Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal"

Átírás

1 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják egymásnak a náluk levő tetraéder valamelyik lapját. Ha Aladár i-t (i = 1, 2, 3, 4), Bendegúz pedig j-t (j = 1, 2, 3, 4) mutat, akkor az alábbi táblázat i-edik sorának j-edik eleme megmutatja, hogy kinek mennyi pénzt kell fizetnie a másiknak. Ha például Aladár 3- at mutat, Bendegúz pedig 2-t, akkor a táblázat harmadik sorának második eleme ( 2) szerint Aladár fizet Bendegúznak két forintot. A táblázat tehát Aladár lehetséges nyereségeit vagy veszteségeit tartalmazza, ha a megfelelő elem pozitív akkor Aladár kap pénzt Bendegúztól, ha negatív, akkor ő fizet Bendegúznak. A kérdés az, hogy a játékosok milyen taktikával játsszák a játékot, ha feltesszük, hogy sok partit szeretnének lebonyolítani. Íme a fizetési táblázat, melyet egy 4 4-es [a ij ] mátrixként is felfoghatunk. Bendegúz Aladár Aladár arra törekszik, hogy az egyes esetekben a számára legrosszabb eset a lehető legjobb legyen. Ezért megnézi, hogy az egyes alternatíváknál nevezzük ezeket stratégiáknak mekkora a táblázat megfelelő sorában a legkisebb érték, és úgy próbál játszani, hogy ez minél nagyobb legyen. Tehát a fizetési mátrix sorminimumainak maximumát keresi meg. Jelen esetben max{ 4, 1, 2, 3} = 1 = a 22. Bendegúz hasonlóan gondolkodik, a legrosszabb eseteket szeretné elkerülni. Mivel a táblázat Aladár szemszögéből készült, ezért ő a mátrix sormaximumainak minimumát keresi meg, amely most min{3, 1, 4, 6} = 1 = a 22. Könnyű látni, hogy mindkét játékos abban érdekelt, hogy állandóan a 2-t tartalmazó lapot mutassa fel. Ugyanis ha ettől eltérne valamelyikük, akkor nem járna jobban, mert a 22 = 1 a sorában minimális, oszlopában pedig maximális. Eszerint a fenti játékot le sem kell játszani, mert mindig ugyanazt fogják lépni a játékosok, és így játékonként Aladár 1 forintot veszítene (amely az ő szempontjából 1 forintként jelenik meg). A a választott stratégiák sorszámaiból képzett (2, 2) párt tiszta nyeregpontnak fogjuk hívni, míg a 22 = 1 a játék értéke. Tekintsünk most általánosan egy k n-es [a ij ] (i = 1,..., k; j = 1,..., n) fizetési mátrixot. Két játékos közül az első a k sor, a második n oszlop közül választhat. A választottak alapján az A mátrixból amely az első játékos szempontjából készült kikeresik, hogy kinek mennyit kell fizetni a másiknak. Ilymódon A egyértelműen meghatározza a játékot. 2. Definíció. Az [a ij ] mátrixszal megadott mátrixjátéknál az (i 0, j 0 ) párt tiszta nyeregpontnak hívjuk, ha a i0 j 0 a sorában minimális és oszlopában maximális, azaz a ij0 a i0 j 0 a i0,j i, j (i = 1,..., k; j = 1,..., n). Ekkor v = a i0 j 0 a játék értéke.

2 2 Amennyiben egy mátrixjátéknak van tiszta nyeregpontja, akkor a játék megoldásának az (i 0, j 0, v) hármast tekintjük. A következő két tétel közül az első egy eljárást ad tiszta nyeregpont létezésének eldöntésére, továbbá annak megkeresésére. A második több tiszta nyeregpont esetén azok felcserélhetőségét mondja ki. 3. Tétel. Az [a ij ] mátrixjátéknak az (i 0, j 0 ) pár akkor és csak akkor tiszta nyeregpontja, ha max min{a ij } = a i0 j 0 = min max{a ij }. i j j i 4. Tétel. Ha egy [a ij ] mátrixszal megadott játéknak több tiszta nyeregpontja van akkor azok ekvivalensek egymással. 5. Példa. [a ij ] = Ebben a játékban max i min j {a ij } = 3 = min j max i {a ij }, de a tiszta nyeregpont négy (egymással egyenértékű) helyen is előfordul: 3 = a 11 = a 14 = a 31 = a 34. Most az első játékos kedvére választhat az első és harmadik stratégiák közül. Hasonlóan a második játékos szabadon cserélgethet az első és negyedik stratégiái között.

3 3 Mátrixjátékok általános vizsgálata Tekintsük most egy k n-es a 11 a a 1n a 21 a a 2n [a ij ] = a k1 a k2... a kn mátrixszal adott mátrixjátékot, és tegyük fel, hogy a játékosoknak nincs tiszta stratégiájuk (tehát max i min j {a ij } = min j max i {a ij }). Ebben az esetben egyik fél sem fog ragaszkodni egy konkrét stratégiához, hiszen a másik fél azt kiismerve a játékban kedvezőbb helyzetbe kerülhet. Ugyanez a helyzet akkor is, ha valamelyik játékos előre meghatározott módon cserélgeti a választásait, hiszen egy idő után a másik játékos rájöhet a szabályszerűségre, és az információt a saját javára használhatja fel. A legjobb amit tehetnek, hogy véletlenszerűen választanak az alternatívák közül, tehát keverik a stratégiákat. Ekkor viszont az a kérdés merül fel, hogy az egyes választási lehetőségekhez mekkora valószínűségeket rendeljenek hozzá, másképpen fogalmazva, milyenek legyenek a valószínűség-eloszlások. Jelölje a p = [p 1, p 2,..., p k ] vektor azt, hogy az első játékos a mátrix első, második, stb. k-adik sorát rendre p 1, p 2, stb. p k valószínűséggel választja, ahol k i=1 p i = 1. Hasonlóan a q = [q 1, q 2,..., q n ] ( k j=1 q j = 1) vektor a második játékos alternatíváihoz tartozó valószínűség-eloszlást mutatja. Ekkor az első játékos nyereményének várható értéke az k n E( p, q) = a ij p i q j = p A q i=1 j=1 kifejezéssel számolható. Ebből adott p, q vektorok esetén rögtön eldönthető, hogy kinek előnyös a játékot így játszani. Nyilvánvaló, hogy a hátrányos helyzetben levő fél változtatni szeretne. De vajon sikerülhet-e neki? Most azt vizsgáljuk meg, hogyan kell a kevert stratégiákat megválasztani a jétékosoknak, hogy a lehető legjobban járjanak a játék során. Egyensúlyi helyzet akkor alakul ki, ha a szembenálló feleknek van olyan p 0 ill. q 0 kevert stratégiájuk, melyekre bármely p és q mellett teljesül. E( p, q 0 ) E( p 0, q 0 ) E( p 0, q) (1) 6. Definíció. A ( p 0, q 0 ) vektorpár az A mátrixjáték nyeregpontja, ha bármely p és q eloszlásra E( p, q 0 ) E( p 0, q 0 ) E( p 0, q). Ekkor v = E( p 0, q 0 ) a játék értéke. 7. Tétel. (Játékelmélet alaptétele, Neumann János) Minden mátrixjátéknak van nyeregpontja. Meg kell jegyeznünk, hogy több nyeregpont esetén azok egymással egyenértékűek, ugyanazt a v értéket szolgáltatják. Továbbá könnyen látható, hogy a tiszta stratégia a kevert stratégia olyan speciális esete, mikor a valószínűség-eloszlásban egy valószínűség 1 lesz, a többi pedig 0. A fő kérdés a továbbiakban az, hogyan lehet megkeresni a nyeregpontot?

4 4 Mátrixjátékok vizsgálata speciális esetekben I. ESET 8. Tétel. Ha egy [a ij ] IR k n mátrix minden sorában ugyanaz az S szám az elemek összege, továbbá ugyanaz az O szám az egy oszlopban levő elemek összege, akkor [ 1 p 0 = k, 1 k,..., 1 ] [ 1, q 0 = k n, 1 n,..., 1 ], n továbbá v = ki=1 nj=1 a ij k n = S n = O k. 9. Példa. Az IR 3 4 mátrixszal adott játék esetén minden sorban az elemek összege S = 8, és minden oszlopban az elemek összege O = 6. Az előző tétel szerint a játékosok egyenletesen osztják szét az egységnyi valószínűséget az alternatíváik között: [ 1 p 0 = 3, 1 3, 1 ] [ 1, q 0 = 3 4, 1 4, 1 4, 1 ]. 4 A játék az első játékos számára kedvező, mert a játék értéke pozitív. v = 2 = 8 4 = 6 3 Vannak olyan mátrixjátékok, amelyeknél a feltételek ellenőrzése pillanatok alatt megtörténhet. Ezekben az esetekben a játék vizsgálatát leggyorsabban az előző tétellel lehet végrehajtani. Tekintsünk két ilyen példát. 10. Példa. Legyenek x és y tetszőleges valós számok. Ha [ ] x y IR 2 2 y x akkor S = O = x + y, és mindkét játékosnak 1/2-1/2 valószínűséggel kell választania az egyes lehetőségeit. A játék értéke v = (x + y)/ Példa. Bármely a, b, c valós számok esetén az a b c c a b b c a IR 3 3 mátrixszal megadott játékra S = O = a + b + c, tehát az egyes stratégiákra rendre 1/3 valószínűség jut. A játék értéke v = (a + b + c)/3.

5 5 II. ESET (2 2-es játékok) Legyen most [ a11 a 12 a 21 a 22 egy tiszta nyeregponttal nem rendelkező mátrixjáték. Mivel mindkét játékosnak két választási lehetősége van, így a stratégiáik p = [p 1, p 2 ] = [p, 1 p] illetve q = [q 1, q 2 ] = [q, 1 q] alakban írhatók, ahol 0 p, q 1. Tehát a játék megoldásához elegendő p, q és v meghatározása. 12. Tétel. Ha egy 2 2-es A mátrixjátéknak nincs tiszta nyeregpontja akkor a 11 a 12 a 21 + a Tétel. Ha egy 2 2-es A mátrixjátéknak nincs tiszta nyeregpontja akkor 14. Példa. Az p = a 22 a 21 A, q = a 22 a 12 A [ ], v = a 11a 22 a 21 a 12. A mátrixjátéknak nincs tiszta nyeregpontja. Mivel 2 ( 3) ( 3) + 4 = 12, ezért p = 7/12, q = 7/12 és v = 1/12. Az előző tétel használata nélkül is könnyen meghatározhatók a p, q és v értékek. Erre két módszer is ajánlkozik. Az elsőt algebrai módszernek hívjuk és lényegében az előző tétel bizonyításának lépéseit számoljuk végig az adott mátrix esetén. A második eljárást geometriai módszernek nevezzük, mert az E( p 0, q 0 ) = E(p 0, q 0 ) várható értékre vonatkozó (1) egyenlőtlenségeket használja p = 0 és p = 1 illetve q = 0 és q = 1 esetén. 15. Példa. Lásd 2 2-es mátrixjátékokra vonatkozó mintafeladat. Mivel a mintapéldában nincs leírva az egyenlőtlenségek pontos származtatása, ezért itt tesszük ezt meg. Legyen tehát [a ij ] IR 2 2. Ekkor tetszőleges p és q valószínűségek esetén E(p, q) = a 11 pq + a 12 p(1 q) + a 21 (1 p)q + a 22 (1 p)(1 q). (1) alapján az alábbi egyenlőtlenségrendszerek írhatók fel. és E(1, q 0 ) = a 11 q 0 + a 12 (1 q 0 ) v E(0, q 0 ) = a 21 q 0 + a 22 (1 q 0 ) v v min E(p 0, 1) = a 11 p 0 + a 21 (1 p 0 ) v E(p 0, 0) = a 12 p 0 + a 22 (1 p 0 ) v v max A két egyenlőtlenségrendszert rendezve és külön-külön grafikusan megoldva egyszerűen juthatunk el az optimális stratégiák és a játék értékének meghatározásához. ]

6 6 III. ESET (2 n-es vagy k 2-es játékok) Ezen speciális típusnál ötvöződik az előző esetnél megismert grafikus és algebrai megoldás. Először a geometriai módszert felhasználva meghatározzuk a két választási lehetőséggel rendelkező játékos kevert stratégiáját. A 2 2-es játék megoldásától ez abban különbözik, hogy a megfelelő egyenlőtlenség-rendszer kettőnél több egyenlőtlenséget tartalmaz. A második lépésben az első lépés eredményét is felhasználva algebrai úton kiszámoljuk a másik játékos kevert stratégiáját. 16. Példa. Lásd 2 5-ös mátrixjátékra vonatkozó mintafeladatot.

7 7 Mátrixjátékok megoldás szimplex módszerrel Tekintsük most ismét a k n-es a 11 a a 1n a 21 a a 2n [a ij ] = a k1 a k2... a kn mátrixszal megadott játékot. Most egy univerzális módszert ismertetünk a játékosok optimális stratégiáinak meghatározására. A módszer akkor is működik, ha tiszta stratégia van, de azért annak kritériumát érdemes először a sorminimumokkal és az oszlopmaximumokkal tesztelni, mert a feltétel teljesülése esetén gyorsabban jutunk megoldáshoz, mint az általános eljárással. A megoldás lépéseit pontokba szedve fogalmazzuk meg. 1. Ha az A mátrix elemei között van negatív érték, akkor válasszunk egy (lehetőleg kicsi) pozitív c számot úgy, hogy az A mátrix minden eleméhez c-t adva, a kapott A 1 mátrix minden eleme nemnegatív legyen. 2. A szimplex módszert alkalmazva megoldjuk az A 1 x 1 x 0 1 x max, A 1 ȳ 1 ȳ 0 1 ȳ min primál-duál feladatpárt. 3. A primál programozási feladat és duálisának megoldásában legyen a közös maximális ill. minimális érték ṽ. Az első játékos optimális stratégiájára p = [p 1,..., p k ] = 1 ṽ ȳ = 1 ṽ [y 1,..., y k ] = teljesül, míg a második játékos optimális stratégiája q = [q 1,..., q n ] = 1 ṽ x = 1 ṽ [x 1,..., x n ] = [ y1 ṽ,... y ] k ṽ [ x1 ṽ,... x ] n ṽ alapján számolható. Tehát az első játékos optimális stratégiájára a duális feladat megoldásából, a második játékos optimális staratégiájára a primál feladatéból következtethetünk. Az eredeti A mátrixjáték értéke v = 1 ṽ c. 17. Példa. Lásd a mátrixjátékok szimplex módszerrel való elemzésére vonatkozó mintafeladatot.

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

JÁTÉKELMÉLETTEL KAPCSOLATOS FELADATOK

JÁTÉKELMÉLETTEL KAPCSOLATOS FELADATOK 1.Feladat JÁTÉKELMÉLETTEL KAPCSOLATOS FELADATOK Az alábbi kifizetőmátrixok három különböző kétszemélyes konstans összegű játék sorjátékosának eredményeit mutatják: 2 1 0 2 2 4 2 3 2 4 0 0 1 0 1 5 3 4 3

Részletesebben

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a A merész játékok stratégiája A következő problémával foglalkozunk: Tegyük fel, hogy feltétlenül ki kell fizetnünk 000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a még

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

Amortizációs költségelemzés

Amortizációs költségelemzés Amortizációs költségelemzés Amennyiben műveleteknek egy M 1,...,M m sorozatának a futási idejét akarjuk meghatározni, akkor egy lehetőség, hogy külön-külön minden egyes művelet futási idejét kifejezzük

Részletesebben

Operációkutatás vizsga

Operációkutatás vizsga Operációkutatás vizsga A csoport Budapesti Corvinus Egyetem 2007. január 16. Egyéb gyakorló és vizsgaanyagok találhatók a honlapon a Letölthető vizsgasorok, segédanyagok menüpont alatt. OPERÁCIÓKUTATÁS,

Részletesebben

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex

Részletesebben

Érzékenységvizsgálat

Érzékenységvizsgálat Érzékenységvizsgálat Alkalmazott operációkutatás 5. elıadás 008/009. tanév 008. október 0. Érzékenységvizsgálat x 0 A x b z= c T x max Kapacitások, együtthatók, célfüggvény együtthatók változnak => optimális

Részletesebben

Gráfelméleti feladatok. c f

Gráfelméleti feladatok. c f Gráfelméleti feladatok d e c f a b gráf, csúcsok, élek séta: a, b, c, d, e, c, a, b, f vonal: c, d, e, c, b, a út: f, b, a, e, d (walk, lanţ) (trail, lanţ simplu) (path, lanţ elementar) 1 irányított gráf,

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Debreceni Egyetem Informatikai Kar JÁTÉKELMÉLET

Debreceni Egyetem Informatikai Kar JÁTÉKELMÉLET Debreceni Egyetem Informatikai Kar JÁTÉKELMÉLET Témavezető: Dr. Várterész Magda egyetemi docens Készítette: Szabó Péter programtervező informatikus szak Debrecen 2010. KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS Ezúton szeretném

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer

Részletesebben

Mesterséges intelligencia 3. laborgyakorlat

Mesterséges intelligencia 3. laborgyakorlat Mesterséges intelligencia 3. laborgyakorlat Kétszemélyes játékok - Minimax A következő típusú játékok megoldásával foglalkozunk: (a) kétszemélyes, (b) determinisztikus, (c) zéróösszegű, (d) teljes információjú.

Részletesebben

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal 11 DETERMINÁNSOK 111 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Bevezetés A közgazdaságtanban gyakoriak az olyan rendszerek melyek jellemzéséhez több adat szükséges Például egy k vállalatból álló csoport minden

Részletesebben

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában

Részletesebben

EuroOffice Optimalizáló (Solver)

EuroOffice Optimalizáló (Solver) 1. oldal EuroOffice Optimalizáló (Solver) Az EuroOffice Optimalizáló egy OpenOffice.org bővítmény, ami gyors algoritmusokat kínál lineáris programozási és szállítási feladatok megoldására. Szimplex módszer

Részletesebben

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb

Részletesebben

Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével. - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma

Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével. - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma Egy bútorgyár polcot, asztalt és szekrényt gyárt faforgácslapból. A kereskedelemben

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Döntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba

Döntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba I. előadás Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva Informatika Tanszék A 602 szoba Tárggyal kapcsolatos anyagok megtalálhatók: http://www.sze.hu/~egertne Konzultációs idő: (páros tan. hét) csütörtök 10-11 30

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Sokszor nem lehetséges, hogy a tanult linearizációs módszerrel meghatározzuk

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Lineáris egyenletrendszerek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. Leontieff-modellek Leontieff-modellek: input-output modellek gzdság leírásár legyen n féle, egymássl összefüggésben

Részletesebben

Operációkutatás. Glashütter Andrea

Operációkutatás. Glashütter Andrea Glashütter Andrea Mátriok I. Mátriok A mátriok olyan számtáblázatok, amelyek n db sorral és m db oszloppal rendelkeznek. Általános mátri: m n nm n n m m a a a a a a a a a A K M O M M K K Egy tetszleges

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Játékelmélet. előadás jegyzet. Kátai-Urbán Kamilla. Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Vizsga: írásbeli.

Játékelmélet. előadás jegyzet. Kátai-Urbán Kamilla. Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Vizsga: írásbeli. Játékelmélet Kátai-Urbán Kamilla Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Vizsga: írásbeli Irodalom előadás jegyzet J. D. Williams: Játékelmélet Filep László: Játékelmélet 1. Előadás Történeti

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

Mesterséges Intelligencia. Csató Lehel. Csató Lehel. Matematika-Informatika Tanszék Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár 2010/2011 1/363

Mesterséges Intelligencia. Csató Lehel. Csató Lehel. Matematika-Informatika Tanszék Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár 2010/2011 1/363 1/33 Matematika-Informatika Tanszék Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár 2010/2011 Az Előadások Témái 110/33 Bevezető: mi a mesterséges intelligencia... Tudás reprezentáció Gráfkeresési stratégiák Szemantikus

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Alternatívák rangsora Rangsor módszerek. Debreceni Egyetem

Alternatívák rangsora Rangsor módszerek. Debreceni Egyetem Döntéstámogató Rendszerek VII. előadás Bekéné Rácz Anett Debreceni Egyetem Definíciók Példa rangsorfordulásra Rangsorokkal kapcsolatos fogalmak Condorcet nyertes: Az az alternatíva, amely az összes többi

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

Csercsik Dávid ITK PPKE. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 1 / 21

Csercsik Dávid ITK PPKE. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 1 / 21 Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea Csercsik Dávid ITK PPKE Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 4. ea 1 / 21 1 Nash bargaining 2 Kooperatív játékok TU CFF játékok tulajdonságai

Részletesebben

Paradoxonok a véletlen világából Vancsó Ödön (ELTE) előadása

Paradoxonok a véletlen világából Vancsó Ödön (ELTE) előadása Paradoxonok a véletlen világából Vancsó Ödön (ELTE) előadása Az előadás április 12-én hangzott el kétszer is a Weöres Sándor Gimnáziumban. Három problémát beszéltünk meg, játszottunk végig. A paradoxon

Részletesebben

Többszempontú döntési módszerek

Többszempontú döntési módszerek XI. előadás Többszempontú döntési módszerek Mindennapi tapasztalat: döntési helyzetbe kerülve több változat (alternatíva) között kell (lehet) választani, az alternatívákat kölönféle szempontok szerint

Részletesebben

Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz

Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz 1. Feladat 1. Milyen egységeket rendelhetünk az egyedi információhoz? Mekkora az átváltás közöttük? Ha 10-es alapú logaritmussal számolunk, a mértékegység

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (0. 0. 0.-0.) Várható érték, szórás, módusz. A k 0, (k,,, 4) diszkrét eloszlásnak (itt P(X k)) mennyi a (a) várható értéke, (b) módusza, (c) második momentuma, (d) szórása?

Részletesebben

Próbaérettségi 2004 MATEMATIKA. PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május EMELT SZINT. 240 perc

Próbaérettségi 2004 MATEMATIKA. PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május EMELT SZINT. 240 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május MATEMATIKA EMELT SZINT 240 perc A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben

Részletesebben

1/50. Teljes indukció 1. Back Close

1/50. Teljes indukció 1. Back Close 1/50 Teljes indukció 1 A teljes indukció talán a legfontosabb bizonyítási módszer a számítástudományban. Teljes indukció elve. Legyen P (n) egy állítás. Tegyük fel, hogy (1) P (0) igaz, (2) minden n N

Részletesebben

i=1 i+3n = n(2n+1). j=1 2 j < 4 2 i+2 16 k, azaz az algoritmus valóban konstans versenyképes.

i=1 i+3n = n(2n+1). j=1 2 j < 4 2 i+2 16 k, azaz az algoritmus valóban konstans versenyképes. 1. Feladat Adott egy parkoló, ahol egy professzor a kocsiját tartja. A parkolóhelyeket egy n és n közötti szám azonosítja, az azonosító szerint helyezkednek el balról jobbra. A professzor kijön az egyetemr

Részletesebben

Nemlineáris optimalizálás Dr. Házy, Attila

Nemlineáris optimalizálás Dr. Házy, Attila Nemlineáris optimalizálás Dr. Házy, Attila Nemlineáris optimalizálás Dr. Házy, Attila Miskolci Egyetem Kelet-Magyarországi Informatika Tananyag Tárház Kivonat Kivonat Nemzeti Fejlesztési Ügynökség http://ujszechenyiterv.gov.hu/

Részletesebben

Csercsik Dávid ITK PPKE. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 1 / 31

Csercsik Dávid ITK PPKE. Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 1 / 31 Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea Csercsik Dávid ITK PPKE Csercsik Dávid (ITK PPKE) Játékelmélet és hálózati alkalmazásai 2. ea 1 / 31 1 Az információ szerepe Játékok extenzív formában Csercsik

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9.

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis Becslések, határeloszlás tételek Székely Balázs 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis 1 CHT és NSZT 2 Hoeffding-egyenlőtlenség Alkalmazása: Beengedés

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,

Részletesebben

Partíció probléma rekurzíómemorizálással

Partíció probléma rekurzíómemorizálással Partíció probléma rekurzíómemorizálással A partíciószám rekurzív algoritmusa Ω(2 n ) műveletet végez, pedig a megoldandó részfeladatatok száma sokkal kisebb O(n 2 ). A probléma, hogy bizonyos már megoldott

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT I. 45 perc A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

MECHANIKA I. /Statika/ 1. előadás SZIE-YMM 1. Bevezetés épületek, építmények fizikai hatások, köztük erőhatások részleges vagy teljes tönkremenetel használhatatlanná válás anyagi kár, emberáldozat 1 Cél:

Részletesebben

DÖNTÉSELMÉLETTEL KAPCSOLATOS FELADATOK

DÖNTÉSELMÉLETTEL KAPCSOLATOS FELADATOK 1.Feladat DÖNTÉSELMÉLETTEL KAPCSOLATOS FELADATOK Egy vállalat egy gázmező kitermelését fontolgatja. A feltárás 10 millió dollárba kerülne,ami tiszta veszteség, ha a feltárás eredménytelen és nem találnak

Részletesebben

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

Makay Géza, makayg@math.u-szeged.hu, SZTE, Bolyai Intézet

Makay Géza, makayg@math.u-szeged.hu, SZTE, Bolyai Intézet Makay Géza, makayg@math.u-szeged.hu, SZTE, Bolyai Intézet A SUDOKU szabályai, története A Sudoku egy cellából álló rács. A rács kilenc kisebb, -as blokkra oszlik, amelyben elszórva néhány -től -ig terjedő

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

2013.11.25. H=0 H=1. Legyen m pozitív egészre {a 1, a 2,, a m } különböző üzenetek halmaza. Ha az a i üzenetet k i -szer fordul elő az adásban,

2013.11.25. H=0 H=1. Legyen m pozitív egészre {a 1, a 2,, a m } különböző üzenetek halmaza. Ha az a i üzenetet k i -szer fordul elő az adásban, Legyen m pozitív egészre {a 1, a 2,, a m } különböző üzenetek halmaza. Ha az a i üzenetet k i -szer fordul elő az adásban, akkor a i (gyakorisága) = k i a i relatív gyakorisága: A jel információtartalma:

Részletesebben

Mesterséges Intelligencia. Csató Lehel. Csató Lehel. Matematika-Informatika Tanszék Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár 2007/2008

Mesterséges Intelligencia. Csató Lehel. Csató Lehel. Matematika-Informatika Tanszék Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár 2007/2008 Matematika-Informatika Tanszék Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár 2007/2008 Az Előadások Témái Bevezető: mi a mesterséges intelligencia... Tudás reprezentáció Gráfkeresési stratégiák Szemantikus hálók

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 21. lecke: A feltételes valószínűség, események függetlensége Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2009. május 5. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2009. május 5. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc ÉRETTSÉGI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM

Részletesebben

Bevezetés az operációkutatásba A lineáris programozás alapjai

Bevezetés az operációkutatásba A lineáris programozás alapjai Bevezetés az operációkutatásba A lineáris programozás alapjai Alkalmazott operációkutatás 1. elıadás 2008/2009. tanév 2008. szeptember 12. Mi az operációkutatás (operations research)? Kialakulása: II.

Részletesebben

Egyszerű programozási tételek

Egyszerű programozási tételek Egyszerű programozási tételek 2. előadás Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar 2011. szeptember 15. Sergyán (OE NIK) AAO 02 2011. szeptember 15.

Részletesebben

Valószínűségszámítás és statisztika

Valószínűségszámítás és statisztika Valószínűségszámítás és statisztika Programtervező informatikus szak esti képzés Varga László Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Matematikai Intézet Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012 november 14) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: test, monoid, vektortér, dimenzió, mátrixok Az előadáshoz ajánlott

Részletesebben

Kereső algoritmusok a diszkrét optimalizálás problémájához

Kereső algoritmusok a diszkrét optimalizálás problémájához Kereső algoritmusok a diszkrét optimalizálás problémájához A. Grama, A. Gupta, G. Karypis és V. Kumar: Introduction to Parallel Computing, Addison Wesley, 2003. könyv anyaga alapján A kereső eljárások

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

13. Egy x és egy y hosszúságú sorozat konvolúciójának hossza a. x-y-1 b. x-y c. x+y d. x+y+1 e. egyik sem

13. Egy x és egy y hosszúságú sorozat konvolúciójának hossza a. x-y-1 b. x-y c. x+y d. x+y+1 e. egyik sem 1. A Huffman-kód prefix és forráskiterjesztéssel optimálissá tehető, ezért nem szükséges hozzá a forrás valószínűség-eloszlásának ismerete. 2. Lehet-e tökéletes kriptorendszert készíteni? Miért? a. Lehet,

Részletesebben

Dobble Denis Blanchot játéka 2-8 játékos számára 7 éves kortól

Dobble Denis Blanchot játéka 2-8 játékos számára 7 éves kortól Dobble Denis Blanchot játéka 2-8 játékos számára 7 éves kortól Mi a Dobble? A Dobble egy 55 lapos kártyapakli, melynek minden lapján 8 szimbólum látható. A lapokon összesen több mint 50 különbüző szimbólum

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2009. június 8. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

lineáris programozás esetében. Ennek ez idő szerint legkorábbi formalizálását

lineáris programozás esetében. Ennek ez idő szerint legkorábbi formalizálását 1. előadás Bevezetés Lehetetlen egészen pontosan megállapítani, mi tekinthető az operációkutatás első eredményeinek, hisz az optimalizálás mégcsak nem is az emberi faj kiváltsága. Kétségtelen viszont,

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 9. előadás: Paraméteres iterációk, relaxációs módszerek Lócsi Levente ELTE IK Tartalomjegyzék 1 A Richardson-iteráció 2 Relaxált Jacobi-iteráció 3 Relaxált Gauss Seidel-iteráció

Részletesebben

A zsebrádiótól Turán tételéig

A zsebrádiótól Turán tételéig Jegyzetek egy matekóráról Lejegyezte és kiegészítésekkel ellátta: Meszéna Balázs A katedrán: Pataki János A gráfokat rengeteg életszagú példa megoldásában tudjuk segítségül hívni. Erre nézzünk egy példát:

Részletesebben

Dr. Tóth László Hány osztója van egy adott számnak? 2008. április

Dr. Tóth László Hány osztója van egy adott számnak? 2008. április Hány osztója van egy adott számnak? Hány osztója van egy adott számnak? Dr. Tóth László http://www.ttk.pte.hu/matek/ltoth előadásanyag, Pécsi Tudományegyetem, TTK 2008. április. Bevezetés Lehetséges válaszok:

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

VÁLLALATGAZDASÁGTAN II. Döntési Alapfogalmak

VÁLLALATGAZDASÁGTAN II. Döntési Alapfogalmak Vállalkozási VÁLLALATGAZDASÁGTAN II. Tantárgyfelelős: Prof. Dr. Illés B. Csaba Előadó: Dr. Gyenge Balázs Az ökonómiai döntés fogalma Vállalat Környezet Döntések sorozata Jövő jövőre vonatkozik törekszik

Részletesebben

Programozás I. házi feladat

Programozás I. házi feladat Programozás I. házi feladat 2013. 6. hét, 1. rész A feladatsor 4 feladatot tartalmaz, amelyeket egy közös forráskódban kell megvalósítani. Annak érdekében, hogy a tesztelő egymástól függetlenül tudja tesztelni

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK

KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 13. KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 13. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI

Részletesebben

Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a

Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg ) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a b d c A megfelelő gráf: d a b c ) Egy szórakoztató feladat (Hamilton-féle probléma) Helyezzük el az,,,...,

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA ALKALMAZÁSA A KRITIKUS INFRASTRUKTÚRA KOCKÁZATÁNAK KEZELÉSÉBEN

LINEÁRIS ALGEBRA ALKALMAZÁSA A KRITIKUS INFRASTRUKTÚRA KOCKÁZATÁNAK KEZELÉSÉBEN VIII. Évfolyam 4. szám - 203. december Gyarmati József gyarmati.jozsef@uni-nke.hu LINEÁRIS ALGEBRA ALKALMAZÁSA A KRITIKUS INFRASTRUKTÚRA KOCKÁZATÁNAK KEZELÉSÉBEN Absztrakt A kockázatok becslése meghatározó

Részletesebben

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek:

Részletesebben

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR 1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben kitűzött

Részletesebben

Oktatási Hivatal. A 2014/2015 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő fordulójának feladatai. II. (programozás) kategória

Oktatási Hivatal. A 2014/2015 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő fordulójának feladatai. II. (programozás) kategória Oktatási Hivatal A 2014/2015 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő fordulójának feladatai II. (programozás) kategória Kedves Versenyző! A megoldások értékelése automatikusan, online módon

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

Programozás I. Egyszerű programozási tételek. Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu

Programozás I. Egyszerű programozási tételek. Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Programozás I. 3. előadás Egyszerű programozási tételek Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar Alkalmazott Informatikai Intézet 2015. szeptember

Részletesebben