ELEKTROMÁGNESSÉG. (A jelen segédanyag, az előadás és a számonkérés alapja:) Hevesi Imre: Elektromosságtan, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2007
|
|
- Júlia Molnár
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 ELEKTROMÁGNESSÉG (A jelen segédanyag, az előadás és a számonkéés alapja:) Hevesi Ime: Elektomosságtan, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 7
2 ELEKTROMOSSÁGTAN A. Elektosztatikai té vákuumban. Az elektomos töltés. Coulomb tövénye. Az elektomos té. Gauss tétele 3. Az elektomos potenciál B. Elektosztatikai té anyag jelenlétében 4. Elektomos té vezető jelenlétében 5. Elektosztatikai té szigetelő (dielektikum) jelenlétében C. A stacionáius áam (egyenáam) 6. Áam és ellenállás 7. Egyenáamú áamköök D. A stacionáius áam és a mágneses té 8. Mágneses té vákuumban 9. Mágneses té az anyagban. Töltött észecskék mozgása elektomos és mágneses tében E. Az elektomos áam szilád testekben, folyadékokban és gázokban. Az elektomos áam fémekben és félvezetőkben. Kontakt- és temoelektomos jelenségek 3. Az elektomos áam folyadékokban 4. Az elektomos áam gázokban
3 F. Az időben változó elektomágneses té 5. Az elektomágneses indukció 6. A Maxwell-egyenletek 7. Elektomágneses ezgések 8. Váltakozó áamok 9. Az indukció és az áam mágneses hatásának néhány technikai alkalmazása. Elektomágneses hullámok 3
4 A. AZ ELEKTROSZTATIKAI TÉR VÁKUUMBAN 4. AZ ELEKTROMOS TÖLTÉS. COULOMB TÖRVÉNYE Elektomos alapjelenségek. Boostyánkő-hatás - elektomos hatás - papídaabokat vonzza! - i.e. 6: milétoszi Thales - boostyánkő: elekton (göög)
5 . Kétféle (+ és-) elektomos töltés 5 töltését pozitív -nak nevezték el 3. A dözsölés eedménye: a kétféle (+ és-) elektomos töltés szétválasztása
6 4. Fémúd is elektomos töltése tesz szet dözsölés hatásáa 6 Fém (vezető) údban az elektomos töltés könnyen mozog! éintkezés esetén átmehet az egyik testől a másika! vezetők-szigetelők 5. Az elektoszkóp és az elektométe (működésük magyaázata!)
7 Kíséletek elektoszkóppal 7 (a) (b) (c) - a töltés átvihető (ismételve: nő a kitéés!) - ellentétes előjelű töltések vezetők-szigetelők közömbösítés! a kétféle (+ és -) töltés azonos mennyiségű éintkezésko a töltések szétválnak, de az össztöltés állandó maad!
8 Az elektomos megosztás 8 (a) (b) így az eedetileg semleges vezető töltései a megosztással szétválasztott egyik fajta szétválaszthatók! töltés elvezethető, így a vezető töltött lesz
9 Megosztáson alapuló, egyszeű elektosztatikus töltés-geneáto az elektofo 9 - a feltöltött szigetelő nem veszíti el töltését, így a művelet ismételhető; ilymódon tetszőleges mennyiségű töltés összegyűjthető! - a töltések összegyűjtésével felhalmozható többletenegia az elektosztatikus eők ellenében végzett munka eedménye! Az elektomos megosztással ételmezhető:
10 Elektonikus méőműsze a töltés méésée - az előadás elektosztatikai kíséleteinek jelentős észében a póbagolyó töltését nem a koábban má ismetetett, elektomechanikus elvű elektométeel hatáozzuk meg, hanem az ábán látható elektonikus elektométe kimenetée kötött voltméőől olvassuk le - ennek okai: - sokkal ézékenyebb (nincs súlódás!) - kvantitatív - a polaitást közvetlenül mutatja Működése: - a K kapcsoló nyitásával megszüntetjük P földelését (így lesz a készülék méőkész) - ha az M mintavevő golyót a P fémpohá belsejéhez éintjük, akko annak teljes (!) töltése a poháa keül (ld. később: töltések vezetőn) - ez a töltés a C C P kapacitást (C 3 (C M ill. C P ) miatt) -az M -en tipikus, kv -os feszültségek (földhöz képest!) helyett- a műveleti eősítő számáa biztonságos, V -os feszültsége tölti fel - ha az e feszültség (és ezzel a U C töltés) méésée szolgáló feszültségméőt közvetlenül a C -e kötnénk, akko ögtön kisütné azt! ennek megelőzésée szolgál a FET bemenetű elektométe műveleti eősítő, amely kimenetén (esetünkben -szeese beállított feszültségeősítés mellett) aká ma -es áamot is kiadhat a feszültségméő számáa úgy, hogy eközben bemenete mindössze fa (ekkoa a speciális, elektométe műveleti eősítő ún. bias áama) áammal süti ki a C C P kapacitást - (a MΩ-os védőellenállás (µa max. bemenő áamnál) kv -ig védi az eősítőt)
11 Az elektomos töltés () (a) Az elektomos töltés az anyag egyik alaptulajdonsága Atomok: - mag ( -5 m): p +, n - e - -felhő ( - m): e - - abszolút étékben megegyeznek elektomos töltése semleges - - e - felvétellel vagy leadással: ion; össztöltése Vezetők: - elektomos töltései elmozdulhatnak elektomos tében (Fémek szekezete: + ionokból álló kistályács és aa delokalizálódó e - -gáz) Szigetelők: szabad elektonok nincsenek bennük, atomjaik/molekuláik csak polaizálódhatnak, elektomos dipólussá válhatnak elektomos té hatásáa Ezzel az anyagszekezeti képpel az eddigi kíséletek (éintkezési elektomosság, megosztás, vezetés-szigetelés, stb.) magyaázhatók!
12 (b) Az elektomos töltés kvantáltsága pl. Millikan kíséletéből (ld. később!) következően: ± N e, itt: e elemi töltés, N: temészetes szám Minden létező töltés az e elemi töltés egész számú (amely lehet negatív is!) többszööse. (e azonban olyan kicsiny, hogy makoszkopikus vizsgálatokban a töltést (folytonos) fluidumnak tekinthetjük!) (c) Az elektomos töltés megmaadásának tétele Zát endszeben az elektomos töltések teljes mennyisége (azaz a pozitív és negatív töltések algebai összege) állandó. (Zát endsze: olyan endsze, amelynek hatáán töltések nem halad(hat)nak át) (+ és töltés keletkezhet és eltűnhet ugyan, de csak egyszee, pl. pákeltés, annihiláció) (d) Az elektomos töltés elativisztikusan invaiáns mennyiség Az elektomos töltés nagyságát különböző vonatkoztatási endszeekben méve mindig ugyanakkoa éték adódik.
13 Részecskék jele, töltése és tömege 3 észecske jele töltése tömege neve elekton e e m e 9, 3 kg poton neuton p +e m p,673 7 kg n m n,675 7 kg α-észecske α +e m α 6,697 7 kg kvak ±e/3, ±e/3 De kvakokat szabad állapotban soha nem észleltek!
14 Coulomb-tövénye (785) 4 Coulomb-féle toziós inga (gondoljuk végig a koabeli kíséleti nehézségeket: geom. szimmetia felhasználásával töltés-osztás, töltés-szivágás, stb.) F ~ F ~ F K pontszeű töltések (v. ponttöltések) esetée áll fenn egynemű töltések: > különnemű töltések: < F K ˆ
15 látszik: F F (vö. Newton III. töv.) 5 a) A ecipok négyzetes távolságfüggés ~ mekkoa a δ? F + δ Diekt kíséleti bizonyítékok: néhány % pontosság Indiekt kíséleti bizonyítékok: SOKKAL pontosabbak! Alapja: töltött, ües gömbben az elektomos eőhatás (téeősség) akko és csak akko zéus, ha δ Plimpton, Lawton (936): δ < 9 Williams, Falle, Hill (97): δ 6
16 6 b) A Coulomb-tövény évényessége különböző távolságoknál - a C.-töv. évényességét az ~ 5 m... 3 m tatományban tekinthetjük bizonyítottnak < -6 m az elmélet évényessége(?) (Nem tekinthető ponttöltésnek) > 3 m kíséleti ellenőzés hiánya (?) (de: δ esetén (kvantumtéelmélet): a foton nyugalmi tömege véges vákuumbeli fény (elektomágneses hullám) tejedési sebesség λ-függő lenne. Az elektomos töltés SI egysége coulomb (C), az SI -ben számaztatott egység! C As Nm C 9 F K ilyen egységekkel: K 9 elemi töltés: e,6-9 C C 6 8 elekton töltése C K ε 8,85 itt ε 4πε a vákuum pemittivitása (vagy dielektomos 4 π K N m állandója); ezzel: 4π F ε
17 Az elektomágnesesség elmélete szeint (ld. később!) K ill. ε a következő kapcsolatban áll a c vákuumbeli fénysebességgel: 7 K 4π ε 7 N A c ahol c a vákuumbeli fénysebesség, c 3 8 m/s Az elektomos töltés CGS-egysége önkényesen válasszuk: K F el. sztat. töltésegység cm 3/ g / s - El. sztat. töltésegység, g, cm, s: abszolút elektosztatikai egységendsze, másnéven elektosztatikai CGS-endsze C 3 9 el.sztat. töltésegység e 4,8 el.sztat. töltésegység Az elektomos eők szupepozíciójának elve - ahhoz, hogy egy több ponttöltésből álló (,,..., N ) ill. egy folytonos töltéselosztású endszenek egy ponttöltése (ábánkon a ) gyakoolt hatását kiszámolhassuk, a Coulombtövény nem elegendő!
18 8 - egy másik tövénye is szükség van, amely a következő kíséleti tapasztalat: két töltés közötti eőhatást más töltések jelenléte nem változtatja meg (vö. a Coulomb-tövény lineáis a.-kban) F a F a + F a + K + F an N i F ai N i K a ai i ˆ ai Töltésendsze által egy ponttöltése gyakoolt eő megegyezik a töltésendsze egyes töltései által külön-külön a ponttöltése gyakoolt Coulomb-eők vektoi összegével. Téfogati, felületi, vagy vonalmenti töltéseloszlás esetén: - Téfogatelem: dv d ezek a d töltéselemek má ponttöltésnek tekinthetők! - Felületelem: df d minde: Coulomb tövény - Vonalelem: dl d az eedő eő integálással megkapható!
19 Vessük össze egy H -atom potonja és elektonja közötti elektosztatikus és gavitációs eőket! 9 F g mem γ p 3,6 47 N F e 4π ε e 8, 8 N Fe F g 39,3 (mindkettő invez négyzetes távolságfüggésű, így től nem is függ) az elemi észecskék kölcsönhatásainak vizsgálatako az elektosztatikus eőkhöz képest a gavitációs eőket elhanyagolhatjuk! - viszont a kozmikus testek kölcsönhatásaiban a gavitációs eők a meghatáozók! Kölcsönhatások: Relatív eősség: Gavitációs kölcsönhatás: Gyenge k. 5 Elektomágneses k. 38 Eős k. 4
20
21 . AZ ELEKTROMOS TÉR. GAUSS TÉTELE Elektomos té (v. elektomos mező) - Távolhatás elmélete (a töltések közvetítő nélkül ézik egymás jelenlétét) - Közelhatás (Faaday) elmélete: a töltés elektomos teet hoz léte, és ez a té hat a másik töltése - EZ A HELYTÁLLÓ! - Az elektomos té fizikai ealitás, ugyanis enegiája, impulzusa van! A B Elektomos töltés elektomos té elektomos töltés ( ) (E) ( ) Kétféle feladat: a, adott töltéselosztás té meghatáozása b, adott téeősség töltése ható eő meghatáozása Teet létehozó töltés () Póbatöltés ( p ) (pontszeű, kis töltésű!) Az elektomos téeősség (E) - az elektomos teet a p (kicsiny) póbatöltéssel detektáljuk
22 Milyen mennyiséggel jellemezzük az elektomos (elektosztatikus) teet? Tapasztalat (Coulomb-tövénye): a (geometiai) té bámely (A, B, C,... ) pontjában a póbatöltése ható eő (F(A), F(B), F(C),...) egyenesen aányos p -vel (a póbatöltés nagysága) hányadosuk csak a tée jellemző! F (A) F (A)... p p E (A) F (A) E (A) p F (B) F (B)... p p E (B) F (B) E (B) p - Az E () elektomos téeősség jellemzi az elektomos teet! - Egysége (SI): N C F ( ) E( ) p ; E ( ) F( p ) Elektomos eők szupepozíciójának elve elektomos téeősségek szupepozíciójának elve E E i
23 Ponttöltések elektomos tee 3 a) Egy ponttöltés (Tetszőleges előjelű, p e:) E F p 4π ε p ˆ p 4π ε E 4π ε ˆ b, Több ponttöltés: (elektomos eők téeősségek szupepozíciójának elve:) E 4π ε N i i i i i
24 Folyamatosan eloszló töltés elektomos tee 4 (vö.: a töltés kvantált!) d λ dl σ df ρ dv töltéssűűség (vonalmenti) (felületi) (téfogati) λ dl σ df ρ dv d de 4π ε (itt az ˆ ˆ iányú egységvekto) E ˆ d 4π ε
25 Elektomos eővonalak 5 Az elektomos té szemléltetésée szolgálnak, de ennél többe alkalmatlanok: a té megadásához az E () függvény kell! - Eővonal (iányítást is jelölünk ajtuk): olyan göbék, amelyek (iányított) éintője minden pontjukban az ottani téeősség iánya. - sűűségük aányos a téeősséggel
26 Néhány egyszeű töltés(endsze) eővonalai: 6
27 - az elektosztatikus té eővonalai mindig a + töltésből indulnak, és a töltésekben végződnek 7 nincs a semmiben induló/végződő, sem pedig zát eővonal az elektosztatikai té övénymentes vektoté, foásai/nyelői a +/- töltések - az eővonalak sohasem metszik egymást - a ponttöltések általában NEM az eővonalak mentén mozognak! Elektomos eővonalak láthatóvá tétele A(z elnyújtott alakú) szigetelő szemcsék az elektomos tében -dielektomos polaizáció événdipólusokká válnak ezek beállnak a té iányába és láncokba endeződnek kiajzolják az eővonalakat!
28 Elektomos dipólus 8 - ellentétesen egyenlő töltések l távolságban: elektomos dipólus - ha hatását tőle távoli pontban vizsgáljuk, azaz l <<, akko: pontszeű dipólus p l Elektomos dipólmomentum def.: itt l a negatív töltésből a pozitívba mutató helyvekto SI egysége: C m (célszeű definíció, met ez hatáozza meg a pontszeű dipól teét, ill. az el. tének a dipóla gyakoolt hatását) - Az elektomos dipólus fontos töltésendsze, mivel (a pemanens- vagy az indukált polaizáció miatt) elektomosan semleges endszeekben (az atomok, molekulák is ilyenek!) igen gyakoi! Elektomos súlypont: i i s (analóg a tömegközépponttal (súlypont)) i (itt i egy efeenciapontból az i. töltésbe mutató helyzetvekto, s pedig a efeenciapontból az elektomos súlypontba mutató helyzetvekto) - Semleges töltésendszeben (pl. atom) a polaizáció miatt a + és töltések súlypontja gyakan nem esik egybe dipólus!
29 Dipólus elektomos tee 9 A dipólus elektomos teét célszeűen előszö az ún. Gauss-féle főhelyzetekben számítjuk ki, azután ezek alapján általánosítunk: a) az A pont a dipólushoz képest a Gauss-féle első főhelyzetben van (ld. ába!) - A téeősség a dipólustól távol ( >> l): az eők egyiányúak, ezét: ahol: + E 4π ε ( l / ) E A E + E E 4π ε ( + l / ) (közös nevező, >> l, p l kihasználásával adódik:) E A 4π ε p 3 b) a B pont a dipólushoz képest a Gauss-féle második főhelyzetben van (ld. ába!)
30 - a töltések távolsága a B ponttól azonos, így: E + E 4π ε + ( l / ) 3 - E B + és E B - a töltéseken átmenő egyenessel ugyanakkoa (Θ) szöget zának be, ezét az E B -nek l -e meőleges komponense zéus, vagyis E B iánya megegyezik -p iányával - E B nagysága pedig az ábáól láthatóan: E B E + cosθ 4π ε l / l + l ( / ) ( ) + / - ebből >> l, p l kihasználásával a keesett téeősség: E B 4π ε p 3 FONTOS: E 3 (fennáll a dipólustól tetszőleges (ögzített) iányban távolodva is!), azaz e gyosabban cseng le, mint a ponttöltés teének téeőssége ( E )
31 Tetszőleges helyzetű pontban: 3 - általános esetben a téeősség meghatáozása szellemesen visszavezethető a két gaussi főhelyzete (ezét volt édemes definiálni azokat!): - a B pontból bocsássunk meőlegest az AP egyenese, és az így kapott C metszéspontba képzeletben helyezzünk egy + és egy - töltést (azaz együttesen semmit)! - így a C -be tett + az A -beli - -val olyan dipólt alkot, amelye P az első főhelyzetben van, a C -be tett - a B -beli + -val pedig olyan dipólt, amelyhez képest P a második főhelyzetben helyezkedik el - az eedeti dipól p dipólmomentumából a P pont helyzete által meghatáozott CAB szög ismeetében kiszámolható a p és p, így a fenti eedmények felhasználásával a P -beli téeősség meghatáozható (Általános esetben, a dipólustól távol: E ( p) 3 p 5 3 4π ε ) - láthatóan -bámely ögzített iányban- ez is -3 szeint csökken a távolsággal!
32 Eőhatások dipólusok között 3 (egyiányú dipólok esete) l << F 4π ε 6 p 4 - ez vonzó eő (ui. a jobboldali dipólt a baloldali dipól pozitív töltése jobban vonzza, mint amennyie a -távolabb lévő!- negatív töltése taszítja) - ellentétes iányú dipólmomentumok esetén viszont: taszítás ( különböző momentumú dipólusok esetén: F ) 4 4π ε (egyiányú dipólok esete) - ellentétes iányú dipólmom. -ok között viszont: vonzás 6 p - ez taszító eő (a baloldali dipól mindkét töltése jobban taszítja a jobboldali dipólt, mint vonzza) p F ' 3p 4 4π ε Még gyosabban lecseng ( -el), mint a dipólus-töltés kölcsönhatás: F 4
33 A dipólusok által egymása gyakoolt eő nemcsak távolságuktól függ, hanem egymáshoz viszonyított helyzetüktől is! Nem centális eő! 33 Van de Waals eők - semleges molekulák között ható gyenge vonzóeők (mindig vonzó, met indukált dipóla hat!) - a biológiában igen fontos szeepük van, pl. a fehéjék -működésükhöz elengedhetetlen- konfomációs stabilitásának biztosításában Ezek eők a fentiek alapján ételmezhetők, távolságfüggésük meghatáozható: - a p dipólmomentumú () molekula polaizálja a () molekulát, p dipólmomentumot indukálva benne - minthogy a dipól tee -3 szeint cseng le, a () helyen a polaizáló téeősség: - az indukált dipólmomentum ezzel aányos: - a fentiek szeint két dipól kölcsönhatási eeje: p p 3 F ~ p p ~ 4 p 7 E p 3 tehát a fenti módon keletkező van de Waals eőke fennáll: F ~ p 7
34 Egyenletes töltéseloszlások által keltett téeősség 34 a) Végtelenül hosszú egyenes vonal mentén homogén módon, folytonosan eloszló töltés elektomos tee d λ dy (λ: lineáis töltéssűűség) d ˆd de 4π ε E 4π ε E πε λ x tehát: E ~ x - b) Végtelen kitejedésű síkon homogén módon, folytonosan eloszló töltés elektomos tee d σ df (σ: felületi töltéssűűség) - a satíozott csíkok teét az a) pontban má kiszámoltuk! - ennek felhasználásával: E σ ε
35 A téeősség nem függ a lemeztől való távolságtól! 35 A töltött lemez mindkét oldalán homogén az elektomos té! c) Két végtelen kitejedésű, páhuzamos síkon homogén módon eloszló, ellentétes előjelű töltések elektomos tee - a b) alatti eedményünkből, a szupepozíció elvének alkalmazásával kapható: a té a lemezek között homogén, kívül viszont zéus (síkkondenzáto!):
36 Ponttöltés elektomos tében 36 Ponttöltés mozgása homogén elektomos tében - konstans eő egyenletesen gyosuló mozgás (vö. hajítás gavitációs tében) F E a F m E m - példaként elekton (e, m e ) mozgását tágyaljuk, homogén elektomos tében (pl. síkkondenzátoban) - ha az elektont v kezdősebességgel lőjük be a koo. sz. kezdőpontjában, az el. tée meőlegesen (ld. ába; vö. vízszintes hajítás): v E a, x a y e E m e e E x ( t) v t, v y t) a t t m (, e y e E m ( t) a t t e x(t) és y(t) fenti kifejezéséből az időt eliminálva adódik a pálya egyenlete:
37 e E y ( x) x m v paabolapálya! e 37 - gyakan így téítik el az elektonsugaat (pl. katódsugá oszcilloszkópban) Millikan kísélete (9) Előzmény: Helmholtz ( 88): az elektolízis Faaday-tövényeiből ha az anyag atomos, akko a töltés is az, van legkisebb elemi töltés: F 9 e,6 C (itt: F a Faaday-állandó, N N A az Avogado-szám) A - de ez sok ion töltésének átlagát adja, nem diekt méése egy ion töltésének! - a polasztással nyet olajcseppek -a dözsölés miatt- elektomosan töltöttek! - ha szükséges, a cseppek töltése megváltoztatható a öntgenfoás bekapcsolásával (a öntgensugá ionizálja a levegőben lévő molekulákat, amelyek a cseppekkel ütközve megváltoztatják azok töltését) - a síkkondenzátoa kapcsolt V feszültség a kondenzátoban homogén el. teet hoz léte, amely a cseppeke a töltésüktől függő eővel hat -így a cseppeket lebegtetni ill. mozgatni lehet; ilyen viselkedésükből töltésük megállapítható!
38 - lebegtetés helyett (a Bown-mozgás okozta nehézségek elkeülésée) olyan téeősséget választunk, amelynél a csepp mozog (mondjuk, felfelé) 38 - az elektosztatikus eő és a nehézségi eő eedőjének hatásáa a csepp addig gyosul, míg a -Stokes-tövénnyel számolható- közegellenállás azt ki nem egyenlíti - az egyenletes mozgás v sebességée fennáll: 4π E 3 l 3 ( ρ ρ ) g 6 π η v - a kiszámításához szükség van még a csepp sugaáa, ami azonban a fényelhajlás és a Bown-mozgás miatt a mikoszkópon nem leolvasható - ezét az elekt. teet kikapcsolva a cseppet esni hagyjuk, amelynek állandó v sebességée: 4π 3 3 ( ρ ρl ) g 6 π η v - az ebből kifejezett -et beíva a két egyenlet összeadásával nyet 6π η ( v + v E kifejezésbe, a csepp töltése meghatáozható )
39 M. változtatta: V : V ( mindig édemes!) :, µm p (a levegő nyomása):... 5 Pa 39 Minden mét töltés-éték (a kíséleti hibán belül) az e,6-9 C egész számú többszööse volt! Dipólus homogén elektomos tében F E - a töltések absz. étéke azonos a dipólusa ható eedő eő zéus! - a dipólusa ható fogatónyomaték: M (l x F) (l x E) M p E Kísélet: a dipóla fogatónyomaték hat! magáa hagyva fogási ezgő mozgást végez! d ϕ p E Θ p Esinϕ d t α ϕ (itt α: szöggyosulás kis kitéésnél) Θ
40 Θ T π peiódusidővel leng (a súlódás miatt temészetesen csillapodik!) p E 4 vezető úddal ugyanez: megosztás dipólus ez is beáll a té iányába! Dipólus potenciális enegiája elektomos tében - a dipóla ható fogatónyomaték: M p E sin ϕ - a dipólus ϕ ϕ elfogatásako a külső eők munkája: W ϕ ϕ M dϕ ϕ ϕ pe sinϕ dϕ pe (cosϕ cos ) ϕ ha az elfogatást lassan végeztük (azaz közben nem változott (zéus maadt) a endsze kinetikus
41 enegiája), akkoa a fogatás közben a külső eők W munkája a endsze U potenciális enegiáját (konzevatív a té!) növelte: U U W 4 - a dipól U -hoz tatozó ϕ helyzetéből (ha van ilyen!) kiindulva: U ϕ Uϕ + Wϕ ϕ W ϕ ϕ - tudjuk, hogy a potenciális enegia csak egy additív konstans eejéig meghatáozott; válasszuk e konstanst úgy, hogy az Uϕ függvény egyszeű legyen: minthogy a W első tagja ϕ π esetén eltűnik ( cos ( π ) ), válasszuk e helyzetet a potenciál zéushelyének, U! π ezzel a választással: U p E cos ϕ p E - e kifejezésnek ϕ a van minimuma a dipólus igyekszik befodulni a té iányába! Dipólus inhomogén elektomos tében - a töltéseke ható eők: F + E F - - E - ezeknek megfelel: eőpá: (- E, + E) eő: F (E - E) fogatónyomaték + eő általában foogva gyosul a nagyobb téeő felé
42 Speciális eset: 4 - a téeősségek (E, E ) iánya a + és a - helyén egyenlőnek tekinthető - tegyük fel: E független y és z-től! a téeősség (és a téeősség változásának) iányában (x): d E E l cosϕ d x E (kis l-e) d E F x d x F x d E d x ( E' E) l cosϕ p cosϕ p x d E d x ; ha ϕ, akko: d x F x d E p Általános eset: l (l x, l y, l z ) E E E - ekko a E l x + l y + l z x y z E x közelítésben: F E p +... x vagyis: ( F ( p ) E p gad )E ahol a p fomális jelölés ezt takaja : p px + p y + pz x y z
43 Az elektomosan töltött test vonzza a töltetlen vezetőt és szigetelőt (mélyebb ételmezés) 43 - a fentiek fényében világos, hogy a megosztással vagy polaizációval létehozott dipólust csak az inhomogén el. té vonzza (és az MINDIG vonzza, sohasem taszítja, mivel a dipól iányát a té hatáozza meg, és a töltések tee a töltésektől távolodva mindig csökken!) a) fémgolyó (megosztás) b) ill. bodzabélgolyó (polaizáció) Az elektomos fluxus (Φ E ): (vulgáisan, dimenziótól eltekintve: a felületen átmenő E -vonalak száma ) A fluxus bámely vektotée definiálható így (pl. mágneses indukcióa)! a) ha a felület(elem) meőleges a (felületelemen) homogén E elektomos tée:
44 ill. (oldalnézet) 44 ilyenko: Φ E E f b) ha a felület(elem) nomálisa Θ szöget zá be a(felületelemen) homogén E téel: ill. oldalnézetben: Φ E E n f (f a felületelem teülete) azaz: Φ E E f cos Θ, másképpen: Φ E E f (itt f az ún. felületvekto ) (felületvekto def.: iánya a felületelem nomálisa, nagysága a felületelem teülete) - az elektomos fluxus SI-egysége: N m C
45 c) tetszőleges felület és elektomos té esetén: 45 f, f, f N : a felület egy (N elemű) beosztása (olyan legyen, amelye (előít pontossággal) a f i -ken belül E konstans, és a f i -k sík felületelemek!) Φ E E i f i f esetén: Φ E E d f f d) tetszőleges, zát felület és tetszőleges elektomos té esetén: Megállapodás: df mindig kifelé mutat a zát téészből (külső nomális)
46 Φ E f E d f 46 a fentiek szeint: - negatív fluxus: a téfogatba belépő fluxus - pozitív fluxus: a téfogatból kilépő fluxus Példa: f : több eővonal lép ki, mint be > Φ E > f : több eővonal lép be, mint ki < Φ E < f 3, f 4 : ugyanannyi eővonal lép be, mint ki Φ E Vegyük észe: itt a téfogatból nem indul ki, és abban nem végződik eővonal ( nincs benne elektomos töltés!), VAGY: a téfogatból kiinduló és abban végződő eővonalak száma egyenlő ( )
47 A Gauss-tétel 47 Számoljuk ki az elektomos téeősségfluxust egy ponttöltés köé ajzolt, sugaú gömbfelülete! E 4π ε - a felületen: - E minden pontban meőleges a gömbfelülete (E df), ezét: Φ E E d f 4π ε df (4π ) 4π ε ε Φ E tehát független a gömb sugaától, csak attól függ, mekkoa töltés van a gömbfelületen belül! Most bebizonyítjuk, hogy a kapott összefüggés tetszőleges, zát felülete is fennáll: a) Egyetlen ponttöltés esetée: - tetszőleges felület beosztását tetszőlegesen finomítva (úgy, hogy a legnagyobb felületelem átméője is -hoz tatson!), a beosztások felületelemei egye jobban közelíthetők kis síklapokkal - egy ilyen kis síklap fluxusa (láttuk ui., hogy homogén tében lévő síklap fluxusa a síklap tée meőleges síka való vetülete teületének szozata a téeősséggel) a beosztás finomítása közben egye jobban megközelíti annak a gömbfelület-daabnak a fluxusát, amely (akáhol) átmegy
48 a kis síklapon, és amelyet a töltésből kiinduló, a kis síklap hatáán végigfutó félegyenesek vágnak ki a gömbfelületből (ld. ába!) - emiatt ilymódon tetszőleges F felület minden beosztásához hozzáendelhető a ponttöltés köül (általában különböző sugáal) ít gömbfelület-daabok egy halmaza, amelynek daabjai együttesen (egymás közti átfedés nélkül) kiteszik azt az Ω F tészöget, amely alatt a felület a pontból látható, és amely a beosztás finomításával egye jobban megközelíti tetszőleges felületünket, fluxusa pedig annak fluxusát - egyetlen ilyen F G gömbfelület-daab fluxusa (a koábbiak szeint) független a sugaától; a töltésen kívül csak attól függ, mekkoa ΩF G tészög alatt látszik FG a pontból: df Φ E E d f dω Ω FG 4πε 4πε πε F G F G 4 F G - mindezek alapján a téeősség tetszőleges F felülete vett fluxusa a teet létehozó töltésen kívül csak attól függ, mekkoa Ω F tészög alatt látható az F felület a ponttöltés helyéől, és e fluxus étéke: Φ Ω E F (ezt a észeedményt édemes megjegyezni!) 4πε - a töltést köülvevő bámely zát felület tészöge a pontból 4π, így az aa vett téeőfluxus /ε, vagyis ezzel bebizonyítottuk, hogy tetszőleges zát felülete is fennáll: Φ E d f E ε 48 b) Fenti (besatíozott) edményünkből következik (tekintettel koábbi, a zát felület felületvektoának iányáa vonatkozó konvenciónka), hogy tetszőleges zát felületen kívüli ponttöltés fluxusa e felülete mindig zéus (hiszen a felület -ból látható és az eltakat észének tészöge megegyezik, így fluxusaik abszolút étéke is ugyanakkoa, azonban fluxusaik előjele -felületvektoaik
49 iánya miatt- ellentétes). Ugyanígy az is nyilvánvaló, hogy ha egy zát felületnek olyan daabjai vannak (ld. az ábát!), amelyek a töltés helyéől nézve eltakaják egymást (a felület zátsága miatt az egymás mögötti ilyen daabok száma szükségképpen páatlan!), akko a -ból látható daab (az ábán f ) kivételével a többi (ábánkon f és f 3 ) fluxusa (a felületen kívüli töltés fenti esetével azonos okból) zéusa összegződik, így fenti a) eedményünk ilyen típusú zát felületeke is évényes. 49 c) Több ponttöltés esetée: Φ E E d f (a szupepozíció elve miatt ) ( Ei ) d f i E i d f - a jobboldalon egyetlen töltése vonatkozó fluxusok szeepelnek, amelyeket a) és b) alatt má tágyaltunk, tehát: Φ N E E d f i ε ε vagyis tetszőleges zát felület fluxusa a felületen belüli ponttöltések összegének /ε -szoosa! d) Tetszőleges töltéselosztás (a töltés kvantáltsága miatt) mindig összetehető ponttöltésekből, így a tétel aa is évényes! Bebizonyítottuk tehát: Gauss tétele (vákuumban): tetszőleges, zát f felülete vonatkoztatott elektomos fluxus megegyezik a felületen belüli elektomos töltések algebai összegének /ε -szoosával. i
50 (vegyük észe, hogy -bizonyításunk szeint- e tétel akko is évényes, ha az elektomos téhez a zát felületen kívüli töltések hatása is hozzájául!) Gauss tétele ekvivalens Coulomb tövényével! belátjuk (egyszeű esetben): Gauss-tétel Coulomb-tövény - a ponttöltés köé ít sugaú gömbe (f 4 π) (feltéve, hogy centális az eőté!): 5 ε ( 4π ) Edf E df E E 4π ε F E 4π ε (ami a Coulomb-tövény!) - azt pedig má láttuk, hogy: Coulomb-tövény Gauss-tétel, VAGYIS: EKVIVALENSEK! A Gauss-tétel jelentősége (előnyei a C. -töv. -hez viszonyítva): a) Megfelelő szimmetiájú elektomos tében a Gauss-tétellel egyszeűbben kiszámítható a téeősség! b) JOBBAN KIFEJEZI A TÉRSZEMLÉLETET! ( Maxwell-tövények)!
51 A Gauss-tétel és a ecipok négyzetes tövény 5 E, gavitációs té eőtövénye is - a Gauss-tételt a ecipok négyzetes távolságtövényből kaptuk minden ecipok négyzetes fizikai tée (pl. gavitációs ) évényes! de: CSAKIS ilyene! - ha pl. E 3 lenne a távolságtövény, akko a Gauss-tétel nem állna fenn: φ E Edf (4π ) 3 4π ε ε, vagyis függene -től, noha a felületen (gömbön) belüli f töltésmennyiség változatlan! Nem lenne évényes a Gauss-tétel! A Gauss-tétel diffeenciális alakja - tekintsünk az el. tében egy tetsz. F zát felületet; az általa köülzát téfogatot jelölje V! - jelölje ρ() a téfogati töltéssűűséget! ρ ()dv V ' - ezzel a Gauss-tétel integális alakja: F ' E d f ε V ' ρ dv
52 - a matematikai Gauss -féle integáltétel: bm. olyan vektotée, amelynek divegenciája létezik az F zát felület által közefogott V téfogatban, fennáll: F ' E d f V ' div E dv - a két utóbbi egyenlet balodala megegyezik, így jobboldaluk is; ebből: div E dv V ' ρ ε 5 - ez csak akko lehetséges tetszőleges V -e, ha az integandusz eltűnik: a Gauss-tétel diffeenciális alakja: div E Emlékeztető: vektoté divegenciája div F( ) F (jelölés) vekto-skalá függvény ; koodinátafüggetlen def.: div F( ) lim V f ' F d V f ρ ε (Maxwell első tövénye!) ahol f a V téfogatot hatáoló kis, zát felület, amely a hatáátmenetko az végpontjáa húzódik össze nabla diffeenciálopeáto (jelölés): Deékszögű koodinátákkal kifejezve:,, x y z div F( ) F x x Fy + y F + z z
53 A Gauss-tétel diffeenciális alakja szeint - ha ρ ugyanannyi eővonal megy ki, amennyi bejön nincs ott foása - ha ρ < több jön be: nyelő - ha ρ > több megy ki: foás, ezét: > 53 Az elektosztatikai té foásos vektoté, amelynek foásai a töltések. Példák a Gauss-tövény alkalmazásaia ) R sugaú gömb felületén egyenletesen eloszló töltés elektomos tee (a Coulomb-tövény alapján meghatáozása nem tiviális ) - gömbszimmetikus töltéseloszlás gömbszimmetikus té téeőssége adiális iányú, és csak -től függ: E E() a) a gömb középpontjától > R távolságban (ld. ába): a G.-tételből: f E d f 4 π E ε E 4π ε vagyis a gömbön kívül a té olyan, mint a gömb középpontjában elhelyezett ponttöltés tee! b) a gömb középpontjától < R távolságban (ld. ába):
54 a G.-tételből: E d f 4 π E E f tehát a gömbhéjon belül nincs elektomos té, a téeősség ott zéus! 54 ) R sugaú, szigetelő gömb téfogatában egyenletesen eloszló töltés elektomos tee a) a gömb középpontjától > R távolságban (ld. ába): a G.-tételből: f E d f 4 π E ε E 4π ε vagyis, ugyanúgy, mint fenti esetünkben, a gömbön kívül a té olyan, mint a gömb középpontjában elhelyezett ponttöltés tee! b) a gömb középpontjától < R távolságban (ld. ába): a G.-tételből: f E d f 4 π E R 3 3 ε E 4π ε R 3
55 a gömbhéjon belül az elektomos té a középponttól mét távolsággal egyenesen aányos 55 3) Végtelen egyenes mentén állandó lineáis töltéssűűséggel eloszló töltések elektomos tee geometiai szimmetia E az egyenese, és csak től függ: E E() a G.-tételből (a koaxiális henge alaplapjaia (azokon: E df, df 3 ) a fluxus zéus, maad a palást): λ l λ E () l π E ε π ε 4) Végtelen síkon állandó felületi töltéssűűséggel eloszló töltések elektomos tee - geometiai szimmetia E a síka - a G.-tételből (a henge palástjáa a fluxus zéus, maadnak az alaplapok): σ f f E ε E σ ε - má a Gauss-tövény felíásako látszik: E nem függ a síktól mét távolságtól!
56 3. AZ ELEKTROMOS POTENCIÁL 56 Az elektomos té munkája a) Egyetlen ponttöltés teének munkája, mialatt a P póbatöltés az pontból a pontba jut: dw F dl p E dl W F dl E dl p A tee: W p 4π ε dl 4π ε E, amelyben:, ezzel: dl dl cos Θ d, (ld. az ábán!) p d p p emiatt: W 4π ε 4π ε
57 vagyis: a W munka csak és étékétől (azaz a kezdő- és végponttól) függ, az úttól nem! 57 b) A szupepozíció elve miatt ez tetszőleges töltésendsze teée is évényes! Az elektosztatikai té konzevatív eőté! - bizonyításunk soán F() e nem használhatunk ki semmit! következésképp: Bámely CENTRÁLIS (F() F() ) ERŐTÉR KONZERVATÍV! (pl. a gavitációs eőté is) De: nem minden konzevatív té centális! (pl.: egy dipól tee is konzevatív, pedig nem is gömbszimmetikus) Az elektosztatikai té övénymentessége - Minden konzevatív té övénymentes, hiszen: - konzevatív tében tekintsünk egy tetszőleges zát göbét! - válasszuk ki e göbe akámelyik két (különböző) pontját ( és ); ezek a göbét két észe ( 3 és 4 ) osztják - a té (adott póbatöltésen végzett) munkája a tetszőleges zát göbe mentén: W 34 W 3 + W 4 - a konzevatív té és között végzett munkája def. szeint
58 58 független az úttól: W 3 W 4, ezét W 34 W 4 + W 4 - itt a jobboldalon ugyanazon úton ellentétes iányban végzett munkák állnak, így abszolút étékük azonos, de előjelük ellentétes (met akámelyik közelítő összegükben minden E i l i elemi belső szozat ellentett lesz cos ϕ -cos (π-ϕ) miatt), így a jobboldal mindig zéus, vagyis: W 34 konzevatív té tetszőleges zát göbe mentén végzett munkája zéus! - az ilyen teet (amelye tetsz. zát g göbén W E dl ) övénymentesnek mondják g p Az elektosztatikus té övénymentes vektoté, azaz tetsz. zát g göbéjée fennáll: g Edl belső szozat > lenne, vagyis az eővonal mentén - ez az enegiamegmaadás tövényéből is következik: ha a valamely úton nem lenne zéus, akko vagy ezen az úton, vagy ezt az utat ellenkező iányban befutva a > lenne; közben azonban sem a póbatöltés, sem a té nem változik enegiát (munkát) nyenénk semmiből! Az elektosztatikus té eővonalai nem lehetnek zát göbék (ezt említettük má)! hiszen: ha lehetnének, akko az eővonal iányában haladva minden E dl elemi E dl lenne, ami ellentmondana az övénymentességnek!
59 Nincs olyan 3 dimenziós elektosztatikus té, amelynek eővonalai azonos iányba mutatnának, de eltéő sűűségűek lennének! 59 ennek oka: a bejelölt útvonalon E dl lenne, ami ellentmondana az övénymentességnek! Az övénymentesség definíciójának diffeenciális alakja - az övénymentesség eddig használt g E dl integális def. -ját most átíjuk diffeenciális alakba: Stokes tétele: bámely g zát göbée kifeszített tetszőleges f felülete (ha azokon a vektoté folytonosan diffeenciálható) fennáll, hogy - a fenti két egyenletből: ot Edf tetszőleges f -e ez csak akko teljesülhet, ha: f E dl g f ot Edf ot E, ez az övénymentesség diffeenciális definíciója Minden övénymentes vektotében (és csakis ott) bevezethető egy (skalá)potenciál!
60 6 Emlékeztető: vektoté otációja ot F( ) x F (jelölés) vekto-vekto függvény ; koodinátafüggetlen def.: a ot F vekto n iányú komponense: ahol: - g: kis, zát síkgöbe (nomálisa n, amely a g köüljáási iányával jobbcsavat alkot), amely a hatáátmenetko az végpontjáa húzódik össze - f: a g által bezát teület i Fx x Deékszögű komponensei: x F j Fy y k Fz z ot n F lim f g F d s f Az elektomos potenciál Láttuk: a ponttöltés teének munkája, ha p elmozdul az helyől a helye: W p 4π ε p - a té konzevatív, így W felíható a két pontban vett U i potenciális enegiák különbségeként:
61 6 4π ε p emiatt U + konst. W U U ; válasszuk: -nél U konst. tehát ponttöltés potenciális enegiája a töltéstől távolságban a nullnívó ilyen választása esetén: U 4π ε p A szupepozíció elve miatt töltésendsze potenciális enegiája ilyen tagok -ja. ha a töltések előjele azonos: p > U > ha a töltések előjele eltéő: p < U < - ez a potenciális enegia a té bámely P pontjában a tétől ÉS a p -póbatöltéstől függ ha az utóbbi függést kiküszöböljük, AKKOR A TÉR JELLEMZÉSÉRE ALKALMAS! Az elektomos potenciál: - a té tetszőleges P pontjában az odahelyezett p, p, póbatöltés pot. enegiája: U, U, - a tapasztalat (és az azt kifejező C. -töv.) szeint közöttük a té tetszőleges (ögzített) P U ' U '' pontjában fennáll:... ϕ ' ' ' p p
62 6 Ez a hányados p -től má független, az adott pontban csak a tée jellemző, így a té jellemzésée használható: U ϕ elektomos potenciál p - ezzel p töltés potenciális enegiája φ potenciálú helyen: U p ϕ - Az elektomos potenciállal a té bámely úton végzett munkája felíható, miközben a p töltés a té pontjából a pontjába jut: W U -U p (ϕ - ϕ ) p V - Elnevezés: V ϕ - ϕ potenciál különbség, másnéven feszültség - Ha a p a P pontból a be mozog: W p, P (ϕ p - ϕ ); választás: ϕ (a gyakolatban: a potenciál nullnívója a Föld potenciálja (paktikus választás)) ekko: W p, p ϕ, ϕ Wp, p A potenciál számétéke az a munka, amelyet a té végez, miközben a pozitív egységnyi töltést az adott pontból a zéusnak választott potenciálú pontba ( ill. a földfelület) juttatja. - a potenciál egysége (Alessando Volta (745-87) tiszteletée): volt (V) ; V J C (µv -6 V, mv -3 V, kv 3 V, MV 6 V) Az elektonvolt: ev (enegia- ill. munkaegység, NEM potenciál egység!)
63 ev,6 9 C V,6 9 J 63 ( kev 3 ev, MeV 6 ev, GeV 9 ev) - Az elektomos téeősség egysége (láttuk: N/C) a potenciál egységével V/m alakban is N Nm J V megadható, hiszen:. C Cm C m m Látni fogjuk: az elektosztatikus tének a téeőséggel ill. a potenciállal való meghatáozása EKVIVALENS! (ui. egymásból -additív konstanstól eltekintve- meghatáozhatók, amint ezt a téeősség-függvény potenciálfüggvény esete má láttuk is!) Ponttöltések potenciálja a) Egy ponttöltés potenciálja: - a potenciál a té tetszőleges, a teet létehozó ponttöltéstől távolságban lévő pontjában: ϕ U p 4π ε p p 4π ε b) Ponttöltések endszeének potenciálja:,,, N ponttöltések,,,, N
64 - a potenciál a té tetszőleges, a teet létehozó i ponttöltésektől i távolságokban lévő pontjában: 64 A szupepozíció elve ételmében F F i, így az a és a b pont közötti vonalintegálja hasonlóképpen: N i p ip Wab W i, ahol Wi, vagyis i 4πε i,a i,b N N i p i p W ab 4π ε i 4π ε i i,a i,b W ab U U U 4π ε N i i i p ϕ 4π ε N i i i Folytonosan eloszló töltések potenciálja d dϕ, ϕ d 4π ε 4π ε Téfogati töltéseloszlás esetén: d ρ dv ϕ 4π ε ρ dv V Felületi téfogateloszlás esetén: d σ df ϕ 4π ε σ df f
65 Elektomos dipólus potenciálja 65 tetszőleges, a dipólustól távoli pontban: >> l (a) ; ˆ láttuk: a potenciál a két ponttöltés potenciáljának összege: ϕ () 4π ε + 4π ε ( + (itt +, - : absz. ét. skalá!) + ) + acos Θ a, + a l ; + a cos Θ + + a ϕ( ) 4π ε e közelítésekkel: p vagy más fomában (minthogy p cosθ p pcosθ ): ϕ (, Θ) 4π ε (adott távolságban φ iányfüggő; Θ π/ -e pl. zéus!) a dipólus potenciálja - szeinti távolságfüggésű; gyosabban lecseng, mint a ponttöltés ( - -es távolságfüggésű) potenciálja!
66 66 Töltésendsze potenciálja nagy távolságban l << i i N i πε ϕ 4 ) ( i << a) ponttöltés közelítés: - i N i 4 ) ( π ε ϕ i Ebben a közelítésben a töltésendsze potenciálja olyan, mint a töltések algebai összegével egyenlő töltésű ponttöltés potenciálja! b) dipólus közelítés (pontosabb!): i i i ˆ ˆ ezzel: + i i i ˆ ˆ, amelyben kihasználtuk, hogy << esetén: ( itt - )
67 tehát: N i i ˆ ϕ ( ) + 4, másképpen: π ε i 67 ϕ ( i) ˆ ( ) + itt p i i 4π ε 4π ε N i i i a töltéseloszlás dipólmomentuma ponttöltés potenciálja dipólus potenciálja Ez az eedmény közvetlen folyománya a ponttöltése és a dipóla kapott koábbi eedményeinknek! (szupepozíció elve!) Elektomosan semleges töltéshalmaz esetén (ilyenko nem nyomja el a fenti. tag a -at): Példák: a) Dipólközelítés ϕ ( ) p ˆ + 4π ε vízmolekula (H O, ld. ába!) potenciálja esetünkben i de p i i p + p dipólközelítés: ϕ () ~
68 b) Kvadupól-közelítés 68 A kvadupólust két, ellentétes iányú dipólus alkotja, amelyek egymáshoz közel helyezkednek el, és dipólmomentumaik abszolút étéke megegyezik. - def. -jából következően a kvadupólusnak mind össztöltése, mind eedő dipólmomentuma zéus! szén-dioxid molekula (CO, ld. ába!) potenciálja esetünkben i és p p + p - emiatt a CO molekula potenciálja mind ponttöltés-, mind pedig dipól-közelítésben zéus, pedig valójában nem az! - a nemzéus potenciál ételmezéséhez a potenciál i faktoának i szeinti sofejtésében ( i << ) a hamadik tagot is figyelembe kell venni - e közelítésben ϕ () ~ (még gyosabban lecseng -el, mint a dipól potenciálja!) 3
69 Az elektomos téeősség és a potenciál kapcsolata 69 a) E ϕ összefüggés: ϕ ϕ Edl (má láttuk!) b ) ϕ E kapcsolat - az a) összefüggésből: ϕ ϕ ϕ E d l - ebből kis l esetén: ϕ E (ez vektook belső szozata!) (amelyben E a téeősség az pontban; ) - ez deékszögű komponensekkel: ( E x + E y + E z) ϕ x y z E x x, amelyből: ϕ ; E y ϕ y ; E z ϕ z (itt az index aa utal, hogy a téeő ill. a deivált étékét az pontban kell venni) Vagyis: E ϕ ϕ ϕ ( x y, z) i + j + k, (itt i, j, k ende az x, y,z iányú egységvekto) x y z E z deékszögű koodinátaendszeben épp a ϕ () gadiense! E () ϕ() gad a téeősség vekto a potenciál negatív gadiense!
70 (a leggyosabb potenciálcsökkenés iányába mutat) 7 Emlékeztető: skaláté gadiensvektoa gadu U (jelölés) skalá-vekto függvény; a skaláté diffeenciálhányados vektoa - Az U() skaláté az pontban diffeenciálható, ha van olyan d vekto, amely az (kis) megváltozásával m egszoozva (ez (minthogy iányfüggő!) vektook skaláis szozata!) kis (h( )) hibával (pontosan: esetén még elatív étékben (h( )/ ) is -hoz tató hibával!) megadja az U() (az helyől való elmozdulásnak megfelelő) megváltozását: h( ) U U( + ) - U( ) d + h( ), amelyben esetén. (ez a definíció azét nem olyan alakú, mint az egyetlen skalá változós függvény diffeenciálhányadosát definiáló, megszokott kifejezés, met itt a független változó megváltozása vekto, amellyel nem lehet osztani!) Ez a d vekto az pontban az U() skaláté diffeenciálhányadosa, másnéven gadiensvektoa. ( ez a gadiens koodinátafüggetlen definíciója) - A gadiensvekto deékszögű koodinátákkal ( a gadiens létezik, ha U koodinátái szeint folytonosan U U U paciálisan diffeenciálható): gad U i + j + k, x y z ahol i, j, k ende az x, y, z iányú egységvekto - Egy skalámező gadiensvektoának iánya minden pontban megadja a mező változása legnagyobb meedekségének adott pontbeli iányát, hossza pedig a legnagyobb meedekség nagyságát.
71 A potenciálegyenlet (Laplace-Poisson egyenlet) 7 felmeül a kédés: hogyan lehet a töltéseloszlásból kiszámítani a potenciálfüggvényt? - a potenciálegyenlet megadásához szükséges: az el. teet (E) meghatáozó összefüggés ( Gauss-tétel), és az E (φ) kapcsolat - ezeket elektosztatikus tée má ismejük: () div E () (Gauss-tétel) ρ ( ) ε E( () ) gad ϕ ( ) ()-t behelyettesítve ()-be kapjuk a keesett potenciálegyenletet: ρ ϕ, (ϕ ( )) Laplace-Poisson egyenlet ε ( itt a Laplace-opeáto: div gad x + y + z - a L.-P. egyenlet egyszeű (és szép) alakú, de megoldani (egzaktul, analitikusan) általában igen nehéz, gyakan nem is lehet! Példa: Hatáozzuk meg síkkondenzáto feszültségét (a fegyvezetei közötti potenciálkülönbséget) a téeősség függvényében! )
72 - láttuk: síkkondenzátoban E konst. (homogén elektomos té) 7 - a lemezeke meőleges úton (azaz a téeősség iányában) haladva: ϕ a ϕ x x E dx E x - a másik lemeznél: b pontnál: x d, ϕ x ϕ b, (φ az x távolság lineáis fgv. -e) ϕ ϕ E d a b ϕa ϕb E d V d Ekvipotenciális felületek - a potenciálté szemléltetésée hasznosak (többe nem!) ϕ ( x, y,z) const. A egyenlettel megadott felületeket ekvipotenciális felületeknek nevezik. keessük: dl -eket, amelyeke dϕ (ezek a dl -ek vannak az ekvipotenciális felület P pontbeli éintősíkjában) láttuk: dϕ - E dl a keesett dl -ek meőlegesek E -e! tehát: az ekvipotenciális felületek minden pontban E -e Az eővonalak meőlegesek az ekvipotenciális felületeke!
73 73 Ha az ekvipotenciális felületek közötti potenciálkülönbség étéke minden szomszédos felületpáa ugyanakkoa étékű, akko az ekvipotenciális felületek (E iányában mét) sűűsége aányos a téeősséggel. Példák: egyszeű töltésendszeek által keltett el. té - (baloldali ábák:) potenciálfüggvényei (folytonos vonalak) - (jobboldali ábák:) eővonalai (folytonos vonalak) és ekvipotenciális felületei (szaggatott vonalak) a) (pozitív) ponttöltés tee b) két egynemű (pozitív) ponttöltés tee ( ϕ : hipebolikus)
74 c) elektomos dipólus tee 74 Töltésendsze elektosztatikus enegiája Tekintsünk egy N számú ponttöltésből álló töltésendszet (a töltés kvantált mivolta miatt ez az általános eset!)! - a endsze potenciális enegiája a töltéseiből képezhető mini, j és a j, i töltéspá ugyanaz, így csak den lehetséges i, j töltéspá (távolságuk ij ) U ij potenciális enegiájából tevődik össze; a szupepozíció elve miatt ezek összege (vigyázat, itt a egysze (pl. i<j -e) kell figyelembe venni!) (ezt úgy is indokolhatjuk, hogy ha a töltésendszet úgy építjük fel, hogy a töltéseket -növekvő index szeinti soendben- a
75 végtelenből (a potenciál(is enegia) választott zéushelye) egyenként mozgatjuk végső helyüke, akko eközben a endsze potenciális enegiáját lépésenként ende U ; U 3 +U 3 ; U 4 +U 4 +U 34 ;... étékkel, vagyis összesen ezek összegével növeljük) - a endsze U potenciális enegiája tehát: N U i j i, j - ezt gyakan célszeű azokkal az U i potenciális enegiákkal felíni, amelyekkel az egyes töltések a többi töltés teében endelkeznek ( U lőle U ii ) i N j j i U i j U i< j ; a töltés önmagáa nem hat, ezét hiányzik be- i - csakhogy ezek U i ö sszegében minden U ij tag kétsze szeepel (U ij az U i -ből, a vele megegyező étékű U ji pedig az U j -ből), noha U fenti kifejezésében csak az egyike (a kisebb első indexűe) van szükség, emiatt: N U U i, vagyis: i A töltésendsze potenciális enegiája azon potenciális enegiák összegének a fele, amelyekkel a endsze egyes töltései a endsze többi töltésének teében endelkeznek. - az e kifejezésben szeeplő U i -ket sokszo előnyös a többi töltés teének az adott töltés helyén vett φ i potenciáljával kifejezni (U i φ i i ), ezekkel: A töltésendsze potenciális enegiája: U N i i ahol φ i a endsze többi töltése által keltett elektomos té potenciálja a ϕ i, i helyén; étéke: 75
76 4π ε (amint azt koábban, a potenciál tágyalásako láttuk:) ϕ i N j j i j i j 76 Töltött vezetőkből álló endsze enegiája - tegyük fel, hogy a,,... töltésű,,... testek (ld. ába) anyaga vezető! - láttuk: elektosztatikus egyensúlyban minden vezető teljes téfogata ekvipotenciális tatomány adott vezető minden töltésének ugyanakkoa a potenciálja (ϕ, ϕ, ) fenti eedményünk tehát esetünke közvetlenül alkalmazható: Töltött vezetőkből álló endsze enegiája: U ϕ + ϕ + K ahol ϕ i a többi töltés ( j, j i) teének potenciálja az i. test (teljes) téfogatában ez folytonos töltéseloszlása: - felületi töltéseloszlása: ( ) σ df U σ ϕ df - téfogati töltéseloszlása: ( ρ dv ) U f V ρ ϕ dv
77 Az elektomos té enegiája 77 Hatáozzuk meg egy töltésű, nagyméetű síkkondenzáto enegiáját! - nagyméetű az inhomogén té téfogata << a homogén té téfogatánál (ui. a keület a lineáis méet., a felület viszont a lineáis méet. hatványával nő!) így a té homogénnek tekinthető! A töltésendsze enegiájáa kapott koábbi eedményünkből a kondenzáto pot. enegiája: U ϕ + ϕ ϕ ϕ ( ϕ ϕ ) E d ( láttuk: ϕ - ϕ E d) (ϕ helyett az E téeősséget akajuk behozni!) - láttuk: E σ ε ε f ebből E() ill. (E) kifejezését a jobboldalon beíva kapjuk: U ε d f E ε f d ε E V ill. U V f d a kondenzáto téfogata (amelyben az E elektomos té található) a jobboldali kifejezésből a téfogategysége eső potenciális enegia: U ε E az elektomos té enegiasűűsége
78 (ezzel: U V ε E dv ) 78 Hol táolódik az elektomos enegia? - a töltések hodozzák? - az elektomos té hodozza? Az időben változó elektomos teek elektomágneses hullámként, az azokat létehozó töltésektől függetlenül tejednek AZ ELEKTROMOS TÉRBEN!
9. ábra. A 25B-7 feladathoz
. gyakolat.1. Feladat: (HN 5B-7) Egy d vastagságú lemezben egyenletes ρ téfogatmenti töltés van. A lemez a ±y és ±z iányokban gyakolatilag végtelen (9. ába); az x tengely zéuspontját úgy választottuk meg,
RészletesebbenA Coulomb-törvény : ahol, = coulomb = 1C. = a vákuum permittivitása (dielektromos álladója) k 9 10 F Q. elektromos térerősség : ponttöltés tere :
Villamosságtan A Coulomb-tövény : F QQ 4 ahol, Q = coulomb = C = a vákuum pemittivitása (dielektomos álladója) 4 9 k 9 elektomos téeősség : E F Q ponttöltés tee : E Q 4 Az elektosztatika I. alaptövénye
RészletesebbenFIZIKA. Ma igazán feltöltődhettek! (Elektrosztatika) Dr. Seres István
Ma igazán feltöltődhettek! () D. Sees István Elektomágnesesség Pontszeű töltések elektomos tee Folytonos töltéseloszlások tee Elektomos té munkája Feszültség, potenciál Kondenzátook fft.szie.hu 2 Sees.Istvan@gek.szie.hu
RészletesebbenElektrosztatika (Vázlat)
lektosztatika (Vázlat). Testek elektomos állapota. lektomos alapjelenségek 3. lektomosan töltött testek közötti kölcsönhatás 4. z elektosztatikus mezőt jellemző mennyiségek a) elektomos téeősség b) Fluxus
RészletesebbenA Maxwell-féle villamos feszültségtenzor
A Maxwell-féle villamos feszültségtenzo Veszely Octobe, Rétegezett síkkondenzátoban fellépő (mechanikai) feszültségek Figue : Keesztiányban étegezett síkkondenzáto Tekintsük a. ábán látható keesztiányban
RészletesebbenFIZIKA. Ma igazán feltöltődhettek! (Elektrosztatika) Dr. Seres István
Ma igazán feltöltődhettek! () D. Sees István Elektomágnesesség Töltések elektomos tee Kondenzátook fft.szie.hu 2 Sees.Istvan@gek.szie.hu Elektomágnesesség, elektomos alapjelenségek Dözselektomosság Ruha,
RészletesebbenRugalmas hullámok terjedése. A hullámegyenlet és speciális megoldásai
Rugalmas hullámok tejedése. A hullámegyenlet és speciális megoldásai Milyen hullámok alakulhatnak ki ugalmas közegben? Gázokban és folyadékokban csak longitudinális hullámok tejedhetnek. Szilád közegben
Részletesebben5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR
5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR A koábbiakban külön, egymástól függetlenül vizsgáltuk a nyugvó töltések elektomos teét és az időben állandó áam elektomos és mágneses teét Az elektomágneses té pontosabb
RészletesebbenQ 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)
. Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol
RészletesebbenIVÁNYI AMÁLIA HARDVEREK VILLAMOSSÁGTANI ALAPJAI
IVÁNYI AMÁLIA HARDVEREK VILLAMOSSÁGTANI ALAPJAI POLLACK PRESS, PÉCS HARDVEREK VILLAMOSSÁGTANI ALAPJAI Lektoálta D. Kuczmann Miklós, okl. villamosménök egyetemi taná Széchenyi István Egyetem, Győ A feladatokat
RészletesebbenA magnetosztatika törvényei anyag jelenlétében
TÓTH A.: Mágnesség anyagban (kibővített óavázlat) 1 A magnetosztatika tövényei anyag jelenlétében Eddig: a mágneses jelenségeket levegőben vizsgáltuk. Kimutatható, hogy vákuumban gyakolatilag ugyanolyanok
Részletesebben4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR
4. STACONÁRUS MÁGNESES TÉR Az időben állandó sebességgel mozgó töltések keltette áam nemcsak elektomos, de mágneses teet is kelt. 4.1. A mágneses té jelenléte 4.1.1. A mágneses dipólus A tapasztalat azt
RészletesebbenMozgás centrális erőtérben
Mozgás centális eőtében 1. A centális eő Válasszunk egy olyan potenciális enegia függvényt, amely csak az oigótól való távolságtól függ: V = V(). A tömegponta ható eő a potenciális enegiája gaiensének
Részletesebben6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya, Culmann-szerkesztés, Ritter-számítás
SZÉHENYI ISTVÁN EGYETE GÉPSZERKEZETTN ÉS EHNIK TNSZÉK 6. EHNIK-STTIK GYKORLT Kidolgozta: Tiesz Péte egy. ts. Négy eő egyensúlya ulmann-szekesztés Ritte-számítás 6.. Példa Egy létát egy veembe letámasztunk
RészletesebbenA Coulomb-törvény : 4πε. ahol, = coulomb = 1C. = a vákuum permittivitása (dielektromos álladója) elektromos térerősség : ponttöltés tere : ( r)
Villamosságtan A Coulomb-tövény : F 1 = 1 Q1Q 4π ahol, [ Q ] = coulomb = 1C = a vákuum pemittivitása (dielektomos álladója) 1 4π 9 { k} = = 9 1 elektomos téeősség : E ponttöltés tee : ( ) F E = Q = 1 Q
Részletesebben1. ábra. 24B-19 feladat
. gyakorlat.. Feladat: (HN 4B-9) A +Q töltés egy hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld.. ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal. ábra. 4B-9 feladat irányában lévő,
RészletesebbenA +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra
. Gyakorlat 4B-9 A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld. 4-6 ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal irányában lévő, annak.. ábra. 4-6 ábra végpontjától
RészletesebbenXV. Tornyai Sándor Országos Fizikai Feladatmegoldó Verseny a református középiskolák számára Hódmezővásárhely, 2011. április 1-3. 9.
A vesenydolgozatok megíásáa 3 óa áll a diákok endelkezésée, minden tágyi segédeszköz tesztek teljes és hibátlan megoldása 20 pontot é, a tesztfeladat esetén a választást meg kell indokolni. 1. 4 db játék
RészletesebbenVezetők elektrosztatikus térben
Vezetők elektrosztatikus térben Vezető: a töltések szabadon elmozdulhatnak Ha a vezető belsejében a térerősség nem lenne nulla akkor áram folyna. Ha a felületen a térerősségnek lenne tangenciális (párhuzamos)
Részletesebbenα v e φ e r Név: Pontszám: Számítási Módszerek a Fizikában ZH 1
Név: Pontsám: Sámítási Módseek a Fiikában ZH 1 1. Feladat 2 pont A éjsakai pillangók a Hold fénye alapján tájékoódnak: úgy epülnek, ogy a Holdat állandó sög alatt lássák! A lepkétől a Hold felé mutató
RészletesebbenBSC fizika tananyag MBE. Mechatronika szak. Kísérleti jegyzet
SC fizika tananyag ME Mechatonika szak Kíséleti jegyzet Készítette: Sölei József . Elektosztatika.. Elektosztatikai alapjelenségek vákuumban. z elektomos töltés. Coulomb Tövény z elektosztatika a nyugvó
RészletesebbenElektromos alapjelenségek
Elektrosztatika Elektromos alapjelenségek Dörzselektromos jelenség: egymással szorosan érintkező, vagy egymáshoz dörzsölt testek a szétválasztásuk után vonzó, vagy taszító kölcsönhatást mutatnak. Ilyenkor
RészletesebbenLendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya.
Lendület Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya. Lendülettétel: Az lendület erő hatására változik meg. Az eredő erő határozza meg
Részletesebben1. Elektromos alapjelenségek
1. Elektromos alapjelenségek 1. Bizonyos testek dörzsölés hatására különleges állapotba kerülhetnek: más testekre vonzerőt fejthetnek ki, apróbb tárgyakat magukhoz vonzhatnak. Ezt az állapotot elektromos
RészletesebbenElektrosztatika. 1.2. Mekkora két egyenlő nagyságú töltés taszítja egymást 10 m távolságból 100 N nagyságú erővel? megoldás
Elektrosztatika 1.1. Mekkora távolságra van egymástól az a két pontszerű test, amelynek töltése 2. 10-6 C és 3. 10-8 C, és 60 N nagyságú erővel taszítják egymást? 1.2. Mekkora két egyenlő nagyságú töltés
Részletesebben1. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Trigonometria, vektoralgebra
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK. MECHNIK-STTIK GYKORLT (kidolgozta: Tiesz Péte eg. ts.; Tanai Gábo ménök taná) Tigonometia vektoalgeba Tigonometiai összefoglaló c a b b a sin = cos = c
RészletesebbenElektromos polarizáció: Szokás bevezetni a tömegközéppont analógiájára a töltésközéppontot. Ennek definíciója: Qr. i i
0. Elektoos polaizáció, polaizáció vekto, elektoos indukció vekto. Elektoos fluxus. z elektoos ező foástövénye. Töltéseloszlások. Hatáfeltételek az elektosztatikában. Elektoos polaizáció: Szokás bevezetni
RészletesebbenLencsék fókusztávolságának meghatározása
Lencsék fókusztávolságának meghatáozása Elméleti összefoglaló: Két szabályos, de legalább egy göbe felület által hatáolt fénytöő közeget optikai lencsének nevezünk. Ennek speciális esetei a két gömbi felület
RészletesebbenELLIPSZISLEMEZ MÁSODRENDŰ RÖGZÍTÉSE. Írta: Hajdu Endre
ELLIPSZISLEMEZ MÁSODRENDŰ RÖGZÍTÉSE Íta: Hajdu Ende Egy pénzémének vagy egyéb lemezidomnak saját síkjában töténő elmozgathatósága meggátolható oly módon, hogy a lemez peeme mentén, alkalmasan megválasztott
RészletesebbenOPTIKA. Elektromágneses hullámok. Dr. Seres István
OPTIK D. Sees István Faaday-féle indukiótövény Faaday féle indukió tövény: U i t d dt Lenz tövény: z indukált feszültség mindig olyan polaitású, hogy az általa létehozott áam akadályozza az őt létehozó
RészletesebbenHARDVEREK VILLAMOSSÁGTANI ALAPJAI
HARDVEREK VILLAMOSSÁGTANI ALAPJAI Lektoálta D. Kuczmann Miklós, okl. villamosménök egyetemi taná Széchenyi István Egyetem, Győ A feladatokat ellenőizte Macsa Dániel, okl. villamosménök Széchenyi István
RészletesebbenX. MÁGNESES TÉR AZ ANYAGBAN
X. MÁGNESES TÉR AZ ANYAGBAN Bevezetés. Ha (a külső áaok által vákuuban létehozott) ágneses tébe anyagot helyezünk, a ágneses té egváltozik, és az anyag ágnesezettsége tesz szet. Az anyag ágnesezettségének
Részletesebbenazonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra ábra
4. Gyakorlat 31B-9 A 31-15 ábrán látható, téglalap alakú vezetőhurok és a hosszúságú, egyenes vezető azonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra. 31-15 ábra
RészletesebbenELEKTROSZTATIKA. Ma igazán feltöltődhettek!
ELEKTROSZTATIKA Ma igazán feltöltődhettek! Elektrosztatikai alapismeretek THALÉSZ: a borostyánt (élektron) megdörzsölve az a könnyebb testeket magához vonzza. Elektrosztatikai alapjelenségek Az egymással
RészletesebbenMérés: Millikan olajcsepp-kísérlete
Mérés: Millikan olajcsepp-kísérlete Mérés célja: 1909-ben ezt a mérést Robert Millikan végezte el először. Mérése során meg tudta határozni az elemi részecskék töltését. Ezért a felfedezéséért Nobel-díjat
RészletesebbenElektrosztatikai alapismeretek
Elektrosztatikai alapismeretek THALÉSZ: a borostyánt (élektron) megdörzsölve az a könnyebb testeket magához vonzza. Az egymással szorosan érintkező anyagok elektromosan feltöltődnek, elektromos állapotba
RészletesebbenELEKTROSZTATIKA Thalész Gilbert A testek dörzsöléssel hozhatók elektromos állapotba. Az elektromos állapot oka az elektromos töltés.
ELEKTROSZTATIKA I.e. 600-ban Thalész (i.e. 64-547) felfedezte, hogy a megdözsölt boostyánkő apó testeket magához vonz, majd eltaszít. Például poszem, madátoll, száaz fűszál. Gilbet (1544-1603) 1600-ban
RészletesebbenElektrotechnika. Ballagi Áron
Elektrotechnika Ballagi Áron Mágneses tér Elektrotechnika x/2 Mágneses indukció kísérlet Állandó mágneses térben helyezzünk el egy l hosszúságú vezetőt, és bocsássunk a vezetőbe I áramot! Tapasztalat:
RészletesebbenFIZIKA II. Dr. Rácz Ervin. egyetemi docens
FIZIKA II. Dr. Rácz Ervin egyetemi docens Fontos tudnivalók e-mail: racz.ervin@kvk.uni-obuda.hu web: http://uni-obuda.hu/users/racz.ervin/index.htm Iroda: Bécsi út, C. épület, 124. szoba Fizika II. - ismertetés
RészletesebbenA Maxwell-egyenletrendszer:
Maxwell-egyenletendsze: Ez a XIX. sz. egyik legnagyobb hatású egyenletendszee, főleg azét, met ebből az egyenletendszeből vezették le az elektomágneses hullámok létezését.. mpèe-maxwell féle gejesztési
RészletesebbenElektrosztatika tesztek
Elektrosztatika tesztek 1. A megdörzsölt ebonitrúd az asztalon külön-külön heverő kis papírdarabkákat messziről magához vonzza. A jelenségnek mi az oka? a) A papírdarabok nem voltak semlegesek. b) A semleges
RészletesebbenGyakorlat 30B-14. a F L = e E + ( e)v B képlet, a gravitációs erőt a (2.1) G = m e g (2.2)
2. Gyakorlat 30B-14 Az Egyenlítőnél, a földfelszín közelében a mágneses fluxussűrűség iránya északi, nagysága kb. 50µ T,az elektromos térerősség iránya lefelé mutat, nagysága; kb. 100 N/C. Számítsuk ki,
Részletesebbena térerősség mindig az üreg falára merőleges, ezért a tér ott nem gömbszimmetrikus.
2. Gyakorlat 25A-0 Tekintsünk egy l0 cm sugarú üreges fémgömböt, amelyen +0 µc töltés van. Legyen a gömb középpontja a koordinátarendszer origójában. A gömb belsejében az x = 5 cm pontban legyen egy 3
RészletesebbenElektrosztatika. I. Az elektrosztatika alapegyenleteinek leszármaztatása a Maxwell-egyenletekből
Elektosztatika I. z elektosztatika alapegyenleteinek leszámaztatása a Maxwell-egyenletekből Ha a négy Maxwell-egyenletbe behelyettesítjük a sztatika feltételeit, azaz akko a következő egyenletendszet kapjuk:
RészletesebbenIII. Differenciálszámítás
III. Diffeenciálszámítás A diffeenciálszámítás számunka elsősoban aa való hogy megállaítsuk hogyan változnak a (fizikai) kémiában nagy számban előfoló (többváltozós) függvények. A diffeenciálszámítás megadja
Részletesebben1.4. Mintapéldák. Vs r. (Használhatjuk azt a közelítő egyenlőséget, hogy 8π 25.)
Elektotechnikai alapismeetek Mágneses té 14 Mintapéldák 1 feladat: Az ába szeinti homogén anyagú zát állandó keesztmetszetű köben hatáozzuk meg a Φ B és étékét! Ismet adatok: a = 11 cm A = 4 cm μ = 8 I
RészletesebbenElektrodinamika. Maxwell egyenletek: Kontinuitási egyenlet: div n v =0. div E =4 div B =0. rot E = rot B=
Elektrodinamika Maxwell egyenletek: div E =4 div B =0 rot E = rot B= 1 B c t 1 E c t 4 c j Kontinuitási egyenlet: n t div n v =0 Vektoranalízis rot rot u=grad divu u rot grad =0 div rotu=0 udv= ud F V
RészletesebbenElméleti összefoglaló a IV. éves vegyészhallgatók Poláris molekula dipólusmomentumának meghatározása című méréséhez
lméleti összefoglaló a I. éves vegyészhallgatók oláis molekula dipólusmomentumának meghatáozása című mééséhez 1.1 ipólusmomentum Sok molekula endelkezik pemanens dipólus-momentummal, ugyanis ha a molekulát
RészletesebbenKinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek
Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből
RészletesebbenFizika és 3. Előadás
Fizika. és 3. Előadás Az anyagi pont dinamikája Kinematika: a mozgás leíásaa kezdeti feltételek(kezdőpont és kezdősebesség) és a gyosulás ismeetében, de vajon mi az oka a mozgásnak?? Megfigyelés kísélet???
Részletesebben1. SI mértékegységrendszer
I. ALAPFOGALMAK 1. SI mértékegységrendszer Alapegységek 1 Hosszúság (l): méter (m) 2 Tömeg (m): kilogramm (kg) 3 Idő (t): másodperc (s) 4 Áramerősség (I): amper (A) 5 Hőmérséklet (T): kelvin (K) 6 Anyagmennyiség
RészletesebbenIdőben változó elektromos erőtér, az eltolási áram
őben változó elektomos eőté, az olási áam Ha az ábán látható, konenzátot tatalmazó áamköbe iőben változó feszültségű áamfoást kapcsolunk, akko az áamméő áamot mutat, annak ellenée, hogy az áamkö nem zát
RészletesebbenPótlap nem használható!
1. 2. 3. Mondat E1 E2 Össz Gépészmérnöki alapszak Mérnöki fizika 2. ZH NÉV:.. 2018. november 29. Neptun kód:... Pótlap nem használható! g=10 m/s 2 ; εε 0 = 8.85 10 12 F/m; μμ 0 = 4ππ 10 7 Vs/Am; cc = 3
RészletesebbenAz Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény
Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény Maxwell elméleti meggondolások alapján feltételezte, hogy a változó elektromos tér örvényes mágneses teret kelt (hasonlóan ahhoz ahogy a változó mágneses tér
RészletesebbenSugárzás és szórás. ahol az amplitúdófüggvény. d 3 x J(x )e ikˆxx. 1. Számoljuk ki a szórási hatáskeresztmetszetet egy
Sugázás és szóás I SZÓRÁSOK A Szóás dielektomos gömbön Számoljuk ki a szóási hatáskeesztmetszetet egy ε elatív dielektomos állandójú gömb esetén amennyiben a gömb R sugaa jóval kisebb mint a beeső fény
RészletesebbenAz elektrosztatika törvényei anyag jelenlétében, dielektrikumok
TÓTH : ielektikumok (kibővített óavázlat) z elektosztatika tövényei anyag jelenlétében, dielektikumok z elektosztatika alaptövényeinek vizsgálata a kezdeti időkben levegőben tötént, és a különféle töltéselendezések
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenMerev testek kinematikája
Mechanka BL0E- 3. előadás 00. októbe 5. Meev testek knematkáa Egy pontendszet meev testnek tekntünk, ha bámely két pontának távolsága állandó. (f6, Eule) A meev test tetszőleges mozgása leíható elem tanszlácók
RészletesebbenGépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika 2. ZH, december 05. Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont)
1. 2. 3. Mondat E1 E2 NÉV: Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika 2. ZH, 2017. december 05. Neptun kód: Aláírás: g=10 m/s 2 ; ε 0 = 8.85 10 12 F/m; μ 0 = 4π 10 7 Vs/Am; c = 3 10 8 m/s Előadó: Márkus /
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenAtomok (molekulák) fotoionizációja során jelentkező rezonanciahatások Resonance Effects in the Photoionization of Atoms (Molecules)
Atomok (molekulák) fotoionizációja soán jelentkező ezonanciahatások Resonance Effects in the Photoionization of Atoms (Molecules) BORBÉLY Sándo, NAGY László Babeş-Bolyai Tudományegyetem, Fizika ka, 484
RészletesebbenIV x. 2,18 km magasan van a hôlégballon.
8 Hegyesszögû tigonometiai alapfeladatok 8 9 8,8 km magasan van a hôlégballon Egyészt = tg és = tg 0, másészt a Pitagoasz-tételt alkalmazva kapjuk, hogy a b a + b = Ezen egyenletendszebôl meghatáozhatjuk
RészletesebbenKirchhoff 2. törvénye (huroktörvény) szerint az áramkörben levő elektromotoros erők. E i = U j (3.1)
3. Gyakorlat 29A-34 Egy C kapacitású kondenzátort R ellenálláson keresztül sütünk ki. Mennyi idő alatt csökken a kondenzátor töltése a kezdeti érték 1/e 2 ed részére? Kirchhoff 2. törvénye (huroktörvény)
Részletesebben(Gauss-törvény), ebből következik, hogy ρössz = ɛ 0 div E (Gauss-Osztrogradszkij-tételből) r 3. (d 2 + ρ 2 ) 3/2
. Elektosztatika. Alapképletek (a) E a = össz (Gauss-tövény), ebből következik, hogy ρössz = ɛ 0 iv E (Gauss-Osztogaszkij-tételből) ɛ 0 (b) D = ɛ 0 E + P, P = p V, ez spec. esetben P = χɛ 0E. Tehát D =
RészletesebbenAz atomok vonalas színképe
Az atomok vonalas színképe Színképelemzés, spektoszkópia R. Bunsen 8-899 G.R. Kichhoff 8-887 A legegyszebb (a legkönnyebb) atom a hidogén. A spektuma a láthatóban a következ A hidogén atom spektuma a látható
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2017/2018-as tanév 1. forduló Haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Tásulat Aany Dániel Matematikai Tanulóveseny 017/018-as tanév 1. foduló Haladók III. kategóia Megoldások és javítási útmutató 1. Anna matematika házi feladatáa áfolyt a tinta.
Részletesebbendr 2 # r 2 d* 2 # r 2 sin 2 *d+ 2 t = ["#,#]
Gömbszimmetikus, M tömegű test köüli téidő vákuumban: 1) Vákuum: T " = 0 2) Ügyes koodinátaendsze-választással ki lehet használni a gömbszimmetiát. Az Einstein-egyenlet analitikusan is megoldható, a megoldás,
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenA Hamilton-Jacobi-egyenlet
A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P
RészletesebbenW = F s A munka származtatott, előjeles skalármennyiség.
Ha az erő és az elmozdulás egymásra merőleges, akkor fizikai értelemben nem történik munkavégzés. Pl.: ha egy táskát függőlegesen tartunk, és úgy sétálunk, akkor sem a tartóerő, sem a nehézségi erő nem
RészletesebbenTömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások
2. gyakorlat 1. Feladatok a kinematika tárgyköréből Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 1.1. Feladat: Mekkora az átlagsebessége annak pontnak, amely mozgásának első szakaszában v 1 sebességgel
Részletesebben17. tétel A kör és részei, kör és egyenes kölcsönös helyzete (elemi geometriai tárgyalásban). Kerületi szög, középponti szög, látószög.
17. tétel kö és észei, kö és egyenes kölcsönös helyzete (elemi geometiai tágyalásban). Keületi szög, középponti szög, látószög. Def: Kö: egy adott ponttól egyenlő távolsága levő pontok halmaza a síkon.
RészletesebbenModern Fizika Labor. 2. Elemi töltés meghatározása
Modern Fizika Labor Fizika BSC A mérés dátuma: 2011.09.27. A mérés száma és címe: 2. Elemi töltés meghatározása Értékelés: A beadás dátuma: 2011.10.11. A mérést végezte: Kalas György Benjámin Németh Gergely
RészletesebbenSzuszpenziók tisztítása centrifugálással
Szuszpenziók tisztítása centiugálással 1. Elméleti bevezető A centiugálás művelete a centiugális eőté kihasználásán alapuló hidodinamikai szepaációs művelet. A centiugális eőtében a centipetális eőnek
RészletesebbenMágneses mező jellemzése
pólusok dipólus mező mező jellemzése vonalak pólusok dipólus mező kölcsönhatás A mágnesek egymásra és a vastárgyakra erőhatást fejtenek ki. vonalak vonzó és taszító erő pólusok dipólus mező pólusok északi
Részletesebben-2σ. 1. A végtelen kiterjedésű +σ és 2σ felületi töltéssűrűségű síklapok terében az ábrának megfelelően egy dipól helyezkedik el.
1. 2. 3. Mondat E1 E2 Össz Energetikai mérnöki alapszak Mérnöki fizika 2. ZH NÉV:.. 2018. május 15. Neptun kód:... g=10 m/s 2 ; ε 0 = 8.85 10 12 F/m; μ 0 = 4π 10 7 Vs/Am; c = 3 10 8 m/s Előadó: Márkus
Részletesebben( X ) 2 összefüggés tartalmazza az induktív és a kapacitív reaktanciát, amelyek értéke a frekvenciától is függ.
5.A 5.A 5.A Szinszos mennyiségek ezgıköök Ételmezze a ezgıköök ogalmát! ajzolja el a soos és a páhzamos ezgıköök ezonanciagöbéit! Deiniálja a ezgıköök hatáekvenciáit, a ezonanciaekvenciát, és a jósági
RészletesebbenFizika 1 Elektrodinamika beugró/kis kérdések
Fizika 1 Elektrodinamika beugró/kis kérdések 1.) Írja fel a 4 Maxwell-egyenletet lokális (differenciális) alakban! rot = j+ D rot = B div B=0 div D=ρ : elektromos térerősség : mágneses térerősség D : elektromos
RészletesebbenHősugárzás. 2. Milyen kölcsönhatások lépnek fel sugárzás és anyag között?
Hősugázás. Milyen hőtejedési fomát nevezünk hőmésékleti sugázásnak? Minden test bocsát ki elektomágneses hullámok fomájában enegiát a hőméséklete által meghatáozott intenzitással ( az anyag a molekulái
RészletesebbenELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Biológia tagozat. Fizika 10. osztály. II. rész: Elektrosztatika. Készítette: Balázs Ádám
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Biológia tagozat Fizika 10. osztály II. rész: Elektrosztatika Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2019 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék II. rész:
RészletesebbenA mágneses tulajdonságú magnetit ásvány, a görög Magnészia városról kapta nevét.
MÁGNESES MEZŐ A mágneses tulajdonságú magnetit ásvány, a görög Magnészia városról kapta nevét. Megfigyelések (1, 2) Minden mágnesnek két pólusa van, északi és déli. A felfüggesztett mágnes - iránytű -
RészletesebbenSzuszpenziók tisztítása centrifugálással
Szuszpenziók tisztítása centiugálással Vegyipai mveletek labogyakolat 1. Elméleti bevezető A centiugálás mvelete a centiugális eőté kihasználásán alapuló hidodinamikai szepaációs mvelet. A centiugális
Részletesebben462 Trigonometrikus egyenetek II. rész
Tigonometikus egyenetek II ész - cosx N cosx Alakítsuk át az egyenletet a következô alakúa: + + N p O O Ebbôl kapjuk, hogy cos x $ p- Ennek az egyenletnek akko és csak akko van valós megoldása, ha 0 #
RészletesebbenMatematikai ismétlés: Differenciálás
Matematikai ismétlés: Diffeenciálás A skalá- és vektoteek diffeenciálásával kapcsolatban szokás bevezetni a nabla-opeátot: = xx = yy zz A nabla egy vektoopeáto, amellyel hatása egy skalá vagy vektomezőe
Részletesebben1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere
X HOMOGÉN LINEÁRIS EGYENLET- RENDSZEREK 1 Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere Homogén lineáris egyenletrendszer definíciója már szerepelt Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk homogénnek,
RészletesebbenFizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 7. hét
Fizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 7. hét Az F erő által végzett munka, ha a test adott pályán mozog az r 1 helyvektorú P 1 pontból az r helyvektorú P pontba, az alábbi vonalintegrállal számolható:
RészletesebbenFizika A2 Alapkérdések
Fizika A2 Alapkérdések Az elektromágnesség elméletében a vektorok és skalárok (számok) megkülönböztetése nagyon fontos. A következ szövegben a vektorokat a kézírásban is jól használható nyíllal jelöljük
RészletesebbenSegédlet a Tengely gördülő-csapágyazása feladathoz
Segélet a Tengely göülő-csaágyazása felaathoz Összeállította: ihai Zoltán egyetemi ajunktus Tengely göülő-csaágyazása Aott az. ábán egy csaágyazott tengely kinematikai vázlata. A ajz szeint az A jelű csaágy
RészletesebbenMűszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat október 17. A technológia és a költségek dualitása
Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat 3 októbe 7 technológia és a költségek dualitása oábban beláttuk az alábbi összefüggéseket: a) Ha a munka hatáteméke nő akko a hatáköltség csökken
RészletesebbenA kémiai kötés eredete; viriál tétel 1
A kémiai kötés ereete; viriál tétel 1 Probléma felvetés Ha egy molekula atommagjai közötti távolság csökken, akkor a közöttük fellép elektrosztatikus taszításhoz tartozó energia n. Ugyanez igaz az elektronokra
RészletesebbenProjektmunka. Aerodinamika Az alaktényező meghatározása. Ábrám Emese. Ferences Gimnázium. 2014. május
Pojektmunka Aeodinamika Az alaktényező meghatáozása Ábám Emese 04. május Pojektmunka Aeodinamika Az alaktényezők meghatáozása Ebben a dolgozatban az általam végzett kíséletet szeetném kiétékelni és bemutatni.
RészletesebbenA mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája
A mechanika alapjai A pontszerű testek dinamikája Horváth András SZE, Fizika Tsz. v 0.6 1 / 26 alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. alapi 2 / 26 Bevezetés alapi Bevezetés Newton
RészletesebbenKérdések Fizika112. Mozgás leírása gyorsuló koordinátarendszerben, folyadékok mechanikája, hullámok, termodinamika, elektrosztatika
Kérdések Fizika112 Mozgás leírása gyorsuló koordinátarendszerben, folyadékok mechanikája, hullámok, termodinamika, elektrosztatika 1. Adjuk meg egy tömegpontra ható centrifugális erő nagyságát és irányát!
Részletesebben1. Ha két közeg határfelületén nem folyik vezetési áram, a mágneses térerősség vektorának a(z). komponense folytonos.
Az alábbi kiskérdéseket a korábbi Pacher-féle vizsgasorokból és zh-kból gyűjtöttük ki. A többségnek a lefényképezett hivatalos megoldás volt a forrása (néha még ezt is óvatosan kellett kezelni, mert egy
Részletesebben1. ábra. r v. 2. ábra A soros RL-kör fázorábrái (feszültség-, impedancia- és teljesítmény-) =tg ϕ. Ez a meredekség. r
A VAÓÁO TEKE É A VAÓÁO KONDENÁTO A JÓÁ A soos -modell vizsgálata A veszteséges tekecs egy tiszta induktivitással, valamint a veszteségi teljesítményből számaztatható ellenállással modellezhető. Ez utóbbi
RészletesebbenMunka, energia Munkatétel, a mechanikai energia megmaradása
Munka, energia Munkatétel, a mechanikai energia megmaradása Munkavégzés történik ha: felemelek egy könyvet kihúzom az expandert A munka Fizikai értelemben munkavégzésről akkor beszélünk, ha egy test erő
RészletesebbenBevezetés az anyagtudományba II. előadás
Bevezetés az anyagtudományba II. előadás 010. febuá 11. Boh-féle atommodell 1914 Niels Henik David BOHR 1885-196 Posztulátumai: 1) Az elekton a mag köül köpályán keing. ) Az elektonok számáa csak bizonyos
RészletesebbenA munkavégzés a rendszer és a környezete közötti energiacserének a D hőátadástól eltérő valamennyi más formája.
11. Transzportfolyamatok termodinamikai vonatkozásai 1 Melyik állítás HMIS a felsoroltak közül? mechanikában minden súrlódásmentes folyamat irreverzibilis. disszipatív folyamatok irreverzibilisek. hőmennyiség
RészletesebbenFizika minta feladatsor
Fizika minta feladatsor 10. évf. vizsgára 1. A test egyenes vonalúan egyenletesen mozog, ha A) a testre ható összes erő eredője nullával egyenlő B) a testre állandó értékű erő hat C) a testre erő hat,
RészletesebbenFizika. Fizika. Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK február 13.
Fizika Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK 017. február 13. A lejtő mint kényszer A lejtő egy ún. egyszerű gép. A következő problémában először a lejtőt rögzítjük, és egy m tömegű test súrlódás nélkül lecsúszik
Részletesebben