Elektrosztatika. I. Az elektrosztatika alapegyenleteinek leszármaztatása a Maxwell-egyenletekből

Átírás

1 Elektosztatika I. z elektosztatika alapegyenleteinek leszámaztatása a Maxwell-egyenletekből Ha a négy Maxwell-egyenletbe behelyettesítjük a sztatika feltételeit, azaz akko a következő egyenletendszet kapjuk: j, B, D, ot H ot E,, div B, div D. Látható, hogy az elektomos teet jellemző E és D, valamint a mágneses teet jellemző H és B vektoteek között most nincs kapcsolat. Ezét az elektosztatikus tée vonatkozó két egyenletet külön tekinthetjük, és ezeket szokás az elektosztatika "alaptövényeinek" nevezni: div D =, az első alaptövény, avagy az elektosztatika Gauss-tövénye, ot E =, a második alaptövény. következőkben azonban nem a fenti alaptövényekből kiindulva kezdjük tágyalni az elektosztatikát, hanem előszö az elektosztatika kíséleti tényeit tekintjük, és ezektől elindulva kívánunk eljutni az alaptövények megétéséhez. z elektosztatika tövényeit előszö vákuumban tágyaljuk, vagyis feltételezzük, hogy D = E. II. isszafelé az úton: az elektosztatika alapegyenleteinek kikövetkeztetése a kíséleti megfigyelésekből II.1 z elektosztatikus alapjelenségek z elektosztatikus alapjelenség vezetővel. Dözselektomosság Ha egy üvegudat bőel dözsölünk meg, majd pedig ezt az üvegudat egy alumíniumfólia-daabkához közelítjük, akko a úd a fóliadaabkát előszö magához ántja, majd eltaszítja. Ezt a kíséletet általában úgy szokás bemutatni, hogy az alumíniumfólia-daabkát egy cénaszálon ingaszeűen felfüggesztjük. kísélet egyszee több fontos dologa is felhívja a figyelmet. Előszö is látható, hogy két szigetelő anyag összedözsölésével ezen anyagok különleges állapotba hozhatók, amit azzal magyaázunk, hogy ezek ilyenko elektomos töltése tesznek szet. konkét példában az üveg pozitív, a bő pedig negatív töltésű lesz a dözsölés után. (Itt, és a későbbi magyaázatainknál is, egy átlagos középiskolás tudása fogunk építeni. agyis feltételezzük, hogy az olvasó hallott má olyan alapvető fogalmakól, mint pozitív és negatív töltés, vezető és szigetelő, stb.) dözselektomosság jelensége egyébként azon alapul, hogy amiko két különböző anyag éintkezik egymással, akko az éintkezési pontokon át egy kis töltés áamlik az egyikből a másikba. (Ennek az éintkezési elektomosságnak a létejötte tulajdonképpen csak fémeknél világos. Fémeknél az ún. kontaktpotenciált az egyik fémből a / 1

2 másikba átáamló vezetési elektonok hozzák léte. Ha azonban az egyik, vagy mindkét anyag szigetelő, akko nincs általánosan elfogadott elmélet. Nem eldöntött kédés például az, hogy az elektonok mellett ionok is észt vehetnek-e a töltésátadásban, netán esetleg ezek játsszák a főszeepet. z igazság az, hogy a dözsölési vagy más néven tibo elektomosság a sziládtestfizikának egy igen édekes, de kevéssé kutatott és mindmáig vitatott teülete. nnak ellenée, hogy a kezdeti töltésszétválás mechanizmusa nem teljesen tisztázott, ez a továbbiak megétését most nem fogja zavani. z elektomos alapjelenségek szempontjából ugyanis csak az lényeges, hogy ilyen töltésszétválás valahogyan létejöhet.) z éintkezési elektomosság első lépésként csak kis, 1- voltos feszültséget hoz léte. miko azonban a két felület a dözsölésko egymáshoz képest mozog, akko az eedetileg éintkező pontok távolsága sok nagyságenddel nőhet. Ha a két, eedetileg éintkező felületdaabkát síkkondenzáto fegyvezeteinek tekintjük, amelyeken a töltés a fegyvezetek távolodása közben nem változik, hanem állandó, akko a távolodás következtében a kondenzáto feszültsége is sok nagyságenddel nőhet a csökkenő kapacitás miatt (ld.. fejezet). Így jön léte az a több tízeze voltos feszültség, ami a dözselektomosságnál fellépő szikákat magyaázza. ( dözsölés tehát fontos a mozgás miatt, valamint azét is, hogy minél több helyől minél több töltést gyűjtsünk össze. Nem kizát azonban, hogy emellett más szeepe is van. Például a dözsölésnél fellépő nyíóeők esetleg makomolekulák széthasítását is okozhatják, és ez a pime töltés-szétválasztásnál fontos lehet.) dözselektomos jelenségben számunka most az a leginkább figyeleme méltó, hogy a kísélet meggyőzően demonstálja, hogy az anyagban lévő töltés szétválasztható pozitív és negatív töltése. pozitív és negatív elektomosság egymástól elkülöníthető, és ezek után két makoszkopikus tágy közül az egyik pozitív, a másik pedig negatív lehet. Például dözsölés után az üvegúdon a pozitív töltések, a bődaabban pedig a negatív töltések jutnak túlsúlya. Ezt az elektomosan töltött állapotot a testek közötti eőhatáson keesztül észlelhetjük. pozitívan töltött üvegúd, miután az alumínium fóliának pozitív töltést ad át, azt eltaszítja magától. Ez a kísélet mutatja azt a jól ismet jelenséget, hogy az azonos töltések taszítják egymást. negatívan töltött bődaab viszont a pozitívan töltött fóliát magához vonzza, met az ellentétes töltések vonzzák egymást. Elektomos megosztás a vezetőben Mivel magyaázható viszont az, hogy az eedetileg semleges alumínium fóliát a pozitív töltésű üvegúd magához vonzza? Ezt a jelenséget az alumínium vezetőben fellépő elektomos megosztás hozza léte. z üvegúd ugyanis az alumíniumban lévő vezetési elektonok egy észét a fóliának az üvegúd felé eső peemée gyűjti, amely így negatív töltésű lesz. Ugyanekko a fóliának az üvegúdtól távolabbi peeme pozitív töltésűvé válik az onnan hiányzó elektonok miatt. E pozitív töltése az üvegúd taszítóeőt, a vele azonos nagyságú, de közelebb elhelyezkedő negatív töltése viszont a fent említett taszítóeőnél nagyobb vonzóeőt gyakool. égeedményben az eősebb vonzóeő hatása évényesül, és ezét ántja magához a fóliát az üvegúd. Töltésátadás miko a fólia éintkezésbe keül az üvegúddal, akko töltésátadás töténik, és így az alumínium fólia is pozitív töltésűvé válik. Ennek következtében lép fel azután az a taszítóeő, amely ellöki a fóliát a údtól. Megjegyzendő, hogy sok esetben a fólia nem is éinti az üvegudat, csak megközelíti, majd tényleges fizikai éintkezés nélkül eltaszítódik tőle. töltésátadás ilyenko a levegőn keesztül töténik az ún. "elektomos szél" következtében. (z elektomos szél a fólia éles szélein lép fel a csúcshatás miatt. Eől később még lesz szó.) Egy szigetelő és egy vezető közötti töltésátadás mechanizmusának poblémáiól a dözselektomossággal kapcsolatban má szóltunk. De itt ismét hangsúlyozni szeetnénk, hogy jelen szempontunkból nem az az édekes, hogy mi a mechanizmus, hanem az, hogy töltésátadás egyáltalán lehetséges. Bá magnetosztatikáól csak később lesz szó, most mégis édemes összehasonlítást tenni az elektosztatikai és magnetosztatikai alapjelenség között. mágnesúd a lágyvasat -mint tudjuk- /

3 magához ántja és ott is tatja, és nem taszítja el úgy, mint ahogyan az elektosztatikus alapjelenségeknél töténik vezető esetében. z északi és déli mágnességet ugyanis nem tudjuk különálló testekbe szétválasztani úgy, mint ahogy a pozitív és negatív elektomos töltést, és a mágnesúdból a lágyvasba sem külön északi, sem külön déli "mágneses töltést" nem lehet átvinni. Ennek oka, hogy valódi mágneses töltés nincs. Elektomos töltés viszont van, és ennek bizonyítéka, hogy egyik testől a másika átadódhat az ellentétes töltéstől függetlenül. z elektosztatikus alapjelenség szigetelővel Ha az előbbi kíséletben az alumínium fólia helyett egy vattacsomót használunk, akko az események kezdete kvalitatíve hasonló az alumíniumfóliás kíséletéhez: a megdözsölt üvegúd a vattacsomót magához ántja. folytatás azonban csak késve következik be: a vattacsomó tatósan az üvegúdhoz tapadva maad, és csak nagysokáa taszítódik el onnan. Nyilvánvaló, hogy két szigetelő között a töltésátadás lassú folyamat. Minél jobb szigetelő a vatta és az üveg (minél száazabb a levegő), annál tovább maadnak összetapadva. Tökéletes szigetelők nyilván sohasem taszítódnának el egymástól. Mindez éthető. De ha a vattacsomó közel tökéletes szigetelő, amelynek belsejében a töltésáamlás elhanyagolható, akko miét ántja magához az üveg a vattát? Hogyan jöhet itt léte elektomos megosztás (pontosabban az elektomos megosztáshoz hasonló jelenség, hiszen megosztás csak vezetőben lehetséges), ha a töltések nem tudnak elmozdulni a szigetelő belsejében? Ezt a dilemmát úgy tudjuk feloldani, ha feltételezzük, hogy ugyan szabad töltéshodozók (melyek egymástól függetlenül szabadon kóboolhatnak) nem fodulhatnak elő a szigetelő belsejében, de kötött töltéshodozók igen. kötött állapot azt jelenti, hogy a szigetelő minden pontjához azonos mennyiségű pozitív és negatív töltés van kötve. Ezek a töltések azonban nem meeven vannak a ponthoz "láncolva", hanem ugalmasan. jelenség molekuláis magyaázatáa az elektomos polaizáció tágyalásánál még vissza fogunk téni. Most csak annyi édekel bennünket, hogy bá a szigetelő anyagok esetén a pozitív és negatív töltések a molekulák belsejében össze vannak záva, és onnan nem szabadulhatnak ki, a molekulán belül azonban ezek a töltések elmozdulhatnak. Hogyan lehetséges, hogy az egyes molekulákon belüli pici elmozdulásoknak végülis makoszkopikusan észlelhető hatása van? dolgot úgy képzelhetjük el, hogy a szigetelő belsejében van egy helyhez kötött pozitív, valamint egy ugyanilyen nagy, és ugyancsak helyhez kötött negatív töltésfelhő. Ha nincs külső elektomos té, akko a két töltésfelhő súlypontja pontosan egybeesik, és mindenütt tökéletesen fedik egymást. Ennek következtében az eedő töltéssűűség mindenütt zéus. Külső elektomos té hatásáa azonban a két töltésfelhő ellenkező iányban egy picit elmozdul. Ennek következtében a két felhő má nem fedi egymást tökéletesen, hanem a pozitív és negatív felhő szélei mintegy "kilógnak" a szigetelő széleinél. Tehát amíg a szigetelő belsejében a töltésfelhők fedik egymást, és itt az eedő töltéssűűség továbba is zéus, nem ez a helyzet a peemeken, ahol úgynevezett polaizációs töltések jelennek meg ott, ahol az egyik töltésfelhő "kikandikál" a másik alól. Ez a fajta polaizációs töltés azonban nem vezethető el a szigetelő felületéől úgy, mint az influált (azaz elektomos megosztással létehozott) töltés a vezető esetében, met az ideális szigetelőknél a pozitív és negatív töltések nem szakíthatók el egymástól, azaz külön testeke nem vihetők át. (Figyeljük meg, hogy a szituáció nagyon hasonlít a magnetosztatikai alapjelenséghez, ahol az északi és déli mágneses pólus sem gyűjthető össze egymástól különálló testeken.) II. Coulomb tövénye Coulomb tövényét má a középiskolából jól ismejük. zt mondja ki, hogy egy Q 1 és egy Q töltés között ható eő aányos ezeknek a töltéseknek a nagyságával, és fodítottan aányos az őket elválasztó távolság négyzetével: Q1Q F k. / 3

4 k aányossági tényező 91 9 Nm /C, vagyis ha két 1 Coulombos töltés egymástól 1 méte távolsága helyezkedik el, akko a közöttük ébedő eő 91 9 Newton. (1 Coulomb töltés halad át egy vezető keesztmetszetén 1 másodpec alatt, amennyiben ebben a vezetőben 1 mpe áam folyik. agyis 1 C = 1 s. töltés egysége ezek szeint számaztatott mennyiség az általunk használt SI métékendszeben. z SI mint majd látni fogjuk valamennyi elektomos mennyiséget a jól méhető áama vezeti vissza, amelynek egysége az mpe.) Édemes belegondolni a nagyságendekbe: a két 1 Coulombos töltést Magyaoszág összes lakosa együtt sem tudná széthúzni (mekkoa eő is 91 9 Newton?). 1 Coulombnyi töltése 1-5 mól elektonnak van. Mekkoa eők a mi gavitációs viszonyokhoz szokott képzeletünknek! Coulomb-tövény fenti középiskolai alakjához még egy kis magyaázatot is kell fűzni: azonos töltések között taszító, ellentétes töltések között vonzó eő ébed, és centális eőkől van szó (vagyis az eők támadásvonala a két pontszeű töltést összekötő egyenes). következőkben Coulomb tövényét egy kicsit más alakban fogjuk felíni. Helyezzünk el egy pontszeű Q töltést egy tébeli koodinátaendsze oigójában. Ez a Q töltés a koodinátaendszeben elektomos eőteet hoz léte, amit egy másik, ugyancsak pontszeű Q P póbatöltéssel tudunk kiméni. Ha ezt a póbatöltést a koodinátaendsze helyvektoú pontjába helyezzük, akko ott a á ható eő: 1 Q QP FP. 4 Két különbséget láthatunk a megszokott középiskolás fomulához képest: 1) k konstans helyett most 1/(4 ) szeepel. Ez nem jelent elvi különbséget, mivel = 8,841-1 s/m. (Igazoljuk, hogy ez számétéke és métékegysége is helyes, amennyiben k, mint aól má volt szó, 91 9 Nm /C, és 1 = 1 Nm/C.) nnak az előnyét, hogy egyik állandó helyett most egy másikat használunk, majd a későbbiekben fogjuk látni (II.7 fejezet). ) fomulában megjelent az iányba mutató egységvekto, e = /. Ez automatikusan megadja az F P eő iányát, tehát nem kell további magyaázatokat fűzni a Coulomb-tövényhez. (Példaként lássuk be, hogy amennyiben Q és Q P ellentétes előjelű, akko a Q P -e a Q felé iányuló, vagyis vonzó eő hat!) II.3 z elektomos téeősség és méése z elektomos té jelenlétét onnan ismehetjük fel, hogy az elektomos töltése eőt gyakool. Ha tehát egy elektomos teet fel akaunk téképezni (pl. az előadóteemben lévő teet), akko egy Q P póbatöltést kell köbecipelni, és minden pontban fel kell jegyezni a á ható F P eőt iány és nagyság szeint. agyis a méőeszközünk egy Q P póbatöltés és egy eőméő szekezet (pl. ugós eőméő). z E elektomos téeősséget a mét F P eőnek és a Q P póbatöltésnek a hányadosa adja: F E Q Q P -vel való osztása azét van szükség, met így a póbatöltéstől vagyis a méőeszközünktől független eedményt kapunk az adott pontbeli elektomos téeősség étékée. (Ha nem osztanánk, akko nagyobb póbatöltéssel nagyobb eőteet ménénk.) II.4 vektoté szemléltetése vektovonalakkal. vektoté fluxusa. z elektomos eőté egy vektoté: a té minden egyes pontjához egy vektot, az elektomos téeősség vektoát endeli. ektoté szemléltetéséhez Faaday ötlete alapján ún. vektovonalakat használunk. (Ha ugyanis a té mindenen egyes pontjához odaajzolnánk az ottani vektot pl. az elektomos téeősség vektoát, akko csak egy áttekinthetetlen tébeli P P / 4

5 sündisznót kapnánk.) vektovonalak iányított göbék: ezt egy pici nyíllal jelezzük a göbéken. vektoté iányát a göbék éintőinek iánya adja (az éintők ööklik a göbék iányítottságát), a nagyságát pedig a vektovonalak sűűsége. Ez utóbbit szemléletesen úgy fogalmazhatjuk meg, hogy a göbéke meőleges felület egységén átmenő vektovonalak száma. vektovonalak száma szemléletes megfogalmazás, de vigyázni kell aa, hogy amiko ezeket a vonalakat beajzoljuk, soha nem lehet annyi vonalat felvenni, hogy minden pont tetszőlegesen kis könyezetében tökéletes hűséggel mutassa a viszonyokat. Homogén (helytől független, azaz tében állandó) vektotében aánylag egyszeűbb a helyzet, de ott is gondolni kell aa, hogy a vektovonalak sűűsége az olyan kis felületeke is ételmezett és ugyanannyi, ahol a konkét ajzon éppen nem halad át vektovonal. Például, ha 1 m felülete meőlegesen vektovonalat ajzolunk, és tudjuk, hogy a té homogén, akko a vektovonal/m sűűség az egész felülete évényes, függetlenül attól, hogy a szimbolikus ajzon csak két vonal fog áthaladni, és ezét bőven találhatunk csupasz teületeket. Inhomogén vektotében még fontosabb, hogy tudatában legyünk annak, hogy a vektovonalak sűűsége a té minden pontjában ételmezett, még ha egy ajzon csak nagyon kevés vektovonal látható is. Kisebb métékegység felvételével azonban a vektoté nagyságának méőszáma nő, és így a vektovonalak sűűsége, vagyis az ábázolás pontossága tetszés szeint növelhető. Általános (tehát nem feltétlenül a vektovonalaka meőleges és nem is szükségszeűen sík) felületen áthaladó vektovonalak száma nem más, mint a vektoté ee a felülete vett fluxusának a méőszáma. v vektoté felülete vett v fluxusának az alábbi felületi integált nevezzük: v d. v II.5 z elektomos té szemléltetése eővonalakkal z felületen átmenő eővonalak száma z E elektomos téeősség mint má említettük szintén egy vektoté, melynek vektovonalait (elektomos) eővonalaknak nevezzük. z E eőtének az felülete vett E fluxusa (mely számétékileg az felületen átmenő eővonalak száma): E E d II.6 Pontszeű Q töltés eőtee II. pontban felítuk a Coulomb-tövénynek egy olyan vektoi fomáját, amely megadta egy koodinátaendsze oigójában elhelyezkedő Q töltés által egy másik Q P póbatöltése ható eőt: 1 QQP FP, 4 ahol a Q P helyvektoa. téeősséget e pontban úgy kapjuk meg, hogy a póbatöltése ható eőt elosztjuk a póbatöltés nagyságával (II.3): FP 1 Q E e. Q 4 p agyis a pontszeű töltés esetén a téeő iánya adiális (e a sugá iányú egységvekto), nagysága pedig a Q ponttöltéssel egyenesen, a tőle mét távolság négyzetével fodítottan aányos. / 5

6 II.7 Q töltésből kiinduló eővonalak száma Ennek meghatáozásához a Q töltést egy zát felülettel kell köbevenni, hogy valamennyi, a Q-ból kiinduló eővonalat számításba tudjuk venni. levezetés végén látni fogjuk, hogy valamennyi zát felülete vett fluxus ugyanaz, vagyis tetszés szeinti zát felületet választhatunk. Mivel azonban ezt egyelőe nem tudhatjuk, ezét csak az egyszeűsége hivatkozva zát felületként vegyünk egy R sugaú gömböt az oigóban levő Q töltés köül. pontszeű Q töltés eőteének fluxusa ee a gömbfelülete N E,Q 1 4 Q R E,gömb E d Q 4R, mivel d = d e, e e = 1 és 1 4 Q e R 1 d 4 Q R e (de ) d = 4R. mit nagyon fontos észevennünk a fenti eedményben, az az, hogy a gömb sugaa nem szeepel benne, vagyis a számított fluxus a gömb sugaától függetlenül minden gömbe ugyanannyi. Mivel má koábbi tanulmányainkból emlékezünk aa, hogy az elektomos té eővonalai a központi (pozitív) Q töltésből indulnak ki, első pillantása nem tűnik világengető eedménynek, hogy egy, a töltést köbevevő gömbön átmenő eővonalak száma a gömb sugaától független, hiszen minden egyes, a töltésből kiinduló eővonal metszeni fogja a gömbfelületet. Sőt tetszés szeinti, akámilyen gibe-guba, de a töltést köülölelő zát felületen is ugyanennyi eővonal fog áthaladni a felület alakjától és nagyságától függetlenül. Ez a temészetes eedmény azonban mégis igen fontos, és a Coulomb-tövényből következik. Ezt legjobban úgy szemléltethetjük, ha elképzeljük, mi lenne akko, ha a Coulombtövényben a távolságfüggés nem négyzetes lenne, hanem valami más hatványkitevő szeepelne ott. Például nem, hanem,1. Ekko a téeő gyosabban csökkenne a sugáal, mint ahogy a gömbfelület nő, vagyis a fluxus, azaz a gömbfelületen átmenő eővonalak száma csökkenne a sugá növelésével. Ez azt jelentené, hogy miközben távolodunk a töltéstől, egyes eővonalak a semmiben végződnének, nem pedig a szokott módon negatív töltésekben. Ha viszont a kitevő 1,99 lenne, akko az eővonalak a semmiből indulnának ki. Tehát az a kép (ami mint majd látni fogjuk tulajdonképpen a negyedik Maxwell-egyenlet, vagy az elektosztatika Gausstövénye), miszeint az eővonalak a pozitív töltésekből indulnak ki és a negatív töltésekben végződnek, végső soon megszabja, hogy milyen legyen a Coulomb-tövény távolságfüggése. (agy fodítva is okoskodhatunk, miszeint a Coulomb-tövény négyzetes távolságfüggése teszi lehetővé az elektomos eőtének az elektomos eővonalakkal töténő megszokott ábázolását.) Még annyit jegyeznénk meg itt, hogy a fentiek ételmében egy tetszés szeinti zát felülete az elektomos eőté fluxusa (számétékileg a zát felületen átmenő eővonalak száma) egyenlő a zát felület által köbezát töltések összege osztva -al: E E,zát Q i Q 1 Q Q 3 / 6

7 II.8 z elektomos megosztás jelensége z elektomos megosztás Ha egy elektomosan töltött testet közelítünk egy vezetőhöz, akko a vezetőben a töltés tee elektomos megosztást hoz léte. Például amiko egy bőel dözsölt üvegudat (az üvegúd ilyenko pozitív töltésű) közelítünk egy fémdaabhoz (vagy például egy sztaniol lemezhez), akko a fémben lévő vezetési elektonok egy észét a pozitív üvegúd a hozzá közelebb eső oldaláa vonzza. Igen hama (néhány nanoszekundum alatt) kialakul az elektosztatikai egyensúly, amikois a fémlemez üvegúdhoz közeli oldalán negatív, üvegúdtól távolabbi oldalán pedig (ahonnét az elvándoolt elektonok hiányoznak) pozitív töltés halmozódik fel. megosztás má az elektosztatika alapjelensége vezetővel kísélet magyaázatában is alapvető szeepet játszott: a megdözsölt üvegúd azét ántja maga felé a fémet, met a fémben a megosztás miatt a negatív és pozitív töltés elkülönül, és a közelebb eső negatív töltése az üvegúd inhomogén tee nagyobb vonzóeőt gyakool, mint amilyen eővel a távolabb lévő pozitív töltéseket taszítja. töltésszétválás konzeválása miko az üvegudat eltávolítjuk a vezető könyezetéből, a megosztás hatása eltűnik, a töltések úja egyenletesen oszlanak el. hhoz, hogy a megosztás nagyságát kényelmesen meg tudjuk méni, célszeű lenne, ha a töltésszétválást valahogyan konzeválni tudnánk, hogy később a szétválasztott töltés pozitív vagy negatív észét a másiktól elválasztva meg tudjuk hatáozni. Kézenfekvő ötlet, hogy a töltések szepaációját úgy állandósítsuk, hogy a megosztás létejötte után a vezető pozitív illetve negatív észeit egymástól elkülönítjük. Ekko a megosztó té megszűnése (pl. az üvegúd eltávolítása) után is szétválasztva maadnak a töltések. Ezt a lehetőséget (és az elektomos megosztás jelenségét) mutatja be a következő kísélet. Két elektoszkópot egy szigetelő nyéllel ellátott fémúddal kössünk össze. z egyik elektoszkóp felé közelítsünk egy megdözsölt üvegudat. Ekko mindkét elektoszkóp kité, mutatva, hogy ajtuk töltés van. z eedetileg semleges endszeben megosztás jött léte: az üvegúd melletti elektoszkópon negatív, a másikon pedig pozitív töltés halmozódik fel. Ha az üvegudat eltávolítjuk, akko mindkét elektoszkóp lemezei ismét alaphelyzetbe lendülnek, jelezve, hogy a megosztás megszűnt. Ha azonban a két elektoszkóp közötti kapcsolatot megszüntetjük még mielőtt az üvegudat eltávolítanánk, akko a két elektoszkóp kitéése később sem szűnik meg, hiába visszük el onnan az üvegbotot. pozitív és negatív töltések tehát elkülönülve az elektoszkópokon maadnak. Hogy két egyfoma nagyságú, de ellentétes előjelű töltésől van szó, azt az bizonyítja, hogy amennyiben a két elektoszkópot ismét összekötjük egy vezetővel, akko kisülnek, és úja alaphelyzetbe keülnek. / 7

8 II.9 z elektosztatika Gauss-tövényének globális alakja. z elektomos megosztás (a D vekto) méése z elektosztatika I. alaptövényének globális alakja vákuumban II.7 paagafusban beláttuk, hogy a Q töltésből kiinduló összes eővonal száma azaz az elektomos té fluxusa egy, a Q töltést köülölelő zát felülete Q/ : Q E d Most idézzük fel a D té definícióját: D = E + P, ahol P az elektomos polaizáció, azaz az elektomos dipólusmomentum-sűűség. definíció ételmét és a P jelentését később majd észletesen elmagyaázzuk (I.1 fejezet). Most csak aa kell figyelnünk, hogy a vákuumban anyag nincs, így dipólusok sincsenek, ezét vákuumban igaz, hogy P = és D = E. Ez azt jelenti, hogy figyelembe véve a Q töltésből kilépő összes eővonal számát (ami nem más, mint az E té fluxusa egy, a Q töltést tatalmazó zát felülete) az E té fluxusából a D té fluxusát egyszeűen -al való szozással nyehetjük: D d E d Q azaz D d Q Látható tehát, hogy a Q töltésből kilépő összes D vonal száma egyenlő magával a Q töltéssel. Ez az elektosztatika első alaptövényének a globális alakja. z elektomos té megosztó hatásának (a D tének) a méése Képzeljünk el egy homogén elektomos teet vákuumban, ahol meg kívánjuk méni a D teet az elektomos megosztás segítségével. Még mielőtt nekifognánk a méésnek, felmeül a kédés, hogy mi szükség van ee? Ugyanis tudjuk, hogy vákuumban évényes a D = E összefüggés, amelynek segítségével az E téből (amelynek a méését má tágyaltuk) a D té egy szozás segítségével könnyedén kiszámítható. Mi ételme van akko a méésnek? Nos, előszö is egy ős -méése mindenképpen szükség van, hogy -at, a vákuum pemittivitását meg tudjuk hatáozni. Igaz viszont, hogy ha ezt az étéket má ismejük, akko a vákuumban elég az E teet méni, és a D té má számítható. z alább ismetetendő módsze a D méésée mégis fontos, met mint azt majd a későbbiekben látni fogjuk ugyanez a módsze anyagi közeg esetén is alkalmazható. z anyagi közegben pedig az elektomos polaizáció miatt a D és az E között az általános D = E + P összefüggés az évényes. Ha tehát E-t és D-t egymástól függetlenül tudjuk méni, akko az anyagi közegben meghatáozható a P, vagyis az elektomos dipólusmomentum-sűűség. Most téjünk vissza a D mééséhez. D nagyságának a meghatáozása Tehát ott tatottunk, hogy vákuumban, homogén elektomos tében kívánjuk megméni a D teet. Ehhez vegyünk két, szigetelő nyéllel ellátott "palacsintasütőt, vagyis sík vezető felületet, melyek kezdetben egymással éintkeznek. Ezt a szekezetet helyezzük be a D tébe, a tée meőlegesen. (Hogy miként találjuk meg a meőleges iányt, aól egy kicsit később lesz szó.) fémlemezpában elektomos megosztás alakul ki, és a felületi töltés teljesen ányékolja a fém belsejét, ahol sem E, sem D té nem maadhat a végső egyensúlyban. Ez azt jelenti, hogy minden D vonalnak véget kell énie az egyik palacsintasütő felületén (vagyis egy sem mehet át a fémen), és ugyanennyi D vonalnak kell kiindulnia a másik palacsintasütő felületéből. Ha ismejük a D / 8

9 vonalak számát (a D tének a palacsintasütő felületée vett D fluxusát), akko a D té nagyságát úgy számíthatjuk ki, hogy a fluxust elosztjuk a felülettel: D D, met a té homogén és meőleges az felülete. Ugyanis ebben az esetben a fluxust megadó felületi integál egyszeűsödik a D szozata: Dd D d D d D D ugyanis a D vekto és a d vekto páhuzamos, ezét skalászozatuk egyenlő az abszolút étékeiknek a szozatával; a D étéke a helytől független, ezét az integáljel elé kiemelhető, és végül. d Tehát a fentiek szeint a D té nagyságát úgy számolhatjuk ki, hogy a D tée meőleges palacsintasütőn vett fluxust osztjuk a palacsintasütő felületével. De hogyan méhetjük meg a D té palacsintasütőn vett fluxusát? agyis mennyi D vonal végződik a negatív töltésű palacsintasütőn, és mennyi indul ki a pozitív töltésűből? Ee a kédése könnyű a válasz, hiszen ez az elektosztatika első alaptövénye szeint D nem más, mint a palacsintasütőn lévő töltés. (nnyi D vonal indul ki a palacsintasütőből, amennyi a ajta lévő töltés. Negatív töltés esetén negatív a kiindulás: azaz a D vonalak itt bevégződnek.) agyis a pozitív fegyvezetet tekintve D = Q és D = Q/. Tehát ha meg tudjuk méni a töltést a pozitív fegyvezeten, akko a feladat meg van oldva. méés gyakolati leíásánál ott tatottunk, hogy a két összeéintett palacsintasütőt a D tée meőlegesen behelyeztük a tébe. Létejön ajtuk az elektomos megosztás. Most válasszuk szét őket, és csak ezután vegyük ki a két lemezt a téből. Ezután má csak annyi a feladatunk, hogy megméjük a töltést, és képezzük a töltés pe felület hányadost, és így megkapjuk az elektomos megosztás vektoának nagyságát. ( töltés méését az áam és idő méésée lehet visszavezetni, amivel a későbbiekben foglalkozunk.) D iányának a meghatáozása z előbbi méésnél feltételeztük, hogy a palacsintasütőket a D tée meőlegesen helyeztük el. Mivel ez az iány eleve nincs kijelölve, ezét nyilvánvalóan aa is méési módszet kell kidolgozni, hogy ezt az iányt hogyan találjuk meg. következő póbálgatós módszet alkalmazhatjuk: a té megosztó hatását egymás után többféle iányba behelyezett palacsintasütővel megméjük. Mivel Q Dd, a megosztó hatás vagyis a felgyülemlett töltés akko a legnagyobb, amiko D a skalászozat étéke maximális, azaz a palacsintasütő éppen meőleges a tée. Ezt szem előtt tatva megkeessük a helyes iányt. égül a meőleges iány is kétféle lehet: negatív és pozitív. z iányt a lemezek polaitása dönti el. ( palacsintasütőn létejövő töltés, amiko az a méendő tében van, az eedeti teet leontó D teet hoz léte. Ezét nincs a két palacsintasütő között té. miko azonban kiemeljük a lemezeket, a ajtuk lévő töltés olyan D teet létesít, amely ellentétes iányú az eedeti D téel. z eedeti D té iánya így a negatív töltéssel endelkező palacsintasütőtől a pozitívan töltött felé mutat.) Méés inhomogén tében fenti módsze csak közel homogén té esetén működik jól. Ha egy nagy palacsintasütőt inhomogén tébe tesszük, akko valamilyen átlagot fog méni. mennyiben észletesebb, nagyobb felbontású képet akaunk a téől, akko kisebb palacsintasütőt kell használni, amelynek a kis könyezetében a té má közel homogén. / 9

10 z elektomágneses té jellemzőinek méése elvben és gyakolatban méések elve igen fontos, met megmutatja, hogy mit is étsünk a méendő mennyiségen. méések gyakolata, bá ezeke az elveke épül, mégis másként néz ki, mint az elvi eljáás, met különböző paktikus szempontoknak is meg kell felelni. Tehát például az elektomos téeősség méését inkább feszültségméése vezetjük vissza, és nemigen szoktuk a póbatöltése ható eőt méni. (Bá egy T képcső belsejében vagy egy gyosító beendezésben az elektomos té ilyen közvetlen méése is kézenfekvő lehet.) Palacsintasütővel sem szoktunk szaladgálni, ha a D té étékée vagyunk kíváncsiak. Mindez azonban mit sem von le a méési elvek fontosságából. Ugyanis ezek a méési utasítások mutatják meg az elektomágneses té 4 jellemzőjének, az E, D, H és B vektoteeknek a fizikai jelentését. II.1 z elektomos töltéssűűség. z elektosztatika Gauss-tövényének lokális alakja bevezetésben má volt óla szó, hogy a Maxwell-egyenleteket lokális és globális alakban is fel lehet íni. z elektomos töltés globális mennyiség (pl. egy véges kitejedésű test töltése), egy pontban nem ételmezhető (a tömeghez hasonlóan, ahol egy folytonos tömegeloszlású test egy pontjának a tömege mindenképpen zéus, aká ólomból van a test, aká híg levegőből). töltéssűűség azonban akácsak a közönséges (tömeg)sűűség egyetlen pontban lokálisan is ételmezhető az alábbi hatáétékkel: Q lim,, ahol hatáétékben a téfogatelem aa a ponta zsugoodik, amelyben a töltéssűűséget keessük, Q pedig a téfogatelemben lévő töltés. Fodítva, ha ismejük a lokális töltéssűűséget, akko egy véges téfogatban lévő töltés mennyisége a töltéssűűség téfogati integáljaként íható fel: Q d. töltéssűűség bevezetésével és a Gauss-tétel segítségével az elektosztatika első alaptövényének globális alakjából levezethető a lokális alak: D d Q D d d. felületi integált a Gauss-tétel segítségével alakítjuk át téfogativá: D d divd d divd d d. Ha két integál egyenlő, az nem jelenti feltétlenül azt, hogy a két intengandusz is megegyezik. De ha tetszőleges téfogata igaz az, hogy (átendezve): divd d d (divd ) d, akko az csak úgy lehetséges, ha div D, ami nem más, mint az elektosztatika első alaptövényének lokális alakja. / 1