Elektromos állapot. Görög tudomány, Thales ηλεκτρν=borostyán (elektron) Elektromos állapot alapjelenségei. Elektroszkóp

Átírás

1 Elektomos állapot Göög tudomány, Thales ηλεκτρνboostyán (elekton) Elektomos állapot alapjelenségei Kétféle elektomos állapot pozitív üveg negatív ebonit Elektoszkóp

2 Tapasztalatok Testek alapállapota semleges Dözsöléssel a testek elektomosan töltötté tehetők Kétféle töltött állapot létezik Az elektomos állapot átvihető éintkezéssel A dözsölés a kétféle töltést szétválasztja

3 Szigetelők és vezetők Az anyagokat szigetelőke és vezetőke oszthatjuk (nincs éles hatá). A vezetők továbbítják az elektomos állapotot A szigetelők nem továbbítják az elektomos állapotot 3

4 Töltés fogalma B. Fanklin (76-79) Egyenlőség ételmezése azonos sugaú gömbök töltésée Elektoszkóp azonos kitéés Egyenlőtlenség A kitéés nagysága Nullapont Előjel 4

5 Elektomos megosztás A kétféle töltés Szétválasztható Elvezethető Egyenlő nagyságú 5

6 Coulomb tövény Coulomb 785 F F q q k q q 3 Kíséleti nehézségek: levegő szigetelése, páa, gömbök tölthetősége, megosztás 6

7 Coulomb tövény Töltésegység(SI endszeben): C 9. 9 N k 9. 9 Nm /C A Coulomb tövény másik alakja F q q k 4πε 4 πε ε a vákuum dielektomos állandója ε C /Nm 7

8 Coulomb tövény Gavitációs és Coulomb eő összehasonlítása e F F c g 4 γ πε m e 4,6 4 8

9 Coulomb tövény Meddig igaz a Coulomb tövény Toziós inga <% Cavendish δ <. - Maxwell δ <4,6. -5 Plimton és Lawton (936) δ <. -9 Williams, Falle és Hill (97) δ <. -6 Távolságtatomány amiben vizsgálták -5 3 m (nagy táv. EMH cconst.) F +δ 9

10 Elektomos té Elektomos eők szupepozíciójának elve el. töltés elektomos té el. töltés Nyugvó, mozgó töltések Elektomos téeősség ) (... ) ( ) ( ) ( 3 3 P E q P F q P F q P F E q F

11 Elektomos té Másik pontban hasonló eedményt kapunk Fizikai mezőt jellemezhetjük a té minden pontjához hozzáendelt elektomos téeősséggel Igaz a szupepozíció elve F Eq

12 Gauss tétel (3. Maxwell egyenlet) A matematikai Gauss tétel felhasználásával A Gauss tétel integális és diffeenciális alakja ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( E div dv E div dv dv E div Edf V V V f ρ ε ρ ε ρ ε ) ( ) ( ) ( E div dv Edf V f ρ ε ρ ε

13 Az elektosztatikus té övénymentes Övénymentes vektoté Stokes tételből köv. Pontöltése vizsgáljuk meg az s otv vds g Eds? g g Eds Kitejedt töltésendszee is igaz 3

14 Munka W P P Potenciál Fds qeds A potenciál skalá függvény P ϕ ( P) Eds q töltésen a té munkája W P P P P P q ϕ P P v Eds ( P ) ( ϕ( P ) ϕ( )) P P q P 4

15 Eqvipotenciális felület által meghatáozott pontok halmaza ϕ E ( ) c ( ) gad ϕ ( ) a téeősség meghatáozása a potenciálból A potenciál métékegysége Additív konstans J C [ ϕ ] Volt 5

16 Eővonalak Vektoteek szemléltetése eővonalakkal Az eővonalak éintője a vektoté iányát adja Az eővonalaka meőleges egységnyi felületen áthaladó vonalak száma a téeősség nagyságával aányos?! 6

17 7 Ponttöltés tee A té gömbszimmetikus Alkalmazzuk a Gauss tételt Potenciál 4 4 q E q E q Edf G πε ε π ε ( ) ( ) ( ) ( ) q q q ds q d q d E P P P P P P πε πε πε ϕ πε πε ϕ ϕ +

18 Végtelen töltött egyenes Szimmetiák: henge, eltolás, tüközés Vonal menti töltésüüség λ l Potenciál ϕ H E Edf () lλ ε λ πε Eπ l () d [ ln( )] λ πε λ ϕ() ln πε λ πε ε lλ 8

19 9 Töltött sík tee Felületi töltésüüség σ σ ε σ ε ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + z E A A z E A z E z E z E z E E + ) ( ) ( z E z E A

20 Töltött sík tee Potenciál ϕ ϕ z () z ± dz ± ( z z) z σ ε σ ε () z z σ ε

21 Két páhuzamos töltött sík Felületi töltéssűűség σ d ϕ(d) ϕ x ϕ() ( ) () ( ) ( ) x d x c d d c c x c x c dx d dx d ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ i d gad E ) ( ϕ ϕ

22 Elektomos dipól Dipól definíciója, el. dipólmomentum Dipól potenciálja ϕ l -Q ( ) kq k 3 3 l - + p +Q ϕ() kq kq + l l ϕ() kq ( + ) v l v l + +

23 Elektomos dipól Dipól teének iányfüggése p cosϑ () k ϕ ϑ 3

24 Elektomos dipól tee Elektomos téeősség E E ( ) gad( ϕ( ) 3( p ) ( ) k 5 3 ) gad p k p 3 E x ϕ( ) pxx + py y + pzz k ( + + ) 3/ x x x y z 4

25 5 Elektomos dipól elektomos tében Eő és fogatónyomaték Homogén eőtében F ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )E p E Q l F E l E l E l QE QE F ) (

26 6 Elektomos dipól elektomos tében Fogatónyomaték Homogén eőtében ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E l Q l E Q l E Q l M l QE l QE M v ) ( E p M

27 Elektomos dipól Dipól potenciális enegiája ( ab ) F U dipol a ( ) ( ) ( ) ( ) b + b a a b ( p ) E ( pe) gad ( pe) WP P gad + ( pe) ds pe + b v a 7

28 Töltésendszeek Töltés Dipólmomentum Kvadupólmomentum K i qi ϕ i q A töltésendszet a legmagasabb nem eltűnő momentuma jellemzi Q p q T i ϕ - i i i i i

29 Vezetők elektosztatikája A vezetőben a töltések elmozdulhatnak, ha a téeősség nem nulla. ρ( ) E( ) a töltések elmozdulnak, amíg téeősség nem lesz 9

30 Vezetők elektosztatikája A vezetők belsejében a potenciál állandó. A vezető felületén E meőleges a felülete Eds g D C A B B C Eds Eds + Eds + Eds + Eds g A B D C A D C B Eds 3

31 Vezetők elektosztatikája Felületi töltéssűűség és téeősség F E d f E Δ f ε ε Q σ Δ f E σ ε 3

32 Elektomos eltolódási vekto Elektomos eltolódási vekto definíciója D max( σ ) n E n D - σ n Q A inf C m [ D ] 3

33 Kapacitás Magában álló vezetőe töltéseket viszünk fel, egyensúlyi töltéseloszlás. Növelve a töltést, a töltéssűűség-eloszlás alakja nem változhat. Q σ E ϕ Q Cϕ 33

34 Elektosztatikus té dielektikumokban Szigetelő anyag (elatív) dielektomos állandója vagy pemittivitása Kondenzáto kapacitásának megváltozása Q C C C V V V Q CV Relatív dielektomos állandó C > C ε 34

35 Elektosztatikus té dielektikumokban Síkkondenzáto kapacitása A C ε C ε ε d Abszolút dielektomos állandó ε ε ε A definíció poblémái: készülékfüggő, véges téfogat, kitejesztés? 35

36 Elektosztatikus té dielektikumokban Miét változik meg a téeősség? Poláos és nem-poláos (apoláos) molekulák Elektomos dipólmomentum Indukált dipólmomentum Poláos molekulák, endeződés a té iányába p i βε E 36

37 Elektosztatikus té dielektikumokban Elektomos té dielektikumok belsejében Szabad és kötött töltések Mikoszkopikus té E E E Átlagolt té Makoszkopikus té E E + E miko miko E sz + E E sz k + E k 37

38 Elektosztatikus té dielektikumokban Felületi és téfogati kötött töltések Kötött töltések (polaizációs töltések) felületi töltéssűűsége és a dielektikum polaizációja ΔV lδf cosα σδf P Δf E n + σδf PΔV PΔV PlΔf cosα σδf l σ P cosα 38

39 Elektosztatikus té dielektikumokban Gauss tétel dielektikumoka dive ( ρ divp ) dive sz ε ( ρ + ρ ) Elektomos eltolás vektoa: div D ε sz ( ε E P) ρ sz + ε + E P divd ρ sz 39

40 Elektosztatikus té dielektikumokban Integális alak divddv V f Ddf Q sz V ρ sz dv Az elektosztatika másik tövénye változatlanul igaz: Eds ot E g 4

41 Áam és ellenállás Töltéshodozók Fémekben: elektonok Elektolitokban: pozitív és negatív ionok Gázokban: elektonok és ionok Elektomos áam: az elektomos töltések endezett mozgása v + u v + u u 4

42 Áam és ellenállás Áameősség (lineáis vezető) ΔQ dq I lim Δ t Δt dt Áamiány: pozitív töltések mozgásiánya E dq - + dt dt I dq + + 4

43 Áam és ellenállás Stacionáius áam I(t)const. Töltés - áam: Q Q I( t) dt IT Métékegység AmpeC/s T 43

44 Áam és ellenállás Áamsűűség vekto di df J u J + Áamsűűség - töltéshodozók J e + n + u + + e n u I f Jdf J ρ + u + + ρ u 44

45 Áam és ellenállás Töltésmegmaadás tétele; kontinuitási egyenlet f Jdf dq dt V divj dv f Jdf d dt V ρ dv V ρ dv t 45

46 Áam és ellenállás Kontinuitási egyenlet diffeenciális alakja: divj t Stacionáius áamok esetén: f Jdf ρ divj 46

47 Áam és ellenállás Elektomos ellenállás, Ohm tövény, vezetőképesség V I V RI I GV Ellenállás egysége: V/A Ω (Ohm) Félvezetők (nemlineáis viselkedés) 47

48 Áam és ellenállás Fajlagos ellenállás és fajlagos vezetőképesség R l ρ F σ ρ Métékegysége: Ωm Egykistályok esetén σ tenzo 48

49 Áam és ellenállás Elektomos ellenállás, Ohm tövény, V RI Homogén anyagból készült lineáis vezető ellenállása R ρ l F 49

50 Áam és ellenállás Az Ohm tövény diffeenciális alakja J df E dl Jdf J ρ ρ dl Edl df E J σ E 5

51 Áam és ellenállás Az ellenállás hőmésékletfüggése ρ T ( + ( )) ρ α T T Nagyobb hőmésékleti tatományban T ( ) α β γ ρ ρ T T T 5

52 Áam és ellenállás Az ellenállás hőmésékletfüggése Fémek Szupavezetők Félvezetők Fémek elektomos és hővezető képességének aánya κ σ const.t 5

53 Áam és ellenállás Az Ohm tövény mikoszkopikus ételmezése Elektongáz, temikus egyensúly v 8kT en u π m J ( 9 n ) 3 8 m v 5 m s u 7 3 m s 53

54 54 Joule-Lenz tövény Az elektonok az ütközésko enegiát adnak át a ácsnak. max Δ m ee m u m E k τ τ τ t V n m ee m W Δ Δ Δ

55 55 Joule-Lenz tövény Egységnyi téfogatnak időegység alatt átadott enegia: Diffeenciális Joule tövény E E m n e p t V W σ τ Δ Δ Δ J J E p ρ σ σ σ

56 Joule-Lenz tövény Integális Joule tövény: P pdv ρ J dv V V ρ J V dv l ρ ρ A ( ) P J Al AJ RI 56

57 Relexációs idő Kontinuitási egyenlet ρ ρ t ρ t + + σ divj div( D) ε ρ t + σ t div( σ E) ρ t () t ρ e ε ρ e + t T σ ε ρ T ε σ 57

58 Elektomotoos eő Nem elektosztatikus téeősség E + - E * E * E Elektomotoos eő E W Q 58

59 Elektomotoos eő Elektomotoos eő * W Fds Q E ds i E E * ds Zát áamköe E E ds * 59

60 Kapocsfeszültség Elektosztatikus és idegen eők munkája * F F + F Q E + E e i ( ) W Q Eds + Q * E ds Q ϕ ϕ + Feszültség vagy feszültségesés V ( ) + E ϕ ϕ ( ) QE 6

61 Kapocsfeszültség A köben folyó áam E I R b + R Kapocsfeszültség R Vk E R + R b Feszültség kaakteisztika E I max R b 6

62 Kichhoff tövényei. Csomóponti tövény Kontinuitási egyenlet integális alakjából f Jdf dq dt f Jdf n n i f i i Jdf I i 6

63 63 Kichhoff tövényei. Huoktövény + ( ) ( ) * * E E J E E J + + ρ σ ( ) + + n k m j k k g g g g g g R I ds E Jds ds E Eds ds E E Jds * * * E j ρ ρ

64 Ohm és Kichhoff tövények alkalmazásai Ellenállások soos kapcsolása I V V V 3 V 4 V V + V + V V k +... IR + IR + IR3 + IR k 3 R k k V IR k e R R e k k I 64

65 Ohm és Kichhoff tövények alkalmazásai Ellenállások páhuzamos kapcsolása I I I I 3 k k k I I + I + I R R R3 R e R + R + R 3 V +... V V V R k e 65

66 66 Feszültségosztó vagy potenciométe Változtatható ellenállás x x x k R I R R I V R I R I V I I I " " ' ' " ' ) ( + + R k I I R x V R V R R R R R R R V V k x k x x ' +

67 Egyenáamú hálózatok, Összetett villamos hálózatok Jellemzője: elágazások is vannak a hálózatban Wheasthone híd A U B R x NI R D R x R R 3 R4 Csomópontok Ágak R 3 R 4 Hukok C 67

68 Hálózatanalízis és -szintézis Hálózatanalízis Vegyes módsze A telepek kapocsfeszültségei és az ellenállások ismetek Elemi hukoka vonatkozó huokegyenletek és Cs- csomóponti egyenlet A Kichhoff tövényekkel az ágáamok meghatáozhatók Hálózatszintézis Áam vagy teljesítmény igények alapján a hálózat ellenállásainak meghatáozása Nem egyételmű feladat 68

69 Kétpólusok Kétpólus: két kivezetéssel endelkező hálózatész Elemi és összetett kétpólusok Passzív kétpólus Rövidzáási áama Aktív kétpólus Rövidzáási áama nem nulla Elfajult kétpólusok Rövidzá Szakadás Ideális műszeek (feszültségméő, áamméő, 69

70 Kétpólusok Ideális és valóságos geneátook R + b + I G b U - - Feszültségfoás (Thévenin-kép) Áamfoás (Noton-kép) 7

71 Kétpólusok Kétpólusok összekapcsolása I t R b + U k + R b U - - U I. II. 7

72 Kétpólusok A lehetséges üzemállapotok A II. kétpólus passziv A II. kétpólus foásfeszültsége a kisebb A foásfeszültség megegyezik A II. kétpólus foásfeszültsége a nagyobb A II. foásfeszültsége ellentétes a felvett iánnyal U < övidzáási áamok megegyeznek U < II. kétpólus övidzáási áama a nagyobb 7

73 Kétpólusok Aktív kétpólusok kaakteisztikáinak szakaszai túláamú I Aktív méőiány I Passzív méőiány geneátoos ellenáamú U túláamú U ellenáamú geneátoos 73

74 Összetett hálózatok A huokáamok módszee Csak a hálózat egyik huokendszeée kell felíni egy-egy egyenletet Minden (egymás melletti) elemi huoknak saját áamot tulajdonítunk A valódi ágáamok két huokáam összegeként, különbségeként adódik Ez lényegében azt jelenti, hogy a csomóponti tövényeket előe behelyettesítjük az Kichhoff huoktövénybe. Saját ellenállások: a huokban lévő ellenállások összege Közös ellenállások: amely más huokhoz is tatozik, étéke az ellenállás negatívja, ha a két huokáam 74

75 Összetett hálózatok Huokáamok módszee lépései: Minden elemi huoka felveszünk egy köüljáási iányt Meghatáozzuk minden huoka a sajat és közös ellenállásokat Minden huoka felíunk egy egyenletet Az egyenlet baloldalán a huokáam és a sajátellenállás szozata+ szomszédos hukok huokáamának a közös ellenállással képzett szozatösszege szeepel Az egyenlet jobb oldalán a huokba bekapcsolt feszültségek (pozitív, ha nyíliánya ellentétes a felvett huokáam iányával) 75

76 76 Összetett hálózatok Huokáamok módszee a n a i b i i ai a a U I R I R + b n b i a i i bi b b U I R I R + a) b)..

77 Összetett hálózatok A csomóponti potenciálok módszee A feszültség-geneátookat áamgeneátoá tanszfomáljuk, az ellenállásokat vezetéssé Egy kiválasztott potenciálú csomóponthoz viszonyítjuk a többi csomópont potenciálját. Az ágáamokat a csomópontok potenciálkülönbségével fejezzük ki Az egy csomóponthoz tatozó vezetések összege a saját vezetés A két csomóponthoz tatozó ág negatív előjellel vett vezetését közös vezetésnek nevezzük 77

78 Összetett hálózatok A csomóponti potenciálok módszee I G U A I G U B I 3 G 3 U C I 4 G 4 (U A -U B ) I 5 G 5 (U B -U C ) I 6 G 6 (U A -U B ) I I I 3 + I + I I I I I I I 78

79 Összetett hálózatok A csomóponti potenciálok módszee Minden csomóponta egy egyenletet Az egyenlet baloldalán az adott csomópont sajátfeszültségének és sajátvezetésének szozata, + szomszédos csomópontok és a közös vezetések szozata Az egyenlet jobb oldalán az adott csomóponthoz tatozó áamgeneátook foásáamainak összege (pozitív, ha a csomópont felé folyik) 79

80 Összetett hálózatok A csomóponti potenciálok módszee G U A A G U B n + G AiU i B i B j i A n + G BiU i i A j i B I Aj I Bj 8

81 Összetett hálózatoka vonatkozó elvek és tételek A lineáis szupepozíció elve A Maxwell egyenletek lineáis diffeenciál egyenletek és a diffeenciális Ohm tövény is lineáis, ezét a megoldásaikat is előállíthatjuk a észmegoldások szupepozíciójaként. 8

82 Összetett hálózatoka vonatkozó elvek és tételek A lineáis szupepozíció elve I I ' I " 3 a a a I + 8

83 Összetett hálózatoka vonatkozó elvek és tételek A kompenzáció elve: Zát hálózatból kivágva egy tetszőleges kétpólust a hálózat eedeti villamos állapota visszaállítható, ha a kivágott kétpólus helyée egy megfelelő ideális geneátot kapcsolunk. 83

84 Összetett hálózatoka vonatkozó elvek és tételek A ecipocitás tétele: Passzív lineáis hálózatokban az A helye bekapcsolt ideális geneáto a B helyen bizonyos hatást vált ki, akko a geneátot a B helye helyezve az A helyen ugyanolyan hatást vált ki Az ideális feszültséggeneáto áamméővel, Az ideális áamgeneáto feszültségméővel cseélhető fel Ezek a huokegyenletek szimmetikus aldeteminánsaiból következnek 84

85 Összetett hálózatoka vonatkozó elvek és tételek 85

86 Összetett hálózatoka vonatkozó elvek és tételek Hálózatok dualitása: Egyenétékű az áam és a feszültség A feszültség hozza léte az áamot Az áam hozza léte a feszültséget A villamos hálózatoknál ez a kettősség a kétféle geneátotípuson alapul Ezt az analógiát dualitásnak nevezzük A duális hálózatban a csomópontnak huok, a huoknak csomópont felel meg 86

87 Jellegzetes hálózatészek analízise és szintézise Feszültség és áamosztó U U k AB R R k e I k I G G k e 87

88 88 Jellegzetes hálózatészek analízise és szintézise Összetett feszültségosztók ( ) ( ) ( ) R R R R R R R R R R U U be R R R U U A ki U + ( ) ( ) R R R R R R R R R A U

89 Jellegzetes hálózatészek analízise Létaosztók és szintézise A Követelmények: U A U U U 3 U... Ube U U U U n n Bámely kimenetől azonos ellenálláséték 89

90 Összetett hálózatok analízise ekvivalens átalakításokkal Csillag-delta átalakítás 9

91 Összetett hálózatok analízise ekvivalens átalakításokkal Csillag-delta átalakítás 9

92 Összetett hálózatok analízise ekvivalens átalakításokkal Csillag-delta átalakítás Ugyanazon áamgeneátook esetében ugyanazt a feszültséget kell méni a megfelelő pontok között mind a delta mind a csillag kapcsolás esetén I 9

93 Összetett hálózatok analízise ekvivalens átalakításokkal Thévenin tétel 93

94 Összetett hálózatok analízise ekvivalens átalakításokkal Thévenin tétel 94

95 Összetett hálózatok analízise ekvivalens átalakításokkal Noton tétel 95

96 Összetett hálózatok analízise ekvivalens átalakításokkal Millmann tétele 96

97 Összetett hálózatok analízise ekvivalens átalakításokkal Millmann tétele ( G ) + G + G3 + G4 U AB I + I + I3 + I4 G U + G U + G U U 3 3 AB G + G + G G4U G 4 4 U AB n i n i GU i G i i 97

98 A stacionáius áam és a mágneses té A mágneses indukció vekto definíciója F k I l B sinϑ B k I B F max I l 98

99 Áamvezető mágneses tében Az eőhatás és a mágneses indukció közötti vekto összefüggés F I l B Inhomogén mágneses té, változó szög esetén df I dl B 99

100 Áamvezető mágneses tében A mágneses indukció métékegysége T (Tesla) N Tesla Am Mágneses fluxus dφ B df B cosθ df φ n F B df Bdf n F B

101 Áamvezető mágneses tében Indukciófluxus métékegysége Wb (webe) Wb T m Ha df meőleges az indukció vonalaka B d φ df

102 Áamvezető mágneses tében B meghatáozása eőmééssel, áamiány változtatás F B a F B B IaB F Ia F Ian

103 Áamvezetők közti eőhatás Két páhuzamos egyenes áamvezető közti eőhatás (áamvezető mágneses tee) Páhuzamos vezetőkkel Megegyező iány vonzás Ellentétes iány taszítás F I I k l b 3

104 Áamvezetők közti eőhatás Abszolút ampe definíciója SI egységendsze A m F. -7 N/m azaz k -7 Ns /C Coulomb számaztatott métékegység CAs Vákuumpemeabilitás μ k μ 4π 4

105 Mozgó elektomos töltés mágneses tében Loentz-eő I l F N NQ t ( B) ( vt) B NQv B Teljes Loentz-eő F Q v ( ) B F ( ) Q E + v B 5

106 Biot-Savat tövény Vezetőkben folyó áam mágneses teének észletes tanulmányozásának eedménye: db B I μ π 4 ( ) dl μ db I 4 3 π e ( ) dl db dl 6

107 Biot-Savat tövény alkalmazása Nagyon hosszú, egyenes vezető mágneses tee b cosφ Θ Idl l b tgφ sin θ cos φ B π μ I cosφ dφ 4π b π μ I π b φ db b 7

108 Biot-Savat tövény alkalmazása Két páhuzamos vezető által egymása kifejtett eő B F μ I π b μ II π b l df B I dl μ π I I b I dl I μ II π b F l B F 8

109 Biot-Savat tövény alkalmazása Köáam mágneses tee db μ Idl 4π dl B B B db db sinϕ μ 4π 3/ μ π ( R + b ) IR IR π ( R + b ) 3/ dl I B μ π ϕ If ( ) + 3/ 4 R b 9

110 Biot-Savat tövény alkalmazása Köáam mágneses tee, a köáam középpontjában B μ p 4 R π m 3

111 Ampee tövény Az áamokat előjelesen kell összegezni, pozitív, ha a köüljáási iány és az áam jobbcsavat alkot Az Ampe tövény diffeenciális alakja Bdl g μ f Jdf ot B df f μ f Jdf ot B μ J

112 Ampee tövény alkalmazása Henge alakú véges R sugaú vezetékben folyó áam mágneses tee A vezetéken kívül >R g B Bdl μ π B I π μ I

113 Ampee tövény alkalmazása Henge alakú véges R sugaú vezetékben folyó áam mágneses tee A vezetéken belül <R, konstans áamsűűséget feltételezve g B Bdl μ I π R Bπ μ I R 3

114 Ampee tövény alkalmazása Ideális szolenoid mágneses tee B nn/l g Bdl Bl N B NI μ NI B μ l μ ni 4

115 Ampee tövény alkalmazása Tooid mágneses tee g B Bdl μ Bπ μ NI π μ ni NI 5

116 A mágnessége vonatkozó Gauss tövény A mágneses tée vonatkozó Gauss tövény integális alakja div B dv Bdf V f 6

117 A sztatikus mágnese té alaptövényei vákuumban Integális alak Diffeenciális alak f Bdf Bds μ g k I k div B ot B μ J 7

118 Vektopotenciál Vektoiális Poisson egyenlet A a vektopotenciál ΔA ΔA ΔA ΔA x y z μ μ μ μ J J J J x y z 8

119 A vektopotenciál alkalmazása Biot-Savat tövény ( sv ) s v + s v ot J ( ) μ B gad 4 π J ( ) dv 9

120 A vektopotenciál alkalmazása 3 gad e ( ) V d J B 3 4π μ 3 4 Idl B π μ

121 Mágneses té az anyagban Az anyag mágnesezése, molekuláis áamok Anyag jelenlétében a mágneses té módosul B B + B Az anyagban sem sikeült monopólusokat kimutatni div B div B B + div

122 Mágneses té az anyagban Alapegyenlet nem változik f Bdf div B Mágnesezettségi vekto: a téfogategység mágneses momentuma M ΔV p ΔV m

123 Mágneses té az anyagban Diffeenciális kapcsolat f f J mol df ot M df ( J ot M ) df mol f ot M J mol J df mol f g Mdl 3

124 A mágneses téeősség A mágneses indukció vekto otációja: ot B ot B + ot B ot B ot B ot B μ μ μ J J mol ( ) J + J mol 4

125 A mágneses téeősség H mágneses téeősség vekto ot B μ ( ) J + ot M ot B μ M J H B μ M ot H J 5

126 A mágneses téeősség H métékegysége A/m Az integális egyenletek ot Hdf Jdf f f g Hdl f Jdf g Hdl k I k 6

127 A mágneses téeősség Abszolút mágneses pemeabilitás μ μ μ B és H kapcsolata B μ H B μ μ H 7

128 Anyagok mágneses tulajdonságai Gyengén mágneses és eősen mágneses anyagok Paamágneses anyagok χ m > és χ m -5 Hőmésékletfüggés (Cuie tövény) Pl. Al, C,K,Mg,Pt,Mn χ m C T 8

129 Anyagok mágneses tulajdonságai Diamágneses anyagok χ m < és χ m -5 Nem függ a hőméséklettől (Bi,Cu,Ag,Pb,Zn) Feomágneses anyagoknál χ m > és χ m 3-5 μ nem állandó, mágneses telítés M M t B μ H + μ M 9

130 Anyagok mágneses tulajdonságai Feomágneses anyagok Fe, Co, Ni, Gd+ötv. Mágneses hiszteézis B, M ha H emanencia koecitív eő hiszteézis veszteség mágnesesen kemény anyagok B H c nagy mágnesesen lágy anyagok B H c kicsi, kis veszteség 3

131 Mágneses té számítása Homogén- izotop anyaggal kitöltött szolenoid dl g Hl H B H nli ni k μ I k μ μ H B B N nn/l B 3

132 B és H közeghatáon Töési tövény tg tg α α B B B B t n t n B B t t μ μ α α 3

133 Mágneses tében fellépő mechanikai eők Eőhatás két mágneses anyag hatáfelületén B meőleges a felülete F fb μ μ μ 33

134 Mágneses köök Légéses tooid g Hdl k I k H vas l vas + H lev l lev NI Bn, lev Bn, vas B B l + vas μ μ μ vas B μ lev l lev NI 34

135 Faaday-féle indukciós tövény I~dφ/dt, I~dφ/dt/R Indukált elektomotoos eő d φ d φ dψ E i dt E i N dt dt E i d d B df B cosθ df n dt dt 35

136 Lenz tövény A negatív előjel jelentése a Faaday tövényben Az indukált elektomotoos eő olyan iányú, hogy hatásáa keletkezett áam akadályozza a mágneses fluxus változását Ez az enegia-megmaadás elvéből következik. 36

137 Indukció mozgó vezetőkben Elektomotoos eő keletkezése mágneses tében mozgó vezetőkben, elektonok B FB e ee E i dl ( v B) F e E e( v B) B i v l ( ) E i v B 37

138 Indukció mozgó vezetőkben Az elektomotoos eő: a nem elektosztatikus téeők köintegálja E i ( v B) dl ( v B) dl ( v B) l B( l v ) ( ) A B l vdt B E i dl B v l E l i E vdt i dt ndf d φ dt 38

139 Fogó vezetőhuok Elektomotoos eő mágneses tében fogó vezetőhuokban B n b/ v b b ω E vb sinθ ω B sinθ i E i Eidl Eia ω abb sinθ E i ω fbsinω t 39

140 Indukció nyugvó vezetőkben Időben változó mágneses té, akko is áamot kelt a vezetőben, ha maga a vezető nincs is mágneses tében. g E i E dl i dφb dt E dl i d dt f f Bdf B t df 4

141 Indukció nyugvó vezetőkben A második Maxwell egyenlet diffeenciális alakja: f f B otedf df t f B B ote + df ote t t 4

142 Indukció nyugvó vezetőkben Az indukált elektomos té övényté!! Az időben változó mágneses teet zát zát elektomos eővonalak veszik köül Eids IiR g Vezető nélkül, szigetelőben és vákuumban is elektomos té keletkezik 4

143 Indukált elektomotoos eő általános egyenlete Indukciós tövény E E i i dφ d Bdf dt dt f B f df Bd t t f f B E df + i t f g B d ( ) v l d f t v dl 43

144 Elektomos té szolenoid köül Szimmetia és. Maxwell egyenlet R E i E dl i π f B t db π dt df E i db dt R szolenoid >R E i π R db π dt R E i db dt 44

145 Áamok mágneses teének enegiája A mágneses té enegiájának egyenlőnek kell lenni ezzel a munkával U LI A mágneses té enegiasűűsége: L μ μn V U μ μ n VI μ u U V μ μ H HB B μ μ μ H V 45

146 Feomágnesek átmágnesezése Az indukált elektomotoos eővel szemben végzett munka dw dψ ö Id dt ( E ) Idt Idt Ψ H dw ni HdBV Ψ nlbf Feomágnes nélkül dw ' du 46

147 Feomágnesek átmágnesezése Feomágnes esetében S HdB A feomágneses anyag belső enegiája növekszik 47

148 Maxwell-egyenletek Ampee-féle gejesztési tövény ot H J Hdl I Évényes-e változó áamok, teek esetén? Töltéssűűség időfüggő, a töltésmegmaadás (kontinuitási egyenlet): ρ divj t div J ( ) oth div 48

149 Maxwell-egyenletek Eltolódási áamsűűség ot H J + D t J e D t Teljes áamsűűség J J + J t e 49

150 Maxwell-egyenletek Ha J ot D H t ot E B t Az ellentétes előjelek biztosítják az enegia-megmaadást E P D ε E + P J e ε + t t 5

151 5 Maxwell egyenletek t D J H ot df t D J Hds F G + + ) ( Integális diffeenciális ρ D div Q Ddf F t B E ot df t B Eds F G B div Bdf F

152 5 Maxwell-egyenletek Hatáfeltételek, ha a hatáfelületen nincsenek töltések és áamsűűség Ha a hatáfelületen töltés van, vagy áam folyik: t t n n E E D D t t n n H H B B t t n n E E D D η t n N J H H B B N t t n n