Jegyzet. Operációkutatás I cím tantárgyhoz január 26. Fábián Csaba el adásai alapján készítette Papp Olga
|
|
- Gábor Sipos
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Jegyzet Operációkutatás I cím tantárgyhoz Fábián Csaba el adásai alapján készítette Papp Olga 29 január 26
2 Tartalomjegyzék. Bevezetés 3 2. A szimplex módszer A szimplex módszer elméleti vs. gyakorlati megfontolásai Dualitás 6 4. Farkas lemma Hálózati folyam feladat Speciális esetek hálózati folyam feladatra Szállítási feladat Hozzárendelési feladat Párosítási feladat König-Egerváry eljárás Magyar módszer 4 2
3 . Bevezetés Lineáris programozási feladat (LP) kanonikus alakja. [ x T ] A = b [ c T ] Ahol A R mxn, m n, c, x R n, b R m. Ax = b x maxc T x Tegyük fel, hogy az A mátrix teljesrangú - azaz van m darab független oszlopvektora... Denició (Megoldás). Azt mondjuk, hogy x R n vektor megoldás, ha Ax = b a fenti LP feladatra..2. Denició (Megengedett megoldás). Azt mondjuk, hogy x R n vektor megengedett megoldás, ha Ax = b x a fenti LP feladatra..3. Denició (Optimális megoldás). Azt mondjuk, hogy x R n vektor optimális megoldás, ha x megengedett megoldás és tetsz leges x megengedett megoldás esetén c T x c T x.. Megjegyzés. Biztos, hogy van megoldás, mert A teljesrangú. A független oszlopai kifeszítik az R m teret, így b el állítható ezen független vektorok lineáris kombinációjaként..4. Denició (Bázis). Bázisnak nevezünk egy olyan B leképezést a sorok halmazából az oszlopok halmazába, amelyre az a B, a B2,..., a Bm oszlopvektorok lineárisan függetlenek..2. Megjegyzés. A lineáris algebrától eltér en itt nem halmazt, hanem rendezett halmazt tekintünk bázisnak. 3
4 m a B a Bm a B2.5. Denició (Bázishoz tartozó bázismátrix). a B a B2... a Bm =: B.3. Megjegyzés. A B mátrix invertálható, mert teljesrangú. A továbbiakban tegyük fel, hogy adott a B bázis. Tegyük fel azt is, hogy A-ban a bázisoszlopok egymás után következnek. A =... B..... Jelölés. Jelöljük x B -vel az x vektor bázishoz tartozó részét. (x B ) i := x Bi Jelöljük c B -vel az c vektor bázishoz tartozó részét. (c B ) i := c Bi.6. Denició (B bázishoz tartozó bázismegoldás). Ha az x vektorra teljesül, hogy a bázison kívüli komponensei -ák, a bázishoz tartozó komponensekre pedig teljesül, hogy Bx B = b, akkor x-et B bázishoz tartozó bázismegoldásnak nevezzük. 4
5 .4. Megjegyzés. Ilyen bázismegoldás létezik és egyértelm : x B = B b. Ez a vektor a feladat megoldása, ugyanis Ax = Bx B = b. Azt viszont nem tudjuk, hogy ez a megoldás megengedett vagy sem..5. Megjegyzés. Minden bázishoz egyetlen bázismegoldás tartozik, de el fordulhat, hogy két különböz bázishoz tartozó bázismegoldás ugyanaz: [ ] [ ] [ ] = A fenti példában két különböz bázishoz is (,2 és 2,3 oszlopok) ugyanaz a bázismegoldás tartozik. A továbbiakban tegyük fel, hogy olyan B bázisunk van, amihez tartozó bázismegoldás megengedett (azaz x B komponensei -k). Továbbá tegyük fel, hogy az A mátrixunkat úgy transzformáltuk, hogy a bázismátrix az egységmátrix legyen (az egyenletrendszer rendezésével ez elérhet ). A =... I... A továbbiakban ezt a transzformált mátrixot fogjuk A-val jelölni, a transzformált jobboldalt pedig b-vel (az x és a c vektorok nem változnak). 2. A szimplex módszer A szimplex módszer alaplépése. Vegyünk egy tetsz leges j oszlopot, ami nem tartozik a bázishoz (ekkor x j =, mert j / B ). Kezdjük el növelni x j -t, és a báziskomponenseket igazítsuk úgy, hogy az Ax = b egyenl ség megmaradjon. Meg fogjuk mutatni, hogy igazíthatunk, és hogy ez az igazítás egyértelm lesz. Kezdeti megoldás. a j + m x Bi a Bi = b i= Mivel B = I, ezért a Bi = e i és x Bi = b i, így a j + m b i e i = b i= 5
6 Növeljük x j -t -ról ϑ-ra. ϑa j + m (b i ϑa ij )e i = b Láthatjuk, hogy az utánaigazítás lehetséges és egyértelm. Ha x j -t ϑ-ra növeljük, akkor x Bi := x Bi ϑa ij (= b i ϑa ij ) Javítunk ezzel a lépéssel a célfüggvényen? i= Változó Eredeti érték Új érték változás célfüggvény +ϑc j megoldás i. báziskomponense b i b i ϑa ij ehhez tartozó célfüggényérték c Bi x Bi c Bi (b i ϑa ij ) megoldás ϑa ij célfüggvény ϑc Bi a ij Összegezve a változást: m i= ϑc B i a ij = ϑ( m i= c B i a ij ) = ϑc T B a j Tehát akkor érdemes az alaplépést elvégezni, ha ϑc j ϑc T B a j = ϑ(c j c T B a j), (ϑ > ), azaz amikor c j c T B a j > 2.. Megjegyzés. Ezt könny végigvenni az egyes nembázisbeli oszlopokkal: ha az eredmény >, akkor javító oszlopvektort találtunk. 2.. Denició (Javító-oszlop). Azt mondjuk, hogy a j-edik oszlopvektor javító-oszlop, ha c T B a j < c j. Ha olyan állapotba érünk, hogy nincs javító oszlopvektor, akkor az eljárás leáll. Meg fogjuk mutatni, hogy ebben az esetben optimális megoldást találunk. A továbbiakban tegyük fel, hogy a p-edik oszlopvektor javítóoszlop. Meddig lehet növelni a ϑ-t? Az alaplépésben ϑa p + m i= (x B i ϑa ip ) = b, ahol x Bi = b i és a Bi = e i. A célfüggvény növekedés pedig: ϑ(c p c T B a p). ϑ tehát addig növelhet, amíg (x Bi ϑa ip ) (= b i ϑa ip ) sehol sem válik negatívvá, azaz a megoldás megengedett marad. Ha a ip valamely i. sorindexre, akkor a (b i ϑa ip ) nem fog csökkenni. Az ilyen i-k nem jelentenek korlátot. Ha a ip >, akkor ϑ b i a ip A legnagyobb megengedett ϑ így: ϑ = min aip > 6 b i a ip
7 2.2. Megjegyzés. Ha a ip i =..m, akkor ϑ minden határon túl növelhet. Ezért a célfüggvény is minden határon túl növelhet lesz. Az eljárás leáll. A továbbiakban feltesszük, hogy az a p oszlopvektornak vannak pozitiv komponensei. Legyen q n olyan sorindex, amelyre bq a qp b i a ip minden olyan i sorindexre, ahol a ip >. Válasszuk ϑ-t a lehet legnagyobbra: ϑ = b q a qp. Nézzük meg az alaplépés hatását az adott p, q-ra. A megoldás változása: ϑa p + m (b i ϑa ip )e i i= 2.3. Megjegyzés. A fenti szummában a q-ik sorhoz tartozó tag: b q b q a qp a qp = kezdeti megoldás p B ϑ-hoz tartozó megoldás ϑ B q -hoz tartozó oszlopindex új kezdeti mátrix q + I Az új bázis: Ez valóban bázis. { Bi ha i q B i = p ha i = q 7
8 Az alábbi oszlopok lineárisan függetlenek: azaz a B,..., a Bq,..., a Bm a B,..., a p,..., a Bm Bizonyítás Legyenek λ,..., λ q,... λ m olyan súlyok, hogy λ i a Bi =. Az a B,..., a p,..., a Bm -b l csak a q. egységvektor hiányzik (e q ) - ehelyett vettük be a p -t. A q sorban a vektorok poziciói mind -k, kivéve a qp >. Ebb l következik, hogy λ q =. A többi vektor együtthatója is, hiszen azok eleve lineárisan függetlenek voltak. Az új B bázishoz tartozó bázismegoldás megengedett. Transzformáljuk a feladatot (sorkivonogatással) úgy, hogy a bázisban lev oszlopok egységvektorokká váljanak. Így a feladat formálisan ugyanolyan állapotban van, mint az alaplépés el tt: a bázismegoldás megengedett, a bázismátrix az identitásmátrix. Az eredetihez képest a különbség csak az, hogy a célfüggvény n tt: ϑ(c p c T B a p). Ismételjük az eljárást. Hogyan állhat meg az eljárás?. Nincs javítóvektor. Stop. Nincs megengedett megoldás. A javítóoszlopban nincs > komponens. Stop. A megoldás nem korlátos. A szimplex ( ) módszer megengedett bázisokon lépked. A bázisok száma n véges: m Tegyük fel, hogy minden lépésben ϑ > adódik. Ekkor minden lépésben határozottan javul a célfüggvény érték. Ezért ilyenkor nem térhetünk vissza olyan bázisba,amelybe már jártunk. A fenti feltétel mellett a szimplex módszer véges sok lépésben leáll. Mikor lehet ϑ =?. Akkor, ha b i = valamely i =..m. b i = azt jelenti, hogy a b jobboldalvektor benne van az a B,..., a Bi, a Bi+,..., a Bm bázisoszlopok által kifeszített altérben Megjegyzés. Ha a jobboldalt véletlenszer en választom folytonos eloszlás szerint, akkor ennek az esetnek a valószín sége. 8
9 2.2. Denició (Általános helyzet jobboldal). Ha a jobboldal egyetlen altérben sincs benne, akkor azt mondjuk, hogy a jobboldal általános helyzet. Tegyük fel, hogy a szimplex módszer azzal állt le, hogy nem találunk javítóoszlopot, azaz c T B a j c j minden nem bázisbeli oszlopindexre. B c B B = I = c T B Bázisoszlopokra pedig: c T B a B i = c Bi teljesül. Megállási feltétel. c T B A ct Meg fogjuk mutatni, hogy ebben az esetben az aktuális megoldásra (x) (a B bázishoz tartozó bázismegoldás) teljesül a következ : Minden x megengedett megoldásra (A x = b, x ) c T x c T x azaz x optimális megoldás. 2.. A szimplex módszer elméleti vs. gyakorlati megfontolásai Elméletileg. Van olyan feladat, amelyre ha elég ügyetlenül választjuk a báziscseréket - a szimplex módszer ciklizál. Tekintsük a kétdimenziós teret. Ebben a térben az Ax b x maxc T x 9
10 feladatban minden a i x b i feltételnek megfelel a következ ábra: x 2 x El fordulhat degenerált feladat - ilyenkor egy adott csúcs (bázismegoldás) több bázishoz is tartozik( lásd az x csúcsot, amely a (2,3), (3,4) és (2,4) bázisokhoz egyaránt tartozik) x 2 () (2) x (4) (5) (3) x A szimplex a megengedett tartomány szomszédos csúcsain lépked. Ha a feladat degenerált, el fordulhat, hogy a fent említett x csúcshoz érve, a szimplex ciklizál - báziscsere van, de nem tud kilépni a csúcsból. Gyakorlatilag. ez nem fordulhat el, mivel a numerikus hibák miatt a síkok kicsit elmozdulnak.
11 Megoldás. csúsztassuk el a redundáns feltételt: Ez a jobboldal perturbálásának felel meg. w x b + ε... b m + ε A I = b + ε b m + ε m Könny megmutatni, hogy ha ε elég kicsi, akkor a degeneráció megsz nik. Eredeti feladat Perturbált feladat B megengedett kezd bázis B megengedett kezd bázis nem tudjuk, hogy a jobboldal általános van olyan pozitiv ε, helyzet -e hogy a jobboldal általános helyzet 2.. Állítás. Ha ε-t elég kicsire választjuk, akkor teljesül a következ állítás: Legyen B a perturbált feladatnak megengedett bázisa ( azaz a hozzá tartozó bázismegoldás megengedett). Akkor B az eredeti feladatban is megengedett bázis. Bizonyítás A denicióból következik. Megmutattuk tehát, hogy lehet úgy perturbálni a feladatot, hogy azon végighaladva a szimplex módszerrel, és ezeket a lépéseket megfeleltetve az eredeti feladatnak - szabályos lépések sorozatát kapjuk. Kijelenthetjük a következ t: 2.2. Állítás. A szimplex módszer bázisba lép és az onnan kilép vektorok megválaszthatók úgy, hogy az eljárás véges sok lépésben leálljon.
12 Elméletileg. ha x R n, akkor tudok olyan LP feladatot szerkeszteni, amelynek 2 n megengedett bázismegoldása van. Például: (... ) x (... ) - nek a megengedett tartománya az n-dimenziós kocka. A megengedett bázismegoldások száma pedig: 2 n. Nézzük a következ táblázatot: n pontok bejárásának ideje sec sec 8 min 2 nap 35 év 36. év Ha a számítógépek 24-szer gyorsabbak, akkor is csak eggyel tolódik jobbra az alsó oszlop. Ez azt jelentené, hogy még a kis feladatokat sem tudnánk megoldani a szimplex módszerrel valós id ben. Gyakorlatban. általában 2m lépésre van szüksége a szimplex módszernek, ha jól van implementálva. Legyen A teljes- Hogyan lehet megengedett kezd bázist keresni?. rangú mátrix, b megfelel dimenziós vektor. Ax = b x Nincs szükségünk célfüggvényre, mivel csak megengedett bázismegoldást akarunk keresni. Tegyük fel, hogy b. (Ha b-nek negatív komponensei lennének, a megfelel sort (-)-el kell szorozni.) A kib vített feladat: (A, I)(x, u) = b, (x, u). A feladat megengedett bázismegoldása: (x, u) = (, b). Legyen a célfüggvény: min(,) T (x, u) Megjegyzés. A kib vített feladatban minden megengedett megoldáshoz nemnegatív célfüggvényérték tartozik, mivel (,) és (x, u). Ha van megengedett kezd megoldásunk, alkalmazhatjuk a szimplex módszert. Mivel a célfüggvény korlátos ( nem javítható minden határon túl) - a szimplex módszer optimális megoldást fog találni. Két eset fordulhat el : az optimális célfüggvényérték > az optimális célfüggyvényérték = 2
13 Tegyük fel, hogy az els eset áll fenn. Ekkor: 2.3. Állítás. Az eredeti feladatnak nincs megengedett megoldása. Bizonyítás Indirekt Legyen x megengedett megoldása az eredeti feladatnak. Ekkor ( x, ) a kib vített feladatnak olyan megengedett megoldása, amelynek a célfüggvényértéke. Ez nyilvánvalóan ellentmondás, mivel az optimális célfüggvényérték pozitiv. Tegyük fel, hogy a második eset áll fenn. Ekkor a bázisunk kétféleképpen nézhet ki: B u... A vagy B u A Jelölje (x, u ) az optimális megoldást. Mivel (,) T (x, u ) = T x + T u =, így x megengedett megoldása az eredeti feladatnak. Nézzük a következ textilipari felada- Implementációs megfontolások. tot: 3
14 F ona F onb SzovA SzovB AllF on AllSzov = Jelöljük a kezdeti mátrixot A -val, a kezdeti jobboldalt pedig b -val. Végezzük el a következ transzformációkat: b 8 3 Kerüljön SzovA a bázisba. A transzformált mátrixot jelöljük A -el, az új jobboldalt pedig b -el. [ ] = [ Ez a transzformáció megfelel annak, hogy az A mátrixot balról az E mátrixszal beszorozzuk: [ ] 5 E = 2 [ 5 2 ] [ ] ] = [ ] A = E A b = E b Vigyük SzovB-t a bázisba. Az új mátrix legyen A 2, az új jobboldal legyen b 2, a transzformációs mátrix pedig E 2 : [ ] [ ] = [ 2 ] A 2 = E 2 A b 2 = E 2 b A ritka mátrix nemnulla elemekkel való feltöltése illetve a numerikus hibák felhalmozódása ellen az implementációs trükk az eredeti mátrix és az E-mátrixok tárolása lesz. Ily módon egy adott oszlop transzformáltját 4
15 úgy kapjuk meg, hogy az eredeti oszlopot megszorozzuk a transzformációs mátrixszal. A 2 = E 2 E A b 2 = E 2 E b A kérdés az, hogy meg lehet úgy oldani a szimplex módszer implementálását, hogy csak ezeket az adatokat tároljuk? Ha igen, az így kapott megoldás optimális lesz? Javítóvektor keresése. Hasonlítsuk össze c T B A 2-t c T -al. Ha teljesül a reláció, akkor optimális megoldásunk van. Különben keressünk olyan indexet, ahol a komponensek között van < reláció. Hogyan számítható c T B A 2? c T BA 2 = c T B(E 2 E A ) = (c T BE 2 E )A A javítóvektor kereséséhez elég az A, E 2, E,... mátrixok ismerete. Általános eset. Tegyük fel, hogy a j-edik oszlopvektor javító. Ekkor szükségünk lesz az eredeti j oszlopvektor transzformált alakjára. B K E [ ]. A [ ] E K I A K [ c T B K ] E K... E }{{} B K = I B K A szimplex módszer így sokkal tömörebben tárolható - lényegében az E transzformációs mátrixnak is elég, ha csak egy-egy oszlopát tároljuk. 5
16 Hasonlítsuk tehát össze c T B K (E K E K... E }{{} )A -t és a c T vektorokat. Ehhez B K számítsuk ki: c T B K B K -et. Ha találunk javítóvektort, akkor azt transzformálni kell az új bázisba, azaz szorozzuk balról a B K = E KE K... E mátrixszal Denició. Árnyékár vektor A c T B K B K -et az adott bázishoz tartozó árnyékár vektornak nevezzük. Az árnyékár vektor azt mutatja meg, hogy hogyan változik a célfüggvényérték ha a jobboldal változik. 3. Dualitás A feladatunk:, ahol A teljes sorrangú mátrix. Ax = b x maxc T x 3.. Denició. Megengedett bázis A B bázis megengedett, ha a hozzá tartozó bázismegoldás megengedett: x B = B b Denició. Optimális bázis A B bázis optimális, ha megengedett és teljesül a szimplex módszer megállási feltétele (azaz nincs javítóvektor): c T B B}{{ A} transzformált mátrix c T c T BB A c }{{} T árnyékár vektor 3.. Jelölés. Jelöljük y T B = ct B B a B bázishoz tartozó árnyékár vektort. 3.. Megjegyzés. Ha van egy optimális bázismegoldásunk, akkor nem biztos, hogy a bázis optimális - ilyen a degenerált feladat. (Azt tudjuk, hogy ha van egy optimális bázisunk, akkor a hozzá tartozó bázismegoldás optimális.) 3.3. Denició. Duál-megengedett bázis Egy B bázis duál-megengedett, ha a hozzá tartozó árnyékár vektorra teljesül, hogy: y T B A ct. 3.. Állítás. Ha egy bázis megengedett és duál-megengedett, akkor optimális. 6
17 Térjünk vissza a textilipari feladatra. szöv gép kapacitás megengedett tartomány fonógép kapacitás Melyek azok a pontok, ahol ugyancsak (SzovA, SzovB) az optimális bázis? A jobboldalt változtatva csak a megengedettség változhat(romolhat). A megengedettség csak azokra a jobboldalakra marad meg, amelyekre teljesül a B b homogén lineáris egyenl tlenségrendszer. Most nézzük ugyanezt a textilipari feladatot másik szempontból: A textilgyár ki akarja adni a fonó- és szöv gépekre a gépid t. Erre kell ajánlatokat beküldeni. Minden ajánlat a fonógépid ért y pénzegységet ajánl, a szöv gépid ért pedig y 2 pénzegységet. Tegyük fel, hogy az ajánlattev a teljes gyártókapacitást meg szeretné szerezni. Teljesülnie kell tehát a következ knek: 3y + y 2 8, különben a tulajdonos azt mondaná, hogy inkább A fonalat gyárt. 2y + y 2 9, különben a tulajdonos azt mondaná, hogy inkább B fonalat gyárt. y + 2y 2 5, különben a tulajdonos azt mondaná, hogy inkább A szövetetgyárt. 4y + 2 y 2 9 7
18 , különben a tulajdonos azt mondaná, hogy inkább B szövetet gyárt. y, különben a tulajdonos azt mondaná, hogy inkább áll a fonógép. y 2, különben a tulajdonos azt mondaná, hogy inkább áll a szöv gép. a teljes kapacitás bérleti díja. min(8y + 3y 2 ) 3.2. Megjegyzés. Mindkét megfogalmazás ugyanazt a feladatot írja le, csak egyszer a gyártulajdonos szempontjából, egyszer pedig az ajánlattev szempontjából. Az utóbbi feladatot az eredeti feladat duál feladatának nevezzük. Minden LP feladathoz felírható a párja - a duál feladat, ami ugyanazt írja le mint az eredeti LP feladat, csak más szemszögb l. Általánosan. Legyen a primál feladat a következ : Ax = b (P ) x maxc T x A (P ) feladatnak megfelel duál feladat pedig:,ami ekvivalens a következ vel: (D) A T y c y minb T y y T A c T y miny T b 3.. Tétel. Gyenge dualitási tétel Legyen x a (P ) feladatnak, és y a (D) feladatnak megengedett megoldása. Ekkor teljesül az, hogy c T x y T b 8
19 célfüggvényérték (D) feladat megengedett megoldásai optimális megoldás + x (P) feladat megengedett megoldásai y + optimális megoldás Bizonyítás Az y (D)-megengedettség miatt: y T A c T, azaz y T A c T. Mivel x pedig (P )-megengedett, ezért x. Ekkor (y T A c T )x, azaz y T Ax c T x. Mivel x (P )-megengedett, emiatt y T b c T x, és kész a }{{} b bizonyítás Tétel. Er s dualitási tétel Tegyük fel, hogy mind a (P ) mind a (D) feladatnak van megengedett megoldása. Ekkor mindkett nek van optimális megoldása is, és az optimális célfüggvényértékek megegyeznek. Bizonyítás Oldjuk meg a (P ) feladatot szimplex módszerrel. Ha nem állna rendelkezésünkre kezd megengedett bázismegoldás, akkor az ismertetett els fázissal tudunk ilyet keresni. Ez az eljárás is szimplex módszeren alapszik. Amint láttuk, a szimplex módszerrel a ki- és belép vektorokat meg lehet úgy választani, hogy az eljárás véges sok lépésben leálljon. Mivel feltettük, hogy a (P ) feladatnak van megengedett megoldása, ezért az els fázis megengedett kezd bázismegoldással fog leállni. A megengedett kezd bázis megoldásból kiindulva, szimplex módszerrel oldjuk meg a (P ) feladatot. A be- és kilép vektorok megválaszthatók úgy, hogy az eljárás véges sok lépésben véget érjen. A szimplex módszer általában kétféleképpen érhet véget:. kiderül, hogy a célfüggvény minden határon túl növelhet 2. optimális bázist kapunk 9
20 Az els eset nem fordulhat el, mert a (D) feladatnak a feltevésünk szerint van y megengedett megoldása, amihez tartozó célfüggvényérték fels korlátja a (P ) feladat megengedett megoldásaihoz tartozó célfüggvényértékeknek a gyenge dualitási tétel miatt. Tehát a szimplex módszer a második eset szerint egy B optimális bázissal áll le. Jelölje x a B bázishoz tartozó bázismegoldást. y [... x T B... ] [ A B c T B ] b x Ax = b B x B = b Jelölje y a B bázishoz tartozó árnyékár vektort. Ekkor y T B = c T B y T = c T B B Mivel B optimális bázis, teljesül a szimplex módszer megállási feltétele (azaz nincs javítóvektor): y T A c T. Tehát az optimális bázishoz tartozó y árnyékár vektor megengedett megoldása a (D) feladatnak.(x pedig megoldása a (P ) feladatnak.) Megmutatjuk, hogy az x vektorhoz tartozó (P ) célfüggvényérték megegyezik az y vektorhoz tartozó (D) célfüggvényértékkel: c T x = c T B x B = (y T B )x B = y T (B x B }{{ ) = y } T b b 3.2. Állítás. Tegyük fel, hogy a (P ) feladatnak van megengedett megoldása, de a (D) feladatnak nincs. Ekkor a (P ) feladat célfüggvényértéke minden határon túl javítható. Bizonyítás A bizonyítás menete az er s dualitási tétel bizonyításához hasonló. A (P ) feladatra alkalmazzuk a szimplex módszert. Meg lehet úgy választani a be- és kilép vektorokat, hgoy véges sok lépésben leálljon. Általában két eset lehetséges: 2
21 . kiderül, hogy nem korlátos a célfüggvény 2. optimális bázist találunk. A második eset nem fordulhat el, mert az optimális bázishoz tartozó árnyékár vektor a (D) feladatban megengedett megoldás volna, ami a feltételezés szerint nem létezik. Marad az els eset. Legyen most a feladatunk a következ formájú: Ax b (P ) x maxc T x [ ] x T u T y A I b [ c T... ] (A, I)(x, u) = b (P ) (P ) (x, u) max(c, ) T (x, u) Írjuk fel (P ) feladathoz tartozó duál feladatot: Tehát y T (A, I) (c, ) T (D ) y miny T b y T A c T y T miny T b Ax b (P ) x maxc T x y T A c T (D) y T miny T b A T y c (D) y T minb T y 2
22 A fenti gyenge és er s dualitási tétel örökl dik erre a (P )-(D) feladatpárra is. Most megmutatjuk, hogy a (D) feladat duálisa a (P ) feladat(ekvivalens átalakításokkal). A T y c y minb T y A T y c y max( b) T y Ennek a feladatnak írjuk fel a duálisát: ( A) T y ( c) (P ) y max( b) T y x T ( A) ( b) (D) x minx T ( c) A T x b (D) x maxc T x 3.3. Állítás. A fenti szimmetrikus (P )-(D) feladatokra a következ esetek lehetségesek:. ha mindkett nek van mgengedett megoldássa, akkor mindkett nek van optimális megoldása, és az optimális célfüggvényértékek megegyeznek 2. ha a (P ) feladatnak van megengedett megoldása, de a (D) feladatnak nincs, akkor a (P ) célfüggvényérték minden határon túl javítható 3. ha a (D) feladatnak van megengedett megoldása, de a (P ) feladatnak nincs, akkor a (D) célfüggvényérték minden határon túl javítható 4. el fordulhat, hogy sem a (P ), sem a (D) feladatnak nincs megengedett megoldása. Hogyan kezeljük az olyan feladatokat, amelyeknél nincs megkötés a változókra? Nézzük például az alábbi feladatot: (I) Ax b, maxc T x [ x T ] A b [ c T ] 22
23 Alakítsuk át a feladatot úgy, hogy a változókra nemnegativitási feltételünk legyen. Legyen x = x + x, x +, x. Ekkor a feladat az alábbi alakban írható fel: [ [ x + x ] A A c T c T ] (II) (A, A)(x +, x ) b (x +, x ) max(c, c) T (x +, x ) Mennyire ekvivalens ez a feladat az el z vel? b 3.4. Állítás. Ha (x +, x ) a (II) feladat megengedett megoldása, akkor x + x az (I) feladat megengedett megoldása és a megfelel célfüggvény értékek azonosak. Bizonyítás (c, c) T (x +, x ) = c T x + c T x = c T (x + x ) 3.5. Állítás. Ha x az (I) feladat megengedett megoldása, akkor x + = [x] +, x = [x] választással (x +, x ) a (II) feladat megengedett megoldása. Írjuk fel a (II) feladat duálisát: y A A b [ c T c T ] y T (A, A) (c, c) T y miny T b y T a c T és y T ( A) ( c) T }{{} y T A=c T y miny T b 23
24 Láthattuk tehát, hogy ha a primál feladatban egyenl ség van, akkor a duál feladatban nincs nemnegativitási feltétel a változóra és fordítva, ha a primál feladatban van nemnegativitási feltétel, akkor a duál feladatban egyenl tlenség van. Most nézzük meg, hogy lehet (viszonylag) automatikusan felírni egy feladat duálisát: [ ] x T x T 2 y y 2 A A 2 A 2 A 22 = b b 2 [ = c T c T 2 ] A x + A 2 x 2 = b A 2 x + A 22 x 2 b 2 (P ) x x 2 maxc T x + c T 2 x 2 4. Farkas lemma (D) y T A + y2 T A 2 c T y T A 2 + y2 T A 22 = c T 2 y y 2 miny T b + y2 T b Lemma. Az alábbi egyenl tlenségrendszerek közül pontosan az egyik megoldható: (I) Ax = b x (II) y T A y T b < Bizonyítás Könnyen látható, hogy egyszerre nem oldhatók meg: (y T A) }{{}}{{} x = y T (Ax) = y T b < 24
25 Írjuk fel a (I) feladatot a következ ekvivalens formába, és írjuk fel a hozzá tartozó duál feladatot: Ax = b (P ) x max T x (D) y T A y miny T b A fenti (D) feladatnak az y = (,..., ) vektor mindig megengedett megoldása. A dualitási tételben felsorolt négy eset közül kett következhet csak be: Ha a (P ) feladatnak van megengedett megoldása, akkor van optimális megoldása is, és az optimális célfüggvényérték, mivel minden primál célfüggvényérték. Ekkor a (D) feladat célfüggvényértéke nem csökkenthet alá, azaz y T b minden megengedett megoldásra (azaz minden olyan y-ra, amire y T a ). Tehát a (II) feladat nem megoldható, miközben az (I) feladat megoldható. Ha a (P ) feladatnak nincs megengedett megoldása, azaz (I) nem megoldható, akkor a dualitási tételb l következik, hogy a duál célfüggvényérték minden határon túl csökkenthet ( nevezetesen alá is). Tehát a (II) feladat megoldható, miközben az (I) feladat nem megoldható. Szemléltetés - szeparációs tétel. A a a 2... a n = b Az, hogy (I) megoldható, azt jelenti, hogy b el állítható az a i -kb l nemnegatív súlyokkal, azaz b Cone(a,..., a n ). a a 2 a n b 25
26 y a a 2... a n b Az, hogy (II) megoldható, azt jelenti, hogy az y minden a i vektorral hegyes szöget zár be. Azaz az y-ra mer leges altérnek az összes a i az y oldalán van, a b viszont a hipersík másik oldalán lesz. a a 2 a n b y 5. Hálózati folyam feladat Nézzük meg a következ feladatot. Van egy termel (), aki egységnyi olajat termel egy fogyasztó (4), aki egységnyi olajat fogyaszt két csomópont (2), (3) És van egy cs rendszer, ami továbbítja az olajat. A továbbítási költséget egységnyi olajra tekintjük. A cs kapacitása nem lehet korlátolt. (2) () (4) (3) 26
27 Milyen útvonalon lehet a legolcsóbban továbbítani az olajat a termel t l a fogyasztóig? A fenti feladat felírható LP feladatként: A döntési változók: az egyes éleken továbbítandó olajmennyiség. A korlátozó feltételek: az egyes csúcsok egyenlegeire(be- és kifolyó olaj egyenlege) vonatkoznak. [ x2 x 3 x 23 x 24 x 34 ] [ ] = amit megtermel, azt elszállítja ami bejön, az kimegy ami bejön, az kimegy minden bejöv t elfogyaszt További feltétel: a változók nemnegatívak. A mátrix speciális szerkezet : minden oszlopban csak egy -es és egy -es van. Ha erre a feladatra szeretnénk a szimplex módszert alkalmazni, nem lehetne, hiszen a mátrix nem teljes sorrangú (ha összeadjuk a sorokat, -át kapunk eredményül). Javítsunk: vezessünk be egy mesterséges élt, ami a termel b l vezetne ki, de az él súlya legyen. (2) () (4) (3) [ x. x 2 x 3 x 23 x 24 x 34 ] [ ] = A fenti feladat megoldható szimplex módszerrel. De mivel ez egy speciális feladat - a szimplex módszer is szemléletes - a módszer lépései a gráfon követhet ek. Nézzük meg el ször, hogy mi a kapcsolat a két megközelítés között: 27
28 (i) élek oszlopvektorok (ii) élek halmaza oszlopok halmaza (iii) élek olyan halmaza, ami tartalmaz irányított kört oszlopok lineárisan összefügg halmaza Bizonyítás Nézzünk el ször egy irányított kört: Ekkor az oszlopvektorok felírhatók a következ képpen:... Az oszlopokat összeadva -t kapunk. Ha valamelyik él visszafele van irányítva, akkor a megfelel oszlopvektor ( )-szeresét kell venni az oszlopok összegzésénél. (iv) élek olyan halmaza, amely nem tartalmaz irányítatlan kört lineárisan független oszlopok halmaza Bizonyítás Teljes indukció. Olyan élek halmaza, amely nem tartalmaz irányítatlan kört irányítatlan erd t alkot. Tudjuk, hogy egy fának mindig van fokú pontja. Legyen ez a pont i. Mivel i -fokú, ezért pontosan egy él illeszkedik rá. Ez az él lehet (j, i) vagy (i, j). Szimmetria okok miatt maradjunk az (i, j) jelölésnél. Nézzük meg azon oszlopok halmazát, amelyek az adott élhalmazhoz tartoznak: (i, j) i j... ±... 28
29 Ha a kijelölt oszlopok lineáris kombinációjaként a vektort el állítjuk, akkor az (i, j) oszlophoz súly tartozik. Ha ehhez az oszlophoz súly tartozik, akkor ezt az oszlopot elhagyhatjuk, vele együtt a gráfból is a hozzá tartozó élt. Így újabb fokú csúcs keletkezik. Indukcióval könnyen belátható, hogy minden súly kell, hogy legyen. (v) bázis (oszlopok olyan rendszere, ami lineárisan független, és erre a tulajdonságra nézve maximális - azaz bármely más vektort hozzávéve a rendszer már lineárisan összefügg lesz) feszít fa. El fordulhat, hogy van olyan csúcs, amibe a gyökérb l nem lehetne eljutnia kijelölt éleken keresztül? - Ha a gráf összefügg, akkor minden élhez eljuthatunk. A fenti gráf tulajdonságai (a) a gyökérb l minden csúcs elérhet irányítatlan úton, és az az út egyértelm (b) ha egy küls élt hozzáveszünk a kijelölt élek halmazához, akkor pontosan egy kört kapunk Most nézzük meg, hogyan követhet ek a szimplex módszer lépései a gráfon. Tegyük fel, hogy van egy kezdeti bázisunk. 29
30 c,. = c, c,3 + c 3,5 c,3 c,2 + c 2,4 6 c,2 + c 2,4 + c 4,6 Legyen a bázisunk: x,., x,2, x 2,4, x 4,6, x,3, x 3,5. Írjuk fel a bázishoz tartozó y árnyékár vektort (y T B = c T B). Értelmezése: a lehetséges szállítási útvonalakon belül van egy hivatalos útvonal - ezekhez a szállítási útvonalakhoz vannak az egyes városokban az olajárak igazítva. y c,2 c,2 + c 2,4 c,2 + c 2,4 + c 4,6 c,3 c,3 + c 3,5 x T [ x,. x,2 x 2,4 x 4,6 x,3 x 3,5 x 4,3 x 5,4 x 5,6 ] [ B = =... = >... > ] c,. c,2 c 2,4 c 4,6 c,3 c 3,5 c 4,3 c 5,4 c 5,6 = b Mikor lesz egy a p oszlop javítóoszlop? - ha y T a p > c p. Speciálisan: mikor lesz a (4, 3) oszlop javító? - ha y 4 + y 3 > c 4,3, azaz y 3 > y 4 + c 4,3. Azaz a 3 városbeli hivatalos olajár kisebb, mint a 4 városbeli hivatalos olajár + a szállítási költség a 4 városból a 3 városba. Legyen a (4, 3) él javítóél. Nézzük a szimplex módszert. Ha a (4, 3) élt hozzávesszük a feszít fához, akkor pontosan egy kör keletkezik. Vegyünk egy h vektort, amelyben a (4, 3) élnél érték van, minden nem körbeli él esetében érték van, és minden körbeli él esetében: ha az él irányítása megfelel a kör körüljárási iránynak, amit az új él irányítása határoz meg, akkor érték, különben érték van. 3
31 x,. x,2 x 2,4 x 4,6 x,3 x 3,5 x 4,3 x 5,4 x 5,6 h T [ ] Tudjuk, hogy Ah =, Ax = b, tehát A(x + ϑh) = b h-ból látható, hogyan kell az x-eket megváltoztatni, hogy az egyenl ség megmaradjon. x,. x,2 x 2,4 x 4,6 x,3 x 3,5 x 4,3 x 5,4 x 5,6 (x + ϑh) T [x,. + x,2 + ϑ x 2,4 + ϑ x 4,6 + x,3 ϑ x 3,5 + x }{{} 4,3 +ϑ ] = Így az egyenleg sehol sem fog változni, miközben a szállítási költség csökken. Meddig növelhetjük ϑ-t? - amíg az egyik változó nem fog alá csökkenni. Általános eset. Ha nem lenne olyan él, ami alá csökkenthet, akkor a célfüggvény minden határon túl növelhet, ami azt jelenti, hogy az eredeti gráfban van olyan kör, amelyben a szállítási költségek összege negatív. Ha találunk egy javítóélt, akkor azt hozzávesszük a bázishoz. Így keletkezik egy kör. A keletkezett kör mentén a folyamértékeket változtatjuk az új él irányításának megfelel en. Ennek hatására minden pont egyensúlya változatlan. Mivel az hozzávett él javító volt, a szállítási költség csökkenni fog. Ha a ϑ növeléssel valamelyik él lesz, akkor azt az élt elhagyjuk a bázisból. Két eset lehetséges: a célfüggvény minden határon túl növelhet valamelyik régi bázisélen a folyam -vá válik. Ebben az esetben báziscserét hajtunk végre: az új (javító)élt a bázisba vesszük, és egy - vá vált élt kiveszünk. Könny meggondolni, hogy így továbbra is bázisunk(feszít fánk) lesz - és folytathatjuk a szimplex módszert. Tekintsük a következ feladatot:
32 Legyen a forrás, ami egységet termel, 6 a nyel, ami egységet fogyaszt. Az élek kapacitása legyen. Nézzünk egy kezd megengedett bázismegoldást - ez a gráfban egy feszít fa lesz, azonfelül pedig út is. Az éleken jelöljük a folyamértéket (mennyit szállítunk), a csúcsokon pedig a szállítási költségeket Keressünk egy javítóélt: legyen ez az 2 él. 2 4 ϑ ϑ ϑ 3 Vegyük észre, hogy ϑ -ig növelhet. az új bázis: ϑ 2 ϑ ϑ 9 ϑ itt is -ig növelhet. Az új bázis:
33 2 ϑ ϑ Jelen esetben ϑ-t nem növelhetjük -n túl, degenerált lépést hajtunk végre. Az új bázis: ϑ ϑ 2 ϑ 9 ϑ Újabb degenerált lépés: ϑ =. Az új bázis: ϑ 2 Itt már ϑ -ig növelhet, az új bázis: + ϑ + ϑ ϑ + ϑ ϑ
34 2 3 4 Itt már nem találunk javítóélt, így ez az optimális megoldás Megjegyzés. A fenti módszer a szimplex módszer egy specializálása: itt nem kell osztani vagy szorozni, csak összeadni és kivonni. Így, ha a kiindulási értékek egészek, és van optimális megoldás, akkor az optimális megoldás is egészérték lesz, mivel sehol sem kell osztani. Most nézzünk egy olyan feladatot, ahol vannak élkapacitások: 2 2 kap = 4 3 Legyen a termel, ami 2 egységet termel, 4 a fogyasztó, ami 2 egységet fogyaszt, és az 2 él kapacitása legyen Megjegyzés. A fenti feladat megoldható úgy is, hogy felírjuk az általános szimplex változatot, és azt specializáljuk, de az nehézkes - helyette kezeljük a fels korlátot. Nézzük a kezdeti bázist: 34
35 2 ϑ 2 2 ϑ 3 2 ϑ ϑ itt 2-ig növelhet lenne, de a fels korlát miatt csak -ig növelhet. Így az új bázis: 2 2 ϑ ϑ 3 ϑ ϑ -ig növelhet. ϑ ϑ + ϑ + ϑ Itt a fels korlátos élnél csökkenteni kell a folyamértékeket. ϑ -ig növelhet. 35
36 Megjegyzés. Osztani, szorozni ebben az esetben sem kell Megjegyzés. Ha vannak kezdeti kapacitáskorlátok, nem könny kezdeti bázist találni. A kezdeti bázis keresése hasonló a szimplex módszernél ismertetett els fázis módszerhez. Írjunk fel egy új feladatot: tekintsünk el a továbbítási költségekt l(legyenek a továbbítási költségek -k), és vezessünk be egy új mesterséges élt a forrásból a nyel be. Ennek a kapacitása legyen nagyobb, mint a továbbítandó olaj mennyisége. Így keressünk minimális továbbítási költséget. A kib vített feladatra már könny kezd bázist találni. ha a továbbítási költséget le lehet -ra csökkenteni, akkor kezd bázist találtunk. ha nem, akkor az eredeti feladatnak nincs megengedett megoldása Megjegyzés. Ha több forrás vagy nyel van, akkor vezessünk be egy új forrást, és egy új nyel t a következ képpen: 36
37 termel k t. kap = t s kap = t i t i. kap = t n t n fogyasztók f. f j kap = f j. f m kap = f t kap = f m Legyen a mesterséges éleken a továbbítási költség. Ekkor az új feladat megoldása megfelel az eredeti feladat megoldásának. A célfüggvény értéke is megfelel az eredeti feladat célfüggvényértékének. 6. Speciális esetek hálózati folyam feladatra 6.. Szállítási feladat Vannak termel k, fogyasztók, útvonalhálózat, de nincsenek csomópontok. termel k t Hozzárendelési feladat fogyasztók f. f j t i. t n Vannak feladatok, és vannak vállalkozók. Minden vállalkozónak pontosan egy feladatot kell kapnia. Minden vállalkozó rendelkezésre bocsát egy listát, hogy milyen feladatokra vállalkozik, és azokat milyen összegért végezné el. Adott tehát egy (n x n)-es táblázat: a sorokban a feladatok, az oszlopokban a vállalkozók találhatók. Legyen a táblázat egy eleme c ij az a költség, amiért a j. vállalkozó az i. feladatot elvállalja. Keressük a maximális párosítást. 37. f m
38 Mivel az eljárás egészérték optimális megoldást ad, a feladat visszavezethet a szállítási feladatra. Legyenek a vállalkozók a termel k, a fogyasztók pedig a feladatok. Minden t i -b l f j -be vezet él kapacitása legyen, és legyen a folyamérték c ij. Mit l lesz a két feladat ekvivalens? - Mivel egy-egy termel nél maximálisan lehet a termelés, lesz egy kijelölt él, ahol a folyamérték, a többi folyamérték pedig. - A fogyasztóknál ugyanez mondható el. A feladat a Magyar módszerrel oldható meg hatékonyan (lásd a [8] fejezetet) Párosítási feladat Bált szervezünk. Vannak úk, és vannak lányok, akik részt vesznek a bálon. Adott, hogy ki kivel hajlandó táncolni. Célunk az, hogy minél többen táncoljanak - ha lehet, teljes párosítást keresünk, ha nem, maximális párosítást. A feladat a König-Egerváry eljárással oldható meg hatékonyan (lásd a [7] fejezetet). 7. König-Egerváry eljárás A König-Egerváry eljárás a párosítási feladatra nyújt megoldómódszert. A párosítási feladatot szemléltethetjük gráal vagy mátrixszal. a b c a b c x x x x x 7.. Denició (Független élrendszer). Bármely két kiválasztott élnek nincs közös végpontja (nincs két olyan x, ami azonos sorban vagy oszlopban van). Keressük a maximális független élrendszert (a maximális független x-ek rendszerét) Denició (Lefogó pontrendszer). Pontok olyan halmaza, amelyhez bármely élnek legalább az egyik végpontja hozzátartozik. Keressük a minimális lefogó pontrendszert. 38
39 7.3. Denició (Lefogó vonalrendszer). Minden x rajta van egy kiválasztott vonalon. 7.. Megjegyzés. Könnyen látható, hogy tetsz leges független rendszer elemszáma kisebb tetsz leges lefogó pontrendszer elemszámánál. Algoritmus. lépés Amíg lehet, valamiképpen párosítunk. Alaplépés Keressünk alternáló utat. Az alternáló út mentén változtassuk meg a kiválasztottságot(a kiválasztott élek legyenek kiválasztatlanok, a nem kiválasztottak pedig legyenek kiválasztottak). A kapott független élrendszer elemszáma eggyel nagyobb, mint az eredetié Denició (Alternáló út). Párosítatlan fels halmazbeli pontot összeköt egy párosítatlan alsó halmazbeli ponttal Megjegyzés. Alternáló út nem kezd dhet és nem végz dhet kiválasztott éllel (azaz a nem kiválasztott élek száma -el nagyobb, mint a kiválasztottaké). Nézzük a következ példát: Keressünk egy párosítást: Keressünk egy alternáló utat: Módosítsuk a kijelöltséget: 39
40 Kaptunk egy eggyel nagyobb párosítást. 7.. Tétel (Gyenge dualitás tétel). Legyen F egy független élrendszer és L egy lefogó pontrendszer. Ekkor F L. Bizonyítás... A szaggatott élek függetlenek (F ). Az F -beli élek mindegyikének lefogásához egy-egy külön lefogó pontra van szükségünk. Ezzel kész is a bizonyítás. Nézzük meg az er s dualitást Tétel (Er s dualitás tétel). Legyen F egy maximális elemszámú független élrendszer, és legyen L egy minimális elemszámú lefogó pontrendszer. Ekkor F = L. Továbbá 7.3. Tétel. Adott egy F független élrendszer. Ha nincs alternáló út a párosítatlan fels pontokból a párosítatlan alsó pontokba, akkor F maximális. A fenti két tételt egyszerre bizonyítjuk: Bizonyítás Ha F olyan, mint a második tételben megadott, akkor találni fogunk olyan L lefogó pontrendszert, amelyre L = F. A gyenge dualitás tétel miatt ilyenkor F maximális, és L minimális - ez lesz a második tétel bizonyítása. Keressünk egy lefogó pontrendszert: A Legyen X X Ȳ Y B 4
41 A a párosítatlan fels pontok halmaza B a párosítatlan alsó pontok halmaza X azon alsó pontok halmaza, amelyek A-ból elérhet k alternáló úton Y azon fels pontok halmaza, amelyek A-ból nem érhet k el alternáló úton 7.. Állítás. X Y lefogó pontrendszer. Bizonyítás Csak meg kell nézni, hogy hol vannak még élek. Legyen X az X-beli pontok párosítás menti fels párjai Y az Y -beli pontok párosítás menti alsó párjai A-ból nem mehet él Y-ba, különben A-ból vezetne alternáló út Y -ba. A-ból nem mehet él B-ba, különben A-ból vezetne alternáló út B-be. X-b l nem mehet él Y-ba, mert A X alternáló utak meghosszabbíthatóak lennének Y -ba. Ezzel kész is a bizonyítás Megjegyzés. Az A-ból X-be vezet alternáló utak keresése hatékonyan implementálható egyszer b vítéssel. 8. Magyar módszer Mint már említettük, a magyar módszer a hozzárendelési feladathoz ad megoldó algoritmust. Tekintsük tehát a hozzárendelési feladatot: adott n db munka, és ugyanennyi vállalkozó. A feladathoz tartozó n x n-es mátrixban c ij jelenti azt, hogy a j. vállalkozó mennyiért végezné el az i. munkát. Továbbá tegyük fel, hogy minden vállalkozó minden munkára ajánlatot tesz - ezek mind pozitív egész számok. c ij, c ij Z, i =... n, j =... n. A hozzárendelési feladat ábrázolható páros gráal is. Ebben a páros gráfban keresünk minimális súlyú teljes párosítást. 8.. Észrevétel. Legyen ε R, és legyen j... n oszlopindex. Az eredetivel ekvivalens feladatot kapunk, ha a j. oszlop minden eleméb l kivonunk ε-t. 4
42 Bizonyítás Eredeti feladat j c j Módosított feladat j c j ε c nj c nj ε A fenti ábrán a körök jelölik az egyes párosításokat. A párosításnak az felel meg, hogy minden sorban és minden oszlopban egyetlen kiválasztott elem lehet. Látjuk, hogy a két feladat megengedett megoldásai azonosak. Legyen az adott párosítás ára C az eredeti feladatban. Ekkor ugyanannak a párosításnak az ára a módosított feladatban C ε lesz. (a j. oszlopban pontosan egy kiválasztott elem lesz mindkét feladatban.) 8.2. Észrevétel. Legyen ε R, és legyen j... n sorindex. Az eredetivel ekvivalens feladatot kapunk, ha a j. sor minden eleméb l kivonunk ε-t. Bizonyítás A bizonyítás ugyanaz, mint az el bbi észrevétel esetében. 8.. Denició (-kból álló független rendszer). A táblázatból úgy vannak kiválasztva -k, hogy semelyik kett nincs azonos oszlopban vagy azonos sorban. 42
43 8.. Megjegyzés. A -kból álló maximális független rendszer keresése megfelel a párosítási feladatnak, ahol a fels pontok az oszlopok, az alsó pontok pedig a sorok, él pedig akkor van, ha az illet sor/oszlop metszerben van. A -k független rendszere megfelel az élek független rendszerének Denició (-kból álló teljesen független rendszer). Ha minden sorban és minden oszlopban van kijelölt Észrevétel. Tegyük fel, hogy van a táblázatunkban -kból álló teljesen független rendszer. Ha ezen rendszer mentén párosítjuk össze a vállalkozókat a feladatokkal, akkor az optimális hozzárendelést kapjuk. Bizonyítás A fenti hozzárendelés költsége lesz. A feltevésünk szerint minden c ij nemnegatív, emiatt minden összerendelés költsége. Ekkor egy költség összerendelés optimális lesz. Tekintsük a táblázatbeli -kat. Két eset lehetséges: (i) van -kból álló teljesen független rendszer. Ekkor kész vagyunk, optimális megoldást kaptunk (lásd a harmadik észrevételt). (ii) találunk egy n-nél kisebb elemszámú lefogó vonalrendszert. A keresést König-Egerváry módszerével végezzük. Tudjuk, hogy a -kból álló maximális független rendszer elemszáma megegyezik a minimális lefogó vonalrendszer elemszámával. Algoritmus Minden lefogó oszlop minden eleméhez adjunk ε-t(megengedett lépés - lásd els észrevétel). Minden lefogatlan sor minden eleméb l vonjunk ki ε-t. A végeredmény: a duplán lefogott elemek n nek ε-nal, míg a lefogatlan elemek csökkennek ε-nal. Válasszuk ε-nak a lefogatlan elemek minimumát. 8.. Állítás. A fenti m velettel az elemek összege csökken. Bizonyítás l + k < n, tehát a csökkentett részben több mez van, mint a megnövelt részben. Tekintsük a következ feladatot: 43
44 Vonjuk ki minden sorból a sorbeli legkisebb elemet: Vonjuk ki minden oszlopból az oszlopbeli legkisebb elemet: Nézzük meg, hogyan tudjuk lefedni az összes nullát a táblázatban: az els két oszloppal és az utolsó sorral. Most minden lefedett oszlop elemeihez adjunk hozzá ε-t és minden lefedetlen sorból vonjunk ki ε-t: + ε - ε + ε - ε 6 - ε 3 - ε + ε - ε 5 + ε - ε 4 - ε 6 - ε 2 + ε - ε + ε - ε 3 - ε - ε 3 + ε 2 + ε A legnagyobb ε amit alkalmazhatunk: ε = Most viszont négy vonalat kell használnunk, hogy minden -t lefedjünk a táblázatban. Tehát a megoldásunk optimális. Olvassuk le a megoldást: a második sorban egyetlen nulla van, így a második munkát az els vállalkozóra osztjuk; a harmadik oszlopban is egyetlen nulla van, így a harmadik vállalkozó kapja a negyedik munkát; mivel az els vállalkozó már kapott munkát, így az els munkát a második vállalkozó kapja meg; a megmaradt harmadik munkát pedig a negyedik vállalkozónak adjuk. 44
Jegyzet. az Operációkutatás (elemz, programozó matematikus) tárgyhoz április. Fábián Csaba, Király Tamás, Papp Olga
Jegyzet az Operációkutatás (elemz, programozó matematikus) tárgyhoz Fábián Csaba, Király Tamás, Papp Olga 2015. április 1 Tartalomjegyzék 1. A lineáris programozási feladat 3 1.1. Bevezetés.......................................
RészletesebbenJegyzet. az Operációkutatás (elemz, programozó matematikus) tárgyhoz április. Fábián Csaba, Király Tamás, Papp Olga
Jegyzet az Operációkutatás (elemz, programozó matematikus) tárgyhoz Fábián Csaba, Király Tamás, Papp Olga 2015. április 1 Tartalomjegyzék 1. A lineáris programozási feladat 3 1.1. Bevezetés.......................................
RészletesebbenA szimplex algoritmus
A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás
RészletesebbenDualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 7. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát (vonat
RészletesebbenA szimplex tábla. p. 1
A szimplex tábla Végződtetés: optimalitás és nem korlátos megoldások A szimplex algoritmus lépései A degeneráció fogalma Komplexitás (elméleti és gyakorlati) A szimplex tábla Példák megoldása a szimplex
RészletesebbenOpkut deníciók és tételek
Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét
Részletesebben11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba
11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez
RészletesebbenA lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2018/
Operációkutatás I. 2018/2019-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c
RészletesebbenA lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c
RészletesebbenOperációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje
Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.
Részletesebben1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI
/ Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI /. Legyen adott az alábbi LP-feladat: x + 4x + x 9 x + x x + x + x 6 x, x, x x + x +
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenBázistranszformáció és alkalmazásai 2.
Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja
Részletesebben5 = hiszen és az utóbbi mátrix determinánsa a középs½o oszlop szerint kifejtve: 3 7 ( 2) = (példa vége). 7 5 = 8. det 6.
A pivotálás hasznáról és hatékony módjáról Adott M mátrixra pivotálás alatt a következ½ot értjük: Kijelölünk a mátrixban egy nemnulla elemet, melynek neve pivotelem, aztán az egész sort leosztjuk a pivotelemmel.
Részletesebben7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága
7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása
Részletesebben1. tétel - Gráfok alapfogalmai
1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. irányítatlan gráf fogalma A G (irányítatlan) gráf egy (Φ, E, V) hátmas, ahol E az élek halmaza, V a csúcsok (pontok) halmaza, Φ: E {V-beli rendezetlen párok} illeszkedési
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenTotális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János
Totális Unimodularitás és LP dualitás Tapolcai János tapolcai@tmit.bme.hu 1 Optimalizálási feladat kezelése NP-nehéz Hatékony megoldás vélhetően nem létezik Jó esetben hatékony algoritmussal közelíteni
RészletesebbenLINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL
LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenOperációkutatás. Vaik Zsuzsanna. Budapest október 10. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Operációkutatás Vaik Zsuzsanna Vaik.Zsuzsanna@ymmfk.szie.hu Budapest 200. október 10. Mit tanulunk ma? Szállítási feladat Megoldása Adott: Egy árucikk, T 1, T 2, T,..., T m termelőhely, melyekben rendre
Részletesebben8. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, , oldal. 8. előadás Mátrix rangja, Homogén lineáris egyenletrendszer
8. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 51. 56., 70. 74. oldal. Gondolkodnivalók Elemi bázistranszformáció 1. Gondolkodnivaló Most ne vegyük figyelembe, hogy az elemi bázistranszformáció során ez
Részletesebben7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága
7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása
RészletesebbenDeterminánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.
Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető
Részletesebben: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!
nomosztással a megoldást visszavezethetjük egy alacsonyabb fokú egyenlet megoldására Mivel a 4 6 8 6 egyenletben az együtthatók összege 6 8 6 ezért az egyenletnek gyöke az (mert esetén a kifejezés helyettesítési
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 7. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 2012. március 26. Ismétlés Tartalom 1 Ismétlés 2 Koordinátasor 3 Bázistranszformáció és alkalmazásai Vektorrendszer rangja Mátrix
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenBevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
RészletesebbenOperációkutatás. Vaik Zsuzsanna. ajánlott jegyzet: Szilágyi Péter: Operációkutatás
Operációkutatás Vaik Zsuzsanna Vaik.Zsuzsanna@ymmfk.szie.hu ajánlott jegyzet: Szilágyi Péter: Operációkutatás Operációkutatás Követelmények: Aláírás feltétele: foglalkozásokon való részvétel + a félév
Részletesebben3. el adás: Determinánsok
3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns
Részletesebben1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI
/ Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris
Részletesebbenrank(a) == rank([a b])
Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása a Matlabban Lineáris algebrai egyenletrendszerek a Matlabban igen egyszer en oldhatók meg. Legyen A az egyenletrendszer m-szer n-es együtthatómátrixa, és
RészletesebbenÉrzékenységvizsgálat
Érzékenységvizsgálat Alkalmazott operációkutatás 5. elıadás 008/009. tanév 008. október 0. Érzékenységvizsgálat x 0 A x b z= c T x max Kapacitások, együtthatók, célfüggvény együtthatók változnak => optimális
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenSzemidenit optimalizálás és az S-lemma
Szemidenit optimalizálás és az S-lemma Pólik Imre SAS Institute, USA BME Optimalizálás szeminárium 2011. október 6. Outline 1 Egyenl tlenségrendszerek megoldhatósága 2 Az S-lemma 3 Szemidenit kapcsolatok
RészletesebbenLineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest
RészletesebbenA KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek
10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2
RészletesebbenGazdasági matematika II. tanmenet
Gazdasági matematika II. tanmenet Mádi-Nagy Gergely A hivatkozásokban az alábbi tankönyvekre utalunk: T: Tóth Irén (szerk.): Operációkutatás I., Nemzeti Tankönyvkiadó 1987. Cs: Csernyák László (szerk.):
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
RészletesebbenJegyzet. az Operációkutatás II cím tantárgyhoz. Király Tamás és Papp Olga. Utolsó frissítés: február
Jegyzet az Operációkutatás II cím tantárgyhoz Király Tamás és Papp Olga Utolsó frissítés: 2015. február 2 Tartalomjegyzék 1. Lineáris programozás 7 1.1. TU mátrixok: kerekítés és színezés......................
RészletesebbenA lineáris programozás alapjai
A lineáris programozás alapjai A konvex analízis alapjai: konvexitás, konvex kombináció, hipersíkok, félterek, extrém pontok, Poliéderek, a Minkowski-Weyl tétel (a poliéderek reprezentációs tétele) Lineáris
RészletesebbenDiszkrét matematika II. gyakorlat
Diszkrét matematika II. gyakorlat 9. Gyakorlat Szakács Nóra Helyettesít: Bogya Norbert Bolyai Intézet 2013. április 11. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat 2013. április 11.
Részletesebbenút hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.
1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost
Részletesebben25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1
6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)
Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses
RészletesebbenAlgoritmusok bonyolultsága
Algoritmusok bonyolultsága 5. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm 1 / 27 Gazdaságos faváz Kruskal-algoritmus Joseph Kruskal (1928 2010) Legyen V = {v 1, v 2,..., v n }, E = {e 1, e 2,...,
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.
RészletesebbenNemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással
pontos dualitással Imre McMaster University Advanced Optimization Lab ELTE TTK Operációkutatási Tanszék Folytonos optimalizálás szeminárium 2004. július 6. 1 2 3 Kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek Primál
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu Komputeralgebra Tanszék 2015. tavasz Gráfelmélet Diszkrét
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I. éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak évi tanév I. félév
LINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak 2010-2011 évi tanév I félév Vektoriális szorzat és tulajdonságai bizonyítás nélkül: Vegyes szorzat és tulajdonságai
RészletesebbenFüggvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
RészletesebbenDiszkrét Matematika MSc hallgatók számára 7. Előadás Párosítási tételek Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Kovácsházi Anna
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 7. Előadás Párosítási tételek Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Kovácsházi Anna 2010. 10. 18. 2 7. Párosítási tételek.nb 7. Előadás Emlékeztető: Javító út, Javító
RészletesebbenHÁLÓZAT Maximális folyam, minimális vágás
HÁLÓZAT Maximális folyam, minimális vágás HÁLÓZAT informálisan Hálózat Irányított gráf Mindegyik élnek adott a (nemnegatív) kapacitása Spec csúcsok: Forrás (Source): a kiindulási pont csak ki élek Nyelő
RészletesebbenJegyzet. az Operációkutatás II cím tantárgyhoz. Utolsó frissítés: május 20. Király Tamás el adásai alapján készítette Papp Olga
Jegyzet az Operációkutatás II cím tantárgyhoz Király Tamás el adásai alapján készítette Papp Olga Utolsó frissítés: 2011. május 20. Tartalomjegyzék 1. TU mátrixok: kerekítés és színezés 3 1.1. Emlékeztet......................................
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. szeptember 21. 1. Diszkrét matematika 2. 2. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. szeptember 21. Gráfelmélet
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenSaj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
RészletesebbenGlevitzky Béla. Operációkutatás I. mobidiák könyvtár
Glevitzky Béla Operációkutatás I. mobidiák könyvtár Glevitzky Béla Operációkutatás I. mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŽ Fazekas István Glevitzky Béla Operációkutatás I. mobidiák könyvtár Debreceni Egyetem
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2016. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenGráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 3. Előadás
Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 3. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Pék Máté 2009. szeptember 21. 1. Folyamok 1.1. Definíció. G = (V, E, K, B) irányított gráf, ha e! v : ekv
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
Részletesebben10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak
10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás:
Részletesebben9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35
9. Előadás (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték 2019. április 24. 1 / 35 Portfólió-analízis Tegyük fel, hogy egy bank 4 különböző eszközbe fektet be (réz, búza, arany és kakaó). Az ügyfeleinek ezen
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
RészletesebbenRelációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk
Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum
RészletesebbenMűveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz
2018/2019 ősz Elérhetőségek Előadó: (safaro@math.bme.hu) Fogadóóra: hétfő 9-10 (H épület 3. emelet 310-es ajtó) A pontos tárgykövetelmények a www.math.bme.hu/~safaro/kalkulus oldalon találhatóak. A mátrix
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
Részletesebben1. A k-szerver probléma
1. A k-szerver probléma Az egyik legismertebb on-line probléma a k-szerver probléma. A probléma általános deníciójának megadásához szükség van a metrikus tér fogalmára. Egy (M, d) párost, ahol M a metrikus
Részletesebben5. Előadás. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 1 / 39
5. Előadás (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 1 / 39 AX = B (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 2 / 39 AX = B Probléma. Legyen A (m n)-es és B (m l)-es
RészletesebbenSztöchiometriai egyenletrendszerek minimális számú aktív változót tartalmazó megoldásainak meghatározása a P-gráf módszertan alkalmazásával
Sztöchiometriai egyenletrendszerek minimális számú aktív változót tartalmazó megoldásainak meghatározása a P-gráf módszertan alkalmazásával * Pannon Egyetem, M szaki Informatikai Kar, Számítástudomány
RészletesebbenLineáris algebrai alapok
Lineáris algebrai alapok Will 2010 június 16 Vektorterek, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek A lineáris programozási feladat, szimplex algoritmus Vektorterek Jellemzés: Vektorok tulajdonságai Két vektor
RészletesebbenBázistranszformáció és alkalmazásai
Bázistranszformáció és alkalmazásai Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Elmélet Gyakorlati végrehajtás 2 Vektor bevitele a bázisba Rangszámítás Lineáris egyenletrendszer
RészletesebbenKétfázisú szimplex algoritmus és speciális esetei
5. gyakorlat Kétfázisú szimplex algoritmus és speciális esetei. Emlékeztető Standard alak, áttérés Standard alak Minden feltétel et tartalmaz csak. A célfüggvényünket maximalizáljuk. A b vektor (jobb oldalon
RészletesebbenDiMat II Végtelen halmazok
DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy
RészletesebbenDiszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 4. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor 2012. február 28. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét
RészletesebbenAlkalmazott optimalizálás és játékelmélet Lineáris programozás Gyakorlófeladatok. Rétvári Gábor
Alkalmazott optimalizálás és játékelmélet Lineáris programozás Gyakorlófeladatok Rétvári Gábor retvari@tmit.bme.hu Feladatok Szöveges feladatok. Egy acélgyárban négyfajta zártszelvényt gyártanak: kis,
RészletesebbenRang, sajátérték. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach/ február 15
Diszkrét matematika II, 2 el adás Rang, sajátérték Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takachinfnymehu http://infnymehu/ takach/ 25 február 5 Gyakorlati célok Ezen el adáson, és a hozzá kapcsolódó
Részletesebben7. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 7. előadás Elemi bázistranszformáció
7. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 57. 61. oldal. Gondolkodnivalók Bázis, dimenzió 1. Gondolkodnivaló Legyenek a v vektor koordinátái a v 1,..., v n bázisban: (1, α 2,..., α n ). Igazoljuk, hogy
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenLineáris algebra Gyakorló feladatok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések
RészletesebbenFüggvények határértéke, folytonossága
Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el
Részletesebben1. Determinánsok. Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert:
1 Determinánsok 1 Bevezet definíció Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert: a 11 x 1 +a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2 Szorozzuk meg az első egyenletet
RészletesebbenGRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus
GRÁFELMÉLET 7. előadás Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus Definíció: egy P utat javító útnak nevezünk egy M párosításra nézve, ha az út páratlan hosszú, kezdő- és végpontjai nem párosítottak,
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenÉrdemes egy n*n-es táblázatban (sorok-lányok, oszlopok-fiúk) ábrázolni a két színnel, mely éleket húztuk be (pirossal, kékkel)
Kombi/2 Egy bizonyos bulin n lány és n fiú vesz részt. Minden fiú pontosan a darab lányt és minden lány pontosan b darab fiút kedvel. Milyen (a,b) számpárok esetén létezik biztosan olyan fiúlány pár, akik
RészletesebbenMátrixjátékok tiszta nyeregponttal
1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják
RészletesebbenJavító és majdnem javító utak
Javító és majdnem javító utak deficites Hall-tétel alapján elméletileg meghatározhatjuk, hogy egy G = (, ; E) páros gráfban mekkora a legnagyobb párosítás mérete. Ehhez azonban első ránézésre az összes
Részletesebben1. feladat Az egyensúly algoritmus viselkedése: Tekintsük a kétdimenziós Euklideszi teret, mint metrikus teret. A pontok
1. feladat Az egyensúly algoritmus viselkedése: Tekintsük a kétdimenziós Euklideszi teret, mint metrikus teret. A pontok (x, y) valós számpárokból állnak, két (a, b) és (c, d) pontnak a távolsága (a c)
RészletesebbenEGYSZERŰSÍTETT ALGORITMUS AZ ELEMI BÁZISCSERE ELVÉGZÉSÉRE
Lipécz György* EGYSZERŰSÍTETT ALGORITMUS AZ ELEMI BÁZISCSERE ELVÉGZÉSÉRE AVAGY A SZÁMÍTÓGÉP-HASZNÁLAT LEHETŐSÉGE A LINEÁRIS ALGEBRA ÉS AZ OPERÁCIÓKUTATÁS ALAPJAINAK OKTATÁSÁBAN " Simplicitassigillum veri"
RészletesebbenBranch-and-Bound. 1. Az egészértéketű programozás. a korlátozás és szétválasztás módszere Bevezető Definíció. 11.
11. gyakorlat Branch-and-Bound a korlátozás és szétválasztás módszere 1. Az egészértéketű programozás 1.1. Bevezető Bizonyos feladatok modellezése kapcsán előfordulhat olyan eset, hogy a megoldás során
RészletesebbenXI A MÁTRIX INVERZE 1 Az inverzmátrix definíciója Determinánsok szorzástétele Az egységmátrix definíciója: 1 0 0 0 0 1 0 0 E n = 0 0 1 0 0 0 0 1 n-edrenű (azaz n n típusú) mátrix E n -nel bármely mátrixot
Részletesebben