Egészértékű lineáris programozás
|
|
- Zsigmond Szőke
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 p. Egészértékű lineáris programozás Integer Linear Programming (ILP) és Mixed Integer Linear Programming (MIP) nevezetes kombinatorikus optimizálási problémák megfogalmazása ILP formájában definíció, tulajdonságok, bonyolultság lineáris programok megoldására visszavezethető ILP-k általános ILP megoldási módszerek: Gomory-féle duál-frakcionális vágások módszere korlátozás és szétválasztás (branch-and-bound) korlátozás és vágás (branch-and-cut) Lagrange-i relaxáció
2 p. Irodalom Jordán, Recski, Szeszlér: Rendszeroptimalizálás, Typotex, Nemhauser, Wolsey: Integer Programming and Combinatorial Optimization, Wiley, New York, Schrijver: Theory of Integer and Linear Programming, Wiley, Chichester,1986.
3 p. Példa max x 1 + x 2 s.t. x 1 + 2x 2 4 5x 1 + x x 1 2x 2 7 x 1 0 x 2 0 x 1 Z x 2 Z
4 Példa (folyt.) p.
5 Alapfeladat: ILP ILP (Integer Linear Programming) = lineáris programozás egészértékű változókkal max s.t. c T x Ax b x Z n ahol x a változók n elemű oszlopvektora, amelyről megköveteljük, hogy minden eleme egészértékű A egy m n méretű mátrix c T egy n elemű sorvektor b egy m elemű oszlopvektor továbbá Dx = d alakú feltételek is megengedhetőek p.
6 p. Alapfeladat: MIP MIP (Mixed Integer Programming) = lineáris programozás egészértékű és valós változókkal max c 1 T x 1 + c 2 T x 2 s.t. A 1 x 1 + A 2 x 2 b x 1 Z n 1 x 2 R n 2 ahol x 1 egy n 1 elemű egészértékű, x 2 egy n 2 elemű valós oszlopvektor A 1 egy m n 1 méretű, és A 2 egy m n 2 mátrix c 1 T egy n 1 elemű, és c 2 T egy n 2 elemű sorvektor b egy m elemű oszlopvektor
7 p. Az utazó ügynök probléma Traveling SalesPerson (TSP) adott egy irányított, összefüggő gráf G(V,E), ahol V a pontok és E V V az élek halmaza egy költségfüggvény c : E Z +, amely minden élhez egy pozitív egész költséget rendel keressük a gráf legrövidebb Hamilton-körét (c szerint) Hamilton-kör: a gráf minden pontján pontosan egyszer megy át minden pont be-foka 1 minden pont ki-foka 1 a pontok minden S V részhalmazának ki-foka legalább 1
8 p. Az utazó ügynök probléma (folyt.) jelölje x ij változó, hogy egy (i,j) E él benne van-e a Hamilton-körben min c ij x ij s.t. (i,j) E j:(j,i) E j:(i,j) E i S,j V \S x ji = 1 i V (be-fok) x ij = 1 i V (ki-fok) x ij 1 S V (részhalmazok foka) 0 x ij 1,x ij Z (i,j) E
9 p. Az utazó ügynök probléma (folyt.) probléma: exponenciális számú feltétel a TSP felírható polinom méretű ILP-ként is (Miller-Tucker-Zemlin, 1960) legyen n = V és induljunk tetszőleges v 0 -ból vezessünk be egy új változót z i : a i V pont a Hamilton-kör éppen z i -edik állomása legyen z v0 = 1
10 p. 1 Az utazó ügynök probléma (folyt.) (i,j) él benne van a Hamilton-körben z j = z i +1 ha i,j v 0 (i,j) él nincs benne a Hamilton-körben z i z j n 1 z i z j + nx ij n 1 minden v 0 -ra nem illeszkedő élre igaz
11 p. 1 Az utazó ügynök probléma (folyt.) min s.t. c ij x ij (i,j) E) j:(j,i) E j:(i,j) E (1) x ji = 1 i V (2) x ij = 1 i V (3) z i z j + nx ij n 1 (i,j) E : i,j v 0 (4) x ij {0, 1} (i,j) E (5) 2 z i n i V \ v 0 (6) z v0 = 1 (7)
12 Az utazó ügynök probléma (folyt.) Tétel: x,z megoldja (1) (7) ILP-t, akkor és csak akkor, ha x éppen megoldja a TSP-t Biz.: (2), (3) és (5) miatt a {(i,j) E : x ij = 1} élek halmaza mindig diszjunkt körök halmazát adja G-ben elég belátni, hogy (4) szerint csak egy kör van, a Hamilton-kör tegyük fel, hogy nem: létezik egy K kör (pontjait jelölje V K és éleit E K ), úgy, hogy v 0 / V K és (i,j) E K : x ij = 1, és legyen u : z u = maxz i K utolsó pontja i V K v : z v = min i V K z i K első pontja ekkor (4) miatt z v z u + 1 ellentmondás p. 1
13 p. 1 3-kielégíthetőség Boolean 3-satisfiability (3-SAT) létezik-e A, B, C és D logikai változó, hogy (A VAGY B VAGY C) ÉS (A VAGY C VAGY D) = IGAZ például C = IGAZ helyes választás
14 p. 1 3-kielégíthetőség (folyt.) 3-SAT: megválasztható-e X i : i {1,...,k} logikai változó úgy, hogy kielégítse az alábbi, konjunktív normálformában adott logikai függvényt: f(x 1,X 2,...,X k ) = d ) (( )X i1 ( )X i2 ( )X i3 i=1 = IGAZ matematikai logika: : logikai ÉS művelet : a logikai VAGY művelet ( )X ij az i j -edik változó vagy a negáltja X ij
15 3-kielégíthetőség (folyt.) X i -khez rendeljünk z i bináris változókat: z i {0, 1} konvertáljuk az elemi diszjunkciókat: ha mindhárom változó negálatlan (X i1 X i2 X i3 ): z i1 + z i2 + z i3 1 (8) ha az egyik változó negált (X i1 X i2 X i3 ): z i1 + (1 z i2 ) + z i3 1 (9) ha két változó negált ( X i1 X i2 X i3 ): (1 z i1 ) + (1 z i2 ) + z i3 1 (10) ha mindhárom változó negált ( X i1 X i2 X i3 ): (1 z i1 ) + (1 z i2 ) + (1 z i3 ) 1 (11) p. 1
16 p. 1 3-kielégíthetőség (folyt.) tehát X ij helyére rendre z ij -t írunk és X ij helyére pedig (1 z ij )-t az f(.) logikai függvénnyel adott 3-kielégíthetőség probléma ILP formájában: max s.t. k i=1 z i z i kielégíti a (8) (11) feltételeket z i {0, 1} a célfüggvény tetszőleges, a 3-SAT problémát a feltételrendszer írja le
17 p. 1 Példa f(a,b,c,d) =(A VAGY B VAGY C) ÉS (A VAGY C VAGY D) max z A + z B + z C + z D s.t. z A + (1 z B ) + z C 1 (1 z A ) + z C + (1 z D ) 1 z A,z B,z C,z D {0, 1}
18 p. 1 3-kielégíthetőség (folyt.) Tétel: az f(.) logikai függvénnyel adott 3-kielégíthetőség probléma akkor és csak akkor oldható meg, ha a megfelelő ILP megoldható Biz.: legyen X i = IGAZ z i = 1 ekkor f(.) igaz minden elemi diszjunkció (( )X i1 ( )X i2 ( )X i3 ) igaz minden (8) (11) feltétel teljesül az ILP megoldható
19 p. 1 Az ILP feladat bonyolultsága két nevezetes NP-teljes problémát ILP megoldására vezettük vissza vajon az ILP feladat is NP-teljes? eldöntendő kérdés: ILP: Van-e az S := {x : Ax b,x Z n } halmaznak olyan x eleme, amelyre teljesül c T x t? tegyük fel, hogy erre a kérdésre polinom időben meg tudjuk adni a választ ekkor tudjuk a max{c T x : Ax b,x Z n } feladatra is a választ polinom időben (bináris kereséssel)
20 p. 2 Az ILP feladat bonyolultsága (folyt.) Tétel: az ILP probléma NP-teljes Biz.: NP-beli, mert egy megfelelő x vektor polinom méretű és polinom időben ellenőrizhető tanú NP-nehéz, mert visszavezethető rá a TSP probléma: TSP: Van-e egy gráfban t-nél kisebb költségű Hamilton-kör? vagy a 3-kielégíthetőség probléma ILP NP-beli és NP-nehéz, ezért NP-teljes
21 p. 2 ILP visszavezetése lineáris programra adott egy ILP és ennek LP relaxációja kérdés: max{c T x : Ax b,x Z n } max{c T x : Ax b,x R n } max ILP? = max LP ilyenkor az ILP polinom időben megoldható
22 p. 2 Totálisan unimoduláris mátrixok Def.: egy mátrix totálisan unimoduláris (TU), ha minden négyzetes részmátrixának aldeterminánsa 0, 1 vagy 1 természetesen, egy TU mátrix minden eleme 0, 1 vagy TU [ ] nem TU, pedig minden elem 0, 1 vagy 1
23 p. 2 ILP-k TU feltételrendszerrel Tétel: legyen A egy TU mátrix, b egy egészértékű és c valós értékű vektor és tegyük fel, hogy a max{c T x : Ax b} (LP) lineáris program megoldható, és maximuma véges. Ekkor a max{c T x : Ax b,x Z n } (ILP) is megoldható, és maximuma megegyezik az LP maximumával. Biz.: belátjuk, hogy LP minden bázis megoldása egészértékű minden x B bázis megoldás felírható A egy megfelelő B bázisával Bx B = b mivel B bázis nemszinguláris és TU és b egész, a Cramer-szabályból az állítás már következik
24 Emlékeztető: a bázismegoldások adott max{c T x : Ax = b,x 0} lineáris program, ahol A mátrix mérete m n és sorai lineárisan függetlenek legyen B az A mátrix egy m m méretű nemszinguláris részmátrixa (bázis) a változók sorrendjének felcserélésével: A = [B N], x T = [x T B xt N ], ct = [c T B ct N ] max s.t. c T B B 1 b + (c T N ct B B 1 N)x N x B + B 1 Nx N = B 1 b x B 0,x N 0 és a bázison kívüli változókra x N = 0 ezért a B bázishoz tartozó bázismegoldás x B = B 1 b és a célfüggvény értéke c T B B 1 b p. 2
25 p. 2 Emlékeztető: Cramer szabály Cramer szabály: adott egy inhomogén lineáris egyenletrendszer nemszinguláris, kvadratikus együtthatómátrixszal Bx = b ekkor a megoldás létezik és egyértelmű (x = B 1 b), és i-edik koordinátája egyszerűen számítható x i = det(b i) det(b) ahol B i -t úgy kapjuk, hogy az B mátrix i-edik oszlopát lecseréljük b-re.
26 p. 2 ILP-k TU feltételrendszerrel (folyt.) min s.t. [ ] x x = x opt = [ ] x
27 p. 2 ILP-k TU feltételrendszerrel (folyt.) min s.t. [ ] x x = x opt = [ ] x
28 p. 2 ILP-k TU feltételrendszerrel (folyt.) min s.t. [ ] x x = x opt = [ ] x
29 p. 2 ILP-k TU feltételrendszerrel (folyt.) Következmény: ha max{c T x : Ax b,x Z n } ILP-ben A mátrix TU és b egészértékű, akkor az ILP polinom időben megoldható az LP relaxáció megoldásával néhány nevezetes problémáról tudjuk, hogy a feltételrendszere TU mátrixot ad: legrövidebb út minimális költségű folyam maximális folyam maximális súlyú párosítás páros gráfokban másrészt, egy mátrixról polinom időben eldönthető, hogy totálisan unimoduláris-e
30 p. 3 TU mátrixok transzformációi Tétel: egy TU A mátrix TU marad, ha a.) transzponáljuk b.) egy sorát (oszlopát) 1-gyel szorozzuk c.) hozzáadunk egy egységvektort új sorként (oszlopként) d.) egyik sorát (oszlopát) új sorként (oszlopként) hozzáadjuk
31 TU mátrixok transzformációi (folyt.) Biz.: csak a változás által érintett részmátrixok determinánsa változik a.) a determináns transzponálásra invariáns b.) a determináns 1-szeresére változik, ha a mátrix egy sorát (oszlopát) 1-gyel szorozzuk c.) adjunk a mátrixhoz egységvektort, és tekintsük az új sort (oszlopot) tartalmazó részmátrixokat ha az új sorban (oszlopban) benne van az 1-es, akkor fejtsük ki a determinánst ettől az elemtől ha nincs, akkor a determináns 0 (van csupa 0 sor vagy oszlop) d.) ha a megduplázott sor (oszlop) már egyszer benne volt a részmátrixban, akkor a determináns 0, egyébként a részmátrix A sorainak (oszlopainak) permutációjával előáll, így determinánsa változatlan p. 3
32 p. 3 TU mátrixok transzformációi (folyt.) Következmény: ha A TU, akkor [A,I] és [ A I ] is TU ha A TU és b egészértékű és c valós, akkor max{c T x : Ax b} max{c T x : Ax = b,x 0} (standard alak) (kanonikus alak) összes bázis megoldása egészértékű ha A TU és b és c egészértékű, akkor a max{c T x : Ax b} LP, továbbá a min{y T b : y T A = c,y 0} duális LP összes bázis megoldása egészértékű
33 p. 3 Legrövidebb út probléma adott G(V,E) irányított gráf és két pont s,d V,s d egy költségfüggvény c : E R +, amely minden élhez egy nemnegatív költséget rendel feladat: keressük a legrövidebb s d utat polinom időben megoldható (Dijkstra algoritmusa, Bellman-Ford algoritmusa, stb.) fogalmazzuk meg ILP formájában
34 p. 3 Példa Élek: l (i,j): 1 (1, 2), 2 (1, 3), 3 (3, 2), 4 (3, 4), 5 (2, 4) Élköltségek: c (1,2) = 4, c (1,3) = 1, c (3,2) = 2, c (3,4) = 7, c (2,4) = 3 és s = 1,d = 4
35 p. 3 Legrövidebb út probléma (folyt.) legrövidebb s d út minimális költségű 1-értékű folyam Def.: az f : E R függvény (hálózati) folyam, ha f(j,i) f(i,j) = 0 i V \ {s,d} j:(j,i) E j:(i,j) E f(i,j) 0 (i,j) E
36 p. 3 Legrövidebb út probléma (folyt.) min s.t. (i,j) E c ijx ij j:(j,i) E x ji j:(i,j) E x ij = x ij 0 x ij {0, 1} 0 ha i V \ {s,d} 1 ha i = s 1 ha i = d (i,j) E (i,j) E
37 p. 3 Legrövidebb út probléma (folyt.) min{c T x : Nx = e d e s,x {0, 1} m } N: illeszkedési mátrix (n m méretű, n = V, m = E ) (N) il = 1 ha l = (k,i) E valamely k V \ {i} pontra 1 ha l = (i,k) E valamely k V \ {i} pontra 0 egyébként x: folyamvektor (m elemű oszlopvektor), amelynek az l-edik koordinátája jelöli a folyamot az l-edik élen e i : (kanonikus) egységvektor (n elemű oszlopvektor), amelynek az i-edik eleme 1, a többi 0 c T : költségvektor (m elemű sorvektor), amelynek az l-edik koordinátája jelöli az l-edik él költségét
38 p. 3 Legrövidebb út probléma (folyt.) min s.t. [ ] x x = x {0, 1} m
39 Az illeszkedési mátrix Tétel: irányított gráf illeszkedési mátrixa totálisan unimoduláris Biz.: kiválasztjuk N egy k méretű kvadratikus M részmátrixát, és k-ra vonatkozó teljes indukcióval belátjuk, hogy det(m) = 0, 1 vagy 1 k = 1: M = 0, 1 vagy 1 k 2: ha M-nek van olyan oszlopa, amelyben csak egy nemnulla elem van, fejtsük ki det(m)-t ennél az elemnél; det(m) így már csak k 1 méretű részmátrixoktól függ, ezekre pedig teljesül a feltétel ha M minden oszlopa pontosan egy 1 és egy 1 elemet tartalmaz, akkor a sorok összege 0, így a determináns is 0 p. 3
40 p. 4 Legrövidebb út probléma (folyt.) az ILP formában megfogalmazott legrövidebb útvonal probléma min{c T x : Nx = e d e s,x {0, 1} m } helyett elég ennek LP relaxációját megoldani min{c T x : Nx = e d e s,x 0} mivel N TU, az összes bázis megoldás egészértékű
41 p. 4 Legrövidebb út probléma (folyt.) min s.t. [ ] x x = x 0 Bázis megoldások: x b1 = [ ], c T x b1 = 7 x b2 = [ ], c T x b2 = 6 x b3 = [ ], c T x b3 = 8
42 p. 4 Legrövidebb út probléma (folyt.) Primál: min{c T x : Nx = e d e s,x 0} Duál: max{π T (e d e s ) : π T N c T } = max π d π s s.t. π j π i c ij (i,j) E minden P = {(s,u 2 ), (u 2,u 3 ),...,(u k,v)}, s pontból d pontba vezető útvonalra igaz, hogy π v π s = (π u2 π s )+(π u3 π u2 )+...+(π v π uk ) c ij (i,j) P potenciál: π v a v pont lehetséges legnagyobb össztávolsága s-től a c ij élköltségek függvényében
43 Legrövidebb út probléma (folyt.) Tétel: legyen P = {(s,u 2 ), (u 2,u 3 ),...,(u k,v)} egy minimális költségű s d útvonal; ekkor a duál LP minden π optimális megoldására (i,j) P : π j π i = c ij Biz.: ha P minimális költségű útvonal, akkor létezik olyan optimális és megengedett x megoldása a primál LP-nak, melyre (i,j) P : x ij > 0 alkalmazva a komplementáris változókra vonatkozó szabályt ( complementary slackness ): x ij > 0 π j π i = c ij p. 4
44 p. 4 Emlékeztető Tétel: legyen P := max{c T x : Ax b,x 0} és D := min{y T b : y T A c T,y T 0} a duálisa, továbbá legyen ˆx optimális megoldása P -nek és ŷ T optimális megoldása D-nek. Ekkor: Aˆx b, ˆx 0 (primal feasibility) ŷ T A c T,ŷ T 0 (dual feasibility) ŷ T (b Aˆx) = 0 (complementary slackness 1) (ŷ T A c T )ˆx = 0 (complementary slackness 2) a complementary slackness szabály bővebben: ŷ i > 0 a iˆx = 0 ˆx j > 0 ŷ T a j = 0 a iˆx > 0 ŷ i = 0 ŷ T a j > 0 ˆx j = 0
45 p. 4 Maximális folyam probléma adott G(V, E) összefüggő, irányított gráf és két pont s,d V,s d egy kapacitásfüggvény u : E R +, amely minden élhez egy nemnegatív élkapacitást rendel feladat: keressük a maximális s d folyamot úgy, hogy az éleken a folyam az élkapacitás alatt marad polinom időben megoldható (Edmonds-Karp algoritmusa, Goldberg-Tarjan preflow-push algoritmusai, stb.) fontos tulajdonság: ha az élkapacitások egészértékűek, akkor mindig van egészértékű maximális folyam fogalmazzuk meg LP formájában
46 p. 4 Példa Élek: l (i,j): 1 (1, 2), 2 (1, 3), 3 (3, 2), 4 (3, 4), 5 (2, 4) Élkapacitások: u (1,2) = 2, u (1,3) = 5, u (3,2) = 2, u (3,4) = 1, u (2,4) = 7 és s = 1,d = 4
47 p. 4 Maximális folyam probléma (folyt.) s.t. max t j:(j,i) E x ji 0 ha i V \ {s,d} j:(i,j) E x ij = t ha i = s t ha i = d 0 x ij u ij (i,j) E vektoros formában: max t s.t. Nx t(e d e s ) = 0 0 x u
48 Példa (folyt.) max [ ] [ x t ] s.t [ x t ] = x 0 p. 4
49 p. 4 Maximális folyam probléma (folyt.) max{t : [N (e d e s )] [ ] x t = 0, 0 x u} = (12) = max{(x ) (d,s) : N x = 0, 0 x u } (13) vagyis (12) átírható egy G (V,E ) gráf felett megfogalmazott ekvivalens (13) formába, ahol G -t úgy kapjuk, hogy G-t kiegészítjük egy d-ből s-be mutató éllel, melynek a kapacitásértékét végtelenre állítjuk N az új éllel kiegészített G gráf illeszkedési mátrixa u az új éllel kiegészített G gráf élkapacitásvektora (13) célja olyan x kört találni G -ben, mely a (d,s) élre maximális értékű folyamot vezet
50 Példa (folyt.) p. 5
51 p. 5 Maximális folyam probléma (folyt.) slack változókat bevezetve max (x ) (d,s) s.t. N x = 0 x + y = u x 0,y 0 y: m méretű oszlopvektor, minden kapacitásfeltételhez max{(x ) (d,s) : [ ] [ ] N 0 x I I y = [ ] 0 u,x 0,y 0}
52 p. 5 Maximális folyam probléma (folyt.) Tétel: ha u egészértékű, akkor a maximális folyam probléma minden bázis megoldása egészértékű Biz.: N definíció szerint TU [ N I ] is TU [ N 0 I I ] is TU (lásd: TU mátrixok transzformációi) említettük, hogy ha az élkapacitások egészértékűek, mindig létezik egészértékű maximális folyam (Ford és Fulkerson) most kaptunk egy alternatív bizonyítást
53 p. 5 Példa (folyt.) s = 1,d = 4 Bázis megoldások: x b1 = [ ], t b1 = 2 x b2 = [ ], t b2 = 3 x b3 = [ ], t b3 = 0 x b4 = [ ], t b4 = 1 x b5 = [ ], t b5 = 3 x b6 = [ ], t b6 = 2 x b7 = [ ], t b7 = 5 x b8 = [ ], t b8 = 4
54 p. 5 Maximális folyam probléma (folyt.) Primál: max t (14) s.t. Nx + t(e d e s ) = 0 (15) x u (16) x 0 (17) π T : duális változó (15) feltételhez (n méretű sorvektor) w T : duális változó (16) feltételhez (m méretű sorvektor) Duál: min w T u (18) s.t. π T N + w T 0 (19) π T (e d e s ) = 1 (20) w T 0 (21)
55 p. 5 Maximális folyam probléma (folyt.) min (i,j) E w iju ij s.t. π j π i w ij (i,j) E π d π s = 1 w ij 0 (i,j) E hasonló a legrövidebb útvonal probléma duáljához π v ismét potenciált definiál de az élköltségek (w ij ) most részei a problémának mint duális változók
56 Maximális folyam probléma (folyt.) a G(V, E)-beli vágások összefüggésbe hozhatók (18) (21) megoldásaival legyen (S,V \ S) egy G-beli s d vágás és π v = { 0 ha v S 1 ha v V \ S w ij = { 1 ha i S és j V \ S 0 egyébként π T,w T kielégíti (19) (21) feltételeket, és a vágás kapacitása éppen w T u ha (S,V \ S) minimális vágás, akkor π T,w T optimális megoldás a maximális folyam értéke (vagyis (14) (17) maximuma) megegyezik a minimális vágás kapacitásával (vagyis (18) (21) minimumával) lásd: LP dualitás tétel p. 5
57 Példa (folyt.) Élek: l (i,j): 1 (1, 2), 2 (1, 3), 3 (3, 2), 4 (3, 4), 5 (2, 4) Élkapacitások: u (1,2) = 2, u (1,3) = 5, u (3,2) = 2, u (3,4) = 1, u (2,4) = 7 és s = 1,d = 4 S = {1, 3}, V \ S = {2, 4} p. 5
58 p. 5 Minimális költségű folyam probléma adott G(V, E) összefüggő, irányított gráf és két pont s,d V,s d egy költségfüggvény c : E R +, amely minden élhez egy nemnegatív költséget rendel egy kapacitásfüggvény u : E R +, amely minden élhez egy nemnegatív élkapacitást rendel t igény s és d pont között feladat: keressük azt a folyamot, mely s pontból d pontba t igényt a minimális költséggel vezeti el szintén polinom időben megoldható (network simplex, out-of-kilter, stb.) fogalmazzuk meg LP formájában
59 p. 5 Minimális költségű folyam (folyt.) min c T x s.t. Nx = t(e d e s ) 0 x u a feltételrendszer totálisan unimoduláris egészértékű élkapacitások és egészértékű igény esetén mindig van egészértékű minimális költségű folyam a minimális költségű folyam probléma megoldására a lineáris programozási módszer a gyakorlatban is versenyképes lásd: network simplex algoritmus
60 p. 6 ILP: mégegyszer ILP = lineáris programozás egészértékű változókkal max s.t. c T x Ax = b x 0 x Z n ahol A egy m n méretű mátrix c T egy n elemű sorvektor b egy m elemű oszlopvektor x egy n elemű oszlopvektor, amelyről megköveteljük, hogy minden eleme egészértékű és nemnegatív
61 p. 6 ILP-k megoldása az ILP visszavezetése LP-re csak bizonyos ILP-kre használható például ha a feltételrendszer totálisan unimoduláris ilyenkor polinom időben megvan a megoldás az ILP megoldása LP-k sorozataként minden ILP-re használható véges, de nem feltétlenül polinom idejű megoldás Cutting plane algoritmusok (Gomory-féle duál-frakcionális vágások módszere) korlátozás és szétválasztás (branch-and-bound) korlátozás és vágás (branch-and-cut) Lagrange-i relaxáció
62 p. 6 Cutting plane algoritmusok 0.) adott ILP: max{c T x : Ax = b,x 0,x Z n } 1.) oldjuk meg az LP relaxációt: max{c T x : Ax = b,x 0} 2.) ha a megoldás x 0 egészértékű, készen vagyunk 3.) ha nem, készítünk egy f T x g feltételt, amely az optimális megoldásra biztos teljesül: f T x opt g de x 0 pontot elvágja: f T x 0 > g 4.) hozzáadjuk az LP relaxációhoz f T x g feltételt és folytatjuk 1.) pontban
63 p. 6 Jelölések LP: max{c T x : Ax = b,x 0} legyenek A sorai lineárisan függetlenek és legyen B az A mátrix egy bázisa számozzuk át A oszlopait, továbbá x és c elemeit úgy, hogy A = [B N], x = [ x B xn ] és c T = [c T B c T N ] max c T B x B + c T N x N s.t. Bx B + Nx N = b x B, x N 0 max c T B B 1 b + (c T N ct B B 1 N)x N (22) s.t. x B + B 1 Nx N = B 1 b (23) x B,x N 0 (24)
64 Gomory-féle vágások legyen B a fenti LP relaxáció optimális megoldásához tartozó bázis ekkor x N = 0 és x B = B 1 b ha x B egészértékű, készen vagyunk ellenkező esetben x B = ˆb = B 1 b elemei között van törtértékű (frakcionális), például az i-edik felhasználva (23)-t x Bi + j J y ij x Nj = ˆb i (25) ahol x Bi az i-edik bázisbeli változó és y ij a B 1 N mátrix i-edik sorához és j-edik oszlopához tartozó eleme p. 6
65 p. 6 Gomory-féle vágások (folyt.) jelölje x az x alsó egészrészét ( 1.7 = 2!) bontsuk az együtthatókat (25)-ben egész és tört részeikre x Bi + j J ( y ij + (y ij y ij ))x Nj = ˆb i + (ˆb i ˆb i ) vigyünk mindent át a jobboldalra, amiről tudjuk, hogy egészértékű (y ij y ij )x Nj = (ˆb i ˆb i )+ j J + ( x Bi j J y ij x Nj + ˆb i ) = ˆb i ˆb i + k, k Z
66 p. 6 Gomory-féle vágások (folyt.) mivel y ij y ij 0 és x Nj 0, tudjuk, hogy j J (y ij y ij )x Nj 0 továbbá tudjuk, hogy 0 ˆb i ˆb i < 1 és (y ij y ij )x Nj = ˆb i ˆb i + k, k Z j J innen következik, hogy k 0, és ezért (y ij y ij )x Nj ˆb i ˆb i (26) j J Gomory-féle duális frakcionális vágás nemtriviális, ha ˆb i / Z
67 Gomory-féle vágások (folyt.) adjuk tehát hozzá az alábbi sort az LP relaxáció optimális szimplex táblájához (y ij y ij )x Nj s = ˆb i ˆb i, s 0 j J Tétel: az (26) szerint adott vágást az optimális táblához adva nem zárunk ki egészértékű elemet de kizártuk az aktuális optimális megoldást az új bázis a duál szimplex módszerrel optimalizálható a Gomory-féle vágásokat használó cutting plane algoritmus véges lépésben megadja az ILP optimális megoldását p. 6
68 p. 6 Példa max x 2 s.t. 3x 1 + 2x 2 6 3x 1 + 2x 2 0 x 1, x 2 0 x 1 Z x 2 Z
69 Példa (folyt.) p. 6
70 p. 7 Példa (folyt.) az ILP kanonikus alakban max x 2 s.t. 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 6 3x 1 + 2x 2 + x 4 = 0 x 1, x 2, x 3, x 4 0 x 1 Z x 2 Z x 3 Z x 4 Z
71 p. 7 Példa (folyt.) az LP relaxáció kanonikus alakban max x 2 s.t. 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 6 3x 1 + 2x 2 + x 4 = 0 x 1, x 2, x 3, x 4 0
72 p. 7 Emlékeztető: a szimplex tábla max s.t. z z + (c T B B 1 N c T N )x N = c T B B 1 b x B + B 1 Nx N = B 1 b x B 0,x N 0 z x B x N RHS z 1 0 c T B B 1 N c T N ct B B 1 b 0. sor x B 0 I B 1 N B 1 b 1-m sorok
73 p. 7 Emlékeztető: a szimplex tábla (folyt.) z x B1... x Bm x N1... x Nn m RHS z z N1... z Nn m ˆb0 x B y 1,1... y 1,n m ˆb x Bm y m,1... y m,n m ˆbm
74 p. 7 Emlékeztető: a szimplex tábla (folyt.) max ˆb0 j J z jx Nj x Bi = ˆb i j J y ijx Nj x Bi,x Nj 0 i {1,...,m} primál szimplex megengedett táblák: i : ˆb i 0 optimalitás: j J : z j 0 belép a bázisba: k = argmin (z j : j J) ) kilép a bázisból: r = argmin( ˆbi y ik,i : y ik > 0
75 p. 7 Emlékeztető: a szimplex tábla (folyt.) pivot az y rk elem mentén az r-edik sort elosztjuk y rk -val az r-edik sor kivételével az összes i sorthoz hozzáadjuk az r-edik sor y ik -szorosát a 0-dik sorhoz hozzáadjuk az r-edik sor z k -szorosát
76 p. 7 Példa (folyt.) x 1 x 2 x 3 x 4 RHS z x x bázis: x 3 = 6, x 4 = 0 nembázis : x 1 = x 2 = 0 célfüggvény: ˆb 0 = 0 belép a bázisba: x 2 kilép a bázisból: x 4
77 p. 7 Példa (folyt.) x 1 x 2 x 3 x 4 RHS z x x bázis: x 2 = 0, x 3 = 6 nembázis : x 1 = x 4 = 0 célfüggvény: ˆb 0 = 0 belép a bázisba: x 1 kilép a bázisból: x 3
78 p. 7 Példa (folyt.) x 1 x 2 x 3 x 4 RHS z x x bázis: x 1 = 1, x 2 = 3 2 nembázis : x 3 = x 4 = 0 célfüggvény: ˆb 0 = 3 2
79 Példa (folyt.) p. 7
80 p. 8 Példa (folyt.) az x 2 változó nem egészértékű x x x 4 = 3 2 készítsünk Gomory-féle vágást: (y ij y ij )x Nj ˆb i ˆb i j J 1 4 x x behelyettesítve x 1 és x 2 változókat: x 2 1 bevezetve az s 1 slack változót 1 x x 4 4 s 1 = 1, s 2 1 0
81 p. 8 Példa (folyt.) hozzáadjuk az új feltételt az LP relaxációhoz max x 2 s.t. 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 6 3x 1 + 2x 2 + x 4 = 0 1x 4 3 1x s 1 = 1 2 x 1, x 2, x 3, x 4, s 1 0 az eredeti változók (x 1, x 2 ) terében max x 2 s.t. 3x 1 + 2x 2 6 3x 1 + 2x 2 0 x 2 1 x 1, x 2 0
82 Példa (folyt.) p. 8
83 Példa (folyt.) x 1 x 2 x 3 x 4 s 1 RHS z x x s bázis: x 1 = 1, x 2 = 3, s 2 1 = 1 2 nembázis : x 3 = x 4 = 0 célfüggvény: ˆb 0 = 3 2 belép a bázisba: x 3 kilép a bázisból: s 1 p. 8
84 p. 8 Emlékeztető: a szimplex tábla (folyt.) max ˆb0 j J z jx Nj x Bi = ˆb i j J y ijx Nj x Bi,x Nj 0 i {1,...,m} duál szimplex megengedett táblák: j J : z j 0 optimalitás: i : ˆb i 0 ) kilép a bázisból: r = argmin(ˆbi : i {1,...,m} ( ) zj belép a bázisba: k = argmin y rj, j J : y rj < 0
85 p. 8 Példa (folyt.) x 1 x 2 x 3 x 4 s 1 RHS z x x x bázis: x 1 = 2 3, x 2 = 1, x 3 = 2 nembázis : x 4 = s 1 = 0 célfüggvény: ˆb 0 = 1
86 Példa (folyt.) p. 8
87 p. 8 Példa (folyt.) az x 1 változó nem egészértékű x x s 1 = 2 3 készítsünk Gomory-féle vágást 2 3 x s bevezetve az s 2 slack változót 2 3 x s 1 + s 2 = 2 3, s 2 0 behelyettesítve x 1 és x 2 változókat x 2 x 1
88 p. 8 Példa (folyt.) hozzáadjuk az új feltételt az LP relaxációhoz max x 2 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 6 3x 1 + 2x 2 + x 4 = 0 1x 4 3 1x s 1 = 1 2 2x 3 4 2s s 2 = 2 3 x 1, x 2, x 3, x 4, s 1, s 2 0
89 p. 8 Példa (folyt.) az eredeti változók (x 1, x 2 ) terében max x 2 s.t. 3x 1 + 2x 2 6 3x 1 + 2x 2 0 x 2 1 x 1 + x 2 0 x 1, x 2 0
90 Példa (folyt.) p. 9
91 p. 9 Példa (folyt.) x 1 x 2 x 3 x 4 s 1 s 2 RHS z x x x s
92 p. 9 Példa (folyt.) x 1 x 2 x 3 x 4 s 1 s 2 RHS z x x x x optimum: x 1 = x 2 = 1 két Gomory-féle vágás elég volt sajnos általában jóval több kell MIP-re is kiterjeszthető
93 p. 9 Korlátozás és szétválasztás branch-and-bound max s.t. c T x Ax b f x g x Z n ahol f és g egészértékű vektorok a megengedett megoldások halmaza S = {x : Ax b,f x g,x Z n } legyen z S = max{c T x : x S}
94 p. 9 Oszd meg és uralkodj! osszuk S-t diszjunkt alhalmazokra S 1 = {x : Ax b,f x h,x Z n } S 2 = {x : Ax b,h x g,x Z n } S = S 1 S2 és S 1 S2 = ekkor egyrészt z S = max(z S1,z S2 ) másrészt z S1 z S és z S2 z S
95 p. 9 Korlátozás és szétválasztás (folyt.) oldjuk meg az LP relaxációt: max{c T x : Ax b,f x g} ha az optimális megoldás egészértékű, kész Szétválasztás: osszuk fel S-t a fentiek szerint S 1 és S 2 diszjunkt halmazokra és oldjuk meg az LP relaxációt S 1 -en és S 2 -n is Korlátozás: ha valamelyik részprobléma megoldása egészértékű, jegyezzük meg, mert z S már nem lehet ennél kisebb folytassuk az S 1 és S 2 részhalmazaival rekurzívan ha valamelyik alhalmazon az LP relaxáció megoldása a korlátnál kisebb, akkor az alhalmazt már nem kell tovább szétválasztanunk és a rekurzió itt megáll
96 p. 9 Inicializálás legyen tehát a megoldandó ILP max{c T x : Ax b,f x g,x Z n } az algoritmus az ILP-k egy L listáján dolgozik, melybe az eredeti S halmaz alhalmazain megfogalmazott ILP-ket helyezi el ezenkívül számon tartja az az eddig talált legjobb, egészértékű x megoldást és a hozzá tartozó célfüggvényértéket: z = c T x 0. lépés: adjuk hozzá L-hez a megoldandó ILP-t, legyen z = és x nem definiált
97 p. 9 Relaxáció 1. lépés: ha L =, végeztünk ha nem, akkor válasszunk egy ILP-t L-ből és töröljük onnan oldjuk meg az LP relaxációt max{c T x : Ax b,f k x g k } ahol S k = {x : Ax b,f k x g k } a k-edik alhalmaz ha nincs megoldás, vissza az 1. lépésre ha van, legyen x k egy optimális megoldás és a hozzá tartozó célfüggvényérték z k = c T x k
98 p. 9 Korlátozás 2. lépés: három alesetet különböztetünk meg z k z : ilyenkor az S k alhalmamazon nem tudunk javítani az eddig talált optimumon; vissza az 1. lépésre, mert az összes további részfeladat optimuma is legfeljebb z k lehet ez a kulcslépés, hiszen így a keresési fa egy egész ágát lemetszettük, nincs szükség az összes alhalmaz bejárására z k > z és x k egészértékű: x k jobb megoldás, mint az eddig talált optimum, ezért eltároljuk: z = z k és x = x k z k > z de x k nem egészértékű: folytatjuk a 3. lépéssel
99 p. 9 Szétválasztás 3. lépés: S k halmazt két további alhalmazra osztjuk legyen x k i / Z egy nem egészértékű változó S k+1 = {x : Ax b,f k x g k,x i x k i } S k+2 = {x : Ax b,f k x g k,x i x k i + 1} és adjuk hozzá max{c T x : x S k+1 } és max{c T x : x S k+2 } ILP-ket L-hez folytassuk az 1. lépésnél
100 p. 10 Példa Z = max 21x x 2 s.t. 7x 1 + 4x 2 13 x 1, x 2 0 x 1, x 2 Z
101 Példa (folyt.) p. 10
102 p. 10 Példa (folyt.) 1. lépés Start? y 1. probléma x 1 0, x 2 0 Z = 39, x 1 = 13 7, x 2 = 0? y 2. probléma x 1 2, x 2 0 nincs megoldás 2. lépés x 1 2 szétválasztás x 1 -en 3. lépés x probléma 1 x 1 0, x 2 0 Z = , x 1 = 1, x 2 = 3 2
103 p. 10 Példa (folyt.) S 2 = {x : 7x 1 + 4x 2 13, x 1 2,x 2 0} = nincs megoldás S 2 -ben a rekurzió itt nem folytatódik 2. probléma x 1 2, x 2 0 nincs megoldás
104 p. 10 Példa (folyt.) 3. probléma 1 x 1 0, x 2 0 Z = , x 1 = 1, x 2 = 3 2
105 p. 10 Példa (folyt.) 3. probléma 1 x 1 0, x 2 0 Z = , x 1 = 1, x 2 = 3 2? y 5. probléma 1 x 1 0, x 2 2 Z = 37, x 1 = 5 7, x 2 = 2 5. lépés x 2 2 szétválasztás x 2 -n 4. lépés x probléma 1 x 1 0, 1 x 2 0 Z = 32, x 1 = 1, x 2 = 1
106 p. 10 Példa (folyt.) x 1 = x 2 = 1 egészértékű megoldás, pillanatnyilag a legjobb megjegyezzük 4. probléma 1 x 1 0, 1 x 2 0 Z = 32, x 1 = 1, x 2 = 1
107 p. 10 Példa (folyt.) 5. probléma? y 6. probléma 1 x 1 0, x 2 2 nincs megoldás 6. lépés x 1 1 szétválasztás x 1 -en 7. lépés x probléma 0 x 1 0, x 2 2 Z = , x 1 = 0, x 2 = 3 1 4? y 8. probléma 0 x 1 0, 3 x 2 2 Z = 33, x 1 = 0, x 2 = 3 8. lépés x 2 3 szétválasztás x 2 -n 9. lépés x probléma 0 x 1 0, x 2 4 nincs megoldás
108 p. 10 Példa (folyt.) x 1 = 0, x 2 = 3 egészértékű megoldás Z = 33 pillanatnyilag a legjobb, mert Z > Z megjegyezzük mivel a további keresés során nem találunk jobb megoldást, ez az optimum 8. probléma 0 x 1 0, 3 x 2 2 Z = 33, x 1 = 0, x 2 = 3
109 p. 10 Praktikus megfontolások a következő ILP kiválasztása L-ből LIFO: a legutoljára generált ILP-t oldjuk meg ekkor ugyanis a pillanatnyi bázismegoldás duál szimplex-szel tovább optimalizálható mélységi bejárás a keresési fán FIFO: szélességi bejárás melyik változónál alkalmazzunk szétválasztást? általában azt a változót érdemes választani, amely a legmesszebb van az egészértékűségtől ( maximum integer infeasibility ) vagy: felhasználó által megadott prioritások
110 p. 11 Korlátozás és vágás branch-and-cut az előző kettő kombinációja induljunk az LP relaxációból használjuk a Gomory-féle (vagy egyéb) módszert néhány gyors vágás elkészítésére, amelyek az LP nem egészértékű megoldásainak nagy részét hamar kiküszöbölik egy idő után az újabb vágások már csak egészen kis tartományokat metszenek el; ekkor térjünk át a korlátozás és szétválasztás módszerére a résztartományokon ismét készíthetünk új vágásokat előny: a korlátozás és szétválasztás fázisában jóval kisebb tartományon kell keresni
111 p. 11 Lagrange-i relaxáció Lagrangian relaxation dekompozíciós módszer: komplex problémák egyszerűbb részekre bontása Példa: Constrained Shortest Path Problem (CSPF) adva egy G(V,E) gráf, s,t V, és két élköltségfüggvény c : E R + : egységnyi folyam átvitelének ára az élen t : E R + : az él késleltetése keressük a legrövidebb P útvonalat s és d között melynek a késleltetése kisebb mint egy T korlát
112 p. 11 A CSPF probléma Z = min c ij x ij (i,j) E s.t. x ji j:(j,i) E (i,j) E t ij x ij T x ij {0, 1} j:(i,j) E x ij = 0 ha i V \ {s,d} 1 ha i = s 1 ha i = d komplikáló feltétel (i,j) E
113 p. 11 Példa (folyt.) s = 1, d = 4 és legyen T = 5 P 1 = (1 2 4): c P1 = 2, t P1 = 6 P 2 = ( ): c P2 = 6, t P2 = 4 P 3 = (1 3 4): c P3 = 7, t P3 = 5
114 p. 11 Lagrange-i relaxáció a CSPF probléma NP-teljes de a komplikáló feltétel nélkül legrövidebb út problémát kapunk az optimális útvonal mind c mind t szerint rövid keressünk egy olyan útvonalat, ami c-t és t-t is minimalizálja min (c ij + λt ij )x ij (i,j) E beépítjük a komplikáló feltételt a célfüggvénybe (egy λ értékkel megszorozva) ha eltaláljuk a megfelelő λ értéket, megvan a megoldás (a fenti példában válasszunk λ = 3-at)
115 p. 11 Lagrange-i relaxáció (folyt.) legyen P egy nehéz kombinatorikus optimalizálási probléma Z = min c T x s.t. Ax b Dx e x 0 és egészértékű feltételezzük, hogy X = {x : Dx e,x 0,x Z n } halmaz felett könnyű optimalizálni és Ax b komplikáló feltétel
116 p. 11 Lagrange-i relaxáció (folyt.) oldjuk meg inkább a Lagrange-i problémát ( Z(λ) = min c T x + λ(ax b) ) x X λ a Lagrange-i multiplikátorok vektora a komplikáló feltételt, beszorozva λ-val, felvittük a célfüggvénybe (dualizálás) Tétel: minden λ > 0-ra: Z(λ) Z Biz: legyen x optimális P -ben. Ekkor Z = c T x c T x + λ(ax b) (mert λ > 0 és x kielégíti a komplikáló feltételt: Ax b) és mivel x X, vagyis x megengedett megoldás a Lagrange-i problémában is, ezért : c T x + λ(ax b) Z(λ).
117 p. 11 A CSPF Lagrange-i relaxációja s.t. Z(λ) = min (c ij + λt ij )x ij λt = i,j) E = min i,j) E x ji x ij = j:(j,i) E j:(i,j) E c ij x ij + λ( t ij x ij T) i,j) E 0 ha i V \ {s,d} 1 ha i = s 1 ha i = d x ij {0, 1} (i,j) E
118 p. 11 Lagrange-i relaxáció (folyt.) a Lagrange-i problémát könnyű megoldani, és a megoldása alsó határa a bonyolult probléma optimumának remekül használható a korlátozás és szétválasztás módszerében, gyors és jó alsó határok előállítására minél nagyobb alsó határt találunk, annál jobb ehhez meg kell találni az optimális Lagrange-i multiplikátort szubgradiens módszer oldjuk meg a Lagrange-i problémát valamely kezdeti λ-ra, és legyen a megoldás x ha x megengedett P -ben és λ(ax b) = 0, készen vagyunk állítsunk λ-n és új iteráció
Totális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János
Totális Unimodularitás és LP dualitás Tapolcai János tapolcai@tmit.bme.hu 1 Optimalizálási feladat kezelése NP-nehéz Hatékony megoldás vélhetően nem létezik Jó esetben hatékony algoritmussal közelíteni
RészletesebbenA szimplex algoritmus
A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás
RészletesebbenA szimplex tábla. p. 1
A szimplex tábla Végződtetés: optimalitás és nem korlátos megoldások A szimplex algoritmus lépései A degeneráció fogalma Komplexitás (elméleti és gyakorlati) A szimplex tábla Példák megoldása a szimplex
RészletesebbenDualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 7. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát (vonat
Részletesebben11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba
11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez
RészletesebbenDiszkrét, egészértékű és 0/1 LP feladatok
Diszkrét, egészértékű és 0/1 LP feladatok In English Integer Programming - IP Zero/One (boolean) programming 2007.03.12 Dr. Bajalinov Erik, NyF MII 1 Diszkrét és egészértékű változókat tartalmazó feladatok
RészletesebbenOpkut deníciók és tételek
Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét
RészletesebbenA lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2018/
Operációkutatás I. 2018/2019-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c
RészletesebbenA lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c
RészletesebbenA lineáris programozás alapjai
A lineáris programozás alapjai A konvex analízis alapjai: konvexitás, konvex kombináció, hipersíkok, félterek, extrém pontok, Poliéderek, a Minkowski-Weyl tétel (a poliéderek reprezentációs tétele) Lineáris
RészletesebbenBranch-and-Bound. 1. Az egészértéketű programozás. a korlátozás és szétválasztás módszere Bevezető Definíció. 11.
11. gyakorlat Branch-and-Bound a korlátozás és szétválasztás módszere 1. Az egészértéketű programozás 1.1. Bevezető Bizonyos feladatok modellezése kapcsán előfordulhat olyan eset, hogy a megoldás során
Részletesebben2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 8. Előadás Bevezetés Egy olyan LP-t, amelyben mindegyik változó egészértékű, tiszta egészértékű
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenAlgoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 13.
Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 13. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
RészletesebbenAz ellipszoid algoritmus
Az ellipszoid algoritmus Csizmadia Zsolt Eötvös Loránd Tudományegyetem Bevezető Az ellipszoid módszert a nemlineáris porgramozásra Shor [1970,0977] illetve Yudin és Nemirovskiî [1976] feljlesztették ki.
RészletesebbenDeterminánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.
Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető
RészletesebbenAlgoritmusok bonyolultsága
Algoritmusok bonyolultsága 5. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm 1 / 27 Gazdaságos faváz Kruskal-algoritmus Joseph Kruskal (1928 2010) Legyen V = {v 1, v 2,..., v n }, E = {e 1, e 2,...,
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
Részletesebben1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI
/ Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI /. Legyen adott az alábbi LP-feladat: x + 4x + x 9 x + x x + x + x 6 x, x, x x + x +
RészletesebbenOperációkutatás. Vaik Zsuzsanna. ajánlott jegyzet: Szilágyi Péter: Operációkutatás
Operációkutatás Vaik Zsuzsanna Vaik.Zsuzsanna@ymmfk.szie.hu ajánlott jegyzet: Szilágyi Péter: Operációkutatás Operációkutatás Követelmények: Aláírás feltétele: foglalkozásokon való részvétel + a félév
Részletesebbenút hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.
1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost
RészletesebbenOptimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenAlkalmazott optimalizálás és játékelmélet Lineáris programozás Gyakorlófeladatok. Rétvári Gábor
Alkalmazott optimalizálás és játékelmélet Lineáris programozás Gyakorlófeladatok Rétvári Gábor retvari@tmit.bme.hu Feladatok Szöveges feladatok. Egy acélgyárban négyfajta zártszelvényt gyártanak: kis,
Részletesebben3. el adás: Determinánsok
3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns
RészletesebbenNem-lineáris programozási feladatok
Nem-lineáris programozási feladatok S - lehetséges halmaz 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 1 Elég egyszerű példa: nemlineáris célfüggvény + lineáris feltételek Lehetséges halmaz x 1 *x 2 =6.75 Gradiens
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenAlgoritmuselmélet 18. előadás
Algoritmuselmélet 18. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Május 7. ALGORITMUSELMÉLET 18. ELŐADÁS 1 Közelítő algoritmusok
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 7. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 2012. március 26. Ismétlés Tartalom 1 Ismétlés 2 Koordinátasor 3 Bázistranszformáció és alkalmazásai Vektorrendszer rangja Mátrix
RészletesebbenOperációkutatás. Vaik Zsuzsanna. Budapest október 10. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Operációkutatás Vaik Zsuzsanna Vaik.Zsuzsanna@ymmfk.szie.hu Budapest 200. október 10. Mit tanulunk ma? Szállítási feladat Megoldása Adott: Egy árucikk, T 1, T 2, T,..., T m termelőhely, melyekben rendre
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Determinánsok H406 2017-11-27 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenHaladó lineáris algebra
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc
RészletesebbenHadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.
Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus
Részletesebben10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak
10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás:
RészletesebbenLINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL
LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenTovábbi programozási esetek Hiperbolikus, kvadratikus, integer, bináris, többcélú programozás
További programozási esetek Hiperbolikus, kvadratikus, integer, bináris, többcélú programozás Készítette: Dr. Ábrahám István Hiperbolikus programozás Gazdasági problémák optimalizálásakor gyakori, hogy
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenÁltalános algoritmustervezési módszerek
Általános algoritmustervezési módszerek Ebben a részben arra mutatunk példát, hogy miként használhatóak olyan általános algoritmustervezési módszerek mint a dinamikus programozás és a korlátozás és szétválasztás
RészletesebbenKétfázisú szimplex algoritmus és speciális esetei
5. gyakorlat Kétfázisú szimplex algoritmus és speciális esetei. Emlékeztető Standard alak, áttérés Standard alak Minden feltétel et tartalmaz csak. A célfüggvényünket maximalizáljuk. A b vektor (jobb oldalon
Részletesebben1. ábra ábra
A kifejtési tétel A kifejtési tétel kimondásához először meg kell ismerkedni az előjeles aldetermináns fogalmával. Ha az n n-es A mátrix i-edik sorának és j-edik oszlopának kereszteződésében az elem áll,
RészletesebbenJegyzet. az Operációkutatás (elemz, programozó matematikus) tárgyhoz április. Fábián Csaba, Király Tamás, Papp Olga
Jegyzet az Operációkutatás (elemz, programozó matematikus) tárgyhoz Fábián Csaba, Király Tamás, Papp Olga 2015. április 1 Tartalomjegyzék 1. A lineáris programozási feladat 3 1.1. Bevezetés.......................................
Részletesebben1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI
/ Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex
Részletesebben5. Előadás. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 1 / 39
5. Előadás (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 1 / 39 AX = B (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 2 / 39 AX = B Probléma. Legyen A (m n)-es és B (m l)-es
RészletesebbenNorma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenNemlineáris programozás 2.
Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: 18.1-5,
RészletesebbenTovábbi forgalomirányítási és szervezési játékok. 1. Nematomi forgalomirányítási játék
További forgalomirányítási és szervezési játékok 1. Nematomi forgalomirányítási játék A forgalomirányítási játékban adott egy hálózat, ami egy irányított G = (V, E) gráf. A gráfban megengedjük, hogy két
RészletesebbenOperációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje
Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.
RészletesebbenAz optimális megoldást adó algoritmusok
Az optimális megoldást adó algoritmusok shop ütemezés esetén Ebben a fejezetben olyan modellekkel foglalkozunk, amelyekben a munkák több műveletből állnak. Speciálisan shop ütemezési problémákat vizsgálunk.
Részletesebben8. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, , oldal. 8. előadás Mátrix rangja, Homogén lineáris egyenletrendszer
8. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 51. 56., 70. 74. oldal. Gondolkodnivalók Elemi bázistranszformáció 1. Gondolkodnivaló Most ne vegyük figyelembe, hogy az elemi bázistranszformáció során ez
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenAdatszerkezetek 2. Dr. Iványi Péter
Adatszerkezetek 2. Dr. Iványi Péter 1 Fák Fákat akkor használunk, ha az adatok között valamilyen alá- és fölérendeltség van. Pl. könyvtárszerkezet gyökér (root) Nincsennek hurkok!!! 2 Bináris fák Azokat
RészletesebbenDiszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 4. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor 2012. február 28. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét
RészletesebbenLineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer
Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény
Részletesebben1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
Részletesebben1. Determinánsok. Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert:
1 Determinánsok 1 Bevezet definíció Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert: a 11 x 1 +a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2 Szorozzuk meg az első egyenletet
RészletesebbenPélda Hajtsuk végre az 1 pontból a Dijkstra algoritmust az alábbi gráfra. (A mátrixban a c i j érték az (i, j) él hossza, ha nincs él.
Legrövidebb utak súlyozott gráfokban A feladat egy súlyozott gráfban egy adott pontból kiinduló legrövidebb utak megkeresése. Az input a súlyozott gráf és a kiindulási s pont. Outputként egy legrövidebb
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenLineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest
Részletesebben12. előadás. Egyenletrendszerek, mátrixok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor
12. előadás Egyenletrendszerek, mátrixok Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2015 2016 1 Tartalom Matematikai alapok Vektorok és mátrixok megadása Tömbkonstansok Lineáris műveletek Mátrixok szorzása
RészletesebbenAlgoritmuselmélet 11. előadás
Algoritmuselmélet 11. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Március 26. ALGORITMUSELMÉLET 11. ELŐADÁS 1 Kruskal
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenLineáris algebra. (közgazdászoknak)
Lineáris algebra (közgazdászoknak) 10A103 FELADATOK A GYAKORLATRA (3.) 2018/2019. tavaszi félév Lineáris egyenletrendszerek 3.1. Feladat. Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszereket Gauss-eliminációval
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenAlgoritmuselmélet. Bonyolultságelmélet. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Bonyolultságelmélet Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 12. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
RészletesebbenBonyolultságelmélet. Monday 26 th September, 2016, 18:50
Bonyolultságelmélet Monday 26 th September, 2016, 18:50 A kiszámítás modelljei 2 De milyen architektúrán polinom? A kiszámításnak számos (matematikai) modellje létezik: Általános rekurzív függvények λ-kalkulus
Részletesebben3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek
3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1
RészletesebbenKiegészítés az Operációkutatás I. (elemz ) jegyzethez
Kiegészítés az Operációkutatás I. (elemz ) jegyzethez Frank András, Király Tamás, Papp Olga 213. december Tartalomjegyzék 1. Szimplex módszer 2 1.1. A szimplex módszer tulajdonságai..........................
RészletesebbenGráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 3. Előadás
Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 3. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Pék Máté 2009. szeptember 21. 1. Folyamok 1.1. Definíció. G = (V, E, K, B) irányított gráf, ha e! v : ekv
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I. éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak évi tanév I. félév
LINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak 2010-2011 évi tanév I félév Vektoriális szorzat és tulajdonságai bizonyítás nélkül: Vegyes szorzat és tulajdonságai
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 9. előadás: Paraméteres iterációk, relaxációs módszerek Lócsi Levente ELTE IK Tartalomjegyzék 1 A Richardson-iteráció 2 Relaxált Jacobi-iteráció 3 Relaxált Gauss Seidel-iteráció
RészletesebbenJegyzet. az Operációkutatás II cím tantárgyhoz. Utolsó frissítés: május 20. Király Tamás el adásai alapján készítette Papp Olga
Jegyzet az Operációkutatás II cím tantárgyhoz Király Tamás el adásai alapján készítette Papp Olga Utolsó frissítés: 2011. május 20. Tartalomjegyzék 1. TU mátrixok: kerekítés és színezés 3 1.1. Emlékeztet......................................
RészletesebbenMűveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz
2018/2019 ősz Elérhetőségek Előadó: (safaro@math.bme.hu) Fogadóóra: hétfő 9-10 (H épület 3. emelet 310-es ajtó) A pontos tárgykövetelmények a www.math.bme.hu/~safaro/kalkulus oldalon találhatóak. A mátrix
RészletesebbenLNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei
Legkisebb négyzetek módszere, folytonos eset Folytonos eset Legyen f C[a, b]és h(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) +... + a n φ n (x). Ekkor tehát az n 2 F (a 1,..., a n ) = f a i φ i = = b a i=1 f (x) 2
RészletesebbenKorlátozás és szétválasztás módszere Holló Csaba 2
Korlátozás és szétválasztás módszere Holló Csaba 2 A módszert Imreh Balázs, Imreh Csanád: Kombinatorikus optimalizálás Novadat, Győr, 25 egyetemi tankönyve alapján, kisebb változtatásokkal fogjuk bemutatni.
Részletesebben4. Előadás: Erős dualitás
Optimalizálási eljárások/operációkutatás MSc hallgatók számára 4. Előadás: Erős dualitás Előadó: Hajnal Péter 2018. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét d
Részletesebbeny = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax)
III Az exp (Ax mátrixfüggvény módszere Ha y = ay, y( = y, a = állandó y = y exp (ax d dx [exp (Ax] = Y = AY, Y ( = Y, Y (x = exp (AxY exp (Ax = I + n= A n x n (n! = A A n x n, n! ] A n x n I + = A exp
Részletesebben7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága
7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenAlgoritmusok bonyolultsága
Algoritmusok bonyolultsága 11. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm () 1 / 1 NP-telesség Egy L nyelv NP-teles, ha L NP és minden L NP-re L L. Egy Π döntési feladat NP-teles, ha Π NP és
Részletesebben11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal
11 DETERMINÁNSOK 111 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Bevezetés A közgazdaságtanban gyakoriak az olyan rendszerek melyek jellemzéséhez több adat szükséges Például egy k vállalatból álló csoport minden
Részletesebbenλx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények
RészletesebbenA következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.
Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ
RészletesebbenDualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport
Operációkutatás I. 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport Számítógépes Optimalizálás Tanszék 6. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát
RészletesebbenSzemidenit optimalizálás és az S-lemma
Szemidenit optimalizálás és az S-lemma Pólik Imre SAS Institute, USA BME Optimalizálás szeminárium 2011. október 6. Outline 1 Egyenl tlenségrendszerek megoldhatósága 2 Az S-lemma 3 Szemidenit kapcsolatok
RészletesebbenHORNUNG TAMÁS * Diszkrét egyenletes közelítés: a lineáris programozás egy alkalmazása
Bevezetés HORNUNG TAMÁS * Diszkrét egyenletes közelítés: a lineáris programozás egy alkalmazása Discrete smooth approximation: an application of linear programming The best discrete approximation can be
Részletesebben9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35
9. Előadás (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték 2019. április 24. 1 / 35 Portfólió-analízis Tegyük fel, hogy egy bank 4 különböző eszközbe fektet be (réz, búza, arany és kakaó). Az ügyfeleinek ezen
RészletesebbenAlkalmazott algebra. Lineáris leképezések EIC. Wettl Ferenc ALGEBRA TANSZÉK BMETE90MX57 (FELSŐBB MATEMATIKA INFORMATIKUSOKNAK )
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Alkalmazott algebra BMETE90MX57 (FELSŐBB MATEMATIKA INFORMATIKUSOKNAK ) Lineáris leképezések
RészletesebbenLineáris algebra Gyakorló feladatok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Differencia- és differenciálegy.-rsz. H607 2017-04-05
Részletesebben