFELHALMOZÓ (RANGE ACCRUAL) STRUKTURÁLT BEFEKTETÉSEKRŐL Termékleírás A Hozamfelhalmozó (Range Accrual - RAC) strukturált befektetések esetében a hozam

Részletesebben

1. Az absztrakt adattípus

1. Az absztrakt adattípus . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,

Részletesebben

REÁLSZISZTÉMA ÉRTÉKPAPÍR-BEFEKTETÉSI ALAP 2008. FÉLÉVES TÁJÉKOZTATÓ

REÁLSZISZTÉMA ÉRTÉKPAPÍR-BEFEKTETÉSI ALAP 2008. FÉLÉVES TÁJÉKOZTATÓ REÁLSZISZTÉMA ÉRTÉKPAPÍR-BEFEKTETÉSI ALAP 2008. FÉLÉVES TÁJÉKOZTATÓ I. REÁLSZISZTÉMA ÉRTÉKPAPÍR-BEFEKTETÉSI ALAP Féléves tájékoztató 2008. I. félévéről Alapkezelő: Reálszisztéma Befektetési AlapkezelőZrt.

Részletesebben

GYAKORLATI ÚTMUTATÓ TÁMOGATÁS VISSZAFIZETTETÉSÉT ELRENDELŐ BIZOTTSÁGI HATÁROZAT ESETÉN A VISSZATÉRÍTÉS KAMATAINAK SZÁMÍTÁSÁHOZ.

GYAKORLATI ÚTMUTATÓ TÁMOGATÁS VISSZAFIZETTETÉSÉT ELRENDELŐ BIZOTTSÁGI HATÁROZAT ESETÉN A VISSZATÉRÍTÉS KAMATAINAK SZÁMÍTÁSÁHOZ. Állami Támogatások Joga 8 (2010/4) 27 33. GYAKORLATI ÚTMUTATÓ TÁMOGATÁS VISSZAFIZETTETÉSÉT ELRENDELŐ BIZOTTSÁGI HATÁROZAT ESETÉN A VISSZATÉRÍTÉS KAMATAINAK SZÁMÍTÁSÁHOZ Giba Gábor 1 Az Európai Bizottság

Részletesebben

Hitelviszonyt megtestesítő értékpapírok. Forgatási célú hitelviszonyt megtestesítő értékpapír

Hitelviszonyt megtestesítő értékpapírok. Forgatási célú hitelviszonyt megtestesítő értékpapír 11.) Határozza meg az értékpapírok fogalmát, fajtáit, főkönyvi nyilvántartásának és értékelésének szabályait! Ismertesse az értékpapírok analitikus nyilvántartását! Mutassa be az értékpapírokhoz (váltó,

Részletesebben

JAVÍTÁSI JEGYZÉK. érdemes megvenni (PV = 48711,84 >

JAVÍTÁSI JEGYZÉK. érdemes megvenni (PV = 48711,84 > JAVÍTÁSI JEGYZÉK A kódszám feloldása: fejezet/oldal/sor, a javított szöveget vastag betűvel kiemeltük. TARTALMI HIBÁK: 3/69/második keret a keret eltakarja a definíció egy részét: IRR, a befektetési időszak

Részletesebben

2015.02.26. b) Örökjáradékos kötvény esetében: c) Kamatszelvény nélküli (diszkont- vagy elemi) kötvény esetében: C = periódusonkénti járadék összege

2015.02.26. b) Örökjáradékos kötvény esetében: c) Kamatszelvény nélküli (diszkont- vagy elemi) kötvény esetében: C = periódusonkénti járadék összege VÁLLALATI PÉNZÜGYEK II. A KÖTVÉNYEK ÉRTÉKELÉSE (4 óra) Összeállította: Naár János okl. üzemgazdász, okl. közgazdász-tanár A pénz tartva tenyész, költögetve vész! Dugonics András: Magyar példa beszédek

Részletesebben

BETÉT HIRDETMÉNY. LAKOSSÁGI (fogyasztónak minősülő) ÜGYFELEK RÉSZÉRE Érvényes: 2015. július 3-tól

BETÉT HIRDETMÉNY. LAKOSSÁGI (fogyasztónak minősülő) ÜGYFELEK RÉSZÉRE Érvényes: 2015. július 3-tól BETÉT HIRDETMÉNY LAKOSSÁGI (fogyasztónak minősülő) ÜGYFELEK RÉSZÉRE Érvényes: 2015. július 3-tól Meghirdetés: 2015. június 23. napján Hatályos: 2015. július 3. napjától Jelen Hirdetmény változás közzétételének

Részletesebben