A szimplex algoritmus
|
|
- Oszkár Zsombor Fekete
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás A szimplex algoritmus, indítás megengedett bázismegoldásról, áttérés a nembázis változók terére, új változó felvétele a bázisba, változó kiléptetése a bázisból, végződtetés, optimalitás p. 1
2 Lineáris programok és extrém pontok Egy max{c T x : Ax b} lineáris program optimális megoldása előáll a megengedett tartomány valamely extrém pontján Ha a megengedett tartományt reprezentáló X poliéder korlátos, akkor X felírható x j extrém pontjainak konvex kombinációjaként X = {x : Ax b} = conv(x j : j {1,...,k}) Emlékeztető: konvex kombináció { conv(x j ) = x : x = k j=1 λ j x j, k j=1 λ j = 1,λ j 0 } p.
3 Lineáris programok és extrém pontok Ekvivalens lineáris program λ j változókban max { k j=1 (c T x j )λ j : k j=1 λ j = 1,λ j 0 j {1,...,k} A megoldás előáll a megengedett tartomány valamely extrém pontján x opt = argmax c T x j x j :j {1,...,k} z opt = max c T x j j {1,...,k} ahol z opt a célfüggvény optimumát fogja jelölni } p. 3
4 Extrém pont megoldások: példa Tekintsük az alábbi feltételrendszert x 1 + x x 1 + x 6 x 1, x 0 Extrém pontok: x 1 = x 3 = 0 0, x = 0, 6 x -x 1 + x 6 -x 1 + x 6 x 1 p.
5 Extrém pont megoldások: példa Tegyük fel, hogy a x 1 +x célfüggvényt szeretnénk maximalizálni 0 0 c T x 1 = 1 = 0, c 0 T x = 1 =, c T x 3 = 1 = A megoldás az extrém pontok közül az, amelyik maximalizálja a c T x j szorzatot x opt = argmax c T x j = x j :j {1,...,k} z opt = max c T x j = j {1,...,k} 0 p. 5
6 Extrém pont megoldások: példa Ha most ehelyett a x 1 +3x célfüggvényt szeretnénk maximalizálni, akkor nincs véges megoldás Ekkor ugyanis választható d irányvektor és x 0 megengedett megoldás, hogy x 0 -ból d irány mentén haladva tetszőlegesen nagy megengedett megoldást kapunk Vagyis az x 0 +µd minden µ 0 esetén megengedett, és növeli a célfüggvény értékét Például ha d = 1, x 0 =, akkor x = +µ 1 megoldás megengedett minden µ 0-ra és a célfüggvény értéke c T (x 0 +µd) = c T x 0 +µc T d Lemma: a nemkorlátossághoz elégséges d : c T d > 0 Itt teljesül, mert c T d = 1 3 T 1 = 1 > 0 p. 6
7 Bázismegoldások Az extrém pontok geometriai értelemben írják le egy lineáris program megoldásait A megoldáshoz viszont algebrai értelmezés kell: megengedett bázismegoldások Tekintsük a X = {x : Ax = b,x 0} poliéderrel adott feltételrendszert, ahol A egy m n mátrix, b egy oszlop m-vektor, x pedig oszlop n-vektor Tegyük fel, hogy rang(a) = rang(a, b) = m Ekkor A oszlopait átrendezve A = B N, ahol B egy m m méretű kvadratikus, nemszinguláris mátrix (a bázis) N pedig m (n m) méretű mátrix (a nembázis) p. 7
8 Bázismegoldások Megjegyzés: a sorok és oszlopok szabadon átrendezhetőek egy lineáris programban xb Rendezzük át x-et: x = x N B oszlopaihoz tartozó, és x N nembázisváltozók az N oszlopaihoz tartozó változók A feltételrendszert B bázisban felírva Ax = B N x B x N, ahol x B bázisváltozók a = Bx B +Nx N = b Mivel B bázis nemszinguláris, szorozhatunk balról az inverzével x B +B 1 Nx N = B 1 b p. 8
9 Bázismegoldások Megkaptuk a bázisváltozókat a nembázisváltozók függvényében x B = B 1 b B 1 Nx N x N -t nullára választva adódik a B bázishoz tartozó bázismegoldás B 1 b x B = B 1 b, x N = 0, x = xb x N = 0 Ha még ráadásul x B 0, akkor megengedett bázismegoldást kaptunk x B = B 1 b 0, x N = 0, x = xb x N = B 1 b 0 0 p. 9
10 Bázismegoldások Ha x B minden komponense pozitív (x B > 0), akkor x nemdegenerált bázismegoldás, ellenkező esetben pedig degenerált bázismegoldás A megengedett bázismegoldások jelentősége, hogy ezek megfelelnek a lineáris program megengedett tartománya extrém pontjainak Tétel: x akkor és csak akkor megengedett bázismegoldása egy max{c T x : Ax = b,x 0} lineáris programnak, ha x az X = {x : Ax = b,x 0} megengedett tartomány egy extrém pontja Ha ráadásulxmég nemdegenerált is, akkor egyedib bázis azonosítja A megengedett bázismegoldásokon iterálva előállítható a lineáris program optimális megoldása: szimplex algoritmus p. 10
11 Bázismegoldások: példa Tekintsük a megengedett tartományt x 1 + x 6 x 3 x 1, x 0 A fenti példa kanonikus alakban van, standard alakra kell hoznunk Addicionális (slack) változókat vezetünk be: x 3 és x x 1 + x + x 3 = 6 x + x = 3 x 1, x, x 3, x 0 p. 11
12 Bázismegoldások: példa A feltételrendszer mátrixa A = a 1,a,a 3,a = A teljes sorrangú, ezért bázisai méretűek Ezek közül azok eredményeznek megengedett bázismegoldást, melyekre B nemszinguláris és B 1 b T 0 0 T x x 1 + x T x T x 1 p. 1
13 Bázismegoldások: példa B = a 1 a = 0 1 x1 1 1 x B = = B x 1 b = 0 1 x3 0 x N = =, extrém pont: x B = a 1 a = 0 1 x1 1 0 x B = = B x 1 b = 0 1 x 0 x N = =, extrém pont: x 3 0 megengedett bázis 6 3 x x1 3 = 3 3 = 3 megengedett bázis 6 3 x x1 6 = 3 6 = 0 p. 13
14 Bázismegoldások: példa B = a a 3 = 1 0 x 0 1 x B = = B x 1 b = x1 0 x N = =, extrém pont: x B = a a = 1 1 x 1 0 x B = = B x 1 b = 1 1 x1 0 x N = = x 3 0 megengedett bázis 6 3 x x1 3 = 3 0 = 3 nem megengedett bázis 6 3 = p. 1
15 Bázismegoldások: példa B = a 3 a = 0 1 x3 1 0 x B = = B x 1 b = 0 1 x1 0 x N = =, extrém pont: x B = a 1 a 3 = 0 0 bázismegoldást megengedett bázismegoldás 6 3 x x1 6 = 3 0 = 0 szinguláris, nem generál p. 15
16 Degenerált bázismegoldások: példa Adjunk egy új, redundáns feltételt az előbbihez x 1 + x 6 x 3 x 1 + x 9 x 1, x T 0 0 T x x 1 + x T x 3 6 A slack változókkal standard alakra hozott rendszer x 1 + x + x 3 = 6 x + x = 3 x 1 + x + x 5 = 9 x 1, x, x 3, x x 5 0 x 1 + x T x 1 p. 16
17 Degenerált bázismegoldások: példa A = a 1,a,a 3,a,a 5 = A B = a 1,a,a 3 bázishoz tartozó megengedett bázismegoldás degenerált bázismegoldás x B = x1 x x x N = x x 5 = B 1 b = = = , extrém pont: x1 x = 3 3 = p. 17
18 Degenerált bázismegoldások: példa Hasonlóan a B = a 1,a,a is degenerált bázis 1 x x B = x = B 1 b = = x = x3 0 x1 3 x N = =, extrém pont: = x 5 0 x 3 A két degenerált bázismegoldáshoz ugyanaz az extrém pont tartozik Egy kétdimenziós térben egy extrém pontot két hipersík határoz meg Az x = 3 3 extrém pontban azonban 3 hipersík találkozik p. 18
19 A szimplex algoritmus Láttuk, hogy egy lineáris program megoldása, ha létezik, előáll a megengedett tartomány valamely extrém pontján Az extrém pontok pedig megfelelnek a megengedett bázismegoldásoknak Ezekből sajnos ( n m) számú lehet, ezeket lehetetlen egyenként előállítani már pár tucat változó esetén is A szimplex algoritmus egy módszer, amely egy megengedett bázismegoldásból kiindulva újabb és újabb, a célfüggvény értékét javító megengedett bázismegoldásokat állít elő A gyakorlatban a szimplex az extrém pontok csak egy kis hányadát járja be p. 19
20 A szimplex algoritmus Tekintsük az alábbi lineáris programot z = max c T x s.t. Ax = b x 0 ahol A egy m n mátrix, rang(a) = rang(a,b) = m, b egy oszlop m-vektor, x pedig oszlop n-vektor Legyen x = xb x N = B 1 b 0 egy kezdeti megengedett bázismegoldás, B a hozzá tartozó bázis, és A = B N Felírjuk a lineáris programot a nembázisváltozók terében Így megtudjuk, hogy az ezek megváltoztatása hogyan befolyásolná a célfüggvény és a bázisváltozók értékét p. 0
21 A szimplex algoritmus A feltételrendszert B bázisban felírva Ax = B N x B x N = b, vagyis Bx B +Nx N = b x B = B 1 b B 1 Nx N (*) Legyen N a nembázis változók halmaza, jelöljük a B 1 N mátrix oszlopait sorra y j -vel minden j N-re és legyen b = B 1 b Ekkor a feltételrendszer a nembázisváltozók szerint x B = b j N y j x j p. 1
22 A szimplex algoritmus Rendezzük át a célfüggvényt is a bázisváltozókhoz tartozó tagokat előrehozva: c T = c B T c N T Behelyettesítve a célfüggvénybe és felhasználva (*)-ot z = c T x = c B T c N T xb x N = c B T x B +c N T x N = c B T (B 1 b B 1 Nx N )+c N T x N = c B T B 1 b+(c N T c B T B 1 N)x N Legyen z 0 = c B T B 1 b és jelöljük c N T c B T B 1 N sorvektor elemeit z j -vel minden j N-re z = z 0 + j N z j x j p.
23 A szimplex algoritmus A lineáris program a nembázis változók terében max z 0 + j N z jx j s.t. x B = b j N y jx j x B,x N 0 ahol N a nembázis változók halmaza b = B 1 b y j a B 1 N mátrix j-edik nembázis-változóhoz tartozó oszlopa z 0 = c B T B 1 b = c B T b z j a c N T c B T B 1 N sorvektor j-edik nembázis-változóhoz tartozó eleme p. 3
24 A szimplex algoritmus: példa Tekintsük a lineáris programot Bevezetve a slack-változókat max x 1 + x s.t. x 1 + x x 1 x 1, x 0 max x x = 1 x 1,x,x 3,x 0 p.
25 A szimplex algoritmus: példa Legyen B = a,a 3, ekkor B = {,3}, N = {1,} B =, B =, N =, c T B = 1 0, c T N = b = B 1 b = = B 1 N = = z 0 = c B T b = = 1 c N T c B T B 1 N = = = p. 5
26 A szimplex algoritmus: példa A lineáris program a nembázis változók terében max 1+x 1 x x 1 0 s.t. = x x x 1,x,x 3,x 0 1 x x x 1 + x 0 1 T x 1 6 A B bázishoz tartozó megengedett bázismegoldás: x 1 x = x 1 x x 3 x = p. 6
27 A szimplex algoritmus: pivot A lineáris program a nembázis változók terében max z 0 + j N z jx j Mivel xb x N s.t. x B = b j N y jx j x B,x N 0 bázismegoldás, ezért x N = 0 A fenti alak jelentősége, hogy megmondja a célfüggvény és a bázisváltozók értékét az aktuális bázisban (a célfüggvény értéke z 0, és x B = b) továbbá, hogy hogyan változna az egyes bázisváltozók és a célfüggvény értéke, ha az egyik nembázis változót nulláról elkezdenénk növelni p. 7
28 Pivot: példa x max 1+x 1 x x 1 0 s.t. = x x x 1,x,x 3,x 0 1 x x 1 + x 0 1 T Például ha x -et nulláról 1-re növeljük míg x 1 marad 0 a célfüggvény értéke 1-ről nullára csökken, mert z = 1 x értéke 1-ről nullára csökken, mert y = 1 x 3 értéke -ről -re nő, mert y 3 = x -et nem érdemes növelni, mert akkor a célfüggvény értéke csökken x 1 6 x 1 p. 8
29 Pivot: példa x max 1+x 1 x x 1 0 s.t. = x x x 1,x,x 3,x 0 1 x x 1 + x 0 1 T x 1 6 Ha a másik nembázis változót, x 1 -et nulláról 1-re növeljük a célfüggvény értéke 1-ről -re nő, mert z 1 = 1 x értéke nem változik, mert y 1 = 0 x 3 értéke -ről 1-re csökken, mert y 31 = 1 Érdemes x 1 -et növelni, mert a célfüggvény értéke nő Addig növelhetjük, amíg valamelyik változó negatívvá válik Esetünkben x 1 = esetén x 3 értéke 0, x 1 > -re negatív x 1 p. 9
30 A szimplex algoritmus: pivot Tekintsük a nembázisváltozót, amelynek a növelésével a célfüggvény értéke a legjobban nő k = argmax j N z j Rögzítsünk minden más nembázisváltozót nullában és növeljük x k -t z x B1 x B. x Bm = = z 0 +z k x k b1 b. bm y 1k y k. y mk x k p. 30
31 A szimplex algoritmus: pivot Az x k nembázis változót addig növelhetjük, amíg valamelyik bázisváltozó nullává nem válik Legyen x i : i B egy bázisváltozó, amelyre y ik > 0 Ekkor x k nembázis változó növelésével x i nemnegatív ha 0 x i = b i y ik x k x k b i y ik Az első bázisváltozó, amely kinullázódik r = argmin i {1,...,m} { bi y ik : y ik > 0 } p. 31
32 A szimplex algoritmus: pivot Legyen az aktuális bázis nemdegenerált ( b > 0) és tegyük fel, hogy k N : z k > 0 és i B : y ik > 0 { } bi Legyen k = argmaxz j, r = argmin : y ik > 0 j N i B y ik x k -t nulláról br y rk -ra növelve: z = z 0 +z k br y rk x k = b r y rk > 0,x r = 0 x Bi = b i y ik y rk br x j = 0 i B \{r} j N \{k} A célfüggvény értéke nő: z > z 0 mert z k br y rk > 0 p. 3
33 A szimplex algoritmus: pivot Tétel: a fenti feltételekkel kapott pont megengedett bázismegoldás Biz.: a változók értéke a feltételek miatt nemnegatív, ezért elég belátnunk, hogy az új bázis, vagyis az A mátrix a B1,a B,...,a Br 1,a k,a Br+1,...,a Bm oszlopai is lineárisan függetlenek Ha a k -t felírjuk B = a B1,...,a Bm oszlopainak lineáris kombinációjaként, akkor a r együtthatójának pontosan y rk adódik a k = N k = B(B 1 N) k = By k = i B a i y ik mert y k éppen B 1 N mátrix k-hoz tartozó oszlopa Az új bázis lineáris függetlensége következik y rk 0-ból az alábbi lemma felhasználásával p. 33
34 Egy lemma Lemma: legyen a 1,...,a n lineárisan független és cseréljük le az egyik a j vektort egy a vektorra, mely a 1,...,a n vektorokkal lineárisan összefüggő: a = n λ i=1 ia i. Ekkor a 1,...,a j 1,a,a j+1,...,a n akkor és csak akkor lineárisan független, ha λ j 0 A bizonyítástól most eltekintünk A pivot után kapott x tehát megengedett bázismegoldás Bázis, mert a kilépő változó tesztjében y rk 0 biztosítva van { } bi r = argmin : y ik > 0 i {1,...,m} y ik A k nembázisváltozó belép a bázisba, míg az r bázisváltozó kinullázódik és kilép a bázisból p. 3
35 Pivot: példa x max 1+x 1 x x 1 0 s.t. = x x x x 1 + x 0 1 T x 1 x 1,x,x 3,x 0 Belép a bázisba x 1, mert 6 x 1 z 1 = max j N z j = max{1, 1} = 1 Kilép a bázisból x 3, mert b3 = min y 31 i B { bi y ik : y ik > 0 } = min{} = p. 35
36 Pivot: példa A pivot után kapott új pont k = 1, r = 3 B = {1,}, N = {3,} br z = z 0 +z k = 1+ = 3 y rk x 1 = b r = y rk x = b y k = 1 0 = 1 y 3k b3 x 3 = b 3 y 3k = = 0 y 3k b3 x = 0 x = T x 0 1 T 1 T 6 x 1 p. 36
37 Pivot: példa B = {1,},N = {3,}, B =, N = B 1 = 0 1 c B T = 1 1,c N T = 0 0 Az új bázisban felírva a lineáris programot, x 1 T 6 x 1 max 3 x 3 +x x1 1 s.t. = x x x 1,x,x 3,x 0 x 1 p. 37
38 Szimplex: optimális megoldás Emlékeztetőül a pivotszabályok x k beléphet a bázisba, ha z k > 0 x r kilép a bázisból: r = argmin i {1,...,m} { bi y ik : y ik > 0 Ha minden j N : z j 0, akkor egyik nembázis változót sem érdemes növelni, mert ekkor nem növelnénk a célfüggvény értékét Tétel: a (primál) szimplex algoritmus optimalitási feltétele j N : z j 0 Biz.: ha valamely x megengedett bázismegoldásra j N : z j 0, akkor x lokális optimum Mivel a megengedett tartomány konvex és a célfüggvény konkáv, ezért x globális optimum is p. 38 }
39 Optimális megoldás: példa A korábbi példánknál maradva max 3 x 3 +x x1 1 s.t. = x x x 1,x,x 3,x 0 x 1 Ez a bázismegoldás nem optimális, mert z > 0 tehát x belép a bázisba és x kilép a bázisból, mert b = min y i B { bi y i : y i > 0 } = min{1} = 1 p. 39
40 Optimális megoldás: példa Az új bázisban B = {1,},N = {,3},c T B = 1 0,c T N = B =,N =,B = 0 1 Az x = T megengedett bázismegoldás optimális x max x x 3 x1 s.t. = x x 1 1 x 1,x,x 3,x 0 1 x T 0 T 6 x 1 p. 0
41 Szimplex példa: összefoglalás p. 1
42 Egyedi optimális megoldás Def.: max{c T x : Ax = b,x 0} lineáris programnak x megengedett megoldás egyedi optimális megoldása, ha minden x x megengedett megoldásra c T x < c T x Tétel: az x megengedett bázismegoldás egyedi optimális megoldás, ha j N : z j < 0 Biz. legyen x bármely x-től különböző megengedett megoldás, és legyen a hozzá tartozó célfüggvényérték z Legyen N az x megengedett bázismegoldáshoz tartozó nembázis változók halmaza, ekkor z = z 0 + j N z j x j j N : x j > 0 (különben x = x) és z j < 0 z < z 0 p.
43 Egyedi optimális megoldás: példa Tekintsük az iménti lineáris program x = T megengedett bázismegoldását B = {1,},N = {,3} B =,N = c B T = 1 0,c N T = 1 0,B 1 = max x x 3 x1 s.t. = x x x 0 3 x x 1,x,x 3,x 0 0 T Tehát x egyedi, optimális megoldás 6 p. 3 x 1
44 Alternatív optimális megoldások Tegyük fel, hogy x optimális megengedett bázismegoldás (tehát j N : z j 0), de létezik olyan nembázisváltozó, mondjuk k, melyre az optimalitási feltétel egyenlőséggel teljesül: z k = 0 Ha x nemdegenerált, akkor x k nulláról megnövelhető valamely ǫ > 0-val anélkül, hogy kinullázódna valamelyik bázisváltozó z = z 0 +z k x k = z 0 +0x k x B1. x Bm = b1. bm y 1k. y mk xk Minden 0 < x k ǫ választás optimális megengedett megoldást eredményez, hiszen z k = 0 miatt a célfüggvény értéke nem változik p.
45 Alternatív optimális megoldások A lineáris program az x k nembázisváltozó függvényében, z k = 0 és minden más z j 0 max s.t. x = xb x N z 0 +0x k b = 0 x 0 + yk e k x k ahol szokás szerint y k a B 1 N mátrix k-hoz tartozó oszlopa, e k pedig a k-adik kanonikus egységvektor Alternatív optimális megoldásokat kapunk amíg x B 0 { b yk bi x = +λ 0 λ min : y 0 e ik > 0 k i B y ik } p. 5
46 Alternatív optimális megoldások: példa Tekintsük a lineáris programot max x 1 + x s.t. x 1 + x x 1 + x 1 x 1, x, 0 Slack-változókkal standard alakra hozva max x 1 + x s.t. x 1 + x + x 3 = x 1 + x + x = 1 x 1, x, x 3, x 0 p. 6
47 Alternatív optimális megoldások: példa Legyen a bázis B = a 1 a = 1 0, B = A bázishoz tartozó megengedett bázismegoldás x B = b = x N = x x 3 x1 x = 0 0 = B 1 b = = 5 p. 7
48 Alternatív optimális megoldások: példa A bázismegoldáshoz tartozó paraméterek c T B = 0,c T N = B 1 N = = z 0 = c B T b = 0 5 c N T c B T B 1 N = 0 0 = = 0 = 0 p. 8
49 Alternatív optimális megoldások: példa A lineáris program a nembázisváltozók terében max 8+0x x 3 x1 s.t. = x x 5 3 x 1,x,x 3,x 0 1 x 1 3 Alternatív optimális megoldások x = 0 0 +λ 5 A 0 T és a : 0 < λ T pontok összes konvex kombinációja 0 1 T 0 0 T x /3 5/3 T -x 1 +x 1 x 1 + x 6 0 T p. 9 x 1
A szimplex tábla. p. 1
A szimplex tábla Végződtetés: optimalitás és nem korlátos megoldások A szimplex algoritmus lépései A degeneráció fogalma Komplexitás (elméleti és gyakorlati) A szimplex tábla Példák megoldása a szimplex
RészletesebbenA lineáris programozás alapjai
A lineáris programozás alapjai A konvex analízis alapjai: konvexitás, konvex kombináció, hipersíkok, félterek, extrém pontok, Poliéderek, a Minkowski-Weyl tétel (a poliéderek reprezentációs tétele) Lineáris
RészletesebbenOpkut deníciók és tételek
Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét
RészletesebbenA lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c
RészletesebbenA lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2018/
Operációkutatás I. 2018/2019-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c
RészletesebbenAlkalmazott optimalizálás és játékelmélet Lineáris programozás Gyakorlófeladatok. Rétvári Gábor
Alkalmazott optimalizálás és játékelmélet Lineáris programozás Gyakorlófeladatok Rétvári Gábor retvari@tmit.bme.hu Feladatok Szöveges feladatok. Egy acélgyárban négyfajta zártszelvényt gyártanak: kis,
Részletesebben1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI
/ Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI /. Legyen adott az alábbi LP-feladat: x + 4x + x 9 x + x x + x + x 6 x, x, x x + x +
RészletesebbenLINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL
LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény
RészletesebbenTotális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János
Totális Unimodularitás és LP dualitás Tapolcai János tapolcai@tmit.bme.hu 1 Optimalizálási feladat kezelése NP-nehéz Hatékony megoldás vélhetően nem létezik Jó esetben hatékony algoritmussal közelíteni
Részletesebben11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba
11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez
RészletesebbenA szimplex algoritmus
. gyakorlat A szimplex algoritmus Az előző órán bevezetett feladat optimális megoldását fogjuk megvizsgálni. Ehhez új fogalmakat, és egy algoritmust tanulunk meg. Hogy az algoritmust alkalmazni tudjuk,
RészletesebbenDualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 7. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát (vonat
RészletesebbenÁttekintés LP és geometria Többcélú LP LP és egy dinamikus modell 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 6. Előadás Áttekintés Kezdjük újra a klasszikus erőforrás allokációs problémával (katonák,
RészletesebbenOptimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és
RészletesebbenOperációkutatás. Vaik Zsuzsanna. ajánlott jegyzet: Szilágyi Péter: Operációkutatás
Operációkutatás Vaik Zsuzsanna Vaik.Zsuzsanna@ymmfk.szie.hu ajánlott jegyzet: Szilágyi Péter: Operációkutatás Operációkutatás Követelmények: Aláírás feltétele: foglalkozásokon való részvétel + a félév
Részletesebben1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI
/ Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex
RészletesebbenÉrzékenységvizsgálat
Érzékenységvizsgálat Alkalmazott operációkutatás 5. elıadás 008/009. tanév 008. október 0. Érzékenységvizsgálat x 0 A x b z= c T x max Kapacitások, együtthatók, célfüggvény együtthatók változnak => optimális
RészletesebbenDiszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 4. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor 2012. február 28. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét
RészletesebbenKétfázisú szimplex algoritmus és speciális esetei
5. gyakorlat Kétfázisú szimplex algoritmus és speciális esetei. Emlékeztető Standard alak, áttérés Standard alak Minden feltétel et tartalmaz csak. A célfüggvényünket maximalizáljuk. A b vektor (jobb oldalon
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenNemlineáris programozás 2.
Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: 18.1-5,
RészletesebbenEgészértékű lineáris programozás
p. Egészértékű lineáris programozás Integer Linear Programming (ILP) és Mixed Integer Linear Programming (MIP) nevezetes kombinatorikus optimizálási problémák megfogalmazása ILP formájában definíció, tulajdonságok,
Részletesebben4. Előadás: Erős dualitás
Optimalizálási eljárások/operációkutatás MSc hallgatók számára 4. Előadás: Erős dualitás Előadó: Hajnal Péter 2018. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét d
RészletesebbenNem-lineáris programozási feladatok
Nem-lineáris programozási feladatok S - lehetséges halmaz 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 1 Elég egyszerű példa: nemlineáris célfüggvény + lineáris feltételek Lehetséges halmaz x 1 *x 2 =6.75 Gradiens
Részletesebben11. Előadás. 1. Lineáris egyenlőség feltételek melletti minimalizálás
Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 11. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Hajnal Péter 2011. április 27. 1. Lineáris egyenlőség feltételek melletti minimalizálás Múlt héten nem szerepeltek
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2
RészletesebbenLineáris programozás. A mese
Lineáris programozás A mese Célok Geometriai szemlélet (nem lesz matek ) Gakorlati kérdések Már megint a szendvics Kétfajta szendvicset szeretnénk készíteni, sonkásat és szalámisat. Lehetőleg minél többet.
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenVektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.
Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.
RészletesebbenHORNUNG TAMÁS * Diszkrét egyenletes közelítés: a lineáris programozás egy alkalmazása
Bevezetés HORNUNG TAMÁS * Diszkrét egyenletes közelítés: a lineáris programozás egy alkalmazása Discrete smooth approximation: an application of linear programming The best discrete approximation can be
RészletesebbenJegyzet. az Operációkutatás (elemz, programozó matematikus) tárgyhoz április. Fábián Csaba, Király Tamás, Papp Olga
Jegyzet az Operációkutatás (elemz, programozó matematikus) tárgyhoz Fábián Csaba, Király Tamás, Papp Olga 2015. április 1 Tartalomjegyzék 1. A lineáris programozási feladat 3 1.1. Bevezetés.......................................
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenSzemidenit optimalizálás és az S-lemma
Szemidenit optimalizálás és az S-lemma Pólik Imre SAS Institute, USA BME Optimalizálás szeminárium 2011. október 6. Outline 1 Egyenl tlenségrendszerek megoldhatósága 2 Az S-lemma 3 Szemidenit kapcsolatok
RészletesebbenOptimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben
Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára Analízis R d -ben Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2012. február 8 1. Konvex függvények Definíció. f : D R konvex, ha dom(f) := D R n konvex és tetszőleges
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenDeterminánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.
Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető
RészletesebbenOperációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje
Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek
RészletesebbenNemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással
pontos dualitással Imre McMaster University Advanced Optimization Lab ELTE TTK Operációkutatási Tanszék Folytonos optimalizálás szeminárium 2004. július 6. 1 2 3 Kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek Primál
RészletesebbenNorma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
RészletesebbenLineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer
Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenKONVEX HALMAZ, FARKAS TÉTEL, GORDAN TÉTEL, EXTREMÁLIS PONT, EXTREMÁLIS IRÁNY, LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ELMÉLETE
KONVEX HALMAZ, FARKAS TÉTEL, GORDAN TÉTEL, EXTREMÁLIS PONT, EXTREMÁLIS IRÁNY, LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ELMÉLETE DR. NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott
Részletesebbenszantai Az operációkutatás matematikai módszerei
http://wwwmathbmehu/ szantai Az operációkutatás matematikai módszerei Bővített óravázlat Összeállította: Szántai Tamás Budapest 1999 A bővített óravázlatot Prékopa Andrásnak a Bolyai János Matematikai
RészletesebbenOperációkutatás. Vaik Zsuzsanna. Budapest október 10. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Operációkutatás Vaik Zsuzsanna Vaik.Zsuzsanna@ymmfk.szie.hu Budapest 200. október 10. Mit tanulunk ma? Szállítási feladat Megoldása Adott: Egy árucikk, T 1, T 2, T,..., T m termelőhely, melyekben rendre
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
Részletesebben6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió
6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek
1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.
RészletesebbenBázistranszformáció és alkalmazásai 2.
Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 9. előadás: Paraméteres iterációk, relaxációs módszerek Lócsi Levente ELTE IK Tartalomjegyzék 1 A Richardson-iteráció 2 Relaxált Jacobi-iteráció 3 Relaxált Gauss Seidel-iteráció
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
RészletesebbenJegyzet. az Operációkutatás II cím tantárgyhoz. Utolsó frissítés: május 20. Király Tamás el adásai alapján készítette Papp Olga
Jegyzet az Operációkutatás II cím tantárgyhoz Király Tamás el adásai alapján készítette Papp Olga Utolsó frissítés: 2011. május 20. Tartalomjegyzék 1. TU mátrixok: kerekítés és színezés 3 1.1. Emlékeztet......................................
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
Részletesebben1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában
1. Reprezentáció elmélet 1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában A vektorok és az operátorok mátrixok formájában is felírhatók. A végtelen dimenziós ket vektoroknak végtelen sok sort tartalmazó oszlopmátrix
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenAz ellipszoid algoritmus
Az ellipszoid algoritmus Csizmadia Zsolt Eötvös Loránd Tudományegyetem Bevezető Az ellipszoid módszert a nemlineáris porgramozásra Shor [1970,0977] illetve Yudin és Nemirovskiî [1976] feljlesztették ki.
RészletesebbenLineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
Részletesebbenkarakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja
Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus
RészletesebbenJegyzet. az Operációkutatás II cím tantárgyhoz. Király Tamás és Papp Olga. Utolsó frissítés: február
Jegyzet az Operációkutatás II cím tantárgyhoz Király Tamás és Papp Olga Utolsó frissítés: 2015. február 2 Tartalomjegyzék 1. Lineáris programozás 7 1.1. TU mátrixok: kerekítés és színezés......................
Részletesebben10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai
Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál
Részletesebben4. Előadás. A legkisebb négyzetek problémája a következő optimalizálási alapfeladat: Minimalizáljuk
OPTIMALIZÁLÁSI ELJÁRÁSOK 4. Előadás Matematika MSc hallgatók számára Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Magyari Nikolett 2011. március 2. 1. A legkisebb négyzetek probléma A legkisebb négyzetek problémája
RészletesebbenGlevitzky Béla. Operációkutatás I. mobidiák könyvtár
Glevitzky Béla Operációkutatás I. mobidiák könyvtár Glevitzky Béla Operációkutatás I. mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŽ Fazekas István Glevitzky Béla Operációkutatás I. mobidiák könyvtár Debreceni Egyetem
RészletesebbenLineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenDifferenciálegyenlet rendszerek
Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
Részletesebben1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér?
Az informatikus lineáris algebra dolgozat B részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok a definíciók és állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat B részében kérdezhetünk. A válaszoknál
RészletesebbenOperációkutatás I. Bajalinov, Erik, Nyíregyházi Főiskola, Matematika és Informatika Intézete Bekéné Rácz, Anett, Debreceni Egyetem, Informatikai Kar
Operációkutatás I. Bajalinov, Erik, Nyíregyházi Főiskola, Matematika és Informatika Intézete Bekéné Rácz, Anett, Debreceni Egyetem, Informatikai Kar Operációkutatás I. írta Bajalinov, Erik és Bekéné Rácz,
RészletesebbenGráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 3. Előadás
Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 3. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Pék Máté 2009. szeptember 21. 1. Folyamok 1.1. Definíció. G = (V, E, K, B) irányított gráf, ha e! v : ekv
RészletesebbenLINEÁRIS VEKTORTÉR. Kiegészítő anyag. (Bércesné Novák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége
LINEÁRIS VEKTORTÉR Kiegészítő anyag (Bércesné Noák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége Vektortér V 0 Halmaz T test : + ; + ; Abel csoport V elemeit ektoroknak neezzük. Abel - csoport Abel
RészletesebbenA L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 6. előadás: Vektor- és mátrixnormák Lócsi Levente ELTE IK 2013. október 14. Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
RészletesebbenPrincipal Component Analysis
Principal Component Analysis Principal Component Analysis Principal Component Analysis Definíció Ortogonális transzformáció, amely az adatokat egy új koordinátarendszerbe transzformálja úgy, hogy a koordináták
RészletesebbenLineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest
RészletesebbenJegyzet. Operációkutatás I cím tantárgyhoz január 26. Fábián Csaba el adásai alapján készítette Papp Olga
Jegyzet Operációkutatás I cím tantárgyhoz Fábián Csaba el adásai alapján készítette Papp Olga 29 január 26 Tartalomjegyzék. Bevezetés 3 2. A szimplex módszer 5 2.. A szimplex módszer elméleti vs. gyakorlati
Részletesebben1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenBevezetés az állapottér elméletbe: Állapottér reprezentációk
Tartalom Bevezetés az állapottér elméletbe: Állapottér reprezentációk vizsgálata 1. Példa az állapottér reprezentációk megválasztására 2. Átviteli függvény és állapottér reprezentációk közötti kapcsolatok
RészletesebbenRelációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor
Részletesebben1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.
1 Diagonalizálás Diagonalizálható mátrixok Ismétlés Legyen M,N T n n Az M és N hasonló, ha van olyan A lineáris transzformáció, hogy M is és N is az A mátrixa egy-egy alkalmas bázisban Az M és N pontosan
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenHadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.
Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus
Részletesebben3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok
RészletesebbenLineáris algebrai alapok
Lineáris algebrai alapok Will 2010 június 16 Vektorterek, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek A lineáris programozási feladat, szimplex algoritmus Vektorterek Jellemzés: Vektorok tulajdonságai Két vektor
Részletesebben10. előadás. Konvex halmazok
10. előadás Konvex halmazok Konvex halmazok Definíció: A K ponthalmaz konvex, ha bármely két pontjának összekötő szakaszát tartalmazza. Állítás: Konvex halmazok metszete konvex. Konvex halmazok uniója
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 7. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 2012. március 26. Ismétlés Tartalom 1 Ismétlés 2 Koordinátasor 3 Bázistranszformáció és alkalmazásai Vektorrendszer rangja Mátrix
Részletesebben1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás
1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M
Részletesebben