2. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR

Átírás

1 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR A nyugvó töltések iőben állanó elektomos teet keltenek amelyet statikus elektomos tének az elektomágneses témoellt elektosztatikus tének nevezzük. Az elektosztatikus té jelenlétét a töltéseke gyakoolt hatásán a Coulomb eőn keesztül lehet kimutatni. Az elektomos teet foásennyiségekkel és téjellemzőkkel lehet jellemezni... Az elektosztatikus té foásmennyiségei... Az elektomos töltés Az elektomágneses té foása az anyag elemi észecskéit jellemző elektomos töltés amely az elekton e C töltésének egész számú többszööseként kvantáltan foul elő ahol C coulomb az elektomos töltés métékegysége. Minthogy a töltés az egyes anyagi észecskék egyik jellemző mennyisége az anyagmegmaaás tövénye egyben a töltésmegmaaás tövényét is magában foglalja. Ez azt jelenti hogy habá az elektomos töltés tébeli eloszlása változhat a pozitív és a negatív töltések összege minig nulla maa. A töltés métékegysége az coulomb nagyon nagy egység ezét kisebb egységeit alkalmazzuk úgy mint milli-coulomb ( C 03mC ) miko-coulomb ( C 06µC ) nano-coulomb ( C 09nC ) és piko-coulomb ( C 0pC ) azaz C 0 3 mc 06 µc 09 nc 0 pc. (.) A töltés métékegységét az SI (System Intenational) Nemzetközi Métékegység enszeben az áam métékegységée vezetik vissza azaz C As. Az elektomágneses té analízisénél nem atomi szintű vizsgálatoka keül so ugyanis egy piko-coulomb töltés létehozásához

2 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 7 0 C N számú elekton szükséges ezét a ménöki gyakolatban az elektomágneses té összefüggései statisztikus tövényekkel íhatók le. Az elektomos töltések jelenlétét az egymása kifejtett eőhatáson keesztül lehet kimutatni. Két pontszeűnek tekinthető Q és Q elektomos töltésű test között fellépő eő a tapasztalati Coulomb tövénnyel fejezhető ki (. ába). A Coulomb tövény szeint az eőhatás nagysága amely a Q és Q töltésű a két töltés közötti távolsághoz képest kis méetű töltött test között fellép aányos a két töltés szozatával és foítottan aányos a két töltés közötti távolság négyzetével és a teet kitöltő homogén izotop közeg ε anyagjellemzőjével F Q Q 4πε... ába. A Coulomb tövény ételmezése Az eő iánya a két töltést összekötő egyenes iányába esik. Azonos előjelű töltések taszítják egymást míg ellenkező előjelű töltések egymása vonzóeőt gyakoolnak (. ába)... ába. Az elektomos töltés ételmezése az eőhatás alapján A fenti kifejezésben ε az anyag pemittivitása ielektomos állanója amely a vákuum ε 0 pemittivitásának és a közege jellemző ε elatív pemittivitásának a szozata

3 8. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR ahol ε ε0 ε 0 9 As ε F m (.) 4 π 9 Vm míg ε a elatív pemittivitás imenzió nélküli szám. A levegő elatív pemittivitása közel egy ε.... Töltésmoellek Egy aott téészen a töltés különböző eloszlású lehet. (i) Pontszeű töltés. Egy kisméetű test Q töltése pontszeűnek tekinthető amely az elektosztatikában iőben állanó Q Q0 míg általában iőben változó Q Q() t mennyiség lehet. (ii) Téfogati töltéssűűség. Ha a Q ( t) töltés egy téfogatban oszlik el akko a töltéseloszlás ρ ( t) téfogati töltéssűűséggel moellezhető. Feltéve hogy az elemi v téfogatban Q ρ t téfogati töltéssűűségnek a pontszeűvé zsugoított elemi téfogat töltését tekintjük métékegysége C m3 töltés helyezkeik el (.3 ába) a ( ) Q C ρ( t) lim [ ρ]. (.3) v 0 v m3.3. ába. A téfogati töltéssűűség ételmezése A ρ ( t) téfogati töltéssűűség ismeetében a v téfogat ( t) Q töltése meghatáozható

4 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 9 Q () t ( t) ρ v. v (iii) Felületi töltéssűűség. Ha a téfogat h magassága elhanyagolható az a felületéhez képest akko a téfogatban elhelyezkeő Q ( t) töltéseket felületi töltéssűűséggel moellezzük. Amennyiben az a felület a elemén Q töltés helyezkeik el (.4 ába) a σ ( t) felületi töltéssűűség a felület egy pontjáa vonatkoztatott töltésmennyiség métékegysége C m Q C σ ( t) lim [ σ ] a 0 a m. (.4).4. ába. A felületi töltéssűűség ételmezése A felületi töltéssűűség ismeetében a felület össztöltése meghatáozható Q () t ( t) σ a. a (iv) Vonalmenti töltéssűűség. Ha azonban a téfogat keesztmetszete hanyagolható el a téfogat hosszához képest akko a téfogatban lévő töltéseloszlás vonalmenti töltéssűűséggel moellezhető. Feltéve hogy a kis keesztmetszetű téfogat hossza mentén a l szakaszon Q töltés helyezkeik el (.5 ába) a q ( t) vonalmenti töltéssűűség a kis keesztmetszetű téfogat hossza mentén aja meg a töltéseloszlást métékegysége C m Q C q( t) lim [] q. (.5) l 0 l m.5. ába. A vonalmenti töltéssűűség ételmezése

5 0. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR A vonalmenti töltéssűűség ismeetében a kis keesztmetszetű téfogat l hossza mentén az összes töltés a következőképpen hatáozható meg Q () t q( t) l l. (v) Összefoglalva valamely a felülettel hatáolt v téfogat összes töltése ρ t téfogati töltéssűűség a téfogatot (.6 ába) a téfogatban helyet foglaló ( ) hatáoló hatáfelületen elhelyezkeő σ ( t) felületi töltéssűűség a téfogat belsejében az l hosszúságú szakasz q ( t) Q () t pontszeű töltések figyelembevételével a következő Q () t ( t) v + σ ( t) a q( t) l Q ( t) vonalmenti töltéseloszlása valamint a téfogatban lévő ρ + + i. v a l i.6. ába. Valamely téfogat összes töltése.. A statikus elektomos té intenzitása E... Az elektomos téeőség vekto ( ) A nyugvó töltések keltette elektosztatikus té jelenlétét a geometiai té valamely pontjában elhelyezett egységnyi Q póbatöltése ható F Q E eőhatáson keesztül ézékelhetjük (.7 ába). Azaz az elektosztatikus tében a té intenzitását az egységnyi töltése ható eővel az E elektomos téeősség vektoal ajuk meg

6 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR F V E. (.6) Q [ ] [ F ] E [ Q] m.7. ába. A nyugvó töltések elektomos tee és a póbatöltés Az elektomos téeősség métékegységét a nemzetközi SI métékegység enszeben az eő N VAs/m és a töltés C As métékegységeinek figyelembevételével kapjuk. Ha egy Q pontszeű töltéstől távolságban lévő P pontban egy Q p C töltésű póbatestet helyezünk el (.8 ába) akko a Coulomb tövény felhasználásával a P pontban fellépő elektomos téeősség a következő QQ p Q E e e Q p. 4πε 4πε.8. ába. A pontszeű töltés által keltett téeősség Az elektomos eőteet eővonalakkal lehet szemléltetni (.9 ába). Az elektomos eővonalak éintői az elektomos téeősség vekto iányába mutatnak az eővonalak sűűsége peig a téeősség nagyságával azaz a téeőssége meőleges egységnyi felületen áthalaó eővonalak számával aányos..9. ába. Az elektomos téeősség szemléltetése Ha az elektomos teet több Q Q L QN töltés hozza léte akko az eők szupepozíciója alapján a té valamely pontjában az elektomos téeősség az egyes

7 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR töltések által keltett hatáozható meg E E L EN elektomos téeősség vektook vektoi összegével N E E + E + L+ EN Ek. k... Az elektomos feszültség és a potenciál Az elektomos té az elektomos töltése eőhatást gyakool. Ha a töltés az eő hatásáa elmozul az elektomos té munkát végez. Ha egy Q töltésű tömegpont az E elektomos tében a P pontból a P pontba egy l útvonalon mozul el (.0 ába) akko a munkavégzés a töltése ható eőhatás alapján P P W F l QE l Q E l QU P P l ahol U a P P pontok között fellépő feszültség. Ha a munkavégzés pozitív akko a té végez munkát az elmozulás soán azaz a töltés potenciális enegiája csökken ha viszont a munkavégzés negatív akko az elmozulás külső munkavégzés áán lehetséges azaz a töltés potenciális enegiája növekszik..0. ába. A Q töltésű tömegpontnak a P pontból a P pontba való elmozulása A fentiek alapján a P P pontok közötti feszültség aányos az E elektomos tében az egységnyi töltésnek a pontok közötti l útvonalon való elmozulásához szükséges munkával P U Ε l E l U P l [ ] V A feszültség métékegysége az V volt.. (.7)

8 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 3 Ha a Q töltésű tömegpont a P pontból az l útvonalon mozul el a P pontba maj a P pontból az l útvonalon jut el a P pontba akko ugyanakkoa a munkavégzés (. ába) és vegyük figyelembe hogy az integálási hatáok felcseélése az integál előjelének megváltozását eeményezi P P P E l E l E l. P P P ( l ) ( l ) ( l ).. ába. A Q töltésű tömegpontnak a P - P - P zát útvonalon való elmozulása Egy olala enezve az elmozulás a P pontból a P pontba maj vissza a P pontba töténik azaz az E elektomos téeősségnek egy zát göbe menti integálja nulla E l 0. (.8) l Ez az eemény azt jelenti hogy az elektosztatikus té cikuláció mentes övény mentes azaz a két pont közötti feszültség nem függ az integálás útjától kizáólag a P P pontok helyzete hatáozza meg. Ha a tében az 0 kooinátájú P 0 pontot nulla enegiaszintű pontnak efeencia pontnak tekintjük akko a Q töltésű tömegpontnak az kooinátájú P pontból a P 0 pontig való elmozulása (. ába) soán végzett munka aányos a P pont Φ ( ) Φ ( P) potenciáljával minthogy a P 0 pont potenciálja nulla Φ 0 Φ ( P0 ) 0 P0 W Q E l QΦ ( P) P ahonnan a té valamely kooinátájú P pontjának elektomos skalá potenciálja az elektomos téeősségnek a P ponttól a P 0 efeenciapontig való integálásával aható meg feltéve hogy a P 0 efeenciapont potenciálja nulla Φ ( 0 ) Φ ( P0 ) 0

9 4. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR P 0 Φ ( ) Φ ( P) E l. (.9) P.. ába. A P pont potenciálja A potenciál egysége megegyezik a feszültség egységével. A zéuspotenciálú helyet paktikus szempontok szeint szokás felvenni. A.3 ába alapján ha az egyes pontok potenciáljai P0 P0 Φ E l Φ E l P P.3 ába. A potenciál és a feszültség kapcsolata a P P ponttok közötti feszültség kifejezhető a P és a P pontok potenciáljainak különbségével ha ismételten figyelembe vesszük hogy az integálási hatáok felcseélése előjel váltást eeményez P P0 P P0 P0 U E l E l + E l E l E l Φ Φ. (.0) P P P0 P P.3. A statikus elektomos té gejesztettsége Az előzőekben a töltések által létehozott elektomos teet aottnak tekintettük. Most vizsgáljuk meg milyen kapcsolat van a töltés és az általa gejesztett elektomos té között. A kéése választ a tapasztalati eemények anak.

10 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR Az elektosztatika Gauss tétele A kíséleti eemények általánosításával azt kapjuk hogy homogén közegben egy zát felületen átmenő eővonalak száma aányos a felület által bezát töltéssel (.4 ába) E a a Q ε ahol az elemi felület a n a a felülettel hatáolt téfogatból kifelé mutató n felületi nomálissal és a felület a méőszámával aható meg..4. ába. A Gauss tétel ételmezése Ha feltételezzük hogy a közeg ε peittivitása függ a geometiai pozíciótól ill. az elektomos téeősség étékétől a fenti kifejezés a következő összefüggése vezet ε E a Q. a A teet kitöltő anyag jelenlétének figyelembevételée a As V As [ D] [][ ε ] D ε E E (.) Vm m m összefüggéssel vezessük be az D eltolási vektot. Az eltolási vekto métékegysége megegyezik a felületi töltéssűűség métékegységével. Az eltolási vekto bevezetésével az elektosztatika Gauss tétele a következő alakban aható meg feltéve hogy a zát a felülettel hatáolt v téfogatban Q ρ v töltés helyezkeik el v D a ρ v. (.) a v A fenti összefüggés azt fejezi ki hogy a közegtől függetlenül a Q elektomos töltéssel a D eltolási vekto van közvetlen kapcsolatban. Az elektosztatika Gauss tétele alapján

11 6. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR megállapítható hogy az elektomos té foása az elektomos töltés. Az eltolási vekto szintén eővonalakkal ábázolható amelyek a pozitív töltésből inulnak és a negatív töltésen végzőnek (.5 ába)..5. ába. Az elektomos té foása a töltés Egy a felületen átmenő D eltolási vektook számát (.6 ába) Ψ D elektomos fluxusként is szokás emlegetni ΨD D a Q D a D a a [ Ψ ] As amely valójában az a felületen elhelyezkeő Q töltést epezentálja..6. ába. Az a felület összes töltése elektomos fluxusa.4. Egyszeű töltéselenezések tee és potenciálja.4.. Pontszeű töltés tee és potenciálja Tekintsük a.7 ábán látható pontszeűnek tekinthető Q töltést és vizsgáljuk meg a töltés keltette elektomos téeősség és potenciál változását a töltéstől vett távolság függvényében. Minthogy a pontszeű töltés könyezetében nincs kitüntetett iány a kialakuló elektomos teet gömbszimmetikusnak tekinthetjük. Vegyük köül a pontszeű töltést egy olyan sugaú gömbfelülettel amely középpontjában helyezkeik el a Q pontszeű töltés.

12 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 7.7. ába. A pontszeű töltés köül gömbszimmetikus az elektomos té Alkalmazzuk az elektosztatika Gauss tételét az sugaú gömbfelülete és vegyük figyelembe hogy az eltolási vekto is sugáiányú azaz páhuzamos a gömbfelület felületi nomálisával. Minthogy a pontszeű töltéstől azonos távolságban az eltolási vekto abszolút étéke állanó azaz a Gauss tétel integálja alól kiemelhető D a D a D a D4π Q a a a ahonnan az eltolási vektonak a töltéstől vett távolságtól való függése meghatáozható Q D() 4π míg az elektomos téeősség a töltéstől vett távolság négyzetével csökken azaz az elektomos téeősség kifejezésée a következő aóik (.8.a ába) E () Q. (.3) 4πε A potenciál meghatáozásához vegyük fel a nullapotenciálú efeencia pontot a 0 sugaú gömbfelületen. Az sugaú gömbfelület bámely pontjában a potenciál a téeősség integálásával előállítható Φ () Q Q 0 E l E 4 πε 4πε. Vegyük figyelembe hogy az elektomos téeősség sugáiányú továbbá azt hogy az integáljának pimitív függvénye így a potenciál kifejezésée a pontszeű töltéstől távolsága a következő aóik

13 8. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR Q Φ (). 4πε 0 Az egyszeűség kevéét vegyük fel a efeencia pontot a nullapotenciálú helyet a végtelenben ( 0 ) ekko a potenciál a töltéstől vett távolsággal csökken azaz a potenciál kifejezésée a következő aóik (.8.b ába) Q Φ (). (.4) 4πε a) b).8. ába. A pontszeű töltés a) téeősségének és b) potenciáljának helyfüggése.4.. A vonalmenti töltéssűűség tee és potenciálja Tekintsük a.9 ábán látható végtelen hosszú vonalszeűnek tekinthető töltéselenezést amely vonalmenti töltéssűűsége q. Vizsgáljuk meg hogyan változik az elektomos téeősség és a potenciál a vonalmenti töltéssűűség tengelyétől vett távolság függvényében..9. ába. A vonalszeű töltés köül hengeszimmetikus az elektomos té A vonalmenti töltéssűűség hengeszimmetikus teet hoz léte amely valamely hengefelületen azonos étéket vesz fel. Alkalmazzuk az elektosztatika Gauss tételét egy sugaú hengefelület l hosszúságú szakaszáa. Vegyük figyelembe hogy az eltolási vekto a hengefelület palástjáa meőleges és a henge palástja mentén állanó

14 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 9 továbbá vegyük figyelembe hogy az l hosszúságú hengefelületen belül helyezkeik el D a D a D a Dπl ql a a a Q ql töltés ahonnan az eltolási vektonak a vonalmenti töltéssűűségtől vett távolságtól való függésée a következő aóik q D() π míg az elektomos téeősség a sugá függvényében csökken (.0.a ába) E () q. (.5) πε Az sugaú hengefelület potenciál eloszlásának meghatáozásához vegyük fel a zéus potenciálú efeencia pontot az 0 sugaú hengefelületen (.9 ába). Az elektomos téeősség integálásával figyelembe véve hogy a téeősség sugáiányú továbbá hogy az függvény integáljának pimitív függvénye ln a potenciál kifejezésée a következő aóik (.0.b ába) Φ q q q. πε πε πε () E l E [ ln ] 0 ln 0 a) b).0. ába. A vonalmenti töltéssűűség elektomos tee és potenciálja a sugá függvényében Gyakolati szempontok miatt a nullapotenciálú hengefelületet egységnyi távolságban ( 0 ) szokás felvenni ekko a potenciál eloszlása a töltéstől vett távolság függvényében a következő lesz

15 30. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR q Φ () ln. (.6) πε.5. Elektomos té anyag jelenlétében.5.. Vezetők szigetelők Az anyagok elektosztatikus tében való viselkeésük alapján vezetőke és szigetelőke oszthatók. (i) A vezető anyagok elsősoban fémek. Az ieális vezetőkben a szaba elektonok akaálymentesen elmozulhatnak és kompenzálhatják egymást. Az ieális fémek belsejében a szaba elektonok elmozulása nem igényel munkavégzést W 0. Ha egy ieális fém elektóát amely össztöltése nulla egy E k külső elektomos tébe helyezünk akko a vezetőben lévő töltések átenezőnek és töltésmegoszlás jön léte. A felületen nem kompenzált töltések lesznek. Ezt influencia jelenségnek hívjuk. A felületen elhelyezkeő a töltésmegoszlásból számazó töltések E b elektomos téeősséget hoznak léte az ieális fém belsejében. Ha az ieális fém belsejében az E k E b eeő téeősség nem nulla akko további töltésátenezőés jön léte minaig amíg az elektosztatikus egyensúly ki nem alakul azaz az ieális fém belsejében az eeő elektosztatikus téeősség nulla lesz E k E b 0 (. ába).. ába. Töltésmegoszlás a töltetlen ieális fém felületen és ipólus moellje A töltésmegoszlásból számazó az ieális fémfelületen megjelenő töltések elektomos ipólussal moellezhetők (. ába). Az elektomos ipólus két pontszeű töltésből a Q negatív töltésből és tőle l távolsága elhelyezkeő + Q pozitív töltésből áll. A ipólus a p Q l [ p] Cm (.7) ipólus nyomatékkal jellemezhető. Az l vekto megállapoás szeint a negatív töltésből a pozitív töltéshez húzott vektot jelenti.

16 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 3 Az ieális fém felületén az elektosztatikus influenciából számazó töltések a külső teet móosítani fogják amely az E k külső elektomos té és a felületi töltéseloszlást helyettesítő ipólus teének szupepozíciójával állítható elő. (ii) Ieális fémek esetén a töltéseloszlás egyensúlya következtében a fém felületen az elektomos téeősségnek csak nomális iányú komponense léphet fel E ieális fém felületen En. Az elektomos téeősségnek a felülettel páhuzamos komponense nulla E τ 0. Ekko az ieális fém felület két pontja között az elektomos téeősség integálja nulla azaz a két pont közötti potenciál különbség nulla ami azt jelenti hogy az ieális fém felület ekvipotenciális felület (. ába). Meg kell azonban jegyezni hogy mivel az ieális fém belsejében a téeősség nulla a fém elektóa bámely pontjának a potenciálja megegyezik a fém felület potenciáljával ez azt jelenti hogy elektosztatikus tében egy ieális fém elektóa minen pontja azonos potenciálú... ába. Elektomos téeősség az ieális fém felületen (iii) A σ felületi töltéssűűség és a felületen fellépő D eltolási vekto nomális komponense közötti kapcsolat megaható ha a vezető felületének a aabját tatalmazó magasságú hasába (.3 ába) felíjuk az elektosztatika Gauss tételét D a Q. a.3. ába. A felületi töltéssűűség és az eltolási vekto kapcsolata

17 3. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR Minthogy az ieális fém belsejében az elektomos téeősség és így az eltolási vekto étéke is nulla továbbá minthogy a a felület felületi töltéssűűsége σ így a hasáb töltése σ a azaz D n a σ a ahonnan feltételezve hogy a magasság minenhatáon túl csökken 0 így a vezető felületén az eltolási vekto (amelynek csak nomális komponense van) abszolút étéke megegyezik a felületi töltéssűűség étékével D n σ. (.8).5.. A kapacitás konenzátook Szigetelőanyagban elhelyezett két vezető elektóa amelynek össztöltése nulla konenzátot képez (.4.a ába). Ha az egyik vezetőn + Q a másikon Q töltés van a két elektóa között elektomos té alakul ki és közöttük U feszültség lép fel (.4.b ába). a) b) c).4. ába. Két elektóa kapacitásának ételmezése és a konenzáto hálózati moellje Minthogy az elektóa töltése és az elektóák között fellépő feszültség is aányos az elektomos téeősséggel a kettő hányaosa az elektóa elenezés kapacitása

18 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 33 Q C. (.9) U Az elektóa + Q töltése kifejezhető a Gauss tétellel az elektóák közötti feszültség peig kiszámítható az elektomos téeősségnek a két elektóát összekötő l göbe menti integáljával ahonnan a kapott kifejezés alapján a kapacitás csak az elenezés geometiai méeteitől és a szigetelőanyag pemittivitásától függ C Q U D a εe a a a E l E l l l εk. A konenzáto szimbolikus ajza is a.4.c áán látható. A kapacitás egysége a faa [ C ] F C V. A gyakolatban előfouló esetekben a F 06 µf 09 nf 0 pf egységek szokásosak. (i) A síkkonenzáto. A síkkonenzáto két egymással páhuzamos síkfelületű elektóából áll (.5 ába)..5. ába. Elektomos té a síkkonenzáto lemezei között Az elektóák távolsága elhanyagolható a páhuzamos felületek lineáis méetéhez képest. Az egyik elektóán + Q a másikon Q töltés helyezkeik el. A két elektóa közötti ε pemittivitású közegben az elektomos téeősség állanónak az elektóa felületeke meőlegesnek a külső téészen peig a szóás elhanyagolása esetén kicsinek zéusnak tekinthető. A + Q töltésű felülete felíva az elektosztatika Gauss tételét Q D a εe a εe a εe a a a a vagyis az elektomos téeősség a síkkonenzáto lemezei között állanó étéke

19 34. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR Q E. ε a Válasszuk a negatív töltésű elektóát nullapotenciálúnak akko a potenciálfüggvény a két lemez között a távololsággal lineáisan nő Φ 0 Q Q ( x) E x ( x) x E x x ε a ε a. A két elektóa közötti U feszültség megegyezik a pozitív töltésű elektóa potenciáljával Q U Φ ( x ) E ε a ahonnan a síkkonenzáto kapacitása aányos a lemezek felületével és a lemezek közötti teet kitöltő szigetelőanyag pemittivitásával foítottan aányos a lemezek távolságával Q a C ε. U A síkkonenzáto lemezei közötti téészen az elektomos téeősséget és a potenciálfüggvényt az elektóák közötti feszültséggel kifejezve a kapott összefüggéseket a.6 ábán vázoltuk U U E Φ ( x) x..6. ába. Az elektomos téeősség és a potenciál változása a síkkonenzáto lemezei között (ii) A gömbkonenzáto. Két koncentikus fémgömb gömbkonenzátot alkot (.7 ába). A belső elektóa felületen elhelyezkeő Q töltést a gömb középpontjában elhelyezett pontszeű töltéssel moellezzük hiszen a pontszeű töltés ekvipotenciális felületei gömbök. A Φ áll felületeket fém elektóával helyettesítve az elektomos té szekezete nem változik meg.

20 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR ába. A gömbkonenzáto Figyelembe véve hogy a belső elektóa töltése Q és az elektóák közötti téészen a szigetelőanyag ieleketomos állanója pemittivitása ε akko a Gauss tételt alkalmazva az elektóák közötti sugaú gömbfelülete a sugáiányú elektomos téeősség a következő () 4 Q E πε a potenciál változása peig a két elektóa között a következő lesz () 4 Q πε Φ. Ha az elektóák közé U feszültséget kapcsolunk az elektóák potenciálkülönbségével megaható 4 Q U πε. Az elektóák közé kapcsolt feszültség ismeetében a belső elektóa töltése meghatáozható 4 U Q πε. Ezzel az elektóák közötti potenciál eloszlás és a téeősség változása megaható () () U E U Φ.

21 36. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR Az elektóák közötti téészen a téeősség változását és a potenciál-eloszlást a.8 ábán szemléltetjük..8. ába. A téeősség és a potenciál változása a gömbkonenzáto belsejében A konenzáto kapacitása a jól ismet összefüggésből a gömbkonenzáto sugaaival és a szigetelőanyag pemittivitásával a következő alakban aható meg C Q U 4πε. (iii) A hengekonenzáto. Két koaxiális köhenge felületű l hosszúságú elektóa-pá hengekonenzátot alkot (.9 ába). A belső elektóa töltését a tengelyében elhelyezett q vonalmenti töltéssűűséggel moellezzük minthogy a vonalmenti töltéssűűség elektomos teében az ekvipotenciális felületei koncentikus hengeek és az elektóafelületek ekvipotenciális felületek maanak..9. ába. A hengekonenzáto mint a végtelen hosszú koaxiális vezető hengeek l hosszúságú szakasza Az elektomos téeősség a vonalszeű töltés elektomos teével aható meg az elektóák tengelyétől távolságban E q. πε ()

22 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 37 A külső elektóa potenciálját nullának tekintve Φ ( ) 0 az elektóák között a potenciál eloszlás a következő q Φ () ln Φ ( ) 0 πε. Az elektóák közötti téészen a téeősség és a potenciál eloszlását a.30 ábán vázoltuk..30. ába. A téeősség és a potenciál eloszlása a hengekonenzáto elektóái között Az elektóák közötti feszültség a belső elektóa potenciáljával egyezik meg ha a külső elektóán vesszük fel a efeencia potenciálú helyet q U Φ ( ) ( ) ln Φ Φ ( ) 0. πε Az elektóáka kapcsolt feszültség ismeetében az elektóák közti a potenciál eloszlás és az elektomos téeősség változása megaható U () U Φ ln E(). ln( ) ln( ) A konenzáto kapacitása aányos a hengekonenzáto hosszával és a hengees elektóák közötti szigetelőanyag pemittivitásával foítottan aányos a külső és a belső elektóa aányának logaitmusával ql πε l C. U ln( )

23 38. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR (iv) Konenzátook soos és páhuzamos kapcsolása. A.3 ábán látható n aab konenzátot soba kapcsoltuk. Ha az összekapcsolt elektóaensze két végpontja közé U feszültséget kapcsolunk akko két végpont között ± Q töltés jelenik meg..3. ába. Soba kapcsolt konenzátook és helyettesítésük az eeőjükkel Minthogy az egyes konenzátook fegyvezetein az össztöltés nulla ez csak úgy lehetséges hogy az egyes konenzátook fegyvezetein ± Q töltés influálóik. Az egyes konenzátook töltése és kapacitása ismeetében azok feszültsége U k Q Ck k L n. A két végpont közötti feszültség az egyes konenzátook feszültségeinek összege n n Q n Q U Uk Q k k Ck k Ck Cs így a soosan kapcsolt konenzátook helyettesíthetők egyetlen konenzátoal ahol a helyettesítő konenzáto kapacitása C s kapacitású n Cs k Ck. (.0) Speciálisan két konenzáto esetén az eeő kapacitás és az egyes konenzátookon fellépő feszültségek a következő alakban ahatók meg C + C + Cs C C CC C U U C + C CC Cs C + C C U U. C + C A.3 ábán látható n aab konenzátot páhuzamosan kapcsoltuk. Ha az összekapcsolt elektóaensze két végpontja közé U feszültséget kapcsolunk akko a k aik konenzáto töltése a közös feszültséggel Qk CkU k L n.

24 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR ába. Páhuzamosan kapcsolt konenzátook és helyettesítésük az eeőjükkel A konenzátook össztöltése az egyes konenzátook töltésének összege n n n Q Qk CkU U Ck UCp k k k így a páhuzamosan kapcsolt konenzátook helyettesíthetők egyetlen konenzátoal ahol a helyettesítő konenzáto kapacitása C p kapacitású n C p C k. (.) k.5.3. Elektóa enszeek ön és észkapacitása Elektóa enszeeknek olyan elenezéseket tekintünk amelyek össztöltése nulla és a ensze elektomos teét a enszeen kívüli töltések nem befolyásolják. Tekintsük a.33.a áán látható n ( n ) elektóából és a nullapotenciálú elektóából (föl) álló elenezést. a) b).33. ába. Két elektóa és a föl elektóa töltései és potenciáljai

25 40. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR n Az egyes elektóák töltése Q Q L Qn a föl elektóa töltése peig Q0 Q k. k Az elektóák potenciálja Φ Φ L Φn. Minthogy a k aik elektóán a j eik elektóa töltése p kjq j potenciált hoz léte (ahol p k j az elenezés geometiájától és a szigetelőanyag tulajonságaitól függő állanó) a szupepozíció elve alapján az elektóák potenciáljának kialakításában az összes töltés észt vesz azaz az egyes elektóák potenciáljai aányosak a töltések hatásainak összegével n Φ k pkjq j pkj p jk k L n. j Valamennyi elektóa töltését figyelembe véve az elektóák potenciáljai Φ pq + pq + L + pn Qn Φ pq + pq + L + pnqn... Φ n pnq + pnq + L + pnnqn. A fenti egyenletenszeből a töltések kifejezhetők a potenciálokkal ahol c jk állanó n Q j c jkφ k c jk ckj j L n. k Ezzel az egyes elektóák töltései a következők lesznek Q cφ + cφ + L + cnφ n Q cφ + cφ + L + cnφ n... Qn cnφ + cnφ + L + cnnφ n. Alakítsuk át a fenti egyenletenszet úgy hogy a potenciálok helyett azok különbségei az elektóák közötti feszültségek szeepeljenek. Pl. ajunk hozzá az első egyenlethez nullát a következő alakban ( c Φ + c Φ + L + c Φ ) 0 m 3 n

26 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 4 ekko az első egyenlet a következő lesz Q cφ + c ( Φ Φ + Φ) + L + cn ( Φ n Φ + Φ) ( c + c + L + c ) Φ c ( Φ Φ ) L c ( Φ Φ ) n hasonlóan eljáva a többi egyenlettel és bevezetve a következő jelöléseket C0 c + c + L cn C c Cn cn az elektóák töltése és potenciálja közötti kapcsolat a következő alakban aható meg Q C0Φ + C Q C ( Φ Φ ) + L + C ( Φ Φ ) ( Φ Φ ) + C Φ + L + C ( Φ Φ ) n... 0 n n n n n Qn Cn ( Φ Φ ) + C ( Φ Φ ) L + C Φ n n n n0 n ahol a C0 C0 L Cn0 és a Ckj C jk j k 0 mennyiségek a észkapacitások. A C k 0 k L n az egyes elektóák és a efeencia elektóa a föl közötti észkapacitás míg a Ckj C jk j k 0 az egyes elektóák közötti észkapacitás. A Φ k Φ j k L n j 0 L n mennyiség az k aik és a j eik elektóa közötti feszültség figyelembe véve hogy a föl elektóa Φ 0 0 potenciálja nulla. Két elektóa és a föl esetén a észkapacitások figyelembevételével az elektóák közötti Q C0Φ + C Q C ( Φ Φ ) ( Φ Φ ) + C Φ. 0 (.) kapcsolat ételmezését a.33.b ábán ajzoltuk fel. (i) Illusztációs péla. Két elektóából és a fölből álló ensze észkapacitásai C 0 0 µf C 0 0 µf C µf (.34.a ába). Az elektóáka feszültséget kapcsolunk mégpeig az. elektóa és a föl közé 4 kv -ot a. elektóa és a föl közé kv -ot (.34.b ába). Ezután az. elektóát a geneátoól leválasztjuk a. elektóát föleljük (.34.c ába). Hatáozzuk meg ekko az. elektóa potenciálját. A.34.b ába szeint az elektóák közé kapcsolt feszültség megegyezik az elektóák potenciáljával Φ 4 kv Φ kv. Ekko az elektóák töltése

27 4. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR Q C Φ + C ( Φ Φ ) 8 mc C ( Φ Φ ) + C Φ mc 0 Q 0. Mivel az. elektóát a geneátoól leválasztjuk a töltése nem változik Q ' Q az elektóa Φ ' potenciálja peig a Q ' ( ) ' C0 + C Φ összefüggés felhasználásával ( Φ ' 0 ) Φ ' ' Q C0 + C kv. a) b) c).34. ába. Két elektóa és a föl potenciál viszonyai.5.4. Szigetelők ielektikumok A szigetelőanyagok anyagjellemzőjét az ε pemittivitással ajuk meg amely az elektomos té gejesztettségét epezentáló D eltolási vekto és az elektomos té intenzitását jellemző E elektomos téeősség között teemt kapcsolatot D εe ahol ε ε0ε kifejezésében ε a elatív pemittivitás és ε 0 a szaba tée jellemző állanó. Vizsgáljuk meg egy kicsit közelebből a pemittivitás fogalmát. (i) Ha az anyag mikoszkopikus vizsgálatával élünk akko az atommag pozitív töltése és a köülötte keingő elekton külső elektomos té hiányában kiegyensúlyozott állapotot mutat (.35.a ába). Külső elektomos té jelenlétében azonban az elekton má nem gömb felületen hanem ellipszoi alakú felületen keing az atommag köül amely az ellipszoi egyik gyújtópontjában helyezkeik el (.35.b ába). Az így kialakult töltésmegosztás egy

28 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 43 p Q l α E elektomos nyomatékkal jellemzett ipólussal moellezhető ahol a töltésmegosztás météke függ a külső E elektomos téeősségtől és egy α kölcsönhatási együtthatótól (.35.c ába). a) b) c) ).35. ába. A ielektikumok mikoszkopikus és makoszkopikus moellje (ii) A ménöki gyakolatban azonban makoszkopikus leíást alkalmazunk. Ekko feltételezzük hogy a.35. ába v téfogatában N számú p i i L N ipólus nyomatékú ipólus helyezkeik el. Ha feltételezzük hogy az egyes ipólusok ipólus nyomatékai közel azonosak pi p j pi α i E αe i j L N akko az egységnyi téfogatban elhelyezkeő ipólusok ipólus nyomatékát a ipólus nyomatéksűűséget az elektomos polaizáció vektoal ajuk meg N N p P lim p i N i α E ε0κe (.3) v 0 v i v v ahol az egységnyi téfogatban elhelyezkeő ipólusok számát az n N v ipólus sűűséggel jellemezhetjük. Figyelembe véve a ipólus nyomaték és a külső té pi αe kapcsolatát a polaizáció vektoát az κ ielektomos szuszceptabilitással fejezhetjük ki P ε0 κe κ > 0. A fenti összefüggést figyelembe véve a D eltolási vekto egyészt a szaba té elektomos teéből másészt a szigetelőanyag jelenlétét epezentáló P polaizációs vektoból tevőik össze. A ielektomos szuszceptabilitást alkalmazva D ε0e + P ε0( + κ ) E ε0ε E (.4) a elatív pemeabilitás a szuszceptabilitással kifejezhető

29 44. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR ε +κ ahonnan a elatív ielektomos állanóa egynél nagyobb mennyiséget kapunk. (iii) A szigetelőanyagok a ielektomos állanó szempontjából nem-poláos poláos és feoelektomos anyagok szeint osztályozhatók. A nem-poláos anyagokban a ipólus nyomatékok külső té hiányában egyensúlyban vannak kifelé nulla polaizáció mutatnak külső elektomos té hatásáa azonban a ipólus nyomatékok a té iányába enezőnek és az anyag polaizációt mutat (.36.a ába). A poláos anyagokban a ipólus nyomatékok kölcsönhatása eős külső té nélkül is polaizációt mutatnak (.36.b ába). Ha a ipólus nyomatékok közötti kölcsönhatás nagyon intenzív azaz egyes elemi téfogatokban a ipólus nyomatékok kölcsönhatása nagyon eős akko növekvő és csökkenő altenáló külső té hatásáa a polaizáció enegiaveszteséggel és késleltetve jelenik meg. Az ilyen anyagokat feoelektomos anyagoknak nevezzük (.36.c ába). a) b) c).36. ába. Nem-poláos poláos és feoelektomos anyagok polaizációja.5.5. Folytonossági feltételek Két különböző ε és ε ielektomos állanójú homogén és izotop közeg közös hatáfelületén lévő pontban az egyes közegekben fellépő E E elektomos téeősség vektook és a D D eltolási vektook nem lesznek egyenlők ki kell elégíteniők az elektomos té E l 0 övénymentességée és D a Q l a foásosságáa vonatkozó feltételeket. (i) Az E elektomos téeősség közeghatáon való viselkeésének vizsgálatához tekintsük a.3.7 ábán látható elenezést.

30 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 45 a) b).37. ába. Az elektomos téeősség és az eltolási vekto viselkeése közeghatáon Bontsuk fel az. közeg és a. közeg E E elektomos téeősség vektoait a közegeket elválasztó felülettel páhuzamos és aa meőleges komponenseke (.37.a ába). Vegyünk fel egy kis méetű zát göbét (téglalapot) a két közeg hatáfelületén úgy hogy a téglalap magassága minen hatáon túl tatson nullához azaz a téglalap l hossza minkét olalól simuljon á a hatáfelülete. Alkalmazzuk az elektomos té övénymentességée vonatkozó E l 0 összefüggést l E τ l + Eτ l 0 ahonnan az elektomos téeősség vekto tangenciális komponenseinek folytonosságáa kapunk előíást E τ Eτ. (.5) Az E D ε összefüggésből peig D τ Dτ ε ε az eltolási vekto tangenciális komponensei a pemittivitások aányában ugásszeűen változnak. (ii) A D eltolási vektooknak a közeghatáon való viselkeésének vizsgálatához bontsuk fel az. közeg D és a. közeg D eltolási vektoait a felülettel páhuzamos és a felülete meőleges komponenseke.37.b ába. Vegyünk fel egy hengefelületet a két közeg hatáfelületén úgy hogy a henge m magassága minen hatáon túl csökkenjen azaz a hengefelület alap és feőlapja a hatáfelület két olalához simuljon. Étékeljük ki az elektomos té foásosságáa vonatkozó D a Q Gauss tételt a a hengefelülete és vegyük figyelembe hogy a téfogatban elhelyezkeő töltés éppen a hatáfelületen felhalmozott σ felületi töltéssűűséggel aható meg D n a + Dna σ a. A kapott eemény alapján

31 46. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR D n D n σ a két közeg eltolási vektoának nomális komponense a hatáfelületen felhalmozott σ töltéssűűséggel ugik. Ha azonban a hatáfelületen a felületi töltéssűűség nulla σ 0 akko a D eltolási vektook nomális komponensei folytonosan mennek át a hatáfelületen D n Dn. (.6) A D εe összefüggést felhasználva az elektomos téeősség nomális komponensei a szigetelőanyag pemittivitásainak ecipok aányával ugik E n En ε ε. (iii) Két szigetelő közeg hatáán az elektomos té téjellemzőie vonatkozó folytonossági feltételek alapján az elektomos téeőssége ill. az eltolási vektoa vonatkozó töéstövények egyszeűen előállíthatók (.38.a ába)..38. ába. Az elektomos téeőssége és az eltolási vektoa vonatkozó töéstövények Figyelembe véve két ielektikum hatáán az elektomos té tangenciális komponensének folytonosságát E τ Eτ és nomális komponensének a pemittivitások aányával való kapcsolatát ε En εen az elektomos téeősség vektooknak a felületi nomálistól való elhajlását epezentáló α ill. α szögek tangenseinek aányáa a következő aóik tgα tgα Eτ E n E n En Eτ En D n ε ε D n ε ε azaz a nagyobb pemittivitású közegben az elektomos téeősség a felületi nomálistól jobban elhajlik.

32 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 47 Hasonló eeménye jutunk ha a vizsgálatokat az eltolási vektoa fogalmazzuk meg (.38.b ába) tgα tgα D τ D ε ε n E τ. D n Dτ εeτ ε.5.6. Keeszt- és hossziányú étegezés (i) A folytonossági feltételek alapján tágyalható a étegezett ielektikummal kitöltött konenzátook elektomos tee. Tekintsük a.39 ábán látható síkkonenzátot amelyben kétféle ielektikum foglal helyet elválasztó síkjuk az elektóákkal páhuzamos (keesztiányban étegezett síkkonenzáto)..39. ába. Keesztiányban étegezett síkkonenzáto az eltolási vekto és a téeősség Ha az elektóáka U feszültséget kapcsolunk ezzel az elektóáka ± Q töltést viszünk. A Gauss tételt alkalmazva minkét étegben ugyanakkoa lesz az eltolási vekto nagysága (.40.a ába) Q σ D D εe εe. a a) b) c) ).40. ába. A keesztiányban étegezett síkkonenzátoban az eltolási vekto a téeőssége a potenciál változása és kapacitásának moellje Az egyik téeősség kifejezhető a másikkal

33 48. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR E E ε ε. Az elektóák közötti feszültség ( ) E E E U ε ε + + és ezzel az elektomos téeősség az egyes étegekben a következő (.40.b ába) U U E U E ε ε ε ε ε ε ε ε. A potenciál az elektóák között lineáisan változik (.40.c ába) ( ) ( ) + < < + < <. 0 x x E E x x E x Φ Az elektóák töltése kifejezhető a feszültséggel C C C C CU U a E Q a a ε ε ε ε ε ε ahonnan a konenzáto kapacitása az egyes étegek kapacitásainak soos eeőjeként ételmezhető (.40. ába). A téeősség az E E ε ε összefüggés szeint abban a étegben nagyobb amelyikben az ε ielektomos állanó kisebb. Ezét nem feltétlenül a kisebb átütési téeősségű éteg szabja meg a kitikus feszültséget hanem az a éteg amelyben k E ε felületi töltéssűűség kisebb. Tételezzük fel hogy ε ε > e k k E E ε ε < ekko az elektóáka kapcsolható maximális feszültség k k E U ) ( ε ε +. (ii) Ha azonban a.4.a ábán látható síkkonenzáto lemezei között elhelyezkeő kétféle ielektikum elválasztó síkja az elektóáka meőleges akko a síkkonenzáto hossziányban étegezett. Az elektóáka kapcsolt U feszültség hatásáa az egyes étegekben azonos nagyságú elektomos téeősség ébe (.4.b ába és.4.e ába)

34 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 49 U E E E. a) b) c) ) e) f).4. ába. A hossziányban étegezett síkkonenzáto az elektomos téeősség és az eltolási vekto Ennek megfelelően az egyes étegekben az eltolási vektook nagysága és az elektóaszakaszok felületi töltésűűsége különböző lesz (.4. ába és.4.f ába) U U σ D εe ε σ D εe ε. A hossziányban étegezett konenzáto kapacitása az egyes étegek kapacitásainak páhuzamos eeőjeként ételmezhető (.4 ába).4. ába. Hossziányban étegezett síkkonenzáto moellje minthogy az elektóák ± Q töltése az egyes felületszakaszoka jutó töltések összege

35 50. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR U ε ( ) a εa Q σ a + σa εa + εa CU C + C + C..6. Enegiaviszonyok az elektomos tében.6.. Töltése ható eő munkavégzés Az elektomos té jelenlétében a kis méetű Q töltése F QE (.7) eő hat ahol E az elektomos téeősség. Ha a töltés elektomos tében a P pontból a P pontba mozul el akko a té a töltésen P P W F l Q E l QU P P munkát végez ahol U a két pont közötti feszültség (.43 ába). Ha figyelembe vesszük hogy statikus elektomos tében a feszültség kifejezhető a pontok Φ Φ potenciáljaival U Φ Φ akko a végzett munka W QΦ QΦ..43. ába. A Q töltés elmozításával végzett munka A kapott eeményt úgy foghatjuk fel hogy a töltésnek a P pontban W QΦ a P pontban W QΦ enegiája van és a munka az enegiák különbségével egyenlő.

36 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 5 A fenti meggonolás általánosításával azt monhatjuk hogy ha egy pontban a többi töltés által létehozott potenciál Φ akko egy kis méetű Q töltés potenciális enegiája a pontban W QΦ. (.8) Ez úgy ételmezhető hogy ha a töltés a P pontból a nullapotenciálú P 0 efeencia pontba keül akko a té éppen W QΦ munkát végez. Ha ez a munka negatív akko a té ellenében kell munkát végezni..6.. Töltött elektóaensze enegiája Tekintsük a.44 ábán látható elektóaenszet. Tételezzük fel hogy a ensze nulla enegiaállapotú azaz tekintsük az elektóákat töltetlenek. Kapcsoljunk most minen elektóa és a föl közé egy áamfoást amellyel az elektóákat Q Q L Qn töltéssel töltjük fel miközben potenciáljuk Φ Φ L Φn lesz. A k aik elektóa pillanatnyi teljesítménye q p i k k Φ k k Φk k L n t a ensze összteljesítménye n q p k Φ k. k t.44. ába. Töltés felvitel az elektóa enszee A t t iőpillanatok között a végzett munka a ensze enegiája

37 5. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR t t n q n Qk W p t Φ k k t Φkqk t t k t k 0 ahol q k ( t ) 0 és q k ( t ) Qk az elektóák végső töltése. Változtassuk az áamfoások áamát úgy hogy az elektóák töltése lineáisan változzon (.45 ába) ekko a ensze enegiája W n Q k Φ k. (.9) k.45. ába. Az elektóa töltésének iőbeli változása.6.3. Elektóa ensze enegiája és a kapacitások kapcsolata Az elektóaenszeek enegiáját célszeű kifejezni a kapacitásokkal. (i) Előszö tekintsünk két elektóából és fölből álló olyan enszet amelyben a efeencia elektóa (föl) potenciálja és töltése is nulla azaz n és Q Q Q Q (.46 ába)..46. ába. Két elektóa enegiájának ételmezése Ekko figyelembe véve hogy az elektóák potenciáljainak különbsége éppen a feszültség Φ Φ U

38 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 53 W ( Q Φ + QΦ ) Q( Φ Φ) QU. Az elektóák Q CU kapacitását felhasználva a konenzáto enegiája Q W QU CU. (.30) C (ii) Ha azonban két elektóa esetén a efeencia elektóa (föl) töltése nem nulla (.47 ába).47. ába. Elektóa enszeek enegiájának ételmezése akko az elektóaensze enegiája W Qk Φk + k ( Q Φ Q Φ ) a észkapacitásoka vonatkozó összefüggéseket alkalmazva ( Φ ) Q C0Φ + C Φ ( Φ ) Q C0Φ + C Φ a ensze enegiája a következő aóik W [ Φ( C0Φ + C( Φ Φ) ) + Φ( C0Φ + C( Φ Φ) )].

39 54. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR.6.4. Az elektomos té enegiasűűsége Az elektomos té enegiája kifejezhető a téjellemzőkkel is. Tekintsük a.48. ábán látható két elektóából álló elenezést ahol a két elektóa közötti teet homogén izotop szigetelőanyag tölti ki..48. ába. Elektomos té enegiasűűségének ételmezése A koábbiak szeint az elenezés enegiája W QU. Az elektóa töltése és feszültsége kifejezhető az eltolási vektoal és a téeősséggel Q D a U E l a l továbbá figyelembe véve hogy a l v a szigetelőanyag téfogatát jelenti így W D a E l a l al ( D E)( l a) ( D E) v v ahonnan az elektomágneses té egységnyi téfogatának enegiasűűsége D W w v w D E ε E v ε [ w] Ws. (.3) m Elektomos eőhatás és a vituális munka elve Az elektomos tében fellépő eőhatással má foglalkoztunk. A jelen esetben általánosabban kívánjuk megfogalmazni a pobléma megolását. Az elektomos té enegia egyensúlya esetében a enszebe betáplált enegia egyészt megnöveli a té belső enegiáját másészt munkavégzése az elektóának egy s úton való elmozításáa foítóik F s W gen W belső +.

40 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 55 (i) Tekintsük előszö azt az esetet amiko az elektóák töltése nem változik az elmozulás soán. Ekko a betáplált külső enegia nem változik meg W gen 0 a munkavégzés a té belső enegiájának a ovásáa töténik amely az elektóák potenciáljainak megváltozását eeményezi. Az enegiaegyensúly alapján minthogy + F s Wbelső 0 az eőnek az s elmozulás iányába eső vetülete az W F belső s Q áll (.3) s összefüggéssel számítható. (ii) Ha azonban az elektóák potenciálját tatjuk állanónak akko az elektomos té belső enegiája nem változik az elektóa elmozulás soán W belső 0. Ekko azonban a munkavégzéshez az elektóa elmozításához szükséges enegiát a külső enegiafoásból kell feezni F s Wgen ahonnan az eőnek az elmozulás iányába eső vetülete Wgen Fs U áll. (.33) s (iii) A fenti kétféle meggonolás ugyanazt az eőhatást eeményezi valamely elektóa elenezés esetében. Tekintsünk két elektóájából álló C kapacitású konenzátot ahol az elektóák töltése ± Q az elektóák közötti feszültség peig U. Ekko az elenezés enegiája kifejezhető a kapacitással W CU Q C. Ha az elektóák potenciálját tatjuk állanónak U áll akko W C U F U áll s C U. s s s Ha azonban az elektóák töltését tatjuk állanónak Q áll akko W Q C C Q F Q áll s U s s C C s s amely megolás megegyezik az előzőekben kapott eeménnyel.

41 56. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR.7. Ellenőző kéések Hogyan mutatható ki az elektomos töltés jelenléte ismetesse a töltésmoelleket; Ismetesse az elektomos téeősség fogalmát; Aja meg statikus elektomos tében a feszültség és a potenciál fogalmát és kapcsolatát; Ismetesse az elektosztatika Gauss tételét; Ismetesse a töltésmegoszlás jelenségét; Ismetesse a kapacitás fogalmát. Hogyan tejeszthető ki a kapacitás fogalma kettőnél több elektóa esetée; Ismetesse a ielektomos polaizáció jelenségét és vezesse be az elektomos polaizáció vektoát; Ismetesse két szigetelőanyag hatáfelületén az elektomos té folytonosságáa vonatkozó összefüggéseket; Ismetesse a konenzáto enegiájának kifejezését; Ismetesse az elektóaensze töltése és enegiája közötti kapcsolatot; Aja meg az elektomos té enegiasűűségét a téjellemzőkkel; Hogyan hatáozható meg az eőhatás a vituális munka elve alapján..8. Gyakoló felaatok.8.. Felaat Egy 0 0 cm sugaú gömbfelületen σ pc/m nagyságú felületi töltéssűűség helyezkeik el egyenletes eloszlásban. Hatáozza meg mekkoa a gömb töltése. Q σ π π C 5080 pc..8.. Felaat Egy l 6 m hosszú 0 04 mm sugaú úon Q 3 nc töltés helyezkeik el. Hatáozza meg a ú egységnyi hosszúságú szakaszán a töltéssűűséget. q Q l C 0 nc.

42 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR Felaat Egy 0 cm sugaú tácsa egyik felületén egyenletes eloszlásban σ3 mc/m felületi töltéssűűség helyezkeik el. Hatáozza meg a tácsa felületén lévő össztöltést. Q πσ 0π C mC Felaat Egy 5 cm sugaú gömb belsejében ρ 6 mc/m3 téfogati töltéssűűség helyezkeik el egyenletes eloszlásban. Hatáozza meg a gömb össztöltést. Q ρ4 3 π / 3 4 / 3 053π C 8483 µc.8.5. Felaat Hatáozza meg mekkoa az a Q pontszeű töltés amely a tőle cm és 4 cm távolsága lévő pontok között U 0 kv feszültséget hoz léte levegőben. Q U Φ P ΦP 4πε U4πε π Q 0 4π C 6667 nc

43 58. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR.8.6. Felaat Hatáozza meg mekkoa Φ potenciált hoz léte a Q µ C nagyságú pontszeű töltés a tőle 5 cm távolsága lévő pontban ha a nullapotenciálú helyet a töltéstől 50 cm távolságban efiniáljuk. A szigetelőanyag elatív pemittivitása ε. Q 0 6 Φ ( ) 4500 V 4500 kv 4. πε π π Felaat Hatáozza meg mekkoa annak a q vonalszeű töltésnek a nagysága amely tőle 35 cm távolságban Φ 38 kv nagyságú potenciált hoz léte az 60 cm távolsága elhelyezett efeencia ponthoz képest. A szigetelőanyag elatív pemittivitása ε 34. q Φ ln πε Φ 34 πε π q 4π C/m 337 µc/m. 60 ln ln Felaat Hatáozza meg a q µ C/m nagyságú vonalszeű töltéstől 5 cm és 45 cm távolságban lévő pontok között levegőben fellépő U feszültséget. q ln U ln Φ P Φ P V kv. πε 0 9 π 5 4π 9

44 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR Felaat Hatáozza meg a Q 3 µ C nagyságú töltéstől 5 cm távolságban az E elektomos téeősség étékét ha a szigetelőanyag levegő. Q E V/m 584 kv/cm. 4πε π 4π Felaat Hatáozza meg a q 4 µ C/m nagyságú vonalszeű töltéstől 5 cm távolságban az E elektomos téeősség étékét ha a teet kitöltő szigetelőanyag levegő. q E V/m 44 kv/cm. πε0 0 9 π 005 4π Felaat Hatáozza meg mekkoa az a Q pontszeű töltés amely tőle 4 cm távolságban E 5 kv/cm elektomos téeősséget hoz léte az ε 4 elatív pemittivitású szigetelőanyagban. Q E 4πε 0ε Q E πε0ε π C 768 µ C 4π 9.

45 60. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR.8.. Felaat Hatáozza meg hogy az ε 3 elatív pemittivitású szigetelőanyagban mekkoa q vonalszeű töltés hoz léte tőle 8 cm távolságban E 3 kv/cm elektomos téeősséget. q E πε0ε 9 q E πε0ε π C 040 µ C. 4π Felaat Hatáozza meg mekkoa U feszültséget hoz léte az ε 3 elatív pemittivitású közegben az a q vonalszeű töltés a tőle cm és 8 cm távolságban lévő pontok között amely az távolságban lévő pontban E 3 kv/cm nagyságú elektomos téeősséget kelt. q q E U ln πε πε q E πε q 08 ln U ln ln 9 05 E V 9 kv. πε Felaat Hatáozza meg mekkoa U feszültséget kelt az ε 6 elatív pemittivitású közegben az a q vonalszeű töltés a tőle 8 cm és 4 cm távolságban lévő pontok között amely az távolságban lévő pontban E 8 kv/cm nagyságú elektomos téeősséget hoz léte.

46 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 6 q E πε q E πε q 04 ln U ln ln E V 48 kv. πε Felaat Hatáozza meg mekkoa E elektomos téeősséget hoz léte a tőle távolságban lévő pontban az a Q pontszeű töltés amely a és távolságban lévő pontok között U kv feszültséget geneál. 5 cm 4 cm Q U 4πε Q 4πε U Q U E 4πε V/m 444 kv/cm Felaat Hatáozza meg mekkoa E elektomos téeősséget hoz léte az a q vonalszeű töltés a tőle 4 cm távolsága lévő pontban amely az és 6 cm távolsága lévő pontok között U 6 kv feszsültséget állít elő. q U ln πε q U πε ln

47 6. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR q U 6 03 E kv/cm. πε 04 ln ln Felaat Hatáozza meg mekkoa Φ potenciált hoz léte a.49 ábán látható két pontszeű töltés a P pontban ha az ε 3 elatív pemittivitású szigetelőanyagban a nulla potenciálú helyet a P pontban ögzítettük és Q 4 µc 4 cm. Φ Φ Q 4πε ( Q) + Φ ( Q) V kv..49. ába. A pontszeű töltések elenezése Q 4πε Q 5 4πε π π Felaat Hatáozza meg mekkoa E elektomos téeősséget hoz léte az előző pélában vázolt két pontszeű töltés a P pontban. Q ( ) ( ) Q E E Q + E Q + + 4πε ( ) 4πε 4

48 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR E π 3 4π Felaat ( 04) V/m kv/cm. 4 Hatáozza meg mekkoa Φ potenciált hoz léte a.50 ábán látható két vonalszeű töltés a P pontban ha az ε elatív pemittivitású szigetelőanyagban a nulla potenciálú helyet a P pontban ögzítettük és q 5µC m 8 cm. Φ Φ ( q) + Φ ( q) q ln5 πε 0 9 π 4π Felaat.50. ába. A vonalszeű töltések elenezése q q 5 ln ln πε πε ln V 8047 kv. Hatáozza meg mekkoa E elektomos téeősséget hoz léte az előző pélában vázolt két vonalszeű töltés a P pontban. E E ( q) E ( q) q q q πε πε 5 πε V/m 0000 kv/cm. 0 9 π π 9

49 64. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR.8.. Felaat Hatáozza meg mekkoa Φ potenciált hoz léte a.5 ábán látható két pontszeű töltés a P pontban ha az ε 4 elatív pemittivitású szigetelőanyagban a nulla potenciálú helyet a P pontban ögzítettük és Q µc és 3 cm. Φ Φ ( 3Q) + Φ ( Q).5. ába. A töltéselenezés és a pontok helyzete 3Q 4πε Q πε π π Felaat Q 4πε V 3438 kv. Hatáozza meg mekkoa E elektomos téeősséget hoz léte az előző pélában vázolt két pontszeű a P pontban. E E ( 3Q) E ( Q) π 4 4π 9 ( 03) Q 4πε 3 ( ) ( 4 ) Q 3 4 πε V/m 030 kv/cm. 6 6

50 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR Felaat Hatáozza meg mekkoa Φ potenciált hoz léte a.5 ábán látható két vonalszeű töltés a P pontban ha az ε 3 elatív pemittivitású szigetelőanyagban a nulla potenciálú helyet a P pontban ögzítettük és q 5 µc m 8 cm. Φ Φ.5. ába. A vonalszeű töltések és a pontok helyzete ( q) + Φ ( q) ln ln ( ln ln ) π 3 4π Felaat q πε 6 3 q πε q πε ( ln ) V 0794 kv. Hatáozza meg mekkoa E elektomos téeősséget hoz léte az előző pélában vázolt két vonalszeű töltés a P pontban. E E ( q) + E ( q) q q q + + πε 3 πε πε V/m 605 kv/cm. 0 9 π π 9

51 66. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR.8.5. Felaat Hatáozza meg mekkoa feszültséget hoz léte az ε elatív pemittivitású szigetelőanyagban a.53 ábán látható két pontszeű töltés a P és a P pontok között ha Q 3 µ C és 0 cm..53. ába. A pontszeű töltések és a pontok helyzete Q Q U Φ Φ 4πε0ε 6 Q Q 4πε0ε 3 Q V 50 kv. 4πε0ε π 0 6 4π Felaat Hatáozza meg mekkoa feszültséget hoz léte az ε 3 elatív pemittivitású szigetelőanyagban a.54 ábán látható két vonalszeű töltés a P és a P pontok között ha q µc/m és 4 cm..54. ába. A töltések és a pontok helyzete