HORNUNG TAMÁS * Diszkrét egyenletes közelítés: a lineáris programozás egy alkalmazása

Átírás

1 Bevezetés HORNUNG TAMÁS * Diszkrét egyenletes közelítés: a lineáris programozás egy alkalmazása Discrete smooth approximation: an application of linear programming The best discrete approximation can be written as a linear programming problem to minimize the (weighted maximum error between the original function and the linear combination of the basis function in a number of particular points. On this basis, we prove the discrete versions of both Chebishev s alternation theorem and Haar s uniqueness theorem of the best approximation if the basis functions are continuous and form Chebyshev system. We present an algorithm to find the best discrete approximation. Gyakorlati problémák vizsgálatánál előfordulhat, hogy egy egyváltozós valós függvény értékének mérésére az értelmezési tartomány diszkrét helyein, az alappontokban, több kísérletet végeznek, és a függvényértékeket a mérési eredmények számtani átlagával közelítik. Felmerülhet a kérdés, hogyan becsülhető a függvény bizonyos alapfüggvények lineáris kombinációával. Ha az alappontok száma nagyobb az alapfüggvények számánál, akkor általában nem várható, hogy az illesztendő függvény az alappontokban megegyezzék a mérési átlagokkal. Ilyenkor egy lehetséges célkitűzés, hogy a becslő függvény értékei az alappontokban egy adott megbízhatósági szinthez tartozó konfidencia intervallumon belül legyenek, ha ez lehetséges. A probléma lineáris programozási feladattal oldható meg: a korlátozó feltételekben kikötük, hogy az alappontokban az illesztendő függvény eltérése a mérési átlagtól legfelebb a konfidencia-környezet sugarának µ-szöröse legyen, mad keressük az alapfüggvényeknek azt a lineáris kombinációát, amelyre µ minimális. Ennek a lineáris programozási feladatnak mindig létezik optimális megoldása. Az optimális becslő függvényt legobb diszkrét közelítésnek nevezzük. Ha a környezetek sugarai egyenlők, akkor legobb diszkrét egyenletes közelítésről beszélünk. Ha µ minimuma legfelebb, a kívánt közelítést kapuk, ha -nél nagyobb, akkor nem létezik megfelelő becslő függvény. Felhasználva a lineáris programozási modell saátos szerkezetét, közvetlenül vizsgálható, hogy egy becslő függvény optimális-e, és ha nem az, hogyan avítható. Dolgozatunkban azzal az esettel foglalkozunk, amikor az alapfüggvények CSEBISEV-féle rendszert alkotnak. Egy függvényből álló rendszert CSEBISEVfélének nevezünk az [a,b] intervallumban, ha bármely nem triviális lineáris kombinációának legfelebb m gyöke van az [a,b] intervallumban. Az ilyen függvény-rendszer lineáris kombinációival egyértelműen előállíthatók az alternáló függvények, amelyek különbsége a mérések átlagától 2 számú, nagyság sze- * BGF Pénzügyi és Számviteli Kar Zalaegerszegi Intézete, Módszertani Tanszék, főiskolai docens.

2 BUDAPESTI GAZDASÁGI FŐISKOLA MAGYAR TUDOMÁNY ÜNNEPE, 2009 rint rendezett alappontban váltakozva d és d-szerese a megfelelő környezet sugarának valamely d valós számra. Az előadásban megmutatuk, hogy minden alternáló függvény egyértelműen meghatározza a duál feladat egy nem degenerált lehetséges bázismegoldását, amelynek célértéke d. Ebből a dualitási tételek alapán megadható annak feltétele, hogy egy alternáló függvény optimális legyen. Ha egy alternáló függvény nem a legobb diszkrét közelítés, akkor algoritmust adunk a avításra, amellyel véges sok lépésben megkapuk az optimális megoldást. Így adódik egyrészt CSEBISEV alternálási tételének diszkrét változata: az alapfüggvények lineáris kombinációa akkor és csak akkor a legobb diszkrét egyenletes közelítés, ha olyan alternáló függvény, amelynek hibáa az összes alappontban kisebb vagy egyenlő a megfelelő környezet sugarának d -szeresénél. Másrészt következik HAAR ALFRÉD tétele diszkrét változatának egyik felét: CSEBISEV-féle rendszer esetén a legobb diszkrét közelítés egyértelmű. A legobb egyenletes közelítés folytonos változata megtalálható pl. az [], [5], [6], [7] irodalomban. A legobb diszkrét egyenletes közelítés lineáris programozási modelle szerepel []-ben, a legobb diszkrét közelítést adó lineáris függvény előállítása [3]-ban, a legobb diszkrét közelítést adó polinom előállítása [4]- ben. HAAR tétele megtalálható pl. [2]-ben és [7]-ben. A legobb diszkrét közelítés és LP modelle Legyen adva az [a,b] intervallumban értelmezett f valós függvény értéke az x 0 <x... < x n alappontokban (n N, a x 0, x n b: f i = f(x i (i = 0,,..., n, és legyenek adva az r i > 0 számok minden i = 0,,..., n-re. Az f függvényt az [a,b]-n értelmezett ϕ 0, ϕ,..., ϕ m (m N alapfüggvények ϕ = c 0 ϕ 0 + c ϕ c m ϕ m (c 0, c,..., c m R lineáris kombinációával közelítük. A közelítés mértékén azt a legkisebb µ számot értük, amelyre tetszőleges x i alappontban ϕ(x i távolsága f i -től legfelebb r i µ, azaz f i ϕ(x i r i µ (i = 0,,..., n. Az ri > 0 (i = 0,,..., n feltétel miatt a közelítés mértéke nyilván max fi ϕ ( xi i = 0,,..., n, ri vagyis az adott függvényértékektől mért súlyozott eltérések maximuma. Legobb diszkrét közelítésnek (ha létezik az alapfüggvényeknek azt a lineáris kombinációát nevezzük, amelyre a közelítés mértéke az összes lineáris kombináció közül a legkisebb. Ha r 0 = r =... = r n > 0, akkor az adott függvényértékektől mért legnagyobb eltérést minimalizáluk, ezért legobb diszkrét egyenletes közelítésről beszélünk. Általában azonban az alappontokban az r i > 0 értékek lehetnek különbözők is, mint például a bevezetésben említett problémánál. Ha pedig minden f i > 0 és r i = /f i, akkor a legnagyobb relatív hibát minimalizáluk. 2

3 HORNUNG T.: DISZKRÉT EGYENLETES KÖZELÍTÉS... A legobb diszkrét közelítés megadható lineáris programozási feladattal is. A modellben a c 0, c,..., c m előelkorlát nélküli és a µ nem negatív változók szerepelnek, a feltételek és célfüggvény a következőképpen írhatók fel: ϕ x c + ϕ x c ϕ x c + r µ f i = 0,,... n ( i ( i m ( i m i i ( ( x c + ( x c ( x c r f ( i = 0,,... n 0 0 ϕ ϕ ϕ µ 0 i 0 i m i m i i c, c,..., c R, µ 0 0 µ min Vezessük be a következő elöléseket! Tetszőleges a u 0 < u <... < u k b (k N, U = {u 0, u,..., u k } esetén Φ m ( u ( u... m ( u ( u ( u... ( u ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ m U = M M... M ( u ( u... ( u ϕ ϕ ϕ 0 k k m k Ha U az alappontok halmaza, akkor Φ U helyett röviden Φ-t írunk. Legyen továbbá f0 r0 c0 f r c f = r = c =. M M M fn rn cm Ekkor a lineáris programozási modell a következő alakban írható: Φc + r µ f Φc r µ f µ 0 ( µ min A feladatnak nyilván van lehetséges megoldása pl. c = 0, µ = max fi i = 0,,..., n, ri továbbá célfüggvénye alulról korlátos, azért igaz a következő:. tétel. Az ( feladatnak létezik optimális megoldása, azaz tetszőleges x 0, x,..., x n alappontok (n N, a x 0, x n b, f 0, f,..., f n függvényértékek és r 0, r,..., r n pozitív számok esetén létezik legobb diszkrét közelítés. CSEBISEV-féle függvényrendszer Az ( feladat saátos szerkezetét felhasználva lehetőség nyílik a legobb diszkrét közelítés meghatározására anélkül, hogy az ( feladatot megoldanánk. A dolgozatban azzal az esettel foglalkozunk, amikor az alapfüggvények CSEBISEVféle rendszert alkotnak. 3

4 BUDAPESTI GAZDASÁGI FŐISKOLA MAGYAR TUDOMÁNY ÜNNEPE, 2009 Definíció. Az [a,b] intervallumban értelmezett ϕ 0, ϕ,..., ϕ m (m N függvények CSEBISEV-féle rendszert alkotnak [a,b]-ben, ha bármely nem triviális lineáris kombinációuknak legfelebb m gyöke van [a,b]-ben. Például a ϕ(x = x ( = 0; ;...; m függvények CSEBISEV-féle rendszert alkotnak tetszőleges intervallumon, hiszen minden legfelebb m-edfokú polinomnak legfelebb m gyöke van. Jegyezzük meg, hogy ha egy függvényrendszer CSEBISEV-féle [a,b]-ben, akkor lineárisan független is [a,b]-ben, fordítva azonban általában nem igaz. A CSEBISEV-féle rendszer ellemzésére ismert a következő: 2. lemma. A ϕ 0, ϕ,..., ϕ m függvényrendszer akkor és csak akkor CSEBISEV-féle az [a,b] intervallumban, ha az [a,b] intervallum minden elemű részhalmazára Φ 0. Bizonyítás. Legyen az [a,b] intervallum elemű részhalmaza. Φ = 0 akkor és csak akkor telesül, ha Φ oszlopvektorai lineárisan összefüggők. Léteznek tehát olyan c 0, c,..., c m R számok, amelyek között van 0-tól különböző, és c 0 ϕ 0 (x i + c ϕ (x i c m ϕ m (x i = 0 minden i = 0,,..., m esetén, vagyis a c 0 ϕ 0 + c ϕ c m ϕ m nem triviális lineáris kombinációnak az halmaz minden eleme gyöke. ϕ 0, ϕ,..., ϕ m tehát pontosan akkor nem CSEBISEV-féle, ha van az [a,b] intervallumnak olyan elemű részhalmaza, amelyre Φ = 0. Szükség lesz az. lemma folytonos függvényekre vonatkozó következő élesítésére. 3. lemma. Legyen ϕ 0, ϕ,..., ϕ m folytonos az [a,b] intervallumban. Ekkor ϕ 0, ϕ,..., ϕ m akkor és csak akkor CSEBISEV-féle [a,b]-ben, ha [a,b] minden elemű részhalmazára Φ ugyanolyan előelű. Bizonyítás. Az elegendőség következik a 2. lemmából. A szükségesség igazolásához tegyük fel, hogy ϕ 0, ϕ,..., ϕ m CSEBISEV-féle rendszert alkot [a,b]-ben. Legyen = {x 0, x,..., x m }, a x 0 < x <... < x m b. Tetszőleges x [a;x [ esetén legyen 0 = {x, x,..., x m }, és ϕ x = Φ. Φ 0 ( 0 első sor szerinti kifetéséből következik, hogy ϕ lineáris kombinációa ϕ 0, ϕ,..., ϕ m -nek, így ϕ folytonos. A 2. lemma szerint ϕ-nek nincs zérushelye [a;x [-ben, tehát folytonossága miatt nem válthat előelet. Hasonló igaz x 0 helyett x,..., x m -re. Ebből pedig következik, hogy az x 0, x,..., x m pontok tetszőleges megválasztására Φ ugyanolyan előelű. Legobb diszkrét közelítés CSEBISEV-féle alaprendszerrel Foglalkozzunk először azzal az esettel, amikor az alapfüggvények száma megegyezik az alappontok számával, vagyis m = n. Így az alappontokból álló halmazra Φ = Φ. Helyettesítsünk az ( feladatban µ = 0-t. Ekkor a modell feltételei: Φ c + r 0 f Φ c r 0 f 4

5 HORNUNG T.: DISZKRÉT EGYENLETES KÖZELÍTÉS... Ha a ϕ 0, ϕ,..., ϕ m függvényrendszer CSEBISEV-féle az [a,b] intervallumban, akkor a 2. lemma szerint Φ-nek létezik inverze. Tehát µ = 0-ra az ( feladat egyetlen lehetséges megoldása c = Φ f, µ = 0, ami egyben az egyetlen optimális megoldás is. Ha az alapfüggvények száma nagyobb, mint az alappontok száma, m > n, és az alapfüggvények CSEBISEV-féle rendszert alkotnak [a,b]-ben, akkor az alappontok halmazát tetszőlegesen választott m n darab ú ponttal kiegészítve a feladatot visszavezethetük az m = n esetre. Ezért µ minimuma ekkor is 0. Mivel azonban az ú alappontokban a függvényértéket bárhogyan választva a közelítés mértéke nem változik, az ( feladatban végtelen sok optimális megoldást kapunk. A dolgozat hátralevő részében az m < n esettel foglalkozunk. Meg foguk mutatni, hogy a legobb diszkrét közelítést elegendő az alternáló függvények között keresni. Definíció. Legyen = { xi, x,..., } 0 i x, az alappontok 2 elemű részhalmaza, ahol 0 i 0 < i <... < i m n. A ϕ 0, ϕ,..., ϕ m függvények i ϕ = c 0 ϕ 0 + c ϕ c m ϕ m lineáris kombinációát az halmazhoz tartozó alternáló függvénynek nevezzük, ha van olyan d R, amelyre Ha bevezetük az k ( x ( r d f ( 0,,..., m ϕ + = = +. i i i ( ( 0 fi ri 0 0 c 0 f i r c i = = = f s c M M M f c i m ( r i elöléseket, akkor ϕ alternáló függvényt meghatározó 2 egyenletből álló, 2 váltózót tartalmazó egyenletrendszert a c [ Φ ; s ] = d f alakban írhatuk. Igaz a következő: 4. lemma. Legyenek a ϕ 0, ϕ,..., ϕ m alapfüggvények folytonosak az [a,b] intervallumban. Ha ϕ 0, ϕ,..., ϕ m CSEBISEV-féle [a,b]-ben, akkor az alappontok tetszőleges 2 elemű részhalmaza egyértelműen meghatározza a ϕ alternáló függvényt. Bizonyítás. A 3. lemma szerint Φ ; s utolsó oszlop szerinti kifetésében minden tag 0-tól különböző, azonos előelű, így [ Φ ; s ] nem szinguláris. Ebből: c [ ; ] = d Φ s f (2 5

6 BUDAPESTI GAZDASÁGI FŐISKOLA MAGYAR TUDOMÁNY ÜNNEPE, 2009 Az optimum vizsgálatát az ( feladat duála segítségével végezhetük el. Figyelembe véve, hogy c 0, c,..., c m előelkorlát nélküli változók és µ nem negatív, a duál feladat a u Φ v Φ = 0 u r + v r u, v 0 u f v f max módosított normál feladat, ahol u* = [u 0, u,..., u m ] és v* = [ν 0, ν,..., ν m ]. A (3 feladatban bevezetve az y i = u i ν i (i = 0; ;...; n változókat, y i tetszőleges előelű lehet, továbbá y i u i + ν i. Így y = [y 0, y,..., y n ] * -re: y Φ = 0 y r y f max ahol most y = [ y 0 ; y ;...; y n ] *. Ennek a feladatnak a lehetséges megoldásából pedig az ui = ( yi + yi, vi = ( yi yi (5 2 2 összefüggésekkel u i ν i = y i, u i + ν i = y i miatt a (3 duál feladat olyan lehetséges megoldása állítható elő, amelynek célfüggvény értéke megegyezik (4 célfüggvény értékével. Így a (3 feladat helyettesíthető a (4 feladattal. Az alternáló függvények és a duál feladat kapcsolatát mutata a következő, 5. lemma. Legyenek a ϕ 0, ϕ,..., ϕ m alapfüggvények folytonosak az [a,b] intervallumban. Ha ϕ 0, ϕ,..., ϕ m CSEBISEV-féle [a,b]-ben, akkor tetszőleges ϕ alternáló függvény meghatározza a duál feladat egy nem degenerált bázismegoldását, amelynek célértéke d. Bizonyítás. Legyen ψ* = [ψ 0, ψ,..., ψ n ] a [Φ ; s ] - inverz mátrix utolsó sora, vagyis [ ] ψ = e 2 Φ ; s, ahol e az 2-edik egységvektor transzponálta. 2 Legyen = {x i0, x i,..., x i }, ahol 0 i 0 < i <... < i m n. Az y = [y 0, y,..., y n ]* vektort a következőképpen értelmezzük: ψ k, ha i = ik y i = 0, különben azért Mivel [ ] [ ] [ ] ψ Φ ; ψ s = ψ Φ ; s = e 2 Φ ; s Φ ; s = e 2, ψ Φ = 0, ψ s =. Felhasználuk még, hogy a 3. lemma miatt [Φ ; s ] adungált mátrixának utolsó sorában, és így ψ*-ban, az elemek előele váltakozik. (3 (4 6

7 HORNUNG T.: DISZKRÉT EGYENLETES KÖZELÍTÉS... Most helyettesítéssel ellenőrizhetük, hogy y lehetséges megoldás: célértéke (2 miatt: y Φ = ψ Φ = 0, y r = ψ s =, [ ] = = m 2 ; + = d y f ψ f e Φ s f Ugyanígy y is lehetséges megoldás, célértéke d. Az y és y lehetséges megoldások közül tehát az egyik célértéke d. Végül y i 0, i,..., i m indexű elemei nem 0-k, előelük váltakozik. Így az (5 öszszefüggés alapán a (3 duál feladat y -nek megfelelő lehetséges megoldásában a nem 0 elemek sorvektorainak ranga egyenlő a [Φ ; s ] mátrix rangával, azaz 2-vel. Tehát az y és a y megoldásokhoz (5 alapán a (3 duál feladat nem degenerált lehetséges bázismegoldásai tartoznak. Az 5. lemma lehetővé teszi, hogy a lineáris programozás dualitási tételeit alkalmazzuk. Először az optimum feltételét aduk meg. 6. tétel. Legyenek a ϕ 0, ϕ,..., ϕ m alapfüggvények folytonosak az [a,b] intervallumban. Ha ϕ 0, ϕ,..., ϕ m CSEBISEV-féle [a,b]-ben, és a ϕ alternáló függvényre minden x i alappontban f ϕ x r d, akkor ϕ a legobb diszkrét közelítés. ( i i i c c Bizonyítás. A tétel feltételei szerint d az ( primál feladat lehetséges megoldása, és célértéke d. Az 5. lemma szerint a duál feladatnak van olyan lehetséges megoldása, amelynek célértéke szintén d. A gyenge dualitási tétel következtében d a primál feladat optimális megoldása. Mint az 5. lemmában láttuk, minden alternáló függvényhez a duál feladat egy lehetséges bázismegoldása tartozik. Ha egy alternáló függvény nem a legobb diszkrét közelítés, akkor (lényegében a duál szimplex algoritmus menetét követve áttérhetünk egy másik alternáló függvényre, avítva közben a duál célértéket. 7. tétel. Legyenek a ϕ 0, ϕ,..., ϕ m alapfüggvények folytonosak az [a,b] intervallumban. Ha ϕ 0, ϕ,..., ϕ m CSEBISEV-féle [a,b]-ben, és a ϕ alternáló függvény nem a legobb diszkrét közelítés, akkor megadható olyan ϕ Y alternáló függvény, amelyre d < dy. Bizonyítás. Legyen = {x i0, x i,..., x i }, ahol 0 i0 < i <... < i n. Ha a ϕ alternáló függvény nem a legobb diszkrét közelítés, akkor az 6. tétel szerint létezik olyan xk ( alappont, amelyre f ϕ x > r d (6 ( k k k Legyen Y = {x k }\{x l }, ahol az x l alappont l indexét a következőképpen határozzuk meg: 7

8 BUDAPESTI GAZDASÁGI FŐISKOLA MAGYAR TUDOMÁNY ÜNNEPE, 2009 ( ϕ ( ( ( ϕ ( i l = i, ha x < x < x, és sgn f x = sgn f x, t it k it + k k it it ahol 0 t m +, x =, x = i i 2 ( ϕ ( 0 ( ( ϕ ( ( ϕ ( ϕ ( ii l = i, ha x > x, és sgn f x = sgn f x, k i k k i i ( ( iii l = i, ha x < x, és sgn f x = sgn f x. k i0 k k i0 i0 Tegyük fel, hogy Y elemeit nagyság szerint rendezve x k a +-edik, azaz (i esetén = t, (ii esetén = m + és (iii esetén = 0. Legyen ezután f $ ( ( Y = f Y + ϕ xk + rk d fk e. ( Látható, hogy a ϕ alternáló függvény c együtthatóvektora és (i esetén d = d, (ii és (iii esetén d = d kielégíti a c Φ s = f $ Y ; Y Y d lineáris egyenletrendszert. Ugyanakkor a ϕ Y alternáló függvényhez a c Y ΦY ; sy = d Y f egyenletrendszer tartozik. Így d 2 ; 2 [ ; ] ˆ Y d e ΦY s Y f Y e ΦY sy f Y = = 2 ( ˆ Y ; Y Y Y = e Φ s f f = = (( f ϕ ( x ( r d Itt egyrészt a (6 feltétel szerint f ϕ ( x mint ( rk d, ezért k k k e 2 ΦY s Y e Y ;. nagyobb abszolút értékű, k k (( f ( ( k ϕ xk rk d fk ϕ ( xk sgn sgn ( másrész ϕ ( ( Végül Y ; i i i =, f x = r d miatt (i, (ii és (iii bármelyike esetén ( ( ( ( (( sgn f ϕ x = sgn r d = sgn d. k k i Φ s Y utolsó oszlop szerinti kifetése alapán sgn ( ΦY ; sy ( k ( sgn Y \{ x } = Φ, ahonnan = 8

9 Ezek alapán ( e 2 ΦY sy e HORNUNG T.: DISZKRÉT EGYENLETES KÖZELÍTÉS... + ( Φ { } = sgn ; = sgn = Y ; Φ sy Y \ xk. ( (( ( ( e + 2 ΦY s e ( ϕ ( = (( d ( = ( d sgn d d = sgn f x r d sgn ; = Innen Y k k k m Y sgn sgn. d = d d + d d = d, Y Y amit bizonyítani akartunk. A 6. és a 7. tétel alapán algoritmust adhatunk az optimális megoldás meghatározására az [a,b] intervallumban folytonos, CSEBISEV-féle alapfüggvény-rendszer esetén, ha az alappontok száma nagyobb, mint az alapfüggvények száma: I. Indulunk ki az alappontok egy (m + 2 elemből álló részhalmazból. II. Határozzuk meg a ϕ alternáló függvényt. III. A 6. tétel alapán döntsük el, hogy ϕ a legobb diszkrét közelítés-e. Ha igen, befeeződött az elárás nem, ha a IV. lépés következik. IV. A 7. tétel bizonyításánál leírt módon határozzuk meg az Y halmazt, mad helyébe Y-t téve folytassuk az elárást a II. lépésnél. Az elárás véges, mert az alternáló függvények halmaza véges, és d minden lépésben növekszik. Így az. tétel és az algoritmus alapán megkapuk CSEBISEV tételének diszkrét változatát: 8. tétel. Legyenek a ϕ 0, ϕ,..., ϕ m alapfüggvények folytonosak az [a,b] intervallumban. Ha ϕ 0, ϕ,..., ϕ m CSEBISEV-féle [a,b]-ben, akkor az alapfüggvények ϕ lineáris kombinációa akkor és csak akkor a legobb diszkrét közelítés, ha ϕ alternáló függvény az x 0, x,..., x n alappontok (m < n valamely (2 elemű részhalmazára, és minden alappontban ( f ϕ x r d. i i i A 5. lemma szerint az alternáló függvényekhez a duál feladat nem degenerált bázismegoldása tartozik, így kapuk HAAR tételének diszkrét változatában az elegendőséget (a szükségesség igazolását az olvasóra hagyuk. 9. tétel. Legyenek a ϕ 0, ϕ,..., ϕ m alapfüggvények folytonosak az [a,b] intervallumban. A legobb diszkrét közelítés akkor és csak akkor egyértelmű az [a,b] intervallumban megadott, tetszőleges n számú alappont esetén (n > m, ha ϕ 0, ϕ,..., ϕ m CSEBISEV-féle rendszert alkot [a,b]-ben. 9

10 BUDAPESTI GAZDASÁGI FŐISKOLA MAGYAR TUDOMÁNY ÜNNEPE, 2009 Irodalomegyzék [] J. N. BRONSTEJN, K. A. SZEMANGYEJEV, G. MOSIOL, H. MÜHLIG: Matematikai kézikönyv, Typo TE Kiadó, Budapest, [2] HAAR ALFRÉD összegyűtött művei. (Sató alá rendezte SZŐKEFALVI-NAGY BÉLA, Akadémiai Kiadó, 959 [3] HORNUNG T.: A legkisebb maximum módszere, Magyar Tudomány Napa Konferencia, [4] HORNUNG T.: Diszkrét CSEBISEV-approximáció, Matematika, Fizika és Informatika Oktatók II. konferenciáa, [5] KIS O., KOVÁCS M.: Numerikus módszerek, Műszaki Könyvkiadó, 973. [6] MÓRICZ F.: Numerikus analízis, Tankönyvkiadó, Budapest, 977. [7] STOYAN G., TAKÓ G.: Numerikus módszerek: elmélet gyakorlat szoftver I., ELTE TypoTE, Budapest,