III. Differenciálszámítás

Átírás

1 III. Diffeenciálszámítás A diffeenciálszámítás számunka elsősoban aa való hogy megállaítsuk hogyan változnak a (fizikai) kémiában nagy számban előfoló (többváltozós) függvények. A diffeenciálszámítás megadja a változás sebességét bámely kiszemelt ontban. Hangsúlyozandó hogy nem a változás nagyságát hanem annak sebességét kajuk meg. A dy/ kifejezés egyetlen mennyiség nem edig dy és aánya de azét gyakan előfol hogy jogosan íjuk hogy l. dy y( ahol dy y infinitezimális megváltozása. ogalmak definíciók y (a) az y y( deiváltját a következő kifejezés adja: y( lim 0 (b) diffeenciálási szabályok (ld. még későbbi táblázat): d df dg d df a diffeenciálás mint lineáis oeáto: f g és kf k dy dv szozási szabály: ha y( u( v( akko v u uv uv dv v u vu uv hányados szabály: ha y( u( / v( akko y v v dy dy dz láncszabály: amennyiben y y(z) és z z( úgy dz (c) alavető függvények deivált függvényei függvény y(t) deivált y függvény y(t) deivált y konstans 0 cos t sin t t n n1 nt tg t 1/cos t t e t e sh t ch t t e e t ch t sh t at e at ae ln t 1/t sin t cos t (d) közééték tétel 1: amennyiben f( folytonos a zát [ab] intevallumon és diffeenciálható a nyitott a b intevallumon valamint fennáll hogy f ( a) f ( b) úgy kell lennie legalább egy ontnak a b -ben melye igaz hogy f ( ) 0 (e) közééték tétel : amennyiben f(-nek az első n+1 deivált függvénye létezik az ab intevallumon úgy tetszőleges ab esetén létezik legalább egy olyan ontja az ab intevallumnak melye fennáll hogy f ( f( a) f( a) f ( a) f ( a) f ( ) f ( a)( a) ( a) ( a)... ( a) ( a)! 3! n! ( n1)! (3) ( n) ( n1) 3 n n1 7

2 ( n1) f ( ) 1 amely a véges (n + 1)-elemű aylo-so maadéktaggal ( ( ) n Rn a ) kibővített felíása ( n 1)! (f) aciális deiválás: a diffeenciálás megismet szabályai kitejeszthetőek többváltozós függvényeke is l. f( kétváltozós függvény esetében amennyiben a megfelelő hatáok f f ( f ( f f ( y f ( léteznek f lim és f y lim 0 y y0 y (g) teljes diffeenciál: több-változós függvény esetén azt az alábbi módon definiáljuk: d 1... n 1 n (h) függvény kombinációk diffeenciálása íus szabály függvény szozása számmal d ( au) a függvények összege d dv ( u v) szozatfüggvény d dv ( uv) u v hányadosfüggvény dv v u d u v v láncszabály d df f ( u) invez szabály 1 dy vagy 1 dy dy dy 8

3 (i) a láncszabály hatásának szemléltetése tíus függvény deivált a u hatványa u au a1 tigonometikus sin u cos u cos u sin u tg u sec u u eonenciális e e u logaitmikus ln u 1 u (j) az egymás utáni (szukcesszív) diffeenciálás szabályai megegyeznek az egyszei diffeenciálás szabályaival (egy n-edendű olinomnak csak az első n deiváltja nem d dy d y zéus); mind a mind a f ( f ( f (... jelölés eltejedt a magasabb deiváltak megadásáa 9

4 Mintafeladatok Adja meg dy/-t a következő függvénykacsolat esetée: y e sin y. Megoldás: d d d ( ( e ) sin y dy dy y e cos y. dy dy e y cos y e y cos y Ha ismejük a következő hatáétéket lim1 b e Megoldás: Legyen b0 d 1 bizonyítsuk be hogy ln u. u u u u (temészetesen lim u 0 ) ekko 1/ b 0 d ln( u u) ln u u u u u ln u lim lim ln 0 0 u u u. u / u 1 u 1 1 lim ln1 ln e u 0 u u u d u u Bizonyítsuk be hogy e e u Megoldás: Ha v e akko u ln v azaz 1 v dv dv v d e u e u akko 30

5 Gyakoló feladatok Diffeenciálja az y a b c kvadatikus függvényt. Bizonyítsa be a hányadosszabályt a szozatszabály segítségével! Számolja ki a lim 0 f ( f ( definíció alaján az 3 függvény deiváltját. Mutassa meg a láncszabály segítségével hogy amennyiben y ln f ( úgy dy f (. f ( 3 Ellenőizze a deiválása vonatkozó szozatszabályt az f ( függvény segítségével. Hatáozza meg az alábbi függvények deivált függvényét (a megoldások záójelben)! ( ). tg acsin ( acsin tg ) 3. ln cos ( ln ln cos cos ln sin) 4. sin 3 cos tgln 7. ln 8. sin cos sin cos cos sin ln 3 ln 3 ln 13. sin cos 14. sin sin cos 15. cos 16. ln ln ln 3 31

6 Ellenőizze a deiválása vonatkozó hányadosszabályt az f ( 4 / függvény segítségével. Az invezfüggvény deiválásáa vonatkozó szabály segítségével hatáozza meg az acsin függvény deiváltját (segítség: cos 1 sin ). Deiválja az f ( lncos az g ( ) függvényeket. ( f ( valamint az f ( acsinsing( Reális gázok leíásáa gyakan alkalmazzák az ún. van de Waals-egyenletet mely a szeint b R m ahol a szimbólumok a hagyományos jelentésükkel m endelkeznek. Mi a c mc és c kitikus állaotjelzők étéke amennyiben a kitikus izotema vízszintes éintőjű infleiós ontjában ( mc ) 0 és ( mc ) 0 egyszee áll fenn? Mutassa meg hogy a kitikus ontban a kitikus komesszibilitási tényező ( cmc Zc ) állandó étékű. Rc Egy egyenes vonalú mozgást végző észecske t idő alatt s t 3t utat já be. Adja meg a t-edik időillanatban a észecske sebességét és gyosulását. Íja le a mozgást. Egy = sugaú kö keületén mozgó észecske által t idő alatt megtett távolságot az 3 s 3t 3t t összefüggés íja le. Adja meg a szögsebességet és a kö közéontja köüli gyosulást. Egy kétatomos molekula ezgése úgy íható le mint egyetlen μ tömegű ont ( ekált tömeg ) mozgása az egyensúlyi távolságtól való eltéést méő e koodináta mentén. Hatáozza meg a μ tömegonta ható eőt amennyiben a mozgást leíó 1 otenciál alakja (a) ( k ( hamonikus lineáis oszcilláto ) illetve (b) a 1 e ( D ( Mose-otenciál ). Mi a Mose-otenciálban szeelő D aaméte szemléletes fizikai jelentése? Hatáozza meg a ( ) De 1e( ( e)) Mose-otenciál esetén a kvadatikus eőállandót (a otenciálnak a koodináta szeinti második deiváltját) az egynsúlyi (e) ozícióban A Lennad-Jones (6-1) otenciált () 4 gyakan alkalmazzák a nem kovalens jellegű intemolekuláis kölcsönhatások leíásáa. (a) Hatáozza meg a otenciális enegia minimumában a mag-mag () távolságot. (b) Ennek ismeetében vezesse le a kvadatikus eőállandóa (a otenciálnak a koodináta szeinti második deiváltja) vonatkozó összefüggést. 3

7 Sok fizikai endszeben az eő felíható mint egy otenciál gadiense ( d /. (a) Mi az a otenciál ami a gavitációs eőnek felel meg mm 1 amennyiben g ()? (b) Mi az a em otenciál amely az elektomágneses mm 1 kölcsönhatást leíó em () k eőnek felel meg? 33

8 III.1 Paciális diffeenciálás öbbváltozós függvények esetében a diffeenciálást minden egyes változó szeint elvégezhetjük ekko aciális diffeenciálásól aciális deiválásól beszélünk. A diffeenciálást nem kell elvégezni az összes változó alaján aciális diffeenciált kaunk akko is ha a többváltozós függvényt csak egyik változója szeint diffeenciáljuk. ogalmak definíciók (a) az f ( kétváltozós függvény első aciális diffeenciálhányadosát a következő f f ( h f ( kifejezés definiálja: lim h0 h (b) a magasabb endű deiváltak egy lehetséges jelölése: f fy stb. (c) Young-tétel (nem ecízen hanem lazán fogalmazva): A vegyes aciális deiváltak f y fy étéke független a aciális deiválások soendjétől l.: y y Mintafeladatok Adjuk meg a következő függvénykacsolat esetée az első aciális deiváltakat: f (. y f 1 ( y ) y Megoldás: ( y ) ( y ) f y y y ( y ) ( y ) A síkbeli olákoodináták esetében ismejük hogy ( y. Kéezzük az függvény első deiváltjait. 1 y Megoldás: és ennek megfelelően. Minthogy tudjuk y y y hogy cos és sin így cos sin 1 azaz a y aciális diffeenciálhányadosok négyzetösszege 1-e nomált. A H-atom elekton alaállaotában a nem nomált hullámfüggvénye fennáll hogy ( y z) e e y z Megoldás: e de hasznos). 1 y z. Kéezzük az egyik első deiváltat. e (a kissé vegyes jelölés nem igazán szé 34

9 Gyakoló feladatok Íja fel az alábbi függvények és y szeinti aciális deivált függvényeit! 1. (Megoldás:. actg (Megoldás: 3. (Megoldás: ) ) Íja fel a következő függvények összes másodendű aciális deivált függvényét! 1. ln ln (Megoldás:. (Megoldás: 6 sin sin 3. ln (Megoldás: 6 sin sin ) 3 cos 3 cos ) ) 3 Ellenőizze a Young-tételt az f ( y valamint az f ( cos( ln( függvényeken. Az ideális gáz állaotegyenlete nr ahol a temodinamikai hőméséklet a gáz téfogata R az egyetemes gázállandó a gáz nyomása n edig a gázt alkotó molekulák teljes anyagmennyisége. Hatáozza meg az ideális gáz hőtágulási együtthatóját ( 1 ) valamint izotem komesszibilitási együtthatóját ( 1 ). 35

10 Egységnyi anyagmennyiségű szilád fázisú anyag U belső enegiáját és nyomását az D U ( ) C 0 és A D 0 kéletekkel számolhatjuk ahol a temodinamikai hőméséklet a test téfogata C D és 0 állandók. (Megjegyzés: az utóbbi egyenletet ahol a nyomás a hőméséklet és a téfogat közötti összefüggést íjuk le szokás állaotegyenletnek nevezni. Ideális gázok esetén ez a jól ismet nr összefüggés). Hatáozza meg a test C hőkaacitását ( C együtthatóját ( 1 U ) hőtágulási ) valamint izotem komesszibilitási együtthatóját ( 1 ). Kétatomos molekulákból álló magas hőmésékletű gáz esetén a molekulák fogásának 8 k szabadenegia jáuléka ( ) k ln alakban íható fel ahol k a h Boltzmann-állandó a temodinamikai hőméséklet a molekulák száma a molekula tehetetlenségi nyomatéka és h a Planck-állandó. Számolja ki mekkoa a molekulák fogásának jáuléka a gáz nyomásához ( ) S entóiájához ( S ) valamint kémiai otenciáljához ( ). Kétatomos molekulákból álló alacsony hőmésékletű gáz esetén a molekulák h fogásának szabadenegia jáuléka ( ) 3k e ahol k a 4 k Boltzmann-állandó a temodinamikai hőméséklet a molekulák száma a molekula tehetetlenségi nyomatéka és h a Planck-állandó. Számolja ki mekkoa a molekulák fogásának jáuléka a gáz nyomásához ( ) S entóiájához ( S ) valamint kémiai otenciáljához ( ). Egy mól ideális gáz esetén a P nyomás két változó és függvénye: P R /. P P Adja meg a és a aciális diffeenciálhányadosokat. 36

11 37 Kétatomos molekulákból álló gáz esetén hamonikus közelítésben a molekulák ezgésének szabadenegia jáuléka k h sh k 4 ln ) ( ahol k a Boltzmann-állandó a temodinamikai hőméséklet a molekulák száma a molekula ezgésének köfekvenciája és h a Planck-állandó. Számolja ki mekkoa a molekulák ezgésének jáuléka a gáz nyomásához ( ) S entóiájához ( S ) valamint kémiai otenciáljához ( ). Aszimmetikus ögettyűként viselkedő molekulákból álló magas hőmésékletű gáz esetén a molekulák fogásának szabadenegia jáuléka det 8 ln ) ( 3/ h k k ahol k a Boltzmann-állandó a molekulák száma a temodinamikai hőméséklet a molekula tehetetlenségi nyomaték tenzoa h a Planck-állandó és a gázt alkotó molekulatíus szimmetiatulajdonságaitól függő állandó. Számolja ki mekkoa a molekulák fogásának jáuléka a gáz nyomásához ( ) S entóiájához ( S ) valamint kémiai otenciáljához ( ). Alacsony hőmésékletű fémek esetén a fémben lévő elektonok enegiája E alakkal közelíthető ahol az elektonszám a temodinamikai hőméséklet és edig anyagi állandók (ún. emi-hőméséklet és emi-enegia). Adja meg a hőkaacitást ( E C ) a hőméséklet függvényében. A Young-tétel segítségével igazolja az ()-e vonatkozó S és a G()-e vonatkozó S ún. Mawell-elációkat.

12 R a A van de Waals-gázegyenlet alakja P g( ). (a) Adja meg a g() b P nyomás függvény ételmezési tatományát. (b) Hatáozza meg a P és a P aciális diffeenciálhányadosokat. Legyen az általában L( qqt ) alakban felít Lagange-függvény alakja 1 L( t ) m ( ahol m az koodináta mentén mozgó észecske tömege a otenciál és a. az idő (t) szeinti deiválást jelöli. A Lagange-egyenlet d L L 0 (általános) alakja segítségével mutassa meg hogy dtq i q q i i q i d ma m. 38

13 III. eljes diffeenciál Mintafeladatok Az ideális gáztövény ( = R) esetée adjuk meg hogy mennyivel változik a nyomás amennyiben a temodinamikai hőméséklet Δ-vel míg a téfogat Δ-vel változik. R Megoldás: ( ) d d d azaz R R R. Gyakoló feladatok Íja fel az alábbi függvények teljes diffeenciálját! 1. (Megoldás: ). (Megoldás: ) 3. (Megoldás: ) 4. (Megoldás: ) 3 ( 0 ) Hogyan változik a ( ) A( 0 ) Be állaotegyenletű olime téfogata ha hőmésékletét és nyomását kicsit megváltoztatjuk (A B 0 és 0 konstansok)? Hogyan változik meg 1 mol eális gáz hőméséklete ha téfogatát és nyomását a icivel megváltoztatjuk? Az állaotegyenlet: b R ahol a b és R konstansok. Javasolt iodalom Báczy Banabás: Diffeenciálszámítás Műszaki Könyvkiadó. 39