Elektromos töltés helyzeti energiája, elektromos potenciál, az elektrosztatika I. alaptörvénye

Átírás

1 TÓTH : lektosztatka/ (kbővített óavázlat) lektomos töltés helyzet enegája, elektomos potencál, az elektosztatka I alaptövénye mechankában láttuk, hogy konzevatív eőtében helyzet enega vezethető be zt a kédést, hogy az elektosztatkus eőté konzevatív vagy nem, csak a tapasztalat segítségével lehet eldönten tapasztalatok azt mutatják, hogy az elektosztatkus eőté konzevatív, tehát egy elektomos töltésnek az elektomos eőtében helyzet enegája van helyzet enegát tt s a mechankában defnált módon, az eőté által végzett munka segítségével adjuk meg, amely konzevatív eőtében nem függ az elmozduló töltés pályájától, csak az elmozdulás kezdő- és végpontjától lektomos eőtében egy q töltésnek az pontból a P pontba töténő tetszőleges pályán töténő elmozdulása soán (ába) az eőté által végzett munka: P P = W eőté lm Fe = Fe d = q d F e =q helyzet enega defnícójának megfelelően az eőtében lévő q töltés helyzet (potencáls) enegája a P pontban, az ponta vonatkozóan: h ( P) = W eőté = q P d F e =q Mnt említettük, a két pont között elmozdulás pályáját nem kell megadn, hszen ez a munka konzevatív eőtében nem függ a pályától Mnt mnden helyzet enega, egy töltés elektosztatkus helyzet enegája s függ a vonatkoztatás ponttól q töltés helyzet enegája nem csak a helytől és a jelenlévő eőtétől függ, hanem éthető módon magától a töltéstől s helyzet enega azonban aányos a töltéssel, ezét, ha a helyzet enegát elosztjuk a töltéssel, akko a töltéstől független mennységet kapunk: h ( P ) U ( P ) = UP = = q d z a mennység má csak az eőtétől és a P pontnak az vonatkoztatás ponthoz vszonyított helyzetétől függ zzel az eljáással tehát az eőté bámely P pontjához hozzáendelhetünk egy skalás mennységet (számszeűleg az egységny töltésen az P elmozdulás soán végzett munkát), amelyet az elektosztatkus eőté P pontbel potencáljának nevezünk Ilyen módon a töltéssel való osztás évén a töltés egy jellemző adatából, a helyzet enegából, a té egy jellemző adatát, a potencált kapjuk J potencál egysége, defnícójának megfelelően:, amt volt-nak neveznek és C J jelölésée a V betűt használják zzel az egység: = V C potencál hasonlóan a helyzet enegához mndg egy vonatkoztatás ponthoz (tt az ponthoz) vszonyított mennység z azonban endszent nem okoz nehézségeket, met egy fzka pobléma megoldása soán általában nem a helyzet enega és a potencál P P

2 TÓTH : lektosztatka/ (kbővített óavázlat) abszolút étékée van szükségünk, hanem azok megváltozásáa (két pontban felvett étékek különbségée), am vszont nem függ a vonatkoztatás ponttól, amnt azt a helyzet enegáa vonatkozóan a mechankában má kmutattuk Bá ez az állítás nylvánvalóan a potencála s gaz (a két mennység csupán egy állandó szozóban különbözk egymástól), példaként tt most a potencála vonatkozó bzonyítást s megadjuk Két pont között a potencálkülönbséget úgy kapjuk meg, hogy meghatáozzuk az egyes pontokban a közös vonatkoztatás ponthoz vszonyított potencált, majd kszámítjuk ezek különbségét z ábán látható B pontnak az ponthoz vszonyított U B potencálkülönbségét az U U U = U U B = B( ) B( ) kfejezés, lletve a potencál defnícójának felhasználásával kapott U B = = összefüggés adja meg d d B B d d d = B d = d B () B () nnek megfelelően egy elem d elmozdulás kezdő- és végpontja közt potencálkülönbséget a skalás szozat adja meg du = d mechankában láttuk, hogy a konzevatív eőtének az a sajátsága, hogy munkája független a pályától, úgy s megfogalmazható, hogy egy zát L göbén köbejáva, a végzett összes munka nulla setünkben ez azt jelent, hogy elektosztatkus eőtében egy q töltést egy zát L göbén köbemozgatva, a té által végzett összes munka nulla lesz: L q d = bből következk, hogy a zát göbe mentén a potencálkülönbségeket összegezzük, akko szntén nullát kapunk: d = L zt az összefüggést gyakan az elektosztatka I tövényének nevezk, am tehát azt fejez k, hogy az elektosztatkus té konzevatív bből a tövényből következk, hogy az elektosztatkus té eővonala nem lehetnek akámlyenek Például nem lehetségesek önmagukban záódó eővonalhukok, met ha zát göbeként egy lyen eővonalhukot választunk, akko ee kszámítva a fent köntegált, bztosan nullától különböző eedményt kapunk nnek az az oka, hogy lyenko a téeősség és az elmozdulás a göbe mnden pontján egyányú vagy ellentétes ányú egymással, ezét az d elem skalás szozatok vagy mnd negatívak vagy mnd poztívak, így összegük nem lehet nulla B

3 TÓTH : lektosztatka/ (kbővített óavázlat) 3 Potencál konkét eőteekben Most néhány egyszeű esetben bemutatjuk a potencál kszámításának módját Potencál homogén eőtében legegyszeűbb, ezét bonyolultabb eőteek d d közelítéseként gyakan használt eőté a homogén eőté, amelyben a téeősség mndenütt ugyanolyan P nagyságú és ányú z eőteet egyenletes sűűségű páhuzamos eővonalakkal szemléltethetjük (ába) Homogén eőtében a potencáls enega és a potencál meghatáozása vszonylag egyszeű Így d P például az ábán látható homogén elektomos eőtében egy poztív q elektomos töltés helyzet P' d enegája a P pontban ( h (P )), lletve az elektomos potencál a té ugyanezen pontjában az ponthoz vszonyítva (U (P )) az alább módon kapható meg: ( P ) = q d d = qd h P P lletve h ( P ) U ( P ) = = d q (z ntegálásnál, felhasználtuk, hogy a té munkavégzése nem függ a választott útvonaltól, ezét egy célszeű útvonalat választottunk, ahol a munka az P szakaszon nulla, hszen tt d ) Mnt látható, homogén tében a potencál és a helyzet enega s csak attól függ, hogy a vzsgált pont és a vonatkoztatás pont egymástól mét távolságának a téeősséggel páhuzamos vetülete (d ) mekkoa z ábán bejelölt P pontban temészetesen mnd a helyzet enega, mnd pedg a potencál negatív: ( P ) = qd, lletve U ( P ) = d h Ponttöltés potencálja potencál (lletve helyzet enega) a téeősség ntegálásával kapható meg Következő példaként (ába) számítsuk k egy poztív Q ponttöltés által létehozott elektomos eőtében a potencált a ponttöltéstől mét távolság függvényében Ha a potencál vonatkoztatás pontját az = pontban vesszük fel, akko, felhasználva a ponttöltés eőteée vonatkozó smeetenket, a potencál defnícója alapján íhatjuk U ( ) = P Q Q d = d = d z ntegálás eedménye: Q U ( ) = Ha vonatkoztatás helyként a ponttöltéstől végtelen távol pontot ( végtelen) választunk, akko a leggyakabban használt d

4 TÓTH : lektosztatka/ (kbővített óavázlat) 4 Q U ( ) = U( ) = alakot kapjuk (ennek jelölésée általában a külön ndex nélkül U használatos) Látható, hogy ezzel a választással egyben a potencál nulla pontját s a végtelen távol pontban vettük fel Két tetszőleges pont ( és ) között potencálkülönbség a fentek alapján: Q U = U( ) U( ) = U =, ahol alkalmaztuk a szokásos U = U jelölést potencálkülönbség a váakozásnak megfelelően nem függ a vonatkoztatás pont választásától Gyakan fontos smen egy elektomos tében a potencálvszonyokat, vagys azt, hogy a potencál mlyen ányban változk, és mlyen ütemben zt szemléletes módon lehet bemutatn azoknak a felületeknek a beajzolásával, amelyek mentén mozogva a potencál állandó zek az ekvpotencáls felületek, amelyek a potencál defnícójából következően a téeősségvonalaka mndenütt meőlegesek Ha ezeket úgy ajzoljuk be, hogy a szomszédos felületek potencálkülönbsége meghatáozott éték, akko az ábáól a potencál nagyságának helyfüggését s leolvashatjuk (hasonlóan, ahogy a tékép szntvonalaól a magasság változásat) Ponttöltés esetén a fent egyenletből könnyen megkaphatjuk az ekvpotencáls felületek egyenletét: Q = U n, U ahol U n különböző potencálétékeket jelöl, amelyeket U az n soszámmal különböztethetünk meg z U 3 egyenletből következk, hogy az U n potencálétékekhez tatozó ekvpotencáls felületek gömbök (ába), amelyeknek sugaa Q n = 4 πε U n z ábán az egyes potencálétékek között ugyanakkoa a különbség (a potencálok étéke ende,, 3, egység) szntvonalak szemléletesen s mutatják, hogy a töltéshez közeledve a potencál étéke egye meedekebben emelkedk (az azonos potencálkülönbségű göbék sűűsödnek) Több ponttöltés együttes eőteében a potencál kszámítása egyszeű, ha feltételezzük, hogy a szupepozícó elve évényes kko az egyes töltések által az adott helyen (pl egy P pontban) létehozott potencálokat egyszeűen összeadjuk (a potencál skalás mennység): Q U( P ) = U ( P ) =, ahol Q az -edk ponttöltés töltése (előjelesen), a távolsága a P ponttól Folytonos töltéseloszlás potencálja gy V téfogatban folytonosan eloszló töltés potencálját a Gauss-tövény tágyalásánál megsmet módon, a töltésnek pontszeű észeke töténő osztásával kaphatjuk meg Ha a ρ téfogat töltéssűűséget mndenütt smejük, akko egy P pont köül felvett elem dv téfogatban lévő töltést k tudjuk számítan a dq = ρdv összefüggéssel Ha feltételezzük, hogy évényes a szupepozícó

5 TÓTH : lektosztatka/ (kbővített óavázlat) 5 elve és vákuumban, dőben állandó eőté esetén a tapasztalat szent évényes akko a pontszeűnek tekntett elem észtöltések által létehozott potencál: ρdv U( P ) =, ahol a dv téfogatelem a távolsága a P ponttól Hasonló módon jáunk el, ha a töltés egy felületen oszlk el folytonosan, és a felület mnden pontjában smejük a σ felület töltéssűűséget nnek defnícója a következő: ha egy elem felületen Q töltés van, akko ott a felület töltéssűűség közelítő étéke σ V Q felület töltéssűűség egy pontban évényes étékét úgy kapjuk meg, hogy a pont köül felvett felületet egye csökkentjük, és meghatáozzuk a σ = lm V Q dq = d hatáétéket z az adott pontban a felület töltéssűűség, amely előjeles mennység, előjele az adott helyen lévő töltés előjelével egyezk meg Ha az felületet elem d észeke osztjuk, akko az egyes felületelemeken lévő, pontszeűnek teknthető töltés: dq = σd, így a felületen elhelyezkedő töltés által okozott potencál egy P pontban σd U( P ) =, ahol a d felületelem a távolsága a P ponttól lektomos téeősség számítása a potencál helyfüggésének smeetében mechankában láttuk, hogy egy konzevatív eőtében a helyzet enega helyfüggésének smeetében meghatáozható egy tömegponta ható eő Ugyanez az elektomos kölcsönhatás esetén s megtehető Ha az elektomos eőtében egy q töltés helyzet enegája csak az x-koodnáta függvénye, akko a dh( x ) = Fexdx összefüggésből a töltése ható eő x-komponense dh( x ) F = dx Mvel a töltése ható eő x komponense elektomos eőtében összefüggésből a téeősség s megkapható: dh( x ) d h( x ) du( x ) x = = = q dx dx q dx ex F x = q x, a fent ****************************************************** Általános (háom dmenzós) esetben a potencál mndháom koodnátától függ, azaz U =U( x,y,z ) nnek a függvénynek az elem megváltozása egy d(dx,dy,dz) elem elmozdulásnál a háom koodnáta mentén töténő elmozdulások közben bekövetkező változások összegeként ható fel: U( x,y,z ) U( x,y,z ) U( x,y,z ) du( x,y,z ) = dx dy dz x y z Másészt a potencál megváltozása kfejezhető a téeősséggel s: du( x,y,z ) = d = ( x dx ydy dz ) két kfejezés összehasonlításából kapjuk, hogy U( x,y,z ) U( x,y,z ) U( x,y,z ) x =, y = z =, x y z vagys a téeősség a potencál helyfüggésének smeetében kszámítható ****************************************************** z

6 TÓTH : lektosztatka/ (kbővített óavázlat) 6 lektomos töltések kölcsönhatás enegája ddg egy töltés helyzet enegáját egy smeetlen foásból számazó elektomos eőtében vzsgáltuk, és feltételeztük, hogy a vzsgált töltés az eőteet nem változtatja meg z eőteet azonban sztatkus esetben mndg valamlyen töltés hozza léte, így a kszámított enega a vzsgált töltés és a teet létehozó smeetlen töltés kölcsönhatásának a következménye zt s mondhatjuk, hogy ez a helyzet enega a kölcsönható töltések közös enegája, amt kölcsönhatás enegának nevezünk z, hogy a kölcsönhatás enega valóban mndkét kölcsönható töltéshez tatozk, jól látszk két ponttöltés kölcsönhatása esetén Helyezzünk el két ponttöltést (Q és Q ) egymástól távolságban, és számítsuk k előszö, hogy menny a helyzet enegája a Q töltésnek egy Q töltés által létehozott elektomos eőtében Q töltéstől távolságban a potencál a Q töltés helyzet enegája tt Q =, U QQ h = UQ = Látszk, hogy ebben az enega-kfejezésben teljesen szmmetkus módon szeepel a két töltés, és az összefüggésben szeeplő s az egymástól mét távolság: az enega nem endelhető hozzá kzáólagosan egyk töltéshez sem Még nylvánvalóbbá válk az enega közös jellege, ha kszámítjuk, hogy menny a helyzet enegája a Q töltésnek a Q töltés által létehozott elektomos eőtében Q töltéstől távolságban a potencál Q U =, a Q töltés helyzet enegája tt QQ h = U Q =, am megegyezk az előző eedményünkkel Vagys bámelyk töltés enegáját számoljuk k a másk eőteében, ugyanazt az eedményt kapjuk Ismét azt látjuk, hogy ez az enega nem endelhető hozzá egyk töltéshez sem: ez a két ponttöltésből álló endsze közös helyzet enegája vagy más néven a két töltés kölcsönhatás enegája zt a kölcsönhatás enegát az szmbólummal h h h jelölve, egymástól távolságban lévő ponttöltések esetén QQ h = Mvel két töltés kölcsönhatása számos esetben gen fontos szeepet játszk (lyen kölcsönhatás tatja össze pl az atomban a poztív töltésű magot és a negatív töltésű elektonokat), ennek az enegának a távolságfüggését szemléletesen s bemutatjuk a mellékelt ábán z ába a) észe két

7 TÓTH : lektosztatka/ (kbővített óavázlat) 7 azonos előjelű ponttöltés kölcsönhatás enegáját mutatja a két töltés egymástól mét távolságának függvényében b) ába ugyanezt mutatja két ellentétes előjelű ponttöltés esetén z ábákon azt s ézékeltetjük, hogy az pontbel töltéshez bámely ányból közelítjük a másk töltést, mndg ugyanolyan jellegű a helyzet enega változása zonos töltések esetén tehát a közelített töltésnek egy helyzet enega-hegyet kell legyőzne, vagys a endsze enegája a közeledésnél nő, míg ellentétes töltések esetén a közelített töltés egy helyzet enega-gödöbe esk be, és a endsze enegája csökken a nulla helyzet enegának megfelelő végtelen távol helyzethez képest helyzet enega nullpontjának lyen megválasztása az oka annak, hogy vonzó kölcsönhatás esetén a endsze helyzet enegája negatív Ha több ponttöltésből (Q, Q,,Q, ) álló töltésendsze kölcsönhatás enegáját akajuk kszámítan, akko kválasztunk egy töltést, és meghatáozzuk a kválasztott pl az -edk Q töltés helyén a több töltés által létehozott U potencált z -edk töltés helyzet enegáját ekko az h = QU összefüggés adja meg töltések teljes helyzet enegáját, vagys a töltésendsze kölcsönhatás enegáját, az egyes ponttöltések helyzet enegának összegéből kaphatjuk meg: kh = h = QU z ½ szozóa azét van szükség, met az összegzés soán mnden töltéspá kölcsönhatás enegáját kétsze vesszük fgyelembe Mvel ponttöltésekől van szó, a helyzet enega könnyen kszámítható Ha az -edk és j- edk töltés között távolságot j -vel jelöljük, akko az -edk töltés helyén a több töltés által létehozott U potencál z -edk töltés helyzet enegája tehát h U = Q U = j, j = Q Q j j j, j z összes töltés helyzet enegája, vagys a töltésendsze kölcsönhatás enegája Q j QQ j kh = h = Q = j, j j 8πε, j, j j Hatáozzuk meg a fentek alapján egy vezetőn elhelyezkedő Q töltés helyzet enegáját hhez a vezetőn lévő töltést ponttöltéseknek teknthető apó Q észeke osztjuk, és az így kapott töltésendsze helyzet enegáját számítjuk k Tudjuk, hogy egy vezető mnden pontján azonos a potencál Jelöljük ezt U-val kko a potencál a Q észtöltés helyén s U, így ennek a töltésnek a helyzet enegája z összes töltés helyzet enegája pedg h = Q U Q j j

8 TÓTH : lektosztatka/ (kbővített óavázlat) 8 = kh h = QU = U Q = UQ gy vezetőn elhelyezett töltés helyzet enegája tehát aányos a vezetőn lévő töltéssel és a vezető potencáljával gyszeű töltéselendezések elektomos eőtee z elektosztatkus té alaptövénye segítségével egyszeűbb töltéseloszlások által keltett elektomos eőtében a téeősség lletve az elektomos potencál kszámítható z általunk használt ntegál-tövények lyen céla csak akko használhatók, ha a töltéseloszlásnak valamlyen szmmetája van (pl gömbszmmeta) Gömbszmmetkus töltéseloszlások tee Ponttöltés legegyszeűbb lyen töltéseloszlás a ponttöltés Ha egy magában álló ponttöltés teée alkalmazzuk a II alaptövényt, akko temészetesen vsszakapjuk a Coulomb tövényből kapott téeősség-kfejezést, hszen abból találtuk k a II alaptövényt Vezető gömb Kevésbé nylvánvaló egy R sugaú vezető gömb elektomos tee, amelye Q poztív töltést vttünk fel vezető olyan tulajdonságú anyag, amelyen az elektomos töltések szabadon elmozdulhatnak, ezét a töltések amelyek taszítják egymást egyensúlyban egymástól a lehető legtávolabb, tehát a gömb felületén helyezkednek el Q (felület) számításhoz célszeűen felvett felület egy gömbfelület (a végeedmény a felület választásától nem függ), amelynek középpontja a töltött gömb d középpontjával egybeesk (ába) Mvel ez a = töltéseloszlás gömbszmmetkus, a té s az lesz, tehát a téeősség nagysága () a felvett gömbfelület mnden d pontjában azonos, és sugáányban kfelé mutat Így a felületen mndenütt d, és = állandó, ezét az elektosztatka II alaptövénye egyszeű alakban íható fel: Q d = d = d = 4 π = ε töltött gömbön belül nncs töltés, így a gömb felületén belül felvett zát felület által bezát töltés Q =, a gömbön kívül felvett zát felület által bezát töltés Q Így a töltött gömb tee =, ha < R Q = ha R, vagys a töltött vezető gömb belsejében nncs elektomos té, a gömbön kívül eső pontokban pedg a té olyan, mntha a gömb töltése a centumában koncentált ponttöltés lenne (ezét lehet a ponttöltések kölcsönhatását töltött gömbök segítségével megmén) téeősség távolságfüggését az alább ába a) észe mutatja

9 TÓTH : lektosztatka/ (kbővített óavázlat) 9 potencál most s a () U() téeősség ntegálásával kapható meg gömbön kívül a téeősség a ponttöltés téeősségével azonos, ezét ott a potencál s R R megegyezk a ponttöltés a) b) potencáljával: Q U( ) =, >R gömb felületén =R, a potencál mndenütt ugyanaz Q U( R ) = U gömb = =R R gömbön belül nncs eőté, a potencál ezét állandó, és azonos a gömb felületén lévő potencállal: Q U belül = U( R ) = R R potencál távolságfüggése a fent ába b) észén látható Téeősség és potencál töltött síkok könyezetében, a síkkondenzáto legegyszeűbbek, ezét a valóságos teek közelítéseként gyakan használt eőteek a homogén eőteek z alábbakban lyen eőteekkel kapcsolatos számításokat smetetünk Szmmeta-meggondolások alapján belátható, hogy homogén té jön léte egy elektomosan töltött, végtelen ktejedésű lemez két oldalán, amelyen a felület töltéssűűség (egy elem felületen elhelyezkedő dq töltés és a d felület hányadosa: σ=dq/d) mndenütt azonos Számítsuk k a téeősséget d ( ), ha a lemez töltése poztív téeősség az elektosztatka II alaptövénye alapján d egyszeűen megkapható, ha a fluxust olyan zát d felülete számítjuk k, amelynek csak téeősséggel páhuzamos és téeőssége meőleges észe vannak (ába) e a zát felülete vett fluxus σ Φ zá t = d= d= d= másészt vszont a II alaptövény szent Φ zá t Q = ε két egyenletből (felhasználva, hogy ΣQ = σ) a téeősség: = σ ε Negatívan töltött lemeze ugyanlyen nagyságú, csak ellenkező ányú téeősséget kapunk (ába) z eedmények szgoúan véve végtelen ktejedésű lemeze gazak,

10 TÓTH : lektosztatka/ (kbővített óavázlat) közelítőleg évényesek azonban véges lemezeknél s, ha a lemeztől mét távolság sokkal ksebb, mnt a lemez szélétől mét távolság Édekes és fontos eset, ha két olyan lemezt helyezünk el egymással páhuzamosan és egymáshoz közel, amelyeken a töltéssűűség azonos nagyságú, de ellentétes előjelű (σ és -σ) kko - mnt az alább ába s mutatja - a két lemez között a teek egyányúak, ezét ott a téeősség megduplázódk, a lemezeken kívül azonban a teek koltják σ σ σ σ - - egymást Így a két lemez között homogén té jön léte, = = amelynek nagysága: - - = = σ =, - - ε ánya pedg a poztívan a) b) c) töltött lemeztől a negatív felé mutat Mvel a kalakult eőté homogén, könnyen kszámíthatjuk az ellentetten töltött páhuzamos vezető-lemezek között potencálkülönbséget s poztív () lemez U potencálja a negatívhoz (-) képest: U = σ d = d = d = d = d ahol d a lemezek között távolság (Itt felhasználtuk, hogy és d ellentétes ányú, vagys d<) z összefüggés jó közelítéssel véges felületek esetén s alkalmazható, ha d kcs a lemezek lneás méetéhez képest Töltés elhelyezkedése vezetőn, töltött vezető potencálja, a kapactás z elektomos kölcsönhatás kísélet vzsgálata soán láttuk, hogy egy vezetőben hosszú távú mozgása képes töltéshodozók vannak zek a töltések a vezetőben külső = hatás jelenléte nélkül az ellenkező előjelű - töltésekkel összekeveedve helyezkednek el, a vezető kfelé elektomosan töltetlen (semleges) testként - - vselkedk (a) ába) többlet-töltést nem tatalmazó, semleges vezetőben azonban külső elektomos eőtéel a) b) töltésátendeződés hozható léte, és lyenko a vezetőben szétvált töltések matt a vezető nem semleges testként vselkedk: köülötte elektomos eőté jön léte (b) ába) z a jelenség az elektomos megosztás, amt koábban kíséletleg s vzsgáltunk zt s láttuk, hogy egy vezetőe többlet elektomos töltést tudunk felvnn, és a vezetőben ez a töltés s mozogn tud Mvel az azonos előjelű töltések egymást taszítják, a többlettöltések a vezetőn váhatóan egymástól távol póbálnak elhelyezkedn nnek a feltevésnek a helyességét kíséletekkel s gazoln lehet ε

11 TÓTH : lektosztatka/ (kbővített óavázlat) KÍSÉRLTK: Töltés elhelyezkedését vzsgáljuk vezetőn Vezetőként nyílással ellátott, belül ües fémgömböt lletve fémhenget használunk, a töltés jelenlétének vzsgálatáa szolgáló eszköz egy ksméetű, szgetelt nyéle szeelt fémgolyó és egy elektométe belül ües fémgömböt feltöltjük, majd a fémgolyóval kívülől megéntjük Ha fémgolyót az elektométehez éntjük, az töltést mutat, vagys a fémgömb külső felületén van töltés fémgolyót a nyíláson keesztül a feltöltött, ües fémgömb belső felületéhez, majd az elektométehez éntjük z elektométe nem mutat töltést: a feltöltött fémgömb belső felületén nncs töltés fémgömböt a nyíláson keesztül belülől töltjük fel fent kíséletek eedménye most s ugyanaz: a töltés ekko s a fémgömb külső felületée megy KÍSÉRLT: bben a kíséletben vezetőként nyílással ellátott, belül ües, két végén nytott fémhenget használunk fémhenge belső és külső felületée s bodzabél elektoszkópot helyezünk el káhol vszünk fel töltést a hengee, mndg csak a külső felülete szeelt elektoszkóp mutat töltést kíséletekből vlágosan kdeül, hogy a vezetőn a töltések valóban egymástól a lehető legnagyobb távolságban, a vezető külső felületén helyezkednek el kíséletek szent egy vezetőe felvtt töltések gen övd dő alatt egyensúly állapotba keülnek, és nem mozognak tovább bből a tapasztalatból tovább megállapításoka juthatunk gyensúly állapotban egy vezető belsejében nem lehet elektomos eőté z azét van így, met, ha lenne elektomos eőté, akko annak hatásáa a töltések mozognának, így nem lehetne egyensúly zét, ha egy vezetőben (pl a feltöltése pllanatában) elektomos eőté alakul k, akko a töltések addg mozognak, amíg olyan töltéseloszlás jön léte, am a vezetőben megszüntet az elektomos eőteet z akko s gaz, ha a vezetőt nem töltjük fel, hanem elektomos eőtébe helyezzük, am a benne lévő töltéseket megosztja Ilyenko a megosztott töltések elhelyezkedése lesz olyan, hogy a vezető belsejében nem lesz elektomos eőté Hasonló a helyzet egy zát, üeges vezető esetében s: egyensúly (sztatkus) állapotban az üeg belsejében nncs elektomos eőté z könnyen belátható, ha meggondoljuk, hogy egy tömö vezetőből úgy csnálhatunk üegest, hogy kvágjuk a belsejét kko olyan észt távolítunk el, amelyben nncs elektomos eőté, és amelynek jelenléte vagy hánya az elektomos eőteet nem befolyásolja, így a kvágás után semm sem változk meg z a tény gyakolat szempontból gen fontos, hszen ez azt jelent, hogy ha egy fémdobozt dőben állandó elektomos eőtébe teszünk, akko a belsejében nem - = - - lesz elektomos eőté szokásos kfejezést használva: a fémdoboz leányékolja a külső elektomos eőteet Más a helyzet akko, ha egy üeges vezetőben - - helyezünk el töltést kko a töltés maga köül elektomos eőteet hoz léte, így az üegben s lesz - - eőté z az eőté megosztja a vezető üegfal töltéset, - és az eőté a vezetőn kívül s megjelenk (ába) vezető

12 TÓTH : lektosztatka/ (kbővített óavázlat) Mvel két pont között elektomos potencálkülönbség csak akko lehet, ha elektomos eőté van jelen (du=-d), egyensúly állapotban egy vezető mnden pontjában azonos a potencál Ha egy vezetőt feltöltünk, akko a felületén lévő töltések a vezetőn kívül elektomos eőteet hoznak léte kalakult téeősség azonban a felületen csak olyan lehet, hogy a téeősségvonalak a vezető felületée meőlegesek (ha a téeősségnek lenne a felülettel páhuzamos komponense az elmozdítaná a töltéseket) z akko s így van, ha a vezető nem töltött, de elektomos eőtében van, és a felületén a megosztás matt van töltés ************************************** Megjegyezzük, hogy az a tapasztalat, hogy a töltött vezetőben olyan egyensúly állapot jön léte, amelyben a többlet-töltések a vezető felületén helyezkednek el, és a vezető belsejében nncs elektomos eőté, nem annya magától étetődő, mnt amlyennek az a fent kvaltatív meggondolások alapján látszk z elmélet számítások ugyans azt mutatják, hogy a töltések lyen egyensúly állapota csak akko jöhet léte, ha a két ponttöltés kölcsönhatását megadó Coulomb-tövényben az eő távolságfüggése -es zét az a tény, hogy lyen egyensúly létejön, a Coulomb tövényben szeeplő távolságfüggés kísélet bzonyítékának teknthető ************************************** Kapactás, kondenzátook különböző töltéselendezések elektomos eőteének vzsgálatánál azt az eedményt kaptuk, hogy a magában álló (azaz más töltésektől gen messze elhelyezett) vezető gömb potencálja aányos a ajta lévő töltéssel, az aányosság tényező pedg csak geometa adatokat tatalmaz: U R Q vez = specáls esetben kapott eedményől kmutatható, hogy általánosan s gaz: tetszőleges alakú, magában álló, elektomosan töltött vezető végtelen távol ponta vonatkozó potencálja aányos a ajta lévő töltéssel: U vez ~ Q zt az aányosságot az alább módon szokás felín U C Q vez =, ahol a C állandót a vezető kapactásának nevezk (mnél nagyobb a C éték, annál több töltést tud táoln a vezető adott potencálon) szent egy R sugaú vezető gömb kapactása a fent egyenletek alapján: C gömb = R Hasonló eedménye jutottunk, amko két páhuzamos síkon azonos nagyságú, de ellentétes előjelű töltést helyeztünk el két sík között potencálkülönbsége azt kaptuk, hogy σ U = d ε Ha a két töltött sík két vezető anyagból (pl fémből) készült sík lemez, akko az elendezést síkkondenzátonak nevezzük, am töltések táolásáa alkalmas Ha a σ töltéssűűséget kfejezzük a lemezeken lévő összes Q töltéssel a σ = Q/ összefüggés segítségével, akko a potencála az d U = ε Q kfejezést kapjuk

13 TÓTH : lektosztatka/ (kbővített óavázlat) 3 z az összefüggés hasonló a kapactás defnícójáa szolgáló egyenlethez (a potencálkülönbség és a töltés aányos) z analóga alapján bevezethetjük a síkkondenzáto kapactását: Q ε C = = U d ε nnek az összefüggésnek átendezett, Q = U alakjából látható, hogy adott d potencálkülönbség mellett annál több töltés táolható a kondenzátoon, mnél nagyobb a kapactása, vagys mnél nagyobb a lemezek felülete és mnél ksebb a köztük lévő távolság potencálkülönbségnek és egyúttal a kapactásnak a lemezek távolságától való függését kvaltatív módon könnyen gazolhatjuk az alább egyszeű kísélettel KÍSÉRLT: Mozgatható lemezből készült kondenzátot feltöltve és a lemezek távolságát változtatva, változk a potencálkülönbség, amt a lemezekhez csatlakoztatott elektométe ktéése mutat d növeléseko a potencálkülönbség nő, csökkenéseko csökken, a kapott összefüggésnek megfelelően Mvel a lemezeken eközben a töltés nem változk, ez az eedmény egyben azt s mutatja, hogy a d távolság növeléseko a kapactás csökken, d csökkenéseko pedg nő, amnt az a fent összefüggésből következk csúcshatás töltéseknek vezetőn töténő elhelyezkedésével függ össze az a tapasztalat, hogy a töltött vezető ks göbület sugaú csúcsos észenél a téeősség sokkal nagyobb, mnt a nagyobb göbület sugaú lapos észeknél zt a jelenséget egyszeű kíséletekkel bemutathatjuk KÍSÉRLTK: Függőleges tengely köül fogatható, S alakban meghajlított, végen khegyezett dótot (ába) feltöltünk (pl Van de Gaaf-geneátoal) dót gyos fogásba jön, mntha a dótvégekből valam káamlana és a eakcóeő hajtaná az eszközt (hasonlóan, mnt egyes locsolókészülékeknél a káamló víz) Nagy feszültsége feltöltött, khegyezett fémtű olyan eős légáamlatot (ún elektomos szelet) hoz léte, am képes elfújn a csúcsa közelében elhelyezett gyetyát töltés jelenség magyaázata az, hogy a csúcsnál kalakuló nagy elektomos téeősség matt a csúcs polazálja (dpólussá alakítja), és magához vonzza a levegő semleges molekulát csúcsnál a molekulák a csúccsal azonos töltést vesznek fel, ezét a csúcs eltaszítja azokat, és így jön léte a tapasztalt légáam nagy elektomos téeősség kalakulása azzal függ össze, hogy a mndenütt azonos potencálú vezetőben a csúcsnál nagyobb a felület töltéssűűség, mnt más helyeken zt számítással s alátámaszthatjuk, ha a vezetőt vékony vezető szállal összekötött két gömbbel modellezzük, amelyek közül az egyk ks-, a másk pedg nagy sugaú (ába) z egyes gömbök töltését Q -gyel lletve Q -vel vezető szál R R Q Q vezető gömbök

14 TÓTH : lektosztatka/ (kbővített óavázlat) 4 jelölve, a két gömb felületén az azonos potencál (a gömbök vezetővel össze vannak kötve): Q Q U = = = U R R bből következk, hogy Q Q = R R felület töltéssűűség az egyes gömbökön Q Q σ = lletve σ =, amből azt kapjuk, hogy 4πR 4πR σ Q Q R = = σ R 4πR 4πR = Mvel a felület közvetlen közelében a téeősség aányos a töltéssűűséggel: ~ σ, ezét R R = R, lletve =, R vagys a ksebb sugaú (csúcsosabb) észnél nagyobb a téeősség z elektomos dpólus z elektomos eőté leíása szempontjából fontos szeepet játszk az a specáls töltéselendezés, amely egymáshoz nagyon közel elhelyezkedő, pontszeű, azonos nagyságú poztív- és negatív töltésből áll (ába) z az elektomos dpólus dpólussal jól modellezhetők azok a semleges atomok vagy molekulák, amelyekben a poztív és negatív töltések súlypontja valamlyen okból (pl szekezet sajátságok vagy külső hatás matt) nem esk egybe Ilyen esetekkel a későbbekben elsősoban az anyag jelenlétében kalakuló elektomos eőté leíásánál találkozunk z elektomos dpólus eőtee dpólus két különálló ponttöltésből áll, ezét köülötte elektomos eőté alakul k téeősséget bámely pontban - - kszámíthatjuk a szupepozícó - - elve segítségével: az egyes töltések 3- által létehozott téeősségvektookat összeadjuk 3 3 Ilyen szekesztés vázlata látható a mellékelt ábán (a) ába), amelyen a) b) a dpólus eőteét téeősségvonalakkal s szemléltettük (b) ába) téeősség helyfüggése matematka fomulával s megadható, ezt azonban tt nem vezetjük le levezetés megtalálható: Heves I: lektomosságtan c tankönyvében (38-4 oldal)

15 TÓTH : lektosztatka/ (kbővített óavázlat) 5 lektomos dpólus vselkedése elektomos eőtében Homogén eőté Homogén elektomos eőtében a dpólus két töltésée ellenkező ányú, azonos nagyságú eő hat, am a dpólusnak a téeősség ányához vszonyított helyzetétől függően egy fogatónyomatékot eedményez dpólus tehát ha fogásképes az eőté hatásáa elfodul dpólusa ható eőket az ába mutatja, amnek alapján kszámíthatjuk a dpólusa ható fogatónyomatékot Látható, hogy a dpólusa ható eők eedője nulla, de fellép egy α F =Q Q fogatónyomaték, amelynek nagysága d e M = Fl' = Fl snα = Ql snα l' l α z a fogatónyomaték az óamutató jáásával egy ányban fogat, tehát a F =Q - -Q fogatónyomaték vekto a ajz síkjáa meőlegesen befelé mutat fogatónyomaték kfejezésében felsmehető a dpólmomentum nagysága, amt beíva, az alább alakot kapjuk: M = d snα e z a kfejezés két vekto nagyságának (d e és ) és az általuk bezát szög (α) sznuszának a szozata, tehát egy vektoszozat nagyságaként s felfogható zzel a fogatónyomaték vekto alakját s megkaphatjuk: M = d e nnek a nagysága megadja a fogatónyomaték nagyságát, és ánya s a valóságos fogatónyomaték ányával egyezk (a vektoszozat eedménye a ajz síkjáa meőlegesen befelé mutat) dpólusa ható fogató nyomaték tehát a té ányába fogatja a dpólust té ányába beállt dpólusa má nem hat fogatónyomaték (a két eő egy egyenesben működk), vagys ez a dpólus egyensúly helyzete zt a vselkedést egy egyszeű dpólus-modell segítségével kíséletleg s bemutathatjuk KÍSÉRLT: Súlyzó alakú, féméteggel bevont testet függőleges tengely köül fogathatóan két-két cénaszála felfüggesztünk, amelyek közül az egyk pá alulól, a másk pá felülől ögzít a súlyzót (a két szál bztosítja, hogy a testnek meghatáozott egyensúly helyzete legyen, ahová külső hatás nélkül mndg vsszaté) súlyzót egy kondenzáto lemeze közé tesszük, és kezdetben úgy állítjuk be, hogy tengelye nagyjából a kondenzáto lemezevel páhuzamosan álljon zután a kondenzátot nagy feszültsége feltöltjük lemezek között létejött elektomos eőtében a súlyzó fémbevonatában megosztás évén az egyk gömb poztív- a másk gömb negatív töltésű lesz, vagys egy dpólus jön léte dpólus modell az eőtében elfodul, és a kondenzáto lemezee meőlegesen, vagys az elektomos téeősséggel páhuzamosan áll be Ha az eőteet megszüntetjük, akko a dpólus vsszaté az eedet helyzetébe kísélet tehát megeősít azt az elmélet következtetésünket, hogy a dpólus valóban a téeősség ányába fodul be

16 TÓTH : lektosztatka/ (kbővített óavázlat) 6 Inhomogén eőté Inhomogén eőtében a dpólus befodul az adott helyen fennálló téeősség ányába, és ekko megszűnk a dpólusa ható fogatónyomaték Mvel azonban a téeősség változk a hellyel, a dpólus két töltésée ható eők nem lesznek azonosak, így a dpólusa egy eedő eő lép fel, amnek hatásáa a x dpólus ha mozgásképes elmozdul z eedő Q eő számítását az ába alapján végezzük el, ahol a F lokáls téeősség ányába má beállt dpólus d x x e látható bben az ányban vettük fel a koodnátaendszeünk x-tengelyét dpólus két -Q végpontja az x- lletve x x koodnátájú helyen F - - x van, így a dpólus hossza l= x z eedő eő, amelynek tt csak x-komponense van: F x = F F = Q( x x ) Q( x ) Mvel feltételezzük, hogy a dpólus töltése nagyon közel vannak egymáshoz, az (x) függvény smeetében az (x x) étéket lneás extapolácóval hatáozzuk meg: d( x ) ( x x ) ( x ) x dx zt felhasználva, az eedő eőe azt kapjuk, hogy d( x ) d( x ) F x = Q( x ) Q x Q( x ) = Q x dx dx Fgyelembe véve, hogy a dpólmomentum nagysága tt d e = Q x, végül azt kapjuk, hogy d( x ) Fx = d e dx szent a dpólusa ható eedő eő a dpólmomentumon kívül a téeősség változásának eősségétől szakkfejezéssel a téeősség gadensétől függ, annak növekedésével nő dpólus ha ezt a köülmények lehetővé teszk a növekvő téeősség ányában mozdul el z az oka pl annak s, hogy az nhomogén eőteet létehozó megdözsölt üvegúd magához vonzza a dpólussá tett szgetelődaabkákat, vagy a megosztás matt ugyancsak dpólusként vselkedő könnyű fémfóla-daabokat lektomos dpólus helyzet enegája elektomos eőtében Láttuk, hogy egyensúly állapotban a dpólus befodul az elektomos téeősség ányába Ha ebből a helyzetből k akajuk fodítan, akko eőt kell kfejtenünk, és munkát kell végeznünk z a munkavégzés azt eedményez, hogy a dpólus helyzet enegáa tesz szet Most kszámítjuk, hogy homogén elektomos eőtében hogyan függ ez a helyzet enega a dpólus elfodulásának nagyságától (a dpólmomentum- és a téeősségvekto között szögtől) dϕ M té dpólust kezdetben az egyensúly helyzethez (vagys a téeősségvektohoz) képest ϕ szöggel elfodítjuk, majd dϕ d e megnézzük, hogy egy tovább, gen kcs dϕ szögelfodulásnál mekkoa a helyzet enega megváltozása (ába) zután végghaladva az összes ϕ

17 TÓTH : lektosztatka/ (kbővített óavázlat) 7 lehetséges szögétéken, az elem helyzet enega-változásokat összegezzük (azét kell elem lépésekben haladn, met a különböző szögeknél más és más az eőté által kfejtett fogató nyomaték, és így a munka s) z eőté által végzett elem munka dwté = M tédϕ = M tédϕ = d e snϕdϕ (tt khasználtuk, hogy a szögelfodulás- és a fogatónyomaték vektoa páhuzamos, de ellentétes ányú, továbbá alkalmaztuk a fogatónyomatéka koábban kapott kfejezést) helyzet enega defnícójának megfelelően a dpólus helyzet enegájának elem megváltozása a ϕ szöggel jellemzett helyzetben d = dw d snϕdϕ h té = Tetszőleges ϕ helyzetg töténő teljes elfodulásnál a helyzet enega megváltozása ϕ h = d e snϕdϕ = d e ϕ e ϕ ϕ snϕdϕ (Itt khasználtuk, hogy az eőté homogén, tehát az összegzésből kemelhető) helyzet enega kszámításához meg kell adn a vonatkoztatás helyzetet, vagys a ϕ szöget Vonatkoztatás helyzetként a dpólusnak azt az állását szokás megadn, amko a dpólus meőleges a téeőssége, vagys ϕ = π / zzel a helyzet enega ϕ h = d e snϕdϕ = d e π / ϕ [ cosϕ] = d cosϕ Mvel a választott vonatkoztatás szög egyben a helyzet enega nullpontja s ( cos π / = ), az egyensúly állapotban a dpólus helyzet enegája negatív helyzet enega kfejezése tömöebb, vekto alakban s felíható, ha khasználjuk azt a tényt, hogy ϕ a dpólmomentum-vekto és a téeősségvekto által bezát szög, vagys a fent kfejezés a két vekto skalás szozatával egyenlő: = d e h π / e