12 48 b Oldjuk meg az Egyenlet munkalapon a következő egyenletrendszert az inverz mátrixos módszer segítségével! Lépések:

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "12 48 b Oldjuk meg az Egyenlet munkalapon a következő egyenletrendszert az inverz mátrixos módszer segítségével! Lépések:"

Ferenc Nemes
7 évvel ezelőtt
Látták:

1 A feladat megoldása során az Excel 2010 használata a javasolt. A feladat elvégzése során a következőket fogjuk gyakorolni: Egyenletrendszerek megoldása Excelben. Solver használata. Mátrixműveletek és függvények (ismétlés). A feladat megoldása hozzávetőlegesen 80 percet vesz igénybe. A Fájl/Megnyitás parancs segítségével nyissuk meg a Nyers.xls nevű fájlt Excel 2010-ben. Soha ne dupla kattintással nyissuk meg a táblázatokat, ha olyan környezetben dolgozunk, ahol nem tudjuk, milyen program van az adott kiterjesztésű fájlhoz rendelve. Oldjuk meg az Egyenlet munkalapon a következő egyenletrendszert az inverz mátrixos módszer segítségével! Lépések: 2a 2b + 4c + d = 12 3a + 3b 2c + 8d = 48 a + 5b + 2c 4d = 18 2a 4b + 3c + 19d = 72 Legyen az együtthatómátrix A, a jobboldal oszlopvektora b! 2 3 A b Először ellenőrizzük le, hogy a A determinánsa nulla-e. Ha nem nulla, akkor folytathatjuk tovább a számítást az A (4 4-es méretű) inverz mátrixának a kiszámításával. A megoldás-

2 vektort az x A 1 b egyenlettel lehet kiszámítani. A megoldásvektor egy 4 1-es méretű mátrix (4 dimenziós vektor) lesz. Az inverz mátrix megjelenési formátumát állítsuk be a determináns számjegyeinek megfelelően. Végezetül az egyenletbe való visszahelyettesítéssel ellenőrizzük le a megoldást. Ha b A x akkor a megoldás helyes. Az ellenőrzés során a megoldás visszahelyettesítése után számítsuk ki az oszlopvektorok különbségét is. A különbségvektor számformátuma tudományos legyen 5 tizedesjeggyel! Ezután számoljuk ki a megoldásvektort a Solver segítségével is. A továbbiakban a Solverrel készített vektort y -ként fogjuk jelölni. Első lépésként a megoldásvektor összes elemét állítsuk be egyre, majd számítsuk ki A y vektort. Majd állítsuk be a Solvert a következő ábra szerint. Figyeljünk arra, hogy célértéket nem kell beállítani és vegyük fel az A y b korlátozó feltételt. A Solver számítási pontosságát állítsuk át 1E-15-re. Határozzuk meg az A y b vektort és hasonlítsuk össze az A x b vektorral. A Solverrel sokkal pontosabb eredményt kaptunk, mint az inverz mátrixszal.

3 A Végtelen munkalapon határozzuk meg a következő A x b egyenletrendszer megoldását. 3x 1 x 2 + 8x 3 + 3x 4 = 5 2x 1 + 3x 3 x 4 = 13 4x 1 + 3x 2 x 3 + 4x 4 = 27 11x 1 + 2x 2 + x 3 + 9x 4 = 58 Az együtthatómátrix felvétele után vizsgáljuk meg az A mátrix determinánsát. A determináns nulla, ezért a mátrix nem invertálható. Az eltolt mátrix determinánsát is nézzük meg. Az eltolt mátrixot úgy kapjuk meg, hogy elhagyjuk az első oszlopot és a végéhez hozzátesszük a b vektort. Az eltolt mátrix determinánsa is nulla, tehát az egyenlet nem ellentmondásos, van megoldása (végtelen sok megoldás van). Ilyen esetekben a legkisebb (vektorhosszú) megoldást szoktuk megadni. A továbbiakban ezt a feladatot oldjuk meg a Solver segítségével. Vegyük fel az x kiinduló koordinátáinak az egyet és számoljuk ki azok négyzetösszegét, majd számítsuk ki az A x vektort. Ezután töltsük ki a Solvert a következő ábra szerint. Ebben esetben a Solverben célértéket is be kell állítani, méghozzá a négyzetösszeg celláját kell megadni célértékként és azt kell minimalizálni ahhoz, hogy a legkisebb megoldást találjuk meg.

4 Oldjuk meg az Ellentmondó munkalapon a következő A x b alakú egyenletrendszert. a + 5b + 13c + d + 4e = 19 2a + 3b + 12c 2d 3e = 4 4a + 7b + 3c 5d + e = 35 3a + b + 4c + 2e = 14 2a + 16b + 32c 6d + 4e = 5 Az együtthatómátrix felvétele után vizsgáljuk meg az A mátrix determinánsát. A determináns nulla, ezért a mátrix nem invertálható. Az eltolt mátrix determinánsát is nézzük meg. Az eltolt mátrixot úgy kapjuk meg, hogy elhagyjuk az első oszlopot és a végéhez hozzátesszük a b vektort. Az eltolt mátrix determinánsa nem nulla, tehát az egyenletrendszerben ellentmondás van. Ebben az esetben az egyenletrendszernek nincs megoldása. Ilyenkor egy közelítő megoldást lehet/tudunk megadni. Célunk tehát az, hogy az A x vektor minél közelebb kerüljön a b vektorhoz, azaz A x b négyzetösszegét fogjuk minimalizálni Solver segítségével. A megadásnál figyeljünk arra, hogy az A x b nem biztosítható!

5 Oldjuk meg a következő nemlineáris egyenletrendszert a Nemlin munkalapon! F(x, y) = 3x sin(xy) 3 = 0 G(x, y) = x 2 5y 1 = 0 A megoldást a C2:C3 cellákban elhelyezett (0,9; 0,1) koordinátájú pontokból indítsuk! Az F2:F3 cellákban helyezzük el az F(x,y) és G(x,y) értékeket! Az ezekre vonatkozó korlátozó feltétel 1e-15 pontossággal a 0 legyen! Mindkét egyenlet átalakítható explicit alakúra, azaz az y = yf(x) és y = yg(x) összefüggések felírhatók. Így mindkét függvény közös diagramon ábrázolható. Ábrázoljuk őket az x [0,7; 1,3] intervallumban! yf(x) = sin 1 (3x 3) x yg(x) = x2 1 5 Végezetül mentsük el a munkafüzetet a táblázatkezelő saját formátumában Egyenletek néven. Gratulálunk! Ezzel elérkeztünk a példa végéhez. Dr. Szörényi Miklós, Boros Norbert, Dr. Kallós Gábor (SZE), Minden jog fenntartva

Hasonló dokumentumok

Növényvédő szerek A 500 0 0 0 0 65000 B 0 0 50 500 500 60000 C 50 25 0 50 50 12000 D 0 25 5 50 0 6000

Növényvédő szerek A 500 0 0 0 0 65000 B 0 0 50 500 500 60000 C 50 25 0 50 50 12000 D 0 25 5 50 0 6000 A feladat megoldása során az Excel 2010 használata a javasolt. A feladat elvégzése során a következőket fogjuk gyakorolni: Termelési és optimalizálási feladatok megoldása. Mátrixműveletek alkalmazása.