5. Előadás. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 1 / 39

Átírás

1 5. Előadás (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 1 / 39

2 AX = B (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 2 / 39

3 AX = B Probléma. Legyen A (m n)-es és B (m l)-es mátrix. Található-e olyan X mátrix, amelyre AX = B? Megjegyzések. (a) Ha létezik a fenti tulajdonságú X mátrix, akkor X R n l. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 3 / 39

4 AX = B (b) Az A x x n1 x 1l. x nl = b b m1 b 1l. b nl mátrixegyenlet ekvivalens az alábbi lineáris egyenletrendszer rendszerrel: x 11 A. x n1 = b 11. x m1 x 1l,..., A. x nl = b 1l. x ml. Az egyes egyenletrendszerek elemi bázistranszformációval megoldhatók, ügyesen szervezve a teendőket, akár egyszerre is. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 4 / 39

5 AX = B Az elemi bázistranszformációt az alábbi táblázatra fogjuk végrehajtani: Szabályok: 0. x 1... x n b 1... b l e 1 a a 1n b b 1l..... e m a m1... a mn b m1... b ml az e -ket szeretnénk lecserélni x -ekre, így a generáló elem csak az a ij -k közül kerülhet ki. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 5 / 39

6 AX = B Példa. Oldjuk meg az ( ) ( X = ) mátrixegyenletet. Ha X megoldása a mátrixegyenletnek, akkor X R 4 3. Az EBT-hez szükséges táblázat az alábbi lesz: 0. x 1 x 2 x 3 x 4 b 1 b 2 b 3 e e (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 6 / 39

7 AX = B 0. x 1 x 2 x 3 x 4 b 1 b 2 b 3 e e x 2 x 3 x 4 b 1 b 2 b 3 x e x 3 x 4 b 1 b 2 b 3 x x (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 7 / 39

8 AX = B A cserét teljesen végrehajtottuk, a mátrixegyenlet megoldható. 2. x 3 x 4 b 1 b 2 b 3 x x Az utolsó táblázatból a megoldásokat is leolvashatjuk. Legyen X = (x ij ) 4 3. Ekkor x 1j és x 2j kötött változók lesznek, az x 3j és x 4j (1 j 3) változók pedig szabadok : x 11 = 1 x 31 + x 41, x 21 = 2 + x x 41, x 12 = 2 x 32 + x 42, x 22 = 1 + x x 42, x 13 = 1 x 33 + x 43, x 23 = 1 + x x 43. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 8 / 39

9 AX = B 2. x 3 x 4 b 1 b 2 b 3 x x A mátrixegyenlet általános megoldása: 1 1 x 31 ( 1) x 41 2 x 32 + x 42 1 x 33 + x 43 X = 2 ( 1) x 31 ( 2) x x x x 33 + x 43 x 31 x 32 x 33, x 41 x 42 x 43 ahol x 31, x 32, x 33, x 41, x 42, x 43 tetszőleges valós számok. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 9 / 39

10 AX = B Tegyük fel, hogy az AX = B mátrixegyenlet megoldható (A R m n, B R m l ).. 0. x 1... x n b 1... b l e 1 a a 1n b b 1l..... e m a m1... a mn b m1... b ml w. x js+1... x jn b 1... b l x i1 a i 1 j s+1... a i 1 j n b i b i 1 l..... x is a i sj s+1... a i sj n b i s1... b i sl e is e im (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március / 39

11 AX = B Megjegyzések. Az x i változó az X megoldásmátrix x ij változóit jelképezi. A változók értékét úgy határozhatjuk meg, mint az egyenletrendszer megoldása esetén. Tehát a példában az x 3 és x 4 szabad változók lesznek, így X minden oszlopának harmadik és negyedik eleme szabadon választható. A konstansok meghatározásakor a megfelelő oszlop kontansait a jobboldali konstansok megfelelő oszlopa határozza meg, például a második oszlophoz csak a második oszlopot kell figyelembe venni. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március / 39

12 AX = B Nincs megoldás A mátrixegyenletnek pontosan akkor nincs megoldása, ha az elemi bázistranszformáció során van ellentmondó sor, ami a következő alakú lehet: x j1... x jk b 1... b l e i c 1... c l , ahol a c-k közül legalább egy nem nulla, VAGY b 1... b l e i c 1... c l......, ahol a c-k közül legalább egy nem nulla. Azaz a változók oszlopai már elfogytak, de maradt e i sorában nem nulla. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március / 39

13 AX = B Pontosan egy megoldás Ha a mátrixegyenlet megoldása során a következő táblázatot kapjuk: b 1 b 2 b 3 x x x akkor nincs szabad ismeretlen (és nincs ellentmondó sor), így pontosan egy megoldás van. A megoldás leolvasásakor ügyeljünk, hogy a sorokat megfelelő sorrendben írjuk, azaz ebben az esetben: X = , (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március / 39

14 AX = B Előállhat-e a következő táblázat egy mátrixegyenlet megoldása során? b 1 b 2 b 3 x x e Igen, ha az A mátrix (3 2), a B pedig (3 3) méretű, akkor az AX = B mátrixegyenletnél az X mátrix, ha létezik, (2 3) típusú. Hány megoldás van? Az e 3 sorában minden elem nulla, így nincs ellentmondó sor. Mivel nincs szabad ismeretlen, pontosan egy megoldás van: ( ) X = (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március / 39

15 XA = B Az XA = B alakú egyenletek megoldásáról XA = B T A T X T = B T Azaz, 1 először oldjuk meg az A T Y = B T mátrixegyenletet, 2 ha Y megoldása, akkor az eredeti egyenlet megoldása X = Y T lesz. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március / 39

16 XA = B Példa. Oldjuk meg az X = mátrixegyenletet (X R 3 4 ). Transzponáljuk az egyenletet: Y = (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március / 39

17 XA = B 0. y 1 y 2 y 3 y 4 b 1 b 2 b 3 e e e e y 2 y 3 y 4 b 1 b 2 b 3 y e e e (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március / 39

18 XA = B Megjegyzés. 2. y 2 y 4 b 1 b 2 b 3 y y e e y 4 b 1 b 2 b 3 y y y e Nem sikerült minden e -t y -ra cserélni, de a megmaradt e -k sorában minden elem 0, tehát nincs ellentmondó sor. Ekkor a megoldás a korábbi módon olvasható le. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március / 39

19 XA = B 2. y 2 y 4 b 1 b 2 b 3 y y e e A transzponált mátrixegyenlet megoldás a következő: 3. y 4 b 1 b 2 b 3 y y y e y 11 = 1 y 41, y 21 = 2 y 41, y 31 = 3 y 41, y 12 = 2 y 42, y 22 = 3 y 42, y 32 = 1 y 42, y 13 = 3 y 43, y 23 = 1 y 43, y 33 = 2 y 43, ahol y 4j (j = 1, 2, 3) teszőlegesen választható, azaz 1 y 41 2 y 42 3 y 43 Y = 2 y 41 3 y 42 1 y 43 3 y 41 1 y 42 2 y 43. y 41 y 42 y 43 (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március / 39

20 XA = B Az X = mátrixegyenletet megoldása pedig 1 y 41 2 y 41 3 y 41 y 41 X = Y T = 2 y 42 3 y 42 1 y 42 y 42, 3 y 43 1 y 43 2 y 43 y 43 ahol y 4j (j = 1, 2, 3) teszőleges valós számok. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március / 39

21 Mátrix inverze Mátrix inverze (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március / 39

22 Mátrix inverze Definíció (Mátrix inverze). Legyen A négyzetes mátrix, A R n n. Azt mondjuk, hogy a B R n n mátrix inverze A-nak, ha AB = BA = E n. Nem minden négyzetes mátrixnak van inverze. Ha az A mátrixnak inverze a B mátrix, akkor következtében A 0. 1 = E n = AB = A B Ha az A mátrix determinánsa nem nulla, akkor a mátrixot nemelfajulónak nevezzük. Ha az A mátrixnak létezik inverze, azt mondjuk, hogy az A invertálható. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március / 39

23 Mátrix inverze Tétel. Az A négyzetes mátrixnak pontosan akkor létezik inverze, ha determinánsa nem 0. Ha egy mátrixnak létezik inverze, akkor az egyértelmű. Jelölés: A 1 az A mátrix inverze (ha az létezik). Tétel. Ha az A R n n négyzetes mátrixnak létezik inverze, akkor A 1 = 1 A A A 1n..... A n1... A nn ahol A ij az A mátrix a ij eleméhez tartozó adjungált aldeterminánsa. T, (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március / 39

24 Mátrix inverze Példa Legyen A = Ekkor A = 40 0 következtében A invertálható: A 1 = T = = (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március / 39

25 Mátrix inverze Inverz számítása Ha az A (n n)-es mátrix invertálható, akkor A 1 az AX = E n mátrixegyenlet (egyetlen) megoldása. Azaz a mátrixegyenletre tanult módszer segítségével kiszámítható a mátrix inverze. Az A (n n)-es mátrix pontosan akkor nem invertálható, ha ellentmondó sort kapunk az AX = E n mátrixegyenlet megoldása során. Az AX = E n egy speciális mátrixegyenlet, így a korábbi elemi bázistranszformációs lépések kis módosításával egyszerűbben is meg lehet oldani (ld. követekező diák). (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március / 39

26 Mátrix inverze Inverz számítása elemi bázistranszformációval 1 A mátrix elemeit táblázatba foglaljuk, a sorokat az e 1, e 2,..., az oszlopokat pedig a v 1, v 2,... szimbólumokkal címkézzük. 2 Generálóelemet választunk (a ij 0), majd elemi bázistranszformációt hajtunk végre: most nem hagyunk el oszlopot (ld. Új szabályok!), az a ij elem sor- és oszlopcímkéi felcserélődnek, mindig e-t cserélünk v-re. 3 Addig ismételjük a 2. lépést, amig alkalmas generáló elemet tudunk választani. 4 Ha az e -k és a v -k helyet cseréltek, akkor a mátrixnak van inverze, a sorokat és az oszlopokat a címkék eredeti sorrendjének megfelelően átrendezve az inverz is látható. 5 Ha még azelőtt elakadunk, hogy az e-k és a v-k helyet cseréltek volna, akkor a mátrixnak nincs inverze. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március / 39

27 Mátrix inverze Új szabályok! A generáló elem oszlopát nem hagytuk el, az új táblázatba a következő elem kerülnek ebbe az oszlopba: A generáló elem helyébe annak reciproka kerül: a ij = 1/a ij. A generáló elem oszlopának többi elemét osztjuk a generáló elem ( 1)-szeresével: a i j = a i,k/( a ij ) (i i). (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március / 39

28 Mátrix inverze Példa. Tekintsük az A = mátrixot. 0. v 1 v 2 v 3 v 4 e e e e e 1 v 2 v 3 v 4 v e e e e 1 v 2 e 3 v 4 v e v e Elakadtunk, így az A mátrixnak nincs inverze. 3. e 1 v 2 e 3 e 4 v 1 3/ /2 e 2 11/ /2 v v 4 1/ /2 (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március / 39

29 Mátrix inverze Példa. Tekintsük az A = mátrixot. 0. v 1 v 2 v 3 v 4 e e e e v 1 e 1 v 3 v 4 v e e e v 1 e 1 e 2 v 4 v v e e v 1 e 1 e 2 e 3 v v v e (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március / 39

30 Mátrix inverze 3. v 1 e 1 e 2 e 3 v v v e e 4 e 1 e 2 e 3 v 2 2/5 3/5 6/5 4/5 v 3 3/5 2/5 4/5 6/5 v 4 4/5 1/5 2/5 3/5 v 1 1/5 4/5 3/5 2/5 Minden e -t ki tudtunk cserélni v -re, ezért A-nak van inverze, a címkék sorrendjét visszaállítva azt kapjuk, hogy A 1 = = (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március / 39

31 Mátrix inverze Az inverzre vonatkozó azonosságok Azonosságok Tétel (Az invertálás azonosságai). Legyen A és B tetszőleges (n n)-es invertálható mátrix, ekkor 1 (A 1 ) 1 = A, 2 (AB) 1 = B 1 A 1. Definíció (Négyzetes mátrix negatív kitevős hatvány). Ha A invertálható mátrix, akkor az inverz létezését felhasználva definiálhatók A negatív kitevős hatványai: A k = ( A 1) k = A 1 A 1 A 1 }{{} k db (k N). (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március / 39

32 Mátrix inverze Az inverzre vonatkozó azonosságok Azonosságok Definíció. Az A (n n)-es mátrix esetén A 0 = E n. Tétel (A hatványozás azonosságai). Legyen A tetszőleges invertálható mátrix, és m, k Z, ekkor 1 A m+k = A m A k, 2 (A m ) k = A mk. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március / 39

33 Mátrix inverze Return of the Matrix Inverse 1. módszer (merészeknek/számítógépeknek) Tétel. Ha az A R n n négyzetes mátrixnak létezik inverze, akkor A 1 = 1 A A A 1n..... A n1... A nn ahol A ij az A mátrix a ij eleméhez tartozó adjungáltja. T, (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március / 39

34 Mátrix inverze Return of the Matrix Inverse 2. módszer (bátraknak) Tétel. Legyen A R n n négyzetes mátrix és a a 1n a a 2n (A E n ) = a n1... a nn Ha (A E n ) (E n B), akkor A invertálható és B = A 1. Ha (A E n ) (E n ), akkor A nem invertálható. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március / 39

35 Mátrix inverze Return of the Matrix Inverse 2. módszer (bátraknak) A = (A E 3 ) = Sorokon végzett elemi átalakítások A 1 = (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március / 39

36 Mátrix inverze Return of the Matrix Inverse 2. módszer (bátraknak) A = (A E 3 ) = Sorokon végzett elemi átalakítások Az A mátrix nem invertálható (vö.: A = 0). (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március / 39

37 Mátrix inverze Return of the Matrix Inverse 3. módszer Tétel. Legyen A R n n négyzetes mátrix. Ha az EBT pontosan n lépés után ér véget: 0. a 1... a n e 1 a a 1n... n. e j1... e jn a i1 a i 1 j 1... a i 1 j n..., e n a n1... a nn a in a i nj n... a i nj n akkor az A mátrix invertálható, inverze (a ij ) n n. Különben nem invertálható. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március / 39

38 Mátrixegyenlet, Mátrix inverze Igaz vagy Hamis? Igaz vagy Hamis? Ha egy mátrixegyenlet megoldása során egy x sort kapunk, akkor a mátrixegyenletnek nincs megoldása. Hamis, akkor lenne ellentmodó sor, ha e i szerepelne az elején. Vannak olyan A és B (n n)-es invertálható mátrixok, amelyekre (AB) k A k B k, valamely k Z-re. Igaz, mivel a mátrixszorzás nem kommutatív, és invertálható mátrixok is találhatók, amelyekre AB BA, pl: A = ( ), B = ( ), k = 2 esetén, ABAB AABB. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március / 39

39 Mátrixegyenlet, Mátrix inverze Feleletválasztás Feleletválasztás A négy válasz közül pontosan egy helyes. Tetszőleges A R n n invertálható mátrix esetén melyik állítás NEM igaz? (a) A 0. (b) AB is invertálható tetszőleges B R n n esetén. (c) Az AX = B bármely B R n n esetén megoldható. (d) Az A T nemelfajuló. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március / 39

40 Mátrixegyenlet, Mátrix inverze Feleletválasztás Feleletválasztás A négy válasz közül pontosan egy helyes. Tetszőleges A R n n invertálható mátrix esetén melyik állítás NEM igaz? (a) A 0. (b) AB is invertálható tetszőleges B R n n esetén. (c) Az AX = B bármely B R n n esetén megoldható. (d) Az A T nemelfajuló. A (b) állítás. Mivel AB = A B, így ha B = 0, akkor AB nem invertálható. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március / 39