(Gauss-törvény), ebből következik, hogy ρössz = ɛ 0 div E (Gauss-Osztrogradszkij-tételből) r 3. (d 2 + ρ 2 ) 3/2

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "(Gauss-törvény), ebből következik, hogy ρössz = ɛ 0 div E (Gauss-Osztrogradszkij-tételből) r 3. (d 2 + ρ 2 ) 3/2"

Barnabás Deák
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 . Elektosztatika. Alapképletek (a) E a = össz (Gauss-tövény), ebből következik, hogy ρössz = ɛ 0 iv E (Gauss-Osztogaszkij-tételből) ɛ 0 (b) D = ɛ 0 E + P, P = p V, ez spec. esetben P = χɛ 0E. Tehát D = ɛ 0 E + χɛ 0 E = ( + χ) ɛ 0 E = ɛ ɛ 0 E }{{} ɛ (c) D a = szaba (Maxwell), ezét iv D = ρ szaba () D n D n = η szaba (e) E t E t = 0 (mivel ot E = 0) (f) C = U = x x E(x) x (g) E ipol = 3(p ) p 4πɛ 0 5 (h) Közeghatáon E tangenciális, D nomális komponense nem ugik. Levezetett képletek (a) Ponttöltéstől távolsága a téeősség: E() = (b) Ponttöltéstől távolsága a potenciál: U() = 4πɛ 0 3 4πɛ 0 (c) Homogén, végtelen, σ töltéssűűségű fonaltól távolsága a téeősség: E() = σ πɛ 0 () Homogén, végtelen, σ töltéssűűségű fonaltól távolsága a potenciál: U() = σ ln πɛ 0 (e) Homogén, töltéssel enelkező kögyűűtől a gyűű meőleges tengelye mentén z magasságban a téeősség: E(z) = z 4πɛ 0 (z + ) 3/ (f) Homogén, végtelen vezető síklaptól távolsága van töltés. Az így létejövő η(ρ) töltéseloszlás (ahol ρ a középpontól való távolság): η(ρ) = π ( + ρ ) 3/ (g) Gömbi invezió: fölelt fémgomb esetén a helyettesítő töltés és ennek távolsága ( ) a középponttól: = és = (h) Fémgömbnél a létejövő η töltéseloszlás a fémgömb felületén a ϕ függvényében: ( ) φ η(ϕ) = ɛ 0 x = x= 4π ( cos ϕ) + ( + cos ϕ) 3/ = 4π ( ) ( + cos ϕ ) 3/ (i) ρ téfogati töltéseloszlású, ɛ ielektikummal töltött gömb téeőssége: E() = ρ 3ɛ 0 ɛ ρ 3 3ɛ 0 < >

2 (j) töltés ɛ és ɛ közeghatáon gömbszimmetikus teet kelt, ennek nagysága: E() = k ɛ, ahol ɛ = ɛ + ɛ (k) páhuzamos ipólok között ható eő: F = 3p p πɛ 0 4 (l) semleges gömb homogén tébe helyezve azt úgy tozítja, mintha benne egy ipól lenne, melynek nagysága: p = 4π 3 ɛ 0 E 0 (m) Alapkonenzátook téeőssége és kapacitása: E sik = ɛɛ 0 A C sik = ɛɛ 0 A C gömb = ɛɛ 0 4π C henge = πlɛɛ 0 ln 3. Levezetések (a) szappanbuboék : a külső és belső nyomás megegyezik, a göbületi nyomás húzza össze, a ajta lévő töltések taszítják egymást egyensúly. A buboék enegiája:w (,, etc) = U + A γ(met buboék gömkonenzáto, és két olala van). A felület mentén potenciál(gauss miatt):u = Ez az enegia fog a 4πɛ 0 minimuma töekeni, tehát a megfelelő változó szeint eiválva 0-t kell ania. másik megolás - vituális munka elve alapján kis V -vel megnövelve téfogatát: W = / ɛ kinti E V + p k V = 0 (Gauss miatt: E = }{{} 4πɛ kinti ) enegiasũũség (b) fémgömb, melynek középpontja távolsága van egy töltéstől, amit D iekciós eejű ugó ögzít a falhoz. Amiko a fémgömb szigetelt, akko két vituális töltés: = az y = helyen és a középpontban. Amiko leföleljük, akko ez a középső szűnik meg, tehát a töltés a középppont felé mozul el, és a δ elmozulása: δ = 4πɛ 0 D (c) Síkszimmetikus, ɛ és ɛ ielektikummal töltött hengekonenzáto kapacitása D a = = ɛ ɛ 0 E πl + ɛ ɛ 0 E πl = = E = ɛ 0 π(ɛ + ɛ )l U = E( ) = ɛ 0 π(ɛ + ɛ ) ln = C = U = ɛ 0π(ɛ + ɛ )l ln () köszimmetikus (,, sugaakkal), ɛ és ɛ ielektikummal töltött hengekonenzáto kapacitása U = = + ɛ ɛ 0 E πl = = E( ) = πɛ ɛ 0 l πɛ ɛ 0 l + πɛ ɛ 0 l 4πɛ 0 ɛ ɛ C = ( ) ( + ) ɛ ln + ɛ ln

3 (e) axiálisan (tengely mentén) kettéosztott hengekonenzáto kapacitása Olyan, mint két páhuzamosan töltött hengekonenzáto. Ebből ugyanakkoa kapacitás aóik, mint a síkszimmetikus esetben. (f) síkkonenzáto a síka meőleges síkkal elválasztva ɛ ɛ 0 EA + ɛ ɛ 0 EA = = C = E = ɛ 0(ɛ A + ɛ A ) (g) úszó konenzáto enegiája a folyaék magasságának függvényében: W (h) = CU + ρh ( )π gh Ut }{{}}{{ }}{{} konenzátoenegiája folyaék emelkeése telep enegiája=u C = E( ) = ( ɛ 0 (l/ h) + ɛ (l/ + h) ) π ln( ) Ez az enegia töekszik minimuma, tehát: W h = 0 3

4 . Mágnesség. Alapképletek (a) B s = µ 0 és B f = 0 (b) B() = µ 0 ( ) 4π 3 vagy: B = (c) B = µ ( 0 3(m ) m 4π 5 ( ) µ0 4π ( s ) e ), ahol m = A (mágneses momentum): ipól és huok tee. () F = ga(m B) és W = m B : ipóla ható eő és ipól mágneses enegiája. (e) M = m B és M = W m ϑ (f) w = (H B) és W = (ahol ϑ az m és B által bezát szög) w V (enegiasűűség és enegia) (g) F L = (v B) = (l B) : Loentz-eő (mozgó töltése / áamjáta vezetőe) (h) U = l (v B) : Neumann-tövény (l hosszúságú vezető v sebességgel B tében mozog) (i) Φ = B f : mágneses fluxus (j) U i = Φ t : Faaay-tövény (k) Közeghatáon B nomális, és H tangenciális komponense nem ugik. Levezetett képletek (a) Hosszú, egyenes szakasz mágneses tee távolságban, ha áam folyik benne B = µ 0 π (b) Szakasz tee B = µ 0 (sin α sin β) 4π (c) sugaú kövezető tee a középpontjában, a tengelye mentén z távolsága (csak z iányú lesz!) és köáam tee nagy távolságban: B = µ 0 B = µ 0 B = µ 0 (z + ) 3/ () Két hosszú vezeték között ható eő: F = µ 0 π l (e) csillag-elta és elta-csillag átalakítás: = = cs = 3 = 3 3 = = 3 cs = 3 cs 3 = cs 4

5 (f) Tooi (téglalap alakú) és szolenoi (azaz ha a <<, L: hossz, A: keesztmetszet) öninuckiós együtthatója: L t = µµ ( ) 0 + a π N b ln L sz = µµ 0N A L (g) eeő ellenállás számolásánál kétféle szimmetia: bemeneteket öszekötő egyenese szimmetikusak ekvipotenciálisak, a bemeneteket összekötő egyenese meőleges egyenese szimmetikusak ellentétesek, amik peig ajta vannak, azok ekvipotenciálisak 3. Felaatok megolásai (a) Tooi kitöltve µ és µ izével meg ilyesmi. felül-alul kitöltve menet fluxusa ( = + b): H = ossz H = N πx Φ = Bf = µ N πx a x + µ N πx a x Φ = (µ + µ ) Na ( ) 4π ln L = Φ ossz = (µ + µ ) N ( ) a 4π ln jobba-bala kitöltve Φ = +b/ µ H < x < + b B(x) = µ Na πx x + µ Na +b/ πx x = L = (b) A koaxiális kábeles cucc (elmfiz 6.8) µ H + b < x < ( ) ( Na µ ln π ( N ) ( ( ) ( a + b µ ln + µ ln π + b ( ) ( + b + µ ln )) + b )) π x 0 < x < H(x) = πx πx ( + ) ( + ) ( πx x ) < x < < x < + 0 x > + 5

6 Az enegiasűűség és az enegia: A megolás (az elmfizből, közelítés nélkül!): w = HB W = L = wv = µ 0H πxlx L = µ 0 ( + ) [ (( + ) ) (c) patkómágnes mekkoa eőt tu kifejteni ( + ) ( + ) ( + ) ln ] + µ 0 π ln Hs = ossz H(x) = N ( + x)(π + ) + l Kicsit széthúzzuk (h-val); a keletkezett új közeg és a vasmag hatáán minen szép. A munkavégzés: a F h = 0 H (x)b (x) ax h F = a a (µh(x)) x }{{} µ 0 0 w () oget-spiál A ensze enegiája: W (x) = Dx + L(x) (x) L szolenoi (x) = µ 0N A l + x Oa áll be a ugó, ahol az enegiája minimális; nekünk az kell, hogy x = l-nél legyen a munka eiváltja 0. nnen meg szépen kijön valami. (e) fogó koong egyenletes töltéseloszlással. Téeősség a középpontban. = πx π( ) x = T = ωx π( ) x H = x H = ω π( + ) A ensze ekvivalens egy mágneses momentummal, ennek nagysága: m = A = x π m = 4 ω( + ) (f) a olalú szabályos háomszög és köé ít hatszög tee és a olalú négyzet és köé ít kö tee: H 3sz = 9 πa H 6sz = 7 πa H negyzet = πa H ko = a (g) hogy lőjük be a észecskét, hogy köpályán menjen, mekkoa a peióusiő és az emelkeés (ez sem biztos :) F = q(v B) v z = v sin α v φ = v cos α mv φ = qv φ B sin α tan α = mv qb T = π v φ = πqb v q B + m v = T v z = π mv qb 6

7 (h) vezetőkeet kis ezgéseket végez Θ ossz ϕ = M = m B = mb sin ϕ ϕ = a µ 0 0 sin ϕ π( 3 0 µ 0 = 6 + 3πM ϕ ω = 30 µ 0 3πM ϕ )Ma (i) kö alakú hukot fogatunk y iányú B 0 mágneses tében(006/4//) Benne feszültség inukálóik, met a B iányú felülete változik a fluxus is változik, és a Faaay-tövény szeint: U i = Φ t. A(t) = π sin(ωt), met ez egy vetítés, és t = 0-ban A-nak is nullának kell lennie. A fluxus efiníciója szeint: BA = Φ, mivel B = B 0 állanó, ezét Φ = B 0 A, vagyis: Φ = B 0 π sin(ωt) Faaay-tv: U i = t B 0 π sin(ωt) U i = B 0 π ω cos(ωt) (t) = π ω cos(ωt) Az inukálóó áam minig olyan iányú lesz, hogy az általa keltett mágneses té csökkentse B 0 -t, vagyis y iányú kooinátája minig negatív lesz, a z iányú peig 0. B,x = µ π ω cos(ωt) cos(ωt) B,y = µ π ω cos(ωt) sin(ωt) (j) össztöltésű, állanó ρ töltéseloszlású fogó kumpli mágneses momentuma: egy helyvektoú pontjának sebessége ω, ahol a tengelye meőleges komponense -nek, tehát itt az áamsűűség: j = ρv. Definíció szeint: = ja = ρω A, a súolt teület peig T = s, vagyis ennek a aabnak a mágneses momentuma: m = T = ρω As. Mivel As = V, ezét a teljes kumpli momentuma: m = ρω V Éekesség, hogy ha a tehetetlenségi nyomatékot nézzük, akko az abban szeeplő ρ sűűséget helyettesítve ρω-val, ahol ρ a töltéseloszlás megkapjuk a mágneses momentumot. 7

Hasonló dokumentumok

9. ábra. A 25B-7 feladathoz

9. ábra. A 25B-7 feladathoz . gyakolat.1. Feladat: (HN 5B-7) Egy d vastagságú lemezben egyenletes ρ téfogatmenti töltés van. A lemez a ±y és ±z iányokban gyakolatilag végtelen (9. ába); az x tengely zéuspontját úgy választottuk meg,