A FÖLD PRECESSZIÓS MOZGÁSA

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A FÖLD PRECESSZIÓS MOZGÁSA"

Átírás

1 A ÖLD PRECEZIÓ MOZGÁA Völgyesi Lajos BME Általános- és elsőgeodézia Tanszék A öld bonyolult fogási jelenségeinek megismeéséhez pontos fizikai alapismeetek szükségesek. A fogalmak nem egységes és hibás használata, valamint a pecesszió és a nutáció jelenségének összekeveedése szükségessé teszi az alapfogalmak tisztázását [1]. A súlyos és az eômentes pögettyûk pecessziós és nutációs mozgásának áttekintését követôen a öld fogásának észletes tanulmányozásával foglalkozunk, és javasoljuk a szaknyelvben szélesköûen elteje hibás elnevezések helyett újak, például a csillagászati nutáció helyett a pecessziózava fogalmának használatát. Ebben az íásban a öld pecessziós mozgásával, a ákövetkezôben pedig a pólusmozgással, vagyis a öld nutációs mozgásával foglalkozunk. A öld tengelyköüli fogása A öld saját tengelye köüli fogását az ω fogási szögsebességvektoa jellemzi, ezét fogásának leíásához ismenünk kell a szögsebességvekto tébeli iányát és nagyságát, valamint a fogástengely és a öld tömegének elatív helyzetét, mint az idô függvényét. A tengelyköüli fogás soán a szögsebességvekto tébeli iánya és nagysága is állandóan változik. A változásokat az 1. ábán összefoglalva láthatjuk. A szögsebességvekto abszolút étékének (illetve a napok hosszának) változásaival most nem foglalkoztunk; csupán megjegyezzük, hogy a fogási szögsebesség szekuláis lassulása elsôsoban a Hold és a Nap által okozott úgynevezett dagálysúlódás következménye, az évszakos változást alapvetôen felszíni (meteoológiai) tényezôk, a endszetelen változásokat pedig a öld tömegátendezôdései okozzák. A szögsebességvekto tébeli iányának változásai két csopota oszthatók: a pecessziós és a nutációs mozgása. A nutációs mozgást a föludományokban célszeûbben pólusmozgásnak nevezik. 1. ába. A öld fogása. A öld fogási szögsebesség-vektoának változása A vekto hossza idõben csökken (lassuló fogási szögsebesség) Általános (nomál) pecesszió Pecesszió A vekto tébeli iánya változik Nutáció (Pólusmozgás) Pólusingadozás Luniszoláis zabadnutáció pecesszió Planetáis pecesszió Pecessziózava Kényszenutáció Pólusvándolás mg C 2. ába. A súlyos és az eômentes pögettyû. A súlyos és az eômentes pögettyûk Pögettyûnek nevezzük minden olyan tetszôleges alakú és tömegeloszlású meev testet, amely egyetlen ögzített pontja köül szabadon fooghat. Általánosabban pögettyûnek nevezzük a ögzített pont nélküli testet akko is, ha a tömegközéppontja köüli fogása a tömegközéppont mozgásától függetlenül tágyalható. Két alapvetôen fontos fajtája a 2. ábán látható úgynevezett súlyos és az eômentes pögettyû. A súlyos pögettyû a súlypontjáa ható fogatónyomaték hatásáa megfelelô ω fogási szögsebesség esetén pecessziós mozgást végez, azaz a fogástengely a testtel együtt kúppalást mentén ω p << ω szögsebességgel köbevándool. Az eômentes pögettyû ettôl abban különbözik, hogy a külsô eôknek a súlypontjáa vonatkozó fogatónyomatéka zéus (ilyen például a súlypontjában alátámasztott pögettyû). Az eômentes pögettyû nutációs mozgást végez, amennyiben a test nem pontosan a szimmetiatengelye köül foog. Ekko a test fogástengelye folyamatosan változtatja a testhez viszonyított helyzetét: a fogástengely a test szimmetiatengelye köül kúppalást mentén köbevándool. Az eômentes pögettyû ételemszeûen pecessziós mozgást nem tud végezni, viszont a súlyos pögettyû a pecessziós mozgása mellett nutációs mozgást is végezhet, amennyiben nem pontosan a szimmetiatengelye köül foog. A súlyos és az eômentes pögettyûk különbözô fajtái léteznek a tömegeloszlásuk, azaz a tehetetlenséginyomaték-tenzouk fôátlójában lévô A, B és C fôtehetetlenségi nyomatékok függvényében. Például az A = B C (homogén fogásszimmetikus testek) esetén szimmetikus pögettyûôl beszélünk. zimmetikus súlyos pögettyû pecessziós mozgása Minden meev test fogása soán a fogási tehetetlensége miatt igyekszik megtatani fogási állapotát, más szóval az impulzusnyomaték megmaadási tövénye C 152 IZIKAI ZEMLE 213 / 5

2 ételmében bámely zát endsze N impulzusnyomatéka állandó, tehát dn/ idôbeli változása zéus. Ha a fogó meev teste külsô eôk hatnak, akko az impulzusnyomaték megváltozása a külsô eôk M fogatónyomatékával egyenlô: A fogatónyomaték vektoa az eô és az eôka vektoiális szozata: d 3. ába. A súlyos pögettyû pecessziós mozgása. M mg dn az impulzusnyomaték pedig: = M. M =, N = I ω, p (1) (2) (3) ahol I a meev test tehetetlenséginyomaték-tenzoa, ω pedig a fogási szögsebesség vektoa. Behelyettesítve a (2) és a (3) összefüggést az (1)-be: d I ω =. (4) Mivel meev test esetén I állandó, ezét az I kiemelhetô a diffeenciálási jel elé, tehát (4) az I dω = (5) fomában is íható. Ebbôl viszont má közvetlenül látható, hogy külsô fogatónyomaték hatásáa a nehézségi eôtében megfelelôen gyosan fogó meev testek (az úgynevezett súlyos pögettyûk) ω szögsebességvektoának tébeli iánya folyamatosan változik; az ω vekto mindenko az és az iányáa meôleges iányban mozdul el. Ennek megfelelôen a 3. ábán látható fede tengelyû, gyosan fogó pögetytyû (például a mindenki által jól ismet játék: a búgócsiga) nem dôl el, hanem fogástengelye a test tömegével együtt függôleges tengelyû kökúp palástja mentén állandó ω p << ω pecessziós szögsebességgel lassan köbevándool. A pögettyû fogástengelyének ezt a mozgását pecessziós mozgásnak nevezzük. Ettôl teljesen független az eômentes (fogatónyomaték nélküli, súlypontjában alátámasztott) szimmetikus pögettyûk nutációs mozgása. A pecesszióval ellentétben a nutáció soán a test fogástengelye a szimmetiatengely köüli kúppalást mentén egyenletes sebességgel köbevándool, amennyiben a fogásés a szimmetiatengely nem esik egybe [2, 3]. A luniszoláis pecesszió öldünk fogástengelye a külsô eôk hatásáa a fentiekben tágyalt súlyos pögettyû mozgásához teljesen hasonló mozgást végez, a különbség mindössze anynyi, hogy a öld esetében az ω p vekto iánya (a fogástengely köbevándolásának iánya) ellentétes. Ennek oka az, hogy a 3. ábán látható pögettyûe olyan iányú fogatónyomaték hat, ami a fogástengelyét fekvô helyzetbe igyekszik hozni; a öld esetében viszont a Nap és a Hold egyenlítôi tömegtöbblete gyakoolt vonzása olyan eôpát hoz léte, amely a öld fogástengelyének iányát az síkjáa meôlegesen felállítani igyekszik. Vizsgáljuk meg észletesebben a öld pecessziós mozgását és ennek okát. A öld jó közelítéssel fogási ellipszoid alakú, amelynek egyenlítôi sugaa (fél nagytengelyének hossza) mintegy 21 km-el nagyobb a sakok felé méhetô távolságnál (a fél kistengelyének hosszánál). Ugyanakko a öld egyenlítôi síkja mintegy 23,5 fokkal hajlik a öld keingési síkjához (az síkjához), amelyben a Nap, és amelynek közelében a Hold és a bolygók találhatók. Az egyszeûség kedvéét egyelôe csupán a Nap tömegvonzásából adódó fogatónyomaték hatását vizsgáljuk meg. A öld lényegében a Nap tömegvonzási eôteében végzi keingését és dinamikus egyensúlyban van; vagyis a Nap öld tömegközéppontjáa ható tömegvonzásával a öld Nap köüli keingésébôl számazó (az eôvel egyenlô nagyságú, de ellentétes iányú) keingési centifugális eô tat egyensúlyt. Ez a keingési centifugális eô a Nap öld közös tömegközéppontja köüli excentemozgás következtében a öld minden pontjában azonos iányú és egyenlô nagyságú [4]. A gömbszimmetikus tömegeloszlástól tapasztalható eltéés miatt osszuk a öldet a 4. ábán látható belsô gömbszimmetikus tömegtatománya és az egyenlítô menti gyûûszeû tömegtöbblete! Legyen a Naphoz közelebb esô gyûûész tömegközéppontja, a távolabbi észé pedig. A Nap öld gömbszimmetikus tömegtatományáa ható tömegvonzását úgy ételmezhetjük, mintha ez csak a gömb tömegközéppontjában lépne fel. A gyûûészeke ható vonzóeôt viszont a és a tömegközéppontban ható VÖLGYEI LAJO: A ÖLD PRECEZIÓ MOZGÁA 153

3 Usa Mino Polais 2 a Cepheus 2 a 2 ie. 45 Daco a + pólusa ie ,5 p Hecules 4. ába. A luniszoláis pecesszió. 15 Cygnus 15 Lya Nap (Hold) iánya vonzóeôkkel helyettesíthetjük. A Neton tömegvonzási tövényének megfelelôen a -ben nagyobb, a -ben pedig kisebb vonzóeô hat, mint a tömegközéppontban. A keingési centifugális eô viszont mindháom pontban ugyanakkoa [4], ezét a -ben és a -ben a kétfajta eô nincs egymással egyensúlyban; a -ben a vonzóeô, a -ben a keingési centifugális eô a nagyobb. A két eô eedôje a pontban: = 1, a pontban pedig = 2.Ezakét egyenlô nagyságú, de ellentétes iányú eô a 4. ába síkjából meôlegesen kifelé mutató M fogatónyomaték-vektot eedményez. A Naphoz hasonlóan a Hold is fogatónyomatékot fejt ki a ölde, sôt a Hold által keltett fogatónyomaték a Hold közelsége miatt jóval nagyobb. Az ily módon keletkezô fogatónyomatékok együttes hatásának eedménye a öld 4. ábán bemutatott pecessziós mozgása: az úgynevezett luniszoláis pecesszió. A luniszoláis pecesszió soán a öld fogástengelye, az és az égi egyenlítô síkja 23,5 -os hajlásszögének megfelelôen, 2 23,5 = 47 -os nyílásszögû kúp palástja mentén mozog úgy, hogy egy teljes köüljáást közel év alatt végez. Ez a 4. ába tanúsága szeint azt jelenti, hogy a öld fogástengelyének északi iánya köülbelül 5 évvel ezelôtt az Alfa Daconis csillag közelébe mutatott, az égi pólus jelen- 23,5 1 leg az Alfa Usa Minois (Polais) közelében van és köülbelül 5 év múlva az Alfa Cephei közelében lesz. Így a jelenleg élô geneációknak csupán véletlen szeencséje, hogy az égi északi pólus helyéhez közel viszonylag fényes csillag, a akcsillag található. A planetáis pecesszió Mivel a Napendsze bolygói nem az síkjában keingenek a Nap köül, ezét tömegvonzási hatásuka a öld keingési síkja állandóan lassú ingadozásban van a bolygók közepes pályasíkjához képest. Emiatt az síkjának és az égi egyenlítô síkjának hajlásszöge közel 4 éves peiódussal köülbelül 22 és 24,5 között ingadozik, vagyis az nomálisa közel 4 éves peiódussal köbevándool egy köülbelül 2,5 fokos nyílásszögû kökúp palástja mentén (5. ába). Mivel így folyamatosan változik az pólusának helyzete, az égi pólus mozgását ehhez viszonyítva, az pólusának mozgását is a fogástengely pecessziós mozgásaként észleljük. A jelenséget planetáis pecessziónak nevezzük. A planetáis pecessziót tehát az síkjának billegése okozza. Az pólusának ezzel a mozgásával 4 éves peiódussal hol kissé szétnyílik, hol kissé összezáódik a pecessziós kúp nyílásszöge, ily módon a luniszoláis pecessziós kúp nyílásszöge nem stabilan 47 fok, hanem közel 4 éves peiódussal köülbelül 2 22 = 44 és 2 24,5 =49 között ingadozik. Valójában az töténik, hogy az síkjának mozgása miatt 4 éves peiódussal folyamatosan más-más iányban látható a öldôl a Nap és a Hold, és így az 5. ába tanúsága szeint változik a és a ész-tömegközéppontok távolsága az síkjától. Ezzel pedig mivel változik az eô kaja folyamatosan változik (ingadozik) a pecessziós mozgást elôidézô fogatónyomaték. 5. ába. A planetáis pecesszió. 2 nomálisa 24, , Nap iánya Nap iánya 2 évvel késõbb 154 IZIKAI ZEMLE 213 / 5

4 A luniszoláis és a planetáis pecessziós mozgás eedôje az általános pecesszió, más néven a nomálpecesszió. A nomálpecessziós mozgás soán az pólusának változása miatt az égi pólus nem pontosan a 4. ába felsô észén látható köpálya mentén mozdul el, hanem az állócsillagokhoz viszonyítva a köpályát közelítô, de valójában önmagában nem záódó göbe mentén vándool, és egy teljes köüljáás ideje is kissé megnô, közel éve. A pecessziózava A Hold, a Nap és a bolygók öldhöz viszonyított elatív helyzetváltozásai következtében a ölde idôben változó fogatónyomaték hat, ezét a nomálpeceszsziós mozgása különbözô övidebb peiódusú ingadozások akódnak. A fogástengely pecessziós mozgásának ezen övidpeiódusú változásait sokan helytelenül csillagászati nutációnak nevezik. Valójában ennek semmi köze a nutációhoz, csupán fomailag megtévesztôen hasonlít egy nutációs mozgás övidebb hullámaihoz. Célszeû ezét ezt a jelenséget inkább pecessziózavanak nevezni. A pecessziózava több különbözô peiódusú és amplitúdójú mozgásból tevôdik össze és akódik á a hosszúpeiódusú (szekuláis) pecessziós mozgása. A Nap és a öld egymáshoz viszonyított helyzetváltozásai miatt két fontosabb peiódusa van. A Nap által a öld egyenlítôi tömegtöbbletée kifejtett fogatónyomaték nagysága a Nap deklinációjának szögétôl (a öld egyenlítô síkja feletti magasságától) függ. A 4. ába például a téli napfoduló helyzetében ábázolja a öldet, amiko δ = 23,5. Ekko és a nyái napfoduló napján (amiko δ = +23,5 ) a Nap maximális fogatónyomatékot fejt ki a ölde. A két helyzet között csökken, illetve növekszik a fogatónyomaték. A tavaszi és az ôszi napéjegyenlôség pillanatában a öld két egyenlítôi tömegtöbbletének 4. ábán ételmezett és súlypontja azonos távolsága van a Naptól, ekko tehát 6. ába. A pecessziózava lunáis fôtagjának hatása. 2 nomálisa Hold iánya Nap iánya Hold iánya 9,3 évvel késõbb a pecessziót okozó fogatónyomaték nulla. Ennek megfelelôen, a Nap deklinációjának változása miatt, fél éves peiódussal változik a öld pecessziós mozgása. Ehhez egy éves peiódusú pecessziós változás is jául, ami annak következménye, hogy a öld ellipszis alakú pályán keing a Nap köül és ezáltal egy éves peiódussal változik a Naptól mét távolsága, illetve ennek megfelelôen a fogatónyomaték. Többek között teljesen hasonló jellegû, de övidebb peiódusú és nagyobb amplitúdójú változásokat okoz a Hold a öld köüli keingése soán. A Hold a öld köüli pályáját közel 28 nap alatt futja be, ezét a Hold deklinációjának változása miatt adódó peceszsziós peiódus köülbelül 14 napos, az ellipszispályán töténô keingés miatti változó öld Hold-távolságból számazó peiódus pedig 28 napos. A Hold mozgásának azonban ezeknél jóval makánsabb hatása is van. Ez annak a következménye, hogy a Hold más síkban keing a öld köül, mint amelyben a öld keing a Nap köül. A Hold pályasíkja közel 5 9 szöget zá be az síkjával, a Hold pályasíkjának az síkjával alkotott metszésvonala (a holdpálya csomóvonala) pedig az síkjában 18,6 éves peiódussal hátáló iányban köbevándool. Ennek következménye a pecesszió szempontjából jól látható a 6. ábán. Ennek hatása nagyon hasonlít a planetáis peceszszió 5. ábán bemutatott hatásához. Valójában itt is az töténik, hogy a holdpálya síkjának mozgása miatt 18,6 éves peiódussal folyamatosan más-más iányban látható a öldôl a Hold, és ezzel a 6. ába tanúsága szeint folyamatosan változik a és a ész-tömegközéppontok távolsága a holdpálya síkjától. Ezzel pedig, mivel folyamatosan változik az eô kaja, folyamatosan változik (ingadozik) a pecessziós mozgást elôidézô fogatónyomaték. A pecessziózava holdpálya csomóvonala mozgásából számazó tagja sokszoosan nagyobb, mint a pecessziót alkotó összes többi ingadozás együttesen, ezét ezt a pecessziózava lunáis fôtagjának nevezzük. A öld fogási szögsebességvektoa tehát az síkjának a öld tömegközéppontján átmenô nomálisa köül jelenleg köülbelül 47 -os közepes csúcsszöggel a 6. ábán látható hullámos kúppalást mentén közel 26 éves peiódussal vándool köbe. Ennek megfelelôen az égi pólusok (az északi és a déli pólus) az pólusaitól 23,5 közepes pólustávolságban hullámos köpálya mentén mozognak. A hullámok közül kiemelkedôen legnagyobb a pecessziózava lunáis fôtagjának 18,6 éves peiódusú hulláma. Az pólusa köül az égi pólusok által leít pecessziós köön a pecessziózava lunáis fôtagjának mintegy 26 /18,6 14 hulláma van. E hullámok amplitúdója köülbelül 9 (ennyi a fogástengely hajlásának ingadozása: az úgynevezett fedeségi tag), hullámhossza pedig közel 15,6. VÖLGYEI LAJO: A ÖLD PRECEZIÓ MOZGÁA 155

5 23,5 pecessziós ellipszis 9 pólusa ,6 7. ába. A pecessziós ellipszis. közepes égi pólus pályája valódi égi pólus pályája A pecessziós mozgást a pecessziózava fôtagjával együttesen szokás a 7. ábán látható úgynevezett pecessziós ellipszissel is szemléltetni. (Nem szeencsés a gyakolatban eddig elteje nutációs ellipszis elnevezés, hiszen ennek a nutációhoz szintén semmi köze.) Eszeint a pecessziós ellipszis középpontja az pólusa köül 23,5 pólustávolságban egyenletes sebességgel vándool és tesz meg egy teljes köt közel 26 év alatt, miközben a valódi a pillanatnyi égi pólus a pecessziós ellipszis mentén mozog 18,6 éves peiódussal. A pecessziós ellipszis 9 távolságú fél nagytengelye mindig az pólusa iányába mutat, a 7 távolságú fél kistengelye pedig ee meôleges. A fentiek alapján világosan látható, hogy a csillagászati nutáció helytelen elnevezés, egyészt met nem csillagászati, másészt pedig nem is nutáció. Elvileg pesze bámit báminek elnevezhetünk, azonban szabadságunk mégsem teljes, met egyaánt nem szeencsés, például egy kislányt Ádámnak, vagy a pecessziót nutációnak nevezni. A Hold, a Nap és a bolygók öldhöz viszonyított elatív helyzetváltozásai miatt az idôben változó fogatónyomaték következtében kialakuló övidebb peiódusú ingadozások nem nevezhetôk fizikai ételemben nutációnak. Az éintett égitestek bonyolult mozgása miatt ugyanis a pecessziót elôidézô fogatónyomaték változik, ami következtében a öld tömege a hozzá képest ögzített helyzetû fogástengelyével együtt végzi a változó pecessziós mozgását. Ezzel szemben a nutációs mozgás soán a öld fogástengelye nem együtt mozog a öld tömegével, hanem bámiféle fogatónyomaték hatásától függetlenül, a öld tömege, illetve szimmetiatengelye különválva a fogástengelytôl végzi a bonyolult sajátmozgását (ami pusztán abból adódik, hogy a fogás nem pontosan a szimmetiatengely köül töténik). Egyszeûbben fogalmazva a pecessziós mozgásét a öldön kívüli tömegek fogatónyomatéka felelôs, a égi a t > t idõpontban tavaszpont 8. ába. A tavaszpont pecessziós vándolása. égi a t idõpontban nutációs mozgásban viszont kizáólag a öld saját tömegének (tömegeloszlásának) a fogástengelyéhez viszonyított helyzete játszik szeepet. A pecesszió csillagászati és geodéziai hatása A öld pecessziós mozgása a csillagászati megfigyelések szempontjából abban nyilvánul meg, hogy az égi pólus (a öld fogástengelye és az éggömb metszéspontja) az pólusa köül lassan köbevándool (8. ába). Az égi egyenlítô síkja meôleges a öld fogástengelyée, ezét a fogástengely iányának elmozdulása az égi egyenlítô síkjának elfodulásával is já. Tehát az és az égi egyenlítô síkjának metszésvonalában levô ϒ tavaszpont is elmozdul az mentén, ami viszont a csillagászatban használatos ekvatoiális (égi egyenlítôi) koodinátaendsze kiinduló iánya. Így a nomálpecesszió és a pecessziózava az égitestek égi egyenlítôi koodinátáinak (α ektaszcenziójának és δ deklinációjának) folyamatos változását okozzák. A öld tömege a fogástengelyével együtt végzi a leít pecessziós mozgásokat, ezét a földfelszíni pontok fogástengelyhez viszonyított földajzi koodinátái a pecessziós mozgástól függetlenek. Így a földi koodináták, a szintfelületi földajzi szélesség- és hosszúságétékek a nomálpecesszió és a pecessziózava hatásáa nem változnak. A öld nutációs mozgásával (a pólusmozgással) a következô cikkben foglalkozunk. Iodalom 1. Haskó P.: Mee mutat a öld fogástengelye? izikai zemle 62 (212) Völgyesi L.: A pólusmozgás fizikai alapjai. Geomatikai Közlemények V. opon, (22) Völgyesi L.: A öld pecessziós mozgásának fizikai alapjai. Geomatikai Közlemények V. opon, (22) Völgyesi L.: Geofizika. Mûegyetemi Kiadó, Budapest, 22. zekesztõség: 1121 Budapest, Konkoly Thege Miklós út , 31. épület, II.emelet, 315. szoba, Eötvös Loánd izikai Tásulat. Telefon/fax: (1) A Tásulat Intenet honlapja e-postacíme: Kiadja az Eötvös Loánd izikai Tásulat, felelõs: zatmáy Zoltán fõszekesztõ. Kéziatokat nem õzünk meg és nem küldünk vissza. A szezõknek tiszteletpéldányt küldünk. Nyomdai elõkészítés: Kámán túdió, nyomdai munkálatok: OOK-PRE Kft., felelõs vezetõ: zathmáy Attila ügyvezetõ igazgató. Tejeszti az Eötvös Loánd izikai Tásulat, elõfizethetõ a Tásulatnál vagy postautalványon a számú egyszámlán. Megjelenik havonta, egyes szám áa: 8.- t + postaköltség. HU IN (nyomtatott) és HU IN (online) 156 IZIKAI ZEMLE 213 / 5

ELLIPSZISLEMEZ MÁSODRENDŰ RÖGZÍTÉSE. Írta: Hajdu Endre

ELLIPSZISLEMEZ MÁSODRENDŰ RÖGZÍTÉSE. Írta: Hajdu Endre ELLIPSZISLEMEZ MÁSODRENDŰ RÖGZÍTÉSE Íta: Hajdu Ende Egy pénzémének vagy egyéb lemezidomnak saját síkjában töténő elmozgathatósága meggátolható oly módon, hogy a lemez peeme mentén, alkalmasan megválasztott

Részletesebben

Merev testek kinematikája

Merev testek kinematikája Mechanka BL0E- 3. előadás 00. októbe 5. Meev testek knematkáa Egy pontendszet meev testnek tekntünk, ha bámely két pontának távolsága állandó. (f6, Eule) A meev test tetszőleges mozgása leíható elem tanszlácók

Részletesebben

A magnetosztatika törvényei anyag jelenlétében

A magnetosztatika törvényei anyag jelenlétében TÓTH A.: Mágnesség anyagban (kibővített óavázlat) 1 A magnetosztatika tövényei anyag jelenlétében Eddig: a mágneses jelenségeket levegőben vizsgáltuk. Kimutatható, hogy vákuumban gyakolatilag ugyanolyanok

Részletesebben

Mit nevezünk nehézségi erőnek?

Mit nevezünk nehézségi erőnek? Mit nevezünk nehézségi erőnek? Azt az erőt, amelynek hatására a szabadon eső testek g (gravitációs) gyorsulással esnek a vonzó test centruma felé, nevezzük nehézségi erőnek. F neh = m g Mi a súly? Azt

Részletesebben

4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR

4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR 4. STACONÁRUS MÁGNESES TÉR Az időben állandó sebességgel mozgó töltések keltette áam nemcsak elektomos, de mágneses teet is kelt. 4.1. A mágneses té jelenléte 4.1.1. A mágneses dipólus A tapasztalat azt

Részletesebben

f r homorú tükör gyűjtőlencse O F C F f

f r homorú tükör gyűjtőlencse O F C F f 0. A fény visszaveődése és töése göbült hatáfelületeken, gömbtükö és optikai lencse. ptikai leképezés kis nyílásszögű gömbtükökkel, és vékony lencsékkel. A fő sugámenetek ismetetése. A nagyító, a mikoszkóp

Részletesebben

IVÁNYI AMÁLIA HARDVEREK VILLAMOSSÁGTANI ALAPJAI

IVÁNYI AMÁLIA HARDVEREK VILLAMOSSÁGTANI ALAPJAI IVÁNYI AMÁLIA HARDVEREK VILLAMOSSÁGTANI ALAPJAI POLLACK PRESS, PÉCS HARDVEREK VILLAMOSSÁGTANI ALAPJAI Lektoálta D. Kuczmann Miklós, okl. villamosménök egyetemi taná Széchenyi István Egyetem, Győ A feladatokat

Részletesebben

Elektrosztatika (Vázlat)

Elektrosztatika (Vázlat) lektosztatika (Vázlat). Testek elektomos állapota. lektomos alapjelenségek 3. lektomosan töltött testek közötti kölcsönhatás 4. z elektosztatikus mezőt jellemző mennyiségek a) elektomos téeősség b) Fluxus

Részletesebben

Fizika I. (Mechanika, áramlástan, reológia, fénytan) előadási jegyzet Élelmiszermérnök, Szőlész-borász mérnök és Biomérnök BSc hallgatóknak

Fizika I. (Mechanika, áramlástan, reológia, fénytan) előadási jegyzet Élelmiszermérnök, Szőlész-borász mérnök és Biomérnök BSc hallgatóknak Fizika I. (Mecanika, áamlástan, eológia, fénytan) előadási jegyzet Élelmiszeménök, Szőlész-boász ménök és Bioménök BSc allgatóknak D. Fita Feenc Fizika-Automatika Tanszék Tatalom 0 (- 05..). Statika, kinematika

Részletesebben

1. gyakorlat. Egyenletes és egyenletesen változó mozgás. 1. példa

1. gyakorlat. Egyenletes és egyenletesen változó mozgás. 1. példa 1. gyakorlat Egyenletes és egyenletesen változó mozgás egyenletes mozgás egyenletesen változó mozgás gyorsulás a = 0 a(t) = a = állandó sebesség v(t) = v = állandó v(t) = v(0) + a t pályakoordináta s(t)

Részletesebben

Fizika I. (Mechanika, áramlástan, reológia, fénytan) előadási jegyzet Élelmiszermérnök, Szőlész-borász mérnök és Biomérnök BSc hallgatóknak

Fizika I. (Mechanika, áramlástan, reológia, fénytan) előadási jegyzet Élelmiszermérnök, Szőlész-borász mérnök és Biomérnök BSc hallgatóknak Fizika I. (Mecanika, áamlástan, eológia, fénytan) előadási jegyzet Élelmiszeménök, Szőlész-boász ménök és Bioménök BSc allgatóknak Tatalom D. Fita Feenc Fizika-Automatika Tanszék 05. Statika, kinematika

Részletesebben

Mobilis robotok irányítása

Mobilis robotok irányítása Mobiis obotok iánítása. A gakoat céja Mobiis obotok kinematikai modeezése Matab/Simuink könezetben. Mobiis obotok Ponttó Pontig (PTP) iánításának teezése és megaósítása.. Eméeti beezet Mobiis obotok heátoztatása

Részletesebben

7.2 Az infláció okozta jóléti veszteség

7.2 Az infláció okozta jóléti veszteség 7.2 Az infláció okozta jóléti veszteség Elemezésünk kiindulópontja a pénzügytanból jól ismet Fishe-tétel, amelynek ételmében a nominális kamatláb () megközelítőleg egyenlő a eálkamatláb ( ) és az inflációs

Részletesebben

Haladó mozgások A hely és a mozgás viszonylagos. A testek helyét, mozgását valamilyen vonatkoztatási ponthoz, vonatkoztatási rendszerhez képest adjuk

Haladó mozgások A hely és a mozgás viszonylagos. A testek helyét, mozgását valamilyen vonatkoztatási ponthoz, vonatkoztatási rendszerhez képest adjuk Haladó mozgások A hely és a mozgás viszonylagos. A testek helyét, mozgását valamilyen vonatkoztatási ponthoz, vonatkoztatási rendszerhez képest adjuk meg, ahhoz viszonyítjuk. pl. A vonatban utazó ember

Részletesebben

2014/2015. tavaszi félév

2014/2015. tavaszi félév Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés

Részletesebben

XV. Tornyai Sándor Országos Fizikai Feladatmegoldó Verseny a református középiskolák számára Hódmezővásárhely, 2011. április 1-3. 9.

XV. Tornyai Sándor Országos Fizikai Feladatmegoldó Verseny a református középiskolák számára Hódmezővásárhely, 2011. április 1-3. 9. A vesenydolgozatok megíásáa 3 óa áll a diákok endelkezésée, minden tágyi segédeszköz tesztek teljes és hibátlan megoldása 20 pontot é, a tesztfeladat esetén a választást meg kell indokolni. 1. 4 db játék

Részletesebben

A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása

A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása Nyomaték (x 0 Nm) O k t a t á si Hivatal A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása./ A mágnes-gyűrűket a feladatban meghatározott sorrendbe és helyre rögzítve az alábbi táblázatban feltüntetett

Részletesebben

Az idő története múzeumpedagógiai foglalkozás

Az idő története múzeumpedagógiai foglalkozás Az idő története múzeumpedagógiai foglalkozás 2. Ismerkedés a napórával FELADATLAP A az egyik legősibb időmérő eszköz, amelynek elve azon a megfigyelésen alapszik, hogy az egyes testek árnyékának hossza

Részletesebben

é ö é Ö é ü é é ö ö ö ü é é ö ú ö é é é Ő ö é ü é ö é é ü é é ü é é é ű é ö é é é é é é é ö ö í é ü é ö ü ö ö é í é é é ö ü é é é é ü ö é é é é é é é é é é é é é é é ö é Í ö í ö é Í í ö é Í é í é é é é

Részletesebben

205 00 00 00 Mûszertan

205 00 00 00 Mûszertan 1. oldal 1. 100710 205 00 00 00 Mûszertan A sebességmérõ olyan szelencés mûszer, mely nyitott Vidi szelence segítségével méri a repülõgép levegõhöz viszonyított sebességét olyan szelencés mûszer, mely

Részletesebben

í ö í í ú ű í í í ú í ű í Ü ö ö ö ü ö ö ö í ö ö ö ö Ö Á ö ö É ö ö ú ú ö ö ú ö í Á Á ö Ü Ú í ÁÁ ö í ö í í ú ű í ö ö í ú É í ű í ö ö É í í ű í ű í É í í ü ű ü ű í Á Á í ü í ü í ü ö ű ö É ü É ú Á Ó í í í

Részletesebben

Ö ü ö ü Ö Ö ü ú ó ü ö ö Ö ó Ö ö ú ö ó ö ö ó ö ö ö í í ö ö ü ü ö í ü ö ö í ö í ó ü ö ö í ü í ö í ü ú ü ö Ö ü ö ű ó í ó ó ó ö í ü ó ó ó ö ö ó ö í ó ü ó ó ö ö ü ó ö ö ó ó ó ü ü ó ó ö ö ü í ö ű ö ű ö ö ű í

Részletesebben

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:

Részletesebben

Bokor Mónika. Doktori disszertáció. Témavezető: Vértes Attila Tompa Kálmán 1999.

Bokor Mónika. Doktori disszertáció. Témavezető: Vértes Attila Tompa Kálmán 1999. Molekuláis mozgások vizsgálata hexakisz-(-alkil- H-tetazol)-vas(II) és -cink(ii) bótetafluoid kistályokban multinukleáis magspin-ács elaxáció alapján Boko Mónika Doktoi disszetáció Témavezető: Vétes Attila

Részletesebben

A BEFOGÁS STABILITÁSA A KORLÁTOZOTT HÁROMTEST- PROBLÉMÁBAN

A BEFOGÁS STABILITÁSA A KORLÁTOZOTT HÁROMTEST- PROBLÉMÁBAN A BEFOGÁS STABILITÁSA A KORLÁTOZOTT HÁROMTEST- PROBLÉMÁBAN FRÖHLICH GEORGINA Eötvös Loánd Tudományegyetem Temészettudományi Ka Fizika, Csillagász szak Témavezető: D. Édi Bálint tanszékvezető egyetemi taná

Részletesebben

Az úszás biomechanikája

Az úszás biomechanikája Az úszás biomechanikája Alapvető összetevők Izomerő Kondíció állóképesség Mozgáskoordináció kivitelezés + Nem levegő, mint közeg + Izmok nem gravitációval szembeni mozgása + Levegővétel Az úszóra ható

Részletesebben

MECHANIKA I. /Statika/ 1. előadás SZIE-YMM 1. Bevezetés épületek, építmények fizikai hatások, köztük erőhatások részleges vagy teljes tönkremenetel használhatatlanná válás anyagi kár, emberáldozat 1 Cél:

Részletesebben

Ábragyűjtemény levelező hallgatók számára

Ábragyűjtemény levelező hallgatók számára Ábragyűjtemény levelező hallgatók számára Ez a bemutató a tanszéki Fizika jegyzet kiegészítése Mechanika I. félév 1 Stabilitás Az úszás stabilitása indifferens a stabil, b labilis S súlypont Sf a kiszorított

Részletesebben

5.osztály 1.foglalkozás. 5.osztály 2.foglalkozás. hatszögéskörök

5.osztály 1.foglalkozás. 5.osztály 2.foglalkozás. hatszögéskörök 5.osztály 1.foglalkozás 5.osztály 2.foglalkozás hatszögéskörök cseresznye A cseresznye zöld száránál az egyeneshez képest 30-at kell fordulni! (30 fokot). A cseresznyék között 60 egység a térköz! Szétszedtem

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

A test tömegének és sebességének szorzatát nevezzük impulzusnak, lendületnek, mozgásmennyiségnek.

A test tömegének és sebességének szorzatát nevezzük impulzusnak, lendületnek, mozgásmennyiségnek. Mozgások dinamikai leírása A dinamika azzal foglalkozik, hogy mi a testek mozgásának oka, mitől mozognak úgy, ahogy mozognak? Ennek a kérdésnek a megválaszolása Isaac NEWTON (1642 1727) nevéhez fűződik.

Részletesebben

É É Ó É É ő É É Ú É É ő Ú Ú Ó Ü ő É Ü É Ó ő É Ó Ú Ö Ö Ó ő Ó Ú Ú Ó ő Ú Ú É É É É Ü É Ó É É É Ó É Ó É Ú É É É Ó É ő ő ű ő ő ő ő ő ő ő Ú ű Ú ő ő ű ő ő ű ű ő Ú Ü ő Ú Ú ő Ú Ú ő ő ű ő ő ő ő ű ű ő ő Ü ő ű ő ő

Részletesebben

Foucault ingakísérlete a Szegedi Dómban

Foucault ingakísérlete a Szegedi Dómban Foucault ingakísérlete a Szegedi Dómban 2005. április 13. És mégis mozog a Föld A világról alkotott kép alakulása Ókorban 6 bolygót ismertek (Merkur,..., Szaturnusz) Ptolemaiosz (120-160) A geocentrikus

Részletesebben

Pénzügyi ismeretek. Dülk Marcell 2012/2013/2

Pénzügyi ismeretek. Dülk Marcell 2012/2013/2 Pénzügyi ismeetek Dülk Macell 2012/2013/2 Rövid ismetető Dülk Macell, dulk@finance.bme.hu, QA337 Jegyzetek, diák Számonkéés Miől lesz szó? Nettó jelenéték fogalma és számítása Pénzáamlások becslése Tőkeköltség

Részletesebben

a domború tükörrıl az optikai tengellyel párhuzamosan úgy verıdnek vissza, meghosszabbítása

a domború tükörrıl az optikai tengellyel párhuzamosan úgy verıdnek vissza, meghosszabbítása α. ömbtükök E gy gömböt síkkal elmetszve egy gömbsüveget kapunk (a sík a gömböt egy köben metsz). A gömbtükök gömbsüveg alakúak, lehetnek homoúak (konkávok) vagy domboúak (konvexek) annak megfelelıen,

Részletesebben

( X ) 2 összefüggés tartalmazza az induktív és a kapacitív reaktanciát, amelyek értéke a frekvenciától is függ.

( X ) 2 összefüggés tartalmazza az induktív és a kapacitív reaktanciát, amelyek értéke a frekvenciától is függ. 5.A 5.A 5.A Szinszos mennyiségek ezgıköök Ételmezze a ezgıköök ogalmát! ajzolja el a soos és a páhzamos ezgıköök ezonanciagöbéit! Deiniálja a ezgıköök hatáekvenciáit, a ezonanciaekvenciát, és a jósági

Részletesebben

Á Á Á Á Á ö ő ü Ü ö ő ú ű ő ü ü ő ű ö ű ő ö ö ő ö ő ő ő ő ő ő ő ő ő ű ő ő ű ö ö ö ő ő Ü ő ő ű ö ő ő Ü ű ö ö ö ö ö ö ö ü ö ö ú ü ő ü ű ö ö ü ű ő ö ő ö ő ű ő ö ő ü ö ű ő ö ö Ü ö ö ő ő ö ő ű ő ő ü ö ő ő ú

Részletesebben

É ö í ö í í ű ö ö ú í í ú í ó Ó ö ú í ö ú í ű ö ü ó ü ó í ó ó ű ü í ű ö ó ó í ö Ü Ó í ó ű ó í ó ö ü ó í í ö ö í ó ö ú í ó ó í ó Ü ó í ü ű ö ü ó ó ö ö ö ö í ö ú Ó í í í ü ó ö ü í ó í Á Ó í ó ó ó ú Á ö í

Részletesebben

ű ü ű ű ű ű ö Á ö ö ú ú ö ö ö ü ö ö ö ű ö ú ú ű ö ö ü ö ö ú ö ü ü ö ü ö ű ö ö ü ö ö ü ö ü ü ü ö ö ö ö ű ö ű ü ö ö ü ű ö ü ö ű ü ű ö ö ú ű ö ú ö ö ü ű ű ö ű ü ö ű ö ö ö ú ö ü ö ö ö ö ú ü ü ö ö ü ö ö ö ö

Részletesebben

É á á á ö á á á á á á á á á ű á á á á á á á ű á á á ö á á á á á á á á á á á á á á á ű á ű á á á ö á á ú á á á á á ö ű á ű á á ü á á á É É ú É ü É ü Ú Á É ú Ú Á É Ü É Ú É Ú ű á ű á á ü Í Ú ü Á á É É ű á

Részletesebben

ó Ü ő É ó ó ő Ó Ó í ő ó ő Ö É ó ő ú Ü í ó Ú ő Ó Ó í ó ő ó É ó É ó ö ö ű Ö ő Ó ő ó ó Éó Ó É Ó Ó Ő ó É ó ó Ó É Ó ó ö í Ó ö í ű Ó í í ö Ü ű ó í ó ö ű Ó Ö Ö ó Ö Ó í ö ü ű ú ü ú ő ó í ó ó Ú ú í í í ó Ö ü ő

Részletesebben

5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR

5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR A koábbikbn külön, egymásól függelenül izsgáluk nyugó ölések elekomos eé és z időben állndó ám elekomos és mágneses eé Az elekomágneses é ponosbb modelljé kpjuk, h

Részletesebben

A törési lécről és a törési lépcsőről

A törési lécről és a törési lépcsőről A törési lécről és a törési lépcsőről Ezek a fogalmak az erdészeti tanulmányok során jönnek elő, a fadöntés kapcsán. Magyarázatukhoz tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra forrása: [ 1 ] Itt azt írják, hogy a

Részletesebben

Készítette: Kecskés Bertalan 2012

Készítette: Kecskés Bertalan 2012 Készítette: Kecskés Betln 0 Atom foglm: Az tom z elemeknek zon legkisebb észe, mely még endelkezik z eleme jellemző tuljdonságokkl, és kémiilg tovább nem bonthtó. Az tom felépítése: Az tom áll tommgból

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

A Maxwell - kerékről. Maxwell - ingának is nevezik azt a szerkezetet, melyről most lesz szó. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is!

A Maxwell - kerékről. Maxwell - ingának is nevezik azt a szerkezetet, melyről most lesz szó. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! 1 A Maxwell - kerékről Maxwell - ingának is nevezik azt a szerkezetet, melyről most lesz szó. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! 1. ábra forrása: [ 1 ] Itt azt láthatjuk, hogy egy r sugarú kis hengerre felerősítettek

Részletesebben

A napenergia magyarországi hasznosítását támogató új fejlesztések az Országos Meteorológiai Szolgálatnál

A napenergia magyarországi hasznosítását támogató új fejlesztések az Országos Meteorológiai Szolgálatnál A napenergia magyarországi hasznosítását támogató új fejlesztések az Országos Meteorológiai Szolgálatnál Nagy Zoltán, Tóth Zoltán, Morvai Krisztián, Szintai Balázs Országos Meteorológiai Szolgálat A globálsugárzás

Részletesebben

MÁGNESES TÉR, INDUKCIÓ

MÁGNESES TÉR, INDUKCIÓ Egy vezetéket 2 cm átmérőjű szigetelő testre 500 menettel tekercselünk fel, 25 cm hosszúságban. Mekkora térerősség lép fel a tekercs belsejében, ha a vezetékben 5 amperes áram folyik? Mekkora a mágneses

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

Antennák és hullámterjedés 6 óra

Antennák és hullámterjedés 6 óra Antennák és ullámtejeés 6 óa. Antennák óa.a. Antennák alapfogalmak aás, vétel, szóás.b. Antennák elektomos tulajonságai bemeneti ill. sugázási jellemzők. Antennák típusai uzalantennák, apetua antennák,

Részletesebben

Gyakorló feladatok Egyenletes mozgások

Gyakorló feladatok Egyenletes mozgások Gyakorló feladatok Egyenletes mozgások 1. Egy hajó 18 km-t halad északra 36 km/h állandó sebességgel, majd 24 km-t nyugatra 54 km/h állandó sebességgel. Mekkora az elmozdulás, a megtett út, és az egész

Részletesebben

Digitális tananyag a fizika tanításához

Digitális tananyag a fizika tanításához Digitális tananyag a fizika tanításához Ismétlés Erőhatás a testek mechanikai kölcsönhatásának mértékét és irányát megadó vektormennyiség. jele: mértékegysége: 1 newton: erőhatás következménye: 1N 1kg

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Atomok (molekulák) fotoionizációja során jelentkező rezonanciahatások Resonance Effects in the Photoionization of Atoms (Molecules)

Atomok (molekulák) fotoionizációja során jelentkező rezonanciahatások Resonance Effects in the Photoionization of Atoms (Molecules) Atomok (molekulák) fotoionizációja soán jelentkező ezonanciahatások Resonance Effects in the Photoionization of Atoms (Molecules) BORBÉLY Sándo, NAGY László Babeş-Bolyai Tudományegyetem, Fizika ka, 484

Részletesebben

A.2. Acélszerkezetek határállapotai

A.2. Acélszerkezetek határállapotai A.. Acélszerkezetek határállapotai A... A teherbírási határállapotok első osztálya: a szilárdsági határállapotok A szilárdsági határállapotok (melyek között a fáradt és rideg törést e helyütt nem tárgyaljuk)

Részletesebben

Elektromágnesség tesztek

Elektromágnesség tesztek Elektromágnesség tesztek 1. Melyik esetben nem tapasztalunk vonzóerőt? a) A mágnesrúd északi pólusához vasdarabot közelítünk. b) A mágnesrúd közepéhez vasdarabot közelítünk. c) A mágnesrúd déli pólusához

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

METEOROLÓGIAI MÉRÉSEK és MEGFIGYELÉSEK

METEOROLÓGIAI MÉRÉSEK és MEGFIGYELÉSEK METEOROLÓGIAI MÉRÉSEK és MEGFIGYELÉSEK Földtudomány BSc Mészáros Róbert Eötvös Loránd Tudományegyetem Meteorológiai Tanszék MIÉRT MÉRÜNK? A meteorológiai mérések célja: 1. A légkör pillanatnyi állapotának

Részletesebben

Mérés: Millikan olajcsepp-kísérlete

Mérés: Millikan olajcsepp-kísérlete Mérés: Millikan olajcsepp-kísérlete Mérés célja: 1909-ben ezt a mérést Robert Millikan végezte el először. Mérése során meg tudta határozni az elemi részecskék töltését. Ezért a felfedezéséért Nobel-díjat

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

CSILLAGÁSZATI TESZT. 1. Csillagászati totó

CSILLAGÁSZATI TESZT. 1. Csillagászati totó CSILLAGÁSZATI TESZT Név: Iskola: Osztály: 1. Csillagászati totó 1. Melyik bolygót nevezzük a vörös bolygónak? 1 Jupiter 2 Mars x Merkúr 2. Melyik bolygónak nincs holdja? 1 Vénusz 2 Merkúr x Szaturnusz

Részletesebben

Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között

Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között A különböző időpontokban, különböző körülmények között rögzített pontok földi koordinátái különböző alapfelületekre (ellipszoidokra geodéziai dátumokra)

Részletesebben

Elektrosztatika. 1.2. Mekkora két egyenlő nagyságú töltés taszítja egymást 10 m távolságból 100 N nagyságú erővel? megoldás

Elektrosztatika. 1.2. Mekkora két egyenlő nagyságú töltés taszítja egymást 10 m távolságból 100 N nagyságú erővel? megoldás Elektrosztatika 1.1. Mekkora távolságra van egymástól az a két pontszerű test, amelynek töltése 2. 10-6 C és 3. 10-8 C, és 60 N nagyságú erővel taszítják egymást? 1.2. Mekkora két egyenlő nagyságú töltés

Részletesebben

Á ó Á Ü É Ú Í Á í ó ó ó ó ó ó ö őí ó ó ü ű í ó ő ú ö ő ó ó í ó í ó ó ő í í í Í ó ó ó ö ó ó í ó í ö í ó ű í Íő ó ó ó ő í ó ő í ó ó ő í ö ó ü ö ó í ü í í ű ó ö ó í ó ö ö ö í ő í ó ó É É í ő ő í í ü ö í í

Részletesebben

SZAKÁLL SÁNDOR, ÁsVÁNY- És kőzettan ALAPJAI

SZAKÁLL SÁNDOR, ÁsVÁNY- És kőzettan ALAPJAI SZAKÁLL SÁNDOR, ÁsVÁNY- És kőzettan ALAPJAI 7 KRISTÁLYTAN VII. A KRIsTÁLYOK szimmetriája 1. BEVEZETÉs Az elemi cella és ebből eredően a térrácsnak a szimmetriáját a kristályok esetében az atomok, ionok

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

Az Eötvös-ingától a GOCE műholdig

Az Eötvös-ingától a GOCE műholdig Az Eötvös-ingától a GOCE műholdig Földváry Lóránt BME Általános- és Felsőgeodézia Tanszék Elhangzott előadás a Magyar Mérnök Kamara, Geodéziai és Geoinformatikai Tagozatának taggyűlésén, Budapesti Műszaki

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

A 2004. ÉVI EÖTVÖS-VERSENY FELADATA: A KEPLER-PROBLÉMA MÁGNESES TÉRBEN

A 2004. ÉVI EÖTVÖS-VERSENY FELADATA: A KEPLER-PROBLÉMA MÁGNESES TÉRBEN Debecen DEBRECENI EGYETEM Eléleti Fizika Tanszék (Saile Konél MTA oktoa) Izotópalkalazási Tanszék (Kónya József ké. tu. oktoa) KLTE ATOMKI Közös Tanszék (Kiss Ápá Zoltán fiz. tu. oktoa) Kíséleti Fizikai

Részletesebben

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki.

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. Számítás:. Olvassuk be két pont koordinátáit: (, y) és (2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. 2. Olvassuk be két darab két dimenziós vektor komponenseit: (a, ay) és (b, by). Határozzuk

Részletesebben

A pénzügyi számítások alapjai II. Az értékpapírok csoportosítása. Az értékpapírok csoportosítása. értékpapírok

A pénzügyi számítások alapjai II. Az értékpapírok csoportosítása. Az értékpapírok csoportosítása. értékpapírok A pénzügyi számítások alapjai II. étékpapíok Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Ka Pénzügyi Tanszék Galbács Péte doktoandusz Az étékpapíok csopotosítása Tulajdonosi jogot (észesedési viszonyt) megtestesítő

Részletesebben

A FÖLD KÖRNYEZETE ÉS A NAPRENDSZER

A FÖLD KÖRNYEZETE ÉS A NAPRENDSZER A FÖLD KÖRNYEZETE ÉS A NAPRENDSZER 1. Mértékegységek: Fényév: az a távolság, amelyet a fény egy év alatt tesz meg. A fény terjedési sebessége: 300.000 km/s, így egy év alatt 60*60*24*365*300 000 km-t,

Részletesebben

EGYENES VONALÚ MOZGÁSOK KINEMATIKAI ÉS DINAMIKAI LEÍRÁSA

EGYENES VONALÚ MOZGÁSOK KINEMATIKAI ÉS DINAMIKAI LEÍRÁSA EGYENES VONALÚ MOZGÁSOK KINEMATIKAI ÉS DINAMIKAI LEÍRÁSA 1. A kinematika és a dinamika tárgya. Egyenes onalú egyenletes mozgás a) Kísérlet és a belőle leont köetkeztetés b) A mozgás jellemző grafikonjai

Részletesebben

29. Nagy László Fizikaverseny Szalézi Szent Ferenc Gimnázium, Kazincbarcika 2014. február 27 28. 9. osztály

29. Nagy László Fizikaverseny Szalézi Szent Ferenc Gimnázium, Kazincbarcika 2014. február 27 28. 9. osztály 9. Nagy László Fizikaverseny 014. február 7 8. 1. feladat Adatok: H = 5 m, h = 0 m. A H magasságban elejtett test esési idejének (T 13 ) és a részidők (T 1, T 3 ) meghatározása: H g 13 13 = = =,36 s H

Részletesebben

Bevezetés a diadikus adatelemzésbe elmélet és alkalmazás

Bevezetés a diadikus adatelemzésbe elmélet és alkalmazás Tanulmányok Bevezetés a diadikus adatelemzésbe elmélet és alkalmazás Gelei Andea PhD, a Budapesti Covinus Egyetem egyetemi docense E-mail: andea.gelei@unicovinus.hu Dobos Ime DSc, a Budapesti Covinus Egyetem

Részletesebben

1. feladat. CAD alapjai c. tárgyból nappali tagozatú ipari formatervező szakos mérnök hallgatóknak

1. feladat. CAD alapjai c. tárgyból nappali tagozatú ipari formatervező szakos mérnök hallgatóknak 1. feladat CAD alapjai c. tárgyból nappali tagozatú ipari formatervező szakos mérnök hallgatóknak Vetületek képzése, alkatrészrajz készítése (formátum: A4) Készítse el a gyakorlatvezető által kiadott,

Részletesebben

A TŐKE KÖLTSÉGE. 7. Fejezet. 7.1. Források tőkeköltsége. 7.1.2 Saját tőke költsége. 7.1.1. Hitel típusú források tőkeköltsége DIV DIV

A TŐKE KÖLTSÉGE. 7. Fejezet. 7.1. Források tőkeköltsége. 7.1.2 Saját tőke költsége. 7.1.1. Hitel típusú források tőkeköltsége DIV DIV 7. Fejezet A TŐKE KÖLTSÉGE 7.1.2 Saját tőke költsége D =hitel tőkeköltsége. i =névleges kamatláb, kötvény esetén n. P n =a kötvény névétéke. =a kötvény áfolyama. P 0 Hitel típusú foások tőkeköltsége, (T

Részletesebben

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR 1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben kitűzött

Részletesebben

ő Ö ő ü ő ó Ó Ő ü ü ő Ö ó ó ű ó ó ó ó ő ő ő ó ó ő ő ő ó ő ő ő Ö ő ü Ő Ö ü ő Ö ó ő ü ü ő ő ő ő ő Ö ó ü ő ő ő ü ü ó ó ó ó ü ő ő ő Ő ü í ő ü ő ü í ó ő í ő Ö ő ó Ö ő ó Ó Ö Ö Ű ő ó Ö Ö ő ő ő ó ő ő ó Ó ó ő ő

Részletesebben

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA Dr`avni izpitni center *P05C10113M* ŐSZI IDŐSZAK MATEMATIKA ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 005. augusztus 9., hétfő SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA RIC 005 P05-C101-1-3M ÚTMUTATÓ a szakmai írásbeli érettségi vizsga feladatainak

Részletesebben

Fogalma. bar - ban is kifejezhetjük (1 bar = 10 5 Pa 1 atm.). A barométereket millibar (mb) beosztású skálával kell ellátni.

Fogalma. bar - ban is kifejezhetjük (1 bar = 10 5 Pa 1 atm.). A barométereket millibar (mb) beosztású skálával kell ellátni. A légnyomás mérése Fogalma A légnyomáson a talajfelszín vagy a légkör adott magasságában, a vonatkoztatás helyétől a légkör felső határáig terjedő függőleges légoszlop felületegységre ható súlyát értjük.

Részletesebben

7. Koordináta méréstechnika

7. Koordináta méréstechnika 7. Koordináta méréstechnika Coordinate Measuring Machine: CMM, 3D-s mérőgép Egyiptomi piramis kövek mérése i.e. 1440 Egyiptomi mérővonalzó, Amenphotep fáraó (i.e. 1550) alkarjának hossza: 524mm A koordináta

Részletesebben

Kényszerrezgések, rezonancia

Kényszerrezgések, rezonancia TÓTH A: Rezgése/ (ibővített óavázlat 13 Kényszeezgése, ezonancia Gyaolatilag is igen fontos eset az, aio egy ezgése épes endsze ezgései valailyen ülső, peiodius hatás (énysze űödése özben zajlana le Az

Részletesebben

A MAGSAT MESTERSÉGES HOLD MÁGNESES ADATAINAK FELDOLGOZÁSA AZ

A MAGSAT MESTERSÉGES HOLD MÁGNESES ADATAINAK FELDOLGOZÁSA AZ A MAGSAT MESTERSÉGES HOLD MÁGNESES M ADATAINAK FELDOLGOZÁSA AZ EURÓPAI RÉGIR GIÓRA Wittmann Géza, Ph.D. PhD eredmények a magyar geofizikában Magyar Tudományos Akadémia 2005. október 28. Mesterséges holdak

Részletesebben

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek 2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,

Részletesebben

ő ü ő ľ ü Ü Ü ľ ź ő ľ ľ ő ő ü ľ ő ö ü ľ ő ő ü ú ź ö ö ö Ĺ ő ö ľő ő ú ű ö ö ľ ü Ę ú ő ü ö ľ ź ő ľ ů ö ľ ź ő ľ ő ö ö ľ ľő ľ Í ő ľ ő ľü ľ ő ľ ľ ź ľ ö ü ú ű ź ő ľ ľ ľ ľ ú ú ľ Á ľ Í ő ö ü ő ź ź Í ö ľ ő ľ ő

Részletesebben

Fizikai olimpiász. 52. évfolyam. 2010/2011-es tanév. B kategória

Fizikai olimpiász. 52. évfolyam. 2010/2011-es tanév. B kategória Fizikai olimpiász 52. évfolyam 2010/2011-es tanév B kategória A kerületi forduló feladatai (további információk a http://fpv.uniza.sk/fo honlapokon találhatók) 1. A Föld mágneses pajzsa Ivo Čáp A Napból

Részletesebben

INFORMATIKA ÁGAZATI ALKALMAZÁSAI. Az Agrármérnöki MSc szak tananyagfejlesztése TÁMOP-4.1.2-08/1/A-2009-0010

INFORMATIKA ÁGAZATI ALKALMAZÁSAI. Az Agrármérnöki MSc szak tananyagfejlesztése TÁMOP-4.1.2-08/1/A-2009-0010 INFORMATIKA ÁGAZATI ALKALMAZÁSAI Az Agrármérnöki MSc szak tananyagfejlesztése TÁMOP-4.1.2-08/1/A-2009-0010 10. GPS, GPRS (mobilkommunikációs) ismeretek Helymeghatározás GPS rendszer alapelve GNSS rendszerek

Részletesebben

A nagyszlabosi és a fiumei papír vízjeleinek megkülönböztetése - II. rész

A nagyszlabosi és a fiumei papír vízjeleinek megkülönböztetése - II. rész A nagyszlabosi és a fiumei papír vízjeleinek megkülönböztetése - II. rész A megjelenés előtt álló új illetékbélyeg-katalógus készítése során részletesen ellenőrizni, és szükség szerint korrigálni kellett

Részletesebben

ahol m-schmid vagy geometriai tényező. A terhelőerő növekedésével a csúszó síkban fellép az un. kritikus csúsztató feszültség τ

ahol m-schmid vagy geometriai tényező. A terhelőerő növekedésével a csúszó síkban fellép az un. kritikus csúsztató feszültség τ Egykristály és polikristály képlékeny alakváltozása A Frenkel féle modell, hibátlan anyagot feltételezve, nagyon nagy folyáshatárt eredményez. A rácshibák, különösen a diszlokációk jelenléte miatt a tényleges

Részletesebben

Reológia Mérési technikák

Reológia Mérési technikák Reológia Mérési technikák Reológia Testek (és folyadékok) külső erőhatásra bekövetkező deformációját, mozgását írja le. A deformációt irreverzibilisnek nevezzük, ha a az erőhatás megszűnése után a test

Részletesebben

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program Regresszió számítás GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program DigiKom Kft. 2006-2010 Tartalomjegyzék: Egyenes x változik Egyenes y változik Egyenes y és x változik Kör Sík z változik Sík y, x és z

Részletesebben

Az általános földi légkörzés. Dr. Lakotár Katalin

Az általános földi légkörzés. Dr. Lakotár Katalin Az általános földi légkörzés Dr. Lakotár Katalin A Nap a Földet egyenlőtlenül melegíti fel máskülönbség légkörzés szűnteti meg légnyo- lokális (helyi), regionális, egy-egy terület éghajlatában fontos szerepű

Részletesebben

1.2. Mozgó, hajlékony és rugalmas tengelykapcsolók.

1.2. Mozgó, hajlékony és rugalmas tengelykapcsolók. 1.2. Mozgó, hajlékony és rugalmas tengelykapcsolók. Tevékenység: Olvassa el a jegyzet 18-29 oldalain található tananyagát! Tanulmányozza át a segédlet 8.2. és 8.3. fejezeteiben lévı kidolgozott feladatait,

Részletesebben

11.3. Az Achilles- ín egy olyan rugónak tekinthető, amelynek rugóállandója 3 10 5 N/m. Mekkora erő szükséges az ín 2 mm- rel történő megnyújtásához?

11.3. Az Achilles- ín egy olyan rugónak tekinthető, amelynek rugóállandója 3 10 5 N/m. Mekkora erő szükséges az ín 2 mm- rel történő megnyújtásához? Fényemisszió 2.45. Az elektromágneses spektrum látható tartománya a 400 és 800 nm- es hullámhosszak között található. Mely energiatartomány (ev- ban) felel meg ennek a hullámhossztartománynak? 2.56. A

Részletesebben

A 35 éves Voyager őrszondák a napszél és a csillagközi szél határán

A 35 éves Voyager őrszondák a napszél és a csillagközi szél határán A 35 éves Voyager őrszondák a napszél és a csillagközi szél határán Király Péter MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont RMKI KFFO İsrégi kérdés: meddig terjedhet Napisten birodalma? Napunk felszíne, koronája,

Részletesebben

ü ő ő ü ő ő ö ö ő ö í ü ő í ö ö í ő ö ő ű ú ő í ü ő ö ő Í ö ö ő ö ö ő ő ö ő í Í í ü ö ő í ü ü ú ü ö ö ő ü ő ö ő í ü ő í ö ö ő ő ő í í ő í ő ő Á Ó Í í í ő ű ú ő í í ő ő Í ő í ő í í Í í ő í ő í ő ő íí ő

Részletesebben