Térbeli polárkoordináták alkalmazása egy pont helyének, sebességének és gyorsulásának leírására

Átírás

1 Tébeli polákoodináták alkalmazása egy pont helyének sebességének és gyosulásának leíásáa A címbeli feladat a kinematikával foglalkozó tankönyvek egyik alapfeladata: elmagyaázni levezetni az idevágó összefüggéseket Ezt gondoltuk mi is de mint ki - deült egy kicsit tévedtünk Ez azét is édekes met a szóban fogó alapvetés igazá - ból nem megkeülhető Mégis az általunk látott és itt negatív ételemben nem kiemelt tan - és szakkönyvek ezt nem vagy csak észlegesen végzik el Pesze biz - tos ez a házi feladat vagy a gyakolat tágya fizikus - és ménökhallgatóknak Vagy ezt mindenki úgyis tudja? Ez bizonyosan nem igaz Szóval valamilyen ételemben hiánypótlást végzünk ezzel a házi dolgozatunkkal hogy együtt lássuk a címbeli feladat megoldásának eedményeit Úgy tűnik hogy a szóban fogó feladatot az általunk lá - tott szakiodalomban legügyesebben illetve módszetanilag a legfigyelmesebben az [ 1 ] műben oldották meg így mi is főleg ee támaszkodunk mondókánk kifejtésében Elöljáóban még annyit hogy az egész témakö úgy vetődött fel hogy egy előző HD - ben a mozgó testek pespektivikus ábázolása kapcsán felmeülő esetleges teendők illusztálásáa választott [ 2 ] - beli feladathoz egy tébeli pont gyosulása komponen - seinek tébeli polákoodinátákkal megadott kifejezésée volt szükség Amiko köny - veinkben ennek utánanéztünk meglepő kép fogadott: ~ nem foglalkoztak vele; ~ észlegesen foglalkoztak vele észletes levezetés nélkül; ~ feladatként adták fel csak a végeedményt közölve ( azt is sajtóhibával ); ~ túl általánosan tágyalták Ez azét nagyon duva met mint említettük egy alapfeladatól van szó melynél sokkal egyszeűbbeket is szájba ágva közölnek a tankönyvek Úgy - e hogy ez má édekes? Most tekintsük az 1 ábát! 1 ába

2 2 Itt azt ábázoltuk hogy a tébeli P pontot úgy találjuk meg a tében hogy ~ az Oxyz koodináta - endszeben kijelölt xoz alapsíkot a z polátengely köül elfogatjuk akkoa szöggel hogy a Oz sík éppen átmenjen a P ponton majd ~ megméjük / megadjuk a Oz síkbeli = zop szöget majd ~ megméjük / megadjuk a Oz síkbeli = OP távolságot Az ( ) ( ) koodináták között a kapcsolat az 1 ábáól leolvashatóan: adat - hámas a P pont tébeli polákoodinátái Az ( x y z ) és az xp = xy cos = sin cos yp = xy sin = sin sin zp = xy ctg = cos ( 1 ) A polákoodináták ételmezési tatománya: 0 < 0 π 0 2 π ( 2 ) A közvetlen feladat: az helyvekto a v sebességvekto és az a gyosulásvekto felíása a poláis koodinátákkal Ehhez az egységvektookon végzett manipuláció is szükségessé válik A jobbendszet képező ( ) alapvető összefüggései az alábbiak: e ; e = e e e = e e e = e e e = e e = e e = 1 ; e e = e e = e e = 0 e e e egységvekto - hámas ( 3 ) Az egységvektook diffeenciálja: e e e de = d + d + d e e e de = d + d + d e e e de = d + d + d ( 4 )

3 3 Most egyenként megvizsgáljuk a ( 4 ) - ben szeeplő paciális deiváltak alakulását Ezt úgy tesszük hogy megnézzük: hogyan változnak az egységvektook ha csak az egyik koodináta változik a másik kettő pedig állandó Ez háom alapeset vizsgálatát igényli a háom koodinátának megfelelően 1 ) Az szeinti paciális deiváltak meghatáozása Ehhez tekintsük a 2 ábát is! Innen leolvasható hogy ha csak az koodináta változik = = konst = = konst akko az egységvektook iánya ( is ) ugyanakko 0 0 változatlan maad azaz e e e = = = 0 ( 5 ) 2 ába Most ( 4 ) és ( 5 ) - tel: e e de = d + d e e de = d + d e e de = d + d ( 6 )

4 4 2) A szeinti paciális deiváltak meghatáozása Ehhez tekintsük ismét az 1 ábát! Eől leolvasható hogy ha csak változik azaz = = konst = = konst akko az vekto végpontja változásával egy 0 0 köíven mozoghat így e köív síkjáa meőleges e e egységvekto nem változik: = 0 ( 7 ) Most ( 6 ) és ( 7 ) - tel: e e de = d + d e e de = d + d e de = d ( 8 ) Az 1 ábáól is jól látható hogy a másik két egységvekto azonban változik síkbeli polákoodináták egységvektoaiként dolgozva e és k állandó egységvektook mellett Most ezt vizsgáljuk meg észletesebben Ehhez tekintsük a 3 ábát is! 3 ába A 3 ába bal oldali észe alapján az e egységvekto kifejezése: e = 1 sin e + 1 cos k vagy egyszeűbben:

5 5 e = sin e + cos k ( 9 ) Ebből: e = cos e sin k ( 10 ) Most felíjuk az e egységvekto kifejezését azzal a meggondolással ld a 3 / bal ábát is! hogy e = e + 90 ( 11 ) ( ) ( ) Majd ( 9 ) és ( 11 ) szeint eljáva: e = sin + 90 e + cos + 90 k = cos e sin k ( ) ( ) e = cos e sin k ( 12 ) Ebből: e = sin e cos k ( 13 ) Most ( 10 ) és ( 12 ) - vel: e = e ( 14 ) majd ( 9 ) és ( 13 ) - mal: e = e ( 15 ) Ezután a ( 8 ) ( 14 ) ( 15 ) képletekkel: e de = e d + d e de = e d + d e de = d ( 16 ) Látjuk hogy má csak a szeinti paciális deiváltakat kell meghatáozni

6 6 3) A szeinti paciális deiváltak meghatáozása Ebben az esetben = 0 = konst = 0 = konst vagyis az vektook végpontjai egy 0 = 0 sin 0 sugaú köön helyezkednek el 4 ába Miközben az vekto csúcsa végigmegy e köön aközben egy 0 félnyílásszögű z tengelyű fogáskúpot súol és mindháom egységvekto változtatja iányát így paciális deiváltjaik nem zéusok A ( 9 ) képlet szeint: e = sin e + cos k innen: e e = sin + cos 0 4 ába e = sin e ( 17 ) Most a 3 / jobb ába szeint: e = 1 cos i + 1 sin j vagy övidebben: e = cos i + sin j ( 18 ) Innen: e = sin i + cos j ( 19 ) A koábbiak szeint:

7 7 ( ) ( ) e = + 90 ; e ( 20 ) most ( 18 ) és ( 20 ) - szal: e = cos + 90 i + sin + 90 j = sin i + cos j ( ) ( ) e = sin i + cos j ( 21 ) ( 19 ) és ( 21 ) összehasonlításából: e = e ( 22 ) Most ( 17 ) és ( 22 ) szeint: e = sin e ( 23 ) Most ( 21 ) - et paciálisan deiválva: e = cos i sin j ; ( 24 ) majd ( 18 ) és ( 24 ) szeint: e = e ( 25 ) Ámde az 5 ába szeint: 5 ába

8 8 e = 1 sin e + 1 cos e vagy egyszeűbben: e = sin e + cos e ( 26 ) Most ( 25 ) és ( 26 ) - tal: e = ( sin e + cos e ) ( 27 ) Majd ( 12 ) szeint: e = cos e sin k Ebből: e e = cos sin 0 e = cos e ( 28 ) Most ( 22 ) és ( 28 ) szeint: e = cos e ( 29 ) Ezután ( 16 ) ( 23 ) ( 27 ) és ( 29 ) - cel: de d sin d = e + e de = e d + cos e d de = ( sin e + cos e ) d ( 30 ) A diffeenciálokól áttéve az idő szeinti diffeenciálhányadosoka ( 30 ) - ból kapjuk hogy

9 9 de d d = e + sin e dt dt dt de d d = e + cos e dt dt dt de d = ( sin e + cos e ) dt dt ( 31 ) Bevezetve az idő szeinti deivált ponttal való szokásos jelölését ( 31 ) így alakul: eɺ = ɺ sin e + ɺ e eɺ = ɺ e + ɺ cos e eɺ = ɺ sin e ɺ cos e ( 32 ) A ( 32 ) képletek íják le az egységvektook idő szeinti deiváltjait; ezek bitokában má nekifoghatunk a P pont hely - sebesség - és gyosulásvektoa felíásának A helyvekto felíása = e ( 33 ) A sebességvekto felíása d v = ( 34 ) dt Most ( 33 ) és ( 34 ) - gyel a szozat deiválási szabálya alapján: v = ɺ e + eɺ ( 35 ) Majd ( 32 / 1 ) és ( 35 ) - tel: v = ɺ e + ɺ e + ɺ sin e = ɺ e + ɺ e + ɺ sin e ( ) v = ɺ e + ɺ e + ɺ sin e ( 36 )

10 10 Ha bevezetjük a v vekto komponenseit az alábbiak szeint v = v e + v e + v e ( 37 ) akko ( 36 ) és ( 37 ) összevetéséből a sebesség skaláis komponensei: v v v = ɺ = ɺ = ɺ sin ( 38 ) A gyosulásvekto felíása d a = v ( 39 ) dt Most ( 37 ) és ( 39 ) - cel: d a = ( v e + v e + v e ) = dt = vɺ e + v eɺ + vɺ e + v eɺ + vɺ e + v eɺ ( ) ( ) ( ) a = vɺ e + v eɺ + vɺ e + v eɺ + vɺ e + v eɺ ( 40 ) ( ) ( ) ( ) Majd ( 32 ) és ( 40 ) - nel: ( ɺ ɺ sin ) ( ɺ ɺ cos ) ( ɺ ɺ ) a = vɺ e + v + + e e + vɺ e + v + + e e + vɺ e + v sin e cos e ( 41 ) - et endezve: a = e vɺ v ɺ v ɺ sin + ( ) ( v ɺ vɺ v ɺ cos ) ( v ɺ v ɺ vɺ ) + e e sin + cos + ( 41 ) ( 42 )

11 11 Ha bevezetjük az a vekto komponenseit az alábbiak szeint a = a e + a e + a e ( 43 ) akko ( 42 ) és ( 43 ) összevetéséből a gyosulás skaláis komponensei: a = vɺ ɺ v ɺ v sin a = vɺ + ɺ v ɺ v cos a = vɺ + ɺ v sin + ɺ v cos ( 44 ) Most ( 44 ) - ben évényesítve ( 38 ) - at: a = vɺ ɺ v ɺ v sin = ɺɺ ɺ ɺ sin a = ɺɺ ɺ ɺ sin ( 45 ) Hasonlóképpen: 2 a = vɺ + ɺ v ɺ v cos = ɺ ɺ + ɺɺ + ɺ ɺ ɺ sin cos a = ɺɺ + ɺ ɺ ɺ ( 46 ) 2 2 sin cos Megint így: d a = vɺ + ɺ v sin + ɺ v cos = ( ɺ sin ) + ɺ ɺ sin + ɺ ɺ cos ; dt d d d ( ɺ sin ) = ( sin ) ɺ = ( sin ) ɺ + ( sin ) ɺɺ = dt dt dt = ɺ sin + cos ɺ + sin ɺɺ ; ( ɺ ) ( sin ) ( ɺɺ ɺ ɺ ) ɺ ɺ a = ɺ ɺ + cos ɺ + sin ɺɺ + ɺ ɺ sin + ɺ ɺ cos = = sin cos ( ɺɺ ɺ ) a = + 2 sin + 2 ɺ ɺ cos ɺ ( 47 )

12 12 Végül ( 43 ) és ( 47 ) - tel: a = ( ɺɺ ɺ ɺ sin ) e ( ɺɺ + 2 ɺ ɺ ɺ sin cos ) e + + ( ɺɺ + 2 ɺ ɺ ) sin + 2 ɺ ɺ cos e ( 48 ) Ezzel kitűzött feladatunkat megoldottuk Megjegyzés: Szóhasználatunkban követjük [ 3 ] - at: egy A = A + A + A = A i + A j+ A k vekto esetében az x y z x y z Ax Ay A z vektomennyiségek: a komponensvektook míg az Ax Ay A z skaláis mennyiségek: a vekto ( itt: deékszögű ) komponensei Iodalom: [ 1 ] Lawence E Goodman ~ William H Wane: Dynamics Dove Publications Inc Mineola New Yok Repint kiadás 2001 [ 2 ] L G Lojcjanszkij ~ A I Luje: Kusz teoeticseszkoj mehaniki Tom I: Sztatika i kinematika 8 kiadás Nauka Moszkva 1982 [ 3 ] Budó Ágoston: Kíséleti fizika I 6 kiadás Tankönyvkiadó Budapest 1975 Sződliget 2012 augusztus 27 Összeállította: Galgóczi Gyula ménöktaná