A Maxwell-féle villamos feszültségtenzor

Átírás

1 A Maxwell-féle villamos feszültségtenzo Veszely Octobe, Rétegezett síkkondenzátoban fellépő (mechanikai) feszültségek Figue : Keesztiányban étegezett síkkondenzáto Tekintsük a. ábán látható keesztiányban étegezett kondenzátot. Az elválasztó felülete ható eő kiszámításához az enegiatétel alábbi alakját használjuk dw +Fdl = UdQ, () ahol dw a villamos enegia növekménye, F dl a villamos téeősség által végzett munka, UdQ a foás által végzett munka. Ha a hatáoló felület dl-el elmozdul jobba, akko a dl vastagságú éteg enegiája ε E dla-ól ε E dla-a változik. A villamos eőté munkája tdla, ahol t a felületegysége eső eőhatás, azaz a mechanikai feszültség vagy nyomás. Töltésváltozás nincs, met a D eltolási vekto nem változik. Az enegia egyenlet ahonnan ε E dla ε E dla+tdla =, () t = ε E ε E. (3) Az. ábán t-vel jelöltük az elválasztó felülete ható feszültség efeencia iányát. Ez a feszültség úgy fogható fel, mint a hatáfelülete a dielektikumok által gyakoolt feszültségek eedője. Ezeket a feszültségeket akko vesszük pozitívnak, ha iányuk megegyezik a hatáfelülettől a dielektikum belseje felé

2 mutató nomális iányával. Legyen tehát t = ε E, (4) és t = ε E. (5) A t és t észfeszültségeket a (3) előjelei alapján jelöltük be az. ábába. Mindkét észfeszültség az egyes dielektikumok belseje felé igyekszik húzni a hatáoló felületet. Tehát t és t húzó feszültségek. A (3) átíható úgy, hogy a közös D eltolási vekto szeepeljen benne t = ( D ), (6) ε ε ahonnan következik, hogy ε > ε esetében az eedő feszültség pozitív, vagyis a nagyobb pemittivitású anyagtól a kisebb pemittivitású felé mutat. Tekintsük most a. ábán látható hossziányban étegezett kondenzátot. A lemezek távolsága l, a lemezek papía meőleges méete a. Ha a hatáoló felület dn-el elmozdul lefelé, akko az () enegia tétel Figue : Hossziányban étegezett síkkondenzáto. ( ldna ε E ) ε E +tldna = U(σ σ )dna, (7) ahol figyelembe vettük, hogy a villamos téeősség a kétféle szigetelőben megegyezik és hogy az eltolási vekto D = ε E-ől D = ε E-e változása miatt a felületi töltéssűűség σ = ε E-ől σ = ε E-e változik. Felhasználva még, hogy U = El a fenti egyenletből az elválasztó felülete ható feszültség ami az (4) és (5) alapján így is íható t = E (ε ε ), (8) t = t t, (9)

3 aminek alapján a. ábába beajzoltuk a dielektikumok által a hatáfelülete ható feszültségeket. Láthatólag mindkét dielektikum a saját peemée (ami egyben a közös hatá) nyomó feszültséget gyakool. Ha ε > ε, akko az eedő feszültség ismét a magasabb pemittivitású dielektikumból az alacsonyabb pemittivitású felé mutat. Idáig úgy tűnt, hogy az előjel konvencióa (t.i. hogy a dielektikum által létehozott feszültséget akko tekintjük pozitívnak, ha iánya megegyezik a dielektikum belseje felé mutató felületi nomálissal) nincs szükség. Meg kell azonban gondolnunk, hogy a dielektikuma ható eőt úgy kapjuk, hogy a feszültségnek(vagy a feszültség tenzonak l. később) és a vektoos felületelemnek a szozatát összegezzük a felülete. Ekko egységes befelé mutató nomálist választunk és így a nyomó feszültséget negatív előjellel kell figyelembe venni. A dielektikum belseje felé mutató nomálisa vonatkoztatott nyomófeszültségek tehát t = ε E, () és t = ε E. () A feszültség tenzo Figue 3: Az éte feszültségi állapotának szemléltetése ugókkal Az elektodinamika XIX. századi fejlődése soán szükségesnek tatották, hogy a tének valamilyen közeg hodozója legyen. Ezt a feltételezett közeget éte nek nevezték. Faaday szeint az elektomágneses té az étenek(mechanikai) feszültségi állapota. Ezt az állapotot ugókkal lehet jellemezni, éspedig az eővonalak iányába eső ugók húzott ugók, az eővonalaka meőleges ugók nyomott ugók, l. a 3. ábát. A 4. és 5. ábák az és ábák feszültségi állapotának ugóval töténő szemléltetései. A ugalmasságtanban megszokott módon vágjunk most ki a szigetelőből egy kis hasábot, amelynek egyik éle páhuzamos az eővonalakkal, l. a 6. ábát. Hogy a hasáb egyensúlyban maadjon, a szigetelő többi észe által kifejtett eőket is feltüntettük az ábán. A té iányában tiszta húzó, aa meőleges síkban bámely iányban tiszta nyomó eő keletkezik. A feszültségi tenzo főiánya 3

4 Figue 4: Keesztiányban étegezett síkkondenzáto feszültségi állapotának szemléltetése ugókkal tehát egyészt a téeő iánya, másészt a meőleges síkban két tetszés szeinti, de egymása meőleges iány. A feszültség tenzo tehát a főtengelyekkel egybeeső koodináta endszeben T = ε E ε E ε E () Figue 5: Hossziányban étegezett síkkondenzáto feszültségi állapotának szemléltetése ugókkal Figue 6: A kivágott kis hasába ható feszültségek 4

5 Egy másik koodináta endszeben, amely el van fogatva az a ik = e i e, k (3) tanszfomációsegyütthatókkal(e i azeedeti, e, k azelfogatottkoodinátaendsze egységvektoai) 3 3 T ik = a il a km T lm. (4) l= m= A tanszfomált komponensek könnyen számíthatók, met csak a T, T és T 33 komponensek különböznek nullától. Pl. T = a a T +a a T +a 3 a 3 T 33 (5) T = εe εe εe a a a 3 (6) T = a εe εe (a +a +a 3) = ε(a E) εe. (7) Az a együttható az első főiány (E iánya) és az x tengely által bezát szög koszínusza, ezét a E = E x, (8) amivel fenti eedményünk így íható T = εe x εe. (9) A többi tanszfomált tenzokomponens hasonlóan számítható. Tetszőleges koodinátaendszeben a feszültség tenzo εex ε E εe x E y εe x E z T = εe y E x εey ε E εe y E z () εe z E x εe z E y εez ε E 3.példa Egy ponttöltés vákuumban ε elatív pemittivitású szigetelő félté fölött a magasságban helyezkedik el. Hatáozzuk meg a ponttöltés és a szigetelő közötti eőhatást. A villamos téeősségeket a jól ismet dielektomos tüközés (7. ába) segítségével hatáozzuk meg. Előszö a fizikai kép alapján számítunk ki egy megbízható eedményt. A ponttöltés polaizálja a szigetelőt, vagyis ρ = div P kötött töltéssűűség lép fel a szigetelőben és σ = Pn kötött felületi töltéssűűség a szigetelő hatáán. A közeg polaizációja P = ε (ε )E. Mivel a té a szigetelőben ponttöltés elektosztatikus tee, div P = és nincs kötött töltéssűűség a szigetelőben. A felületi töltéssűűség σ() = ε (ε ) Q ε ε + 4πε ε +a a ( +a ) /, () ahol a hengekoodinátaendsze z tengelye egybeesik a ponttöltésből a hatáfelülete bocsájtott meőlegessel. Az utolsó tényező a meőleges komponenshez 5

6 Figue 7: Dielektomos tüközés. A balodali ába a felső téészben, a jobboldali az alsó téészben adja meg a teet. szükséges koszinusz. Az eőhatásnak (amely nyilvánvalóan vonzó) csak az abszolút étékét számoljuk. F = Q Q 4πε ( +a ) = Q 4πε π ϕ== σ() ddϕ +a a ( +a ) /, () ahol az utolsó tényező az integálban az eő z komponensének kiszámításáa szolgál. Az komponensek kiejtik egymást. Egyszeűsítések után F = Q a ε 4πε ε + ( +a ) 3d. (3) Mivel az integál étéke /(4a 4 ) a végeedmény F = Q ε 4πε ε +4a, (4) ami megegyezik a 7. ába baloldalán lévő ponttöltések közötti eőhatással. Oldjuk meg most a feladatot a feszültség tenzoal. A teste ható teljes eőt a feszültség tenzonak a test teljes felületée vett integálja adja. Nagy étékeke a té elég gyosan zéushoz tat, így elegendő a közös hatáfelülete integálni. A teljes eő a z = + helyen fellépő (ezt temészetesen a felső téésze évényes töltésekből számítjuk a 7. ába baloldala szeint) és a z = helyen fellépő különbsége (utóbbit a 7. ába jobboldala szeint kapjuk). Mivel a hatáfelület a z tengelye meőleges, elegendő a T zz komponenst kiszámítani. A felső féltée T zz (,z = +) = ε E z ε E. (5) A felső ponttöltés teét E + -al, az alsóét E -al jelöljük. Az eedő té E és E z komponense E = E + E = Q 4πε E z = E + z +E z = Q 4πε ε + ε ε + +a +a (6) +a, a (7) +a, E = E +E z = Q 4 +ε a (4πε ) (ε +) ( +a ) 3. (8) 6

7 behelyettesítve (5)-be T zz (,z = +) = ε Q (4πε ) (ε +) ( +a ) 3 ( ε a ). (9) Az eő ennek a hatáfelülete vett integálja F(z = +) = ahol felhasználtuk az alábbi integálokat T zz (,z = +)πd = Q (ε ) 4πε (ε +) 4a, (3) ( +a ) 3d = 4a 4 3 ( +a ) 3d = 4a. (3) Az alsó féltée T zz (,z = ) = ε ε Ez ε ε E. (3) A téeősség komponensei a 7. ába jobboldala szeint Behelyettesítve (3)-be E = E z = Qε ε + 4πε ε +a Qε ε + 4πε ε +a (33) +a, a (34) +a. T zz (,z = ) = Q ε ε a (4πε ) ( +a ) 3. (35) Amint az a koábban is felhasznált integálokból látható, a második tényező integálja -tól -ig zéussal egyenlő. Eszeint a hatáfelülete ható eőhatás F = F(z = +) F(z = ) = Q (ε ) 4πε (ε +) ami megegyezik koábbi eedményünkkel. 4a, (36) 7