1 A pénz időértékének elve

Átírás

1 Tatalom 1 A pénz időétékének elve A kamatszámítás alapjai Kamatos kamatszámítás Tőkésítés évente egy alkalommal Tőkésítés évente több alkalommal A kamatokat nem tőkésítjük- Egyszeű kamatszámítás Vegyes kamatszámítás A kamatszámítás további esetei (Változó kamatláb, Reálkamatláb, EBKM, tanzakiós költségek) Több kifizetésből álló pénzáamok Egyszeű annuitás jövőétéke Évjáadék jövőétéke, ha kamatelszámolás sak a futamidő végén van Annuitás jelenétéke Lejáat nélküli annuitások Növekvő tagú öökjáadék Hiteltemékek összehasonlítása THM mutató

2 1 A pénz időétékének elve A pénzügyi életben gyakan különböző időpontban esedékes pénzeszközöket illetve pénzfoásokat kell összehasonlítani. Egy befektetési/beuházási döntés esetén nagy összegű pénzt adunk ki a jelenben és a jövőben keletkeznek belőle bevételek. Hitelfelvétel vagy általában a finanszíozási döntések esetén pedig nagy összegű pénzbevételt kapunk a jelenben és a jövőben lesznek esedékesek a pénzkiadások. A befektetési és finanszíozási döntések szemléltetésée úgynevezett pénzáam-gafikonokat használunk. A pénzáam egy adott időtatam alatt befolyó pénzbevételek és kiáamló pénzkiadások soozata. A pénzáam-gafikon a pénzáamot szemléltető jelölésendsze. A későbbiekben ezt a jelölésendszet sokszo fogjuk alkalmazni. A gafikon vízszintes tengelye az időtengely, a függőleges tengelyen az esedékes pénzösszegeket ábázoljuk. A lefelé húzott vonal azt jelenti, hogy ott a gazdálkodó alanynak pénzkiadása van, ha felfelé húzunk vonalat, akko ott a gazdálkodó alanynak pénzbevétele keletkezik. A vonal hossza a pénzösszeg nagyságától függ Ába 1.2. Ába Befektetés pénzáam gafikonja Finanszíozás pénzáam gafikonja Pénzösszeg + C i = pénzbevétel az i-dik időpontban Pénzösszeg + C 0 = Készhez kapott összeg 0 Idő 0 Idő - C 0 = Befektetett összeg C i = kifizetés az i-dik időpontban Ahol Ci az i-edik időpontban esedékes pénzösszeg (Cash). Ha a C előjele pozitív, pénzbevételünk van, ha a C előjele negatív pénzkiadásunk van. A pénz időétékének elve alapján, a különböző időpontbeli pénzek különböző étékkel endelkeznek, jövőbeli fointjaink étéke nem egyezik meg a jelenben felhasználható, egyébként számszeűen ugyanakkoa összeget kitevő fointjaink étékével, egységnyi mai pénz többet é, mint egységnyi pénz holnap - 1. példa Egy ismeősünk kölsönké ma tőlünk Ft-ot és azt ígéi, hogy egy év múlva Ft-ot fizet majd nekünk vissza. Kölsön adjuk-e neki a pénzt? 2

3 Azt kell eldöntenünk, hogy mi é többet: a ma felhasználható Ft, vagy az a Ft, amit egy év múlva kapunk meg. Ahhoz, hogy a befektetési vagy finanszíozási döntést meghozhassuk, szükségünk van valamilyen módszee, amelynek segítségével a különböző időpontban esedékes pénzösszegeket, vagy jövedelemáamlási elemeket közös nevezőe hozhatjuk. Meg kell tudnunk mondani, hogy 1 Ft mai pénz, mennyi pénzt é a jövőben, illetve, hogy a jövőbeli pénzek mennyit ének ma. A továbbiakban a jelen időpont a 0-dik időpont, amit t0-lal jelölünk. Ennek megfelelően az 1 év múlva esedékes időpontot t1-gyel, a 2 év múlva esedékes időpontot t2- vel jelöljük. A közös nevező előszö a Jelenéték, a tehnikai segédlet pedig a diszkonfakto (DF,n), amely megmutatja, hogy egy n év (időszak) múlva esedékes pénzegység mekkoa étéket képvisel a jelenben. DF,n = 1 (1+) n, Ahol a számításoknál alkalmazott kamatláb n az időszakot jelenti. Ennek segítségével má könnyen megoldhatjuk az alábbi azonosság felhasználásával, hogy a jövőben (n év múlva) esedékes pénzösszegnek (Cn) mekkoa a jelenétéke. (PV- Pesent Value): 1 PV = C n DF,n = C n (1 + ) n Ahol Cn n időszak múlva kapott pénzösszeg, PV jelenéték (Pesent Value), az adott időszakban évényes elvát hozamáta. Egy jövőben esedékes pénzösszeg jelenétéke megmutatja, hogy mekkoa összeget kellene befektetnünk a jelenben az elvát hozammal ahhoz, hogy az esedékes pénzösszeget kapjuk meg az adott jövőbeli időpontban. Akko tudunk helyesen dönteni, ha megvizsgáljuk, hogy egy hasonló feltételű, általunk hozzáféhető befektetési lehetőségnek mekkoa a hozamátája. Ezt a hozamátát vájuk el mi is hitelnyújtásunktól. Az elvát hozamátát a tőke altenatíva költségének vagy feláldozott hasznának is nevezik, hiszen ettől a hozamtól elesünk, ha az adott befektetést választjuk. A hozamáta a befektetett tőkén felüli többletpénzbevétel (hozam) a befektetett tőke %-ában kifejezve és évesítve. A hozamáta jele az (etun). a, Ha ezen egyszeű számítások soán 15%-os kamatlábat használunk, az egy év múlva esedékes Ft jelenétéke az alábbi módon alakul: PV = (1+0,15) 1 = ,13 Ft, 3

4 tehát az 1 év múlva esedékes Ft számunka ma nagyjából Ft-ot é, hozamelváásaink alapján legfeljebb ennyi pénz adnánk neki kölsön, megéi tehát az üzlet b, Ha sak 8%-os hozamelváásunk van: PV = ebben az esetben is megéi az ügylet., Ha 25%-os hozamelváásunk van: PV = (1+0,08) (1+0,25) ebben az esetben má nem éi meg az ügylet. 1 = ,56 Ft, 1 = Ft, Az elvát hozam és meghatáozása kulsfontosságú. Az elvát hozamot meghatáozó tényezőket az alábbi ába mutatja. Az ábából látható, hogy az "" nagyságát észben makoökonómiai tényezők hatáozzák meg, melyek eedménye a kokázatmentes hozam (a gyakolatban az adott befektetés lejáatának megfelelő állampapí hozamát tekintjük kokázatmentes hozamnak 1 ). A kokázatmentes kamatlábat két tényezőe bonthatjuk, az infláióa és a eálkamatlába. Ha az éves kokázatmentes hozamáta időszakunkban 4%, ez azt jelenti, hogy minden befektetett 100 Ft-a 4 Ft többletpénzt (hozamot) kapunk évente. 1 Valójában azonban az állampapíok sem kokázatmentesek, hiszen a kibosátó állam sődje esetén a befektetés visszafizetése veszélybe keülhet, vagy a futamidő előtti visszaváltás esetén a befektetett tőke visszafizetésée többnyie nins állami gaania (sak a futamidő végén töténő visszafizetése). 4

5 A befektetés nominális vagy névleges hozamátája megmutatja, hogy befektetett pénzünk egy egységée mekkoa pénzösszeget kapunk a befektetett tőkénken felül egy év alatt. A makotényezőkön túl a konkét befektetés két jellemvonása befolyásolhatja az elvát hozamot: a befektetés likviditása a befektetés kokázata A befektetés likviditása megmutatja, hogy milyen gyosan és mekkoa tanzakiós költségek mellett lehet a befektetést készpénze váltani. A likvid befektetések esetében a készpénze váltás gyosan és nagyobb költségek nélkül megtöténhet. Az illikvid befektetések készpénze váltása hosszabb időt vesz igénybe és/vagy nagy a tanzakiós költsége. Az elvát hozam és a likviditás egymással fodítottan aányos. A likvid befektetésektől elvát hozam alasonyabb, mint az illikvid befektetésektől. A befektetők jobban kedvelik azokat a befektetéseket, amelyeket könnyebb mobilizálni és ezét alasonyabb hozamokkal is megelégszenek. A befektetések kokázata megmutatja, hogy a befektetés-étékelési változó váható étékétől átlagosan milyen métékben téhetnek el a változó tényleges étékei. Pénzügyi befektetéseknél a befektetés hozamátája alapján döntünk. A váható étéktől vett átlagos eltéést a statisztikából ismet szóással méjük. Minél nagyobb a tényleges étékek szóása a váható éték köül, a befektetésnek annál nagyobb a kokázata. Feltételezzük, hogy ha egy befektetés kokázata nő, az elvát hozam növekszik. A befektetők a jövőbeli bizonytalanság ellensúlyozásáét hozamkompenzáiót vának el. Az 1. példában a kokázat és a likviditás miatt számoltunk 15%-kal 5

6 2 A kamatszámítás alapjai Tőkésítés évente egy alkalommal 2.1 Kamatos kamatszámítás Az eddigiekben egy jövőben esedékes pénzösszeg jelenétékét hatáoztuk meg, de ennek fodítottja sem jelent poblémát, amiko a jelenben endelkezése álló pénzösszeg jövőbeli étékét (Futue Value - FV) szeetnénk meghatáozni. Egy pénzösszeg jövőétéke megmutatja, hogy ha az adott futamidő alatt a pénzt az elvát hozammal fektetjük be, mennyi pénzünk lenne a futamidő végén. FV = C 0 (1 + ) n Ahol az adott időszak alatt évényes elvát hozam, FVn a pénzeszköz n időszak múlva esedékes jövőétéke, C0 a jelenbeli pénzösszeg. A jelen és jövőétékszámítást a következő ába foglalja össze: C 1 C 0 Ahol PV a jövőben esedékes pénzösszeg (C1) jelenétéke (Pesent Value), FV a jelenben esedékes pénzösszeg (C0) jövőétéke (Futue Value), n időtatam években. A PV és az FV mindig számított összeg. A fenti összefüggés (FV = C 0 (1 + ) n ) a kamatos kamatszámítás fomulája. 6

7 Feltételezzük, hogy az egyes kamatpeiódusokban keletkező kamatokat újból és újból tőkésítik, vagyis pl. 2 időszak esetén a 2. kamatpeiódus kamatösszegének meghatáozásához az első időszakban keletkezett kamat és a tőkeösszeg együttesen adja az alapot: FV = 0 (1 + ) 2 = 0 (1 + ) (1 + ) E képlet alkalmazásához a következő feltételek teljesülése kell: - az adott időszak (kamatpeiódus) soán temelődő kamatot az időszak végén jóváíják és hozzáadják a tőkéhez - a futamidő (n) a kamatpeiódus egész számú többszööse. Az 1. példa megoldása FV számítással Ennél a megoldásnál azt vizsgáljuk meg, hogy ha 15%-os kamatlábbal betétet helyeznénk el, akko milyen pénzösszeghez jutnánk. FV = (1 + 0,15) 1 = Ft Mivel az így kapott pénzösszeg elmaad a baátunk Ft-os ajánlatától, ezét inkább neki adunk kölsön. Láthatjuk, hogy mindkét módsze szeint ugyanaa a következtetése jutunk, a befektetést édemes végehajtani. Különböző időpontban esedékes pénzáamok összehasonlításához szükséges közös nevező a Jövő éték is lehet. A két módsze szeint kapott végeedmény viszont különbözik. A különbség magyaázata az, hogy különböző időponta számoltuk ki a befektetett összeg és a visszakapott pénzösszeg különbségét. Azt hogy melyik időponta édemes számolni általában attól függ, hogy mi melyik időpontban vagyunk. Ha befektetési altenatívákat étékelünk, akko a befektetés időpontja a jelen időpont és akko édemes jelenéték-számításokat végeznünk. Ha befektetést utólagosan étékelünk, akko a hozamok ealizálása lesz a jelenidőpont. Ekko jövőéték-számítás szeensésebb. Ha egy hosszabb befektetés közepén vagyunk, akko a múltbeli pénzek jövőétékét, a jövőbeli pénzek jelenétékét számoljuk ki. 2. példa Ma kölsönadok egy évfolyamtásamnak Ft-ot, aki azt ígéi, hogy 3 év múlva, amiko levizsgázik Pénzügytanból Ft-ot ad majd nekem vissza. Hány százalékos éves kamatnak felel ez meg? Az egyszeű kamatos kamatszámítás képletét átalakítva jutunk a hozam számításának képletéhez: n = FV = 1 = 10,06% A jelenlegi betéti hozamok mellett, ez kedvező lehetőségnek tűnik. 7

8 3. példa Almás Andás egy őszibaakost szeetne megvásáolni. A gyümölsösket eladási áa 15 MFt. Pillanatnyilag sak 12 MFt-tal endelkezik, ezét úgy döntött, hogy a hiányzó összeget kamatok fomájában teemti elő. A Gazdász Bank által alkalmazott betéti kamatláb évi 4%. A kamatokat évente tőkésítik. A piai hozamszint hosszú távon nem változik. Számítsa ki, hogy hány évig kell vánia Andásnak, hogy az elképzelése valóa váljon! A kamatos kamatszámítás képletének átendezésével jutunk az alábbi képlethez: ln FV C n = 0 ln(1 + ) = ln = 5,69 évet kell vánia ln(1 + 0,04) (10-es alapú logaitmusszámítás is alkalmazható, az eedmény ugyan ez lesz!) Tőkésítés évente több alkalommal Ha a kamatfizetési peiódus és egész számú többszöösei megegyeznek a betét lejáatával és a kamat hozzáadódik a tőkéhez, akko a kamatos kamatszámítás módosított képletével lehet számolni. FV = C 0 (1 + m )n m Ahol FV a betét felvételeko kapott összeg, C0 a betét összege, az éves kamatláb, n a futamidő években kifejezve, m egy évben a kamatelszámolások száma. A kamatlábat sak akko kell osztani m -mel, ha a kamatfizetési peiódus övidebb, mint egy év. Mivel a kamatlábat éves szinten adják meg, egy kamatfizetési peiódusban sak /m kamatot ínak jóvá. 4. példa Mekkoa összeget vehetünk fel 1 év múlva, ha elhelyezünk 100 eze fointot 10%-os kamatláb mellett egy olyan bankbetétbe, a, ahol a kamatokat negyedévente számolják el és hozzáadják a tőkéhez (tőkésítik)? (folyamatos lekötésű bankbetét) Tételezzük fel, hogy a kamatláb a futamidő alatt nem változik! FV = C 0 (1 + m ) n m = (1 + 0,1 4 ) 1 4 = Ft 8

9 Látható, hogy a gyakoibb kamatelszámolás miatt az éves hozam nem 10%, hanem több ( / = 10,38%). Az eléhető hozamot tehát nemsak a kamat nagysága, hanem a fizetési gyakoiság is befolyásolja. Hozam = FV C 0 1 Az éves 10%-os hozam tehát nem ugyanaz, mint a negyedévi 2,5%-os hozam. Éves szinten a tényleges kamatlábát a következő képlet segítségével kapjuk: eff = (1 + m )m 1 = (1 + 0,1 4 4 ) 1 = 10,38% Ahol eff - a tényleges kamatláb, - az éves névleges kamatláb, m - a kamatfizetés gyakoisága 1 év alatt. Az effektív (tényleges) hozam megmutatja, hogy az adott éves hozam időaányos észét meghatáozott gyakoisággal elszámolva, hány %-al nő egy év alatt a befektetett összeg. Minél gyakabban fizetnek kamatot, annál nagyobb az éves szinten számolt hozam, ha minden más feltétel változatlan maad. b, Oldjuk meg ezt a példát most úgy, hogy a kamatot évente, félévente, negyedévente, és havi gyakoisággal számolják el! A számítások végeedményét a következő táblázat mutatja Gyakoiság (m) Képlet Év végi éték (FV) eze fointban Hozam (FV/C0 1) % ban ,00 10,00 0,1 FV = ,25 10,25 0,1 FV = ,38 10,38 0,1 FV = ,47 10,47 0,1 FV = A táblázatból látható, hogy a ealizált hozam növekszik a kamatfizetési gyakoiság növekedésével, de a növekedés degesszív. 9

10 Jövőéték (Ft) , , , , , , , , , , Éven belüli kamatjóváíások száma Van e a növekedésnek hatáétéke? A válasz igen, és a temészetes szám (e 2,72) segítségével a pobléma megoldható. Ha pontosan egy évnyi hozamot vizsgálunk, akko: lim (1 + 1 m m m ) = e Az e t kamateőnek is nevezik. A kamateő megmutatja, hogyha végtelen gyakoisággal számoltuk volna el az adott éves hozam időaányos észét, pénzünk 1 év alatt hányszoosáa növekedett volna. A kamateőt felhasználva a jövőéték számítás egy másik típusához, a folytonos kamatszámításhoz jutunk. Folytonos kamatszámítás esetében a kamatpeiódus hossza elhanyagolhatóvá válik, vagyis az éven belüli kamatjóváíások száma a végtelenhez tat. FV = C 0 e n, Milyen összeget vehetnénk fel az év végén, ha végtelen gyakoisággal számolnák el a kamatokat? Behelyettesítve az előző képletbe a példánk adatait, kapjuk: FV = C 0 e n = e 0,1 1 = ,09 Azaz, a hozam 10,52%, ami nem áll messze a havi kamatfizetési gyakoiság mellett kapott 10,47% os hozamtól. Ezét alasony kamatlábak mellett alkalmazható az a hüvelykujj szabály, hogy havi gyakoiság fölött a kamateő képletét alkalmazzák a tényleges éves hozam meghatáozásához. 5. példa Tételezzük fel, hogy Ft-unkat elhelyezzük betétben 3 éves időtatama. A pénzintézet által ígét éves névleges kamatláb 5%. Lejáatko milyen összeget vehetünk fel és az hány százalékos tényleges éves kamatnak felel meg, ha a kamatok a) minden év utolsó napján tőkésítik, 10

11 b) minden hónap utolsó napján tőkésítik? ) Mennyi az elméletileg eléhető maximális hozam? a) minden év utolsó napján tőkésítik: FV = C 0 (1 + ) n = (1 + 0,05) 3 = ,5 Ft b) minden hónap utolsó napján tőkésítik: FV = C 0 (1 + m ) n m = (1 + 0,05 12 ) 3 12 = ,67 Ft eff = (1 + m )m 1 = (1 + 0,04 12 ) 12 1 = 5,116% ) Mennyi az elméletileg eléhető maximális hozam? FV = C 0 e n = e 0,05 3 = ,27 eff = e 1 = e 0,05 1 = 5,127% 2.2 A kamatokat nem tőkésítjük- Egyszeű kamatszámítás Ha elvetjük azt a feltételezést, miszeint a tőkée jutó kamat hozzáadódik az időszak végén a tőkéhez és későbbiekben a kamattal megnövelt összege esedékes a kamat, az egyszeű kamatszámítás képletét kell alkalmaznunk. Ekko az adott időszaka jutó kamatot egyszeű aányosítással kapjuk meg. Az egyszeű kamatszámítás képletei jelen és jövőéték számítás esetén: FV = C 0 (1 + n ) 1 PV = C n ( 1 + n ) Ahol FV jövőéték, PV jelenéték, n időtatam hossza években, n<1 év, elvát hozam, C0 jelenbeli pénz nagysága, Cn jövőbeli pénz nagysága. Az egyszeű kamatszámítást akko alkalmazzuk, ha a befektetés időtávja kisebb, vagy egyenlő a kamatpeiódussal. Ha hosszabb, a kamatos kamatszámítást vagy az egyszeű és a kamatos kamatszámítás kombináióját - amit vegyes kamatszámításnak nevezünk - használják. 11

12 A befektetés futamideje alatt képződött hozamok esetében feltételezzük, hogy azokat az elvát hozammal ( ) fektetik be úja. A feltételezés gazdasági magyaázata az, hogy az elköltött kamat hatáhaszna megegyezik azzal a többlet-pénzmennyiséggel, amit az újabefektetés soán nyetünk volna. Így számításaink soán mindig kamatos vagy vegyes kamatszámítást alkalmazunk, ha a befektetés időtávja meghaladja a kamatfizetés gyakoiságát. 6. példa Egy vállalat kéthetes futamidőe 1 millió fointot helyezett el július 22 én egy bankbetétbe. A betét kamatlába évi 4%, kamatfizetés sak a lejáat napján. Mekkoa összeget vehet fel a vállalat két hét múlva? A kamatot időaányosítással kell kiszámítani. Sajnos az aányosítás módszee nem egyételmű. Az egyes aányosítási módszeek abban különböznek egymástól, hogy hány naposnak tekintik az évet és a hónapokat. A gyakolati életben háom aányosítási módsze tejedt el, amelyek egy egy nemzetől kapták a nevüket. Az egyes módszeek jellemzőit a következő mutatja. Az egyszeű kamatszámítás esetében alkalmazható aányosításfajták Aányosítás neve Hónapok napjainak száma Évek napjainak száma Német Fania naptái 360 Angol naptái 365 Tényleges naptái 365/366 A német kamatszámítás akko volt még használatos, amiko még kézzel és nem számítógéppel számolták a kamatokat. A német módszeel könnyebb volt meghatáozni a futamidő nagyságát és a 360 nal való osztás gyakabban adott egész számot. A fania módsze a fenti megfontolásokból tatotta meg a 360 as számot, bá a hónapokat má naptái hosszuk szeint méi. Így nem fodulhat elő, hogy egy febuái lekötésnek ugyanakkoa legyen a kamata, mint egy máiusinak, holott a máius általában 3 nappal hosszabb. A fania számítás azonban azzal, hogy megtatja a 360 as osztót, gyakolatilag több kamat felszámítását eedményezi, mint a valós éték, mivel az aányosítás nevezője kisebb, mint a tényleges naptái napok száma az évben. Az angol módsze manapság a leggyakoibb kamatszámítási foma. Szökőévekben febuá 29 én kamatszünnapot tatanak. A módsze előnye a könnyebb pogamozhatóságában van a tényleges kamatfizetéssel szemben. A fentihez hasonló kamatszámításokhoz ismeni kell, hogy melyik naptái hónap hány napból áll: Jan. Feb. Má. Áp. Máj. Jún. Júl. Aug. Szept. Okt. Nov. De / Továbbá tudni kell, hogy a betéteknél a gyakolatban általában a betétlekötés napja beleszámít a kamatszámítás soán a napok számába, míg az a nap, amiko felvesszük a pénzt, má nem 2 Szökőévben a febuá 29 napos a szokásos 28 nappal szemben. 12

13 (valójában a banki gyakolatban nem a napok, hanem azoknak az éjszakáknak a száma számít, ameddig a pénzünk a banknál volt elhelyezve). Ez a számítási mód így némileg elté a matematikai kamatszámítástól. Hogy még éthetőbb legyen: ha egy ügyfél egy adott hónap elsején elhelyezi a pénzét a bankban és másnap felveszi azt, akko a bank sak egy napa fizet kamatot, met sak egy éjszakát volt nála a pénz. Aa a napa, amiko felvettük a pénzt, má nem ad kamatot. Ha két héte, vagyis 14 napa szeetnénk kamatot kapni a banktól, akko a betételhelyezés napjától számítva a 15. napon vehetjük sak fel a pénzünket. Tipp! Az Exel jól használható a kamatszámításhoz figyelembe veendő napok számának a meghatáozásáa. Íjuk be a két dátumot egy-egy ellába, majd egy hamadik ellába íjuk be azt a képletet, hogy a későbbi időpontot tatalmazó dátum ellahivatkozásából kivonjuk a koábbi időponta mutató dátum hivatkozását. Így az Exel megadja a két beít dátum között eltelt napok számát. (Pld: A1 ellába íjuk be, hogy ; B1 ellába íjuk be, hogy ; míg C1 ellába íjuk be, hogy =B1-A1. A C1 étéke 19 lesz, vagyis a két időpont között eltelt (tényleges) napok száma 19. Visszatéve az előző példához, azt mind a négyfajta módsze szeint kiszámoljuk. Ha a betétet két héte helyezték el és mivel július 31 napos, a betétet augusztus 5 én veszik fel. ( =14 nap, azaz 2 hét) Német kamatszámítás szeint a lekötési idő 13 nap, mivel minden hónap 30 napos: =13. Így n étéke 13/360 0,036 Behelyettesítve a képletbe: FV = ( ,04) = Két hét múlva a bank a német kamatszámítási módsze szeint Ft ot fizet vissza. A fania kamatszámítás szeint a lekötési idő a tényleges 14 nap, mivel a fania módsze a tényleges naptái napokkal számol, de osztani továbba is sak 360 al osztunk. FV = ( ,04) = A fania módsze alkalmazása 112 Ft al több kamat kifizetését eedményezte a német módszehez képest. Az angol módsze sak abban különbözik a faniától, hogy 365 el osztunk a kamat kiszámításako: FV = ( ,04) = A fania módsze 22 Ft al több kamat kifizetését eedményezte, mint az angol. Az angol kamatszámítás végeedménye jelen esetben megegyezik a tényleges kamataányosítás eedményével. Az egyszeű kamatszámítás egy alesete, amiko a kamatlábat nem a jelenétéke (PV) vonatkoztatják, hanem a jövőéték (FV) meghatáozott % ban fejezik ki. Ekko előleges kamatszámításól beszélünk, amelyől az étékpapíoknál lesz szó. 13

14 7. példa Tágyév máius 8-án Ft-ot helyezünk el évi 4%-os betéti kamata. Mennyi pénzt vehetünk fel május 22-én, ha kamatfizetés sak a lejáat napján van? Egyszeű kamatszámításól van szó, az egyetlen édekesség a futamidő hossza, ezét a feladatot mind a háom módsze segítségével kiszámoljuk ( ) FV német m.szeint = (1 + 0,04 ) = ,22 Ft 360 ( ) FV fania m.szeint = (1 + 0,04 ) = ,33 Ft 360 ( ) FV angol m.szeint = (1 + 0,04 ) = ,92 Ft példa Vizsgáljuk meg hogyan alakul jövőétéke egyszeű és kamatos kamat számítással, ha 6%-os éves hozammal fektetem be a pénzemet a, 1 10 és 30 éve b, 1,3,6,9,12 hónapa 14

15 Kamatozási időtatam Év Ft befektetés jövőétéke 6%- os éves kamatláb mellett Egyszeű kamatszámítás Kamatos kamatszámítás Egyszeű kamatszámítás Kamatos kamatszámítás A kamatos kamatszámítás magasabb betététékeket ad, mint az egyszeű kamatszámítás, ha a lekötési időszak hosszabb a kamatozási peiódusnál. 15

16 Kamatozási időtatam Hónap Ft befektetés jövőétéke 6%-os éves kamatláb mellett Egyszeű kamatszámítás Kamatos kamatszámítás* Eltéés , , , , ,0 *FV = C 0 (1 + ) n Ahol: n = kamatozás időtatama évben kifejezve C n C 1 C 0 1 év 50,000 40,000 30,000 20,000 10,000 0,000 Egyszeű és kamatos kamatszámítás eedménye közötti különbség A kamatos kamatszámítás alasonyabb betététékeket ad, mint az egyszeű kamatszámítás, ha a lekötési időszak övidebb a kamatozási peiódusnál. 16

17 2.3 Vegyes kamatszámítás A lekötési idő nem feltétlenül egész számú többszööse a kamatpeiódusnak. Továbbá lehetséges, hogy a lekötés időpontjától függetlenül a kamatfizetés időpontja bizonyos dátumokhoz van kötve (ez a helyzet a láta szóló betétek esetében). Ebben az esetben a vegyes kamatszámítás képletét kell alkalmazni, ami kombinálja az egyszeű és a kamatos kamatszámítás képleteit. A kamatfizetési peiódusok szempontjából töt időszakban az egyszeű, míg az egész időszakokban a kamatos kamatszámítás képleteit alkalmazzuk, és a tagokat összeszoozzuk egymással. A vegyes kamatszámítás általános képlete a következő: FV = C 0 (1 + n 1 ) (1 + N m ) (1 + n 2 ) Ahol FV a betét felmondásako kifizetett összeg, C0 a betét összege, az éves kamatláb, N a betét futamideje alatt a teljes kamatpeiódusok száma, m egy évben a kamatelszámolások száma, n1 a betét elhelyezésétől az első kamatelszámolásig eltelt idő évben, n2 az utolsó kamatelszámolástól a betét felmondásáig eltelt idő évben. 9. példa Tételezzük fel, hogy ápilis 10.-én egy 100 eze fointos betétet helyezünk el egy olyan számláa, amelye minden hónap utolsó napjának végén fizetik ki a kamatot. Mekkoa összeget vehetünk fel szeptembe 18 án a számláól, ha 4%-os névleges betéti kamatot ígétek? Használjuk a német kamatszámítási módszet! A német kamatszámítás esetében az év napjainak száma 360 és minden hónap 30 napos. Ápilistól szeptembeig 4 egész hónapig volt lekötve a pénz (május, június, július, augusztus, azaz N=4), ápilis 10 től, ápilis 30-ig 21 nap (Ez azét 21 nap és nem 20, met ápilis 30-án nem vesszük még fel a pénzt), szeptembe elsejétől szeptembe 18 ig 17 nap telt el. Behelyettesítve a képletbe, kapjuk: FV = C 0 (1 + n 1 ) (1 + N m ) (1 + n 2 ) FV = (1 + 0, ,04 ) ( ) (1 + 0,04 17 ) = ,34 Ft 360 A vegyes kamatszámítás eedményét a kamatos kamatszámítás képletével is közelíthetjük, ha megengedjük, hogy n étéke ne sak temészetes szám legyen. Az n étéke 158/360 lesz, mivel ennyi évig volt lekötve a betét. FV = C 0 (1 + ) n = (1 + 0,04) = ,25 Ft A kamatos kamatszámítás éven belüli esetben alábesli a ténylegesen kapott kamat nagyságát. 17

18 10. példa Tételezzük fel, hogy febuá 12-én Ft összegű betétet helyezünk el egy olyan számláa, amelyen a) kéthavonta, minden 2. naptái hónap utolsó nap végén, a banki záást követően b) negyedévente, a naptái negyedév utolsó napjának végén, a banki záást követően tőkésítik a kamatokat. Pénzünket a kamatokkal növelt tőkeösszeget még ugyanazon év deembe 23-án kívánjuk felvenni. Mekkoa összeg felett endelkezhetünk ebben az időpontban? Használja a német, a fania, valamint az angol kamataányosítási módszet mindháom feladatész kidolgozásához! A pénzintézet évi 4%-os névleges kamatlábat ögzített a betét feltételei között! : a, Tőkésítés kéthavonta, minden 2. naptái hónap utolsó napján m = 6 Időszakok a példában: Az ábán a kezdő és végpont a betét elhelyezésének és felvételének időpontját, míg a köztes pontok az új kamatszámítási időszakok kezdetét jelölik. német: n1 N n2 német 19/ /360 fania 17/ /360 angol 17/ / (1 + 0, ,04 ) ( )4 (1 + 0,04 52 ) = ,84 Ft 360 fania: angol: (1 + 0, ,04 ) ( )4 (1 + 0,04 52 ) = ,89 Ft (1 + 0, ,04 ) ( )4 (1 + 0,04 52 ) = ,07 Ft

19 b.) A megoldás elve ugyanaz, sak az egyes időszakok hossza fog változni. A kamatok tőkésítése a negyedév utolsó napján esedékes. 1. időpont: máius vége (febuá 12-től) utolsó: októbe 1. deembe m = 4 német: n1 N n2 német 49/ /360 fania 48/ /360 angol 48/ / (1 + 0, ,04 ) ( )2 (1 + 0,04 82 ) = ,87 Ft 360 fania: angol: (1 + 0, ,04 ) ( )2 (1 + 0,04 83 ) = ,83 Ft (1 + 0, ,04 ) ( )2 (1 + 0,04 83 ) = ,35 Ft

20 A betét futamideje legalább olyan hosszú, mint a kamatelszámolási idő? (Kamatpeiódus övidebb, mint a futamidő?) Igen Nem A kamatot tőkésítik? Nem Egyszeű kamatszámítás Igen A betét futamideje egész számú többszööse-e a kamatelszámolási időnek? Nem Vegyes kamatszámítás Igen A kamatfizetések száma véges? Nem Igen Folytonos kamatszámítás Kamatos kamatszámítás 20

21 2.4 A kamatszámítás további esetei (Változó kamatláb, Reálkamatláb, EBKM, tanzakiós költségek) 11. példa Takaékos Tihamé Ft megtakaítással endelkezik. Spóolt pénzét 3 hónapos lejáatú, változó kamatozású betétkönyvben helyezte el a Spekulatív Bankban. A tőkelekötés időpontja július 22. Az ügyfél legkoábban októbe 22-én juthat a pénzéhez. Esedékesség előtti felmondás esetén a hitelintézet kamatot nem fizet. Az év elején évényes betéti kamatláb 6%, amely év végéig negyedévente, a banki záást követően 0,25 százalékponttal sökken. A KSH által közétett infláiós áta havi 0,1%. Használjuk az angol kamataányosítás módszeét! Feladat: a) Számítsa ki Takaékos Tihamét októbe 22-én megillető összeget! b) Számítsa ki, hogy a Takaékos ú által kapott kamat hány %-os átlagos éves hozamnak felel meg! ) Számítsa ki a eálkamatot és az éves szinte vetített eálhozamot! : a) n 1 ; 1 n 2 ; 2 kamat: július 22. szeptembe 30.: 5,5% kamatozott) októbe 1. októbe 22.: 5,25% =71 nap (szept. 30-is még 5,5%-on = 21 nap (okt. 21-e az utolsó kamatozó nap) FV = C 0 (1 + 1 n n 2 ) FV = (1 + 0, ,0525 ) = ,16 Ft b) Éves átlagos hozam Az egyszeű kamatszámítás képletének átendezéséből kapjuk meg az éves átlagos hozam számítását: FV = C 0 (1 + n ) = ( FV C 0 1) 1 n , = ( 1) 100 = 5,44%

22 ) eálkamat, éves eálhozam A eálkamatláb megmutatja, hogy átlagosan hány %-kal több (vagy kevesebb) áut tudunk megvásáolni a pénzünkét a befektetési időszak végén, mint tudtunk az elején. A eálkamatláb kiszámításának képlete: Ahol = eálkamatláb, n = nominális kamatláb, i = infláió. Éves eálhozam = = ( 1+ n 1+i = ( 1 + n 1 + i ) 1 1+0,0544 ) 1= ( 12) 1 = 4,18% (1+0,001) A feladat a észében meghatáoztuk, hogy Tihamé 3 hónap után 7 372,15 Ft hozammal fog endelkezni. De vajon mennyivel több áut, vagy szolgáltatást tud vásáolni éte? eálkamat összege = nominális kamatösszeg 1+infláiós áta = 7 271,16 = 7 249,39 Ft, (1+0,001) 3 vagyis ennyivel több áut és szolgáltatást tud vásáolni. A példa b észében megkapott eedmény (5,44%) a feladat EBKM mutatóját jelenti. Betétek esetében a megtakaítási ajánlatok összehasonlítását Egységesített Betéti Kamatlábmutató (EBKM) alapján tehetjük meg. Ez megmutatja a betét a kamatadón kívüli ténylegesen kifizetendő éves kamatát. A betéteke nem sak kamat já, hanem a kezeléséét a bank különböző díjakat, jutalékokat is felszámíthat. Mivel ezek sökkentik a betét hozamát, a tényleges hozam tehát kisebb lehet, mint a bank által ígét kamat. Az EBKM ezeket a levonásokat is tatalmazza. Ebből tudjuk meg egy-egy betét nettó hozamát, és összehasonlíthatjuk egymással a bankok kamatígéeteit. Az EBKM 365 napa számítja ki az éves névleges kamatlábat, éven belül lineáis kamatszámítást alkalmaz, éven túl pedig kamatos kamatszámítást az elszámolt kamatot koigálja a fizetendő díjakkal, jutalékokkal 22

23 Az EBKM kiszámításához a kományendelet melléklete szeint a következő képletet kell alkalmazni, ha a lejáatig hátalévő futamidő 365 napnál kevesebb: Elhelyezett betét = n i=1 (k + bv) i 1 + ( t i 365 ) ahol n: a kamatfizetések száma : az EBKM étéke ti: a betételhelyezés napjától az i-edik kifizetésig hátalévő napok száma (k+bv)i: az i-edik kifizetésko jáó kamat és visszafizetett betét összege ha a lejáatig hátalévő futamidő 365 napnál több: Elhelyezett betét = (k + bv) i n i=1 (1 + ) ( t i 365 ) 12. példa Ft-ot helyezünk el 5%-os kamatláb mellett, a bankunk fania aányosítást használ. Hány százalékos az ügylet EBKM mutatója? Átendezés után = EBKM = (1,05 1) = 5,07% 13. példa Ft-ot helyezünk el a mai nap 1 éves 4,5%-os kamatozású akiós betétben. a) Milyen összeg lenne a számlánkon 1 év múlva tanzakiós költségek nélkül? b) Mennyi összeggel endelkezhetünk a kamatadó levonása után? ) Mennyi pénzt vehetünk fel a bankautomatából, ha a tanzakiós illeték összegét a számlánkon akajuk hagyni, feltételezve, hogy a bank egyéb készpénzfelvételi díjat nem számít fel? a, Tanzakiós költségek nélkül FV= Ft lenne a számlán b, Kamatadó: 15% 4 500*15%= 675 Ft A kamatadó levonása után Ft lesz a bankszámlánkon., Tanzakiós illeték 0,6%= *0,6%= 623 Ft Kézhez kapott összeg= = Ft 23

24 3 Több kifizetésből álló pénzáamok Előszö olyan hozamsoozatokkal foglalkozunk, melyek meghatáozott endszeességgel követik egymást és métani soozatot alkotnak. Ha a jövőbeli pénzek között eltelt idő azonos, azaz két pénzösszeg esedékessége között mindig ugyanakkoa idő telik el, továbbá az egymást követő pénzösszegek métani sot alkotnak, évjáadékól vagy annuitásól beszélünk. Ha a hozamok végtelen hosszúak, az annuitás neve öökjáadék. Ha kolátozott ideig tatanak, akko nevük lejáatos annuitás, vagy egyszeűen annuitás. Az annuitások esetében a hozamok lehetnek ugyanakkoák (egyszeű annuitás), vagy egy g%-kal növekedők (növekvő annuitás). Az annuitások esetében több fogalmat is definiálnunk kell. Két pénzáam esedékessége között eltelt időt jáadékköznek nevezzük. A pénzáamok nagyságát jáadéktagnak hívjuk. Az olyan pénzáam soozatokat, melyeknél a jáadékköz megegyezik, ütemezett pénzáamoknak mondjuk. A fenti fogalmak ismeetében egy övidebb definíiót is adhatunk az évjáadéka. Az annuitás olyan ütemezett pénzáam, ahol a jáadéktagok métani soozatot alkotnak. Most olyan lejáatos annuitásokkal fogunk foglalkozni, ahol a métani so kvóiense, q=1, azaz minden hozam ugyanakkoa. 3.1 Egyszeű annuitás jövőétéke 14. Példa Egy életbiztosító egy 10 éves megtakaítási lehetőséget kínál nekünk. Minden év elején befizetünk 10 eze fointot, melynek eálétékét a futamidő soán kabantatjuk. A biztosító ügynöke évi 4%-os eálhozammal kesegtet minket múltbeli tapasztalatok alapján. Tételezzük fel, hogy hiszünk neki, akko eálétékben mennyi lesz a számlánkon 10 év múlva! A fenti példában egy annuitás jövőétékée vagyunk kívánsiak. Ekko gyűjtő annuitásól beszélünk. A gyűjtő jáadék esetében aa vagyunk kívánsiak mennyi lesz az évjáadék étéke egy jáadékközzel az utolsó jáadéktag esedékessége után, vagy annak időpontjában. 24

25 Gyűjtő annuitás poblémája Mekkoa FV adott mellett? FV jáadékköz jáadéktagok Ahol jáadéktag, FV lejáatos évjáadék jövőétéke az utolsó jáadéktag esedékességének időpontjában. Egy annuitás jövőétékének nagyságát az utolsó jáadéktag esedékességének időpontjában: FV = (1 + )n 1 (Métani soozat összegképlete segítségével: S n = a 1 qn 1, ahol q=1+) Ahol - jáadéktag nagysága, n - jáadéktagok száma, - éves kamatláb, q 1 FV = (1+0,04)10 1 0,04 = ,07 Ft A képlet az utolsó jáadéktag esedékességének időpontjában mutatja egy annuitás jövőétékét. Ebben az esetben ez az időpont a 10. év eleje. Nekünk viszont a 10. év végi éték kellene! Az év elején 120 eze fointunk van. A 10. évben is feltételeztük a 4% os eálhozamot. Egy éve ha befektetjük a 120 eze fointunkat 4% al, akko a 10. év végi étéket a kamatos kamatszámítás vagy egyszeű kamatszámítás képlet segítségével számolhatjuk ki. FV = C 0 (1 + ) = ,07 (1 + 0,04) = ,51 Ft 15. Példa Egy biztosítótásaság egy 18 éves biztosítása minimum 2%-os eálhozamot gaantál. A biztosított vállalja, hogy minden negyedév elején 20 eze fointot fizet be a tásaságnak, melyből a költségek levonása után 15 eze foint növeli megtakaításait. Az infláió aányában a befizetések is növekednek. Mekkoa összege lesz jogosult a biztosított a 18. év végén, ha az éves 2%-os eálhozam időaányos észét negyedévente elszámolják? 25

26 Ha az éves hozam időaányos észét negyedévente elszámolják, akko a következő képlettel számolhatunk: Ahol - jáadéktag nagysága, n - futamidő években kifejezve, - éves kamatláb, m - a befizetés évi gyakoisága FV = (1 + m )n m 1 m ,02 (1 + FV = ) 1 = ,84 Ft 0,02 4 A képlet az utolsó jáadéktag esedékességének időpontjában mutatja egy annuitás jövőétékét. Ebben az esetben ez az időpont a 14. év hamadik negyedéve. Nekünk viszont a 15. év végi éték kellene! FV = ,84 (1 + 0,02 ) = ,5 Ft Évjáadék jövőétéke, ha kamatelszámolás sak a futamidő végén van Ha nem töténik kamatelszámolás, gyakolatilag sak a befizetett tőkéke kell kamatot számolni, mégpedig a bankban való lekötésükkel aányosan. Ez azt jelenti, hogy az egyes tölesztőészleteknek egyenként ki kell számolnunk a jövőétékét az egyszeű kamatszámítás képletével, majd össze kell őket adni. A képletet akko használhatjuk, ha a pénzáam futamideje egy évnél kisebb, és a befizetésekko kamatelszámolás nem töténik, sak a betét felmondásako. Jelöljük -vel az állandó befizetések nagyságát, n -nel a befizetett összegek számát, -el az éves kamatlábat, m -mel az évben előfoduló kamatfizetési gyakoiságot! Vegyük észe, hogy a befizetések kamatai számtani soozatot alkotnak! (1.53.) n n 1 1 n ( n + 1) fv = i = n + m m m 2 m Ahol - jáadéktag nagysága, n - jáadéktagok száma, m - a befizetés évi gyakoisága, - éves kamatláb, fv a nem kamatozó annuitás jövőétéke. Kis fv -vel azét jelöltem a jövőétéket, hogy ezzel is kifejezzem, hogy itt a nem kamatozó annuitás jövőétékét számolom ki. 26

27 16. Példa Minden hónap elején máius 1-től tegyünk be a bankba Ft-ot! Mekkoa lesz a felnövekedett éték deembe 31-én záást követően, ha kamatfizetés sak a deembe 31-i záást követően van. A kamatláb legyen 4%! fv = (n + n (n + 1) 2 m = ( (10 + 1) ,04) = ,67 Ft Azaz, ha minden hónap elején befizetünk Ft-ot, akko a betét felmondásako ,67 Ftot kapunk. Ebből 50 eze fointot tesz ki a befizetett összeg nagysága, 916,67 Ft-ot a buttó kamat összege. 17. Példa 8 év 1 hónapon keesztül minden hónap elsején elhelyezünk egy alapba Ft-ot, ismeve, hogy a hosszú távú kamatláb 4%. Ilyen feltételek mellett, mekkoa összeghez jutunk a 8. év 1 hónapjának végén, a záást követő kamatelszámolás után, ha a befektetett pénzünk havonta kamatozik? = Ft n*m = (8*12)+1=97 = 4% m = 12 FV = (1 + m )n m 1 m = (1 + 0,04 12 ) (12 8)+1 1 0,04 12 = ,62 Ft Ebben az esetben ez az időpont a (8*12)+1=97. hónap eleje. Nekünk viszont a 97. hónap végi éték kellene! FV = ,62 (1 + 0,04 ) = ,28 Ft 12 27

28 3.3 Annuitás jelenétéke 18. Példa Egy vállalkozó ismeősünk 1 millió fointot ké tőlünk kölsön úgy, hogy 5 éven keesztül minden év végén 300 eze fointot ad nekünk vissza. Odaadjuk e a pénzt, ha az ügylettől 30% os hozamot váunk el? Ki kell számítanunk, hogy az 5 daab 300 eze fointos kifizetés jelenétéke a nagyobb, vagy az 1 millió foint. A pénzáam soozat egyszeű annuitást alkot, aminek most a jelenétékée vagyunk kívánsiak. A szokásos tölesztő évjáadék (szokásos annuitás) esetében aa vagyunk kívánsiak mennyi lesz az évjáadék jelenétéke ha a jáadéktagok esedékessége a jáadékközök vége. Tölesztő annuitás poblémája jáadéktagok PV jáadékköz Mekkoa PV adott mellett? Mekkoa adott PV mellett? Ahol jáadéktag, PV lejáatos évjáadék jelenétéke egy jáadékközzel az első jáadéktag esedékessége előtt. Egy évjáadék jelenétékét egy időszakkal az első jáadéktag esedékessége előtt, az alábbi képlettel számolhatjuk ki: n ( 1+ ) ( 1+ ) PV = AF n = = n, n vagy PV ( 1+ ) Ahol jáadéktag, elvát hozam, n futamidő években kifejezve, 1 = ( 1+ ) 1 n 28

29 PV annuitás jelenétéke, AF,n évjáadéktényező (annuitásfakto) elvát hozam és n jáadéktag esetén. A szögletes záójelben lévő kifejezést annuitás faktonak vagy évjáadék tényezőnek mondjuk. Az annuitásfakto (évjáadék tényező) (AF) megmutatja, hogy n daab 1 Ft ból álló annuitás jelenétéke mekkoa, ha a jáadékköze ételmezett kamatláb. PV = AF n ( 1+ ) ( 1+ ) 1 1,3 1, n = = 300 = 300 2,436 = 730,7 n 5 0,3 1,3 Mivel az 5 daab 300 eze foint jelenétéke kevesebb, mint 1 millió foint (730,7 eft), ezét elutasítjuk a kölsönigényt Példa 2 millió foint hitelt vett fel egy személy 6%-os(nominális) fix kamattal 15 éves futamidővel. A hitelt havi egyenlő észletekben (annuitás) töleszti az adós. Mekkoa lesz a tölesztőészletek nagysága, ha a hitel tölesztése a) a hónapok végén esedékes? b) a hónapok elején esedékes? (diszkontálás (1+)-el, met 1 időszakkal kevesebbet kamatozik) Az esedékes tölesztő évjáadéknál (esedékes annuitás) a jáadéktagok esedékessége a jáadékközök eleje. Mivel a jáadékközönként esedékes jáadéktagok má a tágyidőszakban kamatoznak, az esedékes annuitás étéke megegyezik egy hasonló feltételekkel létejött szokásos annuitás jelenétékének 1/(1+)-szeesével. A példa a tölesztő annuitás alkalmazása, sak most a jáadéktag a kédés. a, Abban az esetben, ha éven belül többszö van és hó végén van tölesztés az alábbi képletet alkalmazhatjuk a tölesztő annuitása: PV = (1+ m )n m 1 m (1+ m )n m, vagy PV = Ahol PV - a hitel összege, m - a befizetés évi gyakoisága, - éves kamatláb, n - a futamidő években kifejezve, - a jáadéktag nagysága. 1 1 (1+ m )n m m A képlet átendezéséből megkapjuk a tölesztőészletek nagyságát 29

30 PV = (1 + )n m m 1 m (1 + = m )n m PV (1 + m )n m 1 m (1 + m )n m = (1 + 0,06 12 ) ,06 12 (1 + 0,06 12 )15 12 = ,14 Ft b, Abban az esetben, ha éven belül többszö van és hó elején van tölesztés az alábbi képletet alkalmazhatjuk a tölesztő annuitása: PV = (1+ m )n m 1 Ahol PV - a hitel összege, m - a befizetés évi gyakoisága, - éves kamatláb, n - a futamidő években kifejezve, a jáadéktag nagysága. m (1+ vagy PV = )(n m 1), m A képlet átendezéséből megkapjuk a tölesztőészletek nagyságát 1 1 (1+ m )n m m (1 + PV = m )n m 1 PV m (1 + = )(n m 1) (1 + m m )n m 1 m (1 + m )(n m 1) (1 + ) = 0, (1 + 0, ) 1 (1 + 0,06 12 ) ( ) = ,17 Ft 20. Példa Nyugdíj előtakaékosságként mekkoa tőkét kell elhelyeznünk a bankban 4%-os kamatláb mellett, ha 15 éven keesztül minden évben Ft életjáadékot akaunk felvenni? PV = (1 + )n 1 (1 + ) n = (1 + 0,04)15 1 = ,92 Ft 0,04 (1 + 0,04) 15 30

31 3.4 Lejáat nélküli annuitások Azt az annuitást, melynek nins lejáata, öökjáadéknak nevezzük. Az egyszeű öökjáadék jellegzetessége, hogy állandó nagyságú jáadéktagokból áll, de a pénzsoozatnak nins vége. A pénzügyi életben számos példát láthatunk öökjáadéka. Ilyen a legtöbb elsőbbségi észvény pénzáama. Ezek általában fix hozamot ígének és lejáat nélküliek. Öökjáadéknak tekinthetők az alapítványi kifizetések is. Itt egy tőkeösszeget helyeznek el, amelynek évől éve sak a hozamait fizetik ki. Jövőétékől itt nins ételme beszélni, hiszen az végtelen, a jelenétékét pedig úgy kapjuk, ha az évjáadék képleténél feltételezzük, hogy az "n" tat a végtelenbe. Számokkal: (1.70.) Áfolyam Állandó tagú öökjáadék poblémája PV = lim = lim = n 1 2 n ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 + n Ahol - a jáadék nagysága, - az elvát hozam, n - a futamidő - itt végtelen, PV - az öökjáadék nettó áfolyama. Az öökjáadék nettó áfolyamát tehát megkapjuk, ha a jáadékot az elvát hozammal osztjuk. PV jáadéktagok n jáadékköz Mekkoa PV adott mellett? Mekkoa adott PV mellett? 21. Példa Egy alapítvány 10 millió fointot helyez el egy fix 4%-kal kamatozódó számláa. Mekkoa összeget oszthat ki minden év végén az alapítvány kuatóiuma, ha a) sak a kamatokat akaják kiosztani? b) 20 évig működik az alapítvány és állandó nagyságú összegeket aka minden évben kiosztani? a, A kifizetések öökjáadékot alkotnak PV = = PV = % = Ft 31

32 b, A kifizetések lejáatos annuitást alkotnak. = PV = AF,n (1 + 0,04) 20 = ,5 1 0,04 (1 + 0,04) Példa Vasánap kideült, hogy nyetem a lottón. a, mekkoa éves jövedelmet jelentenek a Ft kamatai? b, ha nem akaok pénzt hagyni az unokáka, mennyi pénzt költhetek el 50 év alatt évente? (Tegyük fel, hogy 4%-ot hoz évente hosszú távon a befektetésem) a, A kifizetések öökjáadékot alkotnak PV = = PV = % = Ft/év b, A kifizetések lejáatos annuitást alkotnak = PV = AF,n (1 + 0,04) 50 = ,99 1 0,04 (1 + 0,04) 50 = ,99 Ft/év 32

33 3.5 Növekvő tagú öökjáadék A növekvő tagú öökjáadékkal a tözsészvények belső étékét szokták közelíteni, feltételezve, hogy az osztalékok az idő múlásával folyamatosan növekednek egy állandó százalékkal a végtelenségig. Növekvő tagú öökjáadék poblémája jáadéktagok jáadékköz A képlet hasonló módon vezethető le, mint az öökjáadéké: PV 1+ g 1 (1 + g) lim = n PV 1 ( 1+ ) ( 1+ ) Ahol 1 - az első jáadéktag nagysága, - az elvát hozam, g - a jáadék növekedési átája, PV - a növekvő tagú öökjáadék jelenétéke. 2 Mekkoa PV adott mellett? Mekkoa adott PV mellett? n 1 ( 1+ g) + = lim = n ( 1+ ) 1+ n 1+ g g n példa Tegyük fel, hogy egy alapítványt akaunk létehozni a tankönyvíók finanszíozásáa. Teveink szeint minden évben Ft akaunk fodítani e jótékony éla. Az alapítvány tőkéjének meghatáozásako aa is tekintettel akaunk lenni, hogy a kifizethető összeg évente (g) 2 százalékkal növekedjen. Mekkoa összeget kell most elhelyeznünk, ha a hosszú távon évényes kamatláb () 4százalék? PV = C = = Ft g 0,04 0,02 33

34 3.6 Hiteltemékek összehasonlítása THM mutató A hitelek esetében az összehasonlítást legkönnyebben a Teljes Hiteldíjmutató (THM) alapján tehetjük meg. Ez megmutatja, hogy a tőkén felül mekkoa összeg visszafizetésée kell majd számítanunk a hitel felvétele után. A hitelét nem sak kamatot fizetünk. A kamaton felül az igénybevételét és a folyósításét a bank különböző díjakat, költségeket (pl. étékbeslés díja, kezelési költség) is felszámíthat, melyek növelik a ténylegesen visszafizetendő összeget. Fontos tudni, hogy vannak olyan költségek, melyeket a THM nem tatalmaz. A teljes hiteldíj mutató számításánál figyelembe kell venni: a fogyasztó által a hitelszeződés és a lízingszeződés (a továbbiakban együtt: hitelszeződés) kapsán fizetendő összes díjat (ideétve a kamatot, díjat, jutalékot, költséget és adót), a hitelhez kapsolódó jáulékos szolgáltatások költségeit, ha a hitelező vagy a lízingbe adó (a továbbiakban együtt: hitelező) számáa ismetek, a szolgáltatás igénybevételét a hitelszeződés megkötéséhez vagy ajánlat szeinti megkötéséhez a hitelező előíja, ideétve különösen o a fogyasztó által felajánlott fedezet étékbeslésének díját, o építésnél a helyszíni szemle díját, o a számlavezetés és a készpénz-helyettesítő fizetési eszköz használatának költségeit és a fizetési műveletekkel kapsolatos egyéb költségeket a meghatáozott kivételekkel, o a hitelközvetítőnek fizetendő díjat, o az ingatlan-nyilvántatási eljáás díját, valamint o a biztosítás és gaania díját a meghatáozott kivételekkel. A THM számításánál nem vehető figyelembe: a polongálás (futamidő hosszabbítás) költsége, a késedelmi kamat, egyéb olyan fizetési kötelezettség, amely a szeződésben vállalt kötelezettség nem teljesítéséből számazik, a közjegyzői díj, keeskedelmi kölsön vagy kapsolt hitelszeződés esetén a fogyasztó által a temékek vagy szolgáltatások megvételéét fizetett - a vételáon felüli - díj függetlenül attól, hogy készpénzzel vagy hitelből fizeti, valamint a számlavezetés és a készpénz-helyettesítő fizetési eszköz használatának költségei és a fizetési műveletekkel kapsolatos egyéb költségek, ha a számla fenntatását a hitelező nem íja elő az adott hitelszeződéshez és költségeit a fogyasztóval kötött szeződésben egyételműen és külön feltüntették. THM kiszámítása m C k THM = H = (1 + i) tk k=1 34

35 Ahol H: a hitel összege sökkentve a hitel felvételével összefüggő pénzügyi intézménynek fizetendő költségekkel i: THM századésze tk: a k-adik tölesztőészlet években vagy tötévekben kifejezett időpontja m: tölesztőészletek száma 24. példa A ZUG-WEST Adótanásadó Kft. bővíteni szeetné a tevékenységi köét. A könyvelési munkák elvállalásához néhány számítógép megvásálása szükséges, 5 MFt étékben. A beuházás finanszíozásához szükséges pénzmennyiség teljes összege nem áll a Kft. endelkezésée, ezét 2 MFt fejlesztési hitelt két az Invest Banktól. A hitelkéelem elbíálása után a bank hajlandó volt a 2 MFt-ot egy összegben folyósítani. Az adósságot 4 év alatt, évente azonos észletekben kell megfizetni. Az első tölesztés a folyósítás után 1 évvel esedékes. A kamatláb évi 24%. A bank a hitel teljes összegének 3%-át egyszei kezelési költségként, Ft-ot hitelbíálati díjként és további Ft-ot hitelfolyósítási díjként számolta fel. A jáulékos költségek a kölsön folyósításának napján esedékesek. Feladat: Számítsa ki a teljes hiteldíjat és a teljes hiteldíj mutatót (THM)! : Teljes hiteldíj: az az összeg, amelyet a hitelfelvevőnek a tőkeösszeg visszafizetésén felül fizetnie kell. Az éves adósságszolgálat összegének kiszámítása C = PV AF = (1 + 0,24) 4 = (évente fizetendő adósságszolgálat 1 0,24 (1 + 0,24) 4 (AF = 2,404) A kamat összege: ( *4) = Ft 4 év alatt a teljes hiteldíj összege: - Kamat (a 4 év alatt fizetett összeg): Ft - Kezelési költség ( Ft * 0,03) Ft - Hitelbíálati díj Ft Hitelfolyósítási díj Ft A teljes hiteldíj: Ft H= = Ft Ft = m C k THM = H = (1 + i) tk k= (1+i) 1 (1+i) 2 (1+i) 3 (1+i) THM = 27,35% (iteáiós módszeel meghatáozva) 4 (n-ed fokú egyenlet!) 35