A szimplex algoritmus

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A szimplex algoritmus"

Átírás

1 A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás A szimplex algoritmus, indítás megengedett bázismegoldásról, áttérés a nembázis változók terére, új változó felvétele a bázisba, változó kiléptetése a bázisból, végződtetés, optimalitás p. 1

2 Lineáris programok és extrém pontok Egy max{c T x : Ax b} lineáris program optimális megoldása előáll a megengedett tartomány valamely extrém pontján Ha a megengedett tartományt reprezentáló X poliéder korlátos, akkor X felírható x j extrém pontjainak konvex kombinációjaként X = {x : Ax b} = conv(x j : j {1,...,k}) Emlékeztető: konvex kombináció { conv(x j ) = x : x = k j=1 λ j x j, k j=1 λ j = 1,λ j 0 } p.

3 Lineáris programok és extrém pontok Ekvivalens lineáris program λ j változókban max { k j=1 (c T x j )λ j : k j=1 λ j = 1,λ j 0 j {1,...,k} A megoldás előáll a megengedett tartomány valamely extrém pontján x opt = argmax c T x j x j :j {1,...,k} z opt = max c T x j j {1,...,k} ahol z opt a célfüggvény optimumát fogja jelölni } p. 3

4 Extrém pont megoldások: példa Tekintsük az alábbi feltételrendszert x 1 + x x 1 + x 6 x 1, x 0 Extrém pontok: x 1 = x 3 = 0 0, x = 0, 6 x -x 1 + x 6 -x 1 + x 6 x 1 p.

5 Extrém pont megoldások: példa Tegyük fel, hogy a x 1 +x célfüggvényt szeretnénk maximalizálni 0 0 c T x 1 = 1 = 0, c 0 T x = 1 =, c T x 3 = 1 = A megoldás az extrém pontok közül az, amelyik maximalizálja a c T x j szorzatot x opt = argmax c T x j = x j :j {1,...,k} z opt = max c T x j = j {1,...,k} 0 p. 5

6 Extrém pont megoldások: példa Ha most ehelyett a x 1 +3x célfüggvényt szeretnénk maximalizálni, akkor nincs véges megoldás Ekkor ugyanis választható d irányvektor és x 0 megengedett megoldás, hogy x 0 -ból d irány mentén haladva tetszőlegesen nagy megengedett megoldást kapunk Vagyis az x 0 +µd minden µ 0 esetén megengedett, és növeli a célfüggvény értékét Például ha d = 1, x 0 =, akkor x = +µ 1 megoldás megengedett minden µ 0-ra és a célfüggvény értéke c T (x 0 +µd) = c T x 0 +µc T d Lemma: a nemkorlátossághoz elégséges d : c T d > 0 Itt teljesül, mert c T d = 1 3 T 1 = 1 > 0 p. 6

7 Bázismegoldások Az extrém pontok geometriai értelemben írják le egy lineáris program megoldásait A megoldáshoz viszont algebrai értelmezés kell: megengedett bázismegoldások Tekintsük a X = {x : Ax = b,x 0} poliéderrel adott feltételrendszert, ahol A egy m n mátrix, b egy oszlop m-vektor, x pedig oszlop n-vektor Tegyük fel, hogy rang(a) = rang(a, b) = m Ekkor A oszlopait átrendezve A = B N, ahol B egy m m méretű kvadratikus, nemszinguláris mátrix (a bázis) N pedig m (n m) méretű mátrix (a nembázis) p. 7

8 Bázismegoldások Megjegyzés: a sorok és oszlopok szabadon átrendezhetőek egy lineáris programban xb Rendezzük át x-et: x = x N B oszlopaihoz tartozó, és x N nembázisváltozók az N oszlopaihoz tartozó változók A feltételrendszert B bázisban felírva Ax = B N x B x N, ahol x B bázisváltozók a = Bx B +Nx N = b Mivel B bázis nemszinguláris, szorozhatunk balról az inverzével x B +B 1 Nx N = B 1 b p. 8

9 Bázismegoldások Megkaptuk a bázisváltozókat a nembázisváltozók függvényében x B = B 1 b B 1 Nx N x N -t nullára választva adódik a B bázishoz tartozó bázismegoldás B 1 b x B = B 1 b, x N = 0, x = xb x N = 0 Ha még ráadásul x B 0, akkor megengedett bázismegoldást kaptunk x B = B 1 b 0, x N = 0, x = xb x N = B 1 b 0 0 p. 9

10 Bázismegoldások Ha x B minden komponense pozitív (x B > 0), akkor x nemdegenerált bázismegoldás, ellenkező esetben pedig degenerált bázismegoldás A megengedett bázismegoldások jelentősége, hogy ezek megfelelnek a lineáris program megengedett tartománya extrém pontjainak Tétel: x akkor és csak akkor megengedett bázismegoldása egy max{c T x : Ax = b,x 0} lineáris programnak, ha x az X = {x : Ax = b,x 0} megengedett tartomány egy extrém pontja Ha ráadásulxmég nemdegenerált is, akkor egyedib bázis azonosítja A megengedett bázismegoldásokon iterálva előállítható a lineáris program optimális megoldása: szimplex algoritmus p. 10

11 Bázismegoldások: példa Tekintsük a megengedett tartományt x 1 + x 6 x 3 x 1, x 0 A fenti példa kanonikus alakban van, standard alakra kell hoznunk Addicionális (slack) változókat vezetünk be: x 3 és x x 1 + x + x 3 = 6 x + x = 3 x 1, x, x 3, x 0 p. 11

12 Bázismegoldások: példa A feltételrendszer mátrixa A = a 1,a,a 3,a = A teljes sorrangú, ezért bázisai méretűek Ezek közül azok eredményeznek megengedett bázismegoldást, melyekre B nemszinguláris és B 1 b T 0 0 T x x 1 + x T x T x 1 p. 1

13 Bázismegoldások: példa B = a 1 a = 0 1 x1 1 1 x B = = B x 1 b = 0 1 x3 0 x N = =, extrém pont: x B = a 1 a = 0 1 x1 1 0 x B = = B x 1 b = 0 1 x 0 x N = =, extrém pont: x 3 0 megengedett bázis 6 3 x x1 3 = 3 3 = 3 megengedett bázis 6 3 x x1 6 = 3 6 = 0 p. 13

14 Bázismegoldások: példa B = a a 3 = 1 0 x 0 1 x B = = B x 1 b = x1 0 x N = =, extrém pont: x B = a a = 1 1 x 1 0 x B = = B x 1 b = 1 1 x1 0 x N = = x 3 0 megengedett bázis 6 3 x x1 3 = 3 0 = 3 nem megengedett bázis 6 3 = p. 1

15 Bázismegoldások: példa B = a 3 a = 0 1 x3 1 0 x B = = B x 1 b = 0 1 x1 0 x N = =, extrém pont: x B = a 1 a 3 = 0 0 bázismegoldást megengedett bázismegoldás 6 3 x x1 6 = 3 0 = 0 szinguláris, nem generál p. 15

16 Degenerált bázismegoldások: példa Adjunk egy új, redundáns feltételt az előbbihez x 1 + x 6 x 3 x 1 + x 9 x 1, x T 0 0 T x x 1 + x T x 3 6 A slack változókkal standard alakra hozott rendszer x 1 + x + x 3 = 6 x + x = 3 x 1 + x + x 5 = 9 x 1, x, x 3, x x 5 0 x 1 + x T x 1 p. 16

17 Degenerált bázismegoldások: példa A = a 1,a,a 3,a,a 5 = A B = a 1,a,a 3 bázishoz tartozó megengedett bázismegoldás degenerált bázismegoldás x B = x1 x x x N = x x 5 = B 1 b = = = , extrém pont: x1 x = 3 3 = p. 17

18 Degenerált bázismegoldások: példa Hasonlóan a B = a 1,a,a is degenerált bázis 1 x x B = x = B 1 b = = x = x3 0 x1 3 x N = =, extrém pont: = x 5 0 x 3 A két degenerált bázismegoldáshoz ugyanaz az extrém pont tartozik Egy kétdimenziós térben egy extrém pontot két hipersík határoz meg Az x = 3 3 extrém pontban azonban 3 hipersík találkozik p. 18

19 A szimplex algoritmus Láttuk, hogy egy lineáris program megoldása, ha létezik, előáll a megengedett tartomány valamely extrém pontján Az extrém pontok pedig megfelelnek a megengedett bázismegoldásoknak Ezekből sajnos ( n m) számú lehet, ezeket lehetetlen egyenként előállítani már pár tucat változó esetén is A szimplex algoritmus egy módszer, amely egy megengedett bázismegoldásból kiindulva újabb és újabb, a célfüggvény értékét javító megengedett bázismegoldásokat állít elő A gyakorlatban a szimplex az extrém pontok csak egy kis hányadát járja be p. 19

20 A szimplex algoritmus Tekintsük az alábbi lineáris programot z = max c T x s.t. Ax = b x 0 ahol A egy m n mátrix, rang(a) = rang(a,b) = m, b egy oszlop m-vektor, x pedig oszlop n-vektor Legyen x = xb x N = B 1 b 0 egy kezdeti megengedett bázismegoldás, B a hozzá tartozó bázis, és A = B N Felírjuk a lineáris programot a nembázisváltozók terében Így megtudjuk, hogy az ezek megváltoztatása hogyan befolyásolná a célfüggvény és a bázisváltozók értékét p. 0

21 A szimplex algoritmus A feltételrendszert B bázisban felírva Ax = B N x B x N = b, vagyis Bx B +Nx N = b x B = B 1 b B 1 Nx N (*) Legyen N a nembázis változók halmaza, jelöljük a B 1 N mátrix oszlopait sorra y j -vel minden j N-re és legyen b = B 1 b Ekkor a feltételrendszer a nembázisváltozók szerint x B = b j N y j x j p. 1

22 A szimplex algoritmus Rendezzük át a célfüggvényt is a bázisváltozókhoz tartozó tagokat előrehozva: c T = c B T c N T Behelyettesítve a célfüggvénybe és felhasználva (*)-ot z = c T x = c B T c N T xb x N = c B T x B +c N T x N = c B T (B 1 b B 1 Nx N )+c N T x N = c B T B 1 b+(c N T c B T B 1 N)x N Legyen z 0 = c B T B 1 b és jelöljük c N T c B T B 1 N sorvektor elemeit z j -vel minden j N-re z = z 0 + j N z j x j p.

23 A szimplex algoritmus A lineáris program a nembázis változók terében max z 0 + j N z jx j s.t. x B = b j N y jx j x B,x N 0 ahol N a nembázis változók halmaza b = B 1 b y j a B 1 N mátrix j-edik nembázis-változóhoz tartozó oszlopa z 0 = c B T B 1 b = c B T b z j a c N T c B T B 1 N sorvektor j-edik nembázis-változóhoz tartozó eleme p. 3

24 A szimplex algoritmus: példa Tekintsük a lineáris programot Bevezetve a slack-változókat max x 1 + x s.t. x 1 + x x 1 x 1, x 0 max x x = 1 x 1,x,x 3,x 0 p.

25 A szimplex algoritmus: példa Legyen B = a,a 3, ekkor B = {,3}, N = {1,} B =, B =, N =, c T B = 1 0, c T N = b = B 1 b = = B 1 N = = z 0 = c B T b = = 1 c N T c B T B 1 N = = = p. 5

26 A szimplex algoritmus: példa A lineáris program a nembázis változók terében max 1+x 1 x x 1 0 s.t. = x x x 1,x,x 3,x 0 1 x x x 1 + x 0 1 T x 1 6 A B bázishoz tartozó megengedett bázismegoldás: x 1 x = x 1 x x 3 x = p. 6

27 A szimplex algoritmus: pivot A lineáris program a nembázis változók terében max z 0 + j N z jx j Mivel xb x N s.t. x B = b j N y jx j x B,x N 0 bázismegoldás, ezért x N = 0 A fenti alak jelentősége, hogy megmondja a célfüggvény és a bázisváltozók értékét az aktuális bázisban (a célfüggvény értéke z 0, és x B = b) továbbá, hogy hogyan változna az egyes bázisváltozók és a célfüggvény értéke, ha az egyik nembázis változót nulláról elkezdenénk növelni p. 7

28 Pivot: példa x max 1+x 1 x x 1 0 s.t. = x x x 1,x,x 3,x 0 1 x x 1 + x 0 1 T Például ha x -et nulláról 1-re növeljük míg x 1 marad 0 a célfüggvény értéke 1-ről nullára csökken, mert z = 1 x értéke 1-ről nullára csökken, mert y = 1 x 3 értéke -ről -re nő, mert y 3 = x -et nem érdemes növelni, mert akkor a célfüggvény értéke csökken x 1 6 x 1 p. 8

29 Pivot: példa x max 1+x 1 x x 1 0 s.t. = x x x 1,x,x 3,x 0 1 x x 1 + x 0 1 T x 1 6 Ha a másik nembázis változót, x 1 -et nulláról 1-re növeljük a célfüggvény értéke 1-ről -re nő, mert z 1 = 1 x értéke nem változik, mert y 1 = 0 x 3 értéke -ről 1-re csökken, mert y 31 = 1 Érdemes x 1 -et növelni, mert a célfüggvény értéke nő Addig növelhetjük, amíg valamelyik változó negatívvá válik Esetünkben x 1 = esetén x 3 értéke 0, x 1 > -re negatív x 1 p. 9

30 A szimplex algoritmus: pivot Tekintsük a nembázisváltozót, amelynek a növelésével a célfüggvény értéke a legjobban nő k = argmax j N z j Rögzítsünk minden más nembázisváltozót nullában és növeljük x k -t z x B1 x B. x Bm = = z 0 +z k x k b1 b. bm y 1k y k. y mk x k p. 30

31 A szimplex algoritmus: pivot Az x k nembázis változót addig növelhetjük, amíg valamelyik bázisváltozó nullává nem válik Legyen x i : i B egy bázisváltozó, amelyre y ik > 0 Ekkor x k nembázis változó növelésével x i nemnegatív ha 0 x i = b i y ik x k x k b i y ik Az első bázisváltozó, amely kinullázódik r = argmin i {1,...,m} { bi y ik : y ik > 0 } p. 31

32 A szimplex algoritmus: pivot Legyen az aktuális bázis nemdegenerált ( b > 0) és tegyük fel, hogy k N : z k > 0 és i B : y ik > 0 { } bi Legyen k = argmaxz j, r = argmin : y ik > 0 j N i B y ik x k -t nulláról br y rk -ra növelve: z = z 0 +z k br y rk x k = b r y rk > 0,x r = 0 x Bi = b i y ik y rk br x j = 0 i B \{r} j N \{k} A célfüggvény értéke nő: z > z 0 mert z k br y rk > 0 p. 3

33 A szimplex algoritmus: pivot Tétel: a fenti feltételekkel kapott pont megengedett bázismegoldás Biz.: a változók értéke a feltételek miatt nemnegatív, ezért elég belátnunk, hogy az új bázis, vagyis az A mátrix a B1,a B,...,a Br 1,a k,a Br+1,...,a Bm oszlopai is lineárisan függetlenek Ha a k -t felírjuk B = a B1,...,a Bm oszlopainak lineáris kombinációjaként, akkor a r együtthatójának pontosan y rk adódik a k = N k = B(B 1 N) k = By k = i B a i y ik mert y k éppen B 1 N mátrix k-hoz tartozó oszlopa Az új bázis lineáris függetlensége következik y rk 0-ból az alábbi lemma felhasználásával p. 33

34 Egy lemma Lemma: legyen a 1,...,a n lineárisan független és cseréljük le az egyik a j vektort egy a vektorra, mely a 1,...,a n vektorokkal lineárisan összefüggő: a = n λ i=1 ia i. Ekkor a 1,...,a j 1,a,a j+1,...,a n akkor és csak akkor lineárisan független, ha λ j 0 A bizonyítástól most eltekintünk A pivot után kapott x tehát megengedett bázismegoldás Bázis, mert a kilépő változó tesztjében y rk 0 biztosítva van { } bi r = argmin : y ik > 0 i {1,...,m} y ik A k nembázisváltozó belép a bázisba, míg az r bázisváltozó kinullázódik és kilép a bázisból p. 3

35 Pivot: példa x max 1+x 1 x x 1 0 s.t. = x x x x 1 + x 0 1 T x 1 x 1,x,x 3,x 0 Belép a bázisba x 1, mert 6 x 1 z 1 = max j N z j = max{1, 1} = 1 Kilép a bázisból x 3, mert b3 = min y 31 i B { bi y ik : y ik > 0 } = min{} = p. 35

36 Pivot: példa A pivot után kapott új pont k = 1, r = 3 B = {1,}, N = {3,} br z = z 0 +z k = 1+ = 3 y rk x 1 = b r = y rk x = b y k = 1 0 = 1 y 3k b3 x 3 = b 3 y 3k = = 0 y 3k b3 x = 0 x = T x 0 1 T 1 T 6 x 1 p. 36

37 Pivot: példa B = {1,},N = {3,}, B =, N = B 1 = 0 1 c B T = 1 1,c N T = 0 0 Az új bázisban felírva a lineáris programot, x 1 T 6 x 1 max 3 x 3 +x x1 1 s.t. = x x x 1,x,x 3,x 0 x 1 p. 37

38 Szimplex: optimális megoldás Emlékeztetőül a pivotszabályok x k beléphet a bázisba, ha z k > 0 x r kilép a bázisból: r = argmin i {1,...,m} { bi y ik : y ik > 0 Ha minden j N : z j 0, akkor egyik nembázis változót sem érdemes növelni, mert ekkor nem növelnénk a célfüggvény értékét Tétel: a (primál) szimplex algoritmus optimalitási feltétele j N : z j 0 Biz.: ha valamely x megengedett bázismegoldásra j N : z j 0, akkor x lokális optimum Mivel a megengedett tartomány konvex és a célfüggvény konkáv, ezért x globális optimum is p. 38 }

39 Optimális megoldás: példa A korábbi példánknál maradva max 3 x 3 +x x1 1 s.t. = x x x 1,x,x 3,x 0 x 1 Ez a bázismegoldás nem optimális, mert z > 0 tehát x belép a bázisba és x kilép a bázisból, mert b = min y i B { bi y i : y i > 0 } = min{1} = 1 p. 39

40 Optimális megoldás: példa Az új bázisban B = {1,},N = {,3},c T B = 1 0,c T N = B =,N =,B = 0 1 Az x = T megengedett bázismegoldás optimális x max x x 3 x1 s.t. = x x 1 1 x 1,x,x 3,x 0 1 x T 0 T 6 x 1 p. 0

41 Szimplex példa: összefoglalás p. 1

42 Egyedi optimális megoldás Def.: max{c T x : Ax = b,x 0} lineáris programnak x megengedett megoldás egyedi optimális megoldása, ha minden x x megengedett megoldásra c T x < c T x Tétel: az x megengedett bázismegoldás egyedi optimális megoldás, ha j N : z j < 0 Biz. legyen x bármely x-től különböző megengedett megoldás, és legyen a hozzá tartozó célfüggvényérték z Legyen N az x megengedett bázismegoldáshoz tartozó nembázis változók halmaza, ekkor z = z 0 + j N z j x j j N : x j > 0 (különben x = x) és z j < 0 z < z 0 p.

43 Egyedi optimális megoldás: példa Tekintsük az iménti lineáris program x = T megengedett bázismegoldását B = {1,},N = {,3} B =,N = c B T = 1 0,c N T = 1 0,B 1 = max x x 3 x1 s.t. = x x x 0 3 x x 1,x,x 3,x 0 0 T Tehát x egyedi, optimális megoldás 6 p. 3 x 1

44 Alternatív optimális megoldások Tegyük fel, hogy x optimális megengedett bázismegoldás (tehát j N : z j 0), de létezik olyan nembázisváltozó, mondjuk k, melyre az optimalitási feltétel egyenlőséggel teljesül: z k = 0 Ha x nemdegenerált, akkor x k nulláról megnövelhető valamely ǫ > 0-val anélkül, hogy kinullázódna valamelyik bázisváltozó z = z 0 +z k x k = z 0 +0x k x B1. x Bm = b1. bm y 1k. y mk xk Minden 0 < x k ǫ választás optimális megengedett megoldást eredményez, hiszen z k = 0 miatt a célfüggvény értéke nem változik p.

45 Alternatív optimális megoldások A lineáris program az x k nembázisváltozó függvényében, z k = 0 és minden más z j 0 max s.t. x = xb x N z 0 +0x k b = 0 x 0 + yk e k x k ahol szokás szerint y k a B 1 N mátrix k-hoz tartozó oszlopa, e k pedig a k-adik kanonikus egységvektor Alternatív optimális megoldásokat kapunk amíg x B 0 { b yk bi x = +λ 0 λ min : y 0 e ik > 0 k i B y ik } p. 5

46 Alternatív optimális megoldások: példa Tekintsük a lineáris programot max x 1 + x s.t. x 1 + x x 1 + x 1 x 1, x, 0 Slack-változókkal standard alakra hozva max x 1 + x s.t. x 1 + x + x 3 = x 1 + x + x = 1 x 1, x, x 3, x 0 p. 6

47 Alternatív optimális megoldások: példa Legyen a bázis B = a 1 a = 1 0, B = A bázishoz tartozó megengedett bázismegoldás x B = b = x N = x x 3 x1 x = 0 0 = B 1 b = = 5 p. 7

48 Alternatív optimális megoldások: példa A bázismegoldáshoz tartozó paraméterek c T B = 0,c T N = B 1 N = = z 0 = c B T b = 0 5 c N T c B T B 1 N = 0 0 = = 0 = 0 p. 8

49 Alternatív optimális megoldások: példa A lineáris program a nembázisváltozók terében max 8+0x x 3 x1 s.t. = x x 5 3 x 1,x,x 3,x 0 1 x 1 3 Alternatív optimális megoldások x = 0 0 +λ 5 A 0 T és a : 0 < λ T pontok összes konvex kombinációja 0 1 T 0 0 T x /3 5/3 T -x 1 +x 1 x 1 + x 6 0 T p. 9 x 1

A szimplex tábla. p. 1

A szimplex tábla. p. 1 A szimplex tábla Végződtetés: optimalitás és nem korlátos megoldások A szimplex algoritmus lépései A degeneráció fogalma Komplexitás (elméleti és gyakorlati) A szimplex tábla Példák megoldása a szimplex

Részletesebben

Opkut deníciók és tételek

Opkut deníciók és tételek Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét

Részletesebben

Alkalmazott optimalizálás és játékelmélet Lineáris programozás Gyakorlófeladatok. Rétvári Gábor

Alkalmazott optimalizálás és játékelmélet Lineáris programozás Gyakorlófeladatok. Rétvári Gábor Alkalmazott optimalizálás és játékelmélet Lineáris programozás Gyakorlófeladatok Rétvári Gábor retvari@tmit.bme.hu Feladatok Szöveges feladatok. Egy acélgyárban négyfajta zártszelvényt gyártanak: kis,

Részletesebben

1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI /. Legyen adott az alábbi LP-feladat: x + 4x + x 9 x + x x + x + x 6 x, x, x x + x +

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

Érzékenységvizsgálat

Érzékenységvizsgálat Érzékenységvizsgálat Alkalmazott operációkutatás 5. elıadás 008/009. tanév 008. október 0. Érzékenységvizsgálat x 0 A x b z= c T x max Kapacitások, együtthatók, célfüggvény együtthatók változnak => optimális

Részletesebben

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2

Részletesebben

HORNUNG TAMÁS * Diszkrét egyenletes közelítés: a lineáris programozás egy alkalmazása

HORNUNG TAMÁS * Diszkrét egyenletes közelítés: a lineáris programozás egy alkalmazása Bevezetés HORNUNG TAMÁS * Diszkrét egyenletes közelítés: a lineáris programozás egy alkalmazása Discrete smooth approximation: an application of linear programming The best discrete approximation can be

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek

Részletesebben

KONVEX HALMAZ, FARKAS TÉTEL, GORDAN TÉTEL, EXTREMÁLIS PONT, EXTREMÁLIS IRÁNY, LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ELMÉLETE

KONVEX HALMAZ, FARKAS TÉTEL, GORDAN TÉTEL, EXTREMÁLIS PONT, EXTREMÁLIS IRÁNY, LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ELMÉLETE KONVEX HALMAZ, FARKAS TÉTEL, GORDAN TÉTEL, EXTREMÁLIS PONT, EXTREMÁLIS IRÁNY, LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ELMÉLETE DR. NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott

Részletesebben

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással pontos dualitással Imre McMaster University Advanced Optimization Lab ELTE TTK Operációkutatási Tanszék Folytonos optimalizálás szeminárium 2004. július 6. 1 2 3 Kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek Primál

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

szantai Az operációkutatás matematikai módszerei

szantai Az operációkutatás matematikai módszerei http://wwwmathbmehu/ szantai Az operációkutatás matematikai módszerei Bővített óravázlat Összeállította: Szántai Tamás Budapest 1999 A bővített óravázlatot Prékopa Andrásnak a Bolyai János Matematikai

Részletesebben

4. Előadás. A legkisebb négyzetek problémája a következő optimalizálási alapfeladat: Minimalizáljuk

4. Előadás. A legkisebb négyzetek problémája a következő optimalizálási alapfeladat: Minimalizáljuk OPTIMALIZÁLÁSI ELJÁRÁSOK 4. Előadás Matematika MSc hallgatók számára Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Magyari Nikolett 2011. március 2. 1. A legkisebb négyzetek probléma A legkisebb négyzetek problémája

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió 6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2.

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 9. előadás: Paraméteres iterációk, relaxációs módszerek Lócsi Levente ELTE IK Tartalomjegyzék 1 A Richardson-iteráció 2 Relaxált Jacobi-iteráció 3 Relaxált Gauss Seidel-iteráció

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál

Részletesebben

Jegyzet. Operációkutatás I cím tantárgyhoz január 26. Fábián Csaba el adásai alapján készítette Papp Olga

Jegyzet. Operációkutatás I cím tantárgyhoz január 26. Fábián Csaba el adásai alapján készítette Papp Olga Jegyzet Operációkutatás I cím tantárgyhoz Fábián Csaba el adásai alapján készítette Papp Olga 29 január 26 Tartalomjegyzék. Bevezetés 3 2. A szimplex módszer 5 2.. A szimplex módszer elméleti vs. gyakorlati

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

Operációkutatás I. Bajalinov, Erik, Nyíregyházi Főiskola, Matematika és Informatika Intézete Bekéné Rácz, Anett, Debreceni Egyetem, Informatikai Kar

Operációkutatás I. Bajalinov, Erik, Nyíregyházi Főiskola, Matematika és Informatika Intézete Bekéné Rácz, Anett, Debreceni Egyetem, Informatikai Kar Operációkutatás I. Bajalinov, Erik, Nyíregyházi Főiskola, Matematika és Informatika Intézete Bekéné Rácz, Anett, Debreceni Egyetem, Informatikai Kar Operációkutatás I. írta Bajalinov, Erik és Bekéné Rácz,

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Lineáris algebrai alapok

Lineáris algebrai alapok Lineáris algebrai alapok Will 2010 június 16 Vektorterek, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek A lineáris programozási feladat, szimplex algoritmus Vektorterek Jellemzés: Vektorok tulajdonságai Két vektor

Részletesebben

1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.

1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis. 1 Diagonalizálás Diagonalizálható mátrixok Ismétlés Legyen M,N T n n Az M és N hasonló, ha van olyan A lineáris transzformáció, hogy M is és N is az A mátrixa egy-egy alkalmas bázisban Az M és N pontosan

Részletesebben

Klasszikus alkalmazások

Klasszikus alkalmazások Klasszikus alkalmazások Termelésoptimalizálás Hozzárendelési probléma: folytonos eset Arbitrázsárazás p. Termelésoptimalizálás A gazdasági élet és a logisztika területén gyakran találkozunk lineáris optimalizálási

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

LINEÁRIS VEKTORTÉR. Kiegészítő anyag. (Bércesné Novák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége

LINEÁRIS VEKTORTÉR. Kiegészítő anyag. (Bércesné Novák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége LINEÁRIS VEKTORTÉR Kiegészítő anyag (Bércesné Noák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége Vektortér V 0 Halmaz T test : + ; + ; Abel csoport V elemeit ektoroknak neezzük. Abel - csoport Abel

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

1/ gyakorlat. Hiperbolikus programozási feladat megoldása. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/ gyakorlat. Hiperbolikus programozási feladat megoldása. Pécsi Tudományegyetem PTI 1/12 Operációkutatás 5. gyakorlat Hiperbolikus programozási feladat megoldása Pécsi Tudományegyetem PTI 2/12 Ha az Hiperbolikus programozási feladat feltételek teljesülése mellett a A x b x 0 z(x) = c

Részletesebben

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás 1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 9 IX MÁTRIxOk 1 MÁTRIx FOGALmA, TULAJDONSÁGAI A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve Az (1) mátrixnak

Részletesebben

Hiperbolikus programozás Elmélet, módszerek, alkalmazások, szoftver

Hiperbolikus programozás Elmélet, módszerek, alkalmazások, szoftver Dr.Bajalinov Erik Debreceni Egyetem Informatikai Kara Bajalinov@Inf.UniDeb.Hu Hiperbolikus programozás Elmélet, módszerek, alkalmazások, szoftver mobidiák könyvtár Tartalomjegyzék I. Bevezetés a hiperbolikus

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

DR. NAGY TAMÁS. egyetemi docens. Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék

DR. NAGY TAMÁS. egyetemi docens. Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék FELTÉTELES OPTIMALIZÁLÁS DR. NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott kutató munka a TÁMOP-4...B-0//KONV-00-000 jel½u projekt részeként az Európai Unió támogatásával,

Részletesebben

1. Lineáris transzformáció

1. Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció mátrixának felírása eg adott bázisban: Emlékeztető: Legen B = {u,, u n } eg tetszőleges bázisa az R n -nek, Eg tetszőleges v R n vektor egértelműen felírható

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

A lineáris optimalizálás rugalmas indexválasztási szabályainak elméletéről és gyarkorlatáról

A lineáris optimalizálás rugalmas indexválasztási szabályainak elméletéről és gyarkorlatáról A lineáris optimalizálás rugalmas indexválasztási szabályainak elméletéről és gyarkorlatáról Nagy Adrienn A doktori disszertáció tézisei Témavezető: Illés Tibor Egyetemi Docens, PhD Témavezető: Kovács

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

Lineáris algebra Gyakorló feladatok

Lineáris algebra Gyakorló feladatok Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések

Részletesebben

Gauss elimináció, LU felbontás

Gauss elimináció, LU felbontás Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

1. Transzformációk mátrixa

1. Transzformációk mátrixa 1 Transzformáiók mátrixa Lineáris transzformáiók Definíió T test Az A : T n T n függvény lineáris transzformáió, ha tetszőleges v,w T n vektorra és λ skalárra teljesül, hogy A(v + w) A(v) + A(w) és A(λv)

Részletesebben

Lineáris algebra gyakorlat

Lineáris algebra gyakorlat Lineáris algebra gyakorlat 0. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 23. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok)

Részletesebben

lineáris programozás esetében. Ennek ez idő szerint legkorábbi formalizálását

lineáris programozás esetében. Ennek ez idő szerint legkorábbi formalizálását 1. előadás Bevezetés Lehetetlen egészen pontosan megállapítani, mi tekinthető az operációkutatás első eredményeinek, hisz az optimalizálás mégcsak nem is az emberi faj kiváltsága. Kétségtelen viszont,

Részletesebben

Jegyzet. az Operációkutatás (elemz, programozó matematikus) tárgyhoz április. Fábián Csaba, Király Tamás, Papp Olga

Jegyzet. az Operációkutatás (elemz, programozó matematikus) tárgyhoz április. Fábián Csaba, Király Tamás, Papp Olga Jegyzet az Operációkutatás (elemz, programozó matematikus) tárgyhoz Fábián Csaba, Király Tamás, Papp Olga 2015. április 1 Tartalomjegyzék 1. A lineáris programozási feladat 3 1.1. Bevezetés.......................................

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

1. Az euklideszi terek geometriája

1. Az euklideszi terek geometriája 1. Az euklideszi terek geometriája Bázishoz tartozó skaláris szorzat Emékeztető Az R n vektortérbeli v = λ 2... és w = λ 1 λ n µ 1 µ 2... µ n λ 1 µ 1 +λ 2 µ 2 +...+λ n µ n. Jele v,w. v,w = v T u, azaz

Részletesebben

Szimplex módszer, szimplex tábla Példaként tekintsük a következ LP feladatot:

Szimplex módszer, szimplex tábla Példaként tekintsük a következ LP feladatot: Szimplex módszer, szimplex tábla Példaként tekintsük a következ LP feladatot: z = 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 2x 1 + 3x 2 + x 3 5 4x 1 + x 2 + 2x 3 11 3x 1 + 4x 2 + 2x 3 8 x 1, x 2, x 3 0 = maximum, feltéve, hogy

Részletesebben

OPERÁCIÓKUTATÁS. No. 2. Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZAS

OPERÁCIÓKUTATÁS. No. 2. Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZAS OPERÁCIÓKUTATÁS No. 2. Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZAS Budapest 2002 Komáromi Éva: LINEÁRIS PROGRAMOZÁS OPERÁCIÓKUTATÁS No.2 Megjelenik az FKFP 0231 Program támogatásával a Budapesti Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai 1.a. A B B A 2.a. (A B) C A (B C) 3.a. A (A B) A 4.a. I A I 5.a. A (B C) (A B) (A C) 6.a. A A I 1.b. A B B A 2.b. (A B) C A (B C) 3.b. A

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. Párosítások

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. Párosítások Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára Párosítások 2012. november 19. Előadó: Hajnal Péter 1. Alapfogalmak Emlékeztető. Legyen G egy gráf, E(G) a G élhalmaza, V (G) gráfunk csúcshalmaza.

Részletesebben

Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban

Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban avagy mit kell(ene) tudnia egy 8.-osnak a matematika versenyeken Kunos Ádám Középiskolás pályázat díjkiosztó SZTE Bolyai Intézet 2011. november 12.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Bevezetés az operációkutatásba A lineáris programozás alapjai

Bevezetés az operációkutatásba A lineáris programozás alapjai Bevezetés az operációkutatásba A lineáris programozás alapjai Alkalmazott operációkutatás 1. elıadás 2008/2009. tanév 2008. szeptember 12. Mi az operációkutatás (operations research)? Kialakulása: II.

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

6. előadás. Vektoriális szorzás Vegyesszorzat

6. előadás. Vektoriális szorzás Vegyesszorzat 6. előadás Vektoriális szorzás Vegyesszorzat Bevezetés Definíció: Az a és b vektorok vektoriális szorzata egy olyan axb vektor, melynek hossza a vektorok abszolút értékének és hajlásszögük szinuszának

Részletesebben

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 ) Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

A DÖNTÉSELMÉLET ELEMEI

A DÖNTÉSELMÉLET ELEMEI A DÖNTÉSELMÉLET ELEMEI Irodalom: Temesi J., A döntéselmélet alapjai, Aula, 2002, Budapest Lawrence, J.A., Pasternack, B.A., Applied management science, John Wiley & Sons Inc. 2002 Stevenson, W. J., Operation

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Ütemezési problémák. Kis Tamás 1. ELTE Problémamegoldó Szeminárium, ősz 1 MTA SZTAKI. valamint ELTE, Operációkutatási Tanszék

Ütemezési problémák. Kis Tamás 1. ELTE Problémamegoldó Szeminárium, ősz 1 MTA SZTAKI. valamint ELTE, Operációkutatási Tanszék Ütemezési problémák Kis Tamás 1 1 MTA SZTAKI valamint ELTE, Operációkutatási Tanszék ELTE Problémamegoldó Szeminárium, 2012. ősz Kivonat Alapfogalmak Mit is értünk ütemezésen? Gépütemezés 1 L max 1 rm

Részletesebben

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő

Részletesebben

Jelen jegyzet a József Attila Tudományegyetem programozó matematikus és. A feldolgozott anyag bevezető jellegű. Néhány karakterisztikus, ma már

Jelen jegyzet a József Attila Tudományegyetem programozó matematikus és. A feldolgozott anyag bevezető jellegű. Néhány karakterisztikus, ma már Előszó Jelen jegyzet a József Attila Tudományegyetem programozó matematikus és közgazdasági programozó hallgatói számára készült, akik második félévtől hallgatnak operációkutatást. A feldolgozott anyag

Részletesebben

Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék. mgyongyi@ms.sapientia.ro

Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék. mgyongyi@ms.sapientia.ro Kriptográfia és Információbiztonság 4. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2015 Miről volt szó az elmúlt előadáson? blokk-titkosító

Részletesebben

Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZÁS

Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZÁS OPERÁCIÓKUTATÁS No.2. Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Budapest 2005 Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Javított kiadás OPERÁCIÓKUTATÁS No.2 Megjelenik az FKFP 0231 Program támogatásával a Budapesti Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport

Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport Operációkutatás I. 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport Számítógépes Optimalizálás Tanszék 6. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer . gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben