Mintafeladat az RSA algoritmus szemléltetésére

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Mintafeladat az RSA algoritmus szemléltetésére"

Átírás

1 Mintafeladat az RSA algoritmus szemléltetésére Feladat Adottak a p = 269 és q = 24 prímszámok, továbbá az e = 5320 nyilvános kulcs és az x = nyílt szöveg. Számolja ki n = p q és ϕ(n) értékét! Igazolja az euklideszi algoritmussal, hogy ϕ(n) és e relatív prímek, majd szintén az euklideszi algoritmust felhasználva számolja ki az e szám multiplikatív inverzét modulo ϕ(n)! Titkosítsa az x üzenetet az n és e nyilvános kulcsok segítségével! Fejtse vissza az előző pontban kapott kriptoszövegből az eredeti nyílt szöveget! n = pq = = 64829; ϕ(n) = (p )(q ) = = Az euklideszi algoritmus végrehajtása során az alábbi maradékos osztásokat kellett kiszámolni. A legnagyobb közös osztó az utolsó nem nulla maradék (a bekeretezett maradék): gcd(ϕ(n), e) =, azaz ϕ(n) és e valóban relatív prímek = = = = = = = = = = = = = Legyen d az e szám multiplikatív inverze modulo ϕ(n). (d létezik, mivel ϕ(n) és e relatív prímek.) A meghatározásához az előző táblázatban lefelé haladva soronként kell kifejezni az osztási maradékokat ϕ(n)-nel és e-vel. (A részleteket csak az első pár sorban közöljük, az áttekinthetőség miatt ϕ(n) helyett itt inkább az F betűt használjuk.) 9 = F e 8752 = e 4 9 = e 4 (F e) = 4 F + 5 e 2394 = = (F e) ( 4 F + 5 e) = 5 F 6 e 543 = = ( 4 F + 5 e) 3(5 F 6 e) = 9 F + 23 e 85 = = (5 F 6 e) ( 9 F + 23 e) = 24 F 29 e 692 = 43 F + 52 e 59 = 67 F 8 e 56 = 3 F e 47 = 689 F 833 e 9 = 000 F e 2 = 5689 F 6878 e

2 2 = F e 2872 e (mod ϕ(n)) d = Az y kriptoszöveg előállítása y x e (mod n) y (mod 64829) alapján történik. Ennek gyors lebonyolítása érdekében a kitevőt kettő hatványainak összegeként állítjuk elő: Ezt felhasználva 5320 = x 5320 = x 25 x 24 x 2 x 20 x 29 x 28 x 27 x 26 x 24 x 20 = = (((... ( 2 )x) 2 x) 2 ) 2 ) 2 x) 2 x) 2 x) 2 x) 2 x) 2 x) 2 ) 2 x) 2 ) 2 ) 2 ) 2 x. Minden lépésben (mod 64829) kell a négyzetre emeléseket és a szorzásokat tekinteni. Tehát először ( ) (mod 64829), majd (mod 64829), utána (mod 64829), (mod 64829), stb. A következő számolások eredményei: 2278, 49487, 35533, 25004, 60979, 4488, 9459, 866, 5768, 2547, 6606 (mod 64829). A végeredmény lesz a keresett kriptoszöveg: y = 6606, ezt kell elküldeni a címzettnek. A d = 2872 titkos kulccsal lehet megfejteni az y kriptoszöveget, mégpedig x y d (mod n) x (mod 64829) kiszámításával. Itt a felbontást nem részletezzük, de a sorozatos négyzetre emelések (mod 64829) eredményeit közöljük a nyomon követhetőség kedvéért: 54732, 53646, 4348, 39865, 9, 46, 7824, 32876, 6282, 5838, 59784, 39057, 22879, Mint látható, a legutolsó szám valóban a kiindulási nyílt szöveg x =

3 3 Mintafeladat a hátizsák algoritmus szemléltetésére Feladat Adott a {v k } 0 0 = {, 3, 7, 4, 28, 54, 0, 29, 437, 875, 750} szupernövekvő sorozat és az m = 3527 primmodulus, továbbá az a = 2222 szám és az x = 666 nyílt szöveg. Az euklideszi algoritmust felhasználva számolja ki az a szám b multiplikatív inverzét modulo m! Állítsa elő a megadott {v k} 0 k=0 sorozat, az a szám és az m modulus segítségével a {w k } 0 k=0 nyilvános kulcsot! Írja fel kettes számrendszerben az x üzenetet, majd titkosítsa azt a nyilvános kulcs segítségével (jelölje C az így kapott kriptoszöveget)! Fejtse vissza a C kriptoszövegből az eredeti nyílt szöveget! 3527 = = = = = = = = Hasonlóan az előző mintafeladathoz, az -et mint a 3527 és 2222 legnagyobb közös osztóját ki lehet fejezni 3527 és 2222 egészegyütthatós lineáris kombinációjaként (a számolást most nem részletezzük). gcd(3527, 2222) = = (mod 3527) b = 3427 = (mod 3527). A {w k } sorozat tagjait a w k a v k (mod m) képlet szolgáltatja: {w k } 0 0 = {2222, 339, 446, 2892, 2257, 70, 057, 349, 089, 873, 746}. x = 666 = (000000) 2, és azért írtunk az x szám kettes számrendszerbeli alakjának elejére egy 0-t, hogy mind a tizenegy bit fel legyen tüntetve. Ha az k-adik bitet ε k jelöli, akkor a C kriptoszöveget az x nyílt szövegből a C = 0 k=0 ε k w k formulával lehet meghatározni. Eszerint C = A C kriptoszöveg megfejtéséhez a b titkos kulccsal kell beszorozni C-t modulo m, majd az így kapott számot a szupernövekvő {v k } 0 0 sorozat elemeinek összegeként kell felírni. b C = (mod 3527). 39 = = v 9 +0 v 8 + v 7 +0 v 6 +0 v 5 + v 4 + v 3 +0 v 2 + v +0 v 0, ahonnan x = (00000) 2 = 666.

4 4 Mintafeladat a 2 2-es mátrixjátékok elemzésére Feladat Tekintsük az mátrixszal megadott mátrixjátékot. A = [ Igazolja, hogy a játékosoknak nincs tiszta stratégiájuk! Határozza meg grafikus módszerrel a játékosok kevert stratégiáit, és a játék értékét! Határozza meg algebrai módszerrel a játékosok kevert stratégiáit, és a játék értékét! Tegyük fel, hogy a második játékos a bank. Mennyiért adja a bank az első játékosnak egy játék jogát, hogy igazságos legyen a játék? Az A mátrix sorminimumainak maximuma nem egyezik meg az oszlopmaximumok minimumával ( 2 6), tehát nincsenek tiszta stratégiák. Jelöljük a meghatározandó kevert stratégiát az első játékosnál [p, p]-vel, a második játékosnál [q, q]-val. Az alábbi egyenlőtlenségeket kell grafikus úton megoldani. 6p 2( p) v 4p + 8( p) v v max (0 p ) 6q 4( q) v 2q + 8( q) v v min (0 q ) ] v 8 v 8 A 0 p 0 A q ábra. p és q meghatározása grafikus úton.

5 5 Ehhez a v = 2 + 8p és v = 8 2p valamint a v = 4 + 0q és v = 8 0q egyenletű egyeneseket kell feltüntetni. (Az ábrákon az egyenesek sorszámozása a felírásuk sorrendjében történt.) Mindkét ábrán az A pont koordinátáit kell meghatározni. Az első esetben a v = 2+8p = 8 2p egyenletekből p = 2, v = 2. A második esetben v = 4+0q = 8 0q miatt q = 3 5, v ismét 2. Tehát az optimális stratégiák [p, p] = [/2, /2] és [q, q] = [3/5, 2/5]. A p és q valószínűségek mellett az első játékos nyereményének várható értéke E(p, q) = 6pq 4p( q) 2( p)q + 8( p)( q) = 20 ( pq 3p q ) = = 20 ( ) ( ) p 2 q Tehát a játék értéke 2, amely az első játékosnak kedvező. Az optimális stratégiák: [p, p] = [/2, /2], [q, q] = [3/5, 2/5]. A korábbiak szerint az első játékos játékonként átlagosan 2 pénzegységet nyer a másodiktól. Ha ennyibe kerül a játék az első számára, akkor játékjog megvételével az egy játékra jutó átlagos nyereménye 0 lesz, miközben a második játékos a játékban elszenvedett veszteségét a játékjog díjával kompenzálja. A játék ára tehát két pénzegység legyen.

6 6 Mintafeladat a 2 n-es ill. k 2-es mátrixjátékok elemzésére Feladat Tekintsük az D = mátrixszal megadott mátrixjátékot. [ Igazolja, hogy a játékosoknak nincs tiszta stratégiájuk! Határozza meg grafikus módszerrel az első játékos kevert stratégiáját és a játék értékét! Az előbbi eredményeket felhasználva határozza meg algebrai módszerrel a második játékos kevert stratégiáját! Kinek előnyös a játék? Tegyük fel, hogy a fizetési mátrix elemei forint kifizetéseket jelentenek. Várhatóan mennyi pénzt nyer az egyik játékos a másiktól, ha az optimális stratégiákat követve 000 játékot játszanak? A D mátrix sorminimumainak maximuma nem egyezik meg az oszlopmaximumok minimumával ( 4 4), tehát nincsenek tiszta stratégiák. Jelöljük a meghatározandó kevert stratégiát az első játékosnál [p, p]-vel, a második játékosnál [q, q 2, q 3, q 4, q 5 ]-tel (q + q 2 + q 3 + q 4 + q 5 = ). ] Az alábbi egyenlőtlenségrendszert kell grafikus úton megoldani. p + 4( p) v 4p 6( p) v 8p 2( p) v 4p + 6( p) v 5p + 2( p) v v max (0 p ) Az egyenlőtlenségek bal oldala alapján a v = 4 5p, v = p, v = 2 + 0p, v = 6 0p, v = 2 + 3p egyeneseket kell ábrázolni a [0, ] intervallumon. (A grafikonon az itteni felírásuk sorrendjében sorszámoztuk az egyeneseket.) Az egyenesek alatti tartományok közös részének legmagasabb pontját, A-t kiemeltük. Ez rajta van az első négy egyenes mindegyikén, és p meghatározásához a koordinátáit kell kiszámolni. Bármely két, rajta áthaladó egyenes alkalmas erre, válasszuk pl. az elsőt és a másodikat. Ekkor a v = 4 5p = p egyenletekből p = 2, továbbá v = 2 következik. Tehát az első játékos optimális statégiája 5 [p, p] = [2/5, 3/5], a játék értéke v = 2. Az A ponton áthaladó egyenesek közül a negyediknek, azaz v = 6 0p-nek legkisebb a meredeksége; a legnagyobb meredekségű pedig a második, azaz a v = p egyenletű egyenes. A szóban forgó két egyenest és a v = 2 eredményt felhasználva úgy kell megválasztani a λ IR, 0 λ valós számot, hogy a λ(6 0p) + ( λ)( p) = 2

7 7 v A 0 p ábra. p meghatározása grafikus úton. egyenlőség minden p-re teljesüljön. Átrendezve (2λ 6) + (20 30λ)p = 2-höz jutunk, ahonnan 20 30λ = 0, tehát λ = 2 (hasonló eredményre vezet, ha 2λ 6 = 2-ből 3 indulunk ki). Az egyenesek szorszámából, valamint a λ és λ számokból felírhatjuk a második játékos optimális stratégiáját: [q, q 2, q 3, q 4, q 5 ] = [0, /3, 0, 2/3, 0]. A korábbiak szerint az első játékos játékonként átlagosan 2 forintot nyer a másodiktól, ezért a játék számára előnyös, és 000 játék után várhatóan = 2000 forinttal gyarapodik. Igazságossá lehetne tenni a játékot, ha a D mátrix minden elemét 2-vel csökkentenénk.

8 8 Mintafeladat mátrixjátékok szimplex módszerrel való elemzésére Feladat Tekintsük a B = mátrixszal megadott mátrixjátékot Vizsgálja meg, hogy van-e a játékosoknak tiszta stratégiájuk! Határozza meg a szimplex módszerrel a játékosok stratégiáit, és a játék értékét (v)! A B mátrix sorminimumainak maximuma nem egyezik meg az oszlopmaximumok minimumával ( 3 0), tehát nincsenek tiszta stratégiák. Jelöljük a meghatározandó kevert stratégiát az első játékosnál [p, p 2, p 3 ]-mal, a második játékosnál [q, q 2, q 3 ]-mal. A szimplex módszerrel való megoldáshoz transzformálni kell a B mátrixot, mert nem csak pozitív elemeket tartalmaz. Ezért B minden eleméhez hozzáadunk hatot, ekkor a B mátrixhoz jutunk: A B mátrix alapján felírható a B = x + 3x 2 + x 3 3x + 9x 2 + 6x 3 9x + 9x 2 + x 3 z = x + x 2 + x 3 max (x, x 2, x 3 0) lineáris programozási feladat, amelyet a szimplex módszer alkalmazásával oldunk meg. Megengedett bázistranszformációk (a generálóelem pozitív, és egy adott oszlopból mindig a szűk keresztmetszetet kell választani) egymás utáni alkalmazásáva arra kell törekedni, hogy a táblázat alsó sorában csupa negatív érték legyen. A generálóelemeket a szokásoknak megfelelően bekereteztük. x x 2 x 3 b u x 2 x 3 b u u 3 x 3 b x u 0 3 /0 3/0 /0 /0 /7 -/2 2/2 2/2 x 3 u /0 8/0 57/0 7/0 6/7-9/7 39/7 4/7 x 2 u /0 63/0 /0 /0 -/7 0/63 /63 /63 0 -/0 7/0 9/0 -/0 0 -/9 8/9 -/9 u u 3 u 2 b u x 2 u 2 b x 5/39 -/39-2/7 0/7 2/9 3/9 -/57 5/57 x 3 2/3-3/3 7/39 4/39 -/9 27/9 0/57 7/57 u 3 x 2-7/7 9/7 -/35 5/35-7/9 7/9 -/57 5/57-6/7 /7-56/35-7/35 -/9 -/9-3/9-4/9

9 9 A táblázatból az alábbi megoldások olvashatók le. Primál feladat: x = [x, x 2, x 3 ] = [5/57, 0, 7/57]; az eltérésvektor [u, u 2, u 3 ] = [0, 0, 5/57]. Duál feladat: y = [y, y 2, y 3 ] = [/9, 3/9, 0]; az eltérésvektor [w, w 2, w 3 ] = [0, /9, 0]. A maximális (ill. minimális) érték: ṽ = 4/9. Ezen eredményeket felhasználva a mátrixjáték megoldása a következő. [p, p 2, p 3 ] = ṽ y = 9 4 [q, q 2, q 3 ] = ṽ x = 9 4 [ ] [ ] 9, 3 9, 0 = 4, 3 4, 0, [ ] [ ] 5 57, 0, 7 5 = 57 2, 0, 7, 2 v = ṽ 6 = 5 4. A fentiek szerint az első játékosnak rendre /4, 3/4 valószínűséggel kell választania az -es és 2-es stratégiákat, míg a második játékosnak rendre 5/2, 7/2 valószínűséggel az -es és 3-as stratégiákat. A játék értéke 5/4 < 0, tehát a második játékosnak előnyös.

10 0 Mintafeladat Pollard ϱ algoritmusának szemléltetésére Feladat Adott az N = természetes szám, amelyet a Pollard féle ϱ módszerrel szeretnénk faktorizálni egy f(x) egészegyütthatós polinom és az x 0 kezdőelem által generált sorozat segítségével. Bontsa fel két szám szorzatára N-et, ha f(x) = x 2 + és x 0 = 2! Végezze el a szorzattá bontást egy másik polinomot és másik kezdőelemet felhasználva! Az x n+ f(x n ) (mod N) iterációt kell alkalmazni x 0 -ból kiindulva egyszeres és kétszeres sebességgel. A legnagyobb közös osztó meghatározására ismét az Euklideszi algoritmust használtuk. x n f(x n ) (mod N) x 2n f(f(x 2n 2 )) (mod N) gcd(n, x n x 2n ) x 0 = 2 x 0 = Tehát 983 az egyik osztója N = nak. Az osztást elvégezve megkapjuk N egy faktorizációját: = Legyen most f(x) = x 2 + 3, x 0 = 3. x n f(x n ) (mod N) x 2n f(f(x 2n 2 )) (mod N) gcd(n, x n x 2n ) x 0 = 3 x 0 = Másodszorra N-nek egy másik osztóját, a 25-et kaptuk. N felbontása megegyezik az előzőével.

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

megtalálásának hihetetlen nehéz voltán alapszik. Az eljárás matematikai alapja a kis FERMAT-tétel egy következménye:

megtalálásának hihetetlen nehéz voltán alapszik. Az eljárás matematikai alapja a kis FERMAT-tétel egy következménye: Az RSA módszer Az RSA módszer titkossága a prímtényezős felbontás nehézségén, a prímtényezők megtalálásának hihetetlen nehéz voltán alapszik. Az eljárás matematikai alapja a kis FERMAT-tétel egy következménye:

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

RSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,...

RSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,... RSA algoritmus 1. Vegyünk véletlenszerűen két különböző nagy prímszámot, p-t és q-t. 2. Legyen n = pq. 3. Vegyünk egy olyan kis páratlan e számot, amely relatív prím φ(n) = (p 1)(q 1)-hez. 4. Keressünk

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

RSA algoritmus. Smidla József. Rendszer- és Számítástudományi Tanszék Pannon Egyetem

RSA algoritmus. Smidla József. Rendszer- és Számítástudományi Tanszék Pannon Egyetem RSA algoritmus Smidla József Rendszer- és Számítástudományi Tanszék Pannon Egyetem 2012. 3. 27. Smidla József (RSZT) RSA algoritmus 2012. 3. 27. 1 / 29 Tartalom 1 Aszimmetrikus kódolók 2 Matematikai alapok

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Opkut deníciók és tételek

Opkut deníciók és tételek Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek

Részletesebben

1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI /. Legyen adott az alábbi LP-feladat: x + 4x + x 9 x + x x + x + x 6 x, x, x x + x +

Részletesebben

Érettségi feladatok: Függvények 1/9

Érettségi feladatok: Függvények 1/9 Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett

Részletesebben

Assembly programozás: 2. gyakorlat

Assembly programozás: 2. gyakorlat Assembly programozás: 2. gyakorlat Számrendszerek: Kettes (bináris) számrendszer: {0, 1} Nyolcas (oktális) számrendszer: {0,..., 7} Tízes (decimális) számrendszer: {0, 1, 2,..., 9} 16-os (hexadecimális

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis

Részletesebben

2016, Diszkrét matematika

2016, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 8. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? a Fibonacci számsorozat

Részletesebben

Numerikus matematika vizsga

Numerikus matematika vizsga 1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

Harmadik gyakorlat. Számrendszerek

Harmadik gyakorlat. Számrendszerek Harmadik gyakorlat Számrendszerek Ismétlés Tízes (decimális) számrendszer: 2 372 =3 2 +7 +2 alakiérték valódi érték = aé hé helyiérték helyiértékek a tízes szám hatványai, a számjegyek így,,2,,8,9 Kettes

Részletesebben

KÓDOLÁSTECHNIKA PZH. 2006. december 18.

KÓDOLÁSTECHNIKA PZH. 2006. december 18. KÓDOLÁSTECHNIKA PZH 2006. december 18. 1. Hibajavító kódolást tekintünk. Egy lineáris bináris blokk kód generátormátrixa G 10110 01101 a.) Adja meg a kód kódszavait és paramétereit (n, k,d). (3 p) b.)

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

A szimplex algoritmus

A szimplex algoritmus A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

Komplex számok trigonometrikus alakja

Komplex számok trigonometrikus alakja Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike

Részletesebben

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;...

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... Egész számok természetes számok ( ) pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... 0 negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... egész számok ( ) 1. Írd a következõ számokat a halmazábra megfelelõ helyére! 3; 7; +6 ; (

Részletesebben

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

A szimplex tábla. p. 1

A szimplex tábla. p. 1 A szimplex tábla Végződtetés: optimalitás és nem korlátos megoldások A szimplex algoritmus lépései A degeneráció fogalma Komplexitás (elméleti és gyakorlati) A szimplex tábla Példák megoldása a szimplex

Részletesebben

Typotex Kiadó. Bevezetés

Typotex Kiadó. Bevezetés Bevezetés A bennünket körülvevő világ leírásához ősidők óta számokat is alkalmazunk. Tekintsük át a számfogalom kiépülésének logikai-történeti folyamatát, amely minden valószínűség szerint a legkorábban

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 9. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 9. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. KÖZÉPSZINT I. 1) Egy háromszög belső szögeinek aránya :5:11. Hány fokos a legkisebb szög? A legkisebb szög o 0. Összesen: pont ) Egy számtani sorozat első eleme 8, differenciája.

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

Titkosírás. Biztos, hogy titkos? Szabó István előadása. Az életben sok helyen használunk titkosítást (mobil, internet, jelszavak...

Titkosírás. Biztos, hogy titkos? Szabó István előadása. Az életben sok helyen használunk titkosítást (mobil, internet, jelszavak... Biztos, hogy titkos? Szabó István előadása Az életben sok helyen használunk titkosítást (mobil, internet, jelszavak...) Története Az ókortól kezdve rengeteg feltört titkosírás létezik. Monoalfabetikus

Részletesebben

Bevezetés az informatikába gyakorló feladatok Utoljára módosítva:

Bevezetés az informatikába gyakorló feladatok Utoljára módosítva: Tartalom 1. Számrendszerek közti átváltás... 2 1.1. Megoldások... 4 2. Műveletek (+, -, bitműveletek)... 7 2.1. Megoldások... 8 3. Számítógépes adatábrázolás... 12 3.1. Megoldások... 14 A gyakorlósor lektorálatlan,

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

FPI matek szakkör 8. évf. 4. szakkör órai feladatok megoldásokkal. 4. szakkör, október. 20. Az órai feladatok megoldása

FPI matek szakkör 8. évf. 4. szakkör órai feladatok megoldásokkal. 4. szakkör, október. 20. Az órai feladatok megoldása 4. szakkör, 2004. október. 20. Az órai feladatok megoldása Most csak három önmagában nem nehéz feladatot kapsz, és a feladatot magadnak kell általánosítani, szisztematikusan adatot gyűjteni, általános

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

Lineáris algebra Gyakorló feladatok

Lineáris algebra Gyakorló feladatok Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések

Részletesebben

1.1. Alapfeladatok. hogy F 1 = 1, F 2 = 1 és általában F n+2 = F n+1 + F n (mert a jobboldali ág egy szinttel lennebb van, mint a baloldali).

1.1. Alapfeladatok. hogy F 1 = 1, F 2 = 1 és általában F n+2 = F n+1 + F n (mert a jobboldali ág egy szinttel lennebb van, mint a baloldali). 1.1. Alapfeladatok 1.1.1. Megoldás. Jelöljük F n -el az n-ed rendű nagyapák számát. Az ábra alapján látható, hogy F 1 = 1, F = 1 és általában F n+ = F n+1 + F n mert a jobboldali ág egy szinttel lennebb

Részletesebben

ÁTVÁLTÁSOK SZÁMRENDSZEREK KÖZÖTT, SZÁMÁBRÁZOLÁS, BOOLE-ALGEBRA

ÁTVÁLTÁSOK SZÁMRENDSZEREK KÖZÖTT, SZÁMÁBRÁZOLÁS, BOOLE-ALGEBRA 1. Tízes (decimális) számrendszerből: a. Kettes (bináris) számrendszerbe: Vegyük a 2634 10 -es számot, és váltsuk át bináris (kettes) számrendszerbe! A legegyszerűbb módszer: írjuk fel a számot, és húzzunk

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban

Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban avagy mit kell(ene) tudnia egy 8.-osnak a matematika versenyeken Kunos Ádám Középiskolás pályázat díjkiosztó SZTE Bolyai Intézet 2011. november 12.

Részletesebben

Segédlet az Informatika alapjai I. című tárgy számrendszerek fejezetéhez

Segédlet az Informatika alapjai I. című tárgy számrendszerek fejezetéhez Segédlet az Informatika alapjai I. című tárgy számrendszerek fejezetéhez Sándor Tamás, sandor.tamas@kvk.bmf.hu Takács Gergely, takacs.gergo@kvk.bmf.hu Lektorálta: dr. Schuster György PhD, hal@k2.jozsef.kando.hu

Részletesebben

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny Bonyhád, 011. március 11 15. 10. osztály 1. feladat: Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy 3 (a+b+c) ab+bc+ca 4 Mikor állhat

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HATODIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HATODIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HATODIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 1. Ismerkedj a 100 tulajdonságaival! I.) Állítsd elő a 100-at a,, b, 3, c, 4, d, 5 négyzetszám összegeként!

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 0/03-as tanév. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató. Egy kör kerületére felírjuk -től 3-ig az egészeket

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.) Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 00/009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

Operációkutatás példatár

Operációkutatás példatár 1 Operációkutatás példatár 2 1. Lineáris programozási feladatok felírása és megoldása 1.1. Feladat Egy gazdálkodónak azt kell eldöntenie, hogy mennyi kukoricát és búzát vessen. Ha egységnyi földterületen

Részletesebben

6. előadás Faktorizációs technikák közepes méretű osztókra

6. előadás Faktorizációs technikák közepes méretű osztókra 6. előadás Faktorizációs technikák közepes méretű osztókra Dr. Kallós Gábor 2016 2017 1 Tartalom Feladatok, megjegyzések Irodalom 2 Eml.: Próbaosztásos algoritmus (teljes felbontás) 14-18 jegyű számokig

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Oktatási Hivatal. A döntő feladatai. 1. Feladat Egy kifejezést a következő képlettel definiálunk: ahol [ 2008;2008]

Oktatási Hivatal. A döntő feladatai. 1. Feladat Egy kifejezést a következő képlettel definiálunk: ahol [ 2008;2008] OKTV 7/8 A öntő felaatai. Felaat Egy kifejezést a következő képlettel efiniálunk: 3 x x 9x + 7 K = x 9 ahol [ 8;8] x és x Z. Mennyi a valószínűsége annak hogy K egész szám ha x eleget tesz a fenti feltételeknek?.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0 Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon

Részletesebben

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR 1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben kitűzött

Részletesebben

Oktatási Hivatal. A döntő feladatainak megoldása. 1. Feladat Egy kifejezést a következő képlettel definiálunk: ahol [ 2008;2008]

Oktatási Hivatal. A döntő feladatainak megoldása. 1. Feladat Egy kifejezést a következő képlettel definiálunk: ahol [ 2008;2008] OKTV 7/8 A öntő felaatainak megolása. Felaat Egy kifejezést a következő képlettel efiniálunk: 3 x x 9x + 7 K = x 9 ahol [ 8;8] x és x Z. Mennyi a valószínűsége annak hogy K egész szám ha x eleget tesz

Részletesebben

Gauss elimináció, LU felbontás

Gauss elimináció, LU felbontás Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben