0. Matematika és mértékegységek

Átírás

1 . Matematka és métékegységek Defnált fogalom Meghatáozás Kö keülete, teülete K = π [m], = π [m ] églalap keülete, teülete K = (a+b) [m], = ab [m ] Deékszögű háomszög keülete, teülete K = a+b+c [m], = ab / [m ], ahol c az átfogó Gömb felszíne, téfogata = 4 π [m ], = 4/3 3 π [m 3 ] Henge felszíne, téfogata = π + πh [m ], = πh [m 3 ], ahol h a magasság églatest felszíne, téfogata = (ab+ac+bc) [m ], = abc [m 3 ] Szög sn-a sn α = szöggel szemközt befogó / átfogó Szög cos-a Szög tg-e ektook összeadása ektook összeadása deékszögű Descates-koodnátaendszeben cos α = szög mellett befogó / átfogó tg α = szöggel szemközt befogó / szög mellett befogó, sn lletve tg cos. c=a+b=(c x, c y, c z ), ahol c x = a x + b x, c y = a y + b y, c z = a z + b z. ektook szozása számmal ektook szozása számmal deékszögű Descateskoodnátaendszeben ektook kvonása ektook kvonása deékszögű Descates-koodnátaendszeben ektook skalás szozása ektook skalás szozása deékszögű Descateskoodnátaendszeben ektook vektoáls szozása c= μa =(c x, c y, c z ), ahol c x = μ a x, c y = μ a y, c z = μ a z. c=a-b=(c x, c y, c z ), ahol c x = a x - b x, c y = a y - b y, c z = a z - b z. a b = μ = a b cosγ μ = a b = a x b x + a y b y + a z b z

2 ektook vektoáls szozása deékszögű Descateskoodnátaendszeben ekto hosszának számítása ekto hosszának számítása deékszögű Descateskoodnátaendszeben Pefxumok Óa-másodpec átváltás Köbméte-lte átváltás c=a b=(c x, c y, c z ), ahol c x = a y b z - a z b y, c y = a z b x - a x b z, c z = a x b y - a y b x. a = a a a = a a= a x + a y + a z h = 6 mn, és mn = 6 s, így h = 36 s lte = dm 3, vagys m 3 = lte Fok-adán átváltás ad 36, lletve 36 ad I. Mechanka Defnált fogalom Meghatáozás Sebesség d helyvekto változás gyosasága v [m/s] Gyosulás dv d a sebességvekto változás gyosasága a [m/s ] Szabadesés soán megtett út h at vt a g az ánytól függően, v a kezdősebesség függőleges ányban Szögsebesség Szöggyosulás d, a szög (adánban méve) változás gyosasága [/s] d a szögsebesség változás gyosasága [/s ] Centpetáls gyosulás a v / v, a sebesség ányának megváltozását jellemz cp angencáls gyosulás Inecaendsze dv at a sebesség nagyságának megváltozását jellemz, a gyosulás éntőányú komponense Olyan vonatkoztatás endsze, amelyben a magáa hagyott testek megtatják eedet mozgásállapotukat (azaz a sebességvekto állandó).

3 Newton II. (Eő-) axómája F m a Hatás-ellenhatás (Newton III. axómája) Szupepozícó elve tövénye [N] Ha az test a B teste FB eőt fejt k, akko B test s eőt fejt k az teste. Ezen FB eő azonos nagyságú, de ellentétes ányú az eedet F F B eővel: B FB Ha az anyag pont egydejűleg több hatásnak s k van téve, azaz több eő hat á, akko együttes hatásuk egyetlen ún. eedő eővel helyettesíthető. z eedő eő az egyes eők vekto összege n Fe = å F = Súlódás eő FS Fny Newton-féle gavtácós eő Két tömeg közt vonzás, eőtövénye: F mm = Súlyeő Rugóeő Gmg F Dx x Csllapított ezgőmozgás mozgásegyenlete mx Dx x Impulzus I mv [kg m/s] Impulzustétel d I = å F, azaz tömegpont mpulzusának dő szent deváltja egyenlő a á ható összes eő eedőjével Munka W, Fd, az eő elmozdulás szent ntegálja, vagy állandó eő esetén W FFcos [J] Knetkus (mozgás) enega Ek mv [J] Munkatétel eljesítmény eljesítménytétel Hatásfok Konzevatív eő W= E k a test mozgás enegájának megváltozása egyenlő a teste ható eedő eő munkájával de P egységny dő alatt közölt enega [W] dek P, a tömegponta ható eők teljesítménye megegyezk a tömegpont knetkus enegájának változás gyosaságával. E E hasznos befektetett Olyan eő, amely általa a testen és B pont között végzett munka független attól, mlyen úton jut a test -ból a B-be

4 Potencáls enega Helyzet enega test potencáls (helyzet) enegája a B pontban az a munka, amelyet a kédéses eő végez, ha a B-ból abba az pontba megy a test, amelyben a potencáls enegát nullának választottuk. E=mgh p [J] Rugóeő potencáls enegája Ha az egyensúly helyzethez képest x -lel nyújtottuk meg: E(x) p Dx Mechanka enega-megmaadás Konzevatív eőtében E=E k+e p=állandó Centpetáls eő teste ható eők eedőjének a pályavonala meőleges komponense: v F cp =ma cp =m m Eőka Fogatónyomaték vekto M F az eő hatásvonalának a (ögzített) tengelytől való távolsága [Nm] Impulzusmomentum (pedület) LImv [kg m /s] egyszeűbb esetben L=mv m Pedület-tétel dl M ehetetlenség tömegponta nyomaték m [kg m ] Fogó mozgás alapegyenlete M Hamonkus ezgőmozgás x(t)=sn( t+ ), ahol az ampltúdó, δ a fázseltolás, ω pedg a köfekvenca Gyengén csllapított ezgőmozgás t x(t) e sn( t ) Hullámmozgás = sn ( kx- t ) Sűűség defnícója m() Általában lm homogén anyageloszlás esetén ömegközéppont helyvektoa (súlypont) k, ahol, és m m/ [kg/m 3 ] D/m m m s, tömegpontok esetén, vagy s d m m m folytonos anyageloszlás esetén tömegpont- Impulzus-tétel endszeeke dnamka alapegyenlete tömegpont-endszeeke d I = å F, vagys az mpulzus dő szent deváltja egyenlő azt összes külső eő eedőjével å F = ma tkp

5 ömegközéppont tétel Pontendsze tömegközéppontja úgy mozog, mntha a endsze egész tömege a tömegközéppontban lenne egyesítve és az összes külső eő ee a ponta hatna. Fogatónyomaték vekto M F [Nm] Impulzusmomentum tömegpont-endszeeke tétel dl M vagys az mpulzusmomentum dő szent deváltja egyenlő azt összes külső eő fogatónyomatékának eedőjével Fogó mozgás alapegyenlete M tömegpont- Munkatétel endszee W= E k, vagys tömegpontendsze knetkus enegájának megváltozása egyenlő az összes külső és belső eők munkájával ökéletesen ugalmas ütközés egyenlete ökéletesen ugalmatlan ütközés egyenlete Impulzus-megmaadás: mv mv mv mv Enega-megmaadásból: mv mv mv mv Impulzus-megmaadás: mv mv mv mv z ütközés után együtt mozognak: v v ehetetlenség defnícója ömegpont nyomatéka nyomaték tehetetlenség ömegpontok esetén = å m, folytonos anyag esetén = ò d [kg m ] = m [kg m ] Homogén úd tehetetlenség nyomatéka Középpontján áthaladó tengelye: = ml / égén áthaladó tengelye: = ml /3 Henge tehetetlenség nyomatéka = mr / Stene-tétel Meev test Meev test egyensúlyának feltétele súlyponttól d távolsága lévő tengelye vonatkozó tehetetlenség nyomaték: d = s+ md Olyan test, amelynek bámely két pontja közt távolság állandó z eők egyensúlya å F = Nyomatékegyenlet M = å Nyomás F p lm, állandó eőhatás esetén F p [Pa]

6 Hdosztatka nyomás khmédész tövénye folyadék súlyából számazó nyomás, p H= gh [Pa] Folyadékba mátott teste felhajtóeő hat, amelynek nagysága egyenlő a test által kszoított (azaz a test bemeülő észével egyenlő téfogatú) folyadék súlyával. Haladó mozgás ( dm) Fogó mozgás áltozó x φ (szög)sebesség v x ω (szög)gyosulás a x β ehetetlenség m θ (szög)gyosulás oka F x =ma x M=θβ Impulzus(momentum) p x =mv x L= θω Knetkus enega ½ mv x ½ θω Munka F x Δx MΔφ eljesítmény F x v x Mω II. emodnamka Defnált fogalom Kvázsztatkus folyamat Extenzív állapotjelző Intenzív állapotjelző Meghatáozás Olyan folyamat, amely lényegében egyensúly állapotok soozatán át vezet Olyan állapotjelző, amely két endsze egyesítésével összeadódk Olyan állapotjelző, amely két endsze egyesítéseko kegyenlítődk Közölt hő Makoszkópkus elmozdulás és munkavégzés nélkül, a észecskék endezetlen mozgásával kapcsolatos enegaátadás [J] Fajhő Jele: c, ahol Q cm Mólhő Jele: C, ahol Q Cn éfogat munka * W pd a gáz által a könyezetén végzett munka, amíg a gáz téfogata -ől -e változk Belső enega a észecskék egymáshoz képest (elatív) mozgásához tatozó knetkus enega plusz a észecskék egymással való kölcsönhatásához tatozó potencáls enega

7 Ekvpatícó tétele Szabadság fok egyensúly endszeben adott hőmésékleten mnden egyes szabadság foka dőátlagban ugyananny enega jut: E k az egymástól független enegatáolás lehetőségek Egy endsze belső enegája f f E b = Nk, vagy E= b nr [J] Hőméséklet hőtan első főtétele két test közül az a magasabb hőmésékletű, amelyknek átlagosan több enega jut egy szabadság fokáa [K] E b =Q+W Ideáls gáz állapot-egyenlete p Nk, vagy p nr Izotem állapotváltozás defnícója és egyenlete Izocho állapotváltozás defnícója és egyenlete Izobá állapotváltozás defnícója és egyenlete dabatkus állapotváltozás defnícója és egyenlete áll.,p áll. * Eb,W Q nrln p áll., áll. f f * Eb Q nr p,w p áll., áll. f Eb nr,w p nr,q E W Q, f * * b p áll., p áll., áll. III. Elektosztatka Defnált fogalom Coulomb-eő Meghatáozás QQ Nagysága: FC = k, ahol k 9 9 Nm C ákuum pemttvtása Nm 8,85 4 k C Elektomos téeősség az elektomos téeősség megadja a kédéses pontba helyezett poztív egységny töltése ható eőt, ány és nagyság szent. z ány a poztív F töltése ható eő ányával egyezk meg: E [N/C] Q

8 Feszültség z elektosztatkus mező I. alaptövénye Kapactás Kondenzáto két pont között az egységny póbatöltésen a két pont között a mező által végzett munka: U B W Q B B Ed [] defnícó következménye, hogy: EgadU Homogén elektomos tében: U E d [] Ha az elmozdulás páhuzamos a téeősséggel: U Ed Ed, ha egy zát göbén véggmegy a póbatöltés, a mező g összesen nulla munkát végez Q C [F] U Két vezető test elszgetelve egymástól, amelyet sokszo töltés táolásáa használnak Elektomos dpólus Egy poztív Q ponttöltésből és egy ugyanolyan nagyságú negatív ponttöltésből (-Q) áll, melyek távolsága. Ha kcsny a feladatban előfoduló egyéb távolságokhoz képest, akko pontszeű dpólusól beszélünk. Elektomos dpólmomentum p Q Dpólusa ható fogatónyomaték öltésközéppont helyvektoa M pe tkp fog Q Q Polazácóvekto z anyag átlagos polazáltságát jellemz: p P lm [C/m ] Elektomos ndukcóvekto D EP [C/m ] Elektomos szuszceptbltás Relatív pemttvtás Megadja, hogy elektomos tében mlyen eősen polazálódk az anyag: P E, Megadja, hányszo nagyobb az llető szgetelő vagy delektkum pemttvtása a vákuuménál:

9 bszolút pemttvtás Elektomos fluxus z elektosztatka II. alaptövénye Megadja a felületet átdöfő elektomos ndukcóvonalak előjeles számát, pontosabban: Dd Homogén elektomos tében: D Ha a felület meőleges az ndukcóa: D zaz (elektosztatka) Gauss tövény: zát ögzített felülete az elektomos fluxus egyenlő a felületben foglalt összes töltéssel. Dd Q Síkkondenzáto kapactása Kondenzáto enegája Elektosztatkus enegája mező C d Q WC QU CU C WE DEd [J] Homogén elektomos tében [J] WE DE Elektosztatkus mező we DE enegasűűsége [J/m 3 ] Ha a polazácóvekto aányos a téeősséggel we E ákuumban E we Félkövé és dőlt betű: beugóban szeepel, ahol a job oldal sávban s jelölve van, ott a beugóban csak az adott változat fog szeepeln, de a vzsgán kellen fog az általános s! Félkövé betű: alapvető fogalmak, a tételek mellett ezek szeepelnek kédésként Fontos kemeln, hogy az anyag nem tatalmaz mnden összefüggést, am a vzsgáa kell!