Az ellipszoid algoritmus
|
|
- Artúr Jónás
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Az ellipszoid algoritmus Csizmadia Zsolt Eötvös Loránd Tudományegyetem
2 Bevezető Az ellipszoid módszert a nemlineáris porgramozásra Shor [1970,0977] illetve Yudin és Nemirovskiî [1976] feljlesztették ki. Khachiyan [1979, 1980] megmutatta, hogy az algorimtus egy kiterjesztése a lineáris programozási feladatot polinom időben megoldja. Az ellipszoid algoritmusnak szerepe a kombinatorikus optimalizálásával, hogy segítségével jópár algoritmus polinomiális futásideje bizonyítható. Belátható, hogy valójában a poliéder teljes leírására nem is lesz szüksége az algoritmusnak, elegendő ha az úgynevezett szeparálást el tudjuk végezni: ha adott a P R n poliéder, illetve egy x vektor, akkor eldöntendő hogy x P teljesül-e, illetve ha nem, megadandó egy a P leírásában szereplő feltétel, melyet az x megsért. Vagyis a szeparálás elegendő az ellipszoid algoritmus futtatásához [2]. Gyakorlati szempontból az ellipszoid algoritmus nem hatékony. Az algoritmus numerikusan instabil, és a szükséges iterációk száma rendkívül nagy. A következőkben feltételezzük hogy pontosan tudunk számolni. A gyakorlatban ez a feltevés kiváltható, ha minden iterációban egy picit nagyobb epszilont tekintünk.
3 Az ellipszoid tulajdonság 1. Definíció. Legyen D R n n pozitív definit mátrix. Az ED, y) := {x R n : x y) T D 1 x y) 1} halmazt az y középpontú ellipszoidnak nevezzük. 2. Tulajdonság. Legyen adott egy ED, y) ellipszoid és valamely d R n vektor esetén tekintsük a H = ED, y) {x R n : d T x d T y} félellipszoidot. Ekkor azt mondjuk hogy teljesül az ellipszoid tulajdonság, ha E ellipszoid, melyre H E és vole ) vole) 1 e 2n+1) < 1 Vegyük észre, hogy 1 lim n e 2n+1) = 1
4 Az ellipszoid algoritmus Input: P < E 0 = ED 0, x 0 ) Begin t := 1, t := 2n + 1)log V log ν) While x t / P < ) Legyen i : a i)) T xt > b i d := a i), D := D t D t+1 := n2 n 2 1 x t+1 := x t 1 D 2 n+1 Dd n+1 dt Dd t := t + 1 If t t ) then STOP: P < üres Endif Endwhile x t belső pont End Dd)Dd) T d T Dd ) Tegyük fel, hogy teljesül az ellipszoid tulajdonság. Megmutatjuk, hogy ekkor az algoritmus véges.
5 Az ellipszoid tartalmazza a tartományt 3. Lemma. Tegyük fel hogy P < E 0, teljesül az ellipszoid tulajdonság, illetve hogy az algoritmus ˆt t iterációt végez. Ekkor P < E t bármely t := 0, 1,..., ˆt esetén. Bizonyítás. Teljes indukcióval bizonyítunk. t = 0 esete a lemma feltétele, tegyük fel hogy az állítást t = 0,..., k esetén már igazoltuk. Legyen i az algoritmus által a k-ik iterációban választott index, azaz a i))t x k > b i és d := a i). Ekkor P < E k {x R n : d T x d T x k } {x R n : d T x d T x k } így az ellipszoid tulajdonságot használva P < E k {x R n : d T x d T x k } = H k E k+1
6 Lépésszám 4. Tétel. Tegyük fel hogy P < E 0, teljesül az ellipszoid tulajdonság, adott a V, ν > 0 és legyen t := 2n + 1)log V log ν). Ekkor az ellipszoid algoritmus a P < feladatot legfeljebb t iterációban megoldja. Bizonyítás. Megmutatjuk, hogy ha x t / P < az összes t := 0, 1,..., t esetén akkor P < =. Kiszámítjuk az E t térfogatát. Mivel vole t+1 ) vole t ) e 1 2n+1) ezért vagyis vole t ) vole 0 ) = vole 1) vole 0 ) vole t ) vole t 1) e t 2n+1) vole t ) vole 0 )e t 2n+1)log V log ν) 2n+1) V e 2n+1) = V e log V ν = ν Azonban a feltevések szerint volp > ) > v, illeve a 3. lemma alapján P < E t vagyis volp < ) vole t ) = ν. Ellentmondás. A továbbiakban rátérünk az ellipszoid tulajdonság teljesülésének a bizonyítására.
7 Affin transzformációk 5. Definíció. Legyen A R n n, b R n és T A x) := Ax + b. Ekkor T A : R n R affin transzformáció. 6. Lemma. Ha L L R n akkor T A L) T A L ) R n 7. Lemma. Ha L R n L konvex, akkor volt A L)) = deta) voll). Bizonyítás. Analízisből volt. Ha másnem téglákra. De L konvex, tudod ilyenekkel közelíteni. 8. Lemma. Legyen E = ED, ỹ) ahol D = Q T Q. Legyen továbbá T x) = Q T ) 1 x Q T ) 1 ỹ egy affin traszformáció. Ekkor T E) = S n, ahol S n az n dimenziós egységgömb. Bizonyítás. T E) = { ξ : ξ = Q T ) 1 x ỹ), ahol x ỹ) T D 1 x ỹ) 1 } = { ξ : Q T ξ) T D 1 Q T ξ) 1 } = { ξ : ξ T QD 1 Q T ξ 1 } = { ξ : ξ T ξ 1 } = S n.
8 Rotációs lemma 9. Definíció. A T Q affin transzformációt rotációnak nevezzük, ha Q T Q = I. 10. Lemma. Legyen d R n \ {0} tetszőleges. Ekkor Q 2 R n n rotáció, hogy Q 2 d = d e 1. Bizonyítás. Vagyis minden vektor beforgatható akármilyen irányba. 11. Lemma. Legyen Q 1 R n n, d R n tetszőleges, Q T 1 Q 1 = D := D t, Q 2 rotáció melyre Q 2 Q 1 d = Q 1 d e 1 és Q = Q 2 Q 1. E t = D, x t ), D = D t ) Legyen továbbá T x) = Q T ) 1 x x t ) és ξ := T x) vagyis ξ = Q T ) 1 x Q T ) 1 xt. Ekkor 1. Qd = d T Qd 2. QD 1 Q T = I 3. Q T ) 1 D = Q 4. T E t ) = T ED, x t )) = { ξ : ξ T ξ 1 } 5. T { x : d T x d T x t }) = {ξ : ξ1 0} 6. T x t+1 ) = 1 7. T E t+1 ) = n+1 e 1 { ξ : ) ξ n+1 e1 n 2 n 2 1 I 2 n+1 e 1e T ) ) } 1 1 ξ e 1 ) n+1 1
9 Rotációs lemma bizonyítás Bizonyítás Qd = Q 2 Q 1 d = Q 2 Q 1 d) T Q 2 Q 1 d) = d T Q T 1 QT 2 Q 2Q 1 d = d T Dd QD 1 Q T = Q 2 Q 1 Q T 1 Q 1 ) 1 Q T 1 Q T 2 = I 3. Következik az előzőből. 4. = T E) = { } ξ : ξ = Q T ) 1 x ỹ), ahol x ỹ) T D 1 x ỹ) 1 { } { ) } ξ : Q T ξ) T D 1 Q T ξ) 1 = ξ : ξ T QD 1 Q T 2) { } ξ 1 = ξ : ξ T ξ 1 5. }) { } { } T {x : d T x d T x t = ξ : d T Q T ξ 0 = ξ : Q 2 Q 1 d) T ξ 0 { } = ξ : Q 1 d e T 1 ξ 0 = {ξ : ξ 1 0}
10 Rotációs lemma bizonyítás T x t+1 ) = T x t 1 n + 1 = ) Dd = d T Dd ) Q T 1 1 3) = 1 ) Q T 1 x t 1 ) Dd n + 1 d T Dd x t ) Dd = 1 Q T ) 1 Dd n + 1 d T Dd n + 1 d T Dd Qd n + 1 Qd = 1 Qd n + 1 Qd e 1 = 1 n + 1 e 1 7. Jelölje ξ t+1 := T x t+1 ), azaz x t+1 x t = Q T ξ t+1. Ekkor { } T E t+1 ) = ξ : Q T ξ = x x t, x x t+1 )Dt+1 1 x x t+1) 1 { } = ξ : Q T ξ ξ t+1 )) T Dt+1 1 QT ξ ξ t+1 )) 1 mivel Q T ξ = x x t és Q T ξ t+1 = x t+1 x t így és Q T ξ ξ t+1 ) = x x t x t+1 + x t = x x t+1 T E t+1 ) = {ξ : ξ ξ t+1 ) T QD 1 t+1 QT ξ ξ t+1 ) 1} így mivel QD 1 t+1 QT = Q T ) 1 D t+1 Q) 1 T E t+1 ) = {ξ : ξ ξ t+1 ) T Q T ) 1 D t+1 Q) 1 ξ ξ t+1 ) 1}
11 Felhasználva, hogy kapjuk, hogy Rotációs lemma bizonyítás... D t+1 = Q T ) 1 D t+1 Q 1 = Q T ) 1 n 2 = n2 n 2 1 3) = n2 n 2 1 = n2 n 2 1 n2 n 2 D t 2 D t d)d t d) T ) 1 n + 1 d T D t d D t 2 D t d)d t d) T ) n + 1 d T Q 1 D t d n 2 1 Q T ) 1 D t Q 1 2 I 2 n + 1 I 2 n + 1 e 1e T 1 Q T ) 1 D t d)d t d) T Q 1 ) n + 1 d T D t d Qd)Qd) T ) d T D t d ) Vagyis használva 6)-ot adódik hogy { T E t+1 ) = ξ : ξ e ) 1 n 2 n + 1 n 2 I 2 )) 1 1 n + 1 e 1e T 2 ξ e ) } 1 1 n + 1
12 12. Lemma. Legyen n 3. Ekkor teljesül az ellipszoid tulajdonság, vagyis 1. D t+1 P D 2. volet+1) vole t) e 1 2n+1) 3. H t = E t {x R n : d T x d T x t } E t+1 Bizonyítás. 1. Az előző lemma 7. pontja szerint D t+1 = Q T Q ahol = n2 diagonális mátrix ha n 3. n 2 1 x T D t+1 x = x T Q T Qx = x T Q T Qx = 1 2 Qx > 0 I 2 n+1 e 1e T 2 ) P D 2. vole t+1 ) vole t ) = volt E t+1)) volt E t )) n 2 4) = vol E 1, n+1 e )) 1 vol S n = n 2 det ) = det ) n 2 1 I 2 )) n + 1 e 1e T 1 ) n n 1 = n 2 1 n + 1 = n 2 = n 2 1 n 2 ) n 1 ) 2 n = n + 1 Felhasználva hogy 1 + α e α kapjuk, hogy ) n 1 n 2 n 1 n 2 1 n 2 1 n n 2 1 ) n n + 1 ) 2 vole t+1 ) vole t ) ) e 1 n 1 ) 2 n 2 1 e 1 n+1 = e 1 n+1 e 2 n+1 = e 1 2n+1)
13 Ellipszoid tulajdonság bizonyítás T E t+1 ) = E 1, n+1 e ) 1, ahol = n 2 n 2 1 I 2 n+1 e 1e T ) 2 és T Ht ) = { ξ : ξ T ξ 1 és ξ 1 0 }. { T E t+1 ) = ξ : ξ 1 ) T n + 1 e 1 1 ξ 1 ) } n + 1 e 1 1 ahol n+1) 2 n n = n Rn n n n 2 pozitív definit diagonális mátrix.
14 ξ 1 ) T n + 1 e 1 1 ξ 1 ) n + 1 e 1 = azaz Ha ξ T H t ) akkor n 2 1 n 2 T E t+1 ) = n i=1 Ellipszoid tulajdonság bizonyítás... { ξ : n2 1 n 2 n + 1)2 n 2 = n2 1 n 2 = n2 1 n 2 = n2 1 n 2 n i=1 ξ 1 1 ) 2 + n2 1 n + 1 n 2 n i=2 ξ 2 i + n ξi 2 + i=1 n i=1 n i=2 ξ 2 i n + 1)2 n 2 ξ1 2 2ξ 1n + 1) n + 1)2 1 n 2 + n 2 n + 1) 2 2n + 1) n 2 ξ1 2 2n + 1) n 2 ξ n 2 ξi n + 1) + n2 n 2 ξ 1 ξ 1 1) } ξi n + 1) + n2 n 2 ξ 1 ξ 1 1) 1 ξi n + 1) + n2 n 2 ξ 1 ξ 1 1) n2 1 n n + 1) + n2 n 2 ξ 1 ξ 1 1) = 1 + 2n + 1) n 2 ξ 1 ξ 1 1) Mivel 0 ξ 1 1, ezért ξ 1 ξ 1 1) 0 és így ξ 1 ξ 1 1) 0 azaz ξ T E t+1 ). Megmutattuk hogy T H t ) T E t+1 ), de T bijektív lévén készen vagyunk. A továbbiakban megmutatjuk hogyan lehet minden LP feladatot egy, az algoritmus feltételeinek megfelelő megengedettségi feladattá alakítani.
15 Becslés a determinánsra 13. Lemma. Legyen A R m n, I R m m, b R m, I egységmátrix. Legyen B R m m az A, I, b) részmátrixa. Ekkor detb) < 2 L /n ahol L = 1 + log 2 n + log 2 m + az adatok tárolási igénye. m i=1 j=1 n 1 + log a ij )) + m 1 + log b i )) j=1 Bizonyítás. detb) = 1) σπ) α 1π1)... α mπm) π S m ) α1π1) + + αnπn) π S m m i=1 j=1 m i=1 j=1 < 2L nm < 2L n m α ij + 1) n m a ij + 1) b i + 1) i=1
16 Bázismegoldások becslése 14. Lemma. Tekintsük az Ax b, x 0 megengedettségi feladatot, ahol A Z m n, b Z m. Ekkor bármely x bázis megoldása a megengedettségi feladatnak olyan, hogy x < 2 L. Bizonyítás. Ha x j 0 akkor a Cramer-szabály szerint x j = det B j det B < det B j < 2L n mivel det B > 0 vagyis det B 1 lévén egész, és így x < 2 L
17 Poliéder térfogatának becslése 15. Lemma. Legyen P = {x R m : Ax b, x 0}, ahol A Z m n, b Z m ahol intp ) 0. Ekkor volp ) 2 n+1)l. Bizonyítás. Legyen x intp, illetve ˆx P bázismegoldás. Ekkor ˆx j < 2L n illetve δ hogy B x, δ) P. Mivel P konvex, így tetszőleges x P esetén a convx, B x, δ)) kúp is P -ben van, így a P = {x R n : Ax b, x 0, x 2Ln } e 1) poliéder már korlátos és továbbra is van belső pontja. Mivel P korlátos, így előáll mint extremális pontjainak a konvex burka. Mivel P -nak belső pontja, így teljes dimenziós, ezért kiválasztható {v 0,..., v n } P extremális pontjai, melyek affin függetlenek, vagyis a v = conv{v 0,..., v n } P egy n dimenziós szimplex. Felhasználva hogy az n dimenziós egységszimplex térfogata n! 1 illetve a 7. lemmát adódik, hogy vol v ) = 1 [ n! det v 0 v 1... v n])
18 Bizonyítás... és felfújt poliéder Legyen v i = ui d i ahol u i Z n, d i Z és i {0,..., n} felhasználva, hogy a v i pontok egyben bázismegoldásai a P poliédernek, így a Cramer szabály miatt racionálisak. és egyben v i = ui d i < 2 L n, vagyis ha u i 0 akkor d i > n2 L. Amennyiben u i = 0 akkor d i választható ilyennek. Ezt felhasználva adódik, hogy vol v ) = 1 [ 1 do d n! det 1... d n d 0 d 1... d n u 0 u 1... u n]) Mivel v P ezért 1 2 n+1)l n n+1 n!d 0 d 1... d n n! 2 n+1)l vole 0 P ) vol P ) vol v ) 2 n+1)l A következőkben megkonstruálunk egy új poliédert az eredetiből, melynek már van belső pontja, de egy megengedett megoldásából meghatározható az erdeti egy megengedett megoldása. Legyen A Z m n és b Z m. P 1 := {x R n : Ax b} és P 2 := {x R n : 2 L a i) ) T x < 2 L b i + 1} 2) Az egyszerűbb jelölés kedvéért legyen Θ i x) := a i) ) T x b i minden i {1,..., m} esetén. Vagyis a i) ) T x b i Θ i x) 0.
19 Technikai segédlemma 16. Lemma. Legyen x 0 R n tetszőleges pont. Ekkor x R n : Θ i x) max{0, Θ i x 0 )} i és ha J := {i : Θ i x) 0} akkor a j) = i J λ i a i) minden j esetén megoldható. Bizonyítás. Feltehető, hogy {i : Θ i x 0 ) 0} = {1,..., k}. Az első feltételt teljesítő vektor mindenképpen van, lévén maha az x 0 ilyen. Tekintsük az {a 1),..., a k) } sorvektorokat, ) és tegyük fel hogy nem feszítik ki az A mátrix sorterét. Feltehető, hogy a k+1) / L {a 1),..., a k) }. A következő egyenletrendszer a i)) T y = 0 a k+1)) T y = 1 i = 1,..., k megoldható, legyen y 0 egy megoldás. Legyen { λ 0 := max λ : λ a k+1)) } T y0 + Θ i x 0 ) 0, i = k + 1,..., m
20 Technikai segédlemma bizonyítás... Mivel a k+1))t y 0 = 1 és Θ i x 0 ) < 0 i = k + 1,..., m ezért λ 0 a k+1) ) T y0 + Θ i x 0 ) 0 miatt λ 0 Θ k+1 x 0 ). Mivel Θ i x 0 ) < 0 ezért λ 0 > 0 és így 0 < λ 0 Θ k+1 x 0 ) adódik. Legyen és így x 1 = x 0 + λ 0 y 0 Θ i x 1 ) = Θ i x 0 ) + λ 0 a i) ) T y 0 = Θ i x 0 ) i = {1,..., k} és Θ i x 1 ) 0 i = k+1,..., m esetén. A λ 0 definíciója miatt viszont legalább egy esetben nulla a Θ i x 1 ) értéke az i {k + 1,..., m} halmazon, azaz J elemszámát növeltük legalább eggyel. Ha x 1 nem megfelelő, iteráljuk az eljárást.
21 A felfújt poliélder ekvivalenciája 17. Tétel. P 1 P 2. Továbbá bármely x P 2 vektorból polinom időben konstruálható y P 1 vektor. Bizonyítás. P 1 P 2 nyilvánvaló, azaz P 1 P 2. Tehát a megfordítását igazoljuk. Legyen x 0 P 2 és x 0 / P 1. Ekkor az x 0 -ból konstuálunk egy ˆx P 1 vektort. x 0 P 2 Θ i x 0 ) < 2 L i = 1,..., m Feltehető hogy Jx 0 ) = {i : Θ i x 0 ) 0} = {1,..., k} és így Θ i x 0 ) < 0 ha i = k + 1,..., m. Felhasználva az előző lemmát, legyen x olyan, hogy Θ i x) max0, Θ i x 0 )) és {a i) : i J x) = {i : Θ i x) 0}} kifeszíti az A mátrix sorterét. Keressük meg az {a i) : i J x)} vektorrendszer maximális független részét, legyen ez I. Ekkor a J x) definícója és a függetlenség miatt I m 1 n 1. Oldjuk meg az a i)) T x = bi i I 3) rendszert. Megmutatjuk hogy a 3 rendszer bármely ˆx megoldása egyben a P 1 megoldása is. Legyen l {1,..., m}. Ekkor az a l) = λ i a i) i I rendszer megoldható az I konstrukciója miatt. Mivel az {a i) : i I} rendszer lineárisan független, így a megoldás egyértelmű. Legyen λ i = di d ahol d i, d Z. A d > 0 egy esetleges 1 -el való szorzás árán feltehető Cramer szabály: λ i racionális).
22 A felfújt poliélder ekvivalenciája bizonyítás... A korábbiak alapján d, d i < 2L n Így továbbá d a l)) ) T ˆx bl = d i a i)) T ˆx dbl = d i b i db l i I i I d i b i db l = i I i I = i I d i a i)) ) T x Θi x) d a l)) ) T x Θl x) d i a i)) T x d a l)) T x + dθ l x) d i Θ i x) i I } {{ } =0 Felhasználva, hogy i {1,..., m} esetén 0 Θ i x) 2 L dθ l x) i I d i Θ i x) d2 L i I d i Θ i x) < 2L n 2 L + i I d i Θ i x) < 1 n + i I 2 L n 2 L = 1 n + I n = I + 1 n n n = 1
23 A felfújt poliélder ekvivalenciája bizonyítás... Tehát i I d ib i db l < 1 egész, így szükségszerűen d a l)) ) T ˆx bl 0 azaz a l)) T ˆx bl Mivel ez tetszőleges l indexre teljesül, az állítást igazoltuk.
24 LPből megengedettségi feladat Hátra van még megmutatnunk, hogyan lehet egy LP feladatot megengedettségi feladattá alakítani. Megjegyzendő, hogy az ellipszoid algoritmus közvetlenül is módosítható olymódon, hogy lineáris célfügvény esetén közelítő megoldást keressen [1]. Tekintsük a szokásos primál-duál feladatpárt. min c T x Ax b x 0 max bt y P ) A T y c y 0 D) Az LP feladat megoldása ekvivalens a fenti feldatpár megoldásával, így a Ax b, x 0 A T y c T, y 0 optimalitási kritériumok 4) c T x b T y rendszerrel is. Legyen továbbá A Z m n, b Z m és c Z n. A fenti optimalitási kritériumok segítségével az LP feladat Āx b formára alakítható, és az Āx b + 2 L rendszerre pedig alkalmazható az ellipszoid módszer.
25 Lépésszám megint Összefoglalásúl készítsük el a kapott lépésszámbecslést a bizonyított alakra. Legyen tehát adott az LP feladat, és hozzuk egy megengedettségi feladat alakjára, így kapjuk a P 0 poliédert. Számítsuk ki a feladat leírásához szükséges bithosszt: m n m L 0 := 1 + log 2 n + log 2 m log a ij )) log b i )) i=1 j=1 Ezt a feladatot még korlátossá tesszük 1 és beágyazzuk hogy legyen belső pontja 2. Ez az előbbi esetben a jobboldal, míg utóbbi esetben a feltételi mátrix és a jobboldal esetén jelent egy 2 L0 -os többletvektort, illetve szorzást. Az így modosított feladat leírásához szükséges m n m ) L := 1 + log 2 n + log 2 m log a ij 2 L0 )) log b i + 2 L0 2 L0 )) L 2L 2 0 i=1 j=1 Ezen leírás segítségével a belső térfogat becslése: ν := 2 2n+1)L A kezdeti köré írt ellipszoid térfogatbecslése: velhasználva az extremális pontokra kapott x < 2 L becslést V c n 2 nl Illetve a teljes lépésszám: 2n + 1)log V log ν) = 2n + 1)log c n + nl + 2n + 1)L) j=1 j=1
26 Pontos és közelítő aritmetika
27 Köszönöm a figyelmet Hivatkozások [1] George L. Nemhauser, Larence A. Wolsey, Integer and Combinatorical Optimization, Wiley-Interscience, Jhon Wiley & Sons, Inc, 1998? [2] Manfred Padberg, Linear Optimization and Extensions, Springer
Totális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János
Totális Unimodularitás és LP dualitás Tapolcai János tapolcai@tmit.bme.hu 1 Optimalizálási feladat kezelése NP-nehéz Hatékony megoldás vélhetően nem létezik Jó esetben hatékony algoritmussal közelíteni
A szimplex algoritmus
A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 4. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor 2012. február 28. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét
Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 7. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát (vonat
Nemlineáris programozás: algoritmusok
Nemlineáris programozás: algoritmusok illes@math.elte.hu Operációkutatási Tanszék Budapest 2010. I. félév Feltétel nélküli optimalizálási feladat Feltétel nélküli optimalizálási feladat: Legyen adott az
Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
Lineáris programozás belsőpontos
Lineáris programozás belsőpontos módszerei illes@math.elte.hu Operációkutatási Tanszék Budapest 2007. február - április Speciális lineáris programozási feladat (példa) Legyen adott a következő lineáris
Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió
6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V
Norma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
4. Előadás: Erős dualitás
Optimalizálási eljárások/operációkutatás MSc hallgatók számára 4. Előadás: Erős dualitás Előadó: Hajnal Péter 2018. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét d
A lineáris programozás alapjai
A lineáris programozás alapjai A konvex analízis alapjai: konvexitás, konvex kombináció, hipersíkok, félterek, extrém pontok, Poliéderek, a Minkowski-Weyl tétel (a poliéderek reprezentációs tétele) Lineáris
Operációkutatás. Vaik Zsuzsanna. ajánlott jegyzet: Szilágyi Péter: Operációkutatás
Operációkutatás Vaik Zsuzsanna Vaik.Zsuzsanna@ymmfk.szie.hu ajánlott jegyzet: Szilágyi Péter: Operációkutatás Operációkutatás Követelmények: Aláírás feltétele: foglalkozásokon való részvétel + a félév
Opkut deníciók és tételek
Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét
15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
A szimplex tábla. p. 1
A szimplex tábla Végződtetés: optimalitás és nem korlátos megoldások A szimplex algoritmus lépései A degeneráció fogalma Komplexitás (elméleti és gyakorlati) A szimplex tábla Példák megoldása a szimplex
Optimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és
Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek
Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,
Lineáris algebra Gyakorló feladatok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések
Lineáris algebrai alapok
Lineáris algebrai alapok Will 2010 június 16 Vektorterek, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek A lineáris programozási feladat, szimplex algoritmus Vektorterek Jellemzés: Vektorok tulajdonságai Két vektor
9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2
Numerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 6. előadás: Vektor- és mátrixnormák Lócsi Levente ELTE IK 2013. október 14. Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák
11. Előadás. 1. Lineáris egyenlőség feltételek melletti minimalizálás
Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 11. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Hajnal Péter 2011. április 27. 1. Lineáris egyenlőség feltételek melletti minimalizálás Múlt héten nem szerepeltek
Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.
Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus
12. előadás. Egyenletrendszerek, mátrixok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor
12. előadás Egyenletrendszerek, mátrixok Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2015 2016 1 Tartalom Matematikai alapok Vektorok és mátrixok megadása Tömbkonstansok Lineáris műveletek Mátrixok szorzása
Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
LNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei
Legkisebb négyzetek módszere, folytonos eset Folytonos eset Legyen f C[a, b]és h(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) +... + a n φ n (x). Ekkor tehát az n 2 F (a 1,..., a n ) = f a i φ i = = b a i=1 f (x) 2
Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.
Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető
Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben
Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára Analízis R d -ben Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2012. február 8 1. Konvex függvények Definíció. f : D R konvex, ha dom(f) := D R n konvex és tetszőleges
1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
Boros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
Mátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
3. előadás Stabilitás
Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása
Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
Konjugált gradiens módszer
Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
Formális nyelvek - 9.
Formális nyelvek - 9. Csuhaj Varjú Erzsébet Algoritmusok és Alkalmazásaik Tanszék Informatikai Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem H-1117 Budapest Pázmány Péter sétány 1/c E-mail: csuhaj@inf.elte.hu 1 Véges
Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással
pontos dualitással Imre McMaster University Advanced Optimization Lab ELTE TTK Operációkutatási Tanszék Folytonos optimalizálás szeminárium 2004. július 6. 1 2 3 Kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek Primál
i=1 λ iv i = 0 előállítása, melynél valamelyik λ i
Az informatikus lineáris algebra dolgozat C részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok az állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat C részében kérdezhetünk. Azok érnek 6 pontot,
Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
10. előadás. Konvex halmazok
10. előadás Konvex halmazok Konvex halmazok Definíció: A K ponthalmaz konvex, ha bármely két pontjának összekötő szakaszát tartalmazza. Állítás: Konvex halmazok metszete konvex. Konvex halmazok uniója
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest
Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G)
Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) 2014. január 14. 1. Gyakorlat 1.1. Feladat. Adott K testre rendre K[x] és K(x) jelöli a K feletti polinomok és racionális törtfüggvények halmazát. Mutassuk meg, hogy
1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
Saj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
Haladó lineáris algebra
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc
1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér?
Az informatikus lineáris algebra dolgozat B részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok a definíciók és állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat B részében kérdezhetünk. A válaszoknál
Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
Vektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.
Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.
9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek
minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba
11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez
Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1
numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú
Nem-lineáris programozási feladatok
Nem-lineáris programozási feladatok S - lehetséges halmaz 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 1 Elég egyszerű példa: nemlineáris célfüggvény + lineáris feltételek Lehetséges halmaz x 1 *x 2 =6.75 Gradiens
1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere
X HOMOGÉN LINEÁRIS EGYENLET- RENDSZEREK 1 Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere Homogén lineáris egyenletrendszer definíciója már szerepelt Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk homogénnek,
3. el adás: Determinánsok
3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns
Numerikus matematika vizsga
1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos
A parciális törtekre bontás?
Miért működik A parciális törtekre bontás? Borbély Gábor 212 június 7 Tartalomjegyzék 1 Lineáris algebra formalizmus 2 2 A feladat kitűzése 3 3 A LER felépítése 5 4 A bizonyítás 6 1 Lineáris algebra formalizmus
1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI
/ Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI /. Legyen adott az alábbi LP-feladat: x + 4x + x 9 x + x x + x + x 6 x, x, x x + x +
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak
10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás:
Egészértékű lineáris programozás
p. Egészértékű lineáris programozás Integer Linear Programming (ILP) és Mixed Integer Linear Programming (MIP) nevezetes kombinatorikus optimizálási problémák megfogalmazása ILP formájában definíció, tulajdonságok,
Matematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
Bevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Differencia- és differenciálegy.-rsz. H607 2017-04-05
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
8. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, , oldal. 8. előadás Mátrix rangja, Homogén lineáris egyenletrendszer
8. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 51. 56., 70. 74. oldal. Gondolkodnivalók Elemi bázistranszformáció 1. Gondolkodnivaló Most ne vegyük figyelembe, hogy az elemi bázistranszformáció során ez
10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai
Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál
3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
Lineáris programozás. A mese
Lineáris programozás A mese Célok Geometriai szemlélet (nem lesz matek ) Gakorlati kérdések Már megint a szendvics Kétfajta szendvicset szeretnénk készíteni, sonkásat és szalámisat. Lehetőleg minél többet.
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E
Alap fatranszformátorok II
Alap fatranszformátorok II Vágvölgyi Sándor Fülöp Zoltán és Vágvölgyi Sándor [2, 3] közös eredményeit ismertetjük. Fogalmak, jelölések A Σ feletti alaptermek TA = (T Σ, Σ) Σ algebráját tekintjük. Minden
Lineáris algebra. =0 iє{1,,n}
Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai
9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35
9. Előadás (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték 2019. április 24. 1 / 35 Portfólió-analízis Tegyük fel, hogy egy bank 4 különböző eszközbe fektet be (réz, búza, arany és kakaó). Az ügyfeleinek ezen
összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:
814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha
A lineáris optimalizálás rugalmas indexválasztási szabályainak elméletéről és gyarkorlatáról
A lineáris optimalizálás rugalmas indexválasztási szabályainak elméletéről és gyarkorlatáról Nagy Adrienn A doktori disszertáció tézisei Témavezető: Illés Tibor Egyetemi Docens, PhD Témavezető: Kovács
Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek
1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.
A lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2018/
Operációkutatás I. 2018/2019-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c
Szemidenit optimalizálás és az S-lemma
Szemidenit optimalizálás és az S-lemma Pólik Imre SAS Institute, USA BME Optimalizálás szeminárium 2011. október 6. Outline 1 Egyenl tlenségrendszerek megoldhatósága 2 Az S-lemma 3 Szemidenit kapcsolatok
1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 14. Előadás
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 14. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Hajnal Péter 2012. Nem maradt rá idő 1. Feltétel nélküli optimalizálás 1.1. Az eljárások alapjai A feltétel nélküli
7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága
7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása
1. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: ; B = 8 7 2, 5 1. Számítsuk ki az A + B, A B, 3A, B mátrixokat!
. Mátrixok. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: [ ] [ ] π a A = ; B = 8 7, 5 x. 7, 5 ln y. Legyen 4 A = 4 ; B = 5 5 Számítsuk ki az A + B, A B, A, B mátrixokat!. Oldjuk
Gauss elimináció, LU felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek
Alapvető polinomalgoritmusok
Alapvető polinomalgoritmusok Maradékos osztás Euklideszi algoritmus Bővített euklideszi algoritmus Alkalmazás: Véges testek konstrukciója Irodalom: Iványi Antal: Informatikai algoritmusok II, 18. fejezet.
1. Bázistranszformáció
1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n
NUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK
NUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 014. január 19. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
A lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
f(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Gyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
Numerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 3. előadás: Mátrixok LU-felbontása Lócsi Levente ELTE IK 2013. szeptember 23. Tartalomjegyzék 1 Alsó háromszögmátrixok és Gauss-elimináció 2 Háromszögmátrixokról 3 LU-felbontás Gauss-eliminációval