Diszkrét matematika II. gyakorlat

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Diszkrét matematika II. gyakorlat"

Éva Takács
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 Diszkrét matematika II. gyakorlat 9. Gyakorlat Szakács Nóra Helyettesít: Bogya Norbert Bolyai Intézet április 11. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 30

2 Tartalom 1 Páros gráfok 2 Lefogó ponthalmaz, párosítás 3 Párosítás keresése páros gráfban 4 Síkgráfok Wagner tétele Euler tétele Négyszín-tétel 5 Vizsgafeladatok Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 30

3 Tartalom Páros gráfok 1 Páros gráfok 2 Lefogó ponthalmaz, párosítás 3 Párosítás keresése páros gráfban 4 Síkgráfok Wagner tétele Euler tétele Négyszín-tétel 5 Vizsgafeladatok Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 30

4 1. Feladat Páros gráfok-e az alábbi gráfok? b G 1 G 2 a b c d f a e g c e f g h h d Tétel A következ k ekvivalensek: 1 G páros gráf. 2 G nem tartalmaz páratlan hosszú kört. 3 G 2-színezhet (χ(g) = 2)

5 Páros gráfok Módszer: mélységi bejárás && mohó színezés. a b c d e f g h a b g h e f c d Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 30

6 Tartalom Lefogó ponthalmaz, párosítás 1 Páros gráfok 2 Lefogó ponthalmaz, párosítás 3 Párosítás keresése páros gráfban 4 Síkgráfok Wagner tétele Euler tétele Négyszín-tétel 5 Vizsgafeladatok Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 30

7 Deníciók Lefogó ponthalmaz, párosítás Lefogó ponthalmaz Csúcsoknak egy L halmaza lefogó ponthalmaz, ha minden élnek valamelyik végpontja az L-ben van. Minimális lefogó ponthalmaz Csúcsoknak egy L halmaza minimális lefogó ponthalmaz, ha nincs nála kisebb elemszámú lefogó ponthalmaz. τ(g) τ(g) = min{ L : L lefogó ponthalmaz} Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 30

8 Lefogó ponthalmaz, párosítás G 1 d a b c Lefogó ponthalmazok: {a, b, c, d}, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}, {c, d}. Min. lefog. ponthalm.: {c, d}. τ(g 1 ) = 2 Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 30

9 Deníciók Lefogó ponthalmaz, párosítás Független élhalmaz = Párosítás Éleknek egy M halmaza párosítás, ha nincs olyan pontja a gráfnak, ami két M-beli élnek is végpontja. Maximális független élhalmaz = Maximális párosítás Éleknek egy M halmaza maximális párosítás, ha nincs nála nagyobb elemszámú párosítás. ν(g) ν(g) = max{ M : M párosítás} Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 30

10 Lefogó ponthalmaz, párosítás G 1 d a b c Párosítások: {ac}, {ad}, {bc}, {bd}, {cd}, {ac, bd}, {ad, bc}. Max. párosítások: {ac, bd}, {ad, bc}. ν(g 1 ) = 2 Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 30

11 Lefogó ponthalmaz, párosítás Állítás Bármely G gráf esetén ν(g) τ(g). K nig-tétel Bármely G páros gráfra ν(g) = τ(g). a b g h e f c d Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 30

12 1. Feladat f e G 2 g h d c a b 1 Adjon meg a G 2 gráfban egy minimális lefogó ponthalmazt! 2 Adjon meg a G 2 gráfban egy maximális párosítást! 3 Adja meg a τ(g 2 ) és ν(g 2 ) értékét! Megoldás: 1 Min. lefogó ponthalmaz: {f, h, b, d}. 2 Max. párosítás: {ah, gf, ed, cb}. 3 τ(g 2 ) = ν(g 2 ) = 4.

13 Tartalom Párosítás keresése páros gráfban 1 Páros gráfok 2 Lefogó ponthalmaz, párosítás 3 Párosítás keresése páros gráfban 4 Síkgráfok Wagner tétele Euler tétele Négyszín-tétel 5 Vizsgafeladatok Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 30

14 Párosítás keresése páros gráfban Magyar-módszer (Hungarian method) Javító alternáló út Legyen M egy párosítás G -ben. Az e 1, e 2,... e 2k, e 2k+1 élek által meghatározott (gráfelméleti) út alternáló javító út M-re nézve, ha e i / M, ha i páratlan, és e i M, ha i páros. (Tehát a javító útban felváltva lépkedünk "nem M-beli" és "M-beli" éleken úgy, hogy "nem M-belivel" kezdünk, és ilyennel is fejezzük be.) Algoritmus M tetsz leges párosítás G -ben while létezik alternáló javító út M-re do U javító út élhalmaza M M U end while return M Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 30

15 Párosítás keresése páros gráfban d e f a b c Párosítás: M = Javító út: U =

16 Párosítás keresése páros gráfban d e f a b c Párosítás: M = {ae} Javító út: U =

17 Párosítás keresése páros gráfban d e f a b c Párosítás: M = {ae} Javító út: U = {da, ae, eb}

18 Párosítás keresése páros gráfban d e f a b c Párosítás: M = {da, eb} Javító út: U =

19 Párosítás keresése páros gráfban d e f a b c Párosítás: M = {da, eb} Javító út: U = {fa, ad, db, be, ec}

20 Párosítás keresése páros gráfban d e f a b c Párosítás: M = {fa, db, ec} Javító út: U = Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 30

21 Párosítás keresése páros gráfban G 3 G 4 e f g h g h i j k l a b c d a b c d e f 2. Feladat Keressen maximális párosítást a fenti G 3 és G 4 gráfokban a magyar-módszer segítségével! Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 30

22 Tartalom Síkgráfok 1 Páros gráfok 2 Lefogó ponthalmaz, párosítás 3 Párosítás keresése páros gráfban 4 Síkgráfok Wagner tétele Euler tétele Négyszín-tétel 5 Vizsgafeladatok Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 30

23 Deníciók Síkgráfok Síkgráf Egy G gráf síkgráf, ha lerajzolható úgy, hogy az élei ne messék egymást (az élek bels pontjában). K 5 K 3,3 Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 30

24 Tartalom Síkgráfok Wagner tétele 1 Páros gráfok 2 Lefogó ponthalmaz, párosítás 3 Párosítás keresése páros gráfban 4 Síkgráfok Wagner tétele Euler tétele Négyszín-tétel 5 Vizsgafeladatok Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 30

25 Deníciók Síkgráfok Wagner tétele Minor A H gráf a G gráf minorja, ha H megkapható G -b l élek és csúcsok élhagyásával illetve élek összehúzásával. h d f a e G g c b h d f a e G 1 g c d e G 2 c v G 3 c f f h g h g a a Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 30

26 Deníciók Síkgráfok Wagner tétele Minor A H gráf a G gráf minorja, ha H megkapható G -b l élek és csúcsok élhagyásával illetve élek összehúzásával. Wagner tétele Egy G gráf pontosan akkor síkgráf, ha nem tartalmaz K 5 -öt vagy K 3,3-at minorként. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 30

27 Síkgráfok Wagner tétele 3. Feladat Döntse el, hogy az alábbi három gráf síkgráf-e! h e G 5 g f e h G 6 f g c G 7 f d c b e a b c d a b a d Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 30

28 Síkgráfok Wagner tétele 4. Feladat Síkgráf-e a Petersen-gráf? a e j f g b i h d c Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 30

29 Tartalom Síkgráfok Euler tétele 1 Páros gráfok 2 Lefogó ponthalmaz, párosítás 3 Párosítás keresése páros gráfban 4 Síkgráfok Wagner tétele Euler tétele Négyszín-tétel 5 Vizsgafeladatok Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 30

30 Síkgráfok Euler tétele Euler tétele Összefügg síkra rajzolt gráfra érvényes a T + V = E + 2, (1) összefüggés, ahol T a gráf tartományainak száma, E az éleinek száma és V a csúcsainak száma. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 30

31 Síkgráfok Euler tétele Euler tétele Összefügg síkra rajzolt gráfra érvényes a T + V = E + 2, (1) összefüggés, ahol T a gráf tartományainak száma, E az éleinek száma és V a csúcsainak száma. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 30

32 Tartalom Síkgráfok Négyszín-tétel 1 Páros gráfok 2 Lefogó ponthalmaz, párosítás 3 Párosítás keresése páros gráfban 4 Síkgráfok Wagner tétele Euler tétele Négyszín-tétel 5 Vizsgafeladatok Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 30

33 Négyszín-tétel Négyszín-probléma (sejtés) (Francis Guthrie ) Anglia megyéi kiszínezhet k 4 színnel a térképen. Minden síkgráf 4-színezhet? ábra : Tartományok színezése 4 színnel Ötszín-tétel (Heawood és Kempe ) Hurokél nélküli G gráfra χ(g) 5.

34 Négyszín-tétel Négyszín-probléma (sejtés) (Francis Guthrie ) Anglia megyéi kiszínezhet k 4 színnel a térképen. Minden síkgráf 4-színezhet? ábra : Tartományok színezése 4 színnel Négyszín-tétel (Appel és Haken ) Hurokél nélküli G gráfra χ(g) 4.

35 Síkgráfok Négyszín-tétel a G 8 e b c 5. Feladat Páros gráf-e? τ(g 8 )? ν(g 8 )? χ(g 8 )? Maximális párosítás? Síkgráf-e? (Ha igen mennyi a tartományainak száma?) d Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 30

36 Tartalom Vizsgafeladatok 1 Páros gráfok 2 Lefogó ponthalmaz, párosítás 3 Párosítás keresése páros gráfban 4 Síkgráfok Wagner tétele Euler tétele Négyszín-tétel 5 Vizsgafeladatok Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 30

37 Vizsgafeladatok

Hasonló dokumentumok

Gráfelméleti feladatok programozóknak

Gráfelméleti feladatok programozóknak Nagy-György Judit 1. Lehet-e egy gráf fokszámsorozata 3, 3, 3, 3, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6? 2. Lehet-e egyszer gráf fokszámsorozata (a) 3, 3, 4, 4, 6? (b) 0, 1, 2, 2, 2,