A szimplex tábla. p. 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A szimplex tábla. p. 1"

Átírás

1 A szimplex tábla Végződtetés: optimalitás és nem korlátos megoldások A szimplex algoritmus lépései A degeneráció fogalma Komplexitás (elméleti és gyakorlati) A szimplex tábla Példák megoldása a szimplex tábla segítségével p 1

2 Emlékeztető: a szimplex algoritmus Tekintsük az alábbi lineáris programot z = max c T x st Ax = b x 0 ahol A egy m n mátrix, rang(a) = rang(a,b) = m, b egy oszlop m-vektor, x pedig oszlop n-vektor Legyen B egy bázis, ekkor az oszlopok megfelelő átrendezése után A = [B N] [ ] [ ] xb B 1 b Legyen továbbá x = = x N 0 tartozó bázismegoldás és tegyük fel, hogy ez a bázismegoldás megengedett (B 1 b 0) a B bázishoz p 2

3 Emlékeztető: a szimplex algoritmus A lineáris program a nembázisváltozók terében max z 0 + j N z jx j st x B = b j N y jx j x B,x N 0 ahol N a nembázisváltozók halmaza b = B 1 b y j a B 1 N mátrix j-edik nembázisváltozóhoz tartozó oszlopa, y j = B 1 a j z 0 = c B T B 1 b = c B T b z j a c N T c B T B 1 N sorvektor j-edik nembázis-változóhoz tartozó eleme p 3

4 Emlékeztető: a szimplex algoritmus A pivotszabályok x k beléphet a bázisba, ha z k > 0 x r kilép a bázisból: r = argmin i {1,,m} { bi y ik : y ik > 0 A (primál) szimplex algoritmus optimalitási feltétele: az x megengedett bázismegoldás optimális megoldás, ha j N : z j 0 Az alábbiakban feltesszük, hogy a megengedett bázismegoldásunk nem degenerált, vagyis b > 0 A degenerált esettel később foglalkozunk } p 4

5 Nemkorlátos megoldás Adva egy x megengedett bázismegoldás, legyen x k egy nembázisváltozó úgy, hogy z k > 0 max st x = [ ] xb x N z 0 +z k x ] k [ b = 0 x 0 +[ yk e k ]x k Ekkor x k növelésével nő a célfüggvény értéke Tudjuk, hogy x k -t addig növelhetjük, amíg valamelyik bázisváltozó negatívvá nem válik x k min i B { bi y ik : y ik > 0 } p 5

6 Nemkorlátos megoldás A korlát csak akkor van értelmezve, ha van i bázisváltozó, melyre y ik > 0 Ha ilyen nincs, tehát y k 0, akkor nincs bázisváltozó, amely blokkolná x k növelését Tétel: Egy max{c T x : Ax = b,x 0} lineáris program megoldása nemkorlátos, ha van x megengedett bázismegoldás és x k nembázisváltozó, hogy z k > 0 és y k 0 [ ] yk Biz: a d = e k a megengedett tartomány egy iránya, és a x = x+dλ,λ 0 pontok mind megengedett megoldások Ilyenkor minden K > 0-hoz létezik λ > 0, hogy c T x = z 0 +λz k > K p 6

7 Nemkorlátos megoldás: példa Adott kanonikus formában a következő lineáris program max x 1 + 3x 2 st x 1 2x 2 4 x 1 + x 2 3 x 1, x 2 0 Az x 3 [ és x 4 slack-változók] bevezetésével [ ] A =, b =, c T = [ ] [ ] 2 1 Tekintsük a B = [a 2 a 3 ] = [ ] [ ][ ] x x B = = = x bázist 1 0 [ ] 3, x 10 N = [ x1 x 4 ] = [ ] 0 0 p 7

8 Nemkorlátos megoldás: példa A szokásos paraméterek z 0 = c B T b = 9 [ ] 1 1 c T N c T B B 1 N = [1 0] [3 0] = [4 3] 1 2 [ ][ ] [ ] B 1 N = = A lineáris program az aktuális bázisban max 9+4x 1 3x [ ] [ ] [ ] 4 x2 3 1 st = x x x 1,x 2,x 3,x 4 0 [ ] 1 x 2 4 p 8

9 Nemkorlátos megoldás: példa A nemkorlátosságot okozó sugár x = x 1 x 2 x 3 x 4 = λ, λ 0 0 A célfüggvény értéke 9+4λ Az eredeti változók terében [ x1 x 2 ] = [ 0 3 ] [ ] λ : λ > x 2 [0 3] T d -x 1 +x x 1-2x 2 4 x p 9 1

10 A szimplex algoritmus Tekintsük az alábbi lineáris programot z = max c T x st Ax = b x 0 ahol A egy m n mátrix, rang(a) = rang(a,b) = m, b egy oszlop m-vektor, x pedig oszlop n-vektor Tegyük fel, hogy egyik bázismegoldás sem degenerált A szimplex algoritmus egy iteratív eljárás a fenti lineáris program megoldására, amely nem igényel mást csak lineáris egyenletrendszerek megoldását és egyszerű lineáris algebrai műveleteket Inicializálás: keressünk egy kezdeti megengedett bázismegoldást és a hozzá tartozó B bázist p 10

11 A szimplex algoritmus: fő ciklus 1 Oldjuk meg a Bx B = b egyenletrendszert A megoldás egyedi: x B = B 1 b = b és legyen x N = 0 2 Oldjuk meg a w T B = c B T egyenletrendszert A megoldás egyedi: w T = c B T B 1 Számoljuk ki minden j nembázisváltozóra z j = c j w T a j értékét és legyen a belépő (nembázis)változó k = argmax j N 3 Ha z k 0, akkor vége: z j [ ] xb x N (Dantzig s pivot rule) optimális megoldás és a célfüggvény értéke c B T x B Ellenkező esetben tovább a következő lépésre p 11

12 A szimplex algoritmus: fő ciklus 4 Oldjuk meg a By k = a k egyenletrendszert A megoldás egyedi: y k = B 1 a k Ha y k 0, akkor vége: a lineáris program nemkorlátos a ] ] } {[ b yk +[ λ : λ 0 sugár mentén 0 e k Ellenkező esetben tovább a következő lépésre 5 Pivot: x k belép a bázisba és x Br kilép a bázisból, ahol { } bi r = argmin : y ik > 0 i {1,,m} y ik (minimum ratio test) Frissítsük a B bázist (a Br -t felváltja a k ), N-t, c B T -t és c N T -t és vissza az első lépésre p 12

13 A szimplex algoritmus: komplexitás Tétel: Ha egyik lépésben sem talál degenerált bázismegoldást, akkor a szimplex algoritmus véges számú lépésben megtalálja az optimális megoldást vagy megmutatja, hogy a lineáris program nemkorlátos Biz: minden iterációban három eset egyike következhet be ha z k 0, akkor kiszállunk az optimális megoldással ha z k > 0 de y k 0, akkor megállapítjuk, hogy a lineáris program nemkorlátos és kiszállunk ha z k > 0 és y k 0, akkor a bázisból kilép egy r változó úgy, hogy b r > 0 és a célfüggvény értéke z k br > 0 határozottan nő Tehát minden iterációs lépésben vagy kiszállunk, vagy egy új, az előzőtől eltérő megengedett bázismegoldást adunk A bázismegoldások száma véges p 13

14 Degeneráció Ha x k belép a bázisba, x Br kilép onnan és y k 0 Pivot előtt z 0 x B x k = 0 Pivot után z 0 +z k br x B b r y k x k = b r A bázismegoldás degenerált, ha x B = b 0 Ekkor van x Br = b r = 0, és ha ráadásul > 0, akkor { } x Br bi blokkolja x k növelését: min : y ik > 0 = 0 y i {1,,m} y ik rk A pivot utánx k = b r = 0 és a célfüggvény értéke maradz 0 A pivot során ugyanabban az extrém pontban maradtunk p 14

15 Degeneráció Cycling: egyik degenerált bázismegoldásról a másikra ugorva körbejárunk ugyanazon az extrém ponton Ilyenkor a véges futás nem garantált A gyakorlatban nagyon ritkán fordul elő Pivotszabály: mivel a bázisba belépő változó kiválasztása tetszőleges ha z j > 0, különböző szabályok adhatók Dantzig s pivot rule: k = argmaxz j j N Mohó (greedy): válasszuk azt a változót, ami a legnagyobb növekedést okozza a célfüggvényben Bland s pivoting rule: válasszuk a legkisebb indexű nembázisváltozót amire z j > 0 és ha több bázisváltozóra is x Br = 0, válasszuk a legkisebb indexűt kilépő változónak Bland szabályának használatával elkerülhető a cycling p 15

16 A szimplex algoritmus: komplexitás A Dantzig pivot szabály használata esetén a szimplex algoritmus komplexitása exponenciális lehet Legrosszabb esetben végig kell nézni akár ( n m bázismegoldást Adható példa, ahol ez bekövetkezik Szinte minden determinisztikus szabályhoz van ellenpélda Nyitott kérdés: van-e determinisztikus szabály, amely az exponenciálisnál jobb futási időt ad? A gyakorlatban a szimplex algoritmus nagyon gyors Általában m és n függvényében lineáris számú pivot elég Léteznek garantáltan polinom-idejű belsőpontos megoldó algoritmusok (Hacsián-féle ellipszoid módszer, Karmarkar algoritmusa) ) p 16

17 A szimplex tábla A szimplex algoritmus jelen formájában minden lépésben három lineáris egyenletrendszer megoldását igényli A szimplex táblák használatával ez elkerülhető Tegyük fel, hogy van egy kezdeti megengedett bázismegoldásunk B bázissal Legyen z egy új változó, ami célfüggvény aktuális értékét jelöli z = c B T x B +c N T x N Tekintsük a lineáris programot az alábbi formában max z st z c T B x B c T N x N = 0 Bx B + Nx N = b x B, x N 0 p 17

18 A szimplex tábla A x N megadja x B -t: x B +B 1 Nx N = B 1 b És tudjuk, hogy z = c B T B 1 b+(c N T c B T B 1 N)x N z +0x B +(c B T B 1 N c N T )x N = c B T B 1 b A nembázisváltozók terében max z st z + 0x B + (c T B B 1 N c T N )x N = c T B B 1 b I m x B + B 1 Nx N = B 1 b x B, x N 0 A fenti alak táblázat formájában z x B x N RHS z 1 0 c B T B 1 N c N T c B T B 1 b 0 sor x B 0 I m B 1 N B 1 b 1m sorok p 18

19 A szimplex tábla z x B1 x Bm x N1 x Nn m RHS z z 1 z n m z 0 x B y 1,1 y 1,n m b1 x Bm y m,1 y m,n m bm x B1,x B2,,x Bm sorra a bázisváltozók x N1,x N2,,x Nn m sorra a nembázisváltozók z j a c B T B 1 N c N T sorvektor j nembázisváltozóhoz tartozó eleme és z 0 = c B T B 1 b bi a B 1 b oszlopvektor i-edik eleme y ij a B 1 N mátrix (i,j) eleme p 19

20 A szimplex tábla: belépő változó A célfüggvény alakja a korábbiakhoz képest megváltozott z + j N z j x j = z 0 A célfüggvény értékének növeléséhez olyan k nembázisváltozót kell keresnünk, amelyre z k < 0 A belépő változó a tábla nulladik sorából kiolvasható A bázisba belép k nembázisváltozó k = argmin j N z j Optimalitási feltétel z k = min j N z j 0 p 20

21 A szimplex tábla: kilépő változó A bázisváltozók kifejezése a szimplex táblában I m x B +B 1 Nx N = B 1 b A x Bi bázisváltozó a tábla i-edik sorából olvasható ki x Bi + j N y ij x j = b i x Bi értéke x k növelésére y ik x k -val csökken nemkorlátos a megoldás, ha nincs pozitív elem k oszlopában: y k 0 a bázisból kilépő r változó r = argmin i {1,,m} { } bi : y ik > 0 y ik p 21

22 A szimplex tábla: pivot Tegyük fel, hogy k belép a bázisba r kilép A pivot előtt a szimplex tábla z x B1 x Br x Bm x Nj x Nk RHS z z j z k z 0 x B y 1j y 1k b1 x Br y rj br x Bm y mj y mk bm p 22

23 A szimplex tábla: pivot 1 Osszuk el az r-edik sort -val z x B1 x Br x Bm x Nj x Nk RHS z z j z k z 0 x B y 1j y 1k b1 x Br y rj 1 br x Bm y mj y mk bm p 23

24 A szimplex tábla: pivot 2 Minden i = 1,2,,m : i r sorra vonjuk ki a sorból az r-edik sor y ik -szorosát z x B1 x Br x Bm x Nj x Nk RHS z z j z k z 0 x B1 0 1 y 1k 0 y 1j y 1k y rj 0 br b1 y 1k x Br y rj 1 br x Bm 0 0 y mk 1 y mj y mk y rj 0 bm y mk br p 24

25 A szimplex tábla: pivot 3 Vonjuk ki a nulladik sorból az r-edik sor z k -szorosát z x B1 x Br x Bm x Nj x Nk RHS z 1 0 z k y 1k 0 x B1 0 1 y 1k 0 y 1j y 1k y rj z j z k y rj 0 z 0 z k br 0 br b1 y 1k x k y rj 1 br x Bm 0 0 y mk 1 y mj y mk y rj 0 bm y mk br x k belépett a bázisba, ezért az új szimplex táblában az r-edik sor most már x k -t adja meg x Br kilépett a bázisból és nembázis változó lett p 25

26 A szimplex tábla: példa Tekintsük a lineáris programot max x 1 x 2 + 4x 3 st x 1 + x 2 + 2x 3 9 x 1 + x 2 x 3 2 x 1 + x 2 + x 3 4 x 1, x 2, x 3 0 Slack-változókkal standard alakra hozva max x 1 x 2 + 4x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 0x 6 st x 1 + x 2 + 2x 3 + x 4 = 9 x 1 + x 2 x 3 + x 5 = 2 x 1 + x 2 + x 3 + x 6 = 4 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 0 p 26

27 A szimplex tábla: példa Először kezdeti bázist kell választanunk: álljon ez a slack-változók oszlopaiból Kanonikus alakban adott max{c T x : Ax b,x 0} lineáris program esetén a bevezetendő x s slack-változók oszlopai mindig bázist alkotnak: max{c T x : Ax+Ix s = b,x 0,x s 0} és B = I mindig nemszinguláris Ha ráadásul b 0, akkor ez a bázis egyben megengedett is, hiszen b = B 1 b = b 0 Ellenkező esetben a kezdeti bázis keresése speciális lépéseket igényel (itt nem tárgyaljuk) Legyen tehát B = [a 4 a 5 a 6 ] A nulladik sor: c B T B 1 N c N T = c N T mert az x s bázisváltozókhoz a célfüggvényben 0 együttható áll és így c B T = 0, és hasonlóan z 0 = c B T B 1 b = 0 p 27

28 A szimplex tábla: példa A kezdeti szimplex tábla (a nulladik sort invertálni kell!) z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHS z x x x A bázis nem optimális mert z 3 = 4 A belépő változó x 3 mert z 3 = min j N z j = 4 Nem kapunk nemkorlátos eredményt, mert van y i3 > 0 A kilépő változó x 6 mert b6 y 63 = min{ 9 2,4} = 4 p 28

29 A szimplex tábla: példa 1 Osszuk el az x 6 sorát y 63 -mal, ami most 1 a tábla sorait most a hozzá tartozó bázisváltozó indexével azonosítjuk, és nem a sorindexszel ezért az x 6 sorának elemei rendre az y 6j és b 6 indexet kapják hasonlóan a többi sorra z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHS z x x x p 29

30 A szimplex tábla: példa 2 Az x 4 és x 5 sorából vonjuk ki az x 6 sorának y 4k - illetve y 5k -szorosát az x 4 sorából az x 6 sorának kétszeresét kell kivonni lényeg az y 43 és az y 53 kinullázása z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHS z x x x p 30

31 A szimplex tábla: példa 3 Vonjuk ki a nulladik sorból az x 6 sorának z 3 -szorosát most az x 6 sorának négyszeresét kell hozzáadni a nulladik sorhoz lényeg a z 3 kinullázása z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHS z x x x Pivot vége, új szimplex bázist kaptunk (B = {x 3,x 4,x 5 }) A szimplex tábla utolsó sora most már az x 3 -hoz tartozik, érdemes ezt a szimplex táblán jelölni p 31

32 A szimplex tábla: példa A szimplex tábla használata a nulladik sor utolsó eleme mindig a célfüggvény az aktuális bázishoz tartozó értéke, most z = 16 a bázisváltozók értékeit kiolvashatjuk az RHS oszlopból (ha negatív elem van benne, elrontottunk valamit) ha a nulladik sor nem tartalmaz negatív elemet, optimális a bázis z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHS z x x x p 32

33 A szimplex tábla: példa Az aktuális tábla nem optimális, mert z 1 = 3 Tehát belép a bázisba x 1 Van kilépő változó (vagyis nem kaptunk nemkorlátos megoldást), mert y 41 > 0 Kilép x 4 z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHS z x x x Osztjuk x 4 sorát 3-mal, a kapott sort hozzáadjuk x 3 sorához egyszer, és a nulladik sorhoz háromszor p 33

34 A szimplex tábla: példa z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHS z x x A bázis optimális x Az optimális megoldáshoz tartozó célfüggvény értéke a nulladik sor utolsó eleme: z = 17 A bázisváltozók értékei az RHS oszlopból: 13 3 [ x1 x 5 x 3 ] = [ Az optimális megoldás: x T = [ ] p 34 ]

35 A szimplex tábla: példa Oldjuk meg a következő lineáris programot max 2x 1 + x 2 + 3x 3 st 2x 1 3x 2 + x 3 0 2x 2 + 4x 3 1 x 1 x 2 3 x 1, x 2, x 3 0 Slack-változókkal standard alakra hozva max 2x 1 + x 2 + 3x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 0x 6 st 2x 1 3x 2 + x 3 + x 4 = 0 2x 2 + 4x 3 + x 5 = 1 x 1 x 2 + x 6 = 3 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 0 p 35

36 A szimplex tábla: példa A kezdeti szimplex tábla z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHS z x x x x 3 belép a bázisba, x 4 kilép x 4 sorának négyszeresét kivonjuk x 5 sorából, és a háromszorosát hozzáadjuk a nulladik sorhoz Degenerált pivot, mert b 4 = 0 A pivot után ugyanabban az extrém pontban fogunk maradni p 36

37 A szimplex tábla: példa A pivot utáni szimplex tábla z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHS z x x x x 2 belép a bázisba, x 5 kilép p 37

38 A szimplex tábla: példa Az új szimplex tábla z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHS z x x x A bázisba belépő változó x Azonban x 4 oszlopában minden elem negatív Vagyis x 4 szabadon növelhető anélkül, hogy bármely változó értéke negatívvá válna, miközben a célfüggvény értéke szintén nő Nincs korlátos megoldás p 38

39 A szimplex tábla: példa A szimplex táblából kiolvasható a nemkorlátosságot okozó x+λd : λ 0 félegyenes egyenlete x az aktuális bázismegoldás d előáll a szimplex tábla x 4 nembázisváltozóhoz tartozó oszlopából x = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Az indexelésre és az előjelekre vigyázni kell = λ, λ 0 p 39

A szimplex algoritmus

A szimplex algoritmus A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás

Részletesebben

Alkalmazott optimalizálás és játékelmélet Lineáris programozás Gyakorlófeladatok. Rétvári Gábor

Alkalmazott optimalizálás és játékelmélet Lineáris programozás Gyakorlófeladatok. Rétvári Gábor Alkalmazott optimalizálás és játékelmélet Lineáris programozás Gyakorlófeladatok Rétvári Gábor retvari@tmit.bme.hu Feladatok Szöveges feladatok. Egy acélgyárban négyfajta zártszelvényt gyártanak: kis,

Részletesebben

Opkut deníciók és tételek

Opkut deníciók és tételek Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét

Részletesebben

1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI /. Legyen adott az alábbi LP-feladat: x + 4x + x 9 x + x x + x + x 6 x, x, x x + x +

Részletesebben

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex

Részletesebben

Érzékenységvizsgálat

Érzékenységvizsgálat Érzékenységvizsgálat Alkalmazott operációkutatás 5. elıadás 008/009. tanév 008. október 0. Érzékenységvizsgálat x 0 A x b z= c T x max Kapacitások, együtthatók, célfüggvény együtthatók változnak => optimális

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2.

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja

Részletesebben

Szimplex módszer, szimplex tábla Példaként tekintsük a következ LP feladatot:

Szimplex módszer, szimplex tábla Példaként tekintsük a következ LP feladatot: Szimplex módszer, szimplex tábla Példaként tekintsük a következ LP feladatot: z = 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 2x 1 + 3x 2 + x 3 5 4x 1 + x 2 + 2x 3 11 3x 1 + 4x 2 + 2x 3 8 x 1, x 2, x 3 0 = maximum, feltéve, hogy

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

Lineáris algebra Gyakorló feladatok

Lineáris algebra Gyakorló feladatok Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás 1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Operációkutatás I. Bajalinov, Erik, Nyíregyházi Főiskola, Matematika és Informatika Intézete Bekéné Rácz, Anett, Debreceni Egyetem, Informatikai Kar

Operációkutatás I. Bajalinov, Erik, Nyíregyházi Főiskola, Matematika és Informatika Intézete Bekéné Rácz, Anett, Debreceni Egyetem, Informatikai Kar Operációkutatás I. Bajalinov, Erik, Nyíregyházi Főiskola, Matematika és Informatika Intézete Bekéné Rácz, Anett, Debreceni Egyetem, Informatikai Kar Operációkutatás I. írta Bajalinov, Erik és Bekéné Rácz,

Részletesebben

Klasszikus alkalmazások

Klasszikus alkalmazások Klasszikus alkalmazások Termelésoptimalizálás Hozzárendelési probléma: folytonos eset Arbitrázsárazás p. Termelésoptimalizálás A gazdasági élet és a logisztika területén gyakran találkozunk lineáris optimalizálási

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2

Részletesebben

Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport

Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport Operációkutatás I. 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport Számítógépes Optimalizálás Tanszék 6. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

lineáris programozás esetében. Ennek ez idő szerint legkorábbi formalizálását

lineáris programozás esetében. Ennek ez idő szerint legkorábbi formalizálását 1. előadás Bevezetés Lehetetlen egészen pontosan megállapítani, mi tekinthető az operációkutatás első eredményeinek, hisz az optimalizálás mégcsak nem is az emberi faj kiváltsága. Kétségtelen viszont,

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Bevezetés a lineáris programozásba

Bevezetés a lineáris programozásba Bevezetés a lineáris programozásba 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Szimplex módszer p. 1/1 Az LP feladatok általános modellje A korlátozó feltételeket írjuk fel

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

S Z Á L L Í T Á S I F E L A D A T

S Z Á L L Í T Á S I F E L A D A T Döntéselmélet S Z Á L L Í T Á S I F E L A D A T Szállítási feladat meghatározása Speciális lineáris programozási feladat. Legyen adott m telephely, amelyeken bizonyos fajta, tetszés szerint osztható termékből

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 9. előadás: Paraméteres iterációk, relaxációs módszerek Lócsi Levente ELTE IK Tartalomjegyzék 1 A Richardson-iteráció 2 Relaxált Jacobi-iteráció 3 Relaxált Gauss Seidel-iteráció

Részletesebben

HORNUNG TAMÁS * Diszkrét egyenletes közelítés: a lineáris programozás egy alkalmazása

HORNUNG TAMÁS * Diszkrét egyenletes közelítés: a lineáris programozás egy alkalmazása Bevezetés HORNUNG TAMÁS * Diszkrét egyenletes közelítés: a lineáris programozás egy alkalmazása Discrete smooth approximation: an application of linear programming The best discrete approximation can be

Részletesebben

Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZÁS

Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZÁS OPERÁCIÓKUTATÁS No.2. Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Budapest 2005 Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Javított kiadás OPERÁCIÓKUTATÁS No.2 Megjelenik az FKFP 0231 Program támogatásával a Budapesti Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Gauss elimináció, LU felbontás

Gauss elimináció, LU felbontás Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

szantai Az operációkutatás matematikai módszerei

szantai Az operációkutatás matematikai módszerei http://wwwmathbmehu/ szantai Az operációkutatás matematikai módszerei Bővített óravázlat Összeállította: Szántai Tamás Budapest 1999 A bővített óravázlatot Prékopa Andrásnak a Bolyai János Matematikai

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

Hiperbolikus programozás Elmélet, módszerek, alkalmazások, szoftver

Hiperbolikus programozás Elmélet, módszerek, alkalmazások, szoftver Dr.Bajalinov Erik Debreceni Egyetem Informatikai Kara Bajalinov@Inf.UniDeb.Hu Hiperbolikus programozás Elmélet, módszerek, alkalmazások, szoftver mobidiák könyvtár Tartalomjegyzék I. Bevezetés a hiperbolikus

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek

Részletesebben

Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben

Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben Szakdolgozat Készítette: Borostyán Dóra Matematika BSc matematikai elemző Témavezető:

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Lineáris egyenletrendszerek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. Leontieff-modellek Leontieff-modellek: input-output modellek gzdság leírásár legyen n féle, egymássl összefüggésben

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

A lineáris optimalizálás rugalmas indexválasztási szabályainak elméletéről és gyarkorlatáról

A lineáris optimalizálás rugalmas indexválasztási szabályainak elméletéről és gyarkorlatáról A lineáris optimalizálás rugalmas indexválasztási szabályainak elméletéről és gyarkorlatáról Nagy Adrienn A doktori disszertáció tézisei Témavezető: Illés Tibor Egyetemi Docens, PhD Témavezető: Kovács

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 ) Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG

ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG MÁTRIX DEFINITSÉGÉNEK FOGALMA ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG ELDÖNTÉSÉRE DR. NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott kutató munka a TÁMOP-..1.B-10//KONV-010-0001

Részletesebben

Jelen jegyzet a József Attila Tudományegyetem programozó matematikus és. A feldolgozott anyag bevezető jellegű. Néhány karakterisztikus, ma már

Jelen jegyzet a József Attila Tudományegyetem programozó matematikus és. A feldolgozott anyag bevezető jellegű. Néhány karakterisztikus, ma már Előszó Jelen jegyzet a József Attila Tudományegyetem programozó matematikus és közgazdasági programozó hallgatói számára készült, akik második félévtől hallgatnak operációkutatást. A feldolgozott anyag

Részletesebben

Programozási módszertan. Mohó algoritmusok

Programozási módszertan. Mohó algoritmusok PM-08 p. 1/17 Programozási módszertan Mohó algoritmusok Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu PM-08 p. 2/17 Bevezetés Dinamikus programozás

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai

Bázistranszformáció és alkalmazásai Bázistranszformáció és alkalmazásai Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Elmélet Gyakorlati végrehajtás 2 Vektor bevitele a bázisba Rangszámítás Lineáris egyenletrendszer

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal fejezet Mátrixok Az előző fejezetben a mátrixokat csak egyszerű jelölésnek tekintettük, mely az egyenletrendszer együtthatóinak tárolására, és az egyenletrendszer megoldása közbeni számítások egyszerüsítésére

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;...

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... Egész számok természetes számok ( ) pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... 0 negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... egész számok ( ) 1. Írd a következõ számokat a halmazábra megfelelõ helyére! 3; 7; +6 ; (

Részletesebben

Ütemezési feladatok. Az ütemezési feladatok vizsgálata az 50-es évek elején kezdődött, majd

Ütemezési feladatok. Az ütemezési feladatok vizsgálata az 50-es évek elején kezdődött, majd 1 Ütemezési feladatok Az ütemezési feladatok vizsgálata az 50-es évek elején kezdődött, majd tekintettel a feladat gyakorlati fontosságára sok különböző modell tanulmányozására került sor, és a témakör

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

HORVÁTH ZSÓFIA 1. Beadandó feladat (HOZSAAI.ELTE) ápr 7. 8-as csoport

HORVÁTH ZSÓFIA 1. Beadandó feladat (HOZSAAI.ELTE) ápr 7. 8-as csoport 10-es Keressünk egy egész számokat tartalmazó négyzetes mátrixban olyan oszlopot, ahol a főátló alatti elemek mind nullák! Megolda si terv: Specifika cio : A = (mat: Z n m,ind: N, l: L) Ef =(mat = mat`)

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

Dinamikus programozás - Szerelőszalag ütemezése

Dinamikus programozás - Szerelőszalag ütemezése Dinamikus programozás - Szerelőszalag ütemezése A dinamikus programozás minden egyes részfeladatot és annak minden részfeladatát pontosan egyszer oldja meg, az eredményt egy táblázatban tárolja, és ezáltal

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó

Részletesebben

A DÖNTÉSELMÉLET ELEMEI

A DÖNTÉSELMÉLET ELEMEI A DÖNTÉSELMÉLET ELEMEI Irodalom: Temesi J., A döntéselmélet alapjai, Aula, 2002, Budapest Lawrence, J.A., Pasternack, B.A., Applied management science, John Wiley & Sons Inc. 2002 Stevenson, W. J., Operation

Részletesebben

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér fogalma A fejezetben a gyakorlati alkalmazásokban használt legfontosabb fogalmakat, összefüggéseket tárgyaljuk. Adott egy L halmaz, amiben azonos

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény

Részletesebben

Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására

Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására Bevezetés: Tekintsük az alábbi -es mátrixot: A. Szorozzuk meg ezt jobbról egy alkalmas méretű (azaz -es) oszlopvektorral, amely az R tér kanonikus bázisának

Részletesebben

Kiegészítő részelőadás 1. Az algoritmusok hatékonyságának mérése

Kiegészítő részelőadás 1. Az algoritmusok hatékonyságának mérése Kiegészítő részelőadás 1. Az algoritmusok hatékonyságának mérése Dr. Kallós Gábor 2014 2015 1 Az Ordó jelölés Azt mondjuk, hogy az f(n) függvény eleme az Ordó(g(n)) halmaznak, ha van olyan c konstans (c

Részletesebben

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0 Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon

Részletesebben

1. Optimumszámítási modellek

1. Optimumszámítási modellek Előszó Ez a kézirat a szerző az Eszterházy Károly Főiskolán tartott Operációkutatás című előadásai vázlatának félkész vázlatát tartalmazza. Juhász Tibor 1. Optimumszámítási modellek 1.1. Mintafeladatok

Részletesebben

Programozási segédlet

Programozási segédlet Programozási segédlet Programozási tételek Az alábbiakban leírtam néhány alap algoritmust, amit ismernie kell annak, aki programozásra adja a fejét. A lista korántsem teljes, ám ennyi elég kell legyen

Részletesebben

A lineáris programozás 1 A geometriai megoldás

A lineáris programozás 1 A geometriai megoldás A lineáris programozás A geometriai megoldás Készítette: Dr. Ábrahám István A döntési, gazdasági problémák optimalizálásának jelentős részét lineáris programozással oldjuk meg. A módszer lényege: Az adott

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

y + a y + b y = r(x),

y + a y + b y = r(x), Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

Ütemezési problémák. Kis Tamás 1. ELTE Problémamegoldó Szeminárium, ősz 1 MTA SZTAKI. valamint ELTE, Operációkutatási Tanszék

Ütemezési problémák. Kis Tamás 1. ELTE Problémamegoldó Szeminárium, ősz 1 MTA SZTAKI. valamint ELTE, Operációkutatási Tanszék Ütemezési problémák Kis Tamás 1 1 MTA SZTAKI valamint ELTE, Operációkutatási Tanszék ELTE Problémamegoldó Szeminárium, 2012. ősz Kivonat Alapfogalmak Mit is értünk ütemezésen? Gépütemezés 1 L max 1 rm

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

Jegyzet. Operációkutatás I cím tantárgyhoz január 26. Fábián Csaba el adásai alapján készítette Papp Olga

Jegyzet. Operációkutatás I cím tantárgyhoz január 26. Fábián Csaba el adásai alapján készítette Papp Olga Jegyzet Operációkutatás I cím tantárgyhoz Fábián Csaba el adásai alapján készítette Papp Olga 29 január 26 Tartalomjegyzék. Bevezetés 3 2. A szimplex módszer 5 2.. A szimplex módszer elméleti vs. gyakorlati

Részletesebben

OPERÁCIÓKUTATÁS. No. 2. Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZAS

OPERÁCIÓKUTATÁS. No. 2. Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZAS OPERÁCIÓKUTATÁS No. 2. Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZAS Budapest 2002 Komáromi Éva: LINEÁRIS PROGRAMOZÁS OPERÁCIÓKUTATÁS No.2 Megjelenik az FKFP 0231 Program támogatásával a Budapesti Közgazdaságtudományi

Részletesebben

26. MINIMÁLIS KÖLTSÉGŰ UTAK MINDEN CSÚCSPÁRRA

26. MINIMÁLIS KÖLTSÉGŰ UTAK MINDEN CSÚCSPÁRRA 26. MINIMÁLIS KÖLTSÉGŰ UTAK MINDEN CSÚCSPÁRRA Az előző két fejezetben tárgyalt feladat általánosításaként a gráfban található összes csúcspárra szeretnénk meghatározni a legkisebb költségű utat. A probléma

Részletesebben

Növényvédő szerek A 500 0 0 0 0 65000 B 0 0 50 500 500 60000 C 50 25 0 50 50 12000 D 0 25 5 50 0 6000

Növényvédő szerek A 500 0 0 0 0 65000 B 0 0 50 500 500 60000 C 50 25 0 50 50 12000 D 0 25 5 50 0 6000 A feladat megoldása során az Excel 2010 használata a javasolt. A feladat elvégzése során a következőket fogjuk gyakorolni: Termelési és optimalizálási feladatok megoldása. Mátrixműveletek alkalmazása.

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

4. Előadás. A legkisebb négyzetek problémája a következő optimalizálási alapfeladat: Minimalizáljuk

4. Előadás. A legkisebb négyzetek problémája a következő optimalizálási alapfeladat: Minimalizáljuk OPTIMALIZÁLÁSI ELJÁRÁSOK 4. Előadás Matematika MSc hallgatók számára Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Magyari Nikolett 2011. március 2. 1. A legkisebb négyzetek probléma A legkisebb négyzetek problémája

Részletesebben

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben